CN103440416A - 基于扩展误差流的叶片加工过程误差预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于扩展误差流的叶片加工过程误差预测方法，用于解决现有误差流方法以刚体零件装配多工序过程或者加工多工序过程为研究对象仅考虑几何误差源的技术问题。技术方案是采用模型驱动进行过程监控，对几何定位误差源与受力变形误差源产生的误差及时进行预测，对误差耦合和传递机理进行了研究，对加工过程误差耦合建模方案进行了设计；通过网格划分的思想对叶片零件进行了微元划分，将变形分析转换为微元坐标系的坐标变换；建立了基于扩展误差流的多源多工序误差耦合模型，在此基础上给出了基于误差耦合模型的综合误差预测模型。帮助工作人员及时发现叶片的制造缺陷，进行校正和调整，减少返工次数，提高了加工质量和效率。

Description

基于扩展误差流的叶片加工过程误差预测方法

技术领域

本发明涉及一种叶片加工过程误差预测方法，特别是涉及一种基于扩展误差流的叶片加工过程误差预测方法。

背景技术

由于叶片零件的特殊性，其成型加工与传统高刚性零件的成型加工有着本质不同，对各种误差源的波动变化更加敏感，工序间误差的传递、累积等交互作用现象更加复杂。因此研究叶片零件加工过程中误差耦合和传播情况，分析误差的耦合和传递形式、建立误差源与误差的对应关系是进行加工过程质量监控、溯源与调整的关键与前提，对叶片零件的质量改进有重要的意义。

文献Liu J.，Jin J.and Shi J.State space modeling for3-dimensional variationpropagation in rigid-body multistage assembly processes[J]，IEEE Trans.Autom.Sci.Eng.，2009，274-290针对刚体零件构建了多工序装配过程的状态空间模型，给出了模型的系数矩阵，解决了装配制造系统中多个偏差流影响产品质量的问题，但是装配过程误差相对简单，是多个误差的简单的叠加，由于加工过程对材料进行切削，使得误差受到多个因素的耦合影响，因此这种方法不适用于多工序的加工过程。

文献Abellan-Nebot J.，Liu J.，Romero F.Limitations of the current state spacemodeling approach in multistage machining processes due to operation variations[C].3rdManufacturing Engineering Society International Conference，Alcoy，Spain，2009利用状态空间方程建立描述多工序加工过程的空间模型，针对基准、夹具等误差源建立了刚体零件的通用的误差流模型，但是没有考虑到物理误差源的影响，并且由于刚体零件不具有局部的变形，因此其不适用与具有局部变形的弱刚性零件的多工序误差建模。

发明内容

为了克服现有误差流技术以刚体零件装配多工序过程或者加工多工序过程为研究对象仅考虑几何误差源的局限性，本发明提供一种基于扩展误差流的叶片加工过程误差预测方法。该方法采用模型驱动进行过程监控，对几何定位误差源与受力变形误差源产生的误差及时进行预测，对误差耦合和传递机理进行了研究，对加工过程误差耦合建模方案进行了设计；通过网格划分的思想对叶片零件进行了微元划分，将变形分析转换为微元坐标系的坐标变换；对加工过程误差与误差源因素的映射关系进行了深入的研究分析，从加工工序流的角度采用扩展误差流的理论，建立了基于扩展误差流(SoV)的多源多工序误差耦合模型，在此基础上给出了基于误差耦合模型的综合误差预测模型。帮助工作人员及时发现叶片的制造缺陷，进行校正和调整，减少返工次数，以提高加工质量和效率。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种基于扩展误差流的叶片加工过程误差预测方法，其特点是包括以下步骤：

步骤一、确定叶片加工过程误差源分别为定位基准精度产生的误差；安装产生的误差；刀具位姿变化产生的误差；切削力产生的变形误差；噪声误差。对误差源进行建模，并对加工过程中的因素约定如下：多工序加工过程中将一道工序的加工过程分为加工前和加工中两个阶段。基准误差、夹具安装几何误差以及刀具倾斜误差对工件产生定位误差，定义为几何定位误差。加工中的弹性变形是由切削力引起的。

