CN110781565A - 一种非凸八边形四折痕折叠单元及可平折点的寻找方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非凸八边形四折痕折叠单元及可平折点的寻找方法，其中折叠单元的形状为由不全等的平行四边形组成的不对称非凸八边形；该折叠单元包括八个边界点，八条边界，四条折痕，两个平面可折叠点及其对应的两种折叠模式；所述非凸八边形折纸单元的八条边界两两平行；其中一种折叠模式的四条折痕构成内部折痕与单元边界平行的折痕图，另一种折叠模式的四条折痕构成内部折痕与单元边界不平行的折痕图。本发明折叠单元及平面可折叠点的确定仅需四个边界点的点坐标和一条边界相对于另一条边界的长度比例因子，为折纸折痕图案的开发设计提供了便利，便于本领域人员更高效地开发设计任意形状的四折痕折纸构型。

Description

一种非凸八边形四折痕折叠单元及可平折点的寻找方法

技术领域

本发明属于折纸结构设计与开发领域，涉及一种非凸八边形四折痕折叠单元及可平折点的寻找方法。

背景技术

近年来，折纸结构被广泛应用于航空航天、生物医学工程、力学超材料、机器人、智能建筑等领域。传统的Miura折纸基本单元以四个全等的平行四边形构成，折痕图案为平行折痕模式，完全折叠后形成另一个紧凑的平面结构。Miura折纸属于单自由度结构体系，应用于工程中时只需要在一个方向上施加驱动，操作简单方便。另一方面，传统Miura折纸的基本单元形状规则，限制了折纸折叠后的形状，对于传统Miura折纸，能在平面可折叠点选取上做出的变化不大。因此，设计一种任意形状的折纸基本单元及折痕模式将对增加折纸结构的形状多样性以及折纸结构在工程中的应用具有积极的作用。

在传统的Miura-ori折纸中，折痕图案在正交的两个方向上分别由一组平行直线和一组平行的锯齿形折线构成，可以看作同一个平行四边形通过平移、反射形成，其基本单元由四个全等的平行四边形围绕一个顶点构成。传统的Miura折纸基本单元是一个轴对称图形，其对称轴上的每一个点都可以作为折纸的可平折点，一般选择平行折痕的交点作为折纸的可平折点M。广义Miura折纸的折痕图案在两个方向上分别由两组平行的锯齿形折线构成，其基本单元由四个不同的平行四边形围绕一个顶点构成。与传统的Miura折纸不同，广义Miura折纸内部除了平行折痕的交点外，还存在其他满足平面可折叠条件的点，但对于任意形状的四折痕折纸单元，则无法确定可能存在的折叠点的位置。

发明内容

技术问题：本发明提供了一种针对任意形状的四折痕折叠单元及能迅速、有效地找出其内部满足平面可折叠条件的点坐标的寻找方法。

技术方案：

一种非凸八边形四折痕折叠单元，其特征在于，该折叠单元的形状为由不全等的平行四边形组成的不对称非凸八边形；该折叠单元包括八个边界点N1、N2、N3、N4、N5、N6、N7、N8，八条边界N1N2、N2N3、N3N4、N4N5、N5N6、N6N7、N7N8、N1N8，两个平面可折叠点M1、M2，以及其对应的折痕模式下的四条折痕M1N2、M1N4、M1N6、M1N8，或M2N2、M2N4、M2N6、M2N8；所述非凸八边形折纸单元的八条边界两两平行，N1N2平行于N6N7，N2N3平行于N5N6，N3N4平行于N1N8，N4N5平行于N7N8；M1对应的折痕模式下的四条折痕M1N2、M1N4、M1N6、M1N8构成内部折痕与单元边界平行的折痕图，M2对应的折痕模式下的四条折痕M2N2、M2N4、M2N6、M2N8构成内部折痕与单元边界不平行的折痕图。

所述平面可折叠点M1、M2坐标由下式确定：

式中点M的坐标有两个解，即M1和M2的坐标值，

分别表示由平面可折叠点M指向边界点N2、N4、N6、N8的二维向量，

表示由点N6指向点M、N5、N7的向量，

表示由点N2指向点M的向量。

任意选取非凸八边形上的一个边界点，编号为N1，按逆时针的顺序定义非凸八边形的顶点编号为N1～N8。

四个边界点N5、N6、N7、N8根据已知的四个边界点N1、N2、N3、N4的坐标[X(1)，Y(1)]、[X(2)，Y(2)]、[X(3)，Y(3)]、[X(4)，Y(4)]，及边界N4N5相对于边界N3N4的长度比例因子k_length＝N4N5/N3N4确定。

