CN103455713B - 一种设计平面编织复合材料力学模量的方法 - Google Patents

Abstract

一种设计平面编织复合材料力学模量的方法，它有四大步骤：步骤一、根据纤维束的平面编织方式即周期性和重复性，选择最小的重复性单元作为代表性体积元，由此确定其胞体单元；步骤二、根据外载荷施加方式以及步骤一中的胞体单元，对胞体单元内织布的纤维束进行受力分析，从而，建立平面编织复合材料胞体单元纤维织布的细观力学模型，确定胞体单元内纤维织布的总应变余能U^*，并利用最小势能原理，求解胞体单元纤维织布的内力；步骤三、根据卡式定理或单位载荷法求解胞体单元纤维织布的变形，再根据应力-应变本构方程，得到平面编织复合材料织布的力学模量；步骤四、根据混合定理，得到平面编织复合材料的弹性模量。

Description

一种设计平面编织复合材料力学模量的方法

技术领域

本发明提供一种设计平面编织复合材料力学模量的方法，属于复合材料设计领域。

背景技术

平面编织复合材料作为一种新型轻质高效纺织结构复合材料，具有工艺自动化程度水平高、经济性好、结构整体性能优异、抗冲击和疲劳阻等优点，与单向纤维增强的复合材料层合板相比，平面编织复合材料层板对改进层间、层内强度和损伤容限等方面具有巨大的潜力。因此，编织复合材料在航空、航天、航海、汽车等领域都得到了广泛应用。实验手段直接测量平面编织复合材料残余热应力成本较高，且测试过程中易受到很多偶然因素的影响；有限元数值模拟方法需要建立复杂的有限元模型，计算复杂，计算效率低，计算精度难以保证；因此，本发明运用细观力学分析方法研究平面编织复合材料细观结构对其宏观性能的影响，获得其宏观力学模量的解析解，仅仅需要少量的组分材料性能参数就能快速准确地预测平面编织复合材料宏观力学模量，实现平面编织复合材料宏观性能的优化设计，可见本发明具有重要学术意义和工程应用价值。

发明内容

本发明提供了一种设计平面编织复合材料力学模量的方法，该方法具有计算简便，精度高等优点，其技术方案如下：

步骤一、根据纤维束的平面编织方式(如周期性和重复性等)，选择最小的重复性单元作为代表性体积元，由此确定其胞体单元；图2为所选的代表性体积元(胞体单元)，包含了2条正交的经向纱和纬向纱(纤维束)，其中方向1定义为经向，方向2定义为纬向，将经向纱和纬向纱理想化成正弦的曲梁，可以得到经向纱和纬向纱的中心线Z坐标表达式：

$z_1=\frac{h_2}{2}sin\frac{2\mathrm{\π}x}{L_1}---\left(1\right)$

$z_2=\frac{h_1}{2}sin\frac{2\mathrm{\π}y}{L_2}---\left(2\right)$

根据图3a、图3b，可以得到截面面积A和截面惯性矩I的表达式为

$A=\frac{1}{4}{\mathrm{\πb}}^2+b(a-b)---\left(3\right)$

$I=\frac{1}{64}{\mathrm{\πb}}^4+\frac{1}{12}{b}^3(a-b)---\left(4\right)$

式中a和b分别为经向纱和纬向纱截面的宽度和高度。

步骤二、根据外载荷施加方式以及步骤一中的胞体单元，对胞体单元内织布的纤维束进行受力分析，从而，建立平面编织复合材料胞体单元纤维织布的细观力学模型，确定胞体单元内纤维织布的总应变余能U^*，并利用最小势能原理，求解胞体单元纤维织布的内力。

胞体单元的总应变余能U^*的表达式为

$U^{*}=\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{U}_i^{*}---\left(5\right)$

式中，

$U_i^{*}=\frac{1}{EI}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{M}^{2}dx+\frac{1}{EA}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{N}^{2}dx+\frac{1}{{\mathrm{GI}}_p}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{T}^{2}dx---\left(6\right)$

