CN103605893A - 基于单叶双曲面各向同性并联机构全局优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于单叶双曲面各向同性并联机构全局优化设计方法，采用复合单叶双曲面型式的并联机构，消除了负载惯性参数的约束，实现了完全各向同性。在此基础上提出用于衡量全域工作空间模态变化程度的全局模态灵敏度指标，采用该指标作为优化目标，通过优化结构参数实现了并联机构的具体参数设计。采用该发明设计的并联机构，不仅实现了控制中心的完全解耦及动态各向同性，而且保证了全域工作空间内的最优性能。本方法消除了传统六自由度并联机构无法实现完全各向同性的缺陷，实现了并联机构的完全解耦及优越的动态特性，使得其在工业应用中无需为了提升控制性能而研究复杂的控制策略，降低了工业应用成本。

Description

基于单叶双曲面各向同性并联机构全局优化设计方法

技术领域

本发明涉及结构设计及优化领域，具体是一种基于单叶双曲面各向同性并联机构全局优化设计方法。

背景技术

并联机构以其刚度大、结构稳定、承载能力强的优点在工业领域获得了广泛应用。然而并联机构各自由度间存在的强耦合特性会导致控制性能的严重降低。完全动态各向同性意味着并联机构不仅实现了解耦并且其各阶模态完全相等，由于受到实际负载惯性参数的约束，标准Stewart并联机构无法实现完全动态各向同性。为了获得高性能的控制品质，国内外学者提出了能够满足完全动态各向同性的复合单叶双曲面型式的并联机构，符合该型式的并联机构消除了实际负载惯性参数的约束条件，可实现柔顺控制中心的局部解耦且具有良好的控制性能。然而满足复合单叶双曲面形式的并联机构的解空间并不唯一，考虑全局特性并确定并联机构的具体设计参数在工程设计中具有重要意义。

发明内容

基于以上不足之处，本发明的目的在于提供一种基于单叶双曲面各向同性并联机构全局优化设计方法。本方法基于复合单叶双曲面的满足完全动态各向同性且以全局模态灵敏度为优化目标，根据负载特性设计满足完全各向同性的具体并联机构结构参数。

本发明采用以下技术方案予以实现：

步骤1：确定系统构型

根据负载特性M_t，计算满足完全各向同性的中位雅可比矩阵J_lx0：

$J_{\mathrm{lx}}\left(\mathrm{\α}\right)={\left[\begin{array}{cccccc}{p}_1\left(\mathrm{\α}\right)& p_2(\mathrm{\α}-\frac{2}{3}\mathrm{\π})& p_1(\mathrm{\α}+\frac{2}{3}\mathrm{\π})& p_2(\mathrm{\α}+\frac{2}{3}\mathrm{\π})& p_1(\mathrm{\α}-\frac{2}{3}\mathrm{\π})& p_2\left(\mathrm{\α}\right)\end{array}\right]}^T---\left(1\right)$

式(1)中：

p₁(α)=[-k_a1sinα k_a1cosα k_c1 -a_1zk_a1cosα+r₁k_c1sinα -α_1zk_a1sinα-r₁k_c1cosα r₁k_a1]^T

p₂(α)=[-k_a2sinα -k_a2cosα k_c2 -a_2zk_a2cosα-r₂k_c2sinα a_2zk_a2sinα-r₂k_c2cosα -r₂k_a2]^T

$k_{a1}=\frac{r_1}{\sqrt{{r_1}^2+c_1^2}},k_{c1}=\frac{c_1}{\sqrt{{r_1}^2+c_1^2}},k_{a2}=\frac{r_2}{\sqrt{r_2^2+c_2^2}},k_{c2}=\frac{c_2}{\sqrt{r_2^2+c_2^2}}$

复合单叶双曲面的特征参数包括：喉部半径r₁及r₂，双曲面中心距a_1z及a_2z，系数c₁及c₂。

负载特性M_t=[m_x m_y m_z I_xx I_yy I_zz]应满足：

m_x=m_y=m_z=m，I_xx=I_yy。

各参数计算过程如下：

定义喉部半径比

(1)当n=1时：

$r_1=r_2=\sqrt{\frac{I_{\mathrm{zz}}}{2m}},k_{a1}=k_{a2}=\sqrt{\frac{2}{3}},k_{c1}=k_{c2}=\sqrt{\frac{1}{3}},a_{1z}=a_{2z}=\sqrt{\frac{{4I}_{\mathrm{xx}}-I_{\mathrm{zz}}}{4m}}$

