CN103838913A - 曲线箱梁弯桥的有限单元法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种曲线箱梁弯桥的有限单元法，这种基本方法的思想的基础即“化整为零”，就是离散化结构。首先利用单元这一基本元素，系统的来实现用有限个未知量的数量去无线逼近无限个未知量。有限元模型由一些简单的单元组成并且单元之间通过荷载传递作用是通过节点相连接的，它就是一种数学抽象方法。其中构件空间中的坐标位置由节点表示，它有自由度，并且之间还有物理作用。一组节点自由度就形成了一个单元，用来表示相互的数值，可以用矩阵的形式表示。单元有如线、面、实体和二维或三维的多种样式。线性方程可以很好的体现每个单元的特性。整个构件的数学模型就是将单元作为一个整体。

Description

曲线箱梁弯桥的有限单元法

技术领域：

本发明涉及有限单元法，尤其涉及曲线箱梁弯桥的有限单元法，其属于数据分析技术领域。

背景技术：

在连续体上直接进行近似计算就是有限单元法，它本质是一种数值方法，它就是利用数学办法对真实的物理系统进行模拟逼近。目前分析结构最常用的就是有限单元法，因为它能够处理任意的荷载类型和任意形状的复杂结构，所以对于曲线梁桥来说，无论什么结构形式均可以使用有限单元法进行分析。

发明内容：

本发明提供一种曲线箱梁弯桥的有限单元法，其通过将有限单元法应用于曲线箱梁弯桥中计算出曲线梁的内力。

本发明采用如下技术方案：一种曲线箱梁弯桥的有限单元法，其包括如下步骤： 

步骤一、结构的离散化

所述离散化就是首先将结构用一定的单元形式划分成有限个单元体，然后把单元的指定点设为相邻连接单元的结点，形成单元的集合体，以集合体来代表原结构；

步骤二、确定位移模式

离散化工作完成后，合理假设单元中的位移分布，具体做法就是假设单元中任意一点的位移可用一个简单、合理的坐标函数来表示，这个坐标函数就叫做位移函数或位移模式，将多项式作为位移函数，多项式的微积分运算较为简单并且从泰勒级数展开的意义上来说，任意局部光滑函数都可以用多项式来进行逼近，工作的结果就是建立起下面所示的矩阵方程

              

                              

式中

一单元中任一点的位移列阵；

     

一形函数矩阵，其元素是坐标的函数；

     

一单元的结点位移列阵；

步骤三、单元特性分析

确定了单元位移函数之后，便可以对单元做下面三个方面的工作：

1、运用几何方程也就是应变-位移关系，将单元中任一点的应变用结点位移表示，即建立了下面的矩阵方程

             

                            

式中一单元中任一点的应变列阵；

     

—形变矩阵，一般其元素是坐标的函数；

2、运用物理方程也就是应力-应变关系，推导出单元应力矩阵方程用单元结点表示的

    

                           

式中

一单元中任一点的应力列阵;

     

一与单元材料有关的弹性矩阵;

     

—应力矩阵，一般其元素是坐标的函数；

3、运用最小势能原理和虚位移建立如下的刚度方程

       

                             

式中

一单元结点力列阵；

    

一单元等效荷载列阵，与作用在单元上的外荷载有关；

    

一单元刚度矩阵，按下式计算；

            

                       

步骤四、研究集合所有单元的特性推导整个结构的平衡方程

利用对号入座的直线刚度法集成整个结构的综合等效结点荷载列阵和整体刚度矩阵，进而建立构件的整体刚度方程

               

                                  

式中

一结构整体刚度矩阵；

     

一结构整体位移列阵；

     

一结构综合等效结点荷载列阵；

步骤五、求解方程组和计算输出的结果

求出位移后，可以进行下一步的计算即计算应力及内力，随后用图形或数表的方式输出整理后的结果，在上述这些基础上再结合具体条件及问题来进行结构的设计。

本发明具有如下有益效果：本发明通过将有限单元法应用于曲线箱梁弯桥中更加精确的计算出曲线梁的内力。 

  

