CN103809020A - 互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法。该方法采集能观性最强的母线的电压相角信号，并对该信号进行预处理以预处理后电压相角信号对ARMA模型进行辨识，得到ARMA模型的参数以及参数的协方差，然后利用ARMA模型参数以特征方程的对应关系求解特征方程的特征值，然后计算得到该低频振荡模式的频率与阻尼估计值的联合置信区间。本发明的确定方法减少了计算量，且通过预处理能有效提升了估计出了各个低频振荡模式的频率和阻尼估计值的置信区间的较准确性，从而为评价辨识结果的准确性提供重要指标。

Description

互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法

技术领域

本发明涉及智能电网领域，特别涉及一种互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法。

背景技术

大电网之间的互联是世界各国电网发展的共同经验。为了实现如大范围的资源优化配置以减少备用容量等效益，区域电网互联形成大规模的互联电力系统已成为世界电力工业的发展趋势。然而，大电网的互联使得低频振荡事故频发，限制了互联电网间的能量传输。传统的对于电力系统中低频振荡的分析方法基于电力系统模型，通过计算对应于系统中低频振荡模式的特征根来得到各个低频振荡模式的频率、阻尼等信息。

这类分析方法随着非线性电力系统规模的不断扩大日益显示出其局限性：

①电力系统的实质是非线性，它具有许多非线性环节；

②电力系统中存在多种扰动；

③低频振荡涉及多台发电机，因此分析低频振荡所涉及的系统模型需要考虑许多环节（诸如励磁系统等），这使得模型十分复杂。因此迫切需要能符合大电网实际运行条件的新方法。

近年来，基于WAMS的辨识方法在估计低频振荡频率和阻尼方面取得了较大的成功。根据实测数据可以利用辨识方法辨识出系统在稳态运行点处的线性模型并利用特征值分析（eigen-analysis）估计出系统中某个或多个低频振荡模式。美国的一些学者已经将基于暂态数据（ring-down data）的Prony方法发展成能够处理类噪声数据（ambient data）的预测误差方法（PredictionError Method，PEM）。然而，电力系统中存在的噪声会影响到低频振荡模式估计的准确性。在如文献（M.G.Anderson,N.Zhou,J.W.Pierre,R.W.Wies,Bootstrap-based confidence interval estimates for electromechanical modes frommultiple output analysis of measured ambient data,IEEE Transactions on PowerSystems,vol.20,no.2,pp.943-950,2005）等诸多文献中，学者们利用bootstrap等Monte-Carlo方法可以确定估计结果的不确定性，但计算量较大。本专利中描述的新方法采用特征方程灵敏度分析和多元统计理论，直接根据辨识的结果估计出辨识结果的误差边界。新方法的优点不仅在于减少了计算量更在于较准确的估计出了低频振荡模式的频率和阻尼估计值的联合置信区间，从而为评价辨识结果的准确性提供重要指标。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提供了一种互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法。

一种互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法，包括如下步骤：

（1）确定需要估计的低频振荡模式，计算该低频振荡模式在每条母线电压相角上的能观性，并确定能观性最强的母线；

（2）采集能观性最强的母线的电压相角信号，并对所述的电压相角信号进行预处理，得到预处理后的电压相角信号；

（3）利用预处理后的电压相角信号对ARMA模型进行极大似然估计，得到模型参数以及模型参数的协方差；

（4）根据所述的模型参数以及模型参数的协方差，确定所述ARMA模型的特征方程系数的估计值的均值和特征方程系数的协方差；

（5）根据步骤（4）的结果，计算得到所述低频振荡模式的离散特征值的实部的估计值

与虚部的估计值

的二元正态分布；

（6）根据步骤（5）的结果，分别对所述低频振荡频率与离散特征值的实部与虚部的函数和阻尼与离散特征值的实部与虚部的函数进行线性化处理得到Jacob矩阵，再根据Jacob矩阵确定所述低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的二元正态分布；

（7）根据步骤（6）的结果，确定该低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的置信椭圆，并根据得到的置信椭圆确定该低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的联合置信区间。

所述步骤（6）中根据步骤（5）中得到的低频振荡模式的离散特征值的实部的估计值

与虚部的估计值

的二元正态分布分别确定低频振荡模式的频率和阻尼估计值的均值和协方差矩阵，进而得到所述低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的二元正态分布。

