CN103729570B - 基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法，首先，应用特征值分析，计算得到基于参数变化前初始系统模式对应的特征值和特征向量，继而利用矩阵摄动理论计算特征值和特征向量在参数变化后对应的系统模式的近似值；从而将参数变化前后特征值和特征向量的近似值之间的对应关系确定；然后，从参数变化后系统模式的精确值中，找到与近似值最接近的模式，从而建立参数变化后系统模式的精确值与近似值之间的对应关系；最后，以系统模式的近似值为参数变化前后系统模式之间联系的纽带，建立参数变化前后系统模式之间的匹配与对应关系。本发明的有益效果：原理简单清晰、判别精细、判据完备。

Description

基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法

技术领域

本发明涉及电力系统及其自动化技术领域，尤其涉及一种基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法。

背景技术

在电力系统的小干扰稳定性分析中，模式匹配是指在系统运行参数或设备参数发生变化前后建立系统模式(特征值)之间的对应关系。模式匹配是考虑不确定因素时，小干扰稳定性区间分析【邢洁,陈陈.不确定负荷下小干扰稳定的区间分析方法.电力系统自动化,2009,33(4):6-10.】【邢洁,陈陈,王杰.区间不确定信息下的小干扰稳定分析方法.电力系统自动化,2010,34(6):12-16.】和概率分析【Bu S Q,Du W,Wang H F,等.Probabilisticanalysis of small-signal stability of large-scale power systems as affectedby penetration of wind generation.IEEE Transactions on Power Systems,2012,27(2):762-770.】【CHUNG C Y,WANG K W,TSE C T,等.Probabilistic eigenvaluesensitivity analysis and PSS design in multimachine systems.IEEE Transactionson Power Systems,2003,18(4):1439-1445.】【WANG K W,CHUNG C Y,TSE C T,等.Improved probabilistic method for power system dynamic stability studies.IEEProceedings-Generation,Transmission and Distribution,2000,147(1):37-43.】【XUZ,DONG Z Y,ZHANG P.Probabilistic small signal analysis using Monte Carlosimulation.In:IEEE Power Engineering Society General Meeting,2005,1658-1664.】的一个重要环节。例如，在基于蒙特卡洛的概率特征值分析中，为了获得系统振荡模式的统计特性，需要对随机采样参数对应的各运行方式下系统的振荡模式进行匹配和对应。在区间特征值分析中，在参数变化后系统的振荡模式要准确、可靠地匹配和跟踪到参数变化前系统对应的模式。此外，模式匹配也是电力系统小干扰稳定性辅助决策【CHUNG C,WANG L,HOWELL F,et al.Generation rescheduling methods to improve power transfercapability constrained by small-signal stability.IEEE Transactions on PowerSystems,2004,19(1):524-530.】【鲍颜红,徐伟,徐泰山,等.基于机组出力调整的小干扰稳定辅助决策计算.电力系统自动化,2011,35(3):88-91.】与低频振荡在线实时控制【徐伟,鲍颜红,徐泰山,等.电力系统低频振荡实时控制.电力自动化设备,2012,32(5):98-10.】【陈中.电力系统小干扰稳定实时控制.电力自动化设备,2012,32(3):42-46.】中基础而关键的技术。对于前者，在调整相关机组的有功出力以后，需要对被控模式进行匹配和评估，从而根据系统的稳定性量化指标优化下一步的调控措施。对于后者，需要根据实测的主导模式匹配在线小干扰稳定性分析得到的模式，进而从策略表中索引对应的调控措施。

通常地，在参数发生小幅度的变化后，系统模式对应的频率、阻尼比以及模态等特征量不会发生显著变化。因此，可以根据参数变化前后系统模式特征量的相似性构成模式匹配的判据。具体而言，常用的模式匹配的判据有：模式的振荡频率或阻尼比的差值小于给定阈值，振荡模态主要分量的相位变化小于给定阈值，模式对应的归一化右特征向量差值的模值小于给定阈值，等。然而，基于模式特征量相似性辨识的模式匹配方法存在一定的不足：(1)难以为判据中诸多阈值给出普适的典型取值【闫常友,周孝信,田芳,等.电力系统在线小干扰主导特征模式识别及强相关机组选择方法.电网技术,2009,33(13):42-47.】；(2)需要为判据建立更加合适、精确的数学表达，如模式的强相关机组的分群情况变化不大；(3)在参数变化过程中，可能会出现模式相互接近的情况而发生模态不稳定现象【赵书强,陈慷,马燕峰,等.密集型固有振荡模式电力系统的模态分析.电力系统自动化,2011,35(21):6-11.】。此时，即使模式的振荡频率和阻尼比变化不大，但机组参与模式的程度会发生很大的变化，甚至原本同调的机组在参数变化后相位相反。由于只有一部分判据满足要求，模式匹配结果的可信性不足。

