CN103542816A - 基于时间延迟补偿的船体变形测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供的是一种基于时间延迟补偿的船体变形测量方法。首先将两套光纤陀螺安装在船体固定位置，并得到船体变形角。然后计算二者的坐标系之间的转换关系并最终得到输出的角速度差，根据实际系统中存在的时间延迟得出两套光纤陀螺真实的角速率关系。最后引入陀螺漂移构建卡尔曼滤波的量测方程，建立陀螺漂移和船体变形角的数学模型和卡尔曼滤波的状态方程，以陀螺输出的角速率为观测输入，对变形角进行估计。该方法针对基于FGU的船体变形测量技术在实船测量应用中所面临的时间延迟问题给予一种补偿方法，从而减小测量误差，提高测量精度，并且简单实用，补偿效果明显，有利于船体变形测量技术的应用。

Description

基于时间延迟补偿的船体变形测量方法

技术领域

本发明涉及一种时间延迟补偿方法，特别是一种基于FGU（Fiber Gyro Unit，光纤惯性测量单元）的船体变形测量技术中时间延迟补偿方法。

背景技术

船舶在海上航行时，受到许多因素的影响，船舶甲板会产生不可忽视的变形。这使得由MINS（主惯导）向船载系统等各部位点发送的姿态仅为MINS处的姿态，并非各部位点的载体坐标系相对于导航坐标系的当地坐标系，MINS与局部位置间的姿态差异将严重影响船载系统的精度。

与光栅法、双频偏振光法等以结构力学为理论基础的测量方法相比，基于惯性测量单元的船体变形测量方法具有成本低、动态适应性好、安装方便等优点，是今后船体变形测量的发展趋势。基于角速率匹配法构建的船体变形测量系统属于分布式测量系统，时间延迟是分布式测量系统普遍面临和必须解决的问题。关于角速率匹配法测量船体变形的理论研究已有诸多成果，但该方法的实际应用却很少。

传递对准是指用高精度的主惯导的速度和姿态信息对准子惯导信息，角速率匹配是指利用两套惯导的角速率信息估计出相对变形角，两种方法的测量原理有相似之处。关于传递对准中的时间延迟问题的补偿方法，一些文献提出外推滤波法，可以很好的解决传递对准中的时间延迟问题，但必须预先知道时间延迟大小才能进行外推，而角速率匹配法所面临的时间延迟无法预先测量。还有文献提出状态补偿法，对传递对准中的时间延迟进行补偿，但该方法也必须预先知道时间延迟的大小，进而进行状态补偿。

发明内容

本发明的目的在于提供一种可提高船体变形测量技术的精度、简单实用的基于时间延迟补偿的船体变形测量方法。

本发明的基于时间延迟补偿的船体变形测量方法为：

（1）将两套光纤陀螺FGU1和FGU2按照图1所示安装在船体的中央位置和船艏位置，安装时尽量减小安装误差，两套陀螺三个轴向分别命名为xyz和x′y′z′，其中oy、oy′轴指向船体的纵向，oz、oz′轴垂直于甲板平面指天，ox、ox′轴与其它两个轴构成右手正交坐标系；

（2）根据图2所示，将两套陀螺的坐标系的原点重合，以oyz和o′y′z′为例，由于存在船体变形，使得两坐标之间存在角差，对于oxy和o′x′y′以及oxz和o′x′z′同样存在着角差，图2所示的船体变形角差由静态变形角Φ和动态变形角θ构成；

（3）将总变形角表示为

其矩阵形式为设FGU1测得船体的角速度为

而FGU2测得的船体的角速度为

那么根据图2所示，

其中

是由于FGU1和FGU2之间的弹性形变而引起的两个坐标系之间的相对角速率，且有

（4）ox′y′z′坐标系到oxyz坐标系之间的转换关系为：

[x′,y′,z′]=B[x,y,z]

其中B是方向余弦矩阵，假设α为绕甲板平面的形变角（即航向形变角），β为在船体纵向平面的形变角（即为横摇形变角），γ为绕船体纵轴方向的形变角（即为纵摇形变角），因船体的形变角为小角度，可以忽略其二阶小量，那么方向余弦阵B可化为如下形式：

