CN103455712B - 一种三轴向编织复合材料格栅力学模量的预测方法 - Google Patents

Abstract

一种三轴向编织复合材料格栅力学模量的预测方法，它有四大步骤：一、根据纤维束的三轴编织方式，选择最小的重复性单元作为代表性体积元，由此确定其胞体单元；二、根据外载荷施加方式以及步骤一中的胞体单元，对胞体单元内的纤维束进行受力分析，从而，建立三轴编织复合材料格栅胞体单元纤维织布的细观力学模型，确定胞体单元内纤维织布的总应变余能U^*，并利用最小势能原理，求解胞体单元纤维织布的内力；三、根据卡式定理或单位载荷法求解胞体单元纤维织布的变形，再根据应力‑应变本构方程，得到三轴编织复合材料格栅织布的力学模量；四、根据混合定理，得到三轴编织复合材料格栅的弹性模量。

Description

一种三轴向编织复合材料格栅力学模量的预测方法

技术领域

本发明提供一种三轴向编织复合材料格栅力学模量的预测方法，属于复合材料设计技术领域。

背景技术

编织复合材料作为一种新型轻质高效纺织结构复合材料，具有工艺自动化程度水平高、经济性好、结构整体性能优异、抗冲击和疲劳阻等优点，与单向纤维增强的复合材料层合板相比，编织复合材料层板对改进层间、层内强度和损伤容限等方面具有巨大的潜力。因此，编织复合材料在航空、航天、航海、汽车等领域都得到了广泛应用。实验手段直接测量平面编织复合材料残余热应力成本较高，且测试过程中易受到很多偶然因素的影响；有限元数值模拟方法需要建立复杂的有限元模型，计算复杂，计算效率低，计算精度难以保证；因此，本发明运用细观力学分析方法研究三轴编织复合材料格栅细观结构对其宏观性能的影响，获得其宏观力学模量的解析解，仅仅需要少量的组分材料性能参数就能快速准确地预测三轴编织复合材料格栅的宏观力学模量，实现三轴编织复合材料格栅宏观性能的优化设计，可见本发明具有重要学术意义和工程应用价值。

发明内容

本发明的目的在于提供一种三轴向编织复合材料格栅力学模量的预测方法，该方法具有计算简便，精度高等优点，其技术方案如下：

步骤一、根据纤维束的三轴编织方式(如周期性和重复性等)，选择最小的重复性单元作为代表性体积元，由此确定其胞体单元；将三轴向纤维束理想化成正弦的曲梁，并根据纤维束中心线位置，分别建立0°、-60°和60°纤维束坐标系(如图3a、3b和3c所示)，于是，可以得到三轴向纤维束的中心线Z坐标表达式：

$\left\{\begin{array}{c}{Z}_1=-\frac{\mathrm{\π}h}{2L}cos\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}{x}_1\right)\\ Z_2=\frac{\mathrm{\π}h}{2L}cos\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}{x}_2\right)\\ Z_3=-\frac{\mathrm{\π}h}{2L}sin\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}{x}_3\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中h和L分别为纤维束截面高度和纤维束长度。

步骤二、根据外载荷施加方式以及步骤一中的胞体单元，对胞体单元内的纤维束进行受力分析，从而，建立三轴编织复合材料格栅胞体单元纤维织布的细观力学模型，确定胞体单元内纤维织布的总应变余能U^*，并利用最小势能原理，求解胞体单元纤维织布的内力。

胞体单元的总应变余能U^*的表达式为

$U^{*}=\underset{i=1}{\overset{2}{\Σ}}{U}_i^{*}---\left(2\right)$

式中，

$U_i^{*}=\frac{1}{EI}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{M}^{2}dx+\frac{1}{EA}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{N}^{2}dx+\frac{1}{{\mathrm{GI}}_p}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{T}^{2}dx---\left(3\right)$