(2)当n≠1时：

$k_{c1}=\sqrt{\frac{\frac{{r_1}^2}{r_2^2}-\frac{1}{3}\±\sqrt{{(\frac{{r_1}^2}{r_2^2}-\frac{7}{9})}^2+\frac{32}{81}}}{2(\frac{{r_1}^2}{r_2^2}-1)}},k_{c2}=\sqrt{\frac{2}{3}-k_{c1}^2}$

$k_{a1}=\sqrt{1-k_{c1}^2},k_{a2}=\sqrt{1-k_{c2}^2}$

$r_2=\sqrt{\frac{I_{\mathrm{zz}}}{m}\frac{k_{c1}^2}{(k_{c1}^2+1/3)}},r_1={\mathrm{nr}}_2$

$a_{2z}=\sqrt{\frac{3(1-k_{c1}^2)}{4(k_{c1}^2+1/3)}(\frac{{4I}_{\mathrm{xx}}}{3m}-\frac{I_{\mathrm{zz}}}{m}\frac{k_{c1}^2}{(k_{c1}^2+1/3)}(\frac{2}{3}+(\frac{{r_1}^2}{r_2^2}-1)k_{c1}^2))}$

$a_{1z}=\frac{k_{c1}^2+1/3}{1-k_{c1}^2}{a}_{2z}$

根据设计要求选取喉部半径比n及角度α，运用公式(1)计算中位雅可比矩阵J_lx0=J_lx(α)，其中0≤n≤1，

步骤2：选择优化参数

工程设计中一般固定支腿长度l并通过调节支腿布置方式来获得具体的并联机构结构设计参数。

支腿长度l：l_scale为特征尺度。

可优化参数包括：平台中心距d、上平台高度h。

各参数选取原则为：

平台中心距d：位于两组双曲面中的上平台中心与解耦中心距离，当n=1时，可选d=0。

平移高度h：上下平台沿z向平移的高度。

本发明中采用单参数优化，每次优化取上述各参数其中之一。

步骤3：结构参数计算

对并联机构的结构参数设计实质为根据步骤1中获得的中位雅可比矩阵J_lx0求取上下平台铰点空间阵A和B。

上平台铰点空间阵：A=[a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆]

下平台铰点空间阵：B=[b₁ b₂ b₃ b₄ b₅ b₆]

a_i为上平台各铰点空间矢量，b_i为下平台各铰点空间矢量i=1，2…6。

具体设计过程如下：

(1)采用步骤1求得的中位雅可比矩阵J_lx0，代入公式(2)中，取出中位各支腿单位矢量I_ni0和矢量矩v_i0。

$J_{\mathrm{lx}0}=\left[\begin{array}{cc}{I}_{n10}^T& v_{10}^T\\ I_{n20}^T& v_{20}^T\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ I_{n60}^T& v_{60}^T\end{array}\right]---\left(2\right)$

(2)计算上下平台铰点空间阵A和B：

$p_i=(E-I_{\mathrm{ni}0}{I}_{\mathrm{ni}0}^T)(I_{\mathrm{ni}0}\×v_{i0})$

$k_{1i}=\frac{({(-1)}^{i+1}d-p_i\left(3\right))}{I_{\mathrm{ni}0}\left(3\right)},$ 当I_ni0(3)=0时，k_1i=0。

当I_ni0(3)=0时，k_2i=0。

a_i=p_i+(k_1i+k_2i)I_ni0

B=A-L₀

步骤4：建立模态灵敏度函数

$\mathrm{\ρ}(d,h)=\sqrt{\underset{i=1,j=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{i,j}^2/36}---\left(3\right)$

模态灵敏度矩阵：

其中：

$\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{x}=U{\left(\mathrm{\Δx}\right)}_i^T\frac{{\∂G}_T\left(\mathrm{\Δx}\right)}{\∂x}U{\left(\mathrm{\Δx}\right)}_i,\mathrm{\Δx}={\left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{\ϵ}& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T$

$\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{y}=U{\left(\mathrm{\Δy}\right)}_i^T\frac{{\∂G}_T\left(\mathrm{\Δy}\right)}{\∂y}U{\left(\mathrm{\Δy}\right)}_i,\mathrm{\Δy}={\left[\begin{array}{cccccc}0& \mathrm{\ϵ}& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T$