（5）由

可得到

则两套光纤陀螺输出的角速度差可表示为：

写成矩阵形式为：

其中

是一个反对称阵，则且则两个陀螺的角速率之差为：

其中 $\widehat{\mathrm{\Ω}}=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\Ω}}_z& {-\mathrm{\Ω}}_y\\ {-\mathrm{\Ω}}_z& 0& {\mathrm{\Ω}}_x\\ {\mathrm{\Ω}}_y& {-\mathrm{\Ω}}_x& 0\end{array}\right]$ 也是一个反对称阵；

（6）由于在实际系统中存在时间延迟，两套FGU并非同步输出角速率信息，所以两套FGU的角速率实际存在如下关系：

ΔΩ=Ω(t)-Ω′(t-Δt)

由微分方程的知识有 $\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}=\frac{{\mathrm{\Ω}}^{\′}\left(t\right)-{\mathrm{\Ω}}^{\′}(t-\mathrm{\Δt})}{\mathrm{\Δt}},$ 则 ${\mathrm{\Ω}}^{\′}\left(t\right)={\mathrm{\Ω}}^{\′}(t-\mathrm{\Δt})+{\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}^{\′}\·\mathrm{\Δt},$ 由

可推出

其中 ${\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}^{\′}=\frac{{\mathrm{\Ω}}^{\′}(k+1)-{\mathrm{\Ω}}^{\′}\left(k\right)}{T},$ T为采样时间；

（7）引入陀螺漂移构建卡尔曼滤波的量测方程，即

其中ε与ε′分别是两套陀螺的随机漂移，

与

分别是两套陀螺的常值漂移，卡尔曼滤波的量测方程的形式为Z=Hx+v，根据上面的式子，选取状态变量为：

$x={\left[\begin{array}{cccccccccccccccccccccc}{\mathrm{\Φ}}_x& {\mathrm{\Φ}}_y& {\mathrm{\Φ}}_z& {\mathrm{\θ}}_x& {\mathrm{\θ}}_y& {\mathrm{\θ}}_z& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z& {\mathrm{\ϵ}}_x& {\mathrm{\ϵ}}_y& {\mathrm{\ϵ}}_z& {\mathrm{\ϵ}}_x^{\′}& {\mathrm{\ϵ}}_y^{\′}& {\mathrm{\ϵ}}_z^{\′}& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_x& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_y& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_z& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_x^{\′}& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}^{\′}& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_z^{\′}& \mathrm{\Δt}\end{array}\right]}^T$

观测量为 $Z=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Ω}}_x\left(t\right)-{\mathrm{\Ω}}_x^{\′}(t-\mathrm{\Δt})\\ {\mathrm{\Ω}}_y\left(t\right)-{\mathrm{\Ω}}_y^{\′}(t-\mathrm{\Δt})\\ {\mathrm{\Ω}}_z\left(t\right)-{\mathrm{\Ω}}_z^{\′}(t-\mathrm{\Δt})\end{array}\right],$ v为观测白噪声，H为：

$H=\left[\begin{array}{cccccccccccccccccccccc}0& {\mathrm{\Ω}}_z& {-\mathrm{\Ω}}_y& 0& {\mathrm{\Ω}}_z& {-\mathrm{\Ω}}_y& -1& 0& 0& -1& 0& 0& 1& 0& 0& -1& 0& 0& 1& 0& 0& {\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_x^{\′}\\ -{\mathrm{\Ω}}_z& 0& {\mathrm{\Ω}}_x& {-\mathrm{\Ω}}_z& 0& {\mathrm{\Ω}}_x& 0& -1& 0& 0& -1& 0& 0& 1& 0& 0& -1& 0& 0& 1& 0& {\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_y^{\′}\\ {\mathrm{\Ω}}_y& {-\mathrm{\Ω}}_x& 0& {\mathrm{\Ω}}_y& {-\mathrm{\Ω}}_x& 0& 0& 0& -1& 0& 0& -1& 0& 0& 1& 0& 0& -1& 0& 0& 1& {\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_z^{\′}\end{array}\right]$