发明内容

本发明的目的就是为了解决上述问题，提供基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法，目的在于匹配扰动前后电力系统的振荡模式，不同于基于特征量相似性辨识而直接进行模式匹配的方法，而是采用一种间接的模式匹配方法，以模式的近似值为纽带，建立参数变化前后系统模式之间的联系，从而完成不同运行条件下同一模式的匹配。由于关系明确，即使在较大步长下，模式近似值的精度依然比较高，能准确、有效地匹配上参数摄动后系统的孤立模式和密集模式。它具有原理简单清晰，适用范围广，判别精细，计算精度高，快速有效的特点。

为了实现上述模式匹配的目的，本发明采用如下的技术方案：

基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法，步骤如下：

首先，应用特征值分析，计算得到基于参数变化前初始系统模式对应的特征值和特征向量，继而利用矩阵摄动理论计算特征值和特征向量在参数变化后对应的系统模式的近似值；从而将参数变化前后特征值和特征向量的近似值之间的对应关系确定；

然后，从参数变化后系统模式的精确值中，找到与近似值最接近的模式，从而建立参数变化后系统模式的精确值与近似值之间的对应关系；

最后，以系统模式的近似值为参数变化前后系统模式之间联系的纽带，建立参数变化前后系统模式之间的匹配与对应关系。

基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法，分为以下步骤：

步骤(1)：在初始条件下，对电力系统进行潮流计算，得到描述电力系统动态的微分代数方程组并线性化，进而得到电力系统的状态矩阵，计算其特征值，得到电力系统的全部特征值和对应的右、左特征向量，转步骤(2)；

步骤(2)：对参数组进行摄动，计算由于参数摄动导致的电力系统状态矩阵变化量；

步骤(3)：判断参数摄动前模式的性质：即为孤立模式，还是属于某个密集模式组；如果是孤立模式就转到步骤(6)；如果是属于某个密集模式组就转到步骤(4)；

步骤(4)：计算密集模式组中所有特征值的平均值，然后计算由于特征值移位导致的状态矩阵变化量；

步骤(5)：计算矩阵W，继而计算密集模式组的估计值；根据第l次参数摄动前待匹配模式在密集模式组中的位置，从密集模式组的估计值中找到其对应的近似值；

步骤(6)：利用计算参数摄动后振荡模式的近似值；

步骤(7)：对参数摄动后的系统重新进行特征值分析，得到参数摄动后系统的特征值、参数摄动后系统的右特征向量和参数摄动后系统的左特征向量；

步骤(8)：将通过步骤(7)的特征值分析得到的精确特征值与通过步骤(6)利用摄动理论得到的近似特征值逐一进行比较，距离近似特征值最近的特征值就是与第l次参数摄动前待匹配模式对应的模式；

步骤(9)：重复步骤(2)～步骤(8)，直至完成参数摄动与模式匹配。

所述步骤(1)：在初始条件下，令参数组σ＝σ₀，对电力系统进行潮流计算，得到描述电力系统动态的微分代数方程组并线性化，进而得到电力系统的状态矩阵，计算其特征值，得到电力系统的全部特征值λ_0i和对应的右、左特征向量u_0i、v_0i，i＝1,2,...,n，i＝1,2,…,n表示系统共有n个模式，下标i表示某一模式；置参数摄动次数l＝1，转步骤(2)；

所述步骤(2)：对参数组σ进行第l次摄动，计算由于参数摄动导致的电力系统状态矩阵变化量εB；

所述步骤(3)：判断参数摄动前第i个模式的性质：即为孤立模式，还是属于某个密集模式组；如果是孤立模式就转到步骤(6)；如果是属于某个密集模式组就转到步骤(4)；

所述步骤(4)：根据公式计算密集模式组中所有特征值的平均值λ_av，r表示密集模式组中共有r个模式，由初始条件，有然后由式计算由于特征值移位导致的状态矩阵变化量εC；

所述步骤(5)：将前述步骤得到的U₀、V₀及εB、εC代入公式计算矩阵W，计算公式得到矩阵W的特征值对角阵εΛ₁，进而代入公式计算密集模式组的估计值根据第l次参数摄动前待匹配模式在密集模式组中的位置，从密集模式组的估计值中找到其对应的近似值

所述步骤(6)：利用步骤(2)获得的由于参数摄动导致的电力系统状态矩阵变化量εB、及步骤(1)得到的系统特征值λ_0i，右特征向量u_0i和左特征向量v_0i，利用式(16)计算第l次参数摄动后振荡模式i的近似值上标l表示参数组进行了l次摄动；