其中，M、N和T分别为弯矩、轴力和扭矩；I、A和I_p分别为纤维束截面惯性矩、面积和极惯性矩；E为纤维束的弹性模量。根据最小势能原理，可确定胞体单元各个内力。

步骤三、根据卡式定理或单位载荷法求解胞体单元纤维织布的变形，再根据应力-应变本构方程，得到平面编织复合材料织布的力学模量。

由卡式定理确定的系统在外载荷(包括拉伸、压缩和剪切载荷)作用下平面编织复合材料织布的变形Δ为

$\mathrm{\Δ}=\frac{\∂U^{*}}{\∂P}---\left(7\right)$

其中P代表所受的外载荷。

根据应力和应变关系表达式，可以得到纤维织布的拉伸、压缩和剪切模量公式：

$\left\{\begin{array}{c}{E}_t=\frac{{\mathrm{\σ}}_{tx}}{{\mathrm{\ϵ}}_{tx}}\\ E_c=\frac{{\mathrm{\σ}}_{cx}}{{\mathrm{\ϵ}}_{cx}}\\ G=\frac{\mathrm{\τ}}{\mathrm{\γ}}\end{array}\right.---\left(8\right)$

式中E_t、E_c和G分别表示纤维织布的拉伸、压缩和剪切模量，σ_tx、σ_cx和τ分别表示拉伸、压缩和剪切应力，ε_tx、ε_cx和γ分别表示拉伸、压缩和剪切应变。

步骤四、根据混合定理，可以得到平面编织复合材料的弹性模量。

$\left\{\begin{array}{c}{E}_{tla}=E_t{V}_f+E_m(1-V_f)\\ E_{cla}=E_c{V}_f+E_m(1-V_f)\\ G_{la}=G{V}_f+G_m(1-V_f)\end{array}\right.$

其中，在步骤一中所述的“体积元”是指具有三轴向编织特征的三维单元。

本发明是一种设计平面编织复合材料力学模量的方法，其特点是通过少量的纤维束和基体的性能参数便可方便快捷预测平面编织复合材料的宏观力学模量。

附图说明

图1为平面编织复合材料的编织方式。

图2为理想胞体单元。

图3a为胞体单元经向纱和纬向纱(纤维束)的理想截面。

图3b为胞体单元经向纱和纬向纱的简化截面。

图4a为胞体单元拉伸状态下受力图。

图4b为胞体单元压缩状态下受力图。

图4c为胞体单元剪切状态下受力图。

图5a为拉伸载荷下经向纤维束的内力分布图。

图5b为拉伸载荷下纬向纤维束的内力分布图。

图6a为压缩载荷下经向纤维束的内力分布图。

图6b为压缩载荷下纬向纤维束的内力分布图。

图7a和b为剪切载荷下经向纤维束的内力和合力分布图。

图7c和d为剪切载荷下纬向纤维束的内力和合力分布图。

图8是本发明所述方法的流程框图。

图中符号说明如下：

图2中的a₁、a₂分别为经向纱和纬向纱截面的宽度，b₁、b₂分别为经向纱和纬向纱截面的高度，L₁、L₂分别为经向纱和纬向纱纤维束的波长，g₁、g₂分别为经向纱和纬向纱的间距。

图3a中a₂分别为纬向纱截面的宽度，b₁、b₂分别为经向纱和纬向纱截面的高度，L₁为经向纱纤维束波长，g₂分别为纬向纱的间距，h₁为经向纱纤维束的高度。图3b中a和b分别为经向纱和纬向纱截面的宽度和高度。

图4a中的N₁为拉伸载荷，N₂为纤维束间的相互作用力。图4b中的N₁为压缩载荷，N₂为纤维束间的相互作用力。图4c中的N₁为剪切载荷。

图5a、b中的L₁、L₂分别为经向纱和纬向纱的波长，N₁为拉伸载荷，N₂为纤维束间的相互作用力，M₁、M₂为由拉伸载荷产生的经向纱和纬向纱弯矩。

图6a、b中的N₁为拉伸载荷，N₂为纤维束间的相互作用力，M₁、M₂为由拉伸载荷产生的经向纱和纬向纱弯矩。

图7a-d中的N₁为剪切载荷，N₂、N₃为由剪切载荷产生的垂向和横向内力，N₄、N₅为由N₂、N₃产生的合力，M₁、M₂为由剪切载荷产生的弯矩，T₁、T₂为由剪切载荷产生的扭矩。

具体实施方式

见图8，本发明一种设计平面编织复合材料力学模量的方法，该方法具体步骤如下：

步骤一、胞体单元的确定。根据图1所示的织布编织方式，考虑编织的周期性和重复性，选择代表性体积元模型，图2为所选的代表性体积元(胞体单元)，包含了2条正交的经向纱和纬向纱(纤维束)，其中方向1定义为经向，方向2定义为纬向，将经向纱和纬向纱理想化成正弦的曲梁，可以得到经向纱和纬向纱的中心线Z坐标表达式：