（8）建立陀螺漂移和船体变形角的数学模型：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}=0\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_i+2{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+({\mathrm{\λ}}^2+{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\θ}}^2{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}^2){\mathrm{\θ}}_i={\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}w\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}=0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_i+{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}{\mathrm{\ϵ}}_i={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵi}}\sqrt{{2\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}}w\left(t\right)\\ \mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{t}=0\end{array}\right.$

其中Φ为静态变形角，θ_i表示沿陀螺三个轴向的动态变形角，μ_θ为不规则系数，λ_θ为海浪驱动频率，

为陀螺常值漂移，ε_i表示陀螺三个轴向的随机漂移，μ_ε陀螺随机漂移的一阶马尔科夫系数，w(t)白噪声；陀螺漂移分为常值漂移和随机漂移，而随机漂移可以用一阶马尔科夫过程来描述，通过针对不同的陀螺，利用实船试验验证该模型的准确性，并获得与之相对应的马尔科夫系数，船体变形可分为静态变形和动态变形，静态变形为常值，而动态变形类似于随机过程，可以用二阶马尔科夫过程描述，同样针对不同的船只，利用实船试验验证该模型的准确性，并获得与之相对应的马尔科夫系数；

（9）建立卡尔曼滤波的状态方程：

$B=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ {\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ {\mathrm{\σ}}_x\sqrt{{2\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}}& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\σ}}_y\sqrt{{2\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}}& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\σ}}_z\sqrt{{2\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}}\\ {\mathrm{\σ}}_x^{\′}\sqrt{{2\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}^2}& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\σ}}_y^{\′}\sqrt{{2\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}^2}& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\σ}}_z^{\′}\sqrt{{2\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}^2}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

（10）根据以上所述的卡尔曼量测方程和状态方程，以两安装点处陀螺输出的角速率为观测输入，对两点之间的相对变形角进行估计。

本发明的基于FGU的船体变形测量技术中时间延迟补偿方法具有以下优点：

（1）简单实用，能够很好的对船体变形测量技术所面临的时间延迟问题进行补偿。

（2）通过将时间延迟作为状态量扩充到卡尔曼滤波方程中，实现了对时间延迟的估计和补偿。

（3）通过该方法对时间延迟进行补偿，提高了船体变形测量技术的精度。

附图说明

图1是两套光纤陀螺安装位置及坐标系示意图；

图2是以两套陀螺的y轴和z轴构成平面为例的船体变形角示意图；

图3是加入时间延迟补偿后的船体变形测量方法流图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做更详细地描述。

实施例：光纤陀螺选用哈尔滨工程大学海洋运载器导航设备研究所研制的光纤陀螺捷联惯导系统，计算机选用中北恒驭公司生产的Force9军用便携式计算机，GPS天线及接收机选用北京北斗星通导航技术股份有限公司代理的NovAtel的ProPak-V3GPS接收机。

具体操作如下所述：

将两套光纤陀螺捷联惯导系统按图1所示分别安装在船体的中央和船艏，安装时尽量减小安装误差，将两套GPS接收机分别与两套光纤陀螺捷联惯导系统相连，为光纤陀螺捷联惯导系统提供时间信息，将军用加固机安装在船体中央位置的主舱室内，用来接收陀螺的输出数据，并对其进行处理，从而获得两安装点之间的相对变形角。

测试设备安装完毕之后，开始进行测量。首先将船舶处于锚泊状态，然后利用多位置姿态法进行锚泊实验，获得描述陀螺漂移的一阶马尔科夫系数，并用同样的方法获得描述船体变形的数学模型中的不规则系数和驱动频率系数。此时便可获得准确的卡尔曼状态方程，将参数设置于用于解算船体变形的计算机上的软件中，然后利用两套陀螺输出的角速率信息和GPS提供的时间信息，便可实时动态的测量该型船舶的变形大小。