其中，M、N和T分别为弯矩、轴力和扭矩；I、A和I_p分别为纤维束截面惯性矩、面积和极惯性矩；E为纤维束的弹性模量。根据最小势能原理，可确定胞体单元各个内力。

步骤三、根据卡式定理或单位载荷法求解胞体单元纤维织布的变形，再根据应力-应变本构方程，得到三轴编织复合材料格栅织布的力学模量。

由卡式定理确定的系统在外载荷(包括拉伸、压缩和剪切载荷)作用下三轴编织复合材料织布的变形Δ为

$\mathrm{\Δ}=\frac{\∂U^{*}}{\∂P}---\left(4\right)$

其中P代表所受的外载荷。

根据应力和应变关系表达式，可以得到纤维织布的拉伸、压缩和剪切模量公式：

$\left\{\begin{array}{c}{E}_t=\frac{{\mathrm{\σ}}_{tx}}{{\mathrm{\ϵ}}_{tx}}\\ E_c=\frac{{\mathrm{\σ}}_{cx}}{{\mathrm{\ϵ}}_{cx}}\\ G=\frac{\mathrm{\τ}}{\mathrm{\γ}}\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中E_t、E_c和G分别表示纤维织布的拉伸、压缩和剪切模量，σ_tx、σ_cx和τ分别表示拉伸、压缩和剪切应力，ε_tx、ε_cx和γ分别表示拉伸、压缩和剪切应变。

步骤四、根据混合定理，可以得到三轴编织复合材料格栅的弹性模量。

三轴编织复合材料格栅的弹性模量为

$\left\{\begin{array}{c}{E}_{tla}=E_t{V}_f+E_m(1-V_f)\\ E_{cla}=E_c{V}_f+E_m(1-V_f)\\ G_{la}=G{V}_f+G_m(1-V_f)\end{array}\right.$

其中，在步骤一中所述的“体积元”是指具有三轴向编织特征的三维单元。

本发明是一种三轴编织复合材料格栅力学模量的预测方法，其特点是通过少量的纤维束和基体的力学性能参数便可方便快捷预测三轴编织复合材料格栅的宏观力学模量。

附图说明

图1为胞体单元；

图2为1/4胞体单元；

图3a为0°纤维束坐标系；

图3b为-60°纤维束坐标系；

图3c为60°纤维束坐标系；

图4a为拉伸状态受力图；

图4b为压缩状态受力图；

图4c为剪切状态受力图；

图5a为为拉伸状态0°方向纤维束的内力图；

图5b为为拉伸状态-60°方向纤维束的内力图；

图6a为压缩状态0°方向纤维束与-60°纤维束相互作用内力图；

图6b为压缩状态60°方向纤维束与-60°纤维束相互作用内力图；

图6c为压缩状态0°方向纤维束的内力图；

图6d为压缩状态-60°方向纤维束的内力图；

图7a为剪切状态0°方向纤维束与-60°纤维束相互作用内力图；

图7b为剪切状态60°方向纤维束与-60°纤维束相互作用内力图；

图7c为剪切状态0°方向纤维束的内力图；

图7d为剪切状态0°方向纤维束在x-y平面的内力图；

图7e为剪切状态60°方向纤维束的内力图；

图8是本发明所述方法的流程框图。

图中符号说明如下：

图3a中的x₁，y₁，z₁为正交坐标轴，图3b和3c中的x₂，y₂，z₂及x₃，y₃，z₃分别为不同坐标原点下的正交坐标轴。

图4a中的P为拉伸载荷，图4b中的P为压缩载荷，图4c中的F₁为0°方向纤维的剪切载荷，F₂为60°和-60°方向纤维束的剪切载荷。

图5a、b中的L为纤维束的长度，F₁和F₂分别为由拉伸载荷P产生的轴力，M为拉伸载荷P产生的弯矩。

图6a-c中的L和b分别为纤维束的长度和宽度，F₁和F₂分别为压缩载荷P产生的轴力，N为压缩荷P产生的纤维间的相互作用力，T为压缩荷P产生的扭矩。

图7a-e中的P为剪切载荷，N₁、N₂和N₃分别为剪切载荷P产生的纤维束间的相互作用力，M₁和M₂分别为剪切载荷P产生的弯矩，T₁和T₂分别为剪切载荷P产生的扭矩。

具体实施方式

见图8，本发明一种三轴向编织复合材料格栅力学模量的预测方法，该方法具体步骤如下：

步骤一、胞体单元的确定。根据图1所示的织布编织方式，考虑复合材料格栅的周期性和重复性，选择代表性体积元模型，图1中的虚线框部分为所选的代表性体积元，包含了两条0°方向的纤维束、一条60°方向的纤维束和一条-60方向的纤维束。由于代表性体积元为对称结构，可得到图2所示的1/4代表性体积元。将三轴向纤维束理想化成正弦的曲梁，并根据纤维束中心线位置，分别建立0°、-60°和60°纤维束坐标系(如图3a、3b和3c所示)，于是，可以得到三轴向纤维束的中心线Z坐标表达式：