$z_1=\frac{h_2}{2}sin\frac{2\mathrm{\π}x}{L_1}---\left(1\right)$

$z_2=\frac{h_1}{2}sin\frac{2\mathrm{\π}y}{L_2}---\left(2\right)$

根据图3a、图3b，可以得到截面面积A和截面惯性矩I的表达式为

$A=\frac{1}{4}{\mathrm{\πb}}^2+b(a-b)---\left(3\right)$

$I=\frac{1}{64}{\mathrm{\πb}}^4+\frac{1}{12}{b}^3(a-b)---\left(4\right)$

式中a和b分别为经向纱和纬向纱截面的宽度和高度。

步骤二、平面编织复合材料胞体单元纤维织布的细观力学模型。根据不同外载情况(包括拉伸、压缩和剪切载荷)(如图4a-图4c所示)，分析纤维束之间的相互作用，可以得到不同外载下(包括拉伸、压缩和剪切载荷)经纬向纤维束的内力分布图(如图5a、图5b,图6a、图6b到图7a-图7d所示)，根据能量原理，求解内力。

胞体单元的总应变余能U^*的表达式为

$U^{*}=\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{U}_i^{*}---\left(5\right)$

式中，

$U_i^{*}=\frac{1}{EI}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{M}^{2}dx+\frac{1}{EA}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{N}^{2}dx+\frac{1}{{\mathrm{GI}}_p}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{T}^{2}dx---\left(6\right)$

其中，M、N和T分别为弯矩、轴力和扭矩；I、A和I_p分别为纤维束截面惯性矩、面积和极惯性矩；E为纤维束的弹性模量。根据最小势能原理，可确定胞体单元各个内力。

步骤三、力学模量(包括拉伸、压缩和剪切模量)计算公式的建立。由卡式定理确定的系统在外载荷(包括拉伸、压缩和剪切载荷)作用下平面编织复合材料织布的变形Δ为

$\mathrm{\Δ}=\frac{\∂U^{*}}{\∂P}---\left(7\right)$

其中P代表所受的外载荷。

根据应力和应变关系表达式，可以得到纤维织布的拉伸、压缩和剪切模量公式：

$\left\{\begin{array}{c}{E}_t=\frac{{\mathrm{\σ}}_{tx}}{{\mathrm{\ϵ}}_{tx}}\\ E_c=\frac{{\mathrm{\σ}}_{cx}}{{\mathrm{\ϵ}}_{cx}}\\ G=\frac{\mathrm{\τ}}{\mathrm{\γ}}\end{array}\right.---\left(8\right)$

式中E_t、E_c和G分别表示纤维织布的拉伸、压缩和剪切模量，σ_tx、σ_cx和τ分别表示拉伸、压缩和剪切应力，ε_tx、ε_cx和γ分别表示拉伸、压缩和剪切应变。

步骤四、根据混合定理，可以得到平面编织复合材料的弹性模量为

$\left\{\begin{array}{c}{E}_{tla}=E_t{V}_f+E_m(1-V_f)\\ E_{cla}=E_c{V}_f+E_m(1-V_f)\\ G_{la}=G{V}_f+G_m(1-V_f)\end{array}\right.---\left(9\right)$

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细说明。

实施例一拉伸模量的预测

选用如图2所示的编织方式和胞体单元，当单元受到拉伸外载时(如图4a所示)，考虑纤维束间的挤压力N₂，结合纤维束的受力分析(如图5a-b所示)，可以得到相应的内力表达式：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_1\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}{M}_1+N_1\&CenterDot;\frac{h_1}{2}\&lsqb;1-\cos \left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)\&rsqb;-\frac{1}{2}{N}_{2}x& (x\&le;\frac{1}{2}{L}_1)\\ M_1+N_1\&CenterDot;\frac{h_1}{2}\&lsqb;1-\cos \left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)\&rsqb;-\frac{1}{2}{N}_2(L_1-x)& (\frac{1}{2}{L}_1<x\&le;L_1)\end{array}\right.\\ M_2\left(y\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{N}_{2}y+M_2& (y\&le;\frac{1}{2}{L}_2)\\ \frac{1}{2}{N}_2(L_2-y)+M_2& (\frac{1}{2}{L}_2<y\&le;L_2)\end{array}\right.\\ N\left(x\right)=\frac{N_1}{\sqrt{1+\frac{h_1^2{\mathrm{\&pi;}}^2}{L_1^2}{\sin }^2\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)}}\end{array}\right.---\left(10\right)$