通过将实船采集的船体变形数据进行离线分析，比较时间延迟补偿前后的变形角估计效果。

本发明针对实船试验中发现的两套惯性测量单元之间存在时间延迟，会对船体变形角的测量产生影响的问题，分析了时间延迟对船体变形测量的影响，并结合俄罗斯学者Mochalov提出的船体变形角模型，给出了一种时间延迟补偿方法，并结合实船数据验证了该补偿方法的测量效果，为船体变形测量技术的实际应用提供技术支撑。这些研究成果为惯性匹配测量法的实际应用奠定了坚实的理论基础。

Claims (1)

1.一种基于时间延迟补偿的船体变形测量方法，其特征是：

（1）将两套光纤陀螺FGU1和FGU2安装在船体的中央位置和船艏位置，安装时尽量减小安装误差，两套陀螺三个轴向分别命名为xyz和x′y′z′，其中oy、oy′轴指向船体的纵向，oz、oz′轴垂直于甲板平面指天，ox、ox′轴与其它两个轴构成右手正交坐标系；

（2）将两套陀螺的坐标系的原点重合，以oyz和o′y′z′为例，由于存在船体变形，使得两坐标之间存在角差，对于oxy和o′x′y′以及oxz和o′x′z′同样存在着角差，得到的船体变形角差由静态变形角Φ和动态变形角θ构成；

（3）将总变形角表示为

其矩阵形式为

设FGU1测得船体的角速度为

而FGU2测得的船体的角速度为

那么可得到：

其中

是由于FGU1和FGU2之间的弹性形变而引起的两个坐标系之间的相对角速率，且有

（4）ox′y′z′坐标系到oxyz坐标系之间的转换关系为：

[x′,y′,z′]=B[x,y,z]

其中B是方向余弦矩阵，假设α为绕甲板平面的形变角即航向形变角，β为在船体纵向平面的形变角即为横摇形变角，γ为绕船体纵轴方向的形变角即为纵摇形变角，因船体的形变角为小角度，可以忽略其二阶小量，那么方向余弦阵B可化为如下形式：

（5）由

可得到

则两套光纤陀螺输出的角速度差可表示为：

写成矩阵形式为：

其中是一个反对称阵，则

且则两个陀螺的角速率之差为：

其中 $\widehat{\mathrm{\Ω}}=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\Ω}}_z& {-\mathrm{\Ω}}_y\\ {-\mathrm{\Ω}}_z& 0& {\mathrm{\Ω}}_x\\ {\mathrm{\Ω}}_y& -{\mathrm{\Ω}}_x& 0\end{array}\right]$ 也是一个反对称阵；

（6）由于在实际系统中存在时间延迟，两套FGU并非同步输出角速率信息，所以两套FGU的角速率实际存在如下关系：

ΔΩ=Ω(t)-Ω′(t-Δt)

由微分方程的知识有 $\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}=\frac{{\mathrm{\Ω}}^{\′}\left(t\right)-{\mathrm{\Ω}}^{\′}(t-\mathrm{\Δt})}{\mathrm{\Δt}}$ ，则 ${\mathrm{\Ω}}^{\′}\left(t\right)={\mathrm{\Ω}}^{\′}(t-\mathrm{\Δt})+{\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}^{\′}\·\mathrm{\Δt}$ ，由可推出

，其中 ${\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}^{\′}=\frac{{\mathrm{\Ω}}^{\′}(k+1)-{\mathrm{\Ω}}^{\′}\left(k\right)}{T},$ T为采样时间；

