CN102729249B - 适用于模态空间控制的六自由度并联机构参数优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种适用于模态空间控制的六自由度并联机构参数优化方法，在六自由度并联机构在被动关节阻尼不可忽略的情况下通过改变结构参数使之近似为粘性比例阻尼系统，使得模态空间解耦控制器仍然能够发挥其大幅提高系统控制特性的优势，本发明使得模态空间控制器的适用范围大大增加。

Description

适用于模态空间控制的六自由度并联机构参数优化方法

技术领域

本发明涉及自动控制及结构优化领域，具体是一种适用于模态空间控制的具有镜像旋转对称性质的六自由并联机构结构参数优化方法。

背景技术

六自由度并联机构由于具有刚度高，承载能力大，精度高的特点，使其在航空航天、汽车测试及工业生产等领域得到了广泛的应用。镜像旋转对称六自由度并联机构是由2p(p≥3)个直线执行器、一个运动平台及一个固定平台构成的封闭多链式结构。其主要实现单自由度及多自由度空间中各种给定信号的精确控制，由于系统的强非线性动力学特性，使得系统在物理空间内各自由度之间存在强耦合性，这种强耦合性使传统的铰点空间单通道PID控制方法的控制品质严重降低。将系统视为粘性比例阻尼系统，则可将此物理空间强耦合多输入多输出(MIMO)系统转换为模态空间无耦合的单输入单输出(SISO)系统，运用这种模态空间解耦控制方法，可大幅提高系统性能。然而当并联机构各个被动关节上存在不可忽略的阻尼时，系统实际为非粘性比例阻尼系统，在这种情况下，如何通过改变结构参数使非粘性比例阻尼系统能够近似为粘性比例阻尼系统从而使模态空间解耦控制仍然适用，成为一个难题。

发明内容

本发明的目的在于提供了一种通过结构参数优化，使系统在被动关节阻尼不可忽略的情况下仍然能够采用模态空间解耦控制的优化方法。

本发明采用以下技术方案予以实现：

步骤1：确定系统构型

由于被动关节形式的不同，六自由度并联机构可分为：

双端球铰SPS：Spherical-Prismatic-Spherical、

双端万向节或虎克铰UCU：Universal-Cylindsical-Universal、

下铰为万向节，上铰为球铰UPS：Universal-Prismatic-Spherical、

下铰为球铰，上铰为万向节SPU：Spherical-Prismatic-Universal、

根据实际需要，选取上述四种构型中的一种，并确定支腿数2p。

步骤2：生成各被动关节阻尼阵。

下铰阻尼阵：

a.球铰型

$C_{\mathrm{cd}}=\underset{i=1}{\overset{2p}{\mathrm{\Σ}}}\left(J_{\mathrm{di},x}^T{J}_{\mathrm{di},x}\right)---\left(1\right)$

式(1)中：

$J_{\mathrm{di},x}=\left[\frac{{\tilde{l}}_{n.i}}{\left|{\stackrel{\‾}{l}}_i\right|}\frac{1}{\left|{\stackrel{\‾}{l}}_i\right|}{\tilde{l}}_{n,i}T{\left({\tilde{A}}_i^m\right)}^T{T}^T\right]$

b.万向节或虎克铰型

$C_{\mathrm{cd}1}=\underset{i=1}{\overset{2p}{\mathrm{\Σ}}}\left(J_{\mathrm{di}1,x}^T{J}_{\mathrm{di}1,x}\right)$ (2)

$C_{\mathrm{cd}2}=\underset{i=1}{\overset{2p}{\mathrm{\Σ}}}\left(J_{\mathrm{di}2,x}^T{J}_{\mathrm{di}2,x}\right)$

式(2)中：

$J_{\mathrm{di}1,x}={\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},1}{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},1}^T{J}_{\mathrm{di},x},{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},1}=\frac{{\stackrel{\‾}{r}}_{i,1}}{\left|{\stackrel{\‾}{r}}_{i,1}\right|},{\stackrel{\‾}{r}}_{i,1}={\stackrel{\‾}{l}}_{n,i}\×\stackrel{\‾}{z}.$

$J_{\mathrm{di}2,x}={\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},2}{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},2}^T{J}_{\mathrm{di},x},{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},2}=\frac{{\stackrel{\‾}{r}}_{i,2}}{\left|{\stackrel{\‾}{r}}_{i,2}\right|},{\stackrel{\‾}{r}}_{i,2}={-\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},1}\×{\stackrel{\‾}{l}}_{n,i}$

向量为下铰安装平面与Z轴的夹角，水平安装时 $\stackrel{\‾}{z}={\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]}^T.$

上铰阻尼阵：

a.球铰型

$C_{\mathrm{cu}}=\underset{i=1}{\overset{2p}{\mathrm{\Σ}}}\left(J_{\mathrm{ui},x}^T{J}_{\mathrm{ui},x}\right)---\left(3\right)$