式中，M₁、M₂为由拉伸载荷产生的经向纱和纬向纱弯矩，N₁为拉伸载荷，N₂为纤维束间的相互作用力，L₁、L₂分别为经向纱和纬向纱纤维束的波长，h₁为经向纱纤维束的高度。

将式(10)代入式(6)，可以得到经向和纬向纤维束的余应变能分别为

$\begin{array}{c}{U}_1^{*}=\frac{1}{E_1{I}_1}{\&Integral;}_0^{L_1/2}{\&lsqb;M_1+N_1\&CenterDot;\frac{h_1}{2}\&lsqb;1-\cos \left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)\&rsqb;-\frac{1}{2}{N}_{2}x\&rsqb;}^2\&CenterDot;\&lsqb;\sqrt{1+\frac{h_1^2{\mathrm{\&pi;}}^2}{L_1^2}{\sin }^2\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)}\&rsqb;dx\\ +\frac{1}{E_1{A}_1}{\&Integral;}_0^{L_1/2}\frac{N_1^2}{\sqrt{1+\frac{h_1^2{\mathrm{\&pi;}}^2}{L_1^2}{\sin }^2\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)}}dx\end{array}---\left(11\right)$

$U_2^{*}=\frac{1}{E_1{I}_2}{\&Integral;}_0^{L_2/2}{(\frac{1}{2}{N}_{2}y+M_2)}^2\&lsqb;\sqrt{1+\frac{h_2^2{\mathrm{\&pi;}}^2}{L_2^2}{\sin }^2\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}y}{L_2}\right)}\&rsqb;dy---\left(12\right)$

式中U₁ ^*和U₂ ^*分别为经向和纬向纤维束的余应变能，E₁为纤维束的弹性模量，M₁、M₂为由拉伸载荷产生的经向纱和纬向纱弯矩，N₁为拉伸载荷，N₂为纤维束间的相互作用力，L₁、L₂分别为经向纱和纬向纱纤维束的波长，h₁为经向纱纤维束的高度。

为方便计算，定义J₁到J₁₀如下：

$J_1=\frac{1}{I_1}{\&Integral;}_0^{L_1/2}\&lsqb;\sqrt{1+\frac{h_1^2{\mathrm{\&pi;}}^2}{L_1^2}{\sin }^2\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)}\&rsqb;dx---\left(13\right)$

$J_2=\frac{h_1^2}{4I_1}{\&Integral;}_0^{L_1/2}{\&lsqb;1-cos\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)\&rsqb;}^2\&lsqb;\sqrt{1+\frac{h_1^2{\mathrm{\&pi;}}^2}{L_1^2}{\sin }^2\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)}\&rsqb;dx---\left(14\right)$

$J_3=\frac{1}{4I_1}{\&Integral;}_0^{L_1/2}{x}^2\&lsqb;\sqrt{1+\frac{h_1^2{\mathrm{\&pi;}}^2}{L_1^2}{\sin }^2\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)}\&rsqb;dx---\left(14\right)$

$J_4=\frac{h_1}{I_1}{\&Integral;}_0^{L_1/2}\&lsqb;1-\cos \left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)\&rsqb;\&lsqb;\sqrt{1+\frac{h_1^2{\mathrm{\&pi;}}^2}{L_1^2}{\sin }^2\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)}\&rsqb;dx---\left(15\right)$

$J_5=\frac{1}{I_1}{\&Integral;}_0^{L_1/2}x\&lsqb;\sqrt{+\frac{h_1^2{\mathrm{\&pi;}}^2}{L_1^2}{\sin }^2\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)}\&rsqb;dx---\left(16\right)$

$J_6=\frac{h_1}{2I_1}{\&Integral;}_0^{L_1/2}x\&lsqb;1-cos\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)\&rsqb;\&lsqb;\sqrt{1+\frac{h_1^2{\mathrm{\&pi;}}^2}{L_1^2}{\sin }^2\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)}\&rsqb;dx---\left(17\right)$

$J_7=\frac{1}{A_1}{\&Integral;}_0^{L_2/2}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{h_1^2{\mathrm{\&pi;}}^2}{L_1^2}{\sin }^2\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}\right)}}dx---\left(18\right)$

$J_8=\frac{1}{I_2}{\&Integral;}_0^{L_2/2}\&lsqb;\sqrt{1+\frac{h_2^2{\mathrm{\&pi;}}^2}{L_2^2}{\sin }^2\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}y}{L_2}\right)}dy---\left(19\right)$

