CN103821567A - 一种航空发动机高压转子结构动力学设计方法 - Google Patents

Abstract

一种航空发动机高压转子结构动力学设计方法，本发明确定了高压转子模型设计参数与转子振动特性之间的关系，从而为高压转子的动力学设计提供了设计方法和准则，对于发动机高压转子的设计具有重要的指导意义。本发明通过建立高压转子动力学模型与动力学方程，得到无量纲化特征方程；引入当量临界转速，通过当量临界转速确定高压转子系统两阶临界转速范围；通过配置残余不平衡量相位，改变了传统的平衡量配置方法；在设计中根据具体设计目标配置转子极转动惯量与质心转动惯量比；建立了转子支承刚度比的配置准则。本发明改变了传统的设计流程，实现了高压转子结构动力学的主动设计，有助于优化设计流程，缩短设计周期，具有重要的工程价值。

Description

一种航空发动机高压转子结构动力学设计方法

技术领域

本发明涉及航空发动机动力学设计领域，是一种航空发动机高压转子结构动力学的设计方法。

背景技术

航空发动机高压转子由高压压气机、高压涡轮和支承系统构成。一般情况下，将转子设计成刚性转子，而支承带有弹性，且在前支点配置弹支和挤压油膜阻尼器，如GE90和GEnx发动机就采用了这种设计方案。

对于高压转子的设计，目前的研究多聚焦于转子临界转速的配置和振动特性的分析与验证两方面。即要求一阶临界转速（平动模态）在发动机慢车以下，而二阶临界转速（俯仰模态）则在工作转速范围之内。发动机每次运行，都将通过临界转速。因此，需在支承处设计挤压油膜阻尼器，以减小转子通过临界转速时的振动。挤压油膜阻尼器一般配置在高压转子的前支点处。但阻尼器的阻尼效果将受到转子设计参数的影响。

总体上，目前在设计高压转子时，对于转子动力学设计而言尚不充分，例如模型参数如何影响转子的各阶模态，如何配置各支承参数，如何配置和预估转子的临界转速，残余不平衡量对各阶振动的影响以及模型参数对阻尼器效果的影响等方面。

国内外相关专利文献和论文中关于转子系统的转子动力学的内容多集中于转子的模态分析，数值计算与验证及动力学优化设计等。但是其研究背景主要依赖于现有型号和转子。由于没有将转子动力学设计贯穿于转子系统的整个设计阶段，其应用与具体的转子模型时效果突出，所以其拓展性受到一定限制。例如，在公开号为CN103076163A的发明创造中公开了一种轴承—转子系统特性参数的在线测试方法，该方法提出使用测试数据与有限元模型相结合的方法来实现轴承—转子系统的滑动轴承刚度、阻尼系数以及转子偏心量等参数的求解。该方法是对既有模型的模型参数验证，并未涉及到转子的动力学设计。在公开号为CN103471824A的发明创造中公开了一种“一种汽轮机叶轮旋转实验平台及方法”，该发明提供了一种实验平台及方法。该实验平台可改变模型参数，从而改变转子系统的动力学特性，适于进行验证性实验研究。该发明可用于研究支承刚度可支承跨距对转子动力学特性的影响，属于实验验证分析，并没有通过建立转子的动力学模型对转子进行理论分析。

Florjancic,Stefan S.在论文“Rotor design in industrial gas turbines”（ISSN:04021215）介绍了转子设计的几个基本准则以及在稳态和瞬态下转子的强度和动力学要求。对几种现有转子在载荷与转子动力学性能方面的差异进行了比较和讨论。该文工作属于对现有转子模型和结构的分析与总结。并提出及转子结构动力学设计的具体方法。Qingyu Wang在其论文“Modal-basedPatameter Identification and Quality Estimation in Rotordynamics”（UMI Number：3327004）中进行了基于模态的转子参数识别的研究。通过模态与传递函数之间的关系，结合测试数据确定模型参数，并对误差进行的讨论。该文属于对已有模型的模型参数识别与模型验证，没有提出转子的结构动力学设计方法。J.M.Vance在论文“Design for rotordynamic stability ofvertical-shaft energy storage flywheels”（ISBN-10:1563477157,ISBN-13:9781563477157）中提出一种转子动力学稳定性的设计方法，其对象为带飞轮的垂直轴转子系统。其方法是通过一定的方法使用飞轮，从而避免转子系统内摩擦引起的振动失稳。该论文提供了一种有效的避免转子因为内摩擦导致转子失稳的方法，但该方法的应用范围有限。其带有飞轮的结构特征决定了该发明难以应用于航空发动机领域。

发明内容

为了优化航空发动机结构参数与振动特性，本发明提出了一种航空发动机高压转子结构动力学设计方法。

本发明包括以下步骤：

步骤一，建立高压转子动力学模型与动力学方程。

所述高压转子动力学模型采用常规的高压转子动力学模型；通过得到的高压转子动力学模型建立动力学方程：

设转子质心挠度为r，倾角为θ，转子以转速Ω自转时的自由振动微分方程为

$\left[\begin{array}{cc}M& 0\\ 0& I\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{..}{r}\\ \stackrel{..}{\mathrm{\θ}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -{\mathrm{jI}}_p\mathrm{\Ω}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{.}{r}\\ \stackrel{.}{\mathrm{\θ}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}{S}_{b1}+S_{b2}& j(a{S}_{b1}-b{S}_{b2})\\ -j(a{S}_{b1}-{\mathrm{bS}}_{b2})& (a^2{S}_{b1}+b^2{S}_{b2})\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}r\\ \mathrm{\θ}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right\}---\left(1\right)$

方程（1）为高压转子动力学方程，设方程的解为

$\left\{\begin{array}{c}r\\ \mathrm{\θ}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{r}_0\\ {\mathrm{\θ}}_0\end{array}\right\}{e}^{\mathrm{j\ωt}}---\left(2\right)$

其中：r₀为旋转坐标系下转子质心挠度，θ₀为旋转坐标系下转子质心倾角，j为虚数单位，e为欧拉常数，ω为自振频率，t为时间，M为转子质量；I_p为极转动惯量；a为重心距前支点的距离；b为重心距后支点的距离；I为转子绕重心的转动惯量；d为阻尼系数；S_b1为前支点支承刚度，S_b2为后支点支承刚度；L为高压转子动力学模型中两支点间的距离；x_c为质心的位置。