具体实施方式：

本发明曲线箱梁弯桥的有限单元法的思想的基础即“化整为零”，就是离散化结构。具体地做法就是，首先利用单元这一基本元素（这些单元简单并且相互影响），系统的来实现用有限个未知量的数量去无线逼近无限个未知量。有限元模型由一些简单的单元组成并且单元之间通过荷载传递作用是通过节点相连接的，它就是一种数学抽象方法。其中构件空间中的坐标位置由节点表示，它有自由度，并且之间还有物理作用。一组节点自由度就形成了一个单元，用来表示相互的数值，可以用矩阵的形式表示。单元有如线、面、实体和二维或三维的多种样式。线性方程可以很好的体现每个单元的特性。整个构件的数学模型就是将单元作为一个整体。

有限单元法就是运用每一个单元内假设的近似函数，分片地表示待求的未知场函数（在全求解域上）。每个单元内的近似函数一般是由未知场函数以及导数通过插值函数来表示。这样未知场函数以及导数在单元内各个节点就变成了新的未知量，也就是自由度，这样就使一个无限的连续自由度问题变成了有限的离散自由度。那么求解出来这些未知量，就可以通过插值函数来计算每个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域中场函数的近似值。考虑到单元本身有不同的形状，对形状复杂的问题有限单元法都可以方便地进行离散。因此任意的边界条件、复杂的几何形状、结构中包含不同类型构件、不均匀的材料特性等均能够使用有限单元法来求解。在计算的时候为了方便有限元的应用，基本方程和基本量多使用矩阵来表示。 

有限元法分析的基本过程可以分为下面几步: 

一、结构的离散化

所谓离散化就是首先将结构用一定的单元形式划分成有限个单元体，然后把单元的指定点设为相邻连接单元的结点，形成单元的集合体，以集合体来代表原结构。具体工作如下：先建立坐标系，再对节点和单元进行编号以便为以下步骤准备具体分析的信息。注意应用软件的不同，所需要准备的数据也不相同。有限元应用软件如果具有前处理功能，只需输入少量的计算即可，其他大量的分析信息会由软件自动控制生成。这不仅方便了使用程序，而且还大大的减少了输入原始数据的错误数。

二、确定位移模式 

离散化工作完成后，应该合理假设单元中的位移分布，这样可以更好的对典型单元的特性进行分析。具体做法就是假设单元中任意一点的位移可用一个简单、合理的坐标函数来表示，这个坐标函数就叫做位移函数或位移模式。有限单元法分析的关键问题就是位移函数的确定。一般的做法就是将多项式作为位移函数，多项式的微积分运算较为简单并且从泰勒级数展开的意义上来说，任意局部光滑函数都可以用多项式来进行逼近。

工作的结果就是建立起下面所示的矩阵方程 

              

                                 (1—1)

式中

一单元中任一点的位移列阵；

     

一形函数矩阵，其元素是坐标的函数；

     

一单元的结点位移列阵。

  三、单元特性分析 

  确定了单元位移函数之后，便可以对单元做下面三个方面的工作：

  1、运用几何方程也就是应变-位移关系，将单元中任一点的应变用结点位移表示，即建立了下面的矩阵方程

             

                            （1—2）

式中

一单元中任一点的应变列阵；

     

—形变矩阵，一般其元素是坐标的函数。

2、运用物理方程也就是应力-应变关系，推导出单元应力矩阵方程用单元结点表示的 

    

                           （1—3）

式中

一单元中任一点的应力列阵;

     

一与单元材料有关的弹性矩阵;

     

—应力矩阵，一般其元素是坐标的函数。

3、运用最小势能原理和虚位移建立如下的刚度方程 

       

                             （1—4）

式中一单元结点力列阵；

    一单元等效荷载列阵，与作用在单元上的外荷载有关；

    

一单元刚度矩阵，按下式计算；

            

                        (1—5）

在上述三个方面的工作中，最为核心的工作是建立等效结点荷载列阵和单元刚度矩阵。

四、研究集合所有单元的特性推导整个结构的平衡方程 

这步工作，和结构矩阵分析一样，利用对号入座的直线刚度法集成整个结构的综合等效结点荷载列阵(包括等效荷载和直接结合荷载两部分)和整体刚度矩阵，进而建立构件的整体刚度方程