步骤二、基于微元刚体坐标变换的几何定位误差计算。

定义五个坐标系，分别是全局坐标系{O}、工件坐标系{ws}、特征坐标系{fs}、微元坐标系{ps}以及刀具坐标系{T}。

根据各个对象在空间的位姿关系，由全局坐标系{O}、工件坐标系{ws}、特征坐标系{Fs}、微元坐标系{ps}以及刀具坐标系共同构成空间运动链：

$T_T^O=T_{\mathrm{ws}}^O\·T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\·T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\·T_T^{\mathrm{ps}}---\left(1\right)$

式中，

表示刀具坐标系{T}相对于全局坐标系{O}的坐标变换矩阵，

表示工件坐标系{ws}相对于全局坐标系{O}的坐标变换矩阵，

表示特征坐标系{fs}相对于工件坐标系{ws}的坐标变换矩阵，

表示微元坐标系{ps}相对于特征坐标系{fs}的坐标变换矩阵表示刀具坐标系{T}相对于微元坐标系{ps}的坐标变换矩阵。

运用微分运动原理得到：

${\mathrm{\ΔT}}_T^O\·T_T^O=({\mathrm{\ΔT}}_{\mathrm{ws}}^O\·T_{\mathrm{ws}}^O)\·({\mathrm{\ΔT}}_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\·T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}})\·({\mathrm{\ΔT}}_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\·T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})\·({\mathrm{\ΔT}}_T^{\mathrm{ps}}\·T_T^{\mathrm{ps}})---\left(2\right)$

式中，Δ表示微分。

式(2)的左边变换为 ${\mathrm{\ΔT}}_T^O\·T_T^O={\mathrm{\ΔT}}_T^O\·T_{\mathrm{ws}}^O\·T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\·T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}$

则得到：

${\mathrm{\ΔT}}_T^O\·T_{\mathrm{ws}}^O\·T_f^{\mathrm{ws}}\·T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\·T_T^{\mathrm{ps}}=({\mathrm{\ΔT}}_{\mathrm{ws}}^O\·T_{\mathrm{ws}}^O)\·({\mathrm{\ΔT}}_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\·T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}})\·({\mathrm{\ΔT}}_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\·T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})\·({\mathrm{\ΔT}}_T^{\mathrm{ps}}\·T_T^{\mathrm{ps}})---\left(3\right)$

将式(3)改写为：

$({\mathrm{\Δ}}_T^O+I)\·T_{\mathrm{ws}}^O\·T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\·T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}=({\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ws}}^O+I)\·T_{\mathrm{ws}}^O\·({\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}+I)\·T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\·({\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}+I)\·T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\·({\mathrm{\Δ}}_T^{\mathrm{ps}}+I)---\left(4\right)$

忽略高阶项后得到以下表达式：

${\mathrm{\Δ}}_T^{\mathrm{ps}}={(T_{\mathrm{ws}}^o\·T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\·T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})}^{-1}({\mathrm{\Δ}}_T^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ws}}^O-T_{\mathrm{ws}}^o{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}{\left(T_{\mathrm{ws}}^o\right)}^{-1}-T_{\mathrm{ws}}^o\·T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}{(T_{\mathrm{ws}}^o\·T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}})}^{-1})(T_{\mathrm{ws}}^o\·T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\·T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})$

$={(T_{\mathrm{ws}}^o\·T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\·T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})}^{-1}({\mathrm{\Δ}}_T^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ws}}^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{fs}}^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ps}}^O)(T_{\mathrm{ws}}^o\·T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\·T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})$

$={\left(T_{\mathrm{ps}}^o\right)}^{-1}({\mathrm{\Δ}}_T^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ws}}^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{fs}}^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ps}}^O)\left(T_{\mathrm{ps}}^o\right)---\left(5\right)$

从而得到刀具在微元坐标系下的偏差：

${\mathrm{\ΔX}}_T^{\mathrm{ps}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T& -{\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T\·r_{\mathrm{ps}}^O\×\\ 0_{3*3}& {\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}{{[{\mathrm{\Δ}}_T^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ws}}^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{fs}}^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ps}}^O]}_{6*1}}_{}---\left(6\right)$

由此得到刀具在特征坐标系下和在工件坐标系下的偏差分别为：

${\mathrm{\ΔX}}_T^{\mathrm{fs}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R_0^{\mathrm{fs}}{}_O\right)}^T& -{\left(R_0^{\mathrm{fs}}{}_O\right)}^T\·r_{\mathrm{fs}}^O\×\\ 0_{3*3}& {\left(R_0^{\mathrm{fs}}{}_O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}{[{\mathrm{\Δ}}_T^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ws}}^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{fs}}^O]}_{6*1}---\left(7\right)$