建立无量纲化特征方程，具体是，将式（2）带入式（1），并引入无量纲参数，得到无量纲化特征方程：

${\mathrm{\λ}}^4-\frac{I_p}{I}\frac{\mathrm{\Ω}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}{\mathrm{\λ}}^3-(\frac{{(a/L)}^2(1+S_{b1}/S_{b2})+(1-2a/L)}{(1+S_{b1}/S_{b2})(I/{\mathrm{ML}}^2)}+1){\mathrm{\λ}}^2+\frac{I_p}{I}\frac{\mathrm{\Ω}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}\mathrm{\λ}+\frac{S_{b1}/S_{b2}}{{(1+S_{b1}/S_{b2})}^2(I/{\mathrm{ML}}^2)}=0---\left(3\right)$

所述的无量纲参数包括：转子相对重心位置

转子相对转动惯量转子刚度比

转子相对临界转速其中为转子当量临界转速。

步骤二，确定转子系统转动惯量比

所述转子系统的转动惯量比

为转子系统极转动惯量与质心转动惯量的转动惯量之比，

通过公式（4）得到转子系统转动惯量比

对于高压转子，要求转子具有两阶临界转速，故转子系统转动惯量比

步骤三，确定转子的两阶临界转速范围。

转子设计初期需要确定转子的两阶临界转速范围。通过转子的当量临界转速

确定转子两阶临界转速范围。

通过转子的当量临界转速

确定转子两阶临界转速的范围时，需通过高压转子自由振动特征方程得到转子的两阶临界转速表达式。将（2）式带入（1）式，得到高压转子自由振动特征方程（6）：

$\mathrm{MI}(1-\frac{I_P}{I}\frac{\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\ω}}){\mathrm{\ω}}^4-[M(a^2{S}_{b1}+b^2{S}_{b2})+(S_{b1}+S_{b2})I(1-\frac{I_P}{I}\frac{\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\ω}})]{\mathrm{\ω}}^2+L^2{S}_{b1}{S}_{b2}=0---\left(6\right)$

通过上述高压转子自由振动特征方程（6），得到转子两阶临界转速，该转子两阶临界转速的表达式为：

其中ω₁为一阶自振频率；ω₂为二阶自振频率；

为考虑陀螺力矩后转子绕质心的转动惯量。通过证明数学不等式分别得到ω₁，ω₂和

之间的关系，进而得到两阶临界转速的范围：

转子一阶临界转速范围：

转子二阶临界转速范围：

当 $\frac{(1-I_p/I)I}{{\mathrm{ML}}^2}\&GreaterEqual;\frac{1}{12}$ 时，二阶临界转速 $\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}<{\mathrm{\&omega;}}_2\&le;2\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}};$

当 $\frac{(1-I_p/I)I}{{\mathrm{ML}}^2}<\frac{1}{12}$ 时，二阶临界转速 $2\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}<{\mathrm{\&omega;}}_2\&le;3\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}.$

步骤四，根据转子振动特性设计要求确定支承刚度比。

所述支承刚度比为转子前支点S_b1和后支点S_b2的支承刚度比S_b1/S_b2。当支承刚度比S_b1/S_b2不同时，转子通过一阶临界转速时的振动幅值与二阶临界转速时的振动幅值不同。依据设计要求确定支承刚度比S_b1/S_b2的范围，进而确定支承刚度比S_b1/S_b2。

根据转子振动特性设计要求确定支承刚度比时，需首先确定高压转子动力学模型的含有支承刚度比S_b1/S_b2的无量纲化转子不平衡响应，具体是引入转子的不平衡量，设在转子两端截面上存在不平衡，即第一级压气机的不平衡量半径位置为R₁，不平衡量的质量为Δm₁，不平衡量的相角为β₁；第二级涡轮的不平衡量半径位置为R₂，不平衡量的质量为Δm₂，不平衡量的相角为β₂。

设转子质心挠度为r，转子质心倾角为θ，则转子以转速Ω自转时的动力学方程为：

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}M& 0\\ 0& I\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{r}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -{\mathrm{jI}}_p\mathrm{\&Omega;}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{r}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}d& \mathrm{jad}\\ -\mathrm{jad}& {\mathrm{da}}^2\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{r}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}{S}_{b1}{+S}_{b2}& j({\mathrm{aS}}_{b1}-{\mathrm{bS}}_{b2})\\ -j({\mathrm{aS}}_{b1}-{\mathrm{bS}}_{b2})& (a^2{S}_{b1}+b^2{S}_{b2})\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}r\\ \mathrm{\&theta;}\end{array}\right\}\\ ={\mathrm{\&Omega;}}^2{e}^{\mathrm{j\&Omega;t}}\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;m}}_1{R}_1{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_1}+{\mathrm{\&Delta;m}}_2{R}_2{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_2}\\ {\mathrm{aR}}_1{\mathrm{\&Delta;m}}_1{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_1}-(L-a)R_2\mathrm{\&Delta;}{m}_2{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_2}\end{array}\right\}\end{array}---\left(8\right)$

设解为

$\left\{\begin{array}{c}r\\ \mathrm{\&theta;}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{r}_e\\ {\mathrm{\&theta;}}_e\end{array}\right\}{e}^{j(\mathrm{\&Omega;t}+\mathrm{\&alpha;})}---\left(9\right)$

其中，r_e为旋转坐标系下转子质心挠度，θ_e为旋转坐标系下转子质心倾角，j为虚数单位，e为欧拉常数，ω为自振频率，t为时间。

式（9）带入式（8）得到无量纲化转子不平衡响应

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{r_e}\\ {\mathrm{\&theta;}}_e\end{array}\right\}{e}^{\mathrm{j\&alpha;}}=\left[A\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ a/L& -(1-a/L)\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{f}_{1e}\\ f_{2e}\end{array}\right\}---\left(10\right)$

式（10）中 $\left[A\right]={(\left[\begin{array}{cc}1-\frac{{\mathrm{\&Omega;}}^2}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}& j(\frac{a}{L}-\frac{1}{1+\frac{S_{b1}}{S_{b2}}})\\ -j(\frac{a}{L}-\frac{1}{1+\frac{S_{b1}}{S_{b2}}})& {\left(\frac{a}{L}\right)}^2+\frac{1}{1+\frac{S_{b1}}{S_{b2}}}(1-2\frac{a}{L})+\frac{(I_p-I){\mathrm{\&Omega;}}^2}{{\mathrm{ML}}^2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}\end{array}\right]+j\left[\begin{array}{cc}2\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D& j2\frac{a}{L}\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D\\ -j2\frac{a}{L}\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D& 2{\left(\frac{a}{L}\right)}^2\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D\end{array}\right])}^{-1};$

$\stackrel{\&OverBar;}{r_e}=\frac{r_e}{L};\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}=\sqrt{\frac{S_{b1}+S_{b2}}{M}};D=\frac{d}{2\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}M};f_{1e}=\frac{{\mathrm{\&Omega;}}^2}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}\frac{{\mathrm{\&Delta;m}}_1}{M}\frac{R_1}{L}{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_1};f_{2e}=\frac{{\mathrm{\&Omega;}}^2}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}\frac{{\mathrm{\&Delta;m}}_2}{M}\frac{R_2}{L}{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_2}.$

