CN103481121A - 两齿螺旋立铣刀刀齿半径不对称误差检测系统及其方法 - Google Patents

Abstract

两齿螺旋立铣刀刀齿半径不对称误差检测系统及其方法。以螺旋立铣刀小径向切削薄壁件过程中的铣削力信号为研究对象，通过建立数学模型对螺旋立铣刀半径误差进行识别。首先根据不对称圆柱立铣刀铣削过程中铣削力信号的不对称特性，构造长、短齿名义铣削力，采用长、短齿的名义铣削力创建各自的名义铣削力系数，根据铣削过程中铣削力系数不随铣削半径变化而变化的特点，建立圆柱螺旋立铣刀旋转半径误差识别公式，根据建立的半径误差识别公式可方便快速实现刀具旋转半径误差的识别，解决了螺旋立铣刀旋转半径不对称误差不易测量的难点。本发明可准确、快速实现铣刀旋转半径误差的计算，对机械加工过程中铣刀旋转半径的磨损检测等具有实际意义。

Description

两齿螺旋立铣刀刀齿半径不对称误差检测系统及其方法

技术领域

本发明属于两齿螺旋铣刀精度检测领域，具体涉及一种两齿螺旋立铣刀刀齿半径不对称误差识别方法的研究。

背景技术

铣削加工是一种常用的金属切削加工方式，铣刀的几何精度对工件加工精度和加工质量具有直接的影响，其中铣刀刀齿半径误差是影响工件加工精度和加工质量的主要原因之一，目前工业中主要通过测量铣刀直径间接估计铣刀刀齿半径尺寸，这种检测方法没有考虑铣刀中心线偏向的问题，即在铣刀直径达到技术要求的前提下，由于制造过程中铣刀旋转中心的偏心（实际加工中不可避免）造成铣刀出现长、短齿。同时，铣刀刀齿不对称会造成刀具在一个旋转周期内铣削力大小不同，造成铣削过程不平稳，易产生颤振。

发明内容

基于上述现有技术存在的缺陷，本发明目的在于提供一种两齿螺旋立铣刀刀齿半径不对称误差检测系统及其方法，该发明主要通过构建名义铣削力，根据长、短齿名义铣削力构建解析铣削力系数，根据解析铣削力系数的特点建立两刃螺旋立铣刀刀齿半径误差方程，进而获得准确的刀齿半径误差值，该发明可准确、快速、方便实现刀齿半径误差的识别，同时，对于刀齿半径对称而机床主轴旋转半径不对称的情况，也可通过本发明获得机床主轴旋转半径的跳动度。

本发明技术方案为：

一种两齿螺旋立铣刀刀齿半径不对称误差检测系统，其特征在于，整个检测系统主要涉及铣削力测试系统设计和薄壁结构设计两部分，其中铣削力测试系统主要由两刃螺旋平底立铣刀1、薄壁工件2、Kistler三向铣削力测力仪3、高阻抗数据传输线4、电荷放大器5、数据采集卡6和计算机7组成，所述计算机7为对信号进行存储、预处理与数据分析。铣刀1对薄壁工件2进行侧面立式铣削，Kistler测力仪3将刀具与工件间的作用力转变成电荷信号，信号经高阻抗数据传输线4送达电荷放大器5，电荷放大器5将电荷信号转换为电压信号，数据采集卡6对电压信号进行采集，并将数据保存到计算机7中。所述Kistler测力仪3为通过压电效应将铣削时产生的铣削力转换为电荷信号。所述高阻抗数据传输线4为将电荷信号进行传输，测力仪3获得的电荷量较小，且容易泄露，高阻抗数据传输线能将小电荷量电荷进行安全传输。所述电荷放大器5为对电荷进行放大并转换成电压信号，测力仪输出的电荷信号较微弱，为便于采集，需要电荷放大器5对电荷进行放大并转换为电压信号。所述数据采集卡6为将放大的电信号进行采集量化。所述计算机包括存储模块、信号预处理模块和数据分析模块。数据采集卡6采集的信号分别通过计算机的信号预处理模块、数据分析模块对信号进行处理和分析，从而输出获得铣刀半径不对称误差值。薄壁工件2主要有定位孔9、安装底座10以及悬臂结构11构成。所述定位孔9为将工件定位在Kistler测力仪3上表面，确定薄壁件的正确位置。所述定安装底座10为将工件固定在工作台上，并对其进行夹紧。所述薄壁悬臂结构11为铣削加工部位，铣削此部位获得铣削力。