所述四个边界点N5、N6、N7、N8坐标求解的步骤为：

根据已知的边界点坐标和长度比例因子k_length，求得边界N1N2、N2N3、N3N4、N4N5的长度；

根据川崎定理所述的边界点N5处对角之和为180°的平面可折叠条件，确定边界N4N5的方向；

根据平面解析几何学计算非凸八边形四折痕折纸单元未知边界点N5～N8的坐标。

一种非凸八边形折叠单元中平折点的寻找方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤1、基于非凸八边形折纸单元已知的四个边界点N1、N2、N3、N4的坐标[X(1)，Y(1)]、[X(2)，Y(2)]、[X(3)，Y(3)]、[X(4)，Y(4)]，以及边界N4N5相对于边界N3N4的长度比例因子k_length，根据边界点N5处对角之和为180°的平面可折叠条件确定折叠单元形状，计算得出非凸八边形折纸单元其余边界点N5、N6、N7及N8的坐标；

步骤2、根据川崎定理中的刚性折纸平面可折叠条件，列出满足折纸单元内部可平折点M和边界点N6平面可折叠条件的几何约束方程(1)和几何约束方程(2)，定义目标函数F(M)；

式中

分别表示由单元内部可平折点M指向边界点N2、N4、N6、N8的向量，表示由边界点N6指向点M、N5、N7的向量，

表示由点N2指向点M的向量；

令：

则，目标函数F(M)为：

步骤3、将非凸八边形折纸单元划分为四个平行四边形，分别以平行于四个平行四边形边界的直线为网格线均匀划分各个平行四边形，依次选取网格点为初值点M₀，通过迭代法优化求解目标函数的最小值Fmin以及最小值对应的M点坐标，得到通过不同初值点M₀求得的最小值Fmin的数组F_min及最小值Fmin对应的M点的坐标矩阵M_point；

步骤4、剔除步骤3中优化迭代求得的F_min数组中超过目标函数值容许误差的数值所对应的M点坐标，保留位于非凸八边形折纸单元核心区域内的M点坐标，即为可平折点；

步骤5、通过将非凸八边形基本单元的可平折点分别与边界点N2、N4、N6、N8连接，形成单顶点四折痕折纸折痕图，根据折痕图折叠平面状态的非凸八边形折叠单元，完全折叠后可以形成另一个平面状态的折叠结构。

所述步骤4中，目标函数优化解Fmin的数值即为给定初值的目标函数F(M)与0之间的误差值，目标函数值的容许误差为10^-10，保留Fmin中小于10^-10容许误差的数值所对应的点M坐标。

所述步骤4中，所述非凸八边形基本单元的核心区域为与凹点编号奇偶性相同的顶点连线所围成的区域；当点N2、N4、N6、N8中存在凹点时，非凸八边形基本单元的核心区域为点N2、N4、N6、N8围成的区域N2N4N6N8；当点N1、N3、N5、N7中存在凹点时，非凸八边形基本单元的核心区域为点N1、N3、N5、N7围成的区域N1N3N5N7。

本发明在传统Miura折纸的基础上，提出了一种任意形状的非凸八边形折叠单元和在非凸八边形折纸单元中寻找可平折点的方法。本发明针对任意形状的非凸八边形基本单元，通过讨论中心点M和基本单元每个顶点的平面可折叠条件，利用优化的方法求解了位于基本单元核心区域内的所有可平折点，通过可平折点得到了非凸八边形基本单元的折痕图，根据折痕图折叠，使折纸从完全展开的平面状态转变为完全折叠的平面状态。

有益效果：本发明与现有技术相比，具有以下优点：

本发明折叠单元及平面可折叠点的确定仅需四个边界点的点坐标和两条边界的长度比例因子，为折纸折痕图案的开发设计提供了便利，便于本领域人员更高效地开发设计任意形状的四折痕折纸构型。

本发明解决了在由不同平行四边形组成的任意形状的非凸八边形折叠单元中寻找满足刚性折叠平面可折叠条件的点坐标。传统的Miura折纸，要求其折纸单元必须是由四个全等的平行四边形构成的轴对称图形，限制了折纸单元和完全折叠结构的形状。本发明提出的寻求平面可折叠点M的方法只需要输入非凸八边形前四个边界点的坐标和边界N4N5的长度比例因子，即可得到非凸八边形的所有边界点坐标，并根据两个几何约束方程求出包括平行折痕交点在内的所有平面可折叠点M的坐标。本发明提供的寻找平面可折叠点的方法，可以得到形成不平行折痕的可平折点M，使Miura折纸完全折叠状态下的结构形状具有多样性，以应用到更多领域中。