$J_9=\frac{1}{I_2}{\&Integral;}_0^{L_2/2}y\&lsqb;\sqrt{1+\frac{h_2^2{\mathrm{\&pi;}}^2}{L_2^2}{\sin }^2\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}y}{L_2}\right)}\&rsqb;dy---\left(20\right)$

$J_{10}=\frac{1}{I_2}{\&Integral;}_0^{L_2/2}{y}^2\&lsqb;\sqrt{1+\frac{h_2^2{\mathrm{\&pi;}}^2}{L_2^2}{\sin }^2\left(\frac{2\mathrm{\&pi;}y}{L_2}\right)}\&rsqb;dy---\left(21\right)$

式中L₁、L₂分别为经向纱和纬向纱纤维束的波长，h₁、h₂分别为经向纱和纬向纱纤维束的高度，I₁、I₂分别为经向纱和纬向纱纤维束的截面惯性矩。

将式(13)至式(21)分别代入式(11)、(12)，再代入式(5)后化简，可以得到胞体单元的总余应变能U^*为

$\begin{array}{c}{U}^{*}=U_1^{*}+U_2^{*}\\ =\frac{1}{E_1}(M_1^2{J}_1+N_1^2{J}_2+N_2^2{J}_3+M_1{N}_1{J}_4-M_1{N}_2{J}_5-N_1{N}_2{J}_6+N_1^2{J}_7+M_2^2{J}_8+M_2{N}_2{J}_9+N_2^2{J}_{10})\end{array}---\left(22\right)$

根据最小余能原理得到

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\&part;U^{*}}{\&part;M_2}=2J_8{M}_2+J_9{N}_2=0\\ \frac{\&part;U^{*}}{\&part;N_2}=2J_3{N}_2-J_5{M}_1-J_6{N}_1+J_9{M}_2+2J_{10}{N}_2=0\\ \frac{\&part;U^{*}}{\&part;M_1}=2J_1{M}_1+J_4{N}_1-J_5{N}_2=0\end{array}\right.---\left(23\right)$

解方程组(23)，可以得到

$\left\{\begin{array}{c}{N}_2=\frac{J_6-J_4{J}_5/2J_1}{2J_3+2J_{10}-J_5^2/2J_1-J_9^2/2J_8}{N}_1\\ M_1=(-\frac{J_4}{2J_1}+\frac{J_6{J}_5-J_4{J}_5^2/2J_1}{4J_1{J}_3+4J_1{J}_{10}-J_5^2-J_1{J}_9^2/J_8})N_1\end{array}\right.---\left(24\right)$

由卡氏定理，得到编织布的变形Δ：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;}}_t={\&Integral;}_0^{L_1}\frac{M_1\left(x\right)}{E_1{I}_1}\frac{\&part;M_1\left(x\right)}{\&part;N_1}dl+{\&Integral;}_0^{L_1}\frac{N\left(x\right)}{E_1{A}_1}\frac{\&part;N\left(x\right)}{\&part;N_1}dl\\ =\frac{1}{E_1}(2J_2{N}_1+J_4{M}_1-J_6{N}_2+2J_7{N}_1)\\ =\frac{1}{E_1}\&lsqb;2J_2+2J_7-\frac{J_4^2}{2J_1}+\frac{2J_4{J}_5{J}_6-2J_1{J}_6^2-J_4^2{J}_5^2/2J_1}{4J_1{J}_3+4J_1{J}_{10}-J_5^2-J_1{J}_9^2/J_8}\&rsqb;N_1\end{array}---\left(25\right)$

将式(25)进一步化简，变为

${\mathrm{\&Delta;}}_t=\frac{J}{E_1}{N}_1---\left(26\right)$

其中J的表达式为

$J=2J_2+2J_7-\frac{J_4^2}{2J_1}+\frac{2J_4{J}_5{J}_6-2J_1{J}_6^2-J_4^2{J}_5^2/2J_1}{4J_1{J}_3+4J_1{J}_{10}-J_5^2-J_1{J}_9^2/J_8}---\left(27\right)$

于是，受拉纤维布的拉伸模量为

$E_t=\frac{N_1{L}_1}{A_1{\mathrm{\&Delta;}}_t}=\frac{E_1{L}_1}{A_{1}J}---\left(28\right)$

将式(28)代入式(9)，可以得到平面编织复合材料的拉伸模量为

$E_{1a}=E_t{V}_f+E_m(1-V_f)=\frac{E_1{L}_1{V}_f}{A_{1}J}+E_m(1-V_f)---\left(29\right)$