一种两齿螺旋立铣刀刀齿半径不对称误差检测方法，其特征在于，包括步骤：

步骤1，实验平台的构建

搭建好铣削力测试系统和设计好薄壁结构；

步骤2，铣削力信号的去噪处理

采用异常值剔除及小波包分解去噪方法对铣削力信号进行预处理，

2.1采用Chauvenet和Gubbs公式对异常数据进行剔除，其表达式为：

|x_i-μ_X|>cσ    (1)

其中x_i为第i次的采集值，μ_X为样本的平均值，σ为样本的方差，c为调整参数。

2.2采用Sqtwolog规则确定滤波阈值，数据处理过程如下：

（1）信号的小波包分解：选择小波基对铣削力信号进行N层小波包分解；

（2）小波包分解高频系数的阈值量化：对各个分解尺度下的高频系数确定阈值并进行阈值化处理；

（3）小波包重构：根据第N层小波包分解低频系数和量化处理系数进行小波重构；

（4）静态零点漂移剔除：整个测量系统存在静态零漂，对小波包阈值去噪后的信号进行零漂剔除处理；

步骤3，名义铣削力的构建

铣刀刀齿半径不对称误差造成长、短齿铣削力信号不同，为获得精确的解析铣削力系数，需要构建名义铣削力，即单个齿的铣削力构造铣削力；

步骤4，铣刀刀齿半径不对称公式构建

根据名义铣削力可获得对应的名义铣削力系数，计算公式如式（2）-（5）所示。

$K_{\mathrm{tl}}=\frac{4p_l}{{\mathrm{ac}}_l}(A{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xl}}+B{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{yl}})---\left(2\right)$

$K_{\mathrm{rl}}=\frac{4p_l}{{\mathrm{ac}}_l}(C{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xl}}+D{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{yl}})---\left(3\right)$

$K_{\mathrm{ts}}=\frac{4p_s}{{\mathrm{ac}}_s}(A{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xs}}+B{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{ys}})---\left(4\right)$

$K_{\mathrm{rs}}=\frac{4p_s}{{\mathrm{ac}}_s}(C{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xs}}+D{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{ys}})---\left(5\right)$

其中参数p_l,p_s分别为铣削刃长、短齿与切削时刀具转过的角度，可表示为：

$p=({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ex}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{st}})+\frac{a}{\tan (90-\mathrm{\λ})*r}---\left(6\right)$

c_l,c_s为长、短齿的每齿进给量，

分别为X，Y方向长、短齿名义铣削力的平均值,

根据切向、径向铣削力系数与刀具旋转半径无关的假设，可得到：

$\frac{\frac{4p_l}{{\mathrm{ac}}_l}(A{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xl}}+B{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{yl}})}{\frac{4p_s}{{\mathrm{ac}}_s}(A{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xs}}+B{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{ys}})}=1---\left(7\right)$

$\frac{\frac{4p_l}{{\mathrm{ac}}_l}(C{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xl}}+D{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{yl}})}{\frac{4p_s}{{\mathrm{ac}}_s}(C{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xs}}+D{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{ys}})}=1---\left(8\right)$

以式（7）为例计算刀具长、短齿旋转半径，记

刀具长、短齿半径通过式（9）获得。

$\left\{\begin{array}{c}K\frac{p_l}{p_s}\frac{c_s}{c_l}=1\\ r_l+r_s=D\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中， $\frac{c_s}{c_l}=\frac{c_l-(r_l-r_s)}{c_l}=1-\frac{(r_l-r_s)}{c+(r_l-r_s)},\frac{p_l}{p_s}=\frac{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ex}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{st}})+\frac{a}{\tan (90-\mathrm{\λ})*r_l}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ex}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{st}})+\frac{a}{\tan (90-\mathrm{\λ})*r_s}}$

根据式（9）可得到若干组实验对应的刀具旋转半径r_l、r_s，在铣削实验中，获得置信水平为a时，长、短齿旋转半径均值及方差的置信区间，如式（10）-（11）所示。

$(\stackrel{\‾}{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{a/2}(n-1),\stackrel{\‾}{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{a/2}(n-1))---\left(10\right)$