$\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{z}=U{\left(\mathrm{\Δz}\right)}_i^T\frac{{\∂G}_T\left(\mathrm{\Δz}\right)}{\∂z}U{\left(\mathrm{\Δz}\right)}_i,\mathrm{\Δz}={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& \mathrm{\ϵ}& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T$

$\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{\mathrm{\θ}}=U{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}_i^T\frac{{\∂G}_T\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}{\∂\mathrm{\θ}}U{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}_i,\mathrm{\Δ\θ}={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& \mathrm{\ϵ}& 0\end{array}\right]}^T$

$\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{\mathrm{\ψ}}=U{\left(\mathrm{\Δ\ψ}\right)}_i^T\frac{{\∂G}_T\left(\mathrm{\Δ\ψ}\right)}{\∂\mathrm{\ψ}}U{\left(\mathrm{\Δ\ψ}\right)}_i,\mathrm{\Δ\ψ}={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]}^T$

ε为一微小摄动量，一般情况下可取ε=10^-5

$G_T\left(\mathrm{sx}\right)=M_t^{-1}{J}_{\mathrm{lx}}^T\left(\mathrm{sx}\right)J_{\mathrm{lx}}\left(\mathrm{sx}\right)$

$U{\left(\mathrm{sx}\right)}_i^T{G}_T\left(\mathrm{sx}\right)U{\left(\mathrm{sx}\right)}_i={\mathrm{\λ}}_i$

雅可比矩阵J_lx(sx)：

$J_{\mathrm{lx}}\left(\mathrm{sx}\right)=\left[\begin{array}{cc}{I}_{n1}^T& {({\mathrm{Ta}}_1\×I_{n1})}^T\\ I_{n2}^T& {({\mathrm{Ta}}_2\×I_{n2})}^T\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ I_{n6}^T& {({\mathrm{Ta}}_6\×I_{n6})}^T\end{array}\right]---\left(5\right)$

其中：

I_ni为各支腿空间单位矢量i=1，2…6。

$I_{\mathrm{ni}}=\frac{I_i}{\left|\right|I_i\left|\right|}=\frac{{\mathrm{Ta}}_i+c-b_i}{\left|\right|{\mathrm{Ta}}_i+c-b_i\left|\right|}$

c=[x y z]^T

c表示cos，s表示sin。

步骤5：计算最小灵敏度

运用公知的黄金分割法寻找最小值：ρ_min=minρ(d，h)。

步骤6：生成优化曲线

根据优化变量的不同，绘制优化曲线

确定优化目标阈值，一般选取0≤f≤3db，选取符合目的的优化参数。

步骤7：校核

检验设计的结构参数是否存在干涉，若存在，返回步骤2重新修改设计参数进行优化。

步骤8：结束。

本发明的优点是：

本发明采用新型的基于复合单叶双曲面的并联机构结构形式，给出了一种满足局部完全动态各向同性且在全局工作空间内保证动态特性最优的结构参数优化方法，从设计角度消除了传统六自由度并联机构无法实现完全各向同性的缺陷，实现了并联机构的完全解耦及优越的动态特性，使得其在工业应用中无需为了提升控制性能而研究复杂的控制策略，降低了工业应用成本。

附图说明

图1为典型的复合单叶双曲面型式的并联机构的立体图；

图2为图1的俯视图；

图3为典型的复合单叶双曲面型式的并联机构的数学描述立体图；

图4为图3的主视图；

图5为并联机构构造方法示意图；

图6为优化算法流程图；

图7为实施例1优化曲线图；

图8为实施例1优化结构图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明：

图1-2为典型的复合单叶双曲面型式的并联机构，其各支腿的上下铰点分别位于上下平台的两组圆r_a1与r_a2、r_b1与r_b2内，六条支腿按奇偶序号分为两组：a₁b₁、a₃b₃、a₅b₅为一组，a₂b₂、a₄b₄、a₆b₆为一组，两组支腿分别位于双曲面S₁和S₂中，如图3-4所示，并通过线列Γ₁和Γ₂分别逆时针依次旋转120°生成。

