CN103837159A - 一种经纬仪指向修正模型正交化解耦修正方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种经纬仪指向修正模型正交化解耦修正方法，针对经纬仪指向修正模型中各基函数存在强相关性，导致解得系数不能代表各项的真实大小而使模型稳定性欠佳的问题，运用正交化方法对模型进行解耦，消除基函数之间的相关性，从而建立新的正交指向修正模型，并可用原模型系数推算新模型系数。其有益效果在于：可对任意项数的指向修正模型解除其各项之间的耦合，在不减少基函数的前提下使模型更加稳定，并且能够反映各误差项的真实水平，从而使模型的外推成为可能。

Description

一种经纬仪指向修正模型正交化解耦修正方法

技术领域

本发明属于光电测量领域，具体涉及经纬仪指向修正模型的正交化解耦及其修正方法。

背景技术

由于环境参数和设备本身的原因，经纬仪的指向精度中往往包含有较大的系统误差。系统误差由很多因素造成，包括大气折射、望远镜的制造和装配误差、望远镜的重力变形以及因为温度变化引起的变形误差，望远镜的结构因素包括轴系的误差、镜筒的弯沉、叉臂或轭架的变形等等。为实现对整个空域内的高精度测量，目前常用建立指向修正模型的方式来标定系统误差，进而对整个空域的指向误差进行修正。具体说来，一般是根据恒星视位置的计算公式，利用被标校仪器瞄准某一组特定恒星,测出其在地平坐标系中的方位角和俯仰角，然后与恒星在被标校仪器处的理论方位角和俯仰角相比较求出误差，再用最小二乘法进行模型拟合，从而得到整个空域的系统误差。在数学上，就是建立系统误差与方位角和俯仰角的函数关系式：

ΔA＝f_A(A,E)     （1）

ΔE＝f_E(A,E)     （2）

式中，ΔA和ΔE分别为方位和俯仰的系统误差，A和E分别为方位和俯仰的测量值，f_A(A,E)和f_E(A,E)分别表示方位和俯仰误差的模型函数。目前常用的指向修正模型有：基本参数模型、机架模型、球谐函数模型和混合模型等。虽然各模型的意义不同，但本质上都是将已测区域的误差投影到一组基函数（简称“基”）的空间中来进行曲面拟合，从而对未测区域进行误差修正。以基本参数模型为例，基本参数模型表达式为：

f_A(A,E)＝a₀+a₁cosAtanE+a₂sinAtanE+a₃tanE+a₄secE     （3）

f_E(A,E)＝b₀+b₁sinA+b₂cosA+b₃cosE+b₄cotE       （4）

式中，a_i和b_i（i＝0,1,2,3,4）为待估计的系数，等式右边的各个项（不含系数）就是模型的基函数。在用多颗恒星建立联立方程并解出各系数之后，就完成了对整个空域系统误差的标定，进而可以对仪器其它空间或时间的误差进行修正。修正观测位置和理论位置之间残差的标准差即反映了经纬仪指向的修正精度：

e_A＝std{A+ΔA-A_t}     （5）

e_E＝std{E+ΔE-E_t}     （6）

式中，e_A和e_E分别为方位和俯仰的指向精度，A_t和E_t分别为方位和俯仰的理论值，std{·}表示求标准差。

理论上，模型中的各个基函数都有一定的物理或数学意义，其系数代表了该项的影响程度。比如在基本参数模型中，a₀和b₀项对应编码器零点差，a₁和b₁项对应方位轴南北向倾斜误差，a₂和b₂项对应方位轴东西向倾斜误差，a₃项对应方位轴与俯仰轴非正交误差，b₃项对应俯仰方向的椭圆率误差，a₄项对应视场中心与光轴中心偏差，b₄项对应镜筒弯沉误差。而机架模型的基函数则达到了二十多项，包含更多的误差源，故往往有更高的修正精度。与之不同的是，球谐函数模型却是一种纯粹的数学模型，没有明确的物理意义，但涵盖了更多的高阶项，故在数学意义上更加完备。