${\mathrm{\ΔX}}_T^{\mathrm{ws}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T& -{\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T\·r_{\mathrm{ws}}^O\×\\ 0_{3*3}& {\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}{[{\mathrm{\Δ}}_T^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}---\left(8\right)$

式中，

表示微元坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，

表示特征坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，表示工件坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，

和

表示反对称矩阵，

为刀具相对于全局坐标系的偏差量，

为工件相对于全局坐标系的偏差量，

为特征相对于全局坐标系的偏差量，

表示微元相对于全局坐标系的偏差量。

在装夹好工件时，接触点在工件坐标系{ws}、特征坐标系{fs}、微元坐标系{ps}与定位元件坐标系是重合的则工件与元件l的第i个接触点有四种方法描述：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_i(X_{\mathrm{wso}},{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{wsO}},r_{\mathrm{wsi}})=X_{\mathrm{wso}}+\mathrm{Rr}_{\mathrm{wsi}}^{\mathrm{ws}}{}_O\\ F_i(X_{\mathrm{fso}},{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{fsO}},r_{\mathrm{fsi}})=X_{\mathrm{fso}}+\mathrm{Rr}_{\mathrm{fsi}}^{\mathrm{fs}}{}_O\\ F_i(X_{\mathrm{pso}},{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{psO}},r_{\mathrm{psi}})=X_{\mathrm{pso}}+\mathrm{Rr}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O\\ f_i(X_{\mathrm{li}},{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{li}},r_{\mathrm{li}})=X_{\mathrm{li}}+\mathrm{Rr}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O\end{array}\right.---\left(9\right)$

则该式中的前三个等式与最后一个相等，即F_i＝f_i

采用一阶泰勒级数展开，省去高阶项得到：

$\left(\frac{\∂F_i}{\∂x_{\mathrm{psO}}}\frac{{\∂F}_i}{\∂{\mathrm{\Θ}}_{\mathrm{psO}}}\right)\·\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{psO}}\\ {\mathrm{\Δ\Θ}}_{\mathrm{psO}}\end{array}\right)=\left(\frac{{\∂f}_i}{{\∂X}_{\mathrm{li}}}\frac{{\∂f}_i}{{\∂\mathrm{\Θ}}_{\mathrm{li}}}\right)\·\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{fi}}\\ {\mathrm{\Δ\Θ}}_{\mathrm{li}}\end{array}\right)+\frac{{\∂f}_i}{{\∂r}_{\mathrm{li}}}{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{li}}-\frac{{\∂F}_i}{{\∂r}_{\mathrm{psi}}}{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{psi}}---\left(10\right)$

将式(10)写成：

${\mathrm{\ΔX}}_{\mathrm{ps}}^O={\left({{\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{pso}}}^T\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\Θ}}_{\mathrm{psO}}}^T\right)}^T\∈R^{6*1}$

令

${\mathrm{\Δ\Ψ}}_{\mathrm{li}}={\left({\mathrm{\Δx}}_{\mathrm{li}}^T{\mathrm{\Δ\Θ}}_{\mathrm{li}}^T\right)}^T\∈R^{6*1}$

则得到：

$U_{\mathrm{psi}}\·\mathrm{\Δ}{X}_{\mathrm{ps}}^O=U_{\mathrm{li}}\·\mathrm{\Δ}{\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{li}}+\mathrm{R\Δ}{r}_{\mathrm{li}}_{\mathrm{li}}^O-\mathrm{R\Δ}{r}_{\mathrm{psi}}_{\mathrm{ps}}^O---\left(12\right)$

由于夹具固定在机床上，假定忽略掉夹具的位置和姿态误差，则得到：

$U_{\mathrm{psi}}\·{\mathrm{\ΔX}}_{\mathrm{ps}}^O=\mathrm{R\Δr}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O-\mathrm{R\Δr}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O---\left(13\right)$

其中微元在全局坐标系下的偏差

其中

表示

定位偏差分量，

表示

基准偏差分量。

从而得到：

$\left\{\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{psi}}\·{\mathrm{\ΔX}}_{\mathrm{psl}}^O=\mathrm{R\Δr}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O\\ U_{\mathrm{psi}}\·{\mathrm{\ΔX}}_{\mathrm{psd}}^O=-\mathrm{R\Δr}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O\end{array}\right.---\left(14\right)$