所述步骤(7)：对参数摄动后的系统重新进行特征值分析，得到参数摄动后系统的精确特征值参数摄动后系统的右特征向量和参数摄动后系统的左特征向量

所述步骤(8)：

如果是密集模式，将通过步骤(7)的特征值分析得到的精确特征值与通过步骤(5)利用摄动理论得到的近似特征值逐一进行比较，距离最近的特征值就是与对应的模式；

如果是孤立模式，将通过步骤(7)的特征值分析得到的精确特征值与通过步骤(6)利用摄动理论得到的近似特征值逐一进行比较，距离最近的特征值就是与对应的模式；

所述步骤(9)：l＝l+1，重复步骤(2)～步骤(8)，直至完成m次参数摄动与模式匹配。

所述步骤(3)的具体判断方法为：

设定判断标准为：电力系统其他模式与待匹配模式的距离小于一个设定的正实数；

如果满足判别标准，则符合判别标准的模式与待匹配模式形成一个密集模式组，然后转到步骤(4)，采用密集特征值的估计方法计算模式i的近似值；

如果不满足判别标准，待匹配模式是孤立的，则转到步骤(6)，采用孤立特征值的估计方法来计算。

本发明的有益效果：

1、原理简单清晰，适用范围广；本发明，基于矩阵摄动理论，不仅适用于参数摄动前后机电振荡模式的匹配，也可以进行控制模式的匹配；方法全面而且效率很高；

2、具有较强的理论基础，不仅适用于系统模式及其特征量变化不大的情况，也适用于由于密集模式或模态强谐振【DOBSON I,ZHANG J F,GREENE S,等.Is strong modalresonance a precursor to power system oscillations？IEEE Transactions onCircuits and Systems I:Fundamental Theory and Applications,2001,48(3):340-349.】导致系统模式发生较大变化甚至出现模态不稳定的情况；在系统参数摄动变化步长较大的情况下，也行精确地匹配模式。

3、仅用一阶摄动量进行模式估计时，可利用稀疏特征值技术仅计算系统部分特征值及相应的特征向量；

4、特征值(模式)的估计需要系统状态矩阵的变化量，因而本发明方法适用于基于模型的低频振荡分析，而基于在线模式提取【HAUER J F,DEMEURE C J,SCHARF LL.Initial results in Prony analysis of power system response signals.PowerSystems,IEEE Transactions on,1990,5(1):80-89.】和模态辨识技术，模式特征量相似性辨识的模式匹配方法可用于基于响应的低频振荡分析的场合。

5、本发明本质上是一种间接的模式匹配方法，首先应用特征值分析得到系统的所有的振荡模式。根据矩阵摄动理论，计算得到参数摄动后系统模式的估计值，以此估计值作为联系参数摄动前后某一模式的桥梁，最后完成模式匹配。

6、由于电力系统较大导致摸式较多，本发明将模式分为密集和孤立两种形式。设定判别标准为两模式间的距离小于某个正数，若多个模式与待匹配模式相近，则它们构成一个密集模式组，采用密集特征值的方法来匹配。若没有模式满足判定标准，则该模式为孤立的，采用孤立特征值的方法来匹配。

附图说明

图1为模式匹配过程中的示意图；

图2为振荡模式匹配的流程图；

图3(a)是发电机P_g1的摄动步长h＝0.02p.u.时，阻尼比最小的机电模式M5及其一阶和二阶近似值在三维空间变化轨迹及其在复平面上投影；P_g1表示发电机G1的发电功率；