$(\frac{(n-1)S^2}{{\mathrm{\χ}}_{a/2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{{\mathrm{\χ}}_{1-a/2}^2(n-1)})---\left(11\right)$

获得均值和方差的置信区间，取r_l均值、r_s均值区间的均值作为长、短齿旋转半径，最终获得刀齿半径差。

本发明主要针对两刃螺旋立铣刀刀齿不对称误差检测进行识别研究，通过本方法可精确识别刀齿半径的误差，解决了刀齿半径不易测量的问题。本发明所提方法不仅适用于两齿螺旋立铣刀旋转半径的识别，可扩展用于用多齿螺旋立铣刀旋转半径的识别问题。本发明的方面可应用于通过铣削力信号判断刀具磨损量的研究中，在金属切削加工过程中具有重要意义。

附图说明

图1为铣削力测试系统及薄壁工件结构图。

图2为原始信号即异常值剔除后波形图

图3为小波包分解去噪和消除零漂后的波形图。

图4为名义铣削力波形图。

图5为两齿铣刀偏向及每齿实际铣削厚度图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明技术方案作进一步说明。

实施例1(实施方式)

一、实验平台的构建。

实验平台主要由铣削力测试系统和薄壁结构设计两部分组成，其中铣削力测试系统主要由两刃螺旋平底立铣刀1、薄壁工件2、Kistler三向铣削力测力仪3、高阻抗数据传输线4、电荷放大器5、数据采集卡6、计算机7组成；铣削时，主轴8带动铣刀1旋转，铣刀1对薄壁工件2进行侧面立式铣削，Kistler测力仪3将刀具与工件间的作用力转变成电荷信号，信号经高阻抗数据传输线4送达电荷放大器5，电荷放大器5将电荷信号转换为电压信号，数据采集卡6对电压信号进行采集，并将数据保存到计算机7中。薄壁件主要有定位孔9、安装底座10以及悬臂结构11构成。

所述Kistler测力仪3为通过压电效应将铣削时产生的铣削力转换为电荷信号。

所述高阻抗数据传输线4为将电荷信号进行传输，测力仪3获得的电荷量较小，且容易泄露，高阻抗数据传输线能将小电荷量电荷进行安全传输。

所述电荷放大器5为对电荷进行放大并转换成电压信号，测力仪输出的电荷信号较微弱，为便于采集，需要电荷放大器5对电荷进行放大并转换为电压信号。

所述数据采集卡6为将放大的电信号进行采集量化。为便于计算机存储、处理与分析需要对信号进行二进制量化，采集卡6能完成该目的。

所述计算机7为对信号进行存储、处理与分析，计算机包括存储模块、信号预处理模块和数据分析模块。采集的信号通过本发明方法算法对信号进行处理，从而获得铣刀半径不对称误差值。

所述定位孔9为将工件定位在Kistler测力仪3上表面，确定薄壁件的正确位置。

所述定安装底座10为将工件固定在工作台上，并对其进行夹紧。

所述薄壁悬臂结构11为铣削加工部位，铣削此部位获得铣削力。

二、铣削力信号去噪处理。

通过测试系统采集的铣削力信号不可避免存在随机干扰，导致采集的数据存在异常数据，同时由于实验中薄壁件的径向切深较小，铣削力信号近似为冲击信号，工件中不可避免存在材质不均等问题，实际测量的信号属于非平稳信号，为兼顾信号在时域和频域的局部化和全貌化。基于以上原因，为提高铣削力系数识别精度，需对测量信号进行预处理，根据测量铣削力信号特性，文中采用奇异值剔除及小波包分解方法对铣削力信号进行去噪处理，去噪步骤主要分两步，下面分别介绍：

2.1异常数据剔除

铣削力采集系统不可避免存在随机干扰，导致采集的数据存在异常数据，为获得稳定的结果，需剔除异常数据。文中采用Chauvenet和Gubbs公式对异常数据进行剔除，其表达式为：

|x_i-μ_X|>cσ  (1)