假设工件上第i个接触点的几何位置Δr_psi足够小，则忽略工件上基准面接触点的位置误差：

$U_{\mathrm{psi}}\·\mathrm{\ΔX}=\mathrm{R\Δ}{r}_{\mathrm{li}}_{\mathrm{li}}^O---\left(15\right)$

假定在i个接触点在法向上有误差Δr_ni，并且坐标系{li}与法向ni重合，那么

$R{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{li}}=\mathrm{\Δ}{r}_{\mathrm{ni}}\·n_i---\left(16\right)_{\mathrm{li}}^O$

对于有m个定位元件的定位系统，采用m个等式的矩阵进行下述描述：

$G_l^T\mathrm{\Δ}{X}_{\mathrm{psl}}^O=N\·\mathrm{\Δ}{r}_{\mathrm{ni}}---\left(17\right)$

从而将式(17)写成：

$W_{\mathrm{psl}}{\mathrm{\ΔX}}_{\mathrm{psl}}^O={\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{psl}}---\left(18\right)$

式中：

W_psl＝NG_l;

$G_l=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{3*3}& \·\·\·& I_{3*3}\\ r_{\mathrm{psl}}^O\×& \·\·\·& r_{\mathrm{psm}}^O\×\end{array}\right]=[{\left(U_{\mathrm{psl}}\right)}^T,{\left(U_{\mathrm{ps}2}\right)}^T,\·\·\·,{\left(U_{\mathrm{psm}}\right)}^T]\∈R^{6*3m}$ 表示雅克比矩阵；

N＝diag(n₁...n_m)∈R^3m*m;

Δr_psl＝(Δr_n1...Δr_nm)^T∈R^m*1。

假设工件上第i个接触元件的几何位置Δr_psi足够小，则工件上夹具元件的位置误差可以忽略：

$U_{\mathrm{psi}}\·{\mathrm{\ΔX}}_{\mathrm{ps}}^O=-\mathrm{R\Δr}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O---\left(19\right)$

若基准偏差为小偏差，则式(14)的第二个等式表示为：

$\mathrm{R\Δr}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O=n\·{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{psi}}$

对于有m个定位点的工件，采用m个等式的矩阵进行下述描述：

$G_l^T{\mathrm{\ΔX}}_{\mathrm{psd}}^O=N\·{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{psd}}---\left(20\right)$

从而将式(19)写成：

$W_{\mathrm{psd}}{\mathrm{\ΔX}}_{\mathrm{psd}}^O={\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{psd}}---\left(21\right)$

式中：

W_psd＝-NG_l;

N＝diag(n₁...n_m)∈R^3m*m;

Δr_psd＝(Δr_n1...Δr_nm)^T∈R^m*1。

取广义逆后，则基准d偏差、定位l偏差与刀具c偏差在微元坐标系产生的误差分别为：

${\mathrm{\ΔP}}_d=W_{\mathrm{psd}}^{+}{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{psd}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{psd}}^{+}{W}_{\mathrm{psd}}){\mathrm{\λ}}_{\mathrm{psd}}---\left(22\right)$

${\mathrm{\ΔP}}_l=W_{\mathrm{psl}}^{+}{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{psl}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{psl}}^{+}{W}_{\mathrm{psl}}){\mathrm{\λ}}_{\mathrm{psl}}---\left(23\right)$

由于刀具姿态偏差、基准偏差和夹具误差能在工件特征上产生同样的尺寸偏差模式。因此，把刀具姿态偏差

转换成夹具误差并令从而得到：

${\mathrm{\ΔP}}_T=W_{\mathrm{psl}}^{+}{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{psc}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{psl}}^{+}{W}_{\mathrm{psl}}){\mathrm{\λ}}_{\mathrm{psm}}---\left(24\right)$

Δr_psc为等效夹具误差。

对于特征坐标系采用坐标变化得到：

$U_{\mathrm{fsi}}\·\mathrm{\Δ}{X}_{\mathrm{fs}}^O=\mathrm{R\Δr}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O-\mathrm{R\Δr}_{\mathrm{fsi}}^{\mathrm{fs}}{}_O---\left(25\right)$

则基准偏差、定位偏差与刀具偏差在特征坐标系产生的误差分别为：

${\mathrm{\Δfs}}_d=W_{\mathrm{fsd}}^{+}{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{fsd}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsd}}^{+}{W}_{\mathrm{fsd}}){\mathrm{\λ}}_{\mathrm{fsd}}---\left(26\right)$