图3(b)是发电机P_g1的摄动步长h＝0.04p.u.时，阻尼比最小的机电模式M5及其一阶和二阶近似值在三维空间变化轨迹及其在复平面上投影；

图3(c)是发电机P_g1的摄动步长h＝0.08p.u.时，阻尼比最小的机电模式M5及其一阶和二阶近似值在三维空间变化轨迹及其在复平面上投影；

图3(d)是发电机P_g1的摄动步长h＝0.10p.u.时，阻尼比最小的机电模式M5及其一阶和二阶近似值在三维空间变化轨迹及其在复平面上投影；

图4(a)发电机P_g1的摄动步长h＝0.02p.u.时，系统全部机电振荡模式极其一阶和二阶近似值在三维空间的变化轨迹；

图4(b)发电机P_g1的摄动步长h＝0.04p.u.时，系统全部机电振荡模式极其一阶和二阶近似值在三维空间的变化轨迹；

图4(c)发电机P_g1的摄动步长h＝0.08p.u.时，系统全部机电振荡模式极其一阶和二阶近似值在三维空间的变化轨迹；

图4(d)发电机P_g1的摄动步长h＝0.10p.u.时，系统全部机电振荡模式极其一阶和二阶近似值在三维空间的变化轨迹；

图5(a)当发电机G1的机端电压V_t30的摄动步长h＝0.02p.u.时，系统全部机电振荡模式及其一阶近似值在三维空间的变化轨迹；

图5(b)当发电机G1的机端电压V_t30的摄动步长h＝0.04p.u.时，系统全部机电振荡模式及其一阶近似值在三维空间的变化轨迹；

图5(c)当发电机G1的机端电压V_t30的摄动步长h＝0.06p.u.时，系统全部机电振荡模式及其一阶近似值在三维空间的变化轨迹；

图5(d)当发电机G1的机端电压V_t30的摄动步长h＝0.10p.u.时，系统全部机电振荡模式及其一阶近似值在三维空间的变化轨迹；

图6(a)V_t30的摄动步长h＝0.02p.u.时，机电振荡模式M4和M5对应的精确特征值和近似特征值的变化轨迹及在复平面上的投影；

图6(b)V_t30的摄动步长h＝0.04p.u.时，机电振荡模式M4和M5对应的精确特征值和近似特征值的变化轨迹及在复平面上的投影；

图6(c)V_t30的摄动步长h＝0.08p.u.时，机电振荡模式M4和M5对应的精确特征值和近似特征值的变化轨迹及在复平面上的投影；

图6(d)V_t30的摄动步长h＝0.10p.u.时，机电振荡模式M4和M5对应的精确特征值和近似特征值的变化轨迹及在复平面上的投影；

图7(a)是V_t30＝1.119p.u模式M4的振荡模式图；

图7(b)是V_t30＝1.119p.u模式M5的振荡模式图；

图7(c)是V_t30＝1.139p.u模式M4'的振荡模式图；

图7(d)是V_t30＝1.139p.u模式M5'的振荡模式图。

具体实施方式

下面结合图与实施例对本发明作进一步说明。

如图1所示，为模式匹配过程的示意图；清晰的说明了基于矩阵摄动理论的模式匹配方法的基本思路。首先，应用特征值分析，计算得到初始系统模式对应的特征值和特征向量，继而通过矩阵设动理论准确估计它们在参数变化后对应的估计值。参数变化前后，特征值和特征向量的近似值之间的对应关系确定。然后，从参数变化后系统模式的精确值中，找到与近似值最接近的模式，从而建立参数变化后系统模式的精确值与近似值之间的对应关系。最后，以近似值为纽带，建立参数变化前后系统模式之间的匹配与对应关系。

图中，为第l-1次参数发生小的变化(摄动)后，经过特征值分析得到的第i个振荡模式。第l次参数摄动后，首先计算系统线性化状态矩阵的变化量。然后，一方面基于第l-1次特征值分析得到的所有特征值和对应的右、左特征向量，利用矩阵摄动理论计算得到参数摄动后第i个特征值的近似值，另一方面进行特征值分析得到参数摄动后系统的精确特征值，j＝1,2,...,n。在参数发生较小变化的情况下，利用矩阵摄动理论可以较为准确地估计参数摄动后系统的特征值【马静,王彤,彭明法,等.基于区间模型和二阶摄动理论的低频振荡模态分析方法.电网技术,2012,36(10):137-140.】【马静,彭明法,王彤,等.基于二阶摄动理论的不确定系统小干扰稳定分析方法.电力自动化设备,2013,33(7):117-120,125.】。

因此，参数变化后在系统的精确特征值中必然存在一个与该近似特征值相接近的特征值，即必定是中最小的。据此，可以建立与的对应关系。最后，根据与 与之间的对应关系，即可得到与之间的对应关系，从而实现参数变化前后系统模式之间的匹配。

图2为振荡模式匹配的流程图；利用流程图使发明内容中的振荡类型判别步骤更加清晰直观，便于理解和分析，而且图2与发明内容中的步骤(1)～步骤(9)一一对应，对于图2中的内容可以参考步骤(1)～步骤(9)，这里不再详细说明。

如图3(a)～图3(d)所示，当发电机的有功出力Pg从初始值分别以步长h＝0.02，0.04，0.08和0.10p.u.增加到最终值时，模式M5及其一阶和二阶近似值在三维空间变化轨迹及其在复平面上投影。图中，坐标Re表示模式的实部，坐标Im表示模式的虚部。

图4(a)～图4(d)为发电机的有功出力Pg从初始值分别以步长h＝0.02，0.04，0.08和0.10p.u.增加到最终值时，系统所有机电振荡模式的变化轨迹。

图5(a)～图5(d)为发电机G1的机端电压V_t30从1.047p.u.分别以步长h＝0.002，0.004，0.008和0.010p.u.增加到1.207p.u.时，系统所有机电振荡模式的变化轨迹

