CN103812818A - 基于非线性压扩函数的ofdm信号峰平比抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于非线性压扩函数的OFDM信号峰平比抑制方法，主要解决现有技术参数选择固定，信号峰平比抑制性能低的问题，其实现步骤为：1)将OFDM调制信号经上采样得到原始OFDM信号；2)选择非线性压扩函数并设置迭代参数初始值；3)用压扩函数对原始OFDM信号进行压扩变换；4)将压扩后的信号变换到频域，进行频域滤波后再变换到时域，得到传输信号，并计算传输信号的峰平比；5)根据迭代参数判断迭代是否结束，若结束，即获得满足系统峰平比PAPR要求的传输信号，否则，继续迭代。本发明能在对系统误码率BER影响很小的情况下显著降低OFDM信号的峰平比，可用于各类新一代宽带OFDM无线通信系统。

Description

基于非线性压扩函数的OFDM信号峰平比抑制方法

技术领域

本发明属于无线通信技术领域，涉及无线正交频分复用OFDM调制传输信号的峰平比PAPR抑制方法，可广泛应用于各类新一代宽带OFDM无线通信系统。

背景技术

正交频分复用OFDM调制是一种多载波调制技术，因为系统内的子载波是正交的，所以能够显著减小系统的码间干扰，与单载波调制相比，其谱效率更高。此外，通过插入保护间隔，OFDM技术可以更好地抵抗多径信道。由于这些优点，OFDM技术已被广泛应用于无线通信系统中。但是，OFDM技术的主要缺点是信号具有高峰平比PAPR特性，当使用非线性功率放大器时，会引起严重的性能恶化。此外，因为高峰平比PAPR信号的动态范围很大，所以要求高分辨率的量化器以减小量化误差，这就要求系统传输更多的比特，并会增加接收机前端的复杂度和功率负荷。

为了降低OFDM信号的峰平比，目前业界提出了许多解决方法，例如信号压扩变换法。目前众多信号压扩变换方法的主要思路是：利用压扩函数对信号进行畸变处理。其中由于非线性压扩函数对信号峰平比抑制的效果较好，因此更受到人们的重视。例如Tao Jiang在“Exponential Companding Technique for PAPR Reduction inOFDM Systems”中提出的一种非线性压扩方法，其基本思想是将原始OFDM信号的幅度分布转化为均匀分布，但是，该方法会使小幅度信号和大幅度信号的分布增大，从而导致峰平比PAPR和误码率BER性能下降，并且该方法参数选择较为固定，不能依据实际信号进行实时的自适应调整。

发明内容

本发明的目的在于针对上述现有技术的不足，提出一种基于非线性压扩函数的OFDM信号峰平比抑制方法，以在系统误码率BER性能影响很小的情况下显著降低OFDM信号的峰平比，增加系统的灵活性，提高系统的整体性能。

实现本发明的基本思想是：将迭代滤波法的迭代思想运用到压扩变换方法中，通过迭代实现信号的峰平比PAPR性能、带外频谱扩展性能及系统误码率BER性能的控制及对参数的实时调整，其技术方案包括如下步骤：

(1)对经过正交频分复用OFDM调制的信号进行上采样，得到原始OFDM信号x_n，其中，n=0,1,…,JN-1，J表示上采样因子，N表示OFDM调制包含的子载波个数，JN表示上采样后OFDM系统包含的子载波个数；

(2)选择指数压扩函数f(x):

$f\left(x\right)=\mathrm{sign}\left(x\right)\sqrt[d]{\mathrm{\γ}[1-\exp (-\frac{{\left|x\right|}^2}{{\mathrm{\σ}}^2})]},$

其中，x表示压扩函数的输入信号，f(x)表示压扩函数的输出信号，d表示指数压扩的度，γ是确定输出信号平均功率的参数，γ>0，σ是输入信号x的标准方差，exp(·)是自然指数函数，sign(·)是符号函数，

是根号运算符，|·|是求模运算符。

(3)令迭代次数m=1，并根据系统要求的峰平比PAPR及系统误码率BER设置最大迭代次数M及衰减因子α，开始迭代过程；

(4)根据设置的α值，按照以下两个公式求解出压扩函数中的指数压扩的度d和参数γ：

$\mathrm{\α}=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^2}\·E[x\·d\sqrt{\mathrm{\γ}(1-\exp (-\frac{x^2}{{\mathrm{\σ}}^2}))}],$