${\mathrm{\Δfs}}_l=W_{\mathrm{fsl}}^{+}{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{fsl}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsl}}^{+}{W}_{\mathrm{fsl}}){\mathrm{\λ}}_{\mathrm{fsl}}---\left(27\right)$

${\mathrm{\Δfs}}_T=W_{\mathrm{fsl}}^{+}{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{fsc}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsl}}^{+}{W}_{\mathrm{fsl}}){\mathrm{\λ}}_{\mathrm{fsm}}---\left(28\right)$

$U_{\mathrm{wsi}}\·{\mathrm{\ΔX}}_{\mathrm{ws}}^O=\mathrm{R\Δr}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O-\mathrm{R\Δr}_{\mathrm{wsi}}^{\mathrm{ws}}{}_O---\left(29\right)$

则基准偏差、定位偏差与刀具偏差在工件坐标系产生的误差分别为：

${\mathrm{\Δws}}_d=W_{\mathrm{wsd}}^{+}{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{wsd}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsd}}^{+}{W}_{\mathrm{wsd}}){\mathrm{\λ}}_{\mathrm{wsd}}---\left(30\right)$

${\mathrm{\Δws}}_l=W_{\mathrm{wsl}}^{+}{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{wsl}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsl}}^{+}{W}_{\mathrm{wsl}}){\mathrm{\λ}}_{\mathrm{wsl}}---\left(31\right)$

${\mathrm{\Δws}}_T=W_{\mathrm{wsl}}^{+}{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{wsc}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsl}}^{+}{W}_{\mathrm{wsl}}){\mathrm{\λ}}_{\mathrm{wsm}}---\left(32\right)$

式中，ΔΨ_li表示第i个定位销在全局坐标系下的位移量，

表示微元坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，Δr_li表示工件与第i个定位销相接触定位销的偏差，特征坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，Δr_psi表示工件与第i个定位销相接触的微元的偏差。

将式(13)、式(25)和式(29)带入到式(6)中，得：

${\mathrm{\ΔX}}_T^{\mathrm{ps}}=C_1{\left[\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{psc}}& {\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{wsd}}& {\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{wsl}}& {\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{fsd}}& {\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{fsl}}& {\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{psd}}& {\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{psl}}\end{array}\right]}^T$

$+C_2{\left[\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{psc}}& {\mathrm{\λ}}_{\mathrm{wsd}}& {\mathrm{\λ}}_{\mathrm{wsl}}& {\mathrm{\λ}}_{\mathrm{fsd}}& {\mathrm{\λ}}_{\mathrm{fsl}}& {\mathrm{\λ}}_{\mathrm{psd}}& {\mathrm{\λ}}_{\mathrm{psl}}\end{array}\right]}^T---\left(33\right)$

式中：

$C_1=\left[\begin{array}{ccccccc}{E}_m{W}_{\mathrm{psl}}^{+}& -E_{\mathrm{ws}}{W}_{\mathrm{wsd}}^{+}& -E_{\mathrm{ws}}{W}_{\mathrm{wsl}}^{+}& -E_{\mathrm{fs}}{W}_{\mathrm{fsd}}^{+}& -E_{\mathrm{fs}}{W}_{\mathrm{fsl}}^{+}& -E_{\mathrm{ps}}{W}_{\mathrm{psd}}^{+}& -E_{\mathrm{ps}}{W}_{\mathrm{psl}}^{+}\end{array}\right];$

$C_2=\left[\begin{array}{ccc}{E}_m(I_{6*6}-W_{\mathrm{psl}}^{+}{W}_{\mathrm{psl}})& -E_{\mathrm{ws}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsd}}^{+}{W}_{\mathrm{wsd}})& -E_{\mathrm{ws}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsl}}^{+}{W}_{\mathrm{wsl}})\end{array}\right]$

$-E_{\mathrm{fs}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsd}}^{+}{W}_{\mathrm{fsd}})-E_{\mathrm{fs}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsl}}^{+}{W}_{\mathrm{fsl}})-E_{\mathrm{ps}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{psd}}^{+}{W}_{\mathrm{psd}})-E_{ps}(I_{6*6}-W_{\mathrm{psl}}^{+}{W}_{\mathrm{psl}})];$