其中S₁的数学描述公式为：

$S_1:(x^2+y^2)/{r_1}^2-{(z-a_{1z})}^2/c_1^2=1---\left(6\right)$

S₂的数学描述公式为：

$S_2:(x^2+y^2)/r_2^2-{(z+a_{2z})}^2/c_2^2=1---\left(7\right)$

图5为并联机构具体结构参数设计方法，选取平台中心距d及平移高度h，则可确定上平台平面1及上平台平面2，根据支腿长度可确定整体平台结构参数。

图6为优化算法流程图，下面结合具体实施例对其进行说明。

实施例1

步骤1：确定系统构型

根据负载特性M_t，计算满足完全动态各向同性的中位雅可比矩阵J_lx0。

负载特性M_t=[4300 4300 4300 4100 4100 6700]。

各参数的计算过程如下：

选取喉部半径比n=1。

r₁=r₂=0.8826，k_a1=k_a2=0.8165，k_c1=k_c2=0.5774，a_1z=a_2z=0.7510

选取角度

$J_{\mathrm{lx}0}=\left[\begin{array}{cccccc}-0.4082& 0.7071& 0.5774& -0.2762& -0.7479& 0.7207\\ -0.4082& -0.7071& 0.5774& -0.7858& -0.1347& -0.7207\\ -0.4082& -0.7071& 0.5774& 0.7858& 0.1347& 0.7207\\ -0.4082& 0.7071& 0.5774& 0.2762& 0.7479& -0.7207\\ 0.8165& 0& 0.5774& -0.5096& 0.6132& 0.7207\\ 0.8165& 0& 0.5774& 0.5096& -0.6132& -0.7207\end{array}\right]$

步骤2：选择优化参数

支腿长度l：取特征尺度l_scale=3，

平台中心距d：取d=0。

平移高度h：作为优化变量。

步骤3：结构参数计算

对并联机构的结构参数设计实质为根据步骤1中获得的中位雅可比矩阵J_lx0求取上下平台铰点空间阵A和B。

上平台铰点空间阵：A=[a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆]

下平台铰点空间阵：B=[b₁ b₂ b₃ b₄ b₅ b₆]

a_i为上平台各铰点空间矢量，b_i为下平台各铰点空间矢量i=1，2…6。

具体设计过程如下：

(1)采用步骤1求得的中位雅可比矩阵J_lx0，代入公式(2)中，取出中位各支腿单位矢量I_ni0和矢量矩v_i0。

(2)计算上下平台铰点空间阵A和B：

$p_i=(E-I_{\mathrm{ni}0}{I}_{\mathrm{ni}0}^T)(I_{\mathrm{ni}0}\×v_{i0})$

$k_{1i}=\frac{({(-1)}^{i+1}d-p_i\left(3\right))}{I_{\mathrm{ni}0}\left(3\right)}=-\frac{p_i\left(3\right)}{I_{\mathrm{ni}0}\left(3\right)}$

$k_{2i}=\frac{h}{I_{\mathrm{ni}0}\left(3\right)}$

a_i=p_i+(k_1i+k_2i)I_ni0

B=A-L₀

步骤4：建立模态灵敏度函数

$\mathrm{\ρ}\left(h\right)=\sqrt{\underset{i=1,j=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{i,j}^2/36}$

步骤5：计算最小灵敏度

运用公知的黄金分割法寻找最小值：ρ_min=minρ(h)=51.5951。

步骤6：生成优化曲线

根据优化变量的不同，绘制优化曲线

如附图7所示。

确定优化目标阈值，选取0≤f≤3db，选取优化参数h=0.4m。

步骤7：校核

设计完成的并联机构结构如附图8所示，经检验不存在干涉，优化完成。

步骤8：结束。

本发明的设计方法，采用复合单叶双曲面型式的并联机构，消除了负载惯性参数的约束，实现了完全各向同性。在此基础上提出用于衡量全域工作空间模态变化程度的全局模态灵敏度指标，采用该指标作为优化目标，通过优化结构参数实现了并联机构的具体参数设计。采用该发明设计的并联机构，不仅实现了控制中心的完全解耦及动态各向同性，而且保证了全域工作空间内的最优性能。

Claims (1)

1.基于单叶双曲面各向同性并联机构全局优化方法，其特征在于，方法如下：

步骤1：确定系统构型

根据负载特性M_t，计算满足完全各向同性的中位雅可比矩阵J_lx0：

$J_{\mathrm{lx}}\left(\mathrm{\α}\right)={\left[\begin{array}{cccccc}{p}_1\left(\mathrm{\α}\right)& p_2(\mathrm{\α}-\frac{2}{3}\mathrm{\π})& p_1(\mathrm{\α}+\frac{2}{3}\mathrm{\π})& p_2(\mathrm{\α}+\frac{2}{3}\mathrm{\π})& p_1(\mathrm{\α}-\frac{2}{3}\mathrm{\π})& p_2\left(\mathrm{\α}\right)\end{array}\right]}^T---\left(1\right)$