$\mathrm{\γ}={\left(\frac{E\left[{\left|x\right|}^2\right]}{E\left[\sqrt[d]{{[1-\exp (-\frac{{\left|x\right|}^2}{{\mathrm{\σ}}^2})]}^2}\right]}\right)}^{\frac{d}{2}},$

其中E[·]为期望运算符，E[|x|²]表示输入信号x的平均功率；

(5)利用压扩函数f(x)对原始OFDM信号x_n进行压扩变换，得到压扩变换信号y_n：

$y_n=\mathrm{sgn}\left(x_n\right)\sqrt[d]{\mathrm{\γ}[1-\exp (-\frac{{\left|x_n\right|}^2}{{\mathrm{\σ}}^2})]};$

(6)对压扩变换信号y_n进行FFT变换，得到频域信号C_n；

(7)根据频域信号C_n获得传输信号

并计算其峰平比PAPR：

7a)计算优化滤波器的响应函数H_n；

7b)用优化滤波器对频域信号C_n进行滤波，即将频域信号C_n与优化滤波器的响应函数H_n进行点乘，得到滤波后的信号

${\hat{C}}_n=C_n\·H_n,n=\mathrm{0,1},\·\·\·,\mathrm{JN}-1;$

7c)对滤波后的信号

再进行IFFT变换，得到一个新的传输信号

7d)根据峰平比PAPR定义计算传输信号

的峰平比PAPR：

$\mathrm{PAPR}=\frac{\max \left\{{\left|{\hat{y}}_n\right|}^2\right\}}{E\left\{{\left|{\hat{y}}_n\right|}^2\right\}},$

其中，max{·}表示取最大值运算符。

(8)根据峰平比定义计算传输信号的当前峰平比PAPR值，并根据迭代结果输出传输信号：

若m<M，则令迭代次数m=m+1，用传输信号

代替原始OFDM信号x_n，并根据当前峰平比PAPR值设置衰减因子α，返回（4）继续执行；

若m=M，则迭代结束，输出传输信号

本发明由于将限幅滤波法的迭代思想运用到压扩变换方法中，通过迭代实现信号的峰平比PAPR性能与系统误码率BER性能联合优化，并且在优化过程中加入了频域信号的处理，在显著降低OFDM信号峰平比PAPR的同时，又获得良好的系统误码率BER和功率谱密度PSD性能。

附图说明

图1是本发明的流程图；

图2是本发明与现有四种方法的峰平比抑制性能的仿真效果图；

图3是本发明与现有四种方法的频谱性能仿真效果图；

图4是本发明与现有四种方法在加性高斯白噪声信道下的误码率仿真效果图；

图5是本发明与现有四种方法在莱斯衰落信道下的误码率仿真效果图。

具体实施方式

下面将结合附图对本发明的实施例进行详细描述。本实施例以本发明技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方式和具体操作过程，但本发明的保护范围不限于下述实施例。

参照图1，本发明的实现步骤如下：

步骤1：对经过正交频分复用OFDM调制的信号进行上采样，得到原始OFDM信号x_n，其中，n=0,1,…,JN-1，J表示上采样因子，N表示OFDM系统包含的子载波个数，JN表示上采样后OFDM系统包含的子载波个数。

步骤2：选择指数压扩函数f(x)。

根据将输入信号中的大信号缩小而小信号放大的基本思想，选择非线性压扩函数f(x):

$f\left(x\right)=\mathrm{sign}\left(x\right)\sqrt[d]{\mathrm{\&gamma;}[1-\exp (-\frac{{\left|x\right|}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}^2})]},$

其中，x表示压扩函数的输入信号，f(x)表示压扩函数的输出信号，d表示指数压扩的度，γ是确定输出信号平均功率的参数，γ>0，σ是输入信号x的标准方差，exp(·)是自然指数函数，sign(·)是符号函数，是根号运算符，|·|是求模运算符。

步骤3：设置初始值：

令迭代次数m=1，并根据系统要求的峰平比PAPR及系统误码率BER设置最大迭代次数M及衰减因子α，开始进行迭代，本实例分别设置M=2、α=0.990,M=3、α=0.990，M=2、α=0.992以及M=3、α=0.992。