图6(a)～图6(d)为V_t30在不同的摄动步长下，模式M5和M4对应的精确特征值和近似特征值的变化轨迹及在复平面上的投影。

图7(a)是V_t30＝1.119p.u模式M4的振荡模式图；图7(b)是V_t30＝1.119p.u模式M5的振荡模式图；图7(c)是V_t30＝1.139p.u模式M4'的振荡模式图；图7(d)是V_t30＝1.139p.u模式M5'的振荡模式图。

为了实现上述的模式匹配步骤(1)～步骤(9)，需要掌握基于摄动理论的特征值估计。

1.孤立特征值摄动理论

当系统的运行参数或控制器参数发生变化(摄动)时，系统状态矩阵A也将发生如下变动：

A＝A₀+εB (1)

式中，A₀为参数摄动前系统的状态矩阵；εB是由于参数摄动导致的系统状态矩阵变化量，其中ε是小系数。

参数摄动后，系统的特征值和右特征向量均可用ε的幂级数来表示：

λ_i(ε)＝λ_0i+ελ_1i+ε²λ_2i+…(2)

u_i(ε)＝u_0i+εu_1i+ε²u_2i+…(3)

式中，λ_0i和u_0i分别为参数摄动前系统第i个的特征值和对应的右特征向量，i＝1,2,…,n；ελ_1i、εu_1i、ε²λ_2i、ε²u_2i分别为特征值和右特征向量的一阶和二阶摄动量。

对应地，参数摄动后系统的特征方程为：

根据展开定理，第i个特征值对应的右特征向量的第k阶(k＝1,2,...)摄动u_ki可以用参数摄动前系统右特征向量的线性组合来表示，即：

式中，c_kj为第k阶摄动中第j个右特征向量u_0j的系数。

于是，u_i(ε)可进一步表示为：

当ε充分小，式(6)中不为零。于是，等式两端同时除以该系数，可得：

将式(7)带入特征方程式(4)，并令等式两端ε的同次幂的项系数相等，可得：

ε⁰:A₀u_0i＝λ_0iu_0i (8)

根据参数摄动前系统的特征方程A₀u_0j＝λ_0ju_0j，对式(9)和式(10)进行整理，得：

设参数摄动前系统的第i个特征值对应的左特征向量为v_0i。对式(11)分别左乘和 并考虑到可得：

式(12)左乘可得：

将式(13)、(15)代入式(2)，忽略ε的三阶及以上阶无穷小，得到参数摄动后特征值λ_i的近似值：

通过分析式(16)可知：

(1)模式λ_i的一阶摄动量ελ_1i只取决于参数摄动前λ_i对应的右、左特征向量u_0i和v_0i，简单易于计算；而模式λ_i的二阶摄动量ε²λ_2i与参数摄动前系统所有的特征值及对应的右、左特征向量有关，计算量较大。一般而言，同时考虑一阶和二阶摄动量时得到的二阶近似特征值比仅考虑一阶摄动量时得到的一阶近似特征值的估计精度高；

(2)对于充分小的ε，特征值的一阶摄动量λ_1i对参数摄动的敏感性主要取决于若系统存在与特征值λ_0i相接近的特征值λ_0j，则特征值的二阶摄动量λ_2i对参数摄动将非常敏感。充分小的ε虽然能保证展开式(8)的收敛性，但由于截断误差以及难以准确计算特征值λ_0j对应的特征向量u_0j和v_0j，特征值的近似值与其精确值λ_i之间将存在较大的误差。因此，利用式(16)只能进行λ_0i≠λ_0j情况下，即λ_0i为孤立特征值时的特征值估计。

2.密集特征值的摄动理论

从数学角度来讲，密集特征值仍然还是孤立的，表现为特征方程的单根；从理论上讲，只要系统矩阵的修改量足够小，明显小于min|λ_i-λ_j|(i≠j)，就可以采用孤立特征值摄动法；但是从工程应用和实施角度来看，矩阵的修改量并非足够小。因此，分析特征值集聚情况下的矩阵摄动问题具有一定的难度，而且由于密集特征值会引起摄动展开式的截断误差问题以及不容易算准特征值集聚组的每个特征向量，导致孤立特征值的摄动法不能用于密集特征值的情形。

对于具有密集特征值的系统，可以先把它的密集特征值进行移位，移位至它们的平均值，然后按照重特征值的摄动方法进行分析。虽然特征值集聚时，集聚组对应的单个向量是病态的，难以算准，但是集聚特征值组对应全部特征向量的子空间是良态的，容易算准，所以应充分利用这一性质来进行摄动分析，这个是移位摄动法的基本出发点。

所谓的移位摄动法是指将原系统的密集特征值进行移位，移位至它们的平均值，这样移位后的系统不再含有密集特征值，但具有重特征值。经过这样的移位处理之后，原系统就可视为重特征值系统的摄动，参数变化后的系统就可视为在重特征值系统基础上，经过两部分摄动后得到的，一部分是由于特征值移位引起的摄动，另一部分是参数修改引起的摄动。

