CN103744828A - 一种测量值缺失的压缩感知重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种测量值缺失的压缩感知重构方法，包括步骤：获取稀疏度为k的N维源信号x；使用测量矩阵Φ对x进行线性投影，构造恢复矩阵[Φ,I]，设迭代次数初始值i＝0；计算[Φ,I]^T，按u_i支撑集抽取对应行，得到其组成的子矩阵

计算b_i＝u_i+μ_i[Φ,I]^Td_i，保留b_i中幅值最大的k个元素，其他元素置零，令u_i+1＝b_i；计算残差值d_i+1＝_y-[Φ,I]u_i+1，判断是否满足d_i+1≥d_i，若满足，选取输出u_i中前N个元素并赋值给信号重构值选取输出u_i中第N+1个到第N+M个元素并赋值给恢复缺失测量值

若不满足，令i＝i+1，返回重新计算。本发明无需丢失数据在完整数据中位置先验信息，且不必使用过采样，提高了压缩感知方法的鲁棒性。

Description

一种测量值缺失的压缩感知重构方法

技术领域

本发明涉及稀疏信号处理技术领域，具体涉及一种测量值缺失的压缩感知重构方法。

背景技术

传统的信号采样理论基于奈奎斯特采样定理，即为保证由采样值无失真恢复源信号，采样频率至少为信号带宽的两倍。对于超宽带通信信号、雷达信号等宽带信号处理及无线传感器网络数据、天文遥感图像等海量数据处理等应用，往往需要具有极高采样频率的采样设备和大容量存储及高速处理设备，大大增加了硬件实现难度和成本。

压缩感知理论是一种全新的数据获取理论，该理论指出，当信号在某个变换域是稀疏或可压缩的，可以利用与变换矩阵非相干的测量矩阵将变换系数线性投影为低维测量向量，通过进一步求解稀疏最优化问题就能够从测量向量精确重建原始信号。在压缩感知理论框架下，数据获取可大幅度突破奈奎斯特采样定理的限制，为数据存储、传输和处理带来极大便利。

压缩感知理论中，利用测量矩阵投影产生的低维测量向量保持了重建信号所需的信息，然而，实际应用中在接收端获取测量向量时难免受到噪声干扰、传输设备故障等影响，从而导致部分测量值丢失，对压缩感知准确重构提出挑战。目前丢失数据处理主要包含忽略、重传及数据插补三种方法。忽略缺失数据方法简单易行，但对压缩感知低维测量向量而言，每个测量值中包含高维数据的全局信息，该方法会造成信息的大量丢失，影响重构效果。重传的方法首先对丢失数据位置进行检测，而后重传丢失部分，得到完整的测量向量，该方法需要严密的监视机制，且压缩感知测量值重传需要存储数据及测量向量，造成数据存储和传输成本增加。数据插补方法给通过统计方法或数据挖掘为缺失数据寻找替代值，得到“完全数据集”后，再使用数据统计分析方法分析数据并进行统计推断。然而，在压缩感知应用中，测量值由随机测量矩阵与原始数据进行内积运算得到，其统计信息丢失，从而导致参数填充方法构造模型不准确，且会遭遇时间复杂度的问题。

研究人员进而提出利用压缩感知理论本身进行缺失数据恢复。然而，该类方法中丢失数据为完整数据的固定部分，换言之，要求丢失数据在完整数据中的位置已知。而在实际应用中，数据丢失大多具有随机性，因此该方法的应用受到严重限制。另外，该方法需增加测量数以保证准确重构，从而增加数据传输成本。

发明内容

为了克服上述现有技术中存在的缺陷，本发明的目的是提供一种测量值缺失的压缩感知重构方法，本发明无需丢失数据在完整数据中位置先验信息，且不必使用过采样以增加复杂度，提高了压缩感知方法的鲁棒性。

为了实现本发明的上述目的，本发明提供了一种测量值缺失的压缩感知重构方法，包括如下步骤：

S1，获取稀疏度为k的N维源信号x；

S2，使用M×N维测量矩阵Φ对所述源信号x进行线性投影，获得x的低维测量向量y＝[y(1),y(2),...,y(M)]^T，令f＝[f(1),f(2),...,f(M)]^T表示测量值缺失部分，测量向量为：y＝Φx+f，

