CN105354390B - 一种预测平面斜交编织复合材料双向拉伸模量与强度的方法 - Google Patents

Abstract

一种设计平面斜交编织复合材料双向拉伸强度的方法，该方法有四大步骤：步骤一、根据纤维束的编织形式选择代表性胞体；步骤二、建立平面斜交编织复合材料胞体中纤维织布在双向面内拉伸外载下的细观力学模型，利用能量法求解纤维织布的内力分布；步骤三、由卡式定理求解纤维织布的变形，由本构方程计算织布的双向拉伸模量。再由混合定理得到平面斜交编织复合材料的双向拉伸模量；步骤四、针对纤维束和基体分别采用最大拉应力和畸变能准则，基于变形协调条件求解平面斜交编织复合材料的双向拉伸强度，得到理论解。本发明方便高效，仅通过确定编织形式和少量的组份材料性能参数便可方便准确地预测平面斜交编织复合材料的双向拉伸强度。

Description

一种预测平面斜交编织复合材料双向拉伸模量与强度的方法

技术领域

本发明提供一种预测平面斜交编织复合材料双向拉伸模量与强度的方法，属于复合材料设计领域。

背景技术

平面编织复合材料由于其良好的力学性能、结构完整性以及经济性，被广泛应用于航空航天领域。随着该材料日益广泛的应用，工程上对其力学性能的要求也更加具体和苛刻，需要对其力学性能进行精确设计，以满足使用要求，因此，建立其力学性能的预测方法刻不容缓，利用此方法，可对平面斜交编织复合材料的编织形状和尺寸以及组份材料性能进行优化设计。常用的有限元数值模拟方法的建模工作量大、计算效率与精度低，因此，本发明从细观力学角度对平面斜交编织复合材料进行建模，运用能量法，获得了其双向拉伸模量和强度的解析解，在此基础上，通过优化编织布的几何形状与尺寸以及组分材料性能参数，可以快速、高效地获得满足工程要求的优化设计法方案，可见本发明具有重要的学术价值和广阔的工程应用前景。

发明内容

本发明建立了一种预测平面斜交编织复合材料双向拉伸模量与强度的方法，该方法具有计算简便且精度高等优点，其技术方案如下：

步骤一、根据纤维束的对称平面斜交编织方式(如周期性和重复性等)，选择最小的周期性单元作为代表性体积元，由此确定其胞体单元，定义胞体单元内斜交编织几何形状与尺寸。

根据图1所示的平面对称斜交编织布的编织形状，考虑编织的周期性和重复性，选择代表性体积单元。图2为所选的代表性体积单元(胞体单元)，单胞内包含了4条对称斜交的纤维束，定义由该四条纤维束组成的菱形的对角线方向分别为横向和纵向。编织角α指两个方向纤维束的夹角之半(如图2所示)。由于纤维束编织的中心对称性，可以仅取其中一条纤维束进行内力分析。因为纤维束自身的轴向横截面尺寸相比与其长度来说很小，将其视为受力情况是面内拉伸，面外弯曲的弯曲梁。由于纤维束编织导致的相互挤压作用，将其波动状态用正弦波进行描述。可以得到纤维束的中心线Z坐标表达式：

纤维束截面形状考虑纤维束间的相互挤压作用后认为如图3所示，截面两端为圆弧过渡，纤维束的截面最大宽度为w，厚度为h。可由此计算纤维束截面的截面面积A和截面惯性矩I_y、I_z、I_p的表达式，得到

I_p＝I_y+I_z (5)

式中w和h分别为纤维束截面的宽度和厚度。

步骤二、对步骤一中的胞体单元施加双向面内拉伸外载，对胞体单元内织布的纤维束进行受力分析，从而，建立平面斜交编织复合材料胞体单元纤维织布的细观力学模型，确定胞体单元内纤维织布的总应变余能，并利用最小余能原理，求解胞体单元纤维织布的内力分布。

在单胞上作用横向及纵向拉伸载荷P₁，P₂。由单胞的受力分析(如图4所示)可以看出这是典型的对称结构在对称载荷作用下的静不定问题。由受力分析可知(如图5所示)梁的内力主要有轴力N(x)，面内剪力F_S1，面外剪力F_S2(x)，面内弯矩M₁(x)，面外弯矩M₂(x)，扭矩T(x)。

