CN103604508B - 一种自适应消除倾斜误差的波前重建方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于光学测试技术领域，涉及一种自适应消除倾斜误差的波前重建方法，先使用相移法分别提取n个剪切量对应的n组差分相位，每组差分相位都包括x，y两个方向的差分相位，再对每一组差分相位都进行二维傅立叶变换，傅立叶变换后的差分相位称为傅立叶系数，每组傅立叶系数中都加入一个无偏的修正系数，然后把n组傅立叶变换系数迭加，自动消除两组傅立叶系数之间常数偏置的倾斜失配，再对傅立叶变换系数进行逆傅立叶变换，即可求出无倾斜误差的待测波前，实现对波前倾斜的自适应修订，自动消除波前倾斜误差；其方法简单，操作方法，重建精度高，自适应性强，应用广泛。

Description

一种自适应消除倾斜误差的波前重建方法

技术领域：

本发明属于光学测试技术领域，涉及一种波前重建方法，特别是一种对多个剪切量或相移法自适应消除倾斜误差的波前重建方法。

背景技术：

光学测试方法具有非接触、高灵敏度的特点，是计量测试技术领域的主要方法。在光学测试方法中，光干涉测量是一种能精确到波长级的精密测量技术，而其中的横向剪切干涉方法因具备对光源的相干性要求低，抗干扰能力强等优点，使其成为光学波前测量的一项重要技术[M.P.RimmerandJ.C.Wyant,“Evaluationoflargeaberrationsusingalateral-shearinterferometerhavingvariableshear,”Appl.Opt.14,142-150,1975；J.ChuandS.Kim,“Absolutedistancemeasurementbylateralshearinginterferometryofpoint-diffractedsphericalwaves”,Opt.Express.14,5961-5967,2006]，在光学测量中有巨大的应用价值，在横向剪切干涉的测量过程中，由于受剪切方式以及光学元件位置的影响，原始波前容易引入倾斜量，在差分相位中会出现一个常数偏置[Z.Yin,“Exactwavefrontrecoverywithtiltfromlateralshearinterferograms,”Appl.Opt48,2760-2766,2009；X.Chen,Y.Li,G.Ding,L.Lei,“Wavefrontreconstructionwithtiltfromtwoshearinginterferograms,CrossStraitQuad-RegionalRadioScienceandWirelessTechnologyConference,202-205,2011]；在多剪切量干涉的情况下，获得的多组差分相位间会出现偏置值彼此不匹配的情况，从而带来大的重建误差，甚至导致重建失败，这种重建误差，我们称之为倾斜误差，它很难通过调整硬件的方法来克服。

假定一个二维波前其中为原始波前,a，b分别为x和y方向的倾斜系数,c为常数项。当使用K个剪切量进行波前重建实验时，每个剪切量对应的系数都可能是不同的，假定分别为a₁,a₂,…a_K，b₁,b₂,…,b_K，c₁,c₂,…c_K。因此，我们可以获得以下差分位相的表达式：

这里所有的剪切量s_j是已知的。在x,y方向上倾斜量分别以一个偏置常数的形式出现在差分位相中。当从多幅剪切干涉图提取出各组差分位相是时，由于相移算法和位相取包裹过程可能使得各组差分相位间的偏置项a_j,b_j不完全相等，即彼此不匹配。在x方向上，a₁≠a₂≠…≠a_K，直接用这样的差分位相进行波前重建，会导致重建失败。因此K个倾斜偏置项不能忽略，不能直接使用实验得到的K个差分位相去进行重建，同样道理在y方向也成立，如果忽略这种倾斜误差的话，重建精度会受到限制。

因此，人们提出一些方法来降低倾斜误差[M.Chen,H.Guo,andC.Wei,“Algorithmimmunetotiltphase-shiftingerrorforphase-shiftinginterferometers,”APP.Opt,39,3894-3898,2000；H.Schreiber,Measuringwavefronttiltusingshearinginterferometry,Proc.SPIE,59650Y-1-12,2005]，但是这些方法通常是针对一维波前重建的情况或者是利用实验装置的改进来消除倾斜误差，要想通过算法自动消除二维波前重建中的倾斜误差比较困难。所以，寻求提供一种二维波前重建中自动消除波前倾斜的算法，用数据后处理的方法来消除倾斜误差，有效降低多剪切量干涉情形下波前倾斜的影响，提高多剪切量干涉的波前重建精度。