式（10）为包含支承刚度比S_b1/S_b2转子无量纲化不平衡响应。随着刚度比的增大，转子一阶振动幅值增大，二阶振动幅值减小，故配置支承刚度比需遵循以下原则：

当主要抑制转子通过一阶临界转速时的振动峰值时，S_b1<S_b2，

当主要抑制转子通过二阶临界转速时的振动峰值时，S_b1≥S_b2，

当既要抑制一阶临界峰值同时又要抑制二阶临界峰值时，设置

步骤五，配置残余不平衡量相位。

分别设置式（8）中不平衡量的相对相位为同相位和反相位，即相位角为β₁=β₂，β₁=β₂+π。

压气机和涡轮残余不平衡量的相位反相位时有利于抑制转子一阶幅值，而压气机和涡轮残余不平衡量的相位同相位时有利于抑制转子二阶幅值。

步骤六，检验是否存在参数临界转速。

在检验是否存在参数临界转速时，通过无量纲判别式（11）进行判断：

$G=\frac{I(1+\frac{\mathrm{\&Omega;}}{{\mathrm{\&Omega;}}_g}\frac{I_p}{I})}{{\mathrm{ML}}^2}/\frac{a}{L}(1-\frac{a}{L})---\left(11\right)$

得到判别系数G。

若

即G<0.6或G>1.5时，不会出现参数临界转速，也不会出现转子对不平衡敏感度增大的现象。无需修改或优化转子参数。

若G∈[0.6,1.5]，则此时需要重新修正模型参数，修改所述无量纲判别式（11）中的参数，包括转子极转动惯量与质心转动惯量比或转子相对重心位置

当对转子模型参数进行修正后重复步骤二至步骤五，直至G不在[0.6,1.5]范围内。至此完成高压转子结构动力学的设计。

本发明建立了高压转子动力学模型，该模型包含高压转子所有的结构动力学设计参数，得到了相应的动力学方程。通过引入无量纲参数，得到了无量纲化特征方程。说明了高压转子模型设计参数与转子振动特性之间的关系，从而为高压转子的动力学设计提供了设计方法和准则。

引入当量临界转速，建立了使用当量临界转速确定高压转子系统两阶临界转速范围的方法。当量临界转速由高压转子前、后支承的刚度和转子质量决定。该估算临界转速的方法操作方便，计算简单，且计算的临界转速范围准确。

分析了转子极转动惯量与质心转动惯量之比对转子动力性学特性的影响，指出了转动惯量比对转子的一阶、二阶临界转速影响的具体表现。设计过程中根据具体设计目标配置转子极转动惯量与质心转动惯量比。通过分析高压转子前后支承刚度比对转子振动特性的影响，建立了转子支承刚度的设计准则，取前支点刚度小于后支点刚度，有利于降低转子通过一阶临界转速时的振动峰值；而取前支点刚度大于后支点刚度，有利于降低转子通过二阶临界转速时的振动峰值。设计过程中根据对转子振动的要求配置转子前后支承的支撑刚度比。

由于加工制造误差的影响，实际中的转子必然存在不平衡。转子装配过程中需要对转子的不平衡量进行合理的配置，传统的做法是将不平衡量的相位岔开一定的角度进行安装，如高压压气机盘与高压涡轮盘不平衡量反相位安装。通过分析不平衡量相位配置对转子振动的影响，建立了配置高压转子不平衡量相位的准则。当压气机与涡轮不平衡量反相位安装时，有利于降低转子通过一阶临界转速时的振动峰值，当压气机与涡轮不平衡量同相位安装时，有利于降低转子通过二阶临界转速时的振动峰值。因此实际组装过程当中，应该首先确定，控制转子振动特性的目标，进而选择相应的不平衡量配置方法。该不平衡量配置准则由本发明首次提出，改变了对平衡量配置方法的固有认识，具有很强的创新性与工程意义。

对于高低压对转的双转子发动机，或者当高压转子与静子发生碰摩时，高压转子上存在反进动激振力，该条件下可能出现参数临界转速。出现参数临界转速时，阻尼器将失去阻尼作用，转子的振动将持续增大。因此必须对转子是否存在参数临界转速进行检验，以确保阻尼器能够起到应有的阻尼作用。本发明中首次提出了参数临界转速的概念，并将其应用于实际振动分析与结构设计当中，应用方法简便易行，使用无量纲参数计算简单，因而具有很强的工程应用价值。

本发明提出将以上所述几方面内容贯穿于高压转子结构动力学设计阶段。一方面提出了一系列模型参数设计方法与准则，对于发动机高压转子的设计具有重要的指导意义。同时改变了传统的先设计再计算、验证的设计流程，实现了高压转子结构动力学的主动设计，因而有助于优化设计流程，缩短设计周期，具有重要的工程价值。

附图说明

图1是高压转子结构动力学设计流程图；

图2是高压转子的动力学模型；

图3是高压转子的两阶振型示意图，其中图3a是一阶振型，图3b是二阶振型；

图4是高压转子两阶振型，其中1代表转子一阶振型，2代表转子二阶振型；

图5是高压转子临界转速与转速之间的关系，其中1代表

时高压转子临界转速，2代表

时高压转子临界转速，3代表

时高压转子临界转速，4代表

时高压转子临界转速；

图6是高压转子不同刚度比下幅频特性，其中1代表刚度比0.2时高压转子幅频特性，2代表刚度比0.6时高压转子幅频特性，3代表刚度比1.0时高压转子幅频特性，4代表刚度比1.4时高压转子幅频特性，5代表刚度比1.8时高压转子幅频特性；

图7是高压转子残余不平衡量不同相位下幅频特性，曲线1代表压气机和涡轮残余不平衡的相位反相时的幅频特性曲线；曲线2代表压气机和涡轮残余不平衡的相位同相时的幅频特性曲线；

图8是参数临界参数的裕度。

具体实施方式

本实施例是某双转子实验器的高压转子动力学设计方法。

步骤一，建立高压转子动力学模型与动力学方程。

高压转子模型如图2所示。该模型中，高压轴与盘支承在两个弹性支承中间，前支点处安装有阻尼器。该模型中，转子质量为M；极转动惯量为I_p；重心距前支点的距离为a；重心距后支点的距离为b；转子绕重心的转动惯量为I；阻尼系数为d；两个弹性支承，前支点支承刚度为S_b1，后支点支承刚度为S_b2；两支点间的距离为L；质心的位置为x_c。