设参数摄动前系统存在一组相互接近的密集特征值λ_0j，j＝1,2,…,r。它们形成对角阵为Λ₀，对应的右、左特征向量矩阵为U₀和V₀。于是，系统的特征方程可表示为：

将系统的r个密集特征值移位至它们的平均值：

从而将具有密集特征值的系统转换为具有r重特征值的系统。构造一个矩阵使下式成立^[18]：

式中:I_r为r阶单位矩阵。显然，矩阵与A₀非常接近，并具有如下关系：

式中，εC是由于密集特征值移位导致的系统状态矩阵变化量。

在特征值移位后，可以认为具有密集特征值的系统在参数摄动后线性化状态矩阵A的变化是具有重特征值的系统在经过两部分摄动后的结果，其中一部分是由参数摄动引起的变化量εB，另一部分是由特征值移位导致的变化量εC。相应地，参数摄动后系统的特征方程可表示为重特征值及其特征向量的摄动：

式中:α和β为待定系数矩阵，εΛ₁和ε²Λ₂分别为密集特征值的一阶和二阶摄动量，εU₁、εV₁、ε²U₂、ε²V₂分别为密集特征值对应的右、左特征向量矩阵的一阶和二阶摄动量。

令式(21)两端ε的一次幂的项相等，可得：

对式(22)中的两个等式分别左乘和并计及然后再令得：

式(23)是一个特征值问题，其中εΛ₁为矩阵W的特征值对角阵，其右、左特征向量矩阵分别为α、β。因此，在求解出εΛ₁后，就可求出密集特征值Λ₀的一阶近似值：

这样，利用密集特征值组在参数摄动前的特征值和右、左特征向量，就能估计出参数摄动后它们的近似值。

示例：

为了验证本发明中提出的基于矩阵摄动理论的模式匹配方法，下面利用10机39节点系统的仿真算例来阐述该方法的正确性。系统中所有发电机均采用4阶模型，励磁系统采用IEEE DC1A模型，负荷采用50％恒功率加50％恒阻抗模型，系统的详细参数见文献【ROGERS G.Power system oscillations.Boston,USA:Kluwer Academic Publishers2000:315-316.】。初始运行方式下，发电机的有功出力及机端电压如附录表A1所示。经过特征值分析，系统的9个机电振荡模式及模态如附录表A2所示。本发明主要对阻尼比最低的振荡模式进行分析。在参数摄动过程中，为了便于定性分析特征值对摄动参数灵敏度的变化，摄动步长取为恒定值。

1.孤立模式的匹配

表1初始条件下的系统的机电振荡模式

首先，计算电力系统初始情况下的机电振荡模式，G表示发电机。然后，将发电机G1的有功出力P_g1从2.5p.u.分别以步长h＝0.02，0.04，0.08和0.10p.u.增加到4.5p.u.，计算得到模式M5及其一阶和二阶近似值在三维空间变化轨迹及其在复平面上投影如图3所示。，在P_g1的整个变化范围内，模式M5变化平缓，轨迹光滑。相邻两次参数摄动时，无论是模式M5还是其近似值都均匀分布，表明特征值与摄动参数之间的线性度较好。从估计的一般规律可以推知，在此情况下特征值估计应该具有较高的精度。在图3所示的P_g1的四种变化步长下，模式M5与其一阶和二阶近似值之间的差值较小，三者几乎始终重合在一起。这些仿真结果也印证了上述推测。

在P_g1变化过程中，在不同的摄动步长下，模式M5与其一阶和二阶近似值之间的最大误差如表2所示。

表2 P_g1变化过程中，M5的一阶与二阶近似值的最大误差

由表可知，二阶近似值比一阶近似值的估计精度高出近2个数量级。此外，随着摄动步长的增加，近似值与精确值之间的最大差值虽然也在增大，但都小于10^-4。

结合图3(a)～图3(d)和表2可知，对于类似这种模式变化轨迹较为光滑且线性度较好的情况，一方面参数摄动步长对特征值估计的精度的影响不大；另一方面基于矩阵摄动理论得到一阶和二阶近似值，都能非常准确地逼近模式对应精确特征值。当计及计算量因素时，利用一阶近似值进行模式匹配的效率会更高。

当P_g1摄动的步长h分别为0.02、0.04、0.08和0.10p.u.时，将模式M5及其一阶和二阶近似值，以及其它机电振荡模式的变化轨迹共同示于图4(a)～图4(d)中。由图显而易见，当P_g1逐步增加时，在所有机电振荡模式中，根据矩阵摄动理论计算出来的一阶和二阶近似值与模式M5最为接近。因而，能够实现模式M5在P_g1摄动前后的匹配。