所述步骤（7）中根据置信椭圆分别找出椭圆上该低频振荡模式的频率和阻尼的最大值和最小值，从而确定该低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的联合置信区间。

本发明的互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法中以能观性最强的母线的电压相角信号作为系统输出，利用该电压相角信号对ARMA模型进行极大似然估计，得到ARMA模型的参数以及参数的协方差，利用极大似然估计结果得到该低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的二元正态分布，进一步确定该低频振荡模式频率与阻尼估计值的联合置信区间。

为提高ARMA模型的估计精度，使得到的联合置信区间的准确性更高，本发明还对采集到的能观性最强的母线的电压相角信号进行预处理，滤去高频和直流信号的干扰，以预处理后的信号为系统输出。

所述的ARMA模型为：

$y^{*}\left(k\right)=-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{y}^{*}(k-1)+\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\mathrm{\ϵ}(k-1)+\mathrm{\ϵ}\left(k\right),$

其中，y^*(k)为第k时刻ARMA模型的输出值，a₁，a₂……a_n，b₁，b₂……b_n称为ARMA模型的模型参数，ε(k)为第k时刻系统的残差（residual），n为ARMA模型的阶数。

该低频振荡模式对应的特征方程为：

a_nzⁿ+a_(n-1)z^n-1+…+a₁z+1＝0，

其中[a₁，a₂……a_n]称为特征方程系数，[a₁，a₂……a_n]中的a₁，a₂……a_n与ARMA模型的模型参数中的a₁，a₂……a_n相同。

通过极大似然估计得到的ARMA模型的模型参数

为：

${\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_N={\left[\begin{array}{cccccc}{\hat{a}}_1& ...& {\hat{a}}_n& {\hat{b}}_1& ...& {\hat{b}}_m\end{array}\right]}^T,$

其中，

中的各项分别为[a₁，a₂……a_n]中相应项的估计值。模型参数的协方差

的计算方法如文献（L.Dosiek and J.W.Pierre,An Improved Bootstrap Method for Electromechanical Mode Estimation UsingMultivariate Probability Distributions,IEEE Power and Energy Society Generalmeeting,2011.）中记载。 ${\left[\begin{array}{cccccc}{\hat{a}}_1& ...& {\hat{a}}_n& {\hat{b}}_1& ...& {\hat{b}}_m\end{array}\right]}^T$ 表示 $\left[\begin{array}{cccccc}{\hat{a}}_1& ...& {\hat{a}}_n& {\hat{b}}_1& ...& {\hat{b}}_m\end{array}\right]$ 的转置矩阵，本发明中得到模型参数

模型为（m+n）×1阶矩阵。

本发明中确定特征方程系数的估计值的协方差为一个n×n的矩阵

其中第i行、第j列的元素

为

中的第i行、第j列的元素

即 $\mathrm{Cov}\left[{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{Na}}\right]=\mathrm{Cov}{\left[{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_N\right]}_{\mathrm{ij}},i,j=1,...,n,$ 可认为特征方程系数的估计值的协方差

为模型参数的协方差

的一部分。

所述步骤（2）利用同步相量测量装置（Phasor Measurement Unit，PMU）采集能观性最强的母线的电压相角信号。

同步相量测量装置（Phasor Measurement Unit，PMU）是用于进行同步相量的测量和输出以及动态记录的装置，其采样频率通常为20～30sample/sec。它的核心特征包括基于标准始终信号的同步相量测量、失去标准时钟信号的守时能力、PMU与主站之间能够实时通信并遵循有关通信协议。本专利中利用PMU采集能观性最强的母线的电压相角信息。

所述步骤（2）中的预处理过程如下：

（2-1）将所述的电压相角信号通过截止频率为2～2.5Hz的低通滤波器，得到滤波后的电压相角信号；

（2-2）将滤波后的信号通过截止频率为0.1Hz的高通滤波器，得到隔直后的电压相角信号；

（2-3）设定目标频率，对隔直后的信号进行分频处理将隔直后的信号的频率降低为目标频率，即得到预处理后的电压相角信号。

低频振荡模式的频率通常集中在0.2～0.7Hz，预处理过程中采用截止频率为2～2.5Hz的低通滤波器的目的在于过滤或降低信号中存在的高频段中噪声以及其他振荡模式成分的振幅；采用频率为0.1Hz的高通滤波器。