首先建立该转子系统的自由振动微分方程。

设转子质心挠度为r，倾角为θ，转子以转速Ω自转时的自由振动微分方程为

$\left[\begin{array}{cc}M& 0\\ 0& I\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{..}{r}\\ \stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -{\mathrm{jI}}_p\mathrm{\&Omega;}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{.}{r}\\ \stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}{S}_{b1}+S_{b2}& j(a{S}_{b1}-b{S}_{b2})\\ -j(a{S}_{b1}-{\mathrm{bS}}_{b2})& (a^2{S}_{b1}+b^2{S}_{b2})\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}r\\ \mathrm{\&theta;}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right\}---\left(1\right)$

方程（1）为高压转子动力学方程，设方程的解为

$\left\{\begin{array}{c}r\\ \mathrm{\&theta;}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{r}_0\\ {\mathrm{\&theta;}}_0\end{array}\right\}{e}^{\mathrm{j\&omega;t}}---\left(2\right)$

其中：r₀为旋转坐标系下转子质心挠度，θ₀为旋转坐标系下转子质心倾角，j为虚数单位，e为欧拉常数，ω为自振频率，t为时间。

将式（2）带入式（1），并引入无量纲参数，得到无量纲化特征方程：

${\mathrm{\&lambda;}}^4-\frac{I_p}{I}\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}{\mathrm{\&lambda;}}^3-(\frac{{(a/L)}^2(1+S_{b1}/S_{b2})+(1-2a/L)}{(1+S_{b1}/S_{b2})(I/{\mathrm{ML}}^2)}+1){\mathrm{\&lambda;}}^2+\frac{I_p}{I}\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}\mathrm{\&lambda;}+\frac{S_{b1}/S_{b2}}{{(1+S_{b1}/S_{b2})}^2(I/{\mathrm{ML}}^2)}=0---\left(3\right)$

所述的无量纲参数包括：转子相对重心位置

转子相对转动惯量

转子刚度比

转子相对临界转速

其中

为转子当量临界转速。

该步骤中所得到的方程为无量纲化特征方程，其特征为：特征方程的系数无量纲化。在实际应用当中，无量纲化方程相同的转子系统不仅在几何上是相似的，动力学特性也是相似的，即模态相同。因此该特征方程使用范围更加广泛。

步骤二，确定转子系统转动惯量比

所述转子系统的转动惯量比

为转子系统极转动惯量与质心转动惯量的转动惯量之比，计算公式为：

由于转动惯量比

直接影响转子动力系统学特性，因此应该确定转动惯量比

对于高压转子，要求转子具有两阶临界转速，应设计转动惯量比

本实施例中，转子极转动惯量和质心转动惯量之比

其中I_p=0.840kg·m²，I=7.313kg·m²。

高压转子设计时，要求转子具有两阶临界转速，一阶临界转速在发动机慢车以下，而二阶临界转速则在工作转速范围之内。但是，当

时，转速频率激振力不会激起二阶临界转速共振，不符合高压转子动力学设计要求。

为证明当

时，转速频率激振力不会激起二阶临界转速共振，不符合高压转子动力学设计要求，本实施例分别选取

为0.2、0.6、1.0、1.2时的动力学特性进行验证。所述验证过程为：

通过转子无量纲特征方程（3）得到转子的振型为：

$r_{0i}=-j\frac{{\mathrm{aS}}_{b1}-{\mathrm{bS}}_{b2}}{S_{b1}+S_{b2}-{\mathrm{M\&omega;}}^2}{\mathrm{\&theta;}}_{0i}=-\mathrm{jL}[\frac{a}{L}-\frac{1}{1+S_{b1}/S_{b2}}]\frac{1}{1-{\mathrm{\&lambda;}}^2}{\mathrm{\&theta;}}_{0i}$ i为振型阶数，i=1、2   (5)

选定不同的极转动惯量和质心转动惯量之比

分别为0.2、0.6、1.0、1.2通过式(3)确定转子的临界转速，通过式（5）确定转子的两阶振型。转子两阶振示意图如图3所示。根据式（5）得到的振型如图4其中1为一阶平动振型，2为二阶俯仰振型。

图5为

分别为0.2、0.6、1.0、1.2时，转子的临界转速与转子工作转速之间的关系。其中

其中，横坐标为转速比

纵坐标为相对临界转速 $\mathrm{\&lambda;}=\frac{\mathrm{\&omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}.$

根据图5，当

转子系统具有二阶临界转速。且

越小，两阶临界转速越靠近。

当时，转速频率激振力不会激起二阶临界转速共振。其中，

时，转子越过一阶临界转速之后，随着转速的增加，二阶自振频率也增加。随着转速的增大，转速会进入二阶临界转速的邻域，但始终无法越过二阶自振频率，此时转子的振动会居高不下。因此，在高压转子设计时，应避免

当

时，高压转子只有一阶临界转速。高压转子设计时，要求转子具有两阶临界转速，因此

不符合高压转子动力学设计要求。

步骤三，确定转子的两阶临界转速范围。

转子设计初期需要确定转子的两阶临界转速范围。本实施例通过转子的当量临界转速

确定转子两阶临界转速范围。所述M为转子质量，Sb1为前支点的支承刚度，Sb2为后支点的支承刚度。

通过转子的当量临界转速

确定转子两阶临界转速的范围时，需通过高压转子自由振动特征方程得到转子的两阶临界转速表达式。将（2）式带入（1）式得到高压转子自由振动特征方程：

$\mathrm{MI}(1-\frac{I_P}{I}\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&omega;}}){\mathrm{\&omega;}}^4-[M(a^2{S}_{b1}+b^2{S}_{b2})+(S_{b1}+S_{b2})I(1-\frac{I_P}{I}\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&omega;}})]{\mathrm{\&omega;}}^2+L^2{S}_{b1}{S}_{b2}=0---\left(6\right)$

通过上述高压转子自由振动特征方程，得到转子两阶临界转速：

其中ω₁为一阶自振频率；ω₂为二阶自振频率；

为考虑陀螺力矩后转子绕质心的转动惯量；

为当量临界转速。通过证明数学不等式分别得到ω₁，ω₂和之间的关系，进而得到两阶临界转速的范围：

转子一阶临界转速范围：

转子二阶临界转速范围：

当 $\frac{(1-I_p/I)I}{{\mathrm{ML}}^2}\&GreaterEqual;\frac{1}{12}$ 时，二阶临界转速 $\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}<{\mathrm{\&omega;}}_2\&le;2\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}};$

当 $\frac{(1-I_p/I)I}{{\mathrm{ML}}^2}<\frac{1}{12}$ 时，二阶临界转速 $2\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}<{\mathrm{\&omega;}}_2\&le;3\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}.$