在对称载荷作用下，对称结构对称轴处横截面上的反对称内力为零，可知梁端面上的轴力与剪力为

由此可得到弯曲梁的所有内力表达式，即

可知这个静不定结构中有四个未知内力M，M₁，Q，T。采用最小余能原理求解多余未知力，首先得到单胞的总余能表达式，J_i代表计算中间变量，可参见附录A。

由最小余能原理，可知，

计算未知内力，即

步骤三、根据卡式定理，求解胞体单元纤维织布的变形，再根据应力-应变本构方程，得到平面斜交编织复合材料织布的双向拉伸模量。在此基础上，根据混合定理，可以得到平面斜交编织复合材料的双向拉伸模量。

将未知内力代入单胞总余能表达式，认为材料满足线弹性假设，根据能量法定义可计算得到双向拉伸外载作用下的单胞双向位移。

根据应力和应变定义，可得到单胞的应力和应变表达式

根据应力和应变关系表达式，可以得到纤维织布双向拉伸模量公式：

式中E₁和E₂分别表示纤维织布的横向及纵向拉伸模量，σ₁和σ₂分别表示横向及纵向拉伸应力，ε₁和ε₂分别表示横向及纵向拉伸应变。

取单胞厚度为t，纤维编织布占单胞的体积分数可表示为

根据混合定理，可以得到平面斜交编织复合材料的双向弹性模量为

步骤四、根据组分材料(纤维束和基体)的破坏强度，采用最大拉应力准则和畸变能准则分别作为纤维束和基体破坏判据，并利用变形协调条件，分析平面斜交编织复合材料的双向拉伸强度，得到其解析解。

在已知单胞的内力分布后，对危险点进行破坏强度计算，并根据纤维束与基体的强度极限计算平面斜交编织复合材料的拉伸强度。采用最大拉应力准则和畸变能准则分别作为纤维束和基体破坏判据，即

当平面斜交编织复合材料横向和纵向上有拉伸外载T₁和T₂作用时，纤维编织布和基体各自承担一部分外载T_f，T_m，即

由于单胞内纤维束与基体的变形协调，在已知两者模量的基础上，可得

联立方程(19)和(20)，可得

令T₂为定值，研究T₁满足强度准则的最大值，即横向极限载荷。根据强度准则，基体和纤维编织布存在极限载荷[F_f1]和[F_m1]，即

对于平面斜交编织复合材料的横向极限载荷[F₁]，横向拉伸强度σ_x的解析解变为

根据前面单胞的内力分析以及强度准则，可分别求解[F_f1]和[F_m1]。

(1)求解[F_f1]

由于纤维编织布可看作由弯曲梁组成的编织结构，其梁内正应力由弯矩与轴力共同作用引起，因此，

因为编织交叉处(x＝0或x＝2L)变形最大，强度最值得考虑，则

根据第一强度理论，令σ_b1＝σ_max，则

根据上式，可得到纤维编织布横向及纵向的极限载荷[F_f1]：

(2)求解[F_m1]

基体上的双向拉伸应力可由名义应力法得到，即

取基体内部内的任一点的应力状态为双向拉应力状态，根据第四强度理论，可得

求解方程(31)，可得[F_m1]。

将[F_f1]和[F_m1]的计算结果代入式(23)和式(24)，可得到平面斜交编织复合材料的横向拉伸强度。同理，按照此方法可以得到纵向拉伸强度。

本发明是一种预测平面斜交编织复合材料双向拉伸模量与强度的方法，其特点是根据编织几何形状和尺寸以及纤维束和基体的性能参数，便可方便快捷地预测平面斜交编织复合材料的双向拉伸模量与强度。

附图说明

图1为平面斜交编织复合材料的编织形状。

图2为理想胞体单元。

图3为胞体单元截面的简化几何特征。其中图3a为纤维束的纵截面，图3b为纤维束的横截面。

图4为胞体单元在双向拉伸作用下的受力分析图，其中(a)为胞体单元在双向拉伸作用下的面内受力示意图，(b)为纤维束的面外受力示意图。

图5为纤维束面内受力图。

图6为预测平面斜交编织复合材料双向拉伸模量与强度的方法流程图。

图中符号说明如下：

图2中的α为编织角。

图3a中h为纤维束横截面的厚度，L为纤维束的半波长。图3b中w和h分别为纤维束横截面的宽度和厚度。

图4中的P₁、P₂分别为面内横向和纵向的拉伸载荷，Q为纤维束间的相互挤压作用力。F_N为由双向拉伸载荷产生的纤维束的轴力。M、M₀为由双向拉伸载荷产生的单胞内纤维束的两端的面外弯矩。