所述目标频率为4～6Hz。这主要是出于对估计结果准确性的考虑。一方面，根据香农采样定理，用于估计低频振荡模式频率和阻尼的信号不能过低，须为其中最高信号频率的2倍以上。另一方面，用于低频振荡模式频率和阻尼的信号也不能过高，过高的目标频率会影响到估计的准确性。

所述步骤（5）包括：

（5-1）将特征方程系数的估计值的均值代入特征方程得到方程：

${\hat{a}}_{n_0}{z}^n+{\hat{a}}_{{(n-1)}_0}{z}^{n-1}+...+{\hat{a}}_{1_0}z+1=0,$

并计算该方程的特征值z_pi，i为特征值的编号，i=1，2，……n，并根据所述低频振荡模式的频率确定第k个特征值z_pk为该模式对应的离散特征值，其中

分别为特征方程系数的估计值的均值 $\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}{\mathrm{Na}}_0={\left[\begin{array}{ccc}{\hat{a}}_{1_0}& ...& {\hat{a}}_{n_0}\end{array}\right]}^T$ 中的各项；

（5-2）根据步骤（5-1）得到的方程，计算得到的低频振荡模式的离散特征根的实部z_x和虚部z_y；

（5-3）对步骤（5-1）得到的方程进行灵敏度分析，得到低频振荡模式的离散特征值的变化和该方程系数变化量之间的关系，并根据该关系计算得到所述低频振荡模式的离散特征值的实部z_x和虚部z_y的协方差矩阵：

$\mathrm{cov}({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y)=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left\{Z\right\}\mathrm{cov}\left\{{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{Na}}\right\}\mathrm{Re}{\left\{Z\right\}}^T& \mathrm{Re}\left\{Z\right\}\mathrm{cov}\left\{{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{Na}}\right\}\mathrm{Im}{\left\{Z\right\}}^T\\ \mathrm{Re}\left\{Z\right\}\mathrm{cov}\left\{{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{Na}}\right\}\mathrm{Im}{\left\{Z\right\}}^T& \mathrm{Im}\left\{Z\right\}\mathrm{cov}\left\{{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{Na}}\right\}\mathrm{Im}{\left\{Z\right\}}^T\end{array}\right]$

其中， $Z=\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}-\underset{\underset{l\≠k}{l=1}}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}{(z_{\mathrm{pk}}-z_{\mathrm{pl}})}^{-1}\left[\begin{array}{cccc}{z_{\mathrm{pk}}}^n& {z_{\mathrm{pk}}}^{n-1}& ...& z_{\mathrm{pk}}\end{array}\right];$

（5-4）以离散特征根的实部z_x和虚部z_y为均值，以协方差矩阵

为协方差矩阵得到低频振荡模式的离散特征值的实部的估计值

与虚部的估计值

的二元正态分布：

$\left[\begin{array}{c}{\hat{z}}_x\\ {\hat{z}}_y\end{array}\right]~N\left(\left[\begin{array}{c}{z}_x\\ z_y\end{array}\right],\mathrm{cov},({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y)\right).$

步骤（5-1）中方程的特征值有多个，我们可以根据该低频振荡模式频率的参考值在这多个特征值中找出与之频率最接近的特征值作为该低频振荡模式的离散特征值。所选低频振荡模式频率的参考值可以根据文献（RezaJalayer and Boon-TeckOoi,Estimation of Electromechanical Modes of PowerSystems by Transfer Function and Eigen function Analysis,IEEE Transactionson Power Systems,vol.28(1):181-189,2013.）中所述利用已知的电力系统中参数构建线性模型，通过求解系统矩阵的特征值，求得所选低频振荡模式频率的参考值。

所述低频振荡模式的频率与离散特征值的实部与虚部的函数

如下：

$g_1({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y)=\frac{F_s\arctan \frac{{\hat{z}}_y}{{\hat{z}}_x}}{2\mathrm{\π}},$

F_s为设定的目标频率。

所述低频振荡模式的阻尼与离散特征值的实部与虚部的函数

如下：

$g_2({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y)=-\frac{\mathrm{In}({{\hat{z}}_x}^2+{{\hat{z}}_y}^2)}{\sqrt{{\mathrm{In}}^2({{\hat{z}}_x}^2+{{\hat{z}}_y}^2)+4{\left(\arctan \frac{{\hat{z}}_y}{{\hat{z}}_x}\right)}^2}}.$