式(3)中：

$J_{\mathrm{ui},x}=[\frac{{\tilde{l}}_{n.i}}{\left|{\stackrel{\‾}{l}}_i\right|}\frac{1}{\left|{\stackrel{\‾}{l}}_i\right|}{\tilde{l}}_{n,i}T{\left({\tilde{A}}_i^m\right)}^T{T}^T+T^T]$

b.万向节或虎克铰型

$C_{\mathrm{cu}1}=\underset{i=1}{\overset{2p}{\mathrm{\Σ}}}\left(J_{\mathrm{ui}1,x}^T{J}_{\mathrm{ui}1,x}\right)$ (4)

$C_{\mathrm{cu}2}=\underset{i=1}{\overset{2p}{\mathrm{\Σ}}}\left(J_{\mathrm{ui}2,x}^T{J}_{\mathrm{ui}2,x}\right)$

式(4)中：

$J_{\mathrm{ui}1,x}={\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},3}{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},3}^T{J}_{\mathrm{ui},x},{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},3}=\frac{{\stackrel{\‾}{r}}_{i,3}}{\left|{\stackrel{\‾}{r}}_{i,3}\right|},{\stackrel{\‾}{r}}_{i,3}={\stackrel{\‾}{l}}_{n,i}\×T\stackrel{\‾}{r}$

$J_{\mathrm{ui}2,x}={\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},4}{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},4}^T{J}_{\mathrm{ui},x},{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},4}=\frac{{\stackrel{\‾}{r}}_{i,4}}{\left|{\stackrel{\‾}{r}}_{i,4}\right|},{\stackrel{\‾}{r}}_{i,4}=-{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},3}\×{\stackrel{\‾}{l}}_{n,i}$

向量为上铰安装平面与Z轴的夹角，水平安装时 $\stackrel{\‾}{r}={\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]}^T.$

执行器旋转方向阻尼阵：

$C_r=\underset{i=1}{\overset{2p}{\mathrm{\Σ}}}\left(J_{r,i}^T{J}_{r,i}\right)---\left(5\right)$

若上铰采用球铰形式，则C_r＝0_6×6

式(5)中：

$J_{r,i}={\stackrel{\‾}{l}}_{n,i}{\stackrel{\‾}{l}}_{n,i}^T\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{0}}_{3\×3}& T^T\end{array}\right]$

式(1-5)中：

为各个液压缸方向向量，为其单位向量， 为各上铰点坐标向量，i＝1…2p。

${\stackrel{\‾}{l}}_{n,2p}=\mathrm{diag}\left({\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\end{array}\right]}^T\right){\stackrel{\‾}{l}}_{n,1}$

${\stackrel{\‾}{l}}_{n,2p-1}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{l}}_{n,1},{\stackrel{\‾}{l}}_{n,3}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{l}}_{n,5},...,{\stackrel{\‾}{l}}_{n,2p-3}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{l}}_{n,2p-1}$

${\stackrel{\‾}{l}}_{n,2p-2}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{l}}_{n,2p},...,{\stackrel{\‾}{l}}_{n,4}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{l}}_{n,6},{\stackrel{\‾}{l}}_{n,2}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{l}}_{n,4}$

${\stackrel{\‾}{a}}_{2p}=\mathrm{diag}\left({\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\end{array}\right]}^T\right){\stackrel{\‾}{a}}_1$

${\stackrel{\‾}{a}}_{2p-1}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{a}}_1,{\stackrel{\‾}{a}}_3=R_{z23}{\stackrel{\‾}{a}}_5,...,{\stackrel{\‾}{a}}_{2p-3}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{a}}_{2p-1}$

${\stackrel{\‾}{a}}_{2p-2}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{a}}_{2p},...,{\stackrel{\‾}{a}}_4=R_{z23}{\stackrel{\‾}{a}}_6,{\stackrel{\‾}{a}}_2=R_{z23}{\stackrel{\‾}{a}}_4$

$R_{z23}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\frac{2\mathrm{\π}}{p}\right)& -\sin \left(\frac{2\mathrm{\π}}{p}\right)& 0\\ \sin \left(\frac{2\mathrm{\π}}{p}\right)& \cos \left(\frac{2\mathrm{\π}}{p}\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

为向量的伴随矩阵，为向量的伴随矩阵，i＝1…2p。

${\tilde{I}}_{n,i}=\left[\begin{array}{ccc}0& -l_{\mathrm{niz}}& l_{\mathrm{niy}}\\ l_{\mathrm{niz}}& 0& -l_{\mathrm{nix}}\\ -l_{\mathrm{niy}}& l_{\mathrm{nix}}& 0\end{array}\right],$ ${\tilde{A}}_i^m=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_{\mathrm{iz}}& a_{\mathrm{iy}}\\ a_{\mathrm{iz}}& 0& -a_{\mathrm{ix}}\\ -a_{\mathrm{iy}}& a_{\mathrm{ix}}& 0\end{array}\right]$