其中，M、N为正整数，f为缺失值向量，其非零元素位置为缺失测量位置，其非零元素值为缺失测量值的相反数；

S3，利用测量矩阵构造恢复矩阵[Φ,I]，设定迭代次数初始值i＝0，重构信号初始值u_i＝0，残差初始值d_i＝y，本次迭代残差值：d_i＝y-[Φ,I]u_i；

S4，计算恢复矩阵的转置[Φ,I]^T，按u_i支撑集抽取对应行，得到其组成的子矩阵

计算本次迭代步长：

${\mathrm{\μ}}_i=\frac{{\left|\right|{[\mathrm{\Φ},I]}_{{\mathrm{\Γ}}_i}^T(y-[\mathrm{\Φ},I\left]u_i\right)\left|\right|}_2^2}{{\left|\right|{{[\mathrm{\Φ},I]}_{\mathrm{\Γ}}}_i{[\mathrm{\Φ},I]}^T(y-[\mathrm{\Φ},I\left]u_i\right)\left|\right|}_2^2}$

S5，计算b_i＝u_i+μ_i[Φ,I]^Td_i；

S6，保留b_i中幅值最大的k个元素，将其他元素置零，令u_i+1＝b_i；

S7，计算残差值d_i+1＝y-[Φ,I]u_i+1，并判断是否满足终止条件d_i+1≥d_i，若满足，执行步骤S8；若不满足，令i＝i+1，返回步骤S2；

S8，依次选取输出u_i中前N个元素，组成的向量赋值给信号重构值

依次选取输出u_i中第N+1个到第N+M个元素，组成的向量赋值给恢复缺失测量值

与传统缺失数据处理方法及现有利用压缩感知理论本身进行的缺失数据恢复方法相比，本发明无需丢失数据在完整数据中位置先验信息，且不必使用过采样以增加复杂度，提高了压缩感知方法的鲁棒性。

本发明的附加方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。

附图说明

本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1是本发明一种优选实施方式中不同稀疏度时的重构准确度对比图；

图2是本发明另一种优选实施方式中不同测量数时的重构成功率对比图。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，仅用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。

本发明提供了一种测量值缺失的压缩感知重构方法，包括如下步骤：

S1，获取稀疏度为k的N维源信号x；

S2，使用M×N维测量矩阵Φ对所述源信号x进行线性投影，获得x的低维测量向量y＝[y(1),y(2),...,y(M)]^T，令f＝[f(1),f(2),...,f(M)]^T表示测量值缺失部分，测量向量为：y＝Φx+f，

其中，M、N为正整数，f为缺失值向量，其非零元素位置为缺失测量位置，其非零元素值为缺失测量值的相反数；

S3，利用测量矩阵构造恢复矩阵[Φ,I]，在本实施方式中，I为M×M维单位阵，I与M×N测量矩阵Φ作为子矩阵组成恢复矩阵[Φ,I]，设定迭代次数初始值i＝0，重构信号初始值u_i＝0，残差初始值d_i＝y，其中，u_i的维度为N×1维，d_i的维度为M×1维，本次迭代残差值：d_i＝y-[Φ,I]u_i；

S4，计算恢复矩阵的转置[Φ,I]^T，按u_i支撑集抽取对应行，得到其组成的子矩阵

计算本次迭代步长：

${\mathrm{\μ}}_i=\frac{{\left|\right|{[\mathrm{\Φ},I]}_{{\mathrm{\Γ}}_i}^T(y-[\mathrm{\Φ},I\left]u_i\right)\left|\right|}_2^2}{{\left|\right|{{[\mathrm{\Φ},I]}_{\mathrm{\Γ}}}_i{[\mathrm{\Φ},I]}^T(y-[\mathrm{\Φ},I\left]u_i\right)\left|\right|}_2^2}$

S5，计算b_i＝u_i+μ_i[Φ,I]^Td_i；

S6，保留b_i中幅值最大的k个元素，将其他元素置零，令u_i+1＝b_i；

S7，计算残差值d_i+1＝y-[Φ,I]u_i+1，并判断是否满足终止条件d_i+1≥d_i，若满足，执行步骤S8；若不满足，令i＝i+1，返回步骤S2；

S8，依次选取输出u_i中前N个元素，组成的向量赋值给信号重构值

为一维向量，由N个元素组成，具体赋值方法采用对应元素赋值，例如，选取u_i第一个元素，赋值给

的第一个元素。依次选取输出u_i中第N+1个到第N+M个元素，组成的向量赋值给恢复缺失测量值

选取源信号长度N＝900，测量矩阵元素独立同分布于零均值高斯分布，测量数M＝225，利用本发明的方法得到源信号重构值后，计算重构相对误差为：

$\mathrm{\η}=\frac{{\left|\right|\hat{x}-x\left|\right|}_2}{{\left|\right|x\left|\right|}_2}=\frac{\sqrt{\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{({\hat{x}}_i-x_i)}^2}}{\sqrt{\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left(x_i\right)}^2}}$