发明内容：

本发明的目的在于克服现有技术存在的缺点，寻求设计提供一种自适应消除倾斜误差的波前重建方法，采用改进型多剪切量重建算法，用数据后处理的方法来消除倾斜误差，有效降低多剪切量干涉情形下波前倾斜的影响，提高多剪切量干涉的波前重建精度，自动消除波前倾斜误差。

为了实现上述目的，本发明在多剪切量的差分相位进行波前重建的基础上进行改进，以数据后处理的方法使波前重建过程无须考虑波前倾斜误差的影响，先使用相移法分别提取n个剪切量对应的n组差分相位，每组差分相位都包括x，y两个方向的差分相位，再对每一组差分相位都进行二维傅立叶变换，傅立叶变换后的差分相位称为傅立叶系数，每组傅立叶系数中都加入一个无偏的修正系数，然后把n组傅立叶变换系数迭加，自动消除两组傅立叶系数之间常数偏置的倾斜失配，再对傅立叶变换系数进行逆傅立叶变换，即可求出无倾斜误差的待测波前，实现对波前倾斜的自适应修订，自动消除波前倾斜误差。

本发明自动消除波前倾斜误差的原理为：先对待测波前在x和y方向上分别进行K个剪切量的横向剪切干涉实验得到K组干涉图，然后采用相移原理和去包裹运算对实验所得到K组干涉图抽取位相得到待测波前的K组差分位相，在不考虑任何误差时，对K组差分位相分别做一维的周期性延拓，补足横向剪切干涉当中所缺失的数据，设第j组差分位相在x方向和y方向上的离散值分别为和待测位相为差分位相和待测波前的关系为：

这里j代表不同的剪切量的序数，j＝1,2,…,K；s_j代表第j个剪切量,N为x方向和y方向的采样维数，N_j＝N-s_j；再考虑差分位相的倾斜误差，差分位相的表达式如下：

$\begin{array}{c}{h}_j^x(m,n)=D_j^x(m,n)+a_j{s}_j\\ h_j^y(m,n)=D_j^y(m,n)+b_j{s}_j\end{array},j=1,2,\mathrm{...},K---\left(2\right)$

这里常数项a_js_j,b_js_j是倾斜误差；同样，对K组差分位相分别做一维的周期性延拓，补足横向剪切干涉当中所缺失的数据，对(2)中的差分位相进行傅里叶变换，并除以传递函数得到差分位相的傅里叶系数：

设 $Y\left(p\right)=\underset{m=0}{\overset{N-1}{\Σ}}m\exp (-\frac{i2\mathrm{\π}mp}{N}),$ 则上式变为

其中，是待求的理想波前的傅里叶系数，Y(p)＝FT(m),Y(q)＝FT(n)代表两个垂直方向上45度倾斜直线的傅里叶系数，(3.1a)式从中减去得到：

同理在y方向，

通过权重平均法求出一个无偏(unbiased)的修正系数a_1j,b_1j，

这里，

${w_t}^x\left(p\right)=|Y\left(p\right){|}^2/\[{r_1}^x\left(p\right)+{r_j}^x\left(p\right)\],{w_t}^y\left(q\right)=|Y\left(q\right){|}^2/\[{r_1}^y\left(q\right)+{r_j}^y\left(q\right)\]---\left(6\right)$

${r_j}^y\left(p\right)=s_j\underset{l=1}{\overset{N/s_j-1}{\Σ}}{\sin }^2({\mathrm{\πlps}}_j/N)/{\sin }^2({\mathrm{\πps}}_j/N)---\left(7.1a\right)$

${r_j}^y\left(q\right)=s_j\underset{l=1}{\overset{N/s_j-1}{\Σ}}{\sin }^2({\mathrm{\πlqs}}_j/N)/{\sin }^2({\mathrm{\πqs}}_j/N)---\left(7.1b\right)$

此时计算这些修正系数，在原来多剪切量重建波前位相算法基础上，得到下列方程表示的新的改进算法:

从式(8)中看出，当j＝1时，a_1j＝0,b_1j＝0，当j≠1时，a_1j,b_1j能计算得到，此算法与原来的算法相比，在差分相位的傅里叶变换系数中加入了一个无偏的修正项，自动消除两个偏置常数之间的倾斜失配；通过对上面的计算，再经过逆傅里叶变换，即求出原始的待测波前，实现消除倾斜因子带来的重建误差和由于相移操作引入的误差。

本发明与现有技术相比，采用加入无偏估计值的方法，通过算法自动消除倾斜误差，无需考虑实验中照明方式、光学元件位置、相移操作中实验器件移动以及相位去包裹带来的误差影响，其方法简单，操作方法，重建精度高，自适应性强，应用广泛。

附图说明：

图1为本发明涉及的的实施例2、3和4的实验光路图。

图2为本发明涉及的两种算法下，焦距为60mm凹透镜的光学表面测试图。其中(a)为x方向的横向剪切干涉图(s＝4)，(b)在y方向上的横向剪切干涉图(s＝4)；(c)x方向的差分相位(s＝4)，(d)y方向的差分相位(s＝4)；(e)剪切量为s＝2,3,4时，在原来的多剪切量重建算法下，透镜的二维相位分布图；(f)剪切量为s＝2,3,4时，在我们提出的新算法下，透镜的二维相位分布图。

图3为本发明涉及的两种算法下，台阶型样品的字母E的光学表面测试。其中(a)为x方向的横向剪切干涉图(s＝3)，(b)在y方向上的横向剪切干涉图(s＝3)；(c)x方向的差分相位(s＝3)，(d)y方向的差分相位(s＝3)；(e)剪切量为s＝2,3,7时，原算法下字母的二维相位分布图；(f)剪切量为s＝2,3,7时，新算法下二维相位分布图；(g)对应图(e)的一维截面图；(h)对应图(f)的一维截面图。

图4为本发明涉及的两种算法下光刻相位物的光学表面测试，上面是二维位相分布图，下面相应的是其一维截面图，图3为本发明涉及的两种算法下，台阶型样品的字母E的光学表面测试。其中(a)为x方向的横向剪切干涉图(s＝5)，(b)在y方向上的横向剪切干涉图(s＝5)(c)剪切量为s＝5,8,9时，原算法下字母的二维相位分布图；(d)剪切量为s＝5,8,9时，新算法下二维相位分布图；(e)对应图(c)的一维截面图；(f)对应图(d)的一维截面图。

具体实施方式：

下面通过实施例并结合附图对本发明做进一步说明。

本实施例在多剪切量的差分相位进行波前重建的基础上进行改进，以数据后处理的方法使波前重建过程无须考虑波前倾斜误差的影响，先使用相移法分别提取n个剪切量对应的n组差分相位，每组差分相位都包括x，y两个方向的差分相位，再对每一组差分相位都进行二维傅立叶变换，傅立叶变换后的差分相位称为傅立叶系数，每组傅立叶系数中都加入一个无偏的修正系数，然后把n组傅立叶变换系数迭加，自动消除两组傅立叶系数之间常数偏置的倾斜失配，再对傅立叶变换系数进行逆傅立叶变换，即可求出无倾斜误差的待测波前，实现对波前倾斜的自适应修订，自动消除波前倾斜误差。

本实施例自动消除波前倾斜误差的原理为：先对待测波前在x和y方向上分别进行K个剪切量的横向剪切干涉实验得到K组干涉图，然后采用相移原理和去包裹运算对实验所得到K组干涉图抽取位相得到待测波前的K组差分位相，在不考虑任何误差时，对K组差分位相分别做一维的周期性延拓，补足横向剪切干涉当中所缺失的数据，设第j组差分位相在x方向和y方向上的离散值分别为和待测位相为差分位相和待测波前的关系为：

这里j代表不同的剪切量的序数，j＝1,2,…,K；s_j代表第j个剪切量,N为x方向和y方向的采样维数，N_j＝N-s_j；再考虑差分位相的倾斜误差，差分位相的表达式如下：

$\begin{array}{c}{h}_j^x(m,n)=D_j^x(m,n)+a_j{s}_j\\ h_j^y(m,n)=D_j^y(m,n)+b_j{s}_j\end{array},j=1,2,\mathrm{...},K---\left(2\right)$