T为方向余弦阵，本发明中采用中位时方向余弦阵，T＝E_3×3，为3阶单位阵。

用结构参数r_a，r_b，α，β，h，H，L表示上述各变量：

${\stackrel{\‾}{l}}_{n,1}={\left[\begin{array}{ccc}{l}_{n1x}& l_{n1y}& l_{n1z}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{r}_a\cos \mathrm{\α}-r_b\cos (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\β})& r_a\sin \mathrm{\α}-r_b\sin (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\β})& -H\end{array}\right]}^T/L$

${\stackrel{\‾}{a}}_1={\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1x}& a_{1y}& a_{1z}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{r}_a\cos \mathrm{\α}& -r_a\sin \mathrm{\α}& h\end{array}\right]}^T$

步骤3：确定权重因子及约束条件。

a.根据各被动关节阻尼系数的大小确定相应的权重因子，生成综合阻尼阵C_f

C_f＝w₁C_cd+w₂C_cu+w₃C_cd1+w₄C_cd2+w₅C_cu1+w₆C_cu2+w₇C_cr (6)

式(6)为包括所有构型的全阻尼阵解析形式，可根据系统构型选择式(6)中各权重因子。

SPS型机构选用权重因子w₁，w₂，其余权重因子

w₃＝w₄＝w₅＝w₆＝w₇＝0。

UCU型机构选用权重因子w₃，w₄，w₅，w₆，w₇，其余权重因子

w₁＝w₂＝0。

UPS型机构选用权重因子w₂，w₃，w₄，w₇，其余权重因子

w₁＝w₅＝w₆＝0。

SPU型机构选用权重因子w₁，w₅，w₆，w₇，其余权重因子

w₂＝w₃＝w₄＝0。

b.根据实际需要选择约束条件。

可选约束条件包括：

1.上铰圆与下铰圆半径比n，

2.平台高度H， $H=\sqrt{L^2-(r_a^2+r_b^2-2r_a{r}_b\cos (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β}))}$

3.支腿长度L， $L=\sqrt{r_a^2+r_b^2-2r_a{r}_b\cos (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β})+H^2}$

步骤4：选择优化参数

根据需要选择待优化参数，可作为优化参数的变量包括：下铰圆半径r_b、上铰圆与下铰圆半径比n、平台高度H、支腿长度L、上下平台相邻铰点短边半中心角α、β、质心高度h。负载质量m、负载绕X轴的转动惯量I_xx、负载绕Y轴的转动惯量I_yy、负载绕Z轴的转动惯量I_zz。

本发明中，单次优化参数为2个，其余待优化参数需代入初值。单次优化结束后，将优化结果代入优化参数中，可继续选择其余2个未优化变量作为优化参数，直至所有待优化变量全部获得优化结果。

步骤5：生成目标函数

目标函数表达式为

$\mathrm{\θ}=\frac{180}{\mathrm{\π}}\arctan \left(\mathrm{\δ}\right)---\left(7\right)$

式(7)中：

$\mathrm{\δ}=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1,j\≠i}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\left|D_{\mathrm{ij}}\right|/\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\left|D_{\mathrm{ij}}\right|$

$D=U_x^T{C}_f{U}_x$

$U_x=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& U_{x15}& U_{x16}\\ 0& U_{x22}& U_{x23}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& U_{x34}& 0& 0\\ 0& U_{x42}& U_{x43}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& U_{x55}& U_{x56}\\ U_{x61}& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

$t_1=\frac{1}{2}\frac{(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1x}^2-v_{1y}^2)+l_{n1y}^2-l_{n1x}^2+{({(\frac{n}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1y}^2-v_{1x}^2)+l_{n1x}^2-l_{n1y}^2)}^2+4{(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y})}^2)}^{1/2})}{-\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}{v}_{1y}{v}_{1x}+l_{n1x}{l}_{n1y}}$

$\cos \mathrm{\ψ}=\frac{t_2}{\sqrt{t_2^2+1}},\sin \mathrm{\ψ}=\frac{1}{\sqrt{t_2^2+1}}$