$\left\{\begin{array}{c}{Z}_1=-\frac{\mathrm{\π}h}{2L}cos\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}{x}_1\right)\\ Z_2=\frac{\mathrm{\π}h}{2L}cos\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}{x}_2\right)\\ Z_3=-\frac{\mathrm{\π}h}{2L}sin\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}{x}_3\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中h和L分别为纤维束截面高度和纤维束长度。

步骤二、复合材料格栅胞体单元的细观力学模型的建立。根据不同外载状况(包括拉伸、压缩和剪切载荷)，分析纤维束之间的相互作用，可以得到三轴向纤维束的受力(如图5a-b，图6a-d至图7a-e所示)，根据能量原理，求解内力。

胞体单元的总应变余能U^*的表达式为

$U^{*}=\underset{i=1}{\overset{2}{\Σ}}{U}_i^{*}---\left(2\right)$

式中，

$U_i^{*}=\frac{1}{EI}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{M}^{2}dx+\frac{1}{EA}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{N}^{2}dx+\frac{1}{{\mathrm{GI}}_p}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{T}^{2}dx---\left(3\right)$

其中，M、N和T分别为弯矩、轴力和扭矩；I、A和I_p分别为纤维束截面惯性矩、面积和极惯性矩；E为纤维束的弹性模量。根据最小势能原理，可确定胞体单元各个内力。

步骤三、力学模量(包括拉伸、压缩和剪切模量)计算公式的建立。由卡式定理确定的系统在外载荷(包括拉伸、压缩和剪切载荷)作用下三轴编织复合材料织布的变形Δ为

$\mathrm{\Δ}=\frac{\∂U^{*}}{\∂P}---\left(4\right)$

其中P代表所受的外载荷。

根据应力和应变关系表达式，可以得到纤维织布的拉伸、压缩和剪切模量公式：

$\left\{\begin{array}{c}{E}_t=\frac{{\mathrm{\σ}}_{tx}}{{\mathrm{\ϵ}}_{tx}}\\ E_c=\frac{{\mathrm{\σ}}_{cx}}{{\mathrm{\ϵ}}_{cx}}\\ G=\frac{\mathrm{\τ}}{\mathrm{\γ}}\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中E_t、E_c和G分别表示纤维织布的拉伸、压缩和剪切模量，σ_tx、σ_cx和τ分别表示拉伸、压缩和剪切应力，ε_tx、ε_cx和γ分别表示拉伸、压缩和剪切应变。图4a-c分别为为拉伸状态、压缩状态和剪切状态受力图。

步骤四、根据混合定理，可以得到三轴编织复合材料格栅的弹性模量为

$\left\{\begin{array}{c}{E}_{tla}=E_t{V}_f+E_m(1-V_f)\\ E_{cla}=E_c{V}_f+E_m(1-V_f)\\ G_{la}=G{V}_f+G_m(1-V_f)\end{array}\right.---\left(6\right)$

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细说明。

实施例一拉伸模量的预测

选用如图1所示的编织方式和胞体单元，图2所示为1/4胞体单元。在拉伸载荷时作用下，考虑纤维束间的挤压力N，可以得到拉伸状态下纤维束的内力图(如图5a-b所示)。根据纤维束水平方向上力学平衡，可以得到

式中，F₁和F₂分别为拉伸载荷P产生的轴力；P为拉伸外载荷。

根据式(3)和图5a-b，可以得到0°和-60°方向纤维束的余应变能分别为

$U_1^{*}=\frac{1}{{\mathrm{EI}}_y}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{M}_{1y}^{2}dx+\frac{1}{{\mathrm{EA}}_d}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{N}_1^{2}dx=\frac{1}{{\mathrm{EI}}_y}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{\[F_1\×\frac{h}{2}sin\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}x\right)-\frac{N}{2}{x}_1\]}^2\sqrt{1+{\[\frac{\mathrm{\π}h}{2L}cos\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}x\right)\]}^2}{\mathrm{dx}}_1+\frac{1}{{\mathrm{EA}}_d}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{F}_1^2\frac{1}{1+{\[\frac{\mathrm{\π}h}{2L}cos\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}{x}_1\right)\]}^2}\sqrt{1+{\[\frac{\mathrm{\π}h}{2L}cos\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}x\right)\]}^2}{\mathrm{dx}}_1---\left(8\right)$