（7）引入陀螺漂移构建卡尔曼滤波的量测方程，即

其中ε与ε′分别是两套陀螺的随机漂移，

与

分别是两套陀螺的常值漂移，卡尔曼滤波的量测方程的形式为Z=Hx+v，根据上面的式子，选取状态变量为：

$x={\left[\begin{array}{cccccccccccccccccccccc}{\mathrm{\Φ}}_x& {\mathrm{\Φ}}_y& {\mathrm{\Φ}}_z& {\mathrm{\θ}}_x& {\mathrm{\θ}}_y& {\mathrm{\θ}}_z& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_z& {\mathrm{\ϵ}}_x& {\mathrm{\ϵ}}_y& {\mathrm{\ϵ}}_z& {\mathrm{\ϵ}}_x^{\′}& {\mathrm{\ϵ}}_y^{\′}& {\mathrm{\ϵ}}_z^{\′}& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_x& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_y& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_z& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_x^{\′}& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}^{\′}& {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_z^{\′}& \mathrm{\Δt}\end{array}\right]}^T$

观测量为 $Z=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Ω}}_x\left(t\right)-{\mathrm{\Ω}}_x^{\′}(t-\mathrm{\Δt})\\ {\mathrm{\Ω}}_y\left(t\right)-{\mathrm{\Ω}}_y^{\′}(t-\mathrm{\Δt})\\ {\mathrm{\Ω}}_z\left(t\right)-{\mathrm{\Ω}}_z^{\′}(t-\mathrm{\Δt})\end{array}\right],$ v为观测白噪声，H为：

$H=\left[\begin{array}{cccccccccccccccccccccc}0& {\mathrm{\Ω}}_z& {-\mathrm{\Ω}}_y& 0& {\mathrm{\Ω}}_z& {-\mathrm{\Ω}}_y& -1& 0& 0& -1& 0& 0& 1& 0& 0& -1& 0& 0& 1& 0& 0& {\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_x^{\′}\\ -{\mathrm{\Ω}}_z& 0& {\mathrm{\Ω}}_x& {-\mathrm{\Ω}}_z& 0& {\mathrm{\Ω}}_x& 0& -1& 0& 0& -1& 0& 0& 1& 0& 0& -1& 0& 0& 1& 0& {\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_y^{\′}\\ {\mathrm{\Ω}}_y& {-\mathrm{\Ω}}_x& 0& {\mathrm{\Ω}}_y& {-\mathrm{\Ω}}_x& 0& 0& 0& -1& 0& 0& -1& 0& 0& 1& 0& 0& -1& 0& 0& 1& {\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_z^{\′}\end{array}\right]$

（8）建立陀螺漂移和船体变形角的数学模型：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\Φ}}=0\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_i+2{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_i+({\mathrm{\λ}}^2+{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\θ}}^2{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}^2){\mathrm{\θ}}_i={\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}w\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}=0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_i+{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}{\mathrm{\ϵ}}_i={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵi}}\sqrt{{2\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}}w\left(t\right)\\ \mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{t}=0\end{array}\right.$

其中Φ为静态变形角，θ_i表示沿陀螺三个轴向的动态变形角，μ_θ为不规则系数，λ_θ为海浪驱动频率，

为陀螺常值漂移，ε_i表示陀螺三个轴向的随机漂移，μ_ε陀螺随机漂移的一阶马尔科夫系数，w(t)白噪声；陀螺漂移分为常值漂移和随机漂移，而随机漂移可以用一阶马尔科夫过程来描述，通过针对不同的陀螺，利用实船试验验证该模型的准确性，并获得与之相对应的马尔科夫系数，船体变形可分为静态变形和动态变形，静态变形为常值，而动态变形类似于随机过程，可以用二阶马尔科夫过程描述，同样针对不同的船只，利用实船试验验证该模型的准确性，并获得与之相对应的马尔科夫系数；

（9）建立卡尔曼滤波的状态方程：

$B=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ {\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ {\mathrm{\σ}}_x\sqrt{{2\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}}& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\σ}}_y\sqrt{{2\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}}& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\σ}}_z\sqrt{{2\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}}\\ {\mathrm{\σ}}_x^{\′}\sqrt{{2\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}^2}& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\σ}}_y^{\′}\sqrt{{2\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}^2}& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\σ}}_z^{\′}\sqrt{{2\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ϵ}}^2}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

（10）根据以上所述的卡尔曼量测方程和状态方程，以两安装点处陀螺输出的角速率为观测输入，对两点之间的相对变形角进行估计。

Images