$t_2=\frac{1}{2}\frac{(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1x}^2-v_{1y}^2)+l_{n1y}^2-l_{n1x}^2+{({(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1x}^2+v_{1y}^2)+l_{n1y}^2+l_{n1x}^2)}^2-4\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}{(l_{n1x}{v}_{1x}+l_{n1y}{v}_{1y})}^2)}^{1/2})}{\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y}}$

v_1x＝l_n1za_1y-l_n1ya_1z

v_1y＝l_n1xa_1z-l_n1za_1x

v_1z＝l_n1ya_1x-l_n1xa_1y

m为负载质量，I_xx为负载绕X轴的转动惯量；I_yy为负载绕Y轴的转动惯量；I_zz为负载绕Z轴的转动惯量。

步骤6：作出三维趋势图

根据公知的matlab软件中ezmesh函数作出目标函数的三维图，XY轴为选择的优化变量，Z轴为评价指标θ，0°≤θ≤90°，其值越大，模态解耦控制器的适用性越差。

步骤7：确定优化参数

选取合适的评价指标θ阈值，一般选择θ≤10°，根据三维图选取满足此条件下的优化参数。

步骤8：若待优化变量全部完成优化，则结束优化。

本发明的优点是：

本发明给出了一种通过结构参数优化使系统在被动关节阻尼不可忽略的情况下仍然能够采用模态空间解耦控制策略，使得模态控制器的适用范围大大增加。

附图说明

图1为2p型并联机构俯视图；

图2为2p型并联机构斜二测图；

图3为优化算法流程图；

图4为六自由度并联机构俯视图；

图5为六自由度并联机构右视图

图6为六支腿并联机构结构示意图

图7为三维空间中曲线图，x轴为半径比n，y轴为控制点高度h，z轴为反映非粘性比例程度的角度值θ

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明：

镜像旋转对称六自由度并联机构如图1所示。

此类机构具有N＝2p(p∈Z，Z是正整数，p≥3)条支腿，下平台2p个铰点分布在半径为r_b的圆上，上平台2p个铰点分布在半径为r_a的圆上，2p条支腿分别为a₁b₁，a₂b₂，…，a_2pb_2p。r_a为上铰圆半径，r_b为下铰圆半径，α、β分别为上下平台相邻铰点短边半中心角。平台高度为H，质心高度为h。

图2为优化算法流程图，下面结合具体实施例对其进行说明。

实施例：

步骤1：确定系统构型

待优化的系统构型为6支腿UCU(双端万向节或虎克铰)型，p＝3其结构示意图如附图3所示，单条支腿示意图如附图4所示。

步骤2：生成各被动关节阻尼阵。

下铰阻尼阵：

方向1： $C_{\mathrm{cd}1}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{diag}\left({\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{cd}1x}& C_{\mathrm{cd}1y}& C_{\mathrm{cd}1z}\end{array}\right]}^T\right)& {\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{cd}1}\\ -{\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{cd}1}& \mathrm{diag}\left({\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{cd}1\mathrm{xx}}& C_{\mathrm{cd}1\mathrm{yy}}& C_{\mathrm{cd}1\mathrm{zz}}\end{array}\right]}^T\right)\end{array}\right]$

$C_{\mathrm{cd}1x}=C_{\mathrm{cd}1y}=\frac{p}{{\left|l\right|}^2}{l}_{n1z}^2,C_{\mathrm{cd}1z}=\frac{2p}{{\left|l\right|}^2}(1-l_{n1z}^2)$

$C_{\mathrm{cd}1\mathrm{xx}}=C_{\mathrm{cd}1\mathrm{yy}}=\frac{p}{{\left|l\right|}^2}({(l_{n1x}{a}_{1x}+l_{n1z}{a}_{1z})}^2+{(l_{n1y}{a}_{1y}+l_{n1z}{a}_{1z})}^2+(l_{n1x}^2{a}_{1y}^2+l_{n1y}^2{a}_{1z}^2-l_{n1z}^2{a}_{1z}^2))$

$C_{\mathrm{cd}1\mathrm{zz}}=\frac{2p}{{\left|l\right|}^2}\frac{l_{n1z}^2}{1-l_{n1z}^2}{(l_{n1y}{a}_{1x}-l_{n1x}{a}_{1y})}^2$

${\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{cd}1}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{cd}1z}& 0\\ {\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{cd}1z}& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],$ ${\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{cd}1z}=-\frac{p}{{\left|l\right|}^2}{l}_{n1z}(l_{n1x}{a}_{1x}+l_{n1y}{a}_{1y}+l_{n1z}{a}_{1z})$

方向2： $C_{\mathrm{cd}2}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{diag}\left({\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{cd}2x}& C_{\mathrm{cd}2y}& 0\end{array}\right]}^T\right)& {\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{cd}2}\\ -{\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{cd}2}& \mathrm{diag}\left({\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{cd}2\mathrm{xx}}& C_{\mathrm{cd}2\mathrm{yy}}& C_{\mathrm{cd}2\mathrm{zz}}\end{array}\right]}^T\right)\end{array}\right]$