其中，x_i为原始信号向量中序号为i的元素。

在本实施方式中，变换稀疏向量中非零元素个数K，每种稀疏条件下分别针对未缺失测量值（α₁＝0）及两种测量值缺失率（即缺失测量值数占测量值总数的比例）（α₂＝0.02，α₃＝0.1）三种情况重复实验200次，计算重构成功率：

$P_{\mathrm{sr}}=\frac{\mathrm{num}(\max {\left|\right|\hat{x}-x\left|\right|}_2\≤0.01{\left|\right|x\left|\right|}_2)}{200}$

重构结果如图1所示，由结果可以看出，在测量数及测量值缺失率一定时，重构准确度均随待重构向量稀疏度的减小而增大。对相同的测量数，缺失率的增加使得重构准确度减小。稀疏度越大，测量值缺失下的重构准确度与完整测量值重构差别也越大。

在本发明另外的优选实施方式中，为比较不同测量数情况下的缺失测量值对重构准确度造成的影响，选取稀疏度K＝55的稀疏向量作为待重构数据实验时变换测量数，每种测量数条件下分别对各测量值缺失率重复实验200次，计算对应的重构误差及重构成功率。在重构结果中同样比较了未丢失测量值情况下的重构成功率，实验结果如图2所示。

在本实施方式中，所述稀疏度k小于p，测量矩阵行数大于q，所述p、q为正整数。具体数值可根据要求的重构成功率进行选择。

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，本领域的普通技术人员可以理解：在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由权利要求及其等同物限定。

Claims (2)

1.一种测量值缺失的压缩感知重构方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1，获取稀疏度为k的N维源信号x；

S2，使用M×N维测量矩阵Φ对所述源信号x进行线性投影，获得x的低维测量向量y＝[y(1),y(2),...,y(M)]^T，令f＝[f(1),f(2),...,f(M)]^T表示测量值缺失部分，测量向量为：y＝Φx+f，

其中，M、N为正整数，f为缺失值向量，其非零元素位置为缺失测量位置，其非零元素值为缺失测量值的相反数；

S3，利用测量矩阵构造恢复矩阵[Φ,I]，设定迭代次数初始值i＝0，重构信号初始值u_i＝0，残差初始值d_i＝y，本次迭代残差值：d_i＝y-[Φ,I]u_i；

S4，计算恢复矩阵的转置[Φ,I]^T，按u_i支撑集抽取对应行，得到其组成的子矩阵

计算本次迭代步长：

${\mathrm{\μ}}_i=\frac{{\left|\right|{[\mathrm{\Φ},I]}_{{\mathrm{\Γ}}_i}^T(y-[\mathrm{\Φ},I\left]u_i\right)\left|\right|}_2^2}{{\left|\right|{{[\mathrm{\Φ},I]}_{\mathrm{\Γ}}}_i{[\mathrm{\Φ},I]}^T(y-[\mathrm{\Φ},I\left]u_i\right)\left|\right|}_2^2}$

S5，计算b_i＝u_i+μ_i[Φ,I]^Td_i；

S6，保留b_i中幅值最大的k个元素，将其他元素置零，令u_i+1＝b_i；

S7，计算残差值d_i+1＝y-[Φ,I]u_i+1，并判断是否满足终止条件d_i+1≥d_i，若满足，执行步骤S8；若不满足，令i＝i+1，返回步骤S2；

S8，依次选取输出u_i中前N个元素，组成的向量赋值给信号重构值

依次选取输出u_i中第N+1个到第N+M个元素，组成的向量赋值给恢复缺失测量值

2.如权利要求1所述的测量值缺失的压缩感知重构方法，其特征在于，所述稀疏度k小于p，测量矩阵行数大于q，所述p、q为正整数。

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