其中x_i为第i次的采集值，μ_X为样本的平均值，σ为样本的方差，c为调整参数(c的取值根据信号特点确定)。

2.2小波包分解阈值去噪

根据铣削力信号特点，文中采用Sqtwolog规则确定滤波阈值，数据处理过程如下：

（1）信号的小波包分解。选择小波基（文中选择Daubechies小波）对铣削力信号进行N层（本实施例采用3层）小波包分解。

（2）小波包分解高频系数的阈值量化。对各个分解尺度下的高频系数确定阈值并进行阈值化处理。

（3）小波包重构。根据第N层小波包分解低频系数和量化处理系数进行小波重构。

（4）静态零点漂移剔除。整个测量系统存在静态零漂，对小波包阈值去噪后的信号进行零漂剔除处理。

三、名义铣削力的构建。

从图3中可看出，铣刀两齿的切削力不同，由于铣刀在制造过程中存在加工误差，导致两齿铣削半径不同，为此文中建立名义铣削力，即由单个齿的铣削力构造铣削力，其构造波形如图4所示。

四、刀齿半径误差识别公式建立

根据构建的名义铣削力推导出名义铣削力系数的解析公式。根据“在特定工艺系统中，切向或径向铣削力系数与铣刀的旋转半径无关”的基本理论，根据名义铣削力系数解析式，构建刀齿不对称计算方程，采用非线性迭代方法对方程进行优化求解，获得刀具不对称误差。具体为，

根据名义铣削力可获得对应的名义铣削力系数，计算公式如式（2）-（5）所示。

$K_{\mathrm{tl}}=\frac{4p_l}{{\mathrm{ac}}_l}(A{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xl}}+B{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{yl}})---\left(2\right)$

$K_{\mathrm{rl}}=\frac{4p_l}{{\mathrm{ac}}_l}(C{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xl}}+D{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{yl}})---\left(3\right)$

$K_{\mathrm{ts}}=\frac{4p_s}{{\mathrm{ac}}_s}(A{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xs}}+B{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{ys}})---\left(4\right)$

$K_{\mathrm{rs}}=\frac{4p_s}{{\mathrm{ac}}_s}(C{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xs}}+D{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{ys}})---\left(5\right)$

其中参数p_l,p_s分别为铣削刃长、短齿与切削时刀具转过的角度，可表示为：

$p=({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ex}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{st}})+\frac{a}{\tan (90-\mathrm{\λ})*r}---\left(6\right)$

c_l,c_s为长、短齿的每齿进给量，

分别为X，Y方向长、短齿名义铣削力的平均值。

图5所示为刀齿不对称时铣削过程示意图，其中r_l为长齿旋转半径，r_s为短齿旋转半径，c为理论进给量，c_l为长齿参与切削的进给量，c_s为短齿参与切削的进给量。从图5中可看出，刀齿不对称（或刀齿旋转半径不同）导致长、短齿的实际径向铣削厚度不同，进而引起长、短齿铣削力不同，下面根据长、短齿的名义铣削力估计铣刀旋转半径，进而计算实际铣削力系数。根据切向、径向铣削力系数与刀具旋转半径无关的假设，可得到：

$\frac{\frac{4p_l}{{\mathrm{ac}}_l}(A{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xl}}+B{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{yl}})}{\frac{4p_s}{{\mathrm{ac}}_s}(A{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xs}}+B{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{ys}})}=1---\left(7\right)$

$\frac{\frac{4p_l}{{\mathrm{ac}}_l}(C{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xl}}+D{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{yl}})}{\frac{4p_s}{{\mathrm{ac}}_s}(C{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xs}}+D{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{ys}})}=1---\left(8\right)$

以式（7）为例计算刀具长、短齿旋转半径，记

刀具长、短齿半径通过式（9）获得。

$\left\{\begin{array}{c}K\frac{p_l}{p_s}\frac{c_s}{c_l}=1\\ r_l+r_s=D\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中， $\frac{c_s}{c_l}=\frac{c_l-(r_l-r_s)}{c_l}=1-\frac{(r_l-r_s)}{c+(r_l-r_s)},\frac{p_l}{p_s}=\frac{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ex}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{st}})+\frac{a}{\tan (90-\mathrm{\λ})*r_l}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ex}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{st}})+\frac{a}{\tan (90-\mathrm{\λ})*r_s}}$

根据式（9）可得到16组实验对应的刀具旋转半径r_l、r_s，结果见表1所示。

表1顺铣刀长、短齿铣削半径

在铣削实验中，随机测量误差（可近似认为服从正态分布）广泛存在，根据表1数据，可获得置信水平为a时，长、短齿旋转半径均值及方差的置信区间，如式（10）-（11）所示。