$C_{\mathrm{cd}2x}=C_{\mathrm{cd}2y}=\frac{p}{{\left|l\right|}^2},$ $C_{\mathrm{cd}2\mathrm{xx}}=C_{\mathrm{cd}2\mathrm{yy}}=\frac{p}{{\left|l\right|}^2}{a}_{1z}^2$

$C_{\mathrm{cd}2\mathrm{zz}}=\frac{2p}{{\left|l\right|}^2}\frac{1}{1-l_{n1z}^2}{(l_{n1x}{a}_{1x}+l_{n1y}{a}_{1y})}^2$

${\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{cd}2}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{cd}2z}& 0\\ {\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{cd}2z}& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],$ ${\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{cd}2z}=-\frac{p}{{\left|l\right|}^2}{a}_{1z}$

上铰阻尼阵表达式：

方向1： $C_{\mathrm{cu}1}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{diag}\left({\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{cu}1x}& C_{\mathrm{cu}1y}& C_{\mathrm{cu}1z}\end{array}\right]}^T\right)& {\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{cu}1}\\ -{\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{cu}1}& \mathrm{diag}\left({\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{cu}1\mathrm{xx}}& C_{\mathrm{cu}1\mathrm{yy}}& C_{\mathrm{cu}1\mathrm{zz}}\end{array}\right]}^T\right)\end{array}\right]$

$C_{\mathrm{cu}1x}=C_{\mathrm{cu}1y}=\frac{p}{{\left|l\right|}^2}{l}_{n1z}^2,C_{\mathrm{cu}1z}=\frac{2p}{{\left|l\right|}^2}(1-l_{n1z}^2)$

$C_{\mathrm{cu}1\mathrm{xx}}=C_{\mathrm{cu}1\mathrm{yy}}=\frac{p}{{\left|l\right|}^2}\left(\begin{array}{c}{\left|l\right|}^2+2\left|l\right|(l_{n1y}{a}_{1y}+l_{n1z}{a}_{1z})+{(l_{n1x}+a_{1x}+l_{n1z}{a}_{1z})}^2\\ +{(l_{n1y}{a}_{1y}+l_{n1z}{a}_{1z})}^2+(l_{n1x}^2{a}_{1y}^2+l_{n1y}^2{a}_{1z}^2-l_{n1z}^2{a}_{1z}^2)\end{array}\right)$

$C_{\mathrm{cu}1\mathrm{zz}}=\frac{2p}{{\left|l\right|}^2}\frac{l_{n1z}^2}{1-l_{n1z}^2}{(l_{n1y}{a}_{1x}-l_{n1x}{a}_{1y})}^2$

${\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{cu}1}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{cu}1z}& 0\\ {\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{cu}1z}& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],$ ${\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{cu}1z}=-\frac{p}{{\left|l\right|}^2}{l}_{n1z}\left(\right|l|+l_{n1x}{a}_{1x}+l_{n1y}{a}_{1y}+l_{n1z}{a}_{1z})$

方向2： $C_{\mathrm{cu}2}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{diag}\left({\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{cu}2x}& C_{\mathrm{cu}2y}& 0\end{array}\right]}^T\right)& {\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{cu}2}\\ -{\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{cu}2}& \mathrm{diag}\left({\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{cu}2\mathrm{xx}}& C_{\mathrm{cu}2\mathrm{yy}}& C_{\mathrm{cu}2\mathrm{zz}}\end{array}\right]}^T\right)\end{array}\right]$

$C_{\mathrm{cu}2x}=C_{\mathrm{cu}2y}=\frac{p}{{\left|l\right|}^2},$ $C_{\mathrm{cu}2\mathrm{xx}}=C_{\mathrm{cu}2\mathrm{yy}}=\frac{p}{{\left|l\right|}^2}{(a_{1z}+|l\left|l_{n1z}\right)}^2$

$C_{\mathrm{cu}2\mathrm{zz}}=\frac{2p}{{\left|l\right|}^2}\frac{1}{1-l_{n1z}^2}{((l_{n1x}{a}_{1x}+l_{n1y}{a}_{1y})+|l\left|(1-l_{n1z}^2)\right)}^2$

${\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_{\mathrm{cu}2}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{cu}2z}& 0\\ {\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{cu}2z}& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],$ ${\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{cu}2z}=-\frac{p}{{\left|l\right|}^2}(a_{1z}+|l\left|l_{n1z}\right)$

执行器旋转方向阻尼阵： $C_r=\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{0}}_{3\×3}& {\stackrel{\‾}{0}}_{3\×3}\\ {\stackrel{\‾}{0}}_{3\×3}& \mathrm{diag}\left({\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{crxx}}& C_{\mathrm{cryy}}& C_{\mathrm{crzz}}\end{array}\right]}^T\right)\end{array}\right]$

$C_{\mathrm{crxx}}=C_{\mathrm{cryy}}=p(1-l_{n1z}^2),$ $C_{\mathrm{crzz}}=2p{l}_{n1z}^2.$