式(1)中：

p₁(α)=[-k_a1sinα k_a1cosα k_c1 -a_1zk_a1cosα+r₁k_c1sinα -a_1zk_a1sinα-r₁k_c1cosα r₁k_a1]^T

p₂(α)=[-k_a2sinα -k_a2cosα k_c2 -a_2zk_a2cosα-r₂k_c2sinα a_2zk_a2sinα-r₂k_c2cosα -r₂k_a2]^T

$k_{a1}=\frac{r_1}{\sqrt{{r_1}^2+c_1^2}},k_{c1}=\frac{c_1}{\sqrt{{r_1}^2+c_1^2}},k_{a2}=\frac{r_2}{\sqrt{r_2^2+c_2^2}},k_{c2}=\frac{c_2}{\sqrt{r_2^2+c_2^2}}$

复合单叶双曲面的特征参数包括：喉部半径r₁及r₂，双曲面中心距a_1z及a_2z，系数c₁及c₂；

负载特性M_t=[m_x m_y m_z I_xx I_yy I_zz]应满足：

m_x=m_y=m_z=m，I_xx=I_yy。

各参数计算过程如下：

定义喉部半径比

(1)当n=1时：

$r_1=r_2=\sqrt{\frac{I_{\mathrm{zz}}}{2m}},k_{a1}=k_{a2}=\sqrt{\frac{2}{3}},k_{c1}=k_{c2}=\sqrt{\frac{1}{3}},a_{1z}=a_{2z}=\sqrt{\frac{{4I}_{\mathrm{xx}}-I_{\mathrm{zz}}}{4m}}$

(2)当n≠1时：

$k_{c1}=\sqrt{\frac{\frac{{r_1}^2}{r_2^2}-\frac{1}{3}\±\sqrt{{(\frac{{r_1}^2}{r_2^2}-\frac{7}{9})}^2+\frac{32}{81}}}{2(\frac{{r_1}^2}{r_2^2}-1)}},k_{c2}=\sqrt{\frac{2}{3}-k_{c1}^2}$

$k_{a1}=\sqrt{1-k_{c1}^2},k_{a2}=\sqrt{1-k_{c2}^2}$

$r_2=\sqrt{\frac{I_{\mathrm{zz}}}{m}\frac{k_{c1}^2}{(k_{c1}^2+1/3)}},r_1={\mathrm{nr}}_2$

$a_{2z}=\sqrt{\frac{3(1-k_{c1}^2)}{4(k_{c1}^2+1/3)}(\frac{{4I}_{\mathrm{xx}}}{3m}-\frac{I_{\mathrm{zz}}}{m}\frac{k_{c1}^2}{(k_{c1}^2+1/3)}(\frac{2}{3}+(\frac{{r_1}^2}{r_2^2}-1)k_{c1}^2))}$

$a_{1z}=\frac{k_{c1}^2+1/3}{1-k_{c1}^2}{a}_{2z}$

根据设计要求选取喉部半径比n及角度α，运用公式(1)计算中位雅可比矩阵J_lx0=J_lx(α)，其中0≤n≤1，

步骤2：选择优化参数

工程设计中固定支腿长度l，并通过调节支腿布置方式来获得具体的并联机构结构设计参数；

支腿长度l：

l_scale为特征尺度；

可优化参数包括：平台中心距d、上平台高度h；

各参数选取原则为：

平台中心距d：位于两组双曲面中的上平台中心与解耦中心距离，当n=1时，d=0；

平移高度h：上下平台沿z向平移的高度；

本发明中采用单参数优化，每次优化取上述各参数其中之一；

步骤3：结构参数计算

对并联机构的结构参数设计实质为根据步骤1中获得的中位雅可比矩阵J_lx0求取上下平台铰点空间阵A和B；

上平台铰点空间阵：A=[a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆]

下平台铰点空间阵：B=[b₁ b₂ b₃ b₄ b₅ b₆]

a_i为上平台各铰点空间矢量，b_i为下平台各铰点空间矢量i=1，2…6；

具体设计过程如下：

(1)采用步骤1求得的中位雅可比矩阵J_lx0，代入公式(2)中，取出中位各支腿单位矢量I_ni0和矢量矩v_t0。

$J_{\mathrm{lx}0}=\left[\begin{array}{cc}{I}_{n10}^T& v_{10}^T\\ I_{n20}^T& v_{20}^T\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ I_{n60}^T& v_{60}^T\end{array}\right]---\left(2\right)$