$(\stackrel{\‾}{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{a/2}(n-1),\stackrel{\‾}{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{a/2}(n-1))---\left(10\right)$

$(\frac{(n-1)S^2}{{\mathrm{\χ}}_{a/2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{{\mathrm{\χ}}_{1-a/2}^2(n-1)})---\left(11\right)$

选择置信水平为0.975，根据式（10）-（11）可获得均值和方差的置信区间：

r_l均值的置信区间：（4.0245，4.0276）

r_l方差的置信区间：（0.0018，0.0041）

r_s均值的置信区间：（3.9724，3.9755）

r_s方差的置信区间：（0.0018，0.0041）

取r_l均值、r_s均值区间的均值作为长、短齿旋转半径，可获得刀齿半径差：

r_deviation=r_lmean-r_smean=4.026-3.9739=0.0521  （12）

实施例2(实例)

铣削实验在铣削中心进行，图1铣削力信号测试系统对切削力进行检测，实验时采用变每齿进给量铣削方式（其他铣削用量不变），进行16组实验（主要目的是消除实验中随机干扰对处理结果的影响），铣削力采集系统采样频率设为10kHz，以某材质铝合金薄壁件（设计尺寸为高度60mm×宽度40mm×厚度5mm）为铣削加工对象。

本发明的数据处理过程如下：

步骤1：对铣削力信号进行异常值剔除处理，根据式（1）对采集的铣削力信号进行处理，图2为某一次实验中原始信号与异常数据剔除后对应的波形图。

步骤2：采用小波包去噪技术对信号进行滤波处理，获得真实的铣削力信号，具体实施过程参照“实施例1中2.2小波包分解阈值去噪”。随后对滤波后的信号进行去零漂处理，图3为某一实验对应的处理结果。

步骤3：构建名义铣削力，根据铣削力信号特点，构建长、短齿名义铣削力，结果图图4所示。

步骤4：构建铣刀刀齿半径不对称误差公式，根据式（9）建立不对称误差识别方程，采用牛顿非线性方程求解方法对方程（9）进行求解，获得16组实验对应的长、短齿半径，如表1所示。建立刀齿半径置信水平为0.975的置信区间，以置信区间中间值作为长、短齿实际半径值。通过式（12）获得对应的螺旋立铣刀刀齿不对称误差值。

Claims (2)

1.一种两齿螺旋立铣刀刀齿半径不对称误差检测系统，其特征在于，整个检测系统主要涉及铣削力测试系统设计和薄壁结构设计两部分，其中铣削力测试系统主要由两刃螺旋平底立铣刀1、薄壁工件2、Kistler三向铣削力测力仪3、高阻抗数据传输线4、电荷放大器5、数据采集卡6和计算机7组成，

所述计算机7为对信号进行存储、预处理与数据分析；

铣刀1对薄壁工件2进行侧面立式铣削，Kistler测力仪3将刀具与工件间的作用力转变成电荷信号，信号经高阻抗数据传输线4送达电荷放大器5，电荷放大器5将电荷信号转换为电压信号，数据采集卡6对电压信号进行采集，并将数据保存到计算机7中；

所述Kistler测力仪3为通过压电效应将铣削时产生的铣削力转换为电荷信号；

所述高阻抗数据传输线4为将电荷信号进行传输，测力仪3获得的电荷量较小，且容易泄露，高阻抗数据传输线能将小电荷量电荷进行安全传输；

所述电荷放大器5为对电荷进行放大并转换成电压信号，测力仪输出的电荷信号较微弱，为便于采集，需要电荷放大器5对电荷进行放大并转换为电压信号；

所述数据采集卡6为将放大的电信号进行采集量化；

所述计算机包括存储模块、信号预处理模块和数据分析模块；数据采集卡6采集的信号分别通过计算机的信号预处理模块、数据分析模块对信号进行处理和分析，从而输出获得铣刀半径不对称误差值；

薄壁工件2主要有定位孔9、安装底座10以及悬臂结构11构成；所述定位孔9为将工件定位在Kistler测力仪3上表面，确定薄壁件的正确位置；所述定安装底座10为将工件固定在工作台上，并对其进行夹紧；所述薄壁悬臂结构11为铣削加工部位，铣削此部位获得铣削力。