步骤4：根据设置的衰减因子α的值，按照以下公式求解出压扩函数中的指数压扩的度d和参数γ。

4.1）根据衰减因子α的定义，求解出压扩函数中的指数压扩的度d：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&alpha;}=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}{\&Integral;}_0^{\&infin;}\left|x\right|\left|f\left(x\right)\right|f_{\left|x\right|}\left(x\right)d\left|x\right|\\ =\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}({\&Integral;}_0^{\&infin;}x\&CenterDot;\sqrt[d]{\mathrm{\&gamma;}(1-\exp (-\frac{x^2}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}))}\&CenterDot;f_{\left|x\right|}\left(x\right)\mathrm{dx})\\ =\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}\&CenterDot;E[x\&CenterDot;\sqrt[d]{\mathrm{\&gamma;}(1-\exp (-\frac{x^2}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}))}]\end{array},$

其中，f_|x|(x)表示压扩函数输入信号幅度|x|的概率密度函数；α与d的对应关系如表1所示，

表1衰减因子α与压扩函数中参数d的对应值列表

4.2）根据压扩函数的输入信号x与输出信号f(x)的平均功率相等的特性，给出如下等式：

E[|x|²]=E[|f(x)|²]，

由上式可推导出指数压扩函数f(x)中的参数γ，推导过程如下：

$E\left[{\left|x\right|}^2\right]=E\left[{\left|f\left(x\right)\right|}^2\right]$

$\&DoubleRightArrow;{\&Integral;}_0^{\&infin;}{\left|x\right|}^2{f}_{\left|x\right|}\left(x\right)d\left(\right|x\left|\right)={\&Integral;}_0^{\&infin;}{\left(\mathrm{\&gamma;}\right[1-\exp (-\frac{{\left|x\right|}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}^2})\left]\right)}^{\frac{2}{d}}\&CenterDot;f_{\left|x\right|}\left(x\right)d\left(\right|x\left|\right)$

$\&DoubleRightArrow;E\left[{\left|x\right|}^2\right]=\sqrt[d]{{\mathrm{\&gamma;}}^2}{\&Integral;}_0^{\&infin;}\sqrt[d]{{[1-\exp (-\frac{{\left|x_n\right|}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}^2})]}^2}\&CenterDot;f_{\left|x\right|}\left(x\right)d\left(\right|x\left|\right)$

$\&DoubleRightArrow;\mathrm{\&gamma;}={\left(\frac{E\left[{\left|x\right|}^2\right]}{E\left[\sqrt[d]{{[1-\exp (-\frac{{\left|x\right|}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}^2})]}^2}\right]}\right)}^{\frac{d}{2}},$

其中，|x|表示输入信号幅度，|f(x)|表示输出信号幅度，

步骤5：用压扩函数f(x)对原始OFDM信号x_n进行压扩变换，得到压扩变换信号y_n：

$y_n=\mathrm{sign}\left(x_n\right)\sqrt[d]{\mathrm{\&gamma;}[1-\exp (-\frac{{\left|x_n\right|}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}^2})]}.$

步骤6：根据快速傅里叶变换FFT的定义，对压扩变换信号y_n进行JN点FFT变换，得到频域信号C_n。

步骤7：根据频域信号C_n获得传输信号

并计算其峰平比PAPR。

7a)计算优化滤波器的响应函数H_n；

7a1)将误差矢量函数EVM表示为：

$\mathrm{EVM}=\frac{{\left|\right|C^0-{\hat{C}}^{\&prime;}\left|\right|}_2}{{\left|\right|C^0\left|\right|}_2},$

其中，C⁰表示未经过上采样的频域OFDM符号，

表示滤波后的频域信号的带内信号，||·||₂表示矢量的2-范数。

7a2)将优化滤波器的响应函数的求解问题描述为一个优化问题，用误差矢量函数作为优化问题的目标函数，即：

min     $\mathrm{EVM}=\frac{{\left|\right|C^0-{\widehat{C_m}}^{\&prime;}\left|\right|}_2}{{\left|\right|C^0\left|\right|}_2}$

s.t     $\begin{array}{c}{{\hat{C}}_m}^{\&prime;}={C_m}^{\&prime;}\&CenterDot;{\hat{H}}_m\\ {{\hat{C}}_m}^{\&prime;\&prime;}=0\\ {\hat{x}}_{m+1}=\mathrm{IFFT}\left({{\hat{C}}_m}^{\&prime;}\right)\end{array},$