分别将函数

和函数

进行一阶Taylor（泰勒）展开，由此得到函数和函数

的线性化后函数关系，即得到函数

和函数的Jacob矩阵，进而求得所述低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的二元正态分布。

所述低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的二元正态分布为：

$\left[\begin{array}{c}{\hat{f}}_n\\ {\widehat{\mathrm{\ξ}}}_n\end{array}\right]~N\left(\left[\begin{array}{c}{f}_0\\ {\mathrm{\ξ}}_0\end{array}\right],\mathrm{Jcov},({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y),J^T\right),$

其中，

为所述低频振荡模式的频率估计值，

为所述低频振荡模式的阻尼的估计值，J为Jacob矩阵，f₀为低频振荡模式的频率估计值的均值，ζ₀为低频振荡模式的阻尼的估计值的均值，

$f_0=\frac{F_s\arctan \frac{z_y}{z_x}}{2\mathrm{\π}},$

${\mathrm{\ξ}}_0=-\frac{\mathrm{In}({z_x}^2+{z_y}^2)}{\sqrt{{\mathrm{In}}^2({z_x}^2+{z_y}^2)+4{\left(\arctan \frac{z_y}{z_x}\right)}^2}}.$

本发明得到的置信椭圆的表达式如下：

$\left(\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}{\hat{f}}_n& {\widehat{\mathrm{\ξ}}}_n\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{f}_0& {\mathrm{\ξ}}_0\end{array}\right]\end{array}\right)\mathrm{cov}({\hat{f}}_n,{\widehat{\mathrm{\ξ}}}_n){\left(\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}{\hat{f}}_0& {\widehat{\mathrm{\ξ}}}_0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{f}_0& {\mathrm{\ξ}}_0\end{array}\right]\end{array}\right)}^T\≤{\mathrm{\χ}}_2^2\left(t\right),$

t为置信度，一般为0.98或0.95，根据需要设定。

根据得到的置信椭圆分别找出椭圆上该低频振荡模式的频率和阻尼的最大值和最小值，即确定了该低频振荡模式的频率的置信区间及其阻尼估计值的置信区间。

与现有设定互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法比较，本发明具有以下优点：

不仅减少了计算量更在于较准确的估计出了各个低频振荡模式的频率和阻尼估计值的置信区间，从而为评价辨识结果的准确性提供重要指标。

附图说明

图1为本实施例的四机系统的单线图；

图2为互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法；

图3为采用本发明的方法的得到的置信椭圆。

具体实施方式

下面将结合具体实施方式对本发明进行详细说明。

本实施例的利用该互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法的应用于对四机系统（Four-machine System），如图1所示，该四机系统中有4台发电机和13条母线组成，分别为发电机G₁、发电机G₂、发电机G₃和发电机G₄，13条母线分别为母线1、母线2、母线3、母线4、母线10、母线11、母线12、母线13、母线14、母线20、母线101、母线110以及母线120。整个系统可以被划分为两个区域，以发电机G₁和发电机G₂所在的区域为1区，以发电机G₃和发电机G₄所在的区域为2区。该四机系统中存在三个低频振荡模式，分别为发电机G₁与发电机G₂之间的局部振荡模式（Local Mode）、发电机G₃与发电机G₄之间的局部振荡模式以及G₁G₂与G₃G₄之间的区间振荡模式（Inter-area Mode）。其中，G₁G₂与G₃G₄之间的区间振荡模式的频率的理论值为0.6486Hz，阻尼理论值为3.08%。该四机系统受到母线4上有功负荷的变化扰动。本实施例的互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法基于仿真软件为PSAT和PST实现。

一种互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法，如图2所示，包括如下步骤：

（1）选定需要估计的低频振荡模式，计算该低频振荡模式在每条母线电压相角上的能观性，并确定能观性最强的母线。

本实施例中选定G₁G₂与G₃G₄之间的区间振荡模式为需要估计的低频振荡模式，并根据G₁G₂与G₃G₄之间的区间振荡模式的能观性矩阵，确定得到母线101为能观性最强的母线。