步骤3：确定权重因子及约束条件。

a.权重因子选择为w₃＝w₄＝w₅＝w₆＝w₇＝1，w₁＝w₂＝0

综合阻尼阵C_f表达式为C_f＝C_cd1+C_cd2+C_cu1+C_cu2+C_cr

b.约束条件为支腿长度L，L＝1.8266m

步骤4：选择优化参数

以上铰圆与下铰圆半径比n、质心高度h作为优化参数。其余结构参数赋值为：

r_b＝1.2m，α＝0°，β＝0°，m＝178.6kg

I_xx＝13.6kg·m²，I_yy＝13.6kg·m²，I_zz＝23.9kg·m²

步骤5：生成目标函数

目标函数表达式为

$\mathrm{\θ}=\frac{180}{\mathrm{\π}}\arctan \left(\mathrm{\δ}\right)$

式中：

$\mathrm{\δ}=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1,j\≠i}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\left|D_{\mathrm{ij}}\right|/\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\left|D_{\mathrm{ij}}\right|$

$D=U_x^t{C}_f{U}_x$

步骤6：作出三维趋势图

如附图(5)所示。

步骤7：确定优化参数

选择θ≤10°，根据三维图选取n＝0.5，h＝0.3m

步骤8：优化完成。

Claims (1)

1.适用于模态空间控制的六自由度并联机构参数优化方法，其特征在于方法如下：

步骤1：确定系统构型

由于被动关节形式的不同，六自由度并联机构分为：

双端球铰SPS：Spherical-Prismatic-Spherical、

双端万向节UCU：Universal-Cylindsical-Universal、

下铰为万向节，上铰为球铰UPS：Universal-Prismatic-Spherical、

下铰为球铰，上铰为万向节SPU：Spherical-Prismatic-Universal、

根据实际需要，选取上述四种构型中的一种，并确定支腿数2p；

步骤2：生成各被动关节阻尼阵；

下铰阻尼阵：

a.球铰型

$C_{\mathrm{cd}}=\underset{i=1}{\overset{2p}{\mathrm{\Σ}}}\left(J_{\mathrm{di},x}^T{J}_{\mathrm{di},x}\right)---\left(1\right)$

式(1)中：

$J_{\mathrm{di},x}=\left[\begin{array}{cc}\frac{{\tilde{l}}_{n,i}}{\left|{\stackrel{\‾}{l}}_i\right|}& \frac{1}{\left|{\stackrel{\‾}{l}}_i\right|}{\tilde{l}}_{n,i}T{\left({\tilde{A}}_i^m\right)}^T{T}^T\end{array}\right]$

b.万向节或虎克铰型

$\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{cd}1}=\underset{i=1}{\overset{2p}{\mathrm{\Σ}}}\left(J_{\mathrm{di}1,x}^T{J}_{\mathrm{di}1,x}\right)\\ C_{\mathrm{cd}2}=\underset{i=1}{\overset{2p}{\mathrm{\Σ}}}\left(J_{\mathrm{di}2,x}^T{J}_{\mathrm{di}2,x}\right)\end{array}---\left(2\right)$

式(2)中：

$J_{\mathrm{di}1,x}={\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},1}{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},1}^T{J}_{\mathrm{di},x},{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},1}=\frac{{\stackrel{\‾}{r}}_{i,1}}{\left|{\stackrel{\‾}{r}}_{i,1}\right|},{\stackrel{\‾}{r}}_{i,1}={\stackrel{\‾}{l}}_{n,i}\×\stackrel{\‾}{z}$

$J_{\mathrm{di}2,x}={\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},2}{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},2}^T{J}_{\mathrm{di},x},{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},2}=\frac{{\stackrel{\‾}{r}}_{i,2}}{\left|{\stackrel{\‾}{r}}_{i,2}\right|},{\stackrel{\‾}{r}}_{i,2}=-{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},1}\×{\stackrel{\‾}{l}}_{n,i}$

向量为下铰安装平面与Z轴的夹角，水平安装时

上铰阻尼阵：

a.球铰型

$C_{\mathrm{cu}}=\underset{i=1}{\overset{2p}{\mathrm{\Σ}}}\left(J_{\mathrm{ui},x}^T{J}_{\mathrm{ui},x}\right)---\left(3\right)$