这里常数项a_js_j,b_js_j是倾斜误差；同样，对K组差分位相分别做一维的周期性延拓，补足横向剪切干涉当中所缺失的数据，对(2)中的差分位相进行傅里叶变换，并除以传递函数得到差分位相的傅里叶系数：

设 $Y\left(p\right)=\underset{m=0}{\overset{N-1}{\Σ}}m\exp (-\frac{i2\mathrm{\π}mp}{N}),$ 则上式变为

其中，是待求的理想波前的傅里叶系数，Y(p)＝FT(m),Y(q)＝FT(n)代表两个垂直方向上45度倾斜直线的傅里叶系数，(3.1a)式从中减去得到：

同理在y方向，

通过权重平均法求出一个无偏(unbiased)的修正系数a_1j,b_1j，

这里，

${w_t}^x\left(p\right)=|Y\left(p\right){|}^2/\[{r_1}^x\left(p\right)+{r_j}^x\left(p\right)\],{w_t}^y\left(q\right)=|Y\left(q\right){|}^2/\[{r_1}^y\left(q\right)+{r_j}^y\left(q\right)\]---\left(6\right)$

${r_j}^y\left(p\right)=s_j\underset{l=1}{\overset{N/s_j-1}{\Σ}}{\sin }^2({\mathrm{\πlps}}_j/N)/{\sin }^2({\mathrm{\πps}}_j/N)---\left(7.1a\right)$

${r_j}^y\left(q\right)=s_j\underset{l=1}{\overset{N/s_j-1}{\Σ}}{\sin }^2({\mathrm{\πlqs}}_j/N)/{\sin }^2({\mathrm{\πqs}}_j/N)---\left(7.1b\right)$

此时计算这些修正系数，在原来多剪切量重建波前位相算法基础上，得到下列方程表示的新的改进算法:

从式(8)中看出，当j＝1时，a_1j＝0,b_1j＝0，当j≠1时，a_1j,b_1j能计算得到，此算法与原来的算法相比，在差分相位的傅里叶变换系数中加入了一个无偏的修正项，自动消除两个偏置常数之间的倾斜失配；通过对上面的计算，再经过逆傅里叶变换，即求出原始的待测波前；这种改进的算法能消除倾斜因子带来的重建误差和由于相移操作引入的误差。

实施例1：

本实施例使用的光源是波长为632.8nm的He-Ne激光器，空间光调制器空间光调制器(SLM)是Sony公司的投射式液晶空间光调制器，其像素数为1024×768，像素大小为18um×18um；旋转的毛玻璃用于降低照明光波的影响以减少噪斑的影响；共焦放置的透镜L1和L2构成4f系统，SLM放在4f系统的共焦面上，样品放在4f系统的物平面上，计算机同时连接着SLM和电荷耦合器件(CCD)，控制全息光栅的显示和干涉图的纪录存储；光路搭建完成后，实验测量过程中不需要再做光路调整，只需通过计算机对空间调制器进行电寻址调控，避免了实时操作，降低机械调整可能引起的测量误差。

实施例2：

本实施例按照图1搭建的实验系统，在物平面放置焦距为60mm的凹透镜，在空间光调制器上显示相对平移的余弦光栅，利用CCD获取干涉图；干涉图的采样数为420×420，选用的剪切量分别是2，3，4个像素，每个剪切量下，用八步相移法分别获取在x和y方向剪切的干涉图各八幅；图2中的第一栏是剪切量为4个像素时，获取的x和y方向剪切的各八幅干涉图中的一幅，第二栏分别为从剪切干涉图提取出的在x和y方向的差分相位；然后用原来的算法和新提出的改进型算法分别重建波前，得出透镜的位相分布，如图2第三栏所示，新提出的算法明显优于原来的算法，利用原来算法拟合得到透镜焦距为58.6mm，新算法对重建结果分析拟合得到焦距为59mm，误差更小。

实施例3：

本实施例在物平面放置一个刻有英文字母E的纯相位物体，选用的剪切量分别是2，3，7个像素，每个剪切量下，用相移法分别获取在x和y方向剪切的干涉图各八幅。图3中的第一栏是剪切量为3个像素时，获取的x和y方向剪切的各八幅干涉图中的一幅，第二栏分别为从剪切干涉图提取出的在x和y方向的差分相位，然后用原来的算法和新提出的改进型算法分别重建波前，得出字母E的位相分布，如图3第三栏所示，新提出的算法明显优于原来的算法，为更直观的比较，给出两种重建下的一维截面图，从图3的第四栏中可以看出，利用新算法的截面图读出的台阶高度为580nm，数据更加精确，与使用台阶仪测量到的样品台阶高度600nm接近。