(2)计算上下平台铰点空间阵A和B：

$p_i=(E-I_{\mathrm{ni}0}{I}_{\mathrm{ni}0}^T)(I_{\mathrm{ni}0}\×v_{i0})$

$k_{1i}=\frac{({(-1)}^{i+1}d-p_i\left(3\right))}{I_{\mathrm{ni}0}\left(3\right)},$ 当I_ni0(3)=0时，k_1i=0；

当I_ni0(3)=0时，k_2i=0；

a_i=p_i+(k_1i+k_2i)I_ni0

B=A-L₀

步骤4：建立模态灵敏度函数

$\mathrm{\ρ}(d,h)=\sqrt{\underset{i=1,j=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{i,j}^2/36}---\left(3\right)$

模态灵敏度矩阵：

其中：

$\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{x}=U{\left(\mathrm{\Δx}\right)}_i^T\frac{{\∂G}_T\left(\mathrm{\Δx}\right)}{\∂x}U{\left(\mathrm{\Δx}\right)}_i,\mathrm{\Δx}={\left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{\ϵ}& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T$

$\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{y}=U{\left(\mathrm{\Δy}\right)}_i^T\frac{{\∂G}_T\left(\mathrm{\Δy}\right)}{\∂y}U{\left(\mathrm{\Δy}\right)}_i,\mathrm{\Δy}={\left[\begin{array}{cccccc}0& \mathrm{\ϵ}& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T$

$\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{z}=U{\left(\mathrm{\Δz}\right)}_i^T\frac{{\∂G}_T\left(\mathrm{\Δz}\right)}{\∂z}U{\left(\mathrm{\Δz}\right)}_i,\mathrm{\Δz}={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& \mathrm{\ϵ}& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T$

$\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{\mathrm{\θ}}=U{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}_i^T\frac{{\∂G}_T\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}{\∂\mathrm{\θ}}U{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}_i,\mathrm{\Δ\θ}={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& \mathrm{\ϵ}& 0\end{array}\right]}^T$

$\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{\mathrm{\ψ}}=U{\left(\mathrm{\Δ\ψ}\right)}_i^T\frac{{\∂G}_T\left(\mathrm{\Δ\ψ}\right)}{\∂\mathrm{\ψ}}U{\left(\mathrm{\Δ\ψ}\right)}_i,\mathrm{\Δ\ψ}={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]}^T$

ε为一微小摄动量，取ε=10^-5

$G_T\left(\mathrm{sx}\right)=M_t^{-1}{J}_{\mathrm{lx}}^T\left(\mathrm{sx}\right)J_{\mathrm{lx}}\left(\mathrm{sx}\right)$

$U{\left(\mathrm{sx}\right)}_i^T{G}_T\left(\mathrm{sx}\right)U{\left(\mathrm{sx}\right)}_i={\mathrm{\λ}}_i$

雅可比矩阵J_lx(sx)：

$J_{\mathrm{lx}}\left(\mathrm{sx}\right)=\left[\begin{array}{cc}{I}_{n1}^T& {({\mathrm{Ta}}_1\×I_{n1})}^T\\ I_{n2}^T& {({\mathrm{Ta}}_2\×I_{n2})}^T\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ I_{n6}^T& {({\mathrm{Ta}}_6\×I_{n6})}^T\end{array}\right]---\left(5\right)$

其中：

I_ni为各支腿空间单位矢量i=1，2…6；

$I_{\mathrm{ni}}=\frac{I_i}{\left|\right|I_i\left|\right|}=\frac{{\mathrm{Ta}}_i+c-b_i}{\left|\right|{\mathrm{Ta}}_i+c-b_i\left|\right|}$

c=[x y z]^T

c表示cos，s表示sin；

步骤5：计算最小灵敏度

运用公知的黄金分割法寻找最小值：ρ_min=minρ(d，h)；

步骤6：生成优化曲线

根据优化变量的不同，绘制优化曲线

确定优化目标阈值，0≤f≤3db，选取符合目的的优化参数；

步骤7：校核

检验设计的结构参数是否存在干涉，若存在，返回步骤2重新修改设计参数进行优化；

步骤8：结束。

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