利用设置在母线101处的PMU测得的母线电压相角作为辨识的ARMA模型的单输入。确定的采样频率F_s＝5Hz。

（2）利用PMU采集母线101的电压相角信号，并对该电压相角信号进行预处理，得到预处理后的电压相角信号。PMU采集母线101的电压相角信号前需要PMU设置在母线101上，PMU的采样频率为20Hz。经过预处理后的电压相角信号作为辨识的ARMA模型的单输出。

通过以下步骤对采集到的电压相角信号进行预处理：

（2-1）将采集到的电压相角信号通过截止频率为2～2.5Hz的低通滤波器，得到滤波后的电压相角信号；

（2-2）将滤波后的信号通过截止频率为0.1Hz的高通滤波器，得到隔直后的电压相角信号；

（2-3）设定目标频率，对隔直后的信号进行分频处理将隔直后的信号的频率降低为目标频率，即得到预处理后的电压相角信号。

（3）利用预处理后的电压相角信号对ARMA模型进行极大似然估计，得到模型参数以及模型参数的协方差。

ARMA模型为：

$y^{*}\left(k\right)=-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{y}^{*}(k-1)+\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i\mathrm{\ϵ}(k-1)+\mathrm{\ϵ}\left(k\right),$

其中，y^*(k)为第k时刻系统输出值，a₁，a₂……a_n，b₁，b₂……b_n称为ARMA模型的模型参数，ε(k)为第k时刻系统的残差（residual）。

G₁G₂与G₃G₄之间的区间振荡模式的特征方程为：

a_nzⁿ+a_(n-1)z^n-1+…+a₁z+1＝0，

其中[a₁，a₂……a_n]称为特征方程系数，[a₁，a₂……a_n]中的a₁，a₂……a_n与ARMA模型的模型参数中的a₁，a₂……a_n相同。

利用预处理后的电压相角信号，即令特征方程中的y^*(k)等于预处理后的电压相角信号，通过极大似然估计得到的ARMA模型的模型参数

为：

${\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_N={\left[\begin{array}{cccccc}{\hat{a}}_1& ...& {\hat{a}}_n& {\hat{b}}_1& ...& {\hat{b}}_m\end{array}\right]}^T,$

其中，为[a₁，a₂……a_n]，即中的各项分别为[a₁，a₂……a_n]中相应项的估计值。 ${\left[\begin{array}{cccccc}{\hat{a}}_1& ...& {\hat{a}}_n& {\hat{b}}_1& ...& {\hat{b}}_m\end{array}\right]}^T$ 表示 $\left[\begin{array}{cccccc}{\hat{a}}_1& ...& {\hat{a}}_n& {\hat{b}}_1& ...& {\hat{b}}_m\end{array}\right]$ 的转置矩阵，本发明中得到模型参数

模型为（m+n）×1阶矩阵。

本实施例中根据文献（L.Dosiek and J.W.Pierre,An Improved BootstrapMethod for Electromechanical Mode Estimation Using Multivariate ProbabilityDistributions,IEEE Power and Energy Society General meeting,2013.）中记载的方法计算模型参数的协方差

（4）根据模型参数

以及模型参数的协方差

确定ARMA模型的特征方程系数的估计值的均值

和特征方程系数的协方差

在已知某个变量的估计值的情况下，确定该变量的估计值的均值，因此根据模型参数

直接确定ARMA模型的特征方程系数的估计值的均值为 ${\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{{\mathrm{Na}}_0}=[{\hat{a}}_{1_0},{\hat{a}}_{2_0},.....{\hat{a}}_{n_0}].$

特征方程系数的估计值的协方差为一个n×n的矩阵

其中第i行、第j列的元素

为模型参数的协方差

中的第i行、第j列的元素

即 $\mathrm{Cov}\left[{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{Na}}\right]=\mathrm{Cov}{\left[{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_N\right]}_{\mathrm{ij}},i=1,...,n;j=1,...,n,$ 可认为特征方程系数的估计值的协方差