附图说明

图1为本发明公开的在非凸八边形折纸单元中寻找可平折点方法的技术流程图。

图2(a)为取平行折痕交点为第一可折叠点M1的折叠单元折痕图，图2(b)为采用本发明技术方法建立的另一种满足折纸平面可折叠条件的第二可折叠点M2的折叠单元折痕图。图中，N1～N8为边界点编号，折痕图中虚线均表示山折线，实线表示谷折线。

图3为本发明的非凸八边形四折痕折叠单元半折叠状态的示意图，图3(a-b)为取平行折痕交点为可折叠点M1的半折叠及完全折叠状态下的折叠图，图3(c-d)为取M2为可折叠点的半折叠及完全折叠状态下的折叠图。其中，N1～N8为顶点编号，折痕图中虚线均表示山折线，实线表示谷折线；完全折叠状态值折叠后由折痕图划分的凸八边形四折痕折叠单元的四个面之间的角度为0度，四个面在空间中共面。

具体实施方式

下面结合实施例和说明书附图对本发明作进一步的说明。

图1描述了本发明公开的在非凸八边形折叠单元中寻找可平折点方法的步骤。根据图1的技术流程，对图2所示折纸单元进行求解，以寻求该折纸单元的所有可平折点。该折纸单元有八个边界点，八条边界，N1～N8表示折纸单元的边界点。输入已知信息，前四个边界点N1～N4的坐标为N1＝[2.5，5]、N2＝[0，2]、N3＝[2.5，0]、N4＝[6，0.7]，边界N4N5相对于边界N3N4的长度比例因子为k_length＝1.1。根据已知条件求得边界N1N2、N2N3、N3N4、N4N5的长度，并通过余弦定理得到边界N1N8、N1N2之间的夹角α＝141.1°和边界N1N2、N2N3之间的夹角β＝130.0°，根据边界点N5处对角之和为180°的平面可折叠条件，可以得到N3N4与N4N5的夹角为γ＝α-β＝11.1°，并确定边界N4N5的方向向量

根据平面几何学计算求得点N5、N6、N7、N8的坐标X(5)＝X(4)+0.999992×N4N5＝9.92621，Y(5)＝Y(4)+0.003922×N4N5＝0.71540，X(6)＝X(5)+X(2)-X(3)＝7.42621，Y(6)＝Y(5)+Y(2)-Y(3)＝2.71540，X(7)＝X(6)+X(1)-X(2)＝9.92621，Y(7)＝Y(6)+Y(1)-Y(2)＝5.71540，X(8)＝X(1)+X(4)-X(3)＝6.00000，Y(8)＝Y(1)+Y(4)-Y(3)＝5.70000。根据川崎定理中的点M和点N6的平面可折叠条件即点M与点N6的几何约束方程(1)和几何约束方程(2)，定义目标函数F(M)。优化求解几何约束方程(1)和几何约束方程(2)中的未知点M的坐标(x，y)，即满足折纸平面可折叠条件的点坐标；

式中表示连接中心点M和顶点N2的向量，其余类推；

几何约束方程(1)、几何约束方程(2)的左边的式子分别用ConsM和ConsN6表示，

将组成折纸单元的四个平行四边形的各边长分别125等分，并在各平行四边形内部形成网格，在四个平行四边形内部分别均匀选取36个网格点作为初值点，重复将初值点坐标代入目标函数F(M)迭代优化求解的过程，求解得到F(M)的最小值Fmin及其相应的M点坐标保留目标函数值Fmin小于10^-10容许误差并且位于核心区域内的M点坐标值，最终准确得到了2个同时满足刚性折纸平面可折叠条件及刚性折叠条件的可平折点坐标M1＝[3.49983，2.69998]，M2＝[5.11511，2.45328]。根据边界点坐标、求得的可平折点坐标绘制出折纸单元折痕图，如图2所示。

上述实施例仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和等同替换，这些对本发明权利要求进行改进和等同替换后的技术方案，均落入本发明的保护范围。

Claims (8)

1.一种非凸八边形四折痕折叠单元，其特征在于，该折叠单元的形状为由不全等的平行四边形组成的不对称非凸八边形；该折叠单元包括八个边界点N1、N2、N3、N4、N5、N6、N7、N8，八条边界N1N2、N2N3、N3N4、N4N5、N5N6、N6N7、N7N8、N1N8，两个平面可折叠点M1、M2以及其对应的折痕模式下的四条折痕M1N2、M1N4、M1N6、M1N8，或M2N2、M2N4、M2N6、M2N8；所述非凸八边形折纸单元的八条边界两两平行，N1N2平行于N6N7，N2N3平行于N5N6，N3N4平行于N1N8，N4N5平行于N7N8；M1对应的折痕模式下的四条折痕M1N2、M1N4、M1N6、M1N8构成内部折痕与单元边界平行的折痕图，M2对应的折痕模式下的四条折痕M2N2、M2N4、M2N6、M2N8构成内部折痕与单元边界不平行的折痕图。