然而，当前的指向修正模型存在一个严重的问题，即各基函数之间存在强烈的相关性（耦合），导致实际中系数的最小二乘解不能代表其各项的真实大小，从而无法从物理或数学意义上对模型进行分析和外推。一般说来，基函数的项数越多，其相关性就可能越强，模型稳定性就越差。另一方面，恒星的测量总是有噪声的，并且基函数并不完备。因此在强相关和噪声的条件下得到的最小二乘解与各基函数之间无法建立正确的对应关系。而建立模型的初衷正是希望用已知的信息对未知的部分进行预估，希望在环境或参数有变化时能用当前的系数推算变化后的系数。因此，仅利用当前的模型是无法实现该目的的。就算环境或参数变化很小，用当前方法拟合的模型也是极不稳定的。即便有较好的内符合精度，也难以保持较好的外符合精度。

目前，克服这种相关性的普遍做法是，根据精度需求或经验适当减少基函数的项数，以降低各基函数之间的相关性。例如，如果基本参数模型能够满足修正精度要求，那么就尽量不用机架模型或者球谐函数模型，或者从高阶模型中筛选出部分项来进行拟合。然而，这种方法虽可以降低相关性，但依然没有从根本上解除耦合，并且是以损失误差源为代价的，以致基函数更加不完备，使精度受到不可预料的损失。因此，需要一种方法能够在保证基函数完备的前提下，从根本上消除各项的相关性，从而保证模型的稳定性和拓展性。

发明内容

本发明解决的技术问题：克服现有经纬仪指向修正模型的相关性导致拟合系数不能反映各项真实大小的问题，消除模型各项之间的耦合，使拟合系数和基函数之间能真正建立起对应关系，从而使模型能更加稳定，以便实现模型的外推。

本发明是利用正交化方法，对经纬仪指向修正模型的各项进行解耦处理，用解耦之后的基函数生成新的指向修正模型，再对经纬仪的指向进行修正和外推，实现步骤为：

（1）根据待修正设备的结构和环境，选择合适的指向修正模型；

（2）将选择的所述指向修正模型的各基函数进行正交化解耦，得到一组新的正交基函数；所述指向修正模型简称原模型；

（3）用所述新的正交基函数建立新的正交指向修正模型，简称新模型；

（4）用拍星数据或原模型系数对所述新模型系数进行求解；

（5）用所述新模型对待修正设备进行指向修正、误差分量分析或模型外推。

本发明与现有技术相比的有益效果在于：

可对任意项数的指向修正模型解除其各项之间的耦合，在不减少基函数的前提下使模型更加稳定，并且能够反映各误差项的真实水平，从而使模型的外推成为可能。这里用一个实例来进行说明，其中使用的是文献《卫星激光测距望远镜的指向改正》（《天文研究与技术》2011年7月第8卷第3期）中的机架模型，系数共有23个。图1中是原模型各个系数随时间的变化曲线图，可见各条曲线杂乱无章，波动剧烈，毫无规律可言。图2中是用本发明的正交新模型进行修正的系数曲线，可见每条曲线都平整稳定，大部分曲线都在0值附近，只有三四条曲线绝对值稍大，说明主要的误差就来源于这几项，从而使得系数真正体现了各基函数的意义，故可以利用该新模型进行进一步的分析或外推。

附图说明

图1是原机架模型各个系数随时间的变化曲线图；

图2是用本发明的正交新模型进行修正的系数变化曲线图；

图3是本发明具体实施的流程图。

具体实施方式

以下是本发明的具体实施办法。但以下的实施例仅限于解释本发明，本发明的保护范围应包括权利要求的全部内容，而且通过以下实施例对该领域的技术人员即可以实现本发明权利要求的全部内容。

本发明的第一步是根据待修正设备的结构和环境，选择合适的指向修正模型。为了简化过程，这里仍以基本参数模型为例来进行说明，但其它任何模型都可以通过本发明的方法来实现。事实上，由于可以通过本发明来进行解耦，所以指向修正模型的项数越完备越好。项数的增多除了会增加计算量之外，不会对模型的稳定性造成任何影响。第一步中还有一个任务就是确定变量的取值范围。注意到基本参数模型（见（3）和（4）式）中有tanE分量，因此E的取值不能到达π/2，否则会出现无穷大的基函数。事实上，这正与系统的空间结构吻合，即俯仰角不达正顶处。令A和E的取值范围分别为0≤A＜2π，0≤p≤E≤q＜π/2，实际中通常取p＝20·π/180和q＝70·π/180。