$\frac{{\left|\right|{\hat{x}}_{m+1}\left|\right|}_{\&infin;}}{\frac{1}{\sqrt{\mathrm{JN}}}{\left|\right|{\hat{x}}_{m+1}\left|\right|}_2}\&le;\sqrt{{\mathrm{papr}}_m}$

其中，||·||_∞表示矢量的无穷范数；C_m′表示第m次迭代时滤波前的带内信号，

表示第m次迭代时滤波后的带内信号，

表示第m次迭代时滤波后的带外信号，papr_m表示信号在第m次迭代时经过压扩后的PAPR值，

表示第m次迭代时滤波后的时域信号，

表示第m次迭代时滤波后的时域信号

的无穷范数，表示第m次迭代时滤波后的时域信号的2-范数，表示第m次迭代时优化滤波器的响应函数；

7a3)设噪声矢量为：

$T_m=C^0-{{\hat{C}}_m}^{\&prime;},$

将步骤7a2）中的第m次迭代时滤波后的时域信号

的2-范数

近似为第m次迭代时滤波前的时域信号x_m的2-范数||xm||₂，使步骤7a2）中的优化问题简化为一个凸优化问题，即：

min     $\mathrm{EVM}=\frac{{\left|\right|T_m\left|\right|}_2}{{\left|\right|C^0\left|\right|}_2}$

s.t   t_m+1=IFFT(T_m)

${\left|\right|x^0-t_{m+1}\left|\right|}_{\&infin;}\&le;\frac{\sqrt{\mathrm{pap}{r}_m}}{\sqrt{\mathrm{JN}}}{\left|\right|x_m\left|\right|}_2,$

其中，T_m表示噪声矢量，C⁰表示未经过上采样的频域OFDM符号，t_m+1表示第m+1次迭代时噪声矢量T_m的快速傅里叶逆变换IFFT值，||x_m||₂表示第m次迭代时滤波前的时域信号x_m的2-范数；

7a4)解步骤7a3)中的凸优化问题，得到优化滤波器的响应函数H_n。

7b)用优化滤波器对频域信号C_n进行滤波，即将频域信号C_n与优化滤波器的响应函数H_n进行点乘，得到滤波后的信号

${\hat{C}}_n=C_n\&CenterDot;H_n,n=\mathrm{0,1},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,\mathrm{JN}-1;$

7c)根据快速傅里叶逆变换IFFT的定义，对滤波后的信号

进行JN点IFFT变换，得到传输信号

7d)根据峰平比PAPR定义计算传输信号

的峰平比PAPR：

$\mathrm{PAPR}=\frac{\max \left\{{\left|{\hat{y}}_n\right|}^2\right\}}{E\left\{{\left|{\hat{y}}_n\right|}^2\right\}},$

其中，max{·}表示取最大值运算符。

步骤8：根据峰平比PAPR设置衰减因子α，获得满足系统峰平比PAPR性能要求的传输信号。

8a)如果m<M，则令迭代次数m=m+1，并根据峰平比PAPR的值设置衰减因子α：

若传输信号

的峰平比PAPR大于5dB时，则用传输信号

代替原始OFDM信号x_n，并令α=α-0.01，返回步骤4；

若传输信号

的峰平比PAPR小于等于5dB时，则用传输信号

代替原始OFDM信号x_n，保持不变α，返回步骤4，

8b)如果m=M，即迭代结束，步骤7所得的传输信号

即为满足系统峰平比PAPR性能要求的信号，并输出。

本发明的效果可通过仿真作进一步说明。

1)仿真条件：在正交频分复用OFDM调制中，选择符号数为1000，子载波个数为N=1024，信号星座为正交相移编码QPSK方式；调制系统并未做其它任何信道编码处理。