E_m＝E_ps＝U_ps；

E_ws＝U_ws；

E_fs＝U_fs。

由式(13)得：

${\mathrm{\ΔX}}_{\mathrm{ps}}^O={U_{\mathrm{psi}}}^{+}(\mathrm{R\Δr}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O-\mathrm{R\Δr}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O)$

$={U_{\mathrm{psi}}}^{+}(N\·{\mathrm{\Δr}}_l-D\·{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{psd}})---\left(34\right)$

根据式(6)、式(7)、式(8)、式(33)和式(34)得到几何因素产生的误差。

工件坐标系下微元的几何偏差为：

${\mathrm{\ΔX}}_T^{\mathrm{ws}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T& -{\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T\·r_{\mathrm{ws}}^O\×\\ 0_{3*3}& {\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}{[{\mathrm{\Δ}}_T^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}$

$={\left(H_{\mathrm{wo}}^O\right)}^{-1}{[{\mathrm{\Δ}}_T^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}\left(H_{\mathrm{Wo}}^O\right)---\left(35\right)$

特征坐标系下微元的几何偏差：

式中，

微元坐标系下的几何偏差：

${\mathrm{\ΔP}}^I={\mathrm{\ΔX}}_T^{\mathrm{ps}}={\left(H_{\mathrm{ps}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{fs}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{Ws}}^O\right)}^{-1}{[{\mathrm{\Δ}}_T^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}\left(H_{\mathrm{Ws}}^O\right)\left(H_{\mathrm{fs}}^O\right)\left(H_{\mathrm{ps}}^O\right)$

$={\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{ps}}{\mathrm{\Δ}}_T^O-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{ps}}\left[{U_{\mathrm{Gi}}}^{+}(N\·{\mathrm{\Δr}}_l-D\·{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{Wd}})\right]---\left(37\right)$

式中：

${\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{ps}}=\left[\begin{array}{cc}{R}_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O& -R_{\mathrm{Ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O(R_{\mathrm{ws}}^O(r_{\mathrm{ws}}^O\×)+r_{\mathrm{fs}}^O\×)R_{\mathrm{ws}}^O-R_{\mathrm{ps}}^O(r_{\mathrm{ps}}^O\×)R_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O\\ 0_{3*3}& R_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O\end{array}\right].$

步骤三、基于微元刚体坐标变换的受力变形误差计算。

对于一个两次切削的过程，理论的第一次切削深度为

几何定位产生的切深为

第二次切削深度为几何定位产生的切深为

第一次的实际切深是

则第二次的真实切深是

假定有m次加工，n个点，则切深表示为：

$a_{\mathrm{pi}}^{\left(j\right)}=a_p^{\left(j\right)}+a_{p0}^{\left(j\right)}+{\mathrm{\δ}}_i^{(j-1)}$

$=a_p^{\left(j\right)}+a_{p0}^{\left(j\right)}+\frac{F_{j-1}}{k_i}$ i=1，...，n；j=1，...，m

式中，k_i表示i点的刚度。

根据切削力实验求得切削力系数与切深之间的回归关系，得到不同切深下的切削力系数。在固定接触角和轴向切削深度下，改变进给速度和径向切深进行一组铣削实验，测量每个刀齿周期的平均力。一个周期内一个齿的三个方向的平均切削力如式(38)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{xi}}\\ {\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{yi}}\\ {\stackrel{\‾}{F}}_{\mathrm{zi}}\end{array}\right\}=\frac{d_{a}N}{2\mathrm{\π}}\left\{\begin{array}{c}-K_T\sin \mathrm{\θ}{|}_{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{staet}}}^{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{exit}}}+K_R\cos \mathrm{\θ}{|}_{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{exit}}}-\frac{f_z}{4}(-K_T\cos 2\mathrm{\θ}{|}_{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{exit}}}+K_R(2\mathrm{\θ}-\sin 2\mathrm{\θ}){|}_{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{exit}}})\\ -K_T\cos \mathrm{\θ}{|}_{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{exit}}}-K_R\sin \mathrm{\θ}{|}_{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{exit}}}+\frac{f_z}{4}(K_T(2\mathrm{\θ}-\sin 2\mathrm{\θ}){|}_{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{exit}}}+K_R\cos 2\mathrm{\θ}{|}_{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{exit}}})\\ -K_A({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{exit}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{start}})+f_z{K}_A\cos \mathrm{\θ}{|}_{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{exit}}}\end{array}\right.----\left(38\right)$