对于本实施例，转子模型参数如表1所示。

表1转子模型参数

转子质量	质心位置	转子长度	前支承刚度	后支承刚度
					M（Kg）	a（m）	L（m）	Sb1（N/m）1	Sb2（N/m）1
76.157	0.416	0.966	1E6	5E6

确定转子一阶临界转速范围：

即ω₁∈[0280.686]，单位为rad/s。

确定二阶临界转速范围：本实施例中，

因此二阶临界转速，

即ω₁∈[280.686561.372]，单位为rad/s。

步骤四，根据转子振动特性设计要求确定支承刚度比。

所述支承刚度比为转子前支点S_b1和后支点S_b2的支承刚度比S_b1/S_b2。支承刚度比S_b1/S_b2会对转子的振动特性产生影响。具体表现为，支承刚度比S_b1/S_b2不同，转子通过一阶临界转速时的振动幅值与二阶临界转速时的振动幅值不同。依据设计要求确定支承刚度比S_b1/S_b2的范围，进而确定支承刚度比S_b1/S_b2。

根据转子振动特性设计要求确定支承刚度比时需要得到含有支承刚度比S_b1/S_b2的无量纲化转子不平衡响应。

使用图2所示模型，模型参数含义与步骤一中相同。引入转子的不平衡量，设在转子两端截面上存在不平衡，即第一级压气机的不平衡量半径位置为R₁，不平衡量的质量为Δm₁，不平衡量的相角为β₁；第二级涡轮的不平衡量半径位置为R₂，不平衡量的质量为Δm₂，不平衡量的相角为β₂。

设转子质心挠度为r，倾角为θ，则转子以转速Ω自转时的动力学方程为

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}M& 0\\ 0& I\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{r}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -{\mathrm{jI}}_p\mathrm{\&Omega;}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{r}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}d& \mathrm{jad}\\ -\mathrm{jad}& {\mathrm{da}}^2\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{r}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}{S}_{b1}{+S}_{b2}& j({\mathrm{aS}}_{b1}-{\mathrm{bS}}_{b2})\\ -j({\mathrm{aS}}_{b1}-{\mathrm{bS}}_{b2})& (a^2{S}_{b1}+b^2{S}_{b2})\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}r\\ \mathrm{\&theta;}\end{array}\right\}\\ ={\mathrm{\&Omega;}}^2{e}^{\mathrm{j\&Omega;t}}\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;m}}_1{R}_1{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_1}+{\mathrm{\&Delta;m}}_2{R}_2{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_2}\\ {\mathrm{aR}}_1{\mathrm{\&Delta;m}}_1{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_1}-(L-a)R_2\mathrm{\&Delta;}{m}_2{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_2}\end{array}\right\}\end{array}---\left(8\right)$

设解为

$\left\{\begin{array}{c}r\\ \mathrm{\&theta;}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{r}_e\\ {\mathrm{\&theta;}}_e\end{array}\right\}{e}^{j(\mathrm{\&Omega;t}+\mathrm{\&alpha;})}---\left(9\right)$

其中，r_e为旋转坐标系下转子质心挠度，θ_e为旋转坐标系下转子质心倾角，j为虚数单位，e为欧拉常数，ω为自振频率，t为时间。

式（9）带入式（8）得到无量纲化转子不平衡响应

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{r_e}\\ {\mathrm{\&theta;}}_e\end{array}\right\}{e}^{\mathrm{j\&alpha;}}=\left[A\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ a/L& -(1-a/L)\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{f}_{1e}\\ f_{2e}\end{array}\right\}---\left(10\right)$

式（10）中 $\left[A\right]={(\left[\begin{array}{cc}1-\frac{{\mathrm{\&Omega;}}^2}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}& j(\frac{a}{L}-\frac{1}{1+\frac{S_{b1}}{S_{b2}}})\\ -j(\frac{a}{L}-\frac{1}{1+\frac{S_{b1}}{S_{b2}}})& {\left(\frac{a}{L}\right)}^2+\frac{1}{1+\frac{S_{b1}}{S_{b2}}}(1-2\frac{a}{L})+\frac{(I_p-I){\mathrm{\&Omega;}}^2}{{\mathrm{ML}}^2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}\end{array}\right]+j\left[\begin{array}{cc}2\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D& j2\frac{a}{L}\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D\\ -j2\frac{a}{L}\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D& 2{\left(\frac{a}{L}\right)}^2\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D\end{array}\right])}^{-1};$

$\stackrel{\&OverBar;}{r_e}=\frac{r_e}{L};\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}=\sqrt{\frac{S_{b1}+S_{b2}}{M}};D=\frac{d}{2\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}M};f_{1e}=\frac{{\mathrm{\&Omega;}}^2}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}\frac{{\mathrm{\&Delta;m}}_1}{M}\frac{R_1}{L}{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_1};f_{2e}=\frac{{\mathrm{\&Omega;}}^2}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}\frac{{\mathrm{\&Delta;m}}_2}{M}\frac{R_2}{L}{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_2};$

式（10）为包含支承刚度比S_b1/S_b2转子无量纲化不平衡响应。图6为不同刚度比下转子的无量纲化不平衡响应。其中其中D=4%。刚度比刚度比S_b1/S_b2为0.2,0.6,1,1.4,1.8。如图6所示，随着刚度比的增大，转子一阶振动幅值增大，二阶振动幅值减小。

所以配置支承刚度比应遵循以下原则：

当主要抑制转子通过一阶临界转速时的振动峰值时，S_b1<S_b2，

当主要抑制转子通过二阶临界转速时的振动峰值时，S_b1≥S_b2，

当既要抑制一阶临界峰值同时又要抑制二阶临界峰值时，设置

本实施例中，既要抑制一阶临界峰值，同时又要抑制二阶临界峰值。所以设置

取刚度比为0.6。

步骤五，配置残余不平衡量相位。

转子在加工过程中不可能做到绝对的平衡，必然存在不平衡量。在转子组装过程中需要配置残余不平衡量相位。配置准则不同，转子振动特性也不相同。因此需要依据转子的振动特性，确定残余不平衡量相位配置准则。

本实施例中分别设置式（8）中不平衡量的相对相位为同相位和反相位，即相位角为β₁=β₂，β₁=β₂+π。根据式（10）得到转子无量纲化不平衡响应。图6为残余不平衡量不同相位时转子的不平衡响应。图7中曲线1代表压气机和涡轮残余不平衡的相位反相时的幅频特性曲线；曲线2代表压气机和涡轮残余不平衡的相位同相时的幅频特性曲线。