实施例4：

本实施例选用一个二元光刻元件作为样品进行测试，干涉图的采样数为420×420,使用的剪切量为5，8和9个像素，图4中的第一栏是剪切量为5个像素时，获取的x和y方向剪切的各八幅干涉图中的一幅，第二栏分别为从剪切干涉图提取出的在x和y方向的差分相位；然后用原来的算法和新提出的改进型算法分别重建波前，得出光刻元件的位相分布，如图4第三栏所示，新提出的算法明显优于原来的算法；为更直观的比较，给出两种重建下的一维截面图，从两种图形中可以看出，新算法下的二维位相分布图及其一维截面图，比老算法的图形效果更好；从图4的第四栏中，更容易读出二元光学元件的台阶高度为500nm，这与使用台阶仪测量到的样品台阶高度470nm比较接近，因此，新算法的精度优于原算法的精度。

Claims (2)

1.一种自适应消除倾斜误差的波前重建方法，其特征在于在多剪切量的差分相位进行波前重建的基础上进行改进，以数据后处理的方法使波前重建过程无须考虑波前倾斜误差的影响，先使用相移法分别提取n个剪切量对应的n组差分相位，每组差分相位都包括x，y两个方向的差分相位，再对每一组差分相位都进行二维傅立叶变换，傅立叶变换后的差分相位称为傅立叶系数，每组傅立叶系数中都加入一个无偏的修正系数，然后把n组傅立叶变换系数迭加，自动消除两组傅立叶系数之间常数偏置的倾斜失配，再对傅立叶变换系数进行逆傅立叶变换，求出无倾斜误差的待测波前，实现对波前倾斜的自适应修订，自动消除波前倾斜误差。

2.根据权利要求1所述的自适应消除倾斜误差的波前重建方法，其特征在于自动消除波前倾斜误差的原理为：先对待测波前在x和y方向上分别进行K个剪切量的横向剪切干涉实验得到K组干涉图，然后采用相移原理和去包裹运算对实验所得到K组干涉图抽取位相得到待测波前的K组差分位相，在不考虑任何误差时，对K组差分位相分别做一维的周期性延拓，补足横向剪切干涉当中所缺失的数据，设第j组差分位相在x方向和y方向上的离散值分别为和待测位相为差分位相和待测波前的关系为：

这里j代表不同的剪切量的序数，j＝1,2,…,K；s_j代表第j个剪切量,N为x方向和y方向的采样维数，N_j＝N-s_j；再考虑差分位相的倾斜误差，差分位相的表达式如下：

这里常数项a_js_j,b_js_j是倾斜误差；同样，对K组差分位相分别做一维的周期性延拓，补足横向剪切干涉当中所缺失的数据，对(2)中的差分位相进行傅里叶变换，并除以传递函数得到差分位相的傅里叶系数：

设则上式变为

其中，是待求的理想波前的傅里叶系数，Y(p)＝FT(m),Y(q)＝FT(n)代表两个垂直方向上45度倾斜直线的傅里叶系数，(3.1a)式从中减去得到：

同理在y方向，

通过权重平均法求出一个无偏的修正系数a_1j,b_1j，

这里，

w_t ^x(p)＝|Y(p)|²/[r₁ ^x(p)+r_j ^x(p)]，w_t ^y(q)＝|Y(q)|²/[r₁ ^y(q)+r_j ^y(q)](6)

此时计算这些修正系数，在原来多剪切量重建波前位相算法基础上，得到下列方程表示的新的改进算法:

从式(8)中看出，当j＝1时，a_1j＝0,b_1j＝0，当j≠1时，a_1j,b_1j能计算得到，此算法与原来的算法相比，在差分相位的傅里叶变换系数中加入了一个无偏的修正项，自动消除两个偏置常数之间的倾斜失配；通过对上面的计算，再经过逆傅里叶变换，即求出原始的待测波前，实现消除倾斜因子带来的重建误差和由于相移操作引入的误差。