为模型参数的协方差

的一部分。

（5）根据步骤（4）的结果，计算得到低频振荡模式的离散特征值的实部的估计值

与虚部的估计值

的二元正态分布，具体如下：

（5-1）将特征方程系数的估计值的均值代入特征方程得到方程：

${\hat{a}}_{n_0}{z}^n+{\hat{a}}_{{(n-1)}_0}{z}^{n-1}+...+{\hat{a}}_{1_0}z+1=0,$

并计算该方程的特征值z_pi，i为特征值的编号，i=1，2，……n，并根据所述低频振荡模式的频率确定第k个特征值z_pk为该模式对应的离散特征值，其中

分别为特征方程系数的估计值的均值 $\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}{\mathrm{Na}}_0={\left[\begin{array}{ccc}{\hat{a}}_{1_0}& ...& {\hat{a}}_{n_0}\end{array}\right]}^T$ 中的各项；

（5-2）根据步骤（5-1）得到的方程，计算得到的低频振荡模式的离散特征根的实部z_x和虚部z_y；

（5-3）对步骤（5-1）得到的方程进行灵敏度分析，得到低频振荡模式的离散特征值的变化和该方程系数变化量之间的关系，并根据该关系计算得到所述低频振荡模式的离散特征值的实部z_x和虚部z_y的协方差矩阵：

$\mathrm{cov}({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y)=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left\{Z\right\}\mathrm{cov}\left\{{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{Na}}\right\}\mathrm{Re}{\left\{Z\right\}}^T& \mathrm{Re}\left\{Z\right\}\mathrm{cov}\left\{{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{Na}}\right\}\mathrm{Im}{\left\{Z\right\}}^T\\ \mathrm{Re}\left\{Z\right\}\mathrm{cov}\left\{{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{Na}}\right\}\mathrm{Im}{\left\{Z\right\}}^T& \mathrm{Im}\left\{Z\right\}\mathrm{cov}\left\{{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{Na}}\right\}\mathrm{Im}{\left\{Z\right\}}^T\end{array}\right]$

其中， $Z=\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}-\underset{\underset{l\≠k}{l=1}}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}{(z_{\mathrm{pk}}-z_{\mathrm{pl}})}^{-1}\left[\begin{array}{cccc}{z_{\mathrm{pk}}}^n& {z_{\mathrm{pk}}}^{n-1}& ...& z_{\mathrm{pk}}\end{array}\right];$

（5-4）以离散特征根的实部z_x和虚部z_y为均值，以协方差矩阵

为协方差矩阵得到低频振荡模式的离散特征值的实部的估计值与虚部的估计值

的二元正态分布：

$\left[\begin{array}{c}{\hat{z}}_x\\ {\hat{z}}_y\end{array}\right]~N\left(\left[\begin{array}{c}{z}_x\\ z_y\end{array}\right],\mathrm{cov},({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y)\right).$

（6）根据步骤（5）的结果，分别对低频振荡频率与离散特征值的实部与虚部的函数和阻尼与离散特征值的实部与虚部的函数进行线性化处理得到Jacob矩阵，再根据Jacob矩阵确定所述低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的二元正态分布；

本实施例中：

低频振荡模式的频率与离散特征值的实部与虚部的函数如下：

$g_1({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y)=\frac{F_s\arctan \frac{{\hat{z}}_y}{{\hat{z}}_x}}{2\mathrm{\π}},$

F_s为设定的目标频率（本实施例中F_s=5Hz）；

低频振荡模式的阻尼与离散特征值的实部与虚部的函数如下：

$g_2({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y)=-\frac{\mathrm{In}({{\hat{z}}_x}^2+{{\hat{z}}_y}^2)}{\sqrt{{\mathrm{In}}^2({{\hat{z}}_x}^2+{{\hat{z}}_y}^2)+4{\left(\arctan \frac{{\hat{z}}_y}{{\hat{z}}_x}\right)}^2}}.$

低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的二元正态分布为：

$\left[\begin{array}{c}{\hat{f}}_n\\ {\widehat{\mathrm{\ξ}}}_n\end{array}\right]~N\left(\left[\begin{array}{c}{f}_0\\ {\mathrm{\ξ}}_0\end{array}\right],\mathrm{Jcov},({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y),J^T\right),$

其中，

为低频振荡模式的频率估计值，为低频振荡模式的阻尼的估计值，f₀为低频振荡模式的频率估计值的均值，ζ₀为低频振荡模式的阻尼的估计值的均值，J为Jacob矩阵，

$f_0=\frac{F_s\arctan \frac{z_y}{z_x}}{2\mathrm{\π}},$

${\mathrm{\ξ}}_0=-\frac{\mathrm{In}({z_x}^2+{z_y}^2)}{\sqrt{{\mathrm{In}}^2({z_x}^2+{z_y}^2)+4{\left(\arctan \frac{z_y}{z_x}\right)}^2}}.$