第二步是将选择的所述指向修正模型的各基函数进行正交化解耦，得到一组新的正交基函数。这里使用一种最常用的正交化法——施密特正交化法，其公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&phi;}}_0={\mathrm{\&gamma;}}_0\\ {\mathrm{\&phi;}}_i={\mathrm{\&gamma;}}_i-\underset{j=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{<{\mathrm{\&gamma;}}_i,{\mathrm{\&phi;}}_j>}{<{\mathrm{\&phi;}}_j,{\mathrm{\&phi;}}_j>}{\mathrm{\&phi;}}_j\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中，i＝1,2,3,...是基函数的序数，j是递推的临时变量，γ_i是原模型方位上第i个非正交基函数，φ_i是方位上第i个正交化后的基函数，＜...,...＞表示内积。通过该公式，就能够计算出一组非正交基的相应正交基，从而去掉各分量间的相关性。

对于基本参数模型的方位函数f_A(A,E)来说，原模型的非正交基函数为：

γ₀＝1    （8）

γ₁＝cosAtanE     （9）

γ₂＝sinAtanE      （10）

γ₃＝tanE      （11）

γ₄＝secE      （12）

将（8）～（12）式带入（7）式，并进行化简，可得：

φ₀＝1     （13）

φ₁＝cosAtanE＝γ₁     （14）

φ₂＝sinAtanE＝γ₂    （15）

${\mathrm{\&phi;}}_3=\tan E+\frac{{\left[\ln \left(\cos E\right)\right]}_p^q}{q-p}={\mathrm{\&gamma;}}_3+C_1---\left(16\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&phi;}}_4=\sec E+\frac{-{\left[\ln (\sec E+\tan E)\right]}_p^q}{q-p}+\frac{-{[\sec E+C_1\ln (\sec E+\tan E)]}_p^q}{{[\tan E-2C_1\ln \left(\cos E\right)+({C_1}^2-1)E]}_p^q}(\tan E+C_1)\\ ={\mathrm{\&gamma;}}_4+C_2+C_3({\mathrm{\&gamma;}}_3+C_1)\end{array}---\left(17\right)$

式中，表示函数的上下限相减，即

F(E)是E的任意函数，C₁、C₂和C₃是一些正交变换常数：

$C_1=\frac{{\left[\ln \left(\cos E\right)\right]}_p^q}{q-p}---\left(18\right)$

$C_2=\frac{-{\left[\ln (\sec E+\tan E)\right]}_p^q}{q-p}---\left(19\right)$

$C_3=\frac{-{[\sec E+C_1\ln (\sec E+\tan E)]}_p^q}{{[\tan E-2C_1\ln \left(\cos E\right)+({C_1}^2-1)E]}_p^q}---\left(20\right)$

于是，φ_i（i＝0,1,2,3,4）就是基本参数模型中f_A(A,E)的一组正交基。在正交化后，还可以进一步归一化得到规范正交基，即：

${\mathrm{\&zeta;}}_i=\frac{{\mathrm{\&phi;}}_i}{\left|\right|{\mathrm{\&phi;}}_i\left|\right|},i=\mathrm{0,1,2,3,4}---\left(21\right)$

式中，ζ_i是方位上第i个规范正交基函数，||...||表示求范数，即||φ_i||＝＜φ_i,φ_i＞。其具体表达式此处不再列出。

同理，对f_E(A,E)的基函数也可以进行正交化。为了区别方位和俯仰，下面用υ_i、

和ξ_i分别表示f_E(A,E)的非正交基、正交基和规范正交基，从而有：

υ₀＝1     （22）

υ₁＝sinA      （23）

υ₂＝cosA       （24）

υ₃＝cosE      （25）

υ₄＝cotE     （26）

以及

式中，D₁、D₂和D₃是一些正交变换常数：

$D_1=\frac{{-\left[\sin E\right]}_p^q}{q-p}---\left(32\right)$

$D_2=\frac{{-\left[\ln \left(\sin E\right)\right]}_p^q}{q-p}---\left(33\right)$

$D_3=\frac{{-[\ln (\csc E-\cot E)+\cos E+D_1\ln \left(\sin E\right)]}_p^q}{{[\frac{1}{4}\sin 2E+2D_1\sin E+({D_1}^2+\frac{1}{2})E]}_p^q}---\left(34\right)$