2.根据权利要求1所述的非凸八边形四折痕折叠单元，其特征在于，所述平面可折叠点M1、M2坐标由下式确定：

式中点M的坐标有两个解，即M1和M2的坐标值，分别表示由平面可折叠点M指向边界点N2、N4、N6、N8的二维向量，

表示由点N6指向点M、N5、N7的向量，

表示由点N2指向点M的向量。

3.根据权利要求2所述的非凸八边形四折痕折叠单元，其特征在于，任意选取非凸八边形上的一个边界点，编号为N1，按逆时针的顺序定义非凸八边形的顶点编号为N1～N8。

4.根据权利要求3所述的非凸八边形四折痕折叠单元，其特征在于，四个边界点N5、N6、N7、N8根据已知的四个边界点N1、N2、N3、N4的坐标[X(1)，Y(1)]、[X(2)，Y(2)]、[X(3)，Y(3)]、[X(4)，Y(4)]，及边界N4N5相对于边界N3N4的长度比例因子k_length＝N4N5/N3N4确定。

5.根据权利要求4所述的非凸八边形四折痕折叠单元，其特征在于，所述四个边界点N5、N6、N7、N8坐标求解的步骤为：

根据已知的边界点坐标和长度比例因子k_length，求得边界N1N2、N2N3、N3N4、N4N5的长度；

根据川崎定理所述的边界点N5处对角之和为180°的平面可折叠条件，确定边界N4N5的方向；

根据平面解析几何学计算非凸八边形四折痕折纸单元未知边界点N5～N8的坐标。

6.一种如权利要求1-5任一所述非凸八边形折叠单元中平折点的寻找方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤1、基于非凸八边形折叠单元已知的四个边界点N1、N2、N3、N4的坐标[X(1)，Y(1)]、[X(2)，Y(2)]、[X(3)，Y(3)]、[X(4)，Y(4)]，以及边界N4N5相对于边界N3N4的长度比例因子k_length，根据边界点N5处对角之和为180°的平面可折叠条件确定折叠单元形状，计算得出非凸八边形折纸单元其余边界点N5、N6、N7及N8的坐标；

步骤2、根据川崎定理中的刚性折纸平面可折叠条件，列出满足折叠单元内部可平折点M和边界点N6平面可折叠条件的几何约束方程(1)和几何约束方程(2)，定义目标函数F(M)；

式中

分别表示由单元内部可平折点M指向边界点N2、N4、N6、N8的向量，

表示由边界点N6指向点M、N5、N7的向量，表示由点N2指向点M的向量；

令：

则，目标函数F(M)为：

步骤3、将非凸八边形折叠单元划分为四个平行四边形，分别以平行于四个平行四边形边界的直线为网格线均匀划分各个平行四边形，依次选取网格点为初值点M₀，通过迭代法优化求解目标函数的最小值Fmin以及最小值对应的M点坐标，得到通过不同初值点M₀求得的最小值Fmin的数组F_min及最小值Fmin对应的M点的坐标矩阵M_point；

步骤4、剔除步骤3中优化迭代求得的F_min数组中超过目标函数值容许误差的数值所对应的M点坐标，保留位于非凸八边形折叠单元核心区域内的M点坐标，即为可平折点；

步骤5、通过将非凸八边形基本单元的可平折点分别与边界点N2、N4、N6、N8连接，形成单顶点四折痕折叠折痕图，根据折痕图折叠平面状态的非凸八边形折叠单元，完全折叠后可以形成另一个平面状态的折叠结构。

7.根据权利要求6所述的可平折点的寻找方法，其特征在于，所述步骤4中，目标函数优化解Fmin的数值即为给定初值的目标函数F(M)与0之间的误差值，目标函数值的容许误差为10^-10，保留Fmin中小于10^-10容许误差的数值所对应的点M坐标。

8.根据权利要求6所述的可平折点的寻找方法，其特征在于，所述步骤4中，所述非凸八边形基本单元的核心区域为与凹点编号奇偶性相同的顶点连线所围成的区域；当点N2、N4、N6、N8中存在凹点时，非凸八边形基本单元的核心区域为点N2、N4、N6、N8围成的区域N2N4N6N8；当点N1、N3、N5、N7中存在凹点时，非凸八边形基本单元的核心区域为点N1、N3、N5、N7围成的区域N1N3N5N7。

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