如图7所示。压气机和涡轮残余不平衡量的相位反相时有利于抑制转子一阶幅值，而相位反相时有利于抑制转子二阶幅值。

本实施例中以抑制转子通过二阶临界转速时的振动峰值为目标，所以压气机和涡轮残余不平衡的相位控制遵循同相位原则。

步骤六，检验是否存在参数临界转速。

发动机高低压转子以对转模式工作或者出现高压转子与机匣或与密封产生碰摩时，高压转子上存在反进动激振力。此时高压转子可能存在参数临界转速。当参数临界转速出现时，阻尼器失效，无法起到阻尼效果，振动将持续增大，进而产生故障。因此需要对是否存在参数临界转速进行判断。

在检验是否存在参数临界转速时，通过无量纲判别式（11）进行判断：

$G=\frac{I(1+\frac{\mathrm{\&Omega;}}{{\mathrm{\&Omega;}}_g}\frac{I_p}{I})}{{\mathrm{ML}}^2}/\frac{a}{L}(1-\frac{a}{L})---\left(11\right)$

得到判别系数G。

若

即G<0.6或G>1.5时，不会出现参数临界转速，也不会出现转子对不平衡敏感度增大的现象。无需修改或优化转子参数。

若G∈[0.6,1.5]，则此时需要重新修正模型参数，修改所述无量纲判别式（11）中的参数，包括转子极转动惯量与质心转动惯量比

或转子相对重心位置当对转子模型参数进行修正后重复步骤二至步骤五，直至G不在[0.61.5]范围内。

本实施例中，根据步骤二中表1的参数得到

转子相对重心位置

转子相对转动惯量

根据步骤二所确定的转动惯量比

设计高低压转速分别为Ω=12000转/分，Ω_g为10000转/分，转动方式为对转。所以， $\frac{\mathrm{\&Omega;}}{{\mathrm{\&Omega;}}^g}=1.2.$

将以上参数带入参数临界转速无量纲判别式，得到

$G=\frac{I(1+\frac{\mathrm{\&Omega;}}{{\mathrm{\&Omega;}}_g}\frac{I_p}{I})}{{\mathrm{ML}}^2}/\frac{a}{L}(1-\frac{a}{L})=0.480<0.6.$ 即参数临界转速无量纲判别式所以该结构转子不存在参数临界转速，无需重新设计或优化转子结构参数。

至此，完成本实施例高压转子结构动力学的设计。

所述临界转速无量纲判别式通过以下方式得到：

设作用在压气机和涡轮上的反进动激振力为

$\left\{F_{-1}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{F}_{-1g1}{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_{g1}}\\ F_{-1g2}{e}^{{\mathrm{j\&beta;}}_{g2}}\end{array}\right\}{e}^{-j{\mathrm{\&Omega;}}_{g}t}---\left(12\right)$

式(12)中Ω为转子转速，Ω_g为反进动激振力的频率，F_-1g1和β_g1分别表示作用在压气机上的反进动激振力的幅值和相位，F_-1g2和β_g2分别表示作用在涡轮上的反进动激振力的幅值和相位。

带入方程（11），得到动力学方程：

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}M& 0\\ 0& I\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{r}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -{\mathrm{jI}}_p\mathrm{\&Omega;}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{r}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}d& \mathrm{jad}\\ -\mathrm{jad}& {\mathrm{da}}^2\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{r}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}{S}_{b1}{+S}_{b2}& j({\mathrm{aS}}_{b1}-{\mathrm{bS}}_{b2})\\ -j({\mathrm{aS}}_{b1}-{\mathrm{bS}}_{b2})& (a^2{S}_{b1}+b^2{S}_{b2})\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}r\\ \mathrm{\&theta;}\end{array}\right\}\\ =e^{-j{\mathrm{\&Omega;}}_{g}t}\left\{\begin{array}{c}{F}_{-\lg 1}{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_{g1}}+F_{-\lg 2}{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_{g2}}\\ {\mathrm{aF}}_{-\lg 1}{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_{g1}}-(L-a)F_{-\lg 2}{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_{g2}}\end{array}\right\}\end{array}---\left(13\right)$

设动力学方程（13）的解为

其中，r_g为旋转坐标系下转子质心挠度，θ_g为旋转坐标系下转子质心倾角，j为虚数单位，e为欧拉常数，ω为自振频率，t为时间。

带入方程（13）后得到转子振动响应：

式(15)中：

$\left[B\right]={(\left[\begin{array}{cc}1-\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_g^2}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}& j(\frac{a}{L}-\frac{1}{1+S_{b1}/S_{b2}})\\ -j(\frac{a}{L}-\frac{1}{1+S_{b1}/S_{b2}})& {\left(\frac{a}{L}\right)}^2+\frac{1}{1{+S}_{b1}/S_{b2}}(1-2\frac{a}{L})+\frac{(I_p\mathrm{\&Omega;}/{\mathrm{\&Omega;}}_g+I){\mathrm{\&Omega;}}_g^2}{{\mathrm{ML}}^2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}\end{array}\right.--j\left[\begin{array}{cc}2\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_g}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D& j2\frac{a}{L}\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_g}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D\\ -j2\frac{a}{L}\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_g}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D& 2{\left(\frac{a}{L}\right)}^2\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_g}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D\end{array}\right])}^{-1}$

$\stackrel{\&OverBar;}{r_g}=\frac{r_g}{L};\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}=\sqrt{\frac{S_{b1}+S_{b2}}{M}};D=\frac{d}{2\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}M};f_{1g}{=\frac{F_{-\lg 1}}{(S_{b1}+S_{b2})L}e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_{g1}};f_{2e}={\frac{F_{-\lg 2}}{(S_{b1}+S_{b2})}e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_{g2}}.$

式（15）系数矩阵的行列式为：

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}=\left|\begin{array}{cc}1-\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_g^2}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}-j2\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_g}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D& j(\frac{a}{L}-\frac{1}{1+S_{b1}/S_{b2}})+2\frac{a}{L}\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_g}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D\\ -j(\frac{a}{L}-\frac{1}{1+S_{b1}/S_{b2}})-2\frac{a}{L}\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_g}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D& {\left(\frac{a}{L}\right)}^2+\frac{1}{1+S_{b1}/S_{b2}}(1-2\frac{a}{L})-\frac{(I_p\mathrm{\&Omega;}/{\mathrm{\&Omega;}}_g+I){\mathrm{\&Omega;}}_g^2}{{\mathrm{ML}}^2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}-j2{\left(\frac{a}{L}\right)}^2\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_g}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D\end{array}\right|\\ ={({\left(\frac{a}{L}\right)}^2+\frac{1}{1+\frac{S_{b1}}{S_{b2}}}(1-2\frac{a}{L})-\frac{(I_p\frac{\mathrm{\&Omega;}}{{\mathrm{\&Omega;}}_g}+I){\mathrm{\&Omega;}}_g^2}{{\mathrm{ML}}^2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2})(1-\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_g^2}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2})-(\frac{a}{L}-\frac{1}{1+\frac{S_{b1}}{S_{b2}}})}^2+2\mathrm{jD}\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_g}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}[\frac{-1}{1+\frac{S_{b1}}{S_{b2}}}+{\left(\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_g}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}\right)}^2({\left(\frac{a}{L}\right)}^2+\frac{I_p\frac{\mathrm{\&Omega;}}{{\mathrm{\&Omega;}}_g}+I}{{\mathrm{ML}}^2})]\end{array}\right]---\left(16\right)$