$U_2^{*}=\frac{1}{{\mathrm{EI}}_y}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{M}_{2y}^{2}dx+\frac{1}{{\mathrm{EA}}_d}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{N}_2^{2}dx=\frac{2}{{\mathrm{EI}}_y}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{\[F_2\×\frac{h}{2}sin\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}x\right)-\frac{N}{2}{x}_2\]}^2\sqrt{1+{\[\frac{\mathrm{\π}h}{2L}cos\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}x\right)\]}^2}{\mathrm{dx}}_2+\frac{2}{{\mathrm{EA}}_d}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{F}_2^2\frac{1}{1+{\[\frac{\mathrm{\π}h}{2L}cos\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}{x}_2\right)\]}^2}\sqrt{1+{\[\frac{\mathrm{\π}h}{2L}cos\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}x\right)\]}^2}{\mathrm{dx}}_2---\left(9\right)$

式中，U₁ ^*和U₂ ^*分别为0°和-60°方向纤维束的余应变能；E为纤维束弹性模量；M_1y和M_2y分别为0°和-60°方向纤维束相对于y轴弯矩；N₁和N₂分别为0°和-60°方向纤维束轴力；I_y和A_d为纤维束相对于y轴的截面惯性矩和截面面积；h和L分别为纤维束截面高度和纤维束长度。

为方便计算，定义I₁、J₁、K₁和G₁如下：

$\left\{\begin{array}{c}{I}_1=\frac{1}{4{\mathrm{EI}}_y}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{h}^2{\[sin\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}x\right)\]}^2\sqrt{1+{\[\frac{\mathrm{\π}h}{2L}cos\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}x\right)\]}^2}dx\\ J_1=\frac{1}{2{\mathrm{EI}}_y}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}xhsin\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}x\right)\sqrt{1+{\[\frac{\mathrm{\π}h}{2L}\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{L}x\right)\]}^2}dx\\ K_1=\frac{1}{4{\mathrm{EI}}_y}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}{x}^2\sqrt{1+{\[\frac{\mathrm{\π}h}{2L}\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{L}x\right)\]}^2}dx\\ G_1=\frac{1}{{\mathrm{EA}}_d}\underset{0}{\overset{\frac{L}{2}}{\∫}}\frac{1}{1+{\[\frac{\mathrm{\π}h}{2L}\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{L}x\right)\]}^2}\sqrt{1+{\[\frac{\mathrm{\π}h}{2L}\cos \left(\frac{\mathrm{\π}}{L}x\right)\]}^2}dx\end{array}\right.---\left(10\right)$

将式(10)代入式(8)和式(9)，得到：

$U_1^{*}=F_1^2(I_1+G_1)-F_1{\mathrm{NJ}}_1+N^2{K}_1---\left(11\right)$

$U_2^{*}=2F_2^2(I_1+G_1)-2F_2{\mathrm{NJ}}_1+2N^2{K}_1---\left(12\right)$

式中N为纤维束间的挤压力。

由式(2)可以得到1/4单元体系统的总应变余能U^*为

$U^{*}=U_1^{*}+U_2^{*}=\[F_1^2+2\×2P-2F_1^2\](I_1+G_1)-\[F_1+2\×(2P-2F_1)\]{\mathrm{NJ}}_1+3N^2{K}_1---\left(13\right)$

据最小余能原理，得到

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂U^{*}}{\∂F_1}=0\\ \frac{\∂U^{*}}{\∂N}=0\end{array}\right.---\left(14\right)$

将式(13)代入式(14)，得到

$\left\{\begin{array}{c}18{\mathrm{AF}}_1+3BN=16AP\\ 3{\mathrm{BF}}_1+6CN=4BP\end{array}\right.---\left(15\right)$

式中A、B和C的表达式为

$\left\{\begin{array}{c}A=(I_1+G_1)\\ B=J_1\\ C=K_1\end{array}\right.---\left(16\right)$

求解方程组(16)，可得

$\left\{\begin{array}{c}{F}_1=\frac{96AC-12B^2}{108AC-9B^2}=mP\\ N=\frac{24AB}{108AC-9B^2}=nP\end{array}\right.---\left(17\right)$

由卡氏定理，得到胞体单元在拉伸载荷P作用下沿载荷方向的变形Δ：

$\mathrm{\Δ}=\frac{\∂U^{*}}{\∂P}=AP\[2m^2+16{(1-m)}^2\]-BP\[2mn+8(1-m)n\]+6{\mathrm{CPn}}^2---\left(18\right)$

于是，根据式(5)，得到三轴编织布的拉伸模量为

$E_t=\frac{{\mathrm{\σ}}_{tx}}{{\mathrm{\ϵ}}_{tx}}=\frac{\sqrt{3}}{3A\[2m^2+16{(1-m)}^2\]-3B\[2mn+8(1-m)n\]+18{\mathrm{CPn}}^2}---\left(19\right)$