2)仿真内容与结果：

仿真1，用本发明与现有的限幅滤波方法、μ律压扩方法、指数压扩方法以及分段压扩方法对原始OFDM信号进行压扩变换，其获得的峰平比PAPR性能如图2所示。

仿真2，用本发明与现有的限幅滤波方法、μ律压扩方法、指数压扩方法以及分段压扩方法对原始OFDM信号进行压扩变换，其获得的带外频谱性能如图3所示。

仿真3，在加性高斯白噪声信道下，用本发明与现有的限幅滤波方法、μ律压扩方法、指数压扩方法以及分段压扩方法对原始OFDM信号进行压扩变换，其获得的误码率性能图5所示。

仿真4，在莱斯衰落信道下，用本发明与现有的限幅滤波方法、μ律压扩方法、指数压扩方法以及分段压扩方法对原始OFDM信号进行压扩变换，其获得的误码率性能图5所示。

由图2可见，本发明的峰平比PAPR性能优于μ律压扩方法，而与指数压扩方法、限幅滤波方法和分段压扩方法相比稍微差一些。

由图3可见，本发明可以获得与原始OFDM几乎一样的功率谱密度PSD图，明显优于μ律压扩方法、指数压扩方法与分段压扩方法。

由图4可见，在加性高斯白噪声信道下，本发明的误码率BER性能明显优于μ律压扩方法、指数压扩方法和限幅滤波方法，略优于分段压扩方法。

由图5可见，在莱斯衰落信道下，本发明的误码率BER性能现有的限幅滤波方法、μ律压扩方法、指数压扩方法以及分段压扩方法。

结合图2、图3和图4和图5可见，在加性高斯白噪声信道和莱斯衰落信道下，本发明均可以获得优于μ律压扩方法的峰平比PAPR性能，以及优于其他方法的误码率BER性能，并可以获得几乎与原始OFDM信号一样的频谱性能，整体性能优于现有的限幅滤波方法、μ律压扩方法、指数压扩方法以及分段压扩方法。

Claims (2)

1.一种基于非线性压扩函数的OFDM信号峰平比抑制方法，包括以下步骤：

(1)对经过正交频分复用OFDM调制的信号进行上采样，得到原始OFDM信号x_n，其中，n=0,1,…,JN-1，J表示上采样因子，N表示OFDM调制包含的子载波个数，JN表示上采样后OFDM系统包含的子载波个数；

(2)选择指数压扩函数f(x):

$f\left(x\right)=\mathrm{sign}\left(x\right)\sqrt[d]{\mathrm{\&gamma;}[1-\exp (-\frac{{\left|x\right|}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}^2})]},$

其中，x表示压扩函数的输入信号，f(x)表示压扩函数的输出信号，d表示指数压扩的度，γ是确定输出信号平均功率的参数，γ>0，σ是输入信号x的标准方差，exp(·)是自然指数函数，sign(·)是符号函数，

是根号运算符，|·|是求模运算符。

(3)令迭代次数m=1，并根据系统要求的峰平比PAPR及系统误码率BER设置最大迭代次数M及衰减因子α，开始迭代过程；

(4)根据设置的α值，按照以下两个公式求解出压扩函数中的指数压扩的度d和参数γ：

$\mathrm{\&alpha;}=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}\&CenterDot;E[x\&CenterDot;d\sqrt{\mathrm{\&gamma;}(1-\exp (-\frac{x^2}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}))}],$

$\mathrm{\&gamma;}{=\left(\frac{E\left[{\left|x\right|}^2\right]}{E\left[\sqrt[d]{{[1-\exp (-\frac{{\left|x\right|}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}^2})]}^2}\right]}\right)}^{\frac{d}{2}},$

其中E[·]为期望运算符，E[|x|²]表示输入信号x的平均功率；

(5)利用压扩函数f(x)对原始OFDM信号x_n进行压扩变换，得到压扩变换信号

y_n：

$y_n=\mathrm{sgn}\left(x_n\right)\sqrt[d]{\mathrm{\&gamma;}[1-\exp (-\frac{{\left|x_n\right|}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}^2})]};$

(6)对压扩变换信号y_n进行FFT变换，得到频域信号C_n；

(7)根据频域信号C_n获得传输信号

并计算其峰平比PAPR：

7a)计算优化滤波器的响应函数H_n；

7b)用优化滤波器对频域信号C_n进行滤波，即将频域信号C_n与优化滤波器的响应函数H_n进行点乘，得到滤波后的信号

${\hat{C}}_n=C_n\&CenterDot;H_n,n=\mathrm{0,1},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,\mathrm{JN}-1;$