令行列式(16)的虚部为零,得到

$\frac{1}{1+\frac{S_{b1}}{S_{b2}}}={\left(\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_g}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}\right)}^2({\left(\frac{a}{L}\right)}^2+\frac{I(1+\frac{\mathrm{\&Omega;}}{{\mathrm{\&Omega;}}_g}\frac{I_p}{I})}{{\mathrm{ML}}^2})---\left(17\right)$

带入行列式(16)的实部，并令行列式(16)的实部为零，得到

$\frac{I(1+\frac{\mathrm{\&Omega;}}{{\mathrm{\&Omega;}}_g}\frac{I_p}{I})}{{\mathrm{ML}}^2}=\frac{a}{L}(1-\frac{a}{L})---\left(18\right)$

由（18）式得到参数临界转速无量纲判别式

$G=\frac{I(1+\frac{\mathrm{\&Omega;}}{{\mathrm{\&Omega;}}_g}\frac{I_p}{I})}{{\mathrm{ML}}^2}/\frac{a}{L}(1-\frac{a}{L})$

若转子的参数满足式(18)时，即G=1转子振动特征方程行列式(13)的实部和虚部同时为零。此时，转子振动无穷大，阻尼器对转子的反进动临界响应无阻尼效果。将（18）式带入（17）式得到反进动自振频率

$\frac{{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{gp}-}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}=\sqrt{\frac{L}{a}\frac{1}{(1+\frac{S_{b1}}{S_{b2}})}}---\left(19\right)$

称Ω_gp-为反进动参数临界转速。

当G=1时，存在转子的反进动参数临界转速。在参数临界转速处，阻尼器失去阻尼作用，振动无穷大。当G≠1，但G∈[0.6,1)∪(1,1.5]时，转子的振动对不平衡的变化非常敏感，阻尼器仍不能提供有效阻尼。图8为转子临界转速幅值随参数临界转速判别值的变化，如图6所示。因此在设计时应当避免出现以上情况。

所以，当G∈[0.6,1.5]时须修正转子设计。通过修正转子极转动惯量与质心转动惯量比转子相对重心位置来改变参数临界转速判别式（11）的值，直至

此时可保证阻尼器起到阻尼作用。

Claims (1)

1.一种航空发动机高压转子结构动力学设计方法，其特征在于，具体过程是：

步骤一，建立高压转子动力学模型与动力学方程；

所述高压转子动力学模型采用常规的高压转子动力学模型；通过得到的高压转子动力学模型建立动力学方程：

设转子质心挠度为r，倾角为θ，转子以转速Ω自转时的自由振动微分方程为

$\left[\begin{array}{cc}M& 0\\ 0& I\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{..}{r}\\ \stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -{\mathrm{jI}}_p\mathrm{\&Omega;}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{.}{r}\\ \stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}{S}_{b1}+S_{b2}& j(a{S}_{b1}-b{S}_{b2})\\ -j(a{S}_{b1}-{\mathrm{bS}}_{b2})& (a^2{S}_{b1}+b^2{S}_{b2})\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}r\\ \mathrm{\&theta;}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right\}---\left(1\right)$

方程（1）为高压转子动力学方程，设方程的解为

$\left\{\begin{array}{c}r\\ \mathrm{\&theta;}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{r}_0\\ {\mathrm{\&theta;}}_0\end{array}\right\}{e}^{\mathrm{j\&omega;t}}---\left(2\right)$

其中：r₀为旋转坐标系下转子质心挠度，θ₀为旋转坐标系下转子质心倾角，j为虚数单位，e为欧拉常数，ω为自振频率，t为时间，M为转子质量；I_p为极转动惯量；a为重心距前支点的距离；b为重心距后支点的距离；I为转子绕重心的转动惯量；d为阻尼系数；S_b1为前支点支承刚度，S_b2为后支点支承刚度；L为高压转子动力学模型中两支点间的距离；x_c为质心的位置；

建立无量纲化特征方程，具体是，将式（2）带入式（1），并引入无量纲参数，得到无量纲化特征方程：

${\mathrm{\&lambda;}}^4-\frac{I_p}{I}\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}{\mathrm{\&lambda;}}^3-(\frac{{(a/L)}^2(1+S_{b1}/S_{b2})+(1-2a/L)}{(1+S_{b1}/S_{b2})(I/{\mathrm{ML}}^2)}+1){\mathrm{\&lambda;}}^2+\frac{I_p}{I}\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}\mathrm{\&lambda;}+\frac{S_{b1}/S_{b2}}{{(1+S_{b1}/S_{b2})}^2(I/{\mathrm{ML}}^2)}=0---\left(3\right)$

所述的无量纲参数包括：转子相对重心位置

转子相对转动惯量

转子刚度比

转子相对临界转速

其中

为转子当量临界转速；

步骤二，确定转子系统转动惯量比

所述转子系统的转动惯量比为转子系统极转动惯量与质心转动惯量的转动惯量之比，通过公式（4）得到转子系统转动惯量比

对于高压转子，要求转子具有两阶临界转速，故转子系统转动惯量比

步骤三，确定转子的两阶临界转速范围；

转子设计初期需要确定转子的两阶临界转速范围；通过转子的当量临界转速

确定转子两阶临界转速范围；

通过转子的当量临界转速

确定转子两阶临界转速的范围时，需通过高压转子自由振动特征方程得到转子的两阶临界转速表达式；将（2）式带入（1）式，得到高压转子自由振动特征方程（6）：

$\mathrm{MI}(1-\frac{I_P}{I}\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&omega;}}){\mathrm{\&omega;}}^4-[M(a^2{S}_{b1}+b^2{S}_{b2})+(S_{b1}+S_{b2})I(1-\frac{I_P}{I}\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&omega;}})]{\mathrm{\&omega;}}^2+L^2{S}_{b1}{S}_{b2}=0---\left(6\right)$

通过上述高压转子自由振动特征方程（6），得到转子两阶临界转速，该转子两阶临界转速的表达式为：

其中ω₁为一阶自振频率；ω₂为二阶自振频率；

为考虑陀螺力矩后转子绕质心的转动惯量；通过证明数学不等式分别得到ω₁，ω₂和

之间的关系，进而得到两阶临界转速的范围：

转子一阶临界转速范围：

转子二阶临界转速范围：

当 $\frac{(1-I_p/I)I}{{\mathrm{ML}}^2}\&GreaterEqual;\frac{1}{12}$ 时，二阶临界转速 $\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}<{\mathrm{\&omega;}}_2\&le;2\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}};$