于是，f_E(A,E)的一组规范正交基则为：

其具体表达式亦略。

值得指出的是，正交基并不是唯一的，而与正交化时使用非正交基的顺序有关，因此可根据基函数的物理意义调整顺序，得到符合分析需求的正交基。

本发明的第三步是用所述新的正交基函数建立新的正交指向修正模型。显然，新的正交指向修正模型可以写为：

ΔA＝α₀+α₁ζ₁+α₂ζ₂+α₃ζ₃+α₄ζ₄      （36）

ΔE＝β₀+β₁ξ₁+β₂ξ₂+β₃ξ₃+β₄ξ₄    （37）

式中，α_i和β_i（i＝0,1,2,3,4）为待估计的新模型系数。上式也可写为向量形式：

ΔA＝α^Tζ     （38）

ΔE＝β^Tξ     （39）

式中，α＝[α₀,α₁,α₂,α₃,α₄]^T，β＝[β₀,β₁,β₂,β₃,β₄]^T，ζ＝[ζ₀,ζ₁,ζ₂,ζ₃,ζ₄]^T和ξ＝[ξ₀,ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄]^T分别是各系数和基函数堆成的列向量。同理，原模型可以写为：

ΔA＝a^Tγ     （40）

ΔE＝b^Tυ     （41）

式中，a＝[a₀,a₁,a₂,a₃,a₄]^T，b＝[b₀,b₁,b₂,b₃,b₄]^T，γ＝[γ₀,γ₁,γ₂,γ₃,γ₄]^T和υ＝[υ₀,υ₁,υ₂,υ₃,υ₄]^T分别是各系数和基函数堆成的列向量。

第四步是用拍星数据或原模型系数对所述新模型系数进行求解。目前普遍使用的方法是，首先在全天域中选择数十颗恒星进行测量，再将恒星数据代入（36）和（37）式建立方程组，求其最小二乘解即得到各个α_i和β_i（i＝0,1,2,3,4）。其具体公式此处不再详述。另外，除了这种直接求解法之外，有时原模型的系数已经求出，则希望能用原模型系数推算新模型系数，从而减少计算量。实际上，新的正交基是原非正交基的线性变换，例如在上述基本参数模型中有：

ζ＝Cγ     （42）

ξ＝Dυ     （43）

式中，C和D是方位和俯仰正交化的变换矩阵，代入p和q值后可求出（取7位小数）：

$\begin{array}{c}C=\left[\begin{array}{ccccc}\frac{1}{\left|\right|{\mathrm{\&phi;}}_0\left|\right|}& 0& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\left|\right|{\mathrm{\&phi;}}_1\left|\right|}& 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{\left|\right|{\mathrm{\&phi;}}_2\left|\right|}& 0& 0\\ \frac{C_1}{\left|\right|{\mathrm{\&phi;}}_3\left|\right|}& 0& 0& \frac{1}{\left|\right|{\mathrm{\&phi;}}_3\left|\right|}& 0\\ \frac{C_2+C_3{C}_1}{\left|\right|{\mathrm{\&phi;}}_4\left|\right|}& 0& 0& \frac{C_3}{\left|\right|{\mathrm{\&phi;}}_4\left|\right|}& \frac{1}{\left|\right|{\mathrm{\&phi;}}_4\left|\right|}\end{array}\right]\\ \&ap;\left[\begin{array}{ccccc}0.4270575& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0.4590029& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0.4590029& 0& 0\\ -0.7920253& 0& 0& 0.6838666& 0\\ -6.4326735& 0& 0& -7.2224293& 9.3638945\end{array}\right]\end{array}---\left(44\right)$

以及

另一方面，根据（38）～（43）式，有：

a^Tγ＝α^Tζ＝α^TCγ     （46）

b^Tυ＝β^Tξ＝β^TDυ     （47）

从而有：

α＝C^-Ta     （48）

β＝D^-Tb     （49）

式中，C^-T和D^-T分别表示C和D逆矩阵的转置。因此，只需用C^-T和D^-T乘以原模型系数向量，即可得到新模型的系数向量。但是因为要求逆，所以在求逆之前还需要进行以下两个处理以防病态矩阵：

1）修正微量变换常数。C和D中有时会出现非常小（比如小于10^-7）的元素的情况，这是由于在正交化时有些项本应该相互抵消，但由于截断误差而使得这些常数不为0，因此需要人为地将这些常数设0。

2）剔除微量范数项。φ_i和

中也有可能会出现范数非常小的项，这是由于原模型基函数中某些项本就是其它项的线性组合，从而正交化后本应该为0，但同样由于截断误差而表现为一个微量。显然，如果不剔除这些项就会造成病态矩阵，故应该将微量范数项在γ、υ、a和b中对应的元素以及C和D中对应的行和列都予以剔除。