2.密集模式的匹配

当发电机G1的机端电压V_t30从1.047p.u.分别以步长h＝0.002，0.004，0.008和0.010p.u.增加到1.207p.u.时，系统所有机电振荡模式的变化轨迹如图5所示。由图可知，模式M5的一阶近似值与其精确值最为接近，从而可利用该近似值实现模式M5在V_t30摄动前后的匹配。

由图5(a)～图5(d)还可以发现，在V_t30摄动过程中，模式M5和M4的变化轨迹均出现了一次转折。为了详细分析它们随V_t30的变化，在不同的摄动步长下，它们对应的精确特征值和近似特征值的变化轨迹及在复平面上的投影图6(a)～图6(d)所示。由图可知，在V_t30的整个变化范围内，模式M4的振荡频率变化较小。在发生转折之前，随着V_t30的增加，模式M4主要表现为阻尼比减小，而模式M5主要表现为振荡频率的增加。当V_t30＝1.1290p.u时，两个模式最为接近，它们对应的精确特征值分别为-0.1970±j7.6004和-0.1330±j7.5960。由于振荡频率非常接近，因此两个模式属于密集模式。之后，随着V_t30的增加，两个模式迅速改变移动方向。模式M4的阻尼比增大，而模式M5的振荡频率进一步增加。总的来说，模式M4主要是阻尼比发生变化，而模式M5主要表现为振荡频率的增加。

由图6(a)～图6(d)还可以发现，在临近转折点附近的几次参数摄动时，模式M4/M5对应的特征值间距变大，表明两个模式对V_t30的变化表现出强烈的非线性，近似特征值在转折点处的误差最大，如表2所示。由表可知，摄动步长的增大会导致近似值与精确值之间的误差增加，但都小于3e-3。实际上，这样小的误差对模式匹配的影响不大，从而充分说明了本发明提出的方法在这种情况下是可靠的。

表3 V_t30变化过程中，M5对应的近似值的最大误差

步长h/p.u.	0.002	0.004	0.008	0.01
					最大误差	6.99×10-5	2.74×10-4	2.05×10-3	2.91×10-3

当摄动参数V_t30分别等于1.119和1.139p.u.时，通过特征值分析得到了两对接近的模式M4和M4'、M5和M5'。它们的特征量如表3所示，对应的振荡模态图图7(a)～图7(d) 所示。表3中近似值表示基于V_t30＝1.119p.u.时模式M4和M5及对应的右、左特征向量计算得到的两个模式在V_t30＝1.139p.u.时的近似值。

表4模式M4/M4'和M5/M5'及对应的模态

结合表4和图7(a)～图7(d)可知，两个运行点下，模式M4与M4'、M5与M5'(的精确值)非常接近，但是振荡模态却差别较大。在模式M4的振荡模态中G1和G2分量的相位差约为60°，而在模式M4'的振荡模态中G1与G2分量的相位差约为120°，两个模式的同调机群不同。模式M5与M5'的振荡模态相比，G2和G1分量的相位差分别为120°和60°，G3和G1分量的相位差分别为78°和138°，它们的同调性也发生显著变化。综上可知，基于振荡频率和阻尼比变化不大的判据，可以判定模式M4与M4'、M5与M5'为不同运行点下的同一模式。但是，基于振荡模态相似性的判据，上述判定不成立。即基于特征量相似性辨识的振荡模式匹配方法无法得到确定的结论。

从表4中可知，基于矩阵摄动理论计算得到的模式M4和M5在V_t30＝1.139p.u.时的近似值，与模式M4'和M5'之间的误差较小，可以满足模式匹配的要求。因此，以这两个近似值为纽带，能从确定模式M4与M4'、M5与M5'为不同运行点下的同一模式。

附表A1初始运行方式下，发电机的出力及所在节点电压

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (8)

1.基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法，其特征是，分为以下步骤：

步骤(1)：在初始条件下，对电力系统进行潮流计算，得到描述电力系统动态的微分代数方程组并线性化，进而得到电力系统的状态矩阵，计算其特征值，得到电力系统的全部特征值和对应的右、左特征向量，转步骤(2)；

步骤(2)：对参数组进行摄动，计算由于参数摄动导致的电力系统状态矩阵变化量；

步骤(3)：判断参数摄动前模式的性质：即为孤立模式，还是属于某个密集模式组；如果是孤立模式就转到步骤(6)；如果是属于某个密集模式组就转到步骤(4)；

步骤(4)：计算密集模式组中所有特征值的平均值，然后计算由于特征值移位导致的状态矩阵变化量；

步骤(5)：计算矩阵W，继而计算密集模式组的估计值；根据第l次参数摄动前待匹配模式在密集模式组中的位置，从密集模式组的估计值中找到其对应的近似值；U₀：参数摄动前系统存在一组相互接近的密集特征值λ_0j形成的对角阵Λ₀对应的右特征向量矩阵；V₀：参数摄动前系统存在一组相互接近的密集特征值λ_0j形成的对角阵Λ₀对应的左特征向量矩阵；εC：密集特征值移位导致的系统状态矩阵变化量；εB是参数摄动导致的系统状态矩阵变化量；j＝1,2,…,r；