式(3)中：

$J_{\mathrm{ui},x}=\left[\begin{array}{cc}\frac{{\tilde{l}}_{n,i}}{\left|{\stackrel{\‾}{l}}_i\right|}& \frac{1}{\left|{\stackrel{\‾}{l}}_i\right|}{\tilde{l}}_{n,i}T{\left({\tilde{A}}_i^m\right)}^T{T}^T+T^T\end{array}\right]$

b.万向节或虎克铰型

$\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{cu}1}=\underset{i=1}{\overset{2p}{\mathrm{\Σ}}}\left(J_{\mathrm{ui}1,x}^T{J}_{\mathrm{ui}1,x}\right)\\ C_{\mathrm{cu}2}=\underset{i=1}{\overset{2p}{\mathrm{\Σ}}}\left(J_{\mathrm{ui}2,x}^T{J}_{\mathrm{ui}2,x}\right)\end{array}---\left(4\right)$

式(4)中：

$J_{\mathrm{ui}1,x}={\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},3}{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},3}^T{J}_{\mathrm{ui},x},{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},3}=\frac{{\stackrel{\‾}{r}}_{i,3}}{\left|{\stackrel{\‾}{r}}_{i,3}\right|},{\stackrel{\‾}{r}}_{i,3}={\stackrel{\‾}{l}}_{n,i}\×T\stackrel{\‾}{r}$

$J_{\mathrm{ui}2,x}={\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},4}{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},4}^T{J}_{\mathrm{ui},x},{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},4}=\frac{{\stackrel{\‾}{r}}_{i,4}}{\left|{\stackrel{\‾}{r}}_{i,4}\right|},{\stackrel{\‾}{r}}_{i,4}=-{\stackrel{\‾}{r}}_{\mathrm{ni},3}\×{\stackrel{\‾}{l}}_{n,i}$

向量为上铰安装平面与Z轴的夹角，水平安装时

执行器旋转方向阻尼阵：

$C_r=\underset{i=1}{\overset{2p}{\mathrm{\Σ}}}\left(J_{r,i}^T{J}_{r,i}\right)---\left(5\right)$

若上铰采用球铰形式，则C_r＝0_6×6

式(5)中：

$J_{r,i}={\stackrel{\‾}{l}}_{n,i}{\stackrel{\‾}{l}}_{n,i}^T\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{0}}_{3\×3}& T^T\end{array}\right]$

式(1)-(5)中：

为各个液压缸方向向量，为其单位向量， 为各上铰点坐标向量，i＝1…2p；

${\stackrel{\‾}{l}}_{n,2p}=\mathrm{diag}\left({\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\end{array}\right]}^T\right){\stackrel{\‾}{l}}_{n,1}$

${\stackrel{\‾}{l}}_{n,2p-1}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{l}}_{n,1},{\stackrel{\‾}{l}}_{n,3}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{l}}_{n,5},...,{\stackrel{\‾}{l}}_{n,2p-3}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{l}}_{n,2p-1}$

${\stackrel{\‾}{l}}_{n,2p-2}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{l}}_{n,2p},...,{\stackrel{\‾}{l}}_{n,4}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{l}}_{n,6},{\stackrel{\‾}{l}}_{n,2}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{l}}_{n,4}$

${\stackrel{\‾}{a}}_{2p}=\mathrm{diag}\left({\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\end{array}\right]}^T\right){\stackrel{\‾}{a}}_1$

${\stackrel{\‾}{a}}_{2p-1}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{a}}_1,{\stackrel{\‾}{a}}_3=R_{z23}{\stackrel{\‾}{a}}_5,...,{\stackrel{\‾}{a}}_{2p-3}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{a}}_{2p-1}$

${\stackrel{\‾}{a}}_{2p-2}=R_{z23}{\stackrel{\‾}{a}}_{2p},...,{\stackrel{\‾}{a}}_4=R_{z23}{\stackrel{\‾}{a}}_6,{\stackrel{\‾}{a}}_2=R_{z23}{\stackrel{\‾}{a}}_4$

$R_{z23}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\frac{2\mathrm{\π}}{p}\right)& -\sin \left(\frac{2\mathrm{\π}}{p}\right)& 0\\ \sin \left(\frac{2\mathrm{\π}}{p}\right)& \cos \left(\frac{2\mathrm{\π}}{p}\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

为向量的伴随矩阵，为向量的伴随矩阵，i＝1…2p；

${\tilde{l}}_{n,i}=\left[\begin{array}{ccc}0& -l_{\mathrm{niz}}& l_{\mathrm{niy}}\\ l_{\mathrm{niz}}& 0& -l_{\mathrm{nix}}\\ -l_{\mathrm{niy}}& l_{\mathrm{nix}}& 0\end{array}\right],$ ${\tilde{A}}_i^m=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_{\mathrm{iz}}& a_{\mathrm{iy}}\\ a_{\mathrm{iz}}& 0& -a_{\mathrm{ix}}\\ -a_{\mathrm{iy}}& a_{\mathrm{ix}}& 0\end{array}\right]$