本实施例中得到的该低频振荡模式的频率估计值的均值f₀=0.6562Hz，该低频振荡模式的阻尼估计值的均值ζ₀=3.02%。

（7）根据步骤（6）的结果，确定该低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的置信椭圆，并根据得到的置信椭圆确定该低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的联合置信区间。

该低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的置信椭圆，如图3所示，该置信椭圆的表达式如下：

$\left(\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}{\hat{f}}_n& {\widehat{\mathrm{\ξ}}}_n\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{f}_0& {\mathrm{\ξ}}_0\end{array}\right]\end{array}\right)\mathrm{cov}({\hat{f}}_n,{\widehat{\mathrm{\ξ}}}_n){\left(\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}{\hat{f}}_0& {\widehat{\mathrm{\ξ}}}_0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{f}_0& {\mathrm{\ξ}}_0\end{array}\right]\end{array}\right)}^T\≤{\mathrm{\χ}}_2^2\left(t\right),$

t为置信度，本实施例中t=0.95。

根据该置信椭圆得到该低频振荡模式的频率的估计值的置信区间的上限为0.6588Hz，下限为0.6534Hz；阻尼的估计值的置信区间的上限为3.48%，下限为2.85%，即该低频振荡模式的频率的估计值的置信区间为[0.6534Hz,0.6588Hz]，该低频振荡模式的阻尼的估计值的置信区间为[2.45%,3.58%]。

利用传统的自助法（Bootstrap）得到的该低频振荡模式的频率和阻尼估计值的置信椭圆，进一步得到该低频振荡模式的频率和阻尼估计值的置信区间分别为[0.6554Hz,0.6576Hz]和[2.51%,3.47%]。可见，利用本专利中的新方法得到的低频振荡模式的频率的估计值的联合置信区间与传统方法得到的结论一致。

Claims (8)

1.一种互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法，其特征在于，包括如下步骤：

（1）确定需要估计的低频振荡模式，计算该低频振荡模式在每条母线电压相角上的能观性，并确定能观性最强的母线；

（2）采集能观性最强的母线的电压相角信号，并对所述的电压相角信号进行预处理，得到预处理后的电压相角信号；

（3）利用预处理后的电压相角信号对ARMA模型进行极大似然估计，得到模型参数以及模型参数的协方差；

（4）根据所述的模型参数以及模型参数的协方差，确定所述ARMA模型的特征方程系数的估计值的均值和特征方程系数的协方差；

（5）根据步骤（4）的结果，计算得到所述低频振荡模式的离散特征值的实部的估计值

与虚部的估计值

的二元正态分布；

（6）根据步骤（5）的结果，分别对所述低频振荡频率与离散特征值的实部与虚部的函数和阻尼与离散特征值的实部与虚部的函数进行线性化处理得到Jacob矩阵，再根据Jacob矩阵确定所述低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的二元正态分布；

（7）根据步骤（6）的结果，确定该低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的置信椭圆，并根据得到的置信椭圆确定该低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的联合置信区间。

2.如权利要求1所述的互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法，其特征在于，所述步骤（2）利用同步相量测量装置采集能观性最强的母线的电压相角信号。

3.如权利要求2所述的互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法，其特征在于，所述步骤（2）中的预处理过程如下：

（2-1）将所述的电压相角信号通过截止频率为2～2.5Hz的低通滤波器，得到滤波后的电压相角信号；

（2-2）将滤波后的信号通过截止频率为0.1Hz的高通滤波器，得到隔直后的电压相角信号；

（2-3）设定目标频率，对隔直后的信号进行分频处理将隔直后的信号的频率降低为目标频率，即得到预处理后的电压相角信号。

4.如权利要求3所述的互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法，其特征在于，所述目标频率为4～6Hz。

5.如权利要求4所述的互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法，其特征在于，所述步骤（5）包括：