图5中的P₁、P₂分别为面内横向和纵向的拉伸载荷，α为编织角，M₁为由双向拉伸载荷产生的单胞内纤维束端部的面内弯矩。

具体实施方式

步骤一、根据纤维束的对称平面斜交编织方式(如周期性和重复性等)，选择最小的周期性单元作为代表性体积元，由此确定其胞体单元，定义胞体单元内斜交编织几何形状与尺寸。

根据图1所示的平面对称斜交编织布的编织形状，考虑编织的周期性和重复性，选择代表性体积单元。图2为所选的代表性体积单元(胞体单元)，单胞内包含了4条对称斜交的纤维束，定义由该四条纤维束组成的菱形的对角线方向分别为横向和纵向。编织角α指两个方向纤维束的夹角之半(如图2所示)。由于纤维束编织的中心对称性，可以仅取其中一条纤维束进行内力分析。因为纤维束自身的轴向横截面尺寸相比与其长度来说很小，将其视为受力情况是面内拉伸，面外弯曲的弯曲梁。由于纤维束编织导致的相互挤压作用，将其波动状态用正弦波进行描述。可以得到纤维束的中心线Z坐标表达式：

纤维束截面形状考虑纤维束间的相互挤压作用后认为如图3所示，截面两端为圆弧过渡，纤维束的截面最大宽度为w，厚度为h。可由此计算纤维束截面的截面面积A和截面惯性矩I_y、I_z、I_p的表达式，得到

I_p＝I_y+I_z (5)

式中w和h分别为纤维束截面的宽度和厚度。

步骤二、对步骤一中的胞体单元施加双向面内拉伸外载，对胞体单元内织布的纤维束进行受力分析，从而，建立平面斜交编织复合材料胞体单元纤维织布的细观力学模型，确定胞体单元内纤维织布的总应变余能，并利用最小余能原理，求解胞体单元纤维织布的内力分布。

在单胞上作用横向及纵向拉伸载荷P₁，P₂。由单胞的受力分析(如图4所示)可以看出这是典型的对称结构在对称载荷作用下的静不定问题。由受力分析可知(如图5所示)梁的内力主要有轴力N(x)，面内剪力F_S1，面外剪力F_S2(x)，面内弯矩M₁(x)，面外弯矩M₂(x)，扭矩T(x)。

在对称载荷作用下，对称结构对称轴处横截面上的反对称内力为零，可知梁端面上的轴力与剪力为

由此可得到弯曲梁的所有内力表达式，即

可知这个静不定结构中有四个未知内力M，M₁，Q，T。采用最小余能原理求解多余未知力，首先得到单胞的总余能表达式，J_i代表计算中间变量，可参见附录A。

由最小余能原理，可知，

计算未知内力，即

步骤三、根据卡式定理，求解胞体单元纤维织布的变形，再根据应力-应变本构方程，得到平面斜交编织复合材料织布的双向拉伸模量。在此基础上，根据混合定理，可以得到平面斜交编织复合材料的双向拉伸模量。

将未知内力代入单胞总余能表达式，认为材料满足线弹性假设，根据能量法定义可计算得到双向拉伸外载作用下的单胞双向位移。

根据应力和应变定义，可得到单胞的应力和应变表达式

根据应力和应变关系表达式，可以得到纤维织布双向拉伸模量公式：

式中E₁和E₂分别表示纤维织布的横向及纵向拉伸模量，σ₁和σ₂分别表示横向及纵向拉伸应力，ε₁和ε₂分别表示横向及纵向拉伸应变。

取单胞厚度为t，纤维编织布占单胞的体积分数可表示为

根据混合定理，可以得到平面斜交编织复合材料的双向弹性模量为

步骤四、根据组分材料(纤维束和基体)的破坏强度，采用最大拉应力准则和畸变能准则分别作为纤维束和基体破坏判据，并利用变形协调条件，分析平面斜交编织复合材料的双向拉伸强度，得到其解析解。