当 $\frac{(1-I_p/I)I}{{\mathrm{ML}}^2}<\frac{1}{12}$ 时，二阶临界转速 $2\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}<{\mathrm{\&omega;}}_2\&le;3\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}};$

步骤四，根据转子振动特性设计要求确定支承刚度比；

所述支承刚度比为转子前支点S_b1和后支点S_b2的支承刚度比S_b1/S_b2；当支承刚度比S_b1/S_b2不同时，转子通过一阶临界转速时的振动幅值与二阶临界转速时的振动幅值不同；

依据设计要求确定支承刚度比S_b1/S_b2的范围，进而确定支承刚度比S_b1/S_b2；

根据转子振动特性设计要求确定支承刚度比时，需首先确定高压转子动力学模型的含有支承刚度比S_b1/S_b2的无量纲化转子不平衡响应，具体是引入转子的不平衡量，设在转子两端截面上存在不平衡，即第一级压气机的不平衡量半径位置为R₁，不平衡量的质量为△m₁，不平衡量的相角为β₁；第二级涡轮的不平衡量半径位置为R₂，不平衡量的质量为△m₂，不平衡量的相角为β₂；

设转子质心挠度为r，转子质心倾角为θ，则转子以转速Ω自转时的动力学方程为：

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}M& 0\\ 0& I\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{r}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -{\mathrm{jI}}_p\mathrm{\&Omega;}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{r}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}d& \mathrm{jad}\\ -\mathrm{jad}& {\mathrm{da}}^2\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{r}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}{S}_{b1}{+S}_{b2}& j({\mathrm{aS}}_{b1}-{\mathrm{bS}}_{b2})\\ -j({\mathrm{aS}}_{b1}-{\mathrm{bS}}_{b2})& (a^2{S}_{b1}+b^2{S}_{b2})\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}r\\ \mathrm{\&theta;}\end{array}\right\}\\ ={\mathrm{\&Omega;}}^2{e}^{\mathrm{j\&Omega;t}}\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;m}}_1{R}_1{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_1}+{\mathrm{\&Delta;m}}_2{R}_2{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_2}\\ {\mathrm{aR}}_1{\mathrm{\&Delta;m}}_1{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_1}-(L-a)R_2\mathrm{\&Delta;}{m}_2{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_2}\end{array}\right\}\end{array}---\left(8\right)$

设解为

$\left\{\begin{array}{c}r\\ \mathrm{\&theta;}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{r}_e\\ {\mathrm{\&theta;}}_e\end{array}\right\}{e}^{j(\mathrm{\&Omega;t}+\mathrm{\&alpha;})}---\left(9\right)$

其中，r_e为旋转坐标系下转子质心挠度，θ_e为旋转坐标系下转子质心倾角，j为虚数单位，e为欧拉常数，ω为自振频率，t为时间；

式（9）带入式（8）得到无量纲化转子不平衡响应

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{r_e}\\ {\mathrm{\&theta;}}_e\end{array}\right\}{e}^{\mathrm{j\&alpha;}}=\left[A\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ a/L& -(1-a/L)\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{f}_{1e}\\ f_{2e}\end{array}\right\}---\left(10\right)$

式（10）中 $\left[A\right]={(\left[\begin{array}{cc}1-\frac{{\mathrm{\&Omega;}}^2}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}& j(\frac{a}{L}-\frac{1}{1+\frac{S_{b1}}{S_{b2}}})\\ -j(\frac{a}{L}-\frac{1}{1+\frac{S_{b1}}{S_{b2}}})& {\left(\frac{a}{L}\right)}^2+\frac{1}{1+\frac{S_{b1}}{S_{b2}}}(1-2\frac{a}{L})+\frac{(I_p-I){\mathrm{\&Omega;}}^2}{{\mathrm{ML}}^2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}\end{array}\right]+j\left[\begin{array}{cc}2\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D& j2\frac{a}{L}\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D\\ -j2\frac{a}{L}\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D& 2{\left(\frac{a}{L}\right)}^2\frac{\mathrm{\&Omega;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}D\end{array}\right])}^{-1};$

$\stackrel{\&OverBar;}{r_e}=\frac{r_e}{L};\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}=\sqrt{\frac{S_{b1}+S_{b2}}{M}};D=\frac{d}{2\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}M};f_{1e}=\frac{{\mathrm{\&Omega;}}^2}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}\frac{{\mathrm{\&Delta;m}}_1}{M}\frac{R_1}{L}{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_1};f_{2e}=\frac{{\mathrm{\&Omega;}}^2}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2}\frac{{\mathrm{\&Delta;m}}_2}{M}\frac{R_2}{L}{e}^{j{\mathrm{\&beta;}}_2};$

式（10）为包含支承刚度比S_b1/S_b2转子无量纲化不平衡响应；随着刚度比的增大，转子一阶振动幅值增大，二阶振动幅值减小，故配置支承刚度比需遵循以下原则：

当主要抑制转子通过一阶临界转速时的振动峰值时，S_b1<S_b2，

当主要抑制转子通过二阶临界转速时的振动峰值时，S_b1≥S_b2，

当既要抑制一阶临界峰值同时又要抑制二阶临界峰值时，设置

步骤五，配置残余不平衡量相位；

分别设置式（8）中不平衡量的相对相位为同相位和反相位，即相位角为β₁=β₂，β₁=β₂+π；

压气机和涡轮残余不平衡量的相位反相位时有利于抑制转子一阶幅值，而压气机和涡轮残余不平衡量的相位同相位时有利于抑制转子二阶幅值；

步骤六，检验是否存在参数临界转速；

在检验是否存在参数临界转速时，通过无量纲判别式（11）进行判断：

$G=\frac{I(1+\frac{\mathrm{\&Omega;}}{{\mathrm{\&Omega;}}_g}\frac{I_p}{I})}{{\mathrm{ML}}^2}/\frac{a}{L}(1-\frac{a}{L})---\left(11\right)$

得到判别系数G；

若

即G<0.6或G>1.5时，不会出现参数临界转速，也不会出现转子对不平衡敏感度增大的现象；无需修改或优化转子参数；

若G∈[0.6,1.5]，则此时需要重新修正模型参数，修改所述无量纲判别式（11）中的参数，包括转子极转动惯量与质心转动惯量比

或转子相对重心位置

当对转子模型参数进行修正后重复步骤二至步骤五，直至G不在[0.6,1.5]范围内；至此完成高压转子结构动力学的设计。

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