将式(19)代入式(6)，可以得到三轴编织复合材料格栅的拉伸模量为

$E_{tla}=E_t{V}_f+E_m(1-V_f)=\frac{\sqrt{3}{V}_f}{3A\[2m^2+16{(1-m)}^2\]-3B\[2mn+8(1-m)n\]+18{\mathrm{CPn}}^2}+E_m(1-V_f)---\left(20\right)$

同理，可以导出压缩和剪切模量公式。

Claims (2)

1.一种三轴向编织复合材料格栅力学模量的预测方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一、根据纤维束的三轴编织方式，选择最小的重复性单元作为代表性体积元，由此确定其胞体单元；将三轴向纤维束理想化成正弦的曲梁，并根据纤维束中心线位置，分别建立0°、-60°和60°纤维束坐标系，于是，得到三轴向纤维束的中心线Z坐标表达式：

$\left\{\begin{array}{c}{Z}_1=-\frac{\mathrm{\π}h}{2L}cos\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}{x}_1\right)\\ Z_2=\frac{\mathrm{\π}h}{2L}cos\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}{x}_2\right)\\ Z_3=-\frac{\mathrm{\π}h}{2L}sin\left(\frac{\mathrm{\π}}{L}{x}_3\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中h和L分别为纤维束截面高度和纤维束长度；

步骤二、根据外载荷施加方式以及步骤一中的胞体单元，对胞体单元内的纤维束进行受力分析，从而，建立三轴编织复合材料格栅胞体单元纤维织布的细观力学模型，确定胞体单元内纤维织布的总应变余能U^*，并利用最小势能原理，求解胞体单元纤维织布的内力；

胞体单元的总应变余能U^*的表达式为

$U^{*}=\underset{i=1}{\overset{2}{\Σ}}{U}_i^{*}---\left(2\right)$

式中，

$U_i^{*}={\frac{1}{EI}}^{\frac{L}{\underset{0}{\overset{2}{\∫}}}}{M}^{2}dx+{\frac{1}{EA}}^{\frac{L}{\underset{0}{\overset{2}{\∫}}}}{N}^{2}dx+{\frac{1}{{\mathrm{GI}}_p}}^{\frac{L}{\underset{0}{\overset{2}{\∫}}}}{T}^{2}dx---\left(3\right)$

其中，M、N和T分别为弯矩、轴力和扭矩；I、A和I_p分别为纤维束截面惯性矩、面积和极惯性矩；E为纤维束的弹性模量；根据最小势能原理，确定胞体单元各个内力；

步骤三、根据卡式定理或单位载荷法求解胞体单元纤维织布的变形，再根据应力-应变本构方程，得到三轴编织复合材料格栅织布的力学模量；

由卡式定理确定的系统在外载荷包括拉伸、压缩和剪切载荷作用下三轴编织复合材料织布的变形Δ为

$\mathrm{\Δ}=\frac{\∂U^{*}}{\∂P}---\left(4\right)$

其中P代表所受的外载荷；

根据应力和应变关系表达式，得到纤维织布的拉伸、压缩和剪切模量公式：

$\left\{\begin{array}{c}{E}_t=\frac{{\mathrm{\σ}}_{tx}}{{\mathrm{\ϵ}}_{tx}}\\ E_c=\frac{{\mathrm{\σ}}_{cx}}{{\mathrm{\ϵ}}_{cx}}\\ G=\frac{\mathrm{\τ}}{\mathrm{\γ}}\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中E_t、E_c和G分别表示纤维织布的拉伸、压缩和剪切模量，σ_tx、σ_cx和τ分别表示拉伸、压缩和剪切应力，ε_tx、ε_cx和γ分别表示拉伸、压缩和剪切应变；

步骤四、根据混合定理，得到三轴编织复合材料格栅的弹性模量

三轴编织复合材料格栅的弹性模量为

$\left\{\begin{array}{c}{E}_{tla}=E_t{V}_f+E_m(1-V_f)\\ E_{cla}=E_c{V}_f+E_m(1-V_f)\\ G_{la}={\mathrm{GV}}_f+G_m(1-V_f)\end{array}\right..$

2.根据权利要求1所述的一种三轴向编织复合材料格栅力学模量的预测方法，其特征在于：在步骤一中所述的“体积元”是指具有三轴向编织特征的三维单元。