式中，N为刀齿数，f_z为每齿进给量，d_a为轴向切深，K_T，K_A，K_R为切削力系数θ_start，θ_exit分别为切入切出角。

对不同径向切削深度下的切削力系数进行三次曲线拟合，得到切削力系数关于径向切削深度d_e的表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{K}_T=-2.9242d_e^{\text{3}}+51.82d_e^2-309.{3d}_e+2727\\ K_R=-1.618d_e^3+39.85d_e^2-318.7d_e+1947\\ K_A=-2.055d_e^3+34.54d_e^2-183.0d_e+603.5\end{array}\right.---\left(39\right)$

根据铣削力系数的表达式，得到不同径向切深下的铣削力系数，代入式(38)，则得到不同径向切深与轴向切深下的工件的平均切削力。

工件表面误差Δ由两部分形成，工件沿曲面法向的变形Δ_w和刀具沿工件曲面法向的变形Δ_t，铣刀在轴向有较高的刚性，忽略刀具变形：

Δ＝Δ_w               (40)

当工件和刀具均为刚体时，轴向切削深度为d_a，当工件和刀具发生变形时，轴向切削深度变为d′_a，从而得到：

d_a′=d_a+Δ_轴向几何+Δ_{轴向让刀变形}          (41)

径向切深变为：

d′_e=d_e+Δ_径向几何+Δ_{径向让刀变形}              （42）

若忽略刀具变形对切入切出角的影响，将式(39)和式(41)代入式(38)，得到工件发生变形时的平均切削力。

设刀轴在进给方向与曲面法向组成的XZ平面上的投影与Z轴正方向夹角为0，在切削刃与工件表面某微元的切触点P(u，v)处，由于有切削力的存在，工件将发生变形，工件的偏移量形成该微元处的尺寸误差。随着刀具的旋转，所产生的表面误差将沿着刀具进给的方向进行分布，且切触点处的误差一方面与切削力的大小有关，另一方面与切触点处工件的刚度K(u，v)相关。刀具在垂直于刀轴方向刚性较弱，在

和

作用下会发生弹性变形，但弹性变形产生的误差在随后的加工中被切除，不影响Z方向的加工表面误差。考虑

对于工件变形的影响，工件在平面法向的受力为：

${\stackrel{\‾}{F}}_{w,Z}=-{\stackrel{\‾}{F}}_z---\left(43\right)$

工件在平面法向的变形为：

$\mathrm{\Δ}=\frac{{\stackrel{\‾}{F}}_{w,Z}}{K(u,v)}---\left(44\right)$

则微元在工件坐标系下的偏差写成：

${\mathrm{\Δ}}_T^{\mathrm{Ws}}=\frac{{\stackrel{\‾}{F}}_{w,Z}}{K(u,v)}---\left(45\right)$

工件坐标系下切削力转换到微元坐标系下，则微元坐标系下切削力产生的变形为：

${\mathrm{\ΔP}}^{\mathrm{II}}=R_T^{\mathrm{Ps}}\frac{F}{K}---\left(46\right)$

步骤四、基于扩展误差流的加工过程误差预测。

依据工序的输出值P和影响工序质量的误差源u建立扩展SoV多工序加工过程。具体的字母表示的含义如下：

(1)d_k表示在工序k的基准，基准误差指的是基准面引起的误差，是上道工序传递给下道工序的误差，用

表示。

(2)t_k表示在工序k的加工误差，加工误差是指刀具路径引起的误差，用

表示。

(3)l_k表示在工序k的夹具几何误差，是指夹具元件磨损引起的误差，用

表示。

(4)j_k表示在工序k的切削力引起的工件的变形误差，用

表示。

(5)

表示在工序k的误差状态值，是指加工后得到的值偏离名义值的尺寸波动。

(6)

表示在工序k，以基准d_k在坐标测量机上进行测量，得到的加工质量的侧量值。在本实施例的测量均指在机测量，并且测量值服从多元正态分布。如果没有加工，而是对加工误差进行预测，则表示工序输出的预测值。

(7)w_k表示在工序k未建模的系统噪声，服从均值为0的正态分布，独立于

(8)v_k表示在工序k的测量噪声，假定其服从均值为0的正态分布，并且独立于

和

假定误差为小误差，则依据状态空间得到扩展SoV流模型：

$\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\μ