T为方向余弦阵，本发明中采用中位时方向余弦阵，T＝E_3×3，为3阶单位阵；

用结构参数r_a，r_b，α，β，h，H，L表示上述各变量：

${\stackrel{\‾}{l}}_{n,1}={\left[\begin{array}{ccc}{l}_{n1x}& l_{n1y}& l_{n1z}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{r}_a\cos \mathrm{\α}-r_b\cos (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\β})& r_a\sin \mathrm{\α}-r_b\sin (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\β})& -H\end{array}\right]}^T/L$

${\stackrel{\‾}{a}}_1={\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1x}& a_{1y}& a_{1z}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{r}_a\cos \mathrm{\α}& -r_a\sin \mathrm{\α}& h\end{array}\right]}^T$

步骤3：确定权重因子及约束条件；

a.根据各被动关节阻尼系数的大小确定相应的权重因子，生成综合阻尼阵C_f

C_f＝w₁C_cd+w₂C_cu+w₃C_cd1+w₄C_cd2+w₅C_cu1+w₆C_cu2+w₇C_cr (6)

式(6)为包括所有构型的全阻尼阵解析形式，根据系统构型选择式(6)中各权重因子；

SPS型机构选用权重因子w₁，w₂，其余权重因子

w₃＝w₄＝w₅＝w₆＝w₇＝0；

UCU型机构选用权重因子w₃，w₄，w₅，w₆，w₇，其余权重因子

w₁＝w₂＝0；

UPS型机构选用权重因子w₂，w₃，w₄，w₇，其余权重因子

w₁＝w₅＝w₆＝0；

SPU型机构选用权重因子w₁，w₅，w₆，w₇，其余权重因子

w₂＝w₃＝w₄＝0；

b.根据实际需要选择约束条件；

约束条件包括：

1.上铰圆与下铰圆半径比n，

2.平台高度H， $H=\sqrt{L^2-(r_a^2+r_b^2-2r_a{r}_b\cos (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β}))}$

3.支腿长度L， $L=\sqrt{r_a^2+r_b^2-2r_a{r}_b\cos (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β})+H^2}$

步骤4：选择优化参数

根据需要选择待优化参数，作为优化参数的变量包括：下铰圆半径r_b、上铰圆与下铰圆半径比n、平台高度H、支腿长度L、上下平台相邻铰点短边半中心角α、β、质心高度h；负载质量m、负载绕X轴的转动惯量I_xx、负载绕Y轴的转动惯量I_yy、负载绕Z轴的转动惯量I_zz；

单次优化参数为2个，其余待优化参数需代入初值；单次优化结束后，将优化结果代入优化参数中，继续选择其余2个未优化变量作为优化参数，直至所有待优化变量全部获得优化结果；

步骤5：生成目标函数

目标函数表达式为

$\mathrm{\θ}=\frac{180}{\mathrm{\π}}\arctan \left(\mathrm{\δ}\right)---\left(7\right)$

式(7)中：

$\mathrm{\δ}=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1,j\≠i}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\left|D_{\mathrm{ij}}\right|/\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\left|D_{\mathrm{ij}}\right|$

$D=U_x^T{C}_f{U}_x$

$t_1=\frac{1}{2}\frac{(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1x}^2-v_{1y}^2)+l_{n1y}^2-l_{n1x}^2+{({(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1y}^2-v_{1x}^2)+l_{n1x}^2-l_{n1y}^2)}^2+4{(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y})}^2)}^{1/2})}{-\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}{v}_{1y}{v}_{1x}+l_{n1x}{l}_{n1y}}$

$\cos \mathrm{\ψ}=\frac{t_2}{\sqrt{t_2^2+1}},$ $\sin \mathrm{\ψ}=\frac{1}{\sqrt{t_2^2+1}}$

$t_2=\frac{1}{2}\frac{(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1x}^2-v_{1y}^2)+l_{n1y}^2-l_{n1x}^2+{({(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1x}^2+v_{1y}^2)+l_{n1y}^2+l_{n1x}^2)}^2-4\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}{(l_{n1x}{v}_{1x}+l_{n1y}{v}_{1y})}^2)}^{1/2})}{\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y}}$

v_1x＝l_n1za_1y-l_n1ya_1z

v_1y＝l_n1xa_1z-l_n1za_1x

v_1z＝l_n1ya_1x-l_n1xa_1y

m为负载质量，I_xx为负载绕X轴的转动惯量；I_yy为负载绕Y轴的转动惯量；I_zz为负载绕Z轴的转动惯量；

步骤6：作出三维趋势图

根据公知的matlab软件中ezmesh函数作出目标函数的三维图，XY轴为选择的优化变量，Z轴为评价指标θ，0°≤θ≤90°，其值越大，模态解耦控制器的适用性越差；

步骤7：确定优化参数

选取评价指标θ阈值，θ≤10°，根据三维图选取满足此条件下的优化参数；

步骤8：若待优化变量全部完成优化，则结束优化。