（5-1）将特征方程系数的估计值的均值代入特征方程得到方程：

${\hat{a}}_{n_0}{z}^n+{\hat{a}}_{{(n-1)}_0}{z}^{n-1}+...+{\hat{a}}_{1_0}z+1=0,$

并计算该方程的特征值z_pi，i为特征值的编号，i=1，2，……，n，并根据所述低频振荡模式的频率确定第k个特征值z_pk为该模式对应的离散特征值，其中

分别为特征方程系数的估计值的均值 ${\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{{\mathrm{Na}}_0}={\left[\begin{array}{ccc}{\hat{a}}_{1_0}& ...& {\hat{a}}_{n_0}\end{array}\right]}^T$ 中的各项；

（5-2）根据步骤（5-1）得到的方程，计算得到的低频振荡模式的离散特征根的实部z_x和虚部z_y；

（5-3）对步骤（5-1）得到的方程进行灵敏度分析，得到低频振荡模式的离散特征值的变化与该方程系数变化量之间的关系，并根据该关系计算得到所述低频振荡模式的离散特征值的实部z_x和虚部z_y的协方差矩阵：

$\mathrm{cov}({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y)=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left\{Z\right\}\mathrm{cov}\left\{{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{Na}}\right\}\mathrm{Re}{\left\{Z\right\}}^T& \mathrm{Re}\left\{Z\right\}\mathrm{cov}\left\{{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{Na}}\right\}\mathrm{Im}{\left\{Z\right\}}^T\\ \mathrm{Re}\left\{Z\right\}\mathrm{cov}\left\{{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{Na}}\right\}\mathrm{Im}{\left\{Z\right\}}^T& \mathrm{Im}\left\{Z\right\}\mathrm{cov}\left\{{\widehat{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{Na}}\right\}\mathrm{Im}{\left\{Z\right\}}^T\end{array}\right]$

其中， $Z=\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}-\underset{\underset{l\≠k}{l=1}}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}{(z_{\mathrm{pk}}-z_{\mathrm{pl}})}^{-1}\left[\begin{array}{cccc}{z_{\mathrm{pk}}}^n& {z_{\mathrm{pk}}}^{n-1}& ...& z_{\mathrm{pk}}\end{array}\right];$

（5-4）以离散特征根的实部z_x和虚部z_y为均值，以离散特征值的实部z_x和虚部z_y的协方差矩阵

为协方差矩阵得到低频振荡模式的离散特征值的实部的估计值

与虚部的估计值

的二元正态分布：

$\left[\begin{array}{c}{\hat{z}}_x\\ {\hat{z}}_y\end{array}\right]~N\left(\left[\begin{array}{c}{z}_x\\ z_y\end{array}\right],\mathrm{cov},({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y)\right).$

6.如权利要求5所述的互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法，其特征在于，所述低频振荡模式的频率与离散特征值的实部与虚部的函数如下：

$g_1({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y)=\frac{F_s\arctan \frac{{\hat{z}}_y}{{\hat{z}}_x}}{2\mathrm{\π}},$

F_s为设定的目标频率。

7.如权利要求6所述的互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法，其特征在于，所述低频振荡模式的阻尼与离散特征值的实部与虚部的函数如下：

$g_2({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y)=-\frac{\mathrm{In}({{\hat{z}}_x}^2+{{\hat{z}}_y}^2)}{\sqrt{{\mathrm{In}}^2({{\hat{z}}_x}^2+{{\hat{z}}_y}^2)+4{\left(\arctan \frac{{\hat{z}}_y}{{\hat{z}}_x}\right)}^2}}.$

8.如权利要求7所述的互联电网低频振荡频率和阻尼估计值联合置信区间的确定方法，其特征在于，所述低频振荡模式的频率和阻尼的估计值的二元正态分布为：

$\left[\begin{array}{c}{\hat{f}}_n\\ {\widehat{\mathrm{\ξ}}}_n\end{array}\right]~N\left(\left[\begin{array}{c}{f}_0\\ {\mathrm{\ξ}}_0\end{array}\right],\mathrm{Jcov},({\hat{z}}_x,{\hat{z}}_y),J^T\right),$

其中，J为Jacob矩阵，

$f_0=\frac{F_s\arctan \frac{z_y}{z_x}}{2\mathrm{\π}},$

${\mathrm{\ξ}}_0=-\frac{\mathrm{In}({z_x}^2+{z_y}^2)}{\sqrt{{\mathrm{In}}^2({z_x}^2+{z_y}^2)+4{\left(\arctan \frac{z_y}{z_x}\right)}^2}}.$

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