在已知单胞的内力分布后，对危险点进行破坏强度计算，并根据纤维束与基体的强度极限计算平面斜交编织复合材料的拉伸强度。采用最大拉应力准则和畸变能准则分别作为纤维束和基体破坏判据，即

当平面斜交编织复合材料横向和纵向上有拉伸外载T₁和T₂作用时，纤维编织布和基体各自承担一部分外载T_f，T_m，即

由于单胞内纤维束与基体的变形协调，在已知两者模量的基础上，可得

联立方程(19)和(20)，可得

令T₂为定值，研究T₁满足强度准则的最大值，即横向极限载荷。根据强度准则，基体和纤维编织布存在极限载荷[F_f1]和[F_m1]，即

对于平面斜交编织复合材料的横向极限载荷[F₁]，横向拉伸强度σ_x的解析解变为

根据前面单胞的内力分析以及强度准则，可分别求解[F_f1]和[F_m1]。

(1)求解[F_f1]

由于纤维编织布可看作由弯曲梁组成的编织结构，其梁内正应力由弯矩与轴力共同作用引起，因此，

因为编织交叉处(x＝0或x＝2L)变形最大，强度最值得考虑，则

根据第一强度理论，令σ_b1＝σ_max，则

根据上式，可得到纤维编织布横向及纵向的极限载荷[F_f1]：

(2)求解[F_m1]

基体上的双向拉伸应力可由名义应力法得到，即

取基体内部内的任一点的应力状态为双向拉应力状态，根据第四强度理论，可得

求解方程(31)，可得[F_m1]。

将[F_f1]和[F_m1]的计算结果代入式(23)和式(24)，可得到平面斜交编织复合材料的横向拉伸强度。同理，按照此方法可以得到纵向拉伸强度。

附录A

J₃₄＝J₁+J₁₅+J₃₁ ²(J₂+J₁₆)+J₃₁(J₃+J₁₉)+J₃₀ ²J₁₄+J₃₀J₁₇+J₃₀J₃₁J₁₈

J₃₅＝J₄+J₇+J₁₀+J₂₀+J₂₂+J₂₆+J₃₂ ²(J₅+J₂₃)+J₃₂(J₆+J₁₂+J₂₅+J₂₈)+J₃₃ ²(J₈+J₂₁)+J₃₃(J₉+J₁₁+J₂₄+J₂₇)+J₃₂J₃₃(J₁₃+J₂₉)

Claims (1)

1.一种设计平面斜交编织复合材料双向拉伸强度的方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一、根据纤维束对称平面斜交编织的周期性和重复性，选择最小的周期性单元作为代表性体积元，由此确定其胞体单元，定义胞体单元内斜交编织几何形状与尺寸；

根据平面对称斜交编织布的编织形状，考虑编织的周期性和重复性，选择代表性体积单元，单胞内包含了4条对称斜交纤维束，定义由该4条对称斜交纤维束组成的菱形的对角线方向分别为横向和纵向，编织角α指两个方向纤维束的夹角之半，由于纤维束编织具有中心对称性，取其中一条纤维束进行内力分析，因为纤维束自身的轴向横截面尺寸相比与其长度来说很小，将其视为受力情况是面内拉伸，面外弯曲的弯曲梁，由于纤维束编织导致的相互挤压作用，将其波动状态用正弦波进行描述，可以得到纤维束的中心线Z坐标表达式：

纤维束截面形状考虑纤维束间的相互挤压作用后认为是胶囊形，截面两端为圆弧过渡，纤维束截面的最大宽度为w，厚度为h，可由此计算纤维束截面的截面面积A和截面惯性矩I_y、I_z、I_p的表达式，得到

I_p＝I_y+I_z (5)

步骤二、对步骤一中的胞体单元施加双向面内拉伸外载，对胞体单元内织布的纤维束进行受力分析，从而，建立平面斜交编织复合材料胞体单元纤维编织布的细观力学模型，确定胞体单元内纤维编织布的总应变余能，并利用最小余能原理，求解胞体单元纤维编织布的内力分布；