2.一种两齿螺旋立铣刀刀齿半径不对称误差检测方法，其特征在于，包括步骤：

步骤1，实验平台的构建

搭建好铣削力测试系统和设计好薄壁结构；

步骤2，铣削力信号的去噪处理

采用异常值剔除及小波包分解去噪方法对铣削力信号进行预处理，

步骤2.1采用Chauvenet和Gubbs公式对异常数据进行剔除，其表达式为：

|x_i-μ_X|>cσ  (1)

其中x_i为第i次的采集值，μ_X为样本的平均值，σ为样本的方差，c为调整参数。

步骤2.2采用Sqtwolog规则确定滤波阈值，数据处理过程如下：

（1）信号的小波包分解：选择小波基对铣削力信号进行N层小波包分解；

（2）小波包分解高频系数的阈值量化：对各个分解尺度下的高频系数确定阈值并进行阈值化处理；

（3）小波包重构：根据第N层小波包分解低频系数和量化处理系数进行小波重构；

（4）静态零点漂移剔除：整个测量系统存在静态零漂，对小波包阈值去噪后的信号进行零漂剔除处理；

步骤3，名义铣削力的构建

铣刀刀齿半径不对称误差造成长、短齿铣削力信号不同，为获得精确的解析铣削力系数，需要构建名义铣削力，即单个齿的铣削力构造铣削力；

步骤4，铣刀刀齿半径不对称公式构建

根据名义铣削力可获得对应的名义铣削力系数，计算公式如式（2）-（5）所示。

$K_{\mathrm{tl}}=\frac{4p_l}{{\mathrm{ac}}_l}(A{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xl}}+B{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{yl}})---\left(2\right)$

$K_{\mathrm{rl}}=\frac{4p_l}{{\mathrm{ac}}_l}(C{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xl}}+D{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{yl}})---\left(3\right)$

$K_{\mathrm{ts}}=\frac{4p_s}{{\mathrm{ac}}_s}(A{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xs}}+B{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{ys}})---\left(4\right)$

$K_{\mathrm{rs}}=\frac{4p_s}{{\mathrm{ac}}_s}(C{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xs}}+D{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{ys}})---\left(5\right)$

其中参数p_l,p_s分别为铣削刃长、短齿与切削时刀具转过的角度，表示为：

$p=({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ex}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{st}})+\frac{a}{\tan (90-\mathrm{\λ})*r}---\left(6\right)$

c_l,c_s为长、短齿的每齿进给量，

分别为X，Y方向长、短齿名义铣削力的平均值,

根据切向、径向铣削力系数与刀具旋转半径无关的假设，得到：

$\frac{\frac{4p_l}{{\mathrm{ac}}_l}(A{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xl}}+B{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{yl}})}{\frac{4p_s}{{\mathrm{ac}}_s}(A{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xs}}+B{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{ys}})}=1---\left(7\right)$

$\frac{\frac{4p_l}{{\mathrm{ac}}_l}(C{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xl}}+D{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{yl}})}{\frac{4p_s}{{\mathrm{ac}}_s}(C{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xs}}+D{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{ys}})}=1---\left(8\right)$

以式（7）为例计算刀具长、短齿旋转半径，记

刀具长、短齿半径通过式（9）获得：

$\left\{\begin{array}{c}K\frac{p_l}{p_s}\frac{c_s}{c_l}=1\\ r_l+r_s=D\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中， $\frac{c_s}{c_l}=\frac{c_l-(r_l-r_s)}{c_l}=1-\frac{(r_l-r_s)}{c+(r_l-r_s)},\frac{p_l}{p_s}=\frac{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ex}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{st}})+\frac{a}{\tan (90-\mathrm{\λ})*r_l}}{({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ex}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{st}})+\frac{a}{\tan (90-\mathrm{\λ})*r_s}}$

根据式（9）得到若干组实验对应的刀具旋转半径r_l、r_s，在铣削实验中，获得置信水平为a时，长、短齿旋转半径均值及方差的置信区间，如式（10）-（11）所示：

$(\stackrel{\‾}{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{a/2}(n-1),\stackrel{\‾}{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{a/2}(n-1))---\left(10\right)$

$(\frac{(n-1)S^2}{{\mathrm{\χ}}_{a/2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{{\mathrm{\χ}}_{1-a/2}^2(n-1)})---\left(11\right)$

获得均值和方差的置信区间，取r_l均值、r_s均值区间的均值作为长、短齿旋转半径，最终获得刀齿半径差。

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