7c)对滤波后的信号

再进行IFFT变换，得到一个新的传输信号

7d)根据峰平比PAPR定义计算传输信号

的峰平比PAPR：

$\mathrm{PAPR}=\frac{\max \left\{{\left|{\hat{y}}_n\right|}^2\right\}}{E\left\{{\left|{\hat{y}}_n\right|}^2\right\}},$

其中，max{·}表示取最大值运算符。

(8)根据峰平比定义计算传输信号

的当前峰平比PAPR值，并根据迭代结果

输出传输信号：

若m<M，则令迭代次数m=m+1，用传输信号

代替原始OFDM信号x_n，并根据当前峰平比PAPR值设置衰减因子α，返回（4）继续执行；

若m=M，则迭代结束，输出传输信号

2.根据权利要求1所述的正交频分复用OFDM信号的峰平比抑制方法，其中步骤（7a)所述的计算优化滤波器的响应函数H_n，按如下步骤进行：

（7a1)将误差矢量函数EVM表示为：

$\mathrm{EVM}=\frac{{\left|\right|C^0-{\hat{C}}^{\&prime;}\left|\right|}_2}{{\left|\right|C^0\left|\right|}_2},$

其中，C⁰表示未经过上采样的频域OFDM符号，

表示滤波后的频域信号的带内信号，||·||₂表示矢量的2-范数。

7a2)将优化滤波器的响应函数的求解问题描述为一个优化问题，用误差矢量函数作为优化问题的目标函数，即：

min       $\mathrm{EVM}=\frac{{\left|\right|C^0-{\hat{C}}^{\&prime;}\left|\right|}_2}{{\left|\right|C^0\left|\right|}_2}$

s.t      $\begin{array}{c}{{\hat{C}}_m}^{\&prime;}={C_m}^{\&prime;}\&CenterDot;{\hat{H}}_m\\ {{\hat{C}}_m}^{\&prime;\&prime;}=0\\ {\hat{x}}_{m+1}=\mathrm{IFFT}\left({{\hat{C}}_m}^{\&prime;}\right)\end{array},$

$\frac{{\left|\right|{\hat{x}}_{m+1}\left|\right|}_{\&infin;}}{\frac{1}{\sqrt{\mathrm{JN}}}{\left|\right|{\hat{x}}_{m+1}\left|\right|}_2}\&le;\sqrt{{\mathrm{papr}}_m}$

其中，||·||∞表示矢量的无穷范数；C_m′表示第m次迭代时滤波前的带内信号，

表示第m次迭代时滤波后的带内信号，

表示第m次迭代时滤波后的带外信号，papr_m表示信号在第m次迭代时经过压扩后的PAPR值，

表示第m次迭代时滤波后的时域信号，

表示第m次迭代时滤波后的时域信号的无穷范数，表示第m次迭代时滤波后的时域信号

的2-范数，表示第m次迭代时优化滤波器的响应函数；

7a3)设噪声矢量为：

$T_m=C^0-{{\hat{C}}_m}^{\&prime;},$

将步骤7a2）中的第m次迭代时滤波后的时域信号

的2-范数

近似为第m次迭代时滤波前的时域信号x_m的2-范数||x_m||₂，使步骤7a2）中的优化问题简化为一个凸优化问题，即：

min    $\mathrm{EVM}=\frac{{\left|\right|T_m\left|\right|}_2}{{\left|\right|C^0\left|\right|}_2}$

s.t    t_m+1=IFFT(T_m)，

${\left|\right|x^0-t_{m+1}\left|\right|}_{\&infin;}\&le;\frac{\sqrt{\mathrm{pap}{r}_m}}{\sqrt{\mathrm{JN}}}{\left|\right|x_m\left|\right|}_2$

其中，T_m表示噪声矢量，C⁰表示未经过上采样的频域OFDM符号，t_m+1表示第m+1次迭代时噪声矢量T_m的快速傅里叶逆变换IFFT值，||x_m||₂表示第m次迭代时滤波前的时域信号x_m的2-范数；

7a4)解步骤7a3)中的凸优化问题，得到优化滤波器的响应函数H_n。

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