在单胞上作用横向及纵向拉伸载荷P₁，P₂，由单胞的受力分析可以看出这是典型的对称结构在对称载荷作用下的静不定问题，由受力分析可知梁的内力主要有轴力N(x)，面内剪力F_S1，面外剪力F_S2(x)，面内弯矩M₁(x)，面外弯矩M₂(x)，扭矩T(x)，在对称载荷作用下，对称结构对称轴处横截面上的反对称内力为零，可知梁端面上的轴力与剪力为

由此可得到弯曲梁的所有内力表达式，即

可知这个静不定结构中有四个未知内力M，M₁，Q，T₀，采用最小余能原理求解多余未知力，首先得到单胞的总余能表达式，J_i代表计算中间变量，可参见中间变量列表，

由最小余能原理，可知，

计算未知内力，即

步骤三、根据卡式定理，求解胞体单元纤维编织布的变形，再根据应力-应变本构方程，得到平面斜交编织复合材料织布的双向拉伸模量，在此基础上，根据混合定理，可以得到平面斜交编织复合材料的双向拉伸模量；

将未知内力代入单胞总余能表达式，认为材料满足线弹性假设，根据能量法定义可计算得到双向拉伸外载作用下的单胞双向位移；

根据应力和应变定义，可得到单胞的应力和应变表达式

根据应力和应变关系表达式，可以得到纤维编织布双向拉伸模量公式：

式中E₁和E₂分别表示纤维编织布的横向及纵向拉伸模量，σ₁和σ₂分别表示横向及纵向拉伸应力，ε₁和ε₂分别表示横向及纵向拉伸应变；

取单胞厚度为t，纤维编织布占单胞的体积分数可表示为

根据混合定理，可以得到平面斜交编织复合材料的双向弹性模量为

步骤四、根据纤维束和基体的破坏强度，采用最大拉应力准则和畸变能准则分别作为纤维束和基体破坏判据，并利用变形协调条件，分析平面斜交编织复合材料的双向拉伸强度，得到其解析解；

在已知单胞的内力分布后，对危险点进行破坏强度计算，并根据纤维束与基体的强度极限计算平面斜交编织复合材料的拉伸强度，采用最大拉应力准则和畸变能准则分别作为纤维束和基体破坏判据，即

当平面斜交编织复合材料横向和纵向上有拉伸外载T₁和T₂作用时，纤维编织布和基体各自承担一部分外载T_f，T_m，即

由于单胞内纤维束与基体的变形协调，在已知两者模量的基础上，可得

联立方程(20)和(21)，可得

令T₂为定值，研究T₁满足强度准则的最大值，即横向极限载荷，根据强度准则，基体和纤维编织布存在极限载荷[F_f1]和[F_m1]，即

对于平面斜交编织复合材料的横向极限载荷[F₁]，横向拉伸强度σ_x的解析解变为

根据前面单胞的内力分析以及强度准则，可分别求解[F_f1]和[F_m1]；

(1)求解[F_f1]

由于纤维编织布可看作由弯曲梁组成的编织结构，其梁内正应力由弯矩与轴力共同作用引起，因此，

因为x＝0或x＝2L变形最大，强度最值得考虑，则

根据第一强度理论，令σ_bf＝σ_max，则

根据上式，可得到纤维编织布横向及纵向的极限载荷[F_f1]：

(2)求解[F_m1]

基体上的双向拉伸应力可由名义应力法得到，即

取基体内部内的任一点的应力状态为双向拉应力状态，根据第四强度理论，可得

求解方程(32)，可得[F_m1]；

将[F_f1]和[F_m1]的计算结果代入式(24)和式(25)，可得到平面斜交编织复合材料的横向拉伸强度，同理，按照此方法可以得到纵向拉伸强度；其中，中间变量列表为

J₃₄＝J₁+J₁₅+J₃₁ ²(J₂+J₁₆)+J₃₁(J₃+J₁₉)+J₃₀ ²J₁₄+J₃₀J₁₇+J₃₀J₃₁J₁₈

J₃₅＝J₄+J₇+J₁₀+J₂₀+J₂₂+J₂₆+J₃₂ ²(J₅+J₂₃)+J₃₂(J₆+J₁₂+J₂₅+J₂₈)+J₃₃ ²(J₈+J₂₁)+J₃₃(J₉+J₁₁+J₂₄+J₂₇)+J₃₂J₃₃(J₁₃+J₂₉)。