               

                                  （1-6）

式中

一结构整体刚度矩阵；

     

一结构整体位移列阵；

     

一结构综合等效结点荷载列阵。

 这一步工作的具体细节因程序处理方法和所求解问题的不同而不同，对一些如存在局部坐标与整体坐标转换的问题，还有对于“后处理”法的问题以及存在位移边界条件的引入等问题均有不同的解决方法。 

五、求解方程组和计算输出的结果 

对于线性问题来说，整体刚度方程式就将是一组线性代数方程组，通常是高阶方程组。由于整体刚度矩阵很多特性，如高阶、带状、稀疏和对称，因此在有限单元法的发展过程中，就建立了许多不同的方式存储以及相应的计算方法，利用这些就可以全部解出所有的未知位移。对于非线性问题来说，则要通过一步步的方法，逐渐修改荷载列阵和刚度矩阵，然后再用相应的算法获得解答。

求出位移后，可以进行下一步的计算即计算应力及内力，随后用图形或数表的方式输出整理后的结果，在上述这些基础上再结合具体条件及问题来进行结构的设计。 

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下还可以作出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。 

Claims (1)

1.一种曲线箱梁弯桥的有限单元法，其特征在于：包括如下步骤： 

步骤一、结构的离散化 

所述离散化就是首先将结构用一定的单元形式划分成有限个单元体，然后把单元的指定点设为相邻连接单元的结点，形成单元的集合体，以集合体来代表原结构； 

步骤二、确定位移模式 

离散化工作完成后，合理假设单元中的位移分布，具体做法就是假设单元中任意一点的位移可用一个简单、合理的坐标函数来表示，这个坐标函数就叫做位移函数或位移模式，将多项式作为位移函数，多项式的微积分运算较为简单并且从泰勒级数展开的意义上来说，任意局部光滑函数都可以用多项式来进行逼近，工作的结果就是建立起下面所示的矩阵方程 

{δ}＝[N]{δ_e} 

式中{δ}一单元中任一点的位移列阵； 

[N]一形函数矩阵，其元素是坐标的函数； 

{δ_e}一单元的结点位移列阵； 

步骤三、单元特性分析 

确定了单元位移函数之后，便可以对单元做下面三个方面的工作： 

a、运用几何方程也就是应变-位移关系，将单元中任一点的应变用结点位移表示，即建立了下面的矩阵方程 

{ε}＝[B]{δ_e} 

式中{ε}一单元中任一点的应变列阵； 

[B]—形变矩阵，一般其元素是坐标的函数； 

b、运用物理方程也就是应力-应变关系，推导出单元应力矩阵方程用单元结点表示的 

{σ}＝[D][B]{δ_e}＝[S]{δ_e} 

式中{σ}一单元中任一点的应力列阵; 

[D]一与单元材料有关的弹性矩阵; 

[S]—应力矩阵，一般其元素是坐标的函数； 

c、运用最小势能原理和虚位移建立如下的刚度方程 

{V_e}+{P_ep}＝[K_e]{δ_e} 

式中{V_e}一单元结点力列阵； 

{P_ep}一单元等效荷载列阵，与作用在单元上的外荷载有关； 

[K_e]一单元刚度矩阵，按下式计算； 

步骤四、研究集合所有单元的特性推导整个结构的平衡方程 

利用对号入座的直线刚度法集成整个结构的综合等效结点荷载列阵和整体刚度矩阵，进而建立构件的整体刚度方程 

[K]{Δ}＝{P} 

式中[K]一结构整体刚度矩阵； 

{Δ}一结构整体位移列阵； 

{P}一结构综合等效结点荷载列阵； 

步骤五、求解方程组和计算输出的结果 

求出位移后，可以进行下一步的计算即计算应力及内力，随后用图形或数表的方式输出整理后的结果，在上述这些基础上再结合具体条件及问题来进行结构的设计。