经过以上处理之后，就可以求出C^-T和D^-T，进而用（48）和（49）式计算新模型系数。对于上述基本参数模型来说，可求得：

$C^{-T}=\left[\begin{array}{ccccc}2.3416049& 0& 0& 2.7119477& 3.7003436\\ 0& 2.1786354& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2.1786354& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1.4622736& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0.1067932\end{array}\right]---\left(50\right)$

$D^{-T}=\left[\begin{array}{ccccc}2.3416049& 0& 0& 1.6037235& 2.7119477\\ 0& 1.6557647& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1.6557647& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0.4118587& 1.3602767\\ 0& 0& 0& 0& 0.5365552\end{array}\right]---\left(51\right)$

至此，就已完成了新模型的拟合求解。下一步则可用所述新模型对待修正设备进行指向修正、误差分量分析或模型外推，包括：

1）对其它空域的指向进行修正；

2）用新模型系数对每个分量的大小进行分析，判断系统误差的主要成因，并予以改善；

3）将新模型系数的全天变化趋势与环境参数的变化进行对比，并对其它时间的指向进行推算和修正，等等。

总结起来，整个具体实施过程可归纳为图3所示的流程图。

Claims (5)

1.一种经纬仪指向修正模型正交化解耦修正方法，其特征在于实现步骤如下：

（1）根据待修正设备的结构和环境，选择合适的指向修正模型；

（2）将选择的所述指向修正模型的各基函数进行正交化解耦，得到一组新的正交基函数；所述指向修正模型简称原模型；

（3）用所述新的正交基函数建立新的正交指向修正模型，简称新模型；

（4）用拍星数据或原模型系数对所述新模型系数进行求解；

（5）用所述新模型对待修正设备进行指向修正、误差分量分析或模型外推。

2.根据权利要求1所述的经纬仪指向修正模型正交化解耦修正方法，其特征在于：所述第（2）步中，用函数的正交化法将原模型的各基函数进行正交化解耦，得到新的正交基函数，其中函数的正交化法使用施密特正交化法，公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&phi;}}_0={\mathrm{\&gamma;}}_0\\ {\mathrm{\&phi;}}_i={\mathrm{\&gamma;}}_i-\underset{j=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{<{\mathrm{\&gamma;}}_i,{\mathrm{\&phi;}}_j>}{<{\mathrm{\&phi;}}_j,{\mathrm{\&phi;}}_j>}{\mathrm{\&phi;}}_j\end{array}\right.$

${\mathrm{\&zeta;}}_i=\frac{{\mathrm{\&phi;}}_i}{\left|\right|{\mathrm{\&phi;}}_i\left|\right|}$

式中，i＝1,2,3,...是基函数的序数，j是递推的临时变量，γ_i是原模型方位上第i个非正交基函数，φ_i是方位上第i个正交化后的基函数，ζ_i是方位上第i个规范正交基函数，＜...,...＞表示内积，||...||表示求范数，即||φ_i||＝＜φ_i,φ_i＞；同理计算俯仰上的非正交基函数、正交基函数和规范正交基函数。

3.根据权利要求1所述的经纬仪指向修正模型正交化解耦修正方法，其特征在于：所述第（3）步中，用新的正交基函数建立新的正交指向修正模型，其公式为：

ΔA＝α^Tζ

ΔE＝β^Tξ

式中，ΔA和ΔE分别为待修正设备方位和俯仰上的系统误差，ζ和ξ分别是方位和俯仰上新的正交基函数堆成的列向量，α和β分别是方位和俯仰上待估计的系数堆成的列向量。

4.根据权利要求1所述的经纬仪指向修正模型正交化解耦修正方法，其特征在于：所述第（4）步中，能够利用原模型系数通过线性变换求解新模型系数，其公式为：

α＝C^-Ta

β＝D^-Tb

式中，C和D分别是方位和俯仰上基函数正交化的变换矩阵，C^-T和D^-T分别表示C和D逆矩阵的转置，a和b分别是原模型方位和俯仰上的系数堆成的列向量。

5.根据权利要求1所述的经纬仪指向修正模型正交化解耦修正方法，其特征在于：所述第（5）步中，用所述新模型对待修正设备进行指向修正、误差分量分析或模型外推。

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