步骤(6)：利用计算参数摄动后振荡模式的近似值；ε是小系数；εB是参数摄动导致的系统状态矩阵变化量；λ_0i、u_0i：分别为参数摄动前系统的第i个特征值及其对应的右特征向量；v_0i：参数摄动前系统的第i个特征值对应的左特征向量；ελ_1i、ε²λ_2i：分别为模式λ_i的一阶摄动量和模式λ_i的二阶摄动量；i＝1,2,…,n；

步骤(7)：对参数摄动后的系统重新进行特征值分析，得到参数摄动后系统的特征值、参数摄动后系统的右特征向量和参数摄动后系统的左特征向量；

步骤(8)：如果是密集模式组，将通过步骤(7)的特征值分析得到的精确特征值λ_i ^(l)与通过步骤(5)利用摄动理论得到的近似特征值逐一进行比较，距离最近的特征值λ_i ^(l)就是与λ_i ^(l-1)对应的模式；

如果是孤立模式，将通过步骤(7)的特征值分析得到的精确特征值λ_i ^(l)与通过步骤(6)利用摄动理论得到的近似特征值逐一进行比较，距离最近的特征值λ_i ^(l)就是与λ_i ^(l-1)对应 的模式；

步骤(9)：重复步骤(2)～步骤(8)，直至完成参数摄动与模式匹配。

2.如权利要求1所述的基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法，其特征是，所述步骤(1)：在初始条件下，令参数组σ＝σ₀，对电力系统进行潮流计算，得到描述电力系统动态的微分代数方程组并线性化，进而得到电力系统的状态矩阵，计算其特征值，得到电力系统的全部特征值λ_0i和对应的右、左特征向量u_0i、v_0i，i＝1,2,...,n，表示系统共有n个模式，下标i表示某一模式；置参数摄动次数l＝1，转步骤(2)。

3.如权利要求1所述的基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法，其特征是，

所述步骤(2)：对参数组σ进行第l次摄动，计算由于参数摄动导致的电力系统状态矩阵变化量εB；

所述步骤(3)：判断参数摄动前第i个模式的性质：即为孤立模式，还是属于某个密集模式组；如果是孤立模式就转到步骤(6)；如果是属于某个密集模式组就转到步骤(4)。

4.如权利要求1所述的基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法，其特征是，

所述步骤(4)：根据公式计算密集模式组中所有特征值的平均值λ_av，由初始条件，有然后由式计算由于特征值移位导致的状态矩阵变化量εC；构造的矩阵；I_r：表示r阶单位矩阵。

5.如权利要求4所述的基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法，其特征是，所述步骤(5)：将前述步骤得到的右特征向量U₀、左特征向量V₀及εB、εC代入公式计算矩阵W，计算公式得到矩阵W的特征值对角阵εΛ₁，进而代入公式计算密集模式组的估计值根据第l次参数摄动前待匹配模式λ_i ^(l-1)在密集模式组中的位置，从密集模式组的估计值中找到其对应的近似值α、β：均表示待定系数矩阵；λ_i：模式，i＝1,2,…,n。

6.如权利要求1所述的基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法，其特征是，所述步骤(6)：利用步骤(2)获得的由于参数摄动导致的电力系统状态矩阵变化量εB、及步骤(1)得到的系统特征值λ_0i，右特征向量u_0i和左特征向量v_0i，利用式(16)计算第l次参数摄动后振荡模式i的近似值上标l表示参数组进行了l次摄动；

7.如权利要求1所述的基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法，其特征是，所述步骤(7)：对参数摄动后的系统重新进行特征值分析，得到参数摄动后系统的精确特征值λ_i ^(l)、参数摄动后系统的右特征向量和参数摄动后系统的左特征向量

8.如权利要求1所述的基于矩阵摄动理论的电力系统振荡模式的匹配方法，其特征是，所述步骤(3)的具体判断方法为：

设定判断标准为：电力系统其他模式与待匹配模式的距离小于一个设定的正实数；

如果满足判别标准，则符合判别标准的模式与待匹配模式形成一个密集模式组，然后转到步骤(4)，采用密集特征值的估计方法计算模式i的近似值；

如果不满足判别标准，待匹配模式是孤立的，则转到步骤(6)，采用孤立特征值的估计方法来计算。