同理，可以导出压缩和剪切模量公式。

Claims (2)

1.一种设计平面编织复合材料力学模量的方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一、根据纤维束的平面编织方式即周期性和重复性，选择最小的重复性单元作为代表性体积元，由此确定其胞体单元；该胞体单元包含了2条正交的经向纱和纬向纱，其中方向1定义为胞体单元的经向，指代经向纱长度方向；方向2定义为胞体单元的纬向，指代纬向纱长度方向；

将经向纱和纬向纱理想化成正弦的曲梁，得到经向纱和纬向纱的中心线Z坐标表达式：

$z_1=\frac{h_2}{2}sin\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{L_1}---\left(1\right)$

$z_2=\frac{h_1}{2}\sin \frac{2\mathrm{\&pi;}y}{L_2}---\left(2\right)$

从而得到截面面积A和截面惯性矩I的表达式为

$A=\frac{1}{4}{\mathrm{\&pi;b}}^2+b(a-b)---\left(3\right)$

$I=\frac{1}{64}{\mathrm{\&pi;b}}^4+\frac{1}{12}{b}^3(a-b)---\left(4\right)$

式中a和b分别为经向纱和纬向纱截面的宽度和高度；式中h₁为平面编织复合材料经向纤维束的厚度；h₂为平面编织复合材料纬向纤维束的厚度；L₁为平面编织复合材料胞体单元中经向纤维束的一个波动周期内长度；L₂为平面编织复合材料胞体单元中纬向纤维束的一个波动周期内长度；

步骤二、根据外载荷施加方式以及步骤一中的胞体单元，对胞体单元内织布的纤维束进行受力分析，从而，建立平面编织复合材料胞体单元纤维织布的细观力学模型，确定胞体单元内纤维织布的总应变余能U^*，并利用最小势能原理，求解胞体单元纤维织布的内力；

胞体单元的总应变余能U^*的表达式为

$U^{*}=\underset{i=1}{\overset{2}{\&Sigma;}}{U}_i^{*}---\left(5\right)$

式中，

$U_i^{*}=\frac{1}{EI}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\&Integral;}}{M}^{2}dx+\frac{1}{EA}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\&Integral;}}{N}^{2}dx+\frac{1}{{\mathrm{GI}}_p}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\&Integral;}}{T}^{2}dx---\left(6\right)$

其中，M、N和T分别为弯矩、轴力和扭矩；I、A和I_p分别为纤维束截面惯性矩、面积和极惯性矩；E为纤维束的弹性模量；根据最小势能原理，确定胞体单元各个内力；

步骤三、根据卡式定理或单位载荷法求解胞体单元纤维织布的变形，再根据应力-应变本构方程，得到平面编织复合材料织布的力学模量；

由卡式定理确定的系统在外载荷作用下平面编织复合材料织布的变形Δ为

$\mathrm{\&Delta;}=\frac{\&part;U^{*}}{\&part;P}---\left(7\right)$

其中P代表所受的外载荷，

根据应力和应变关系表达式，得到纤维织布的拉伸、压缩和剪切模量公式：

$\left\{\begin{array}{c}{E}_t=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{tx}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{tx}}\\ E_c=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{cx}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{cx}}\\ G=\frac{\mathrm{\&tau;}}{\mathrm{\&gamma;}}\end{array}\right.---\left(8\right)$

式中E_t、E_c和G分别表示纤维织布的拉伸、压缩和剪切模量，σ_tx、σ_cx和τ分别表示拉伸、压缩和剪切应力，ε_tx、ε_cx和γ分别表示拉伸、压缩和剪切应变；

步骤四、根据混合定理，得到平面编织复合材料的弹性模量；

$\left\{\begin{array}{c}{E}_{tla}=E_t{V}_f+E_m(1-V_f)\\ E_{cla}=E_c{V}_f+E_m(1-V_f)\\ G_{la}={\mathrm{GV}}_f+G_m(1-V_f)\end{array}\right.$

式中E_tla为平面编织复合材料的拉伸弹性模量；E_cla为平面编织复合材料的压缩弹性模量；G_la为平面编织复合材料的剪切弹性模量；E_m为基体的压缩弹性模量；G_m为基体的压缩剪切模量；V_f为纤维织布的体积分数。

2.根据权利要求1所述的一种设计平面编织复合材料力学模量的方法，其特征在于：步骤一中所述的“体积元”是指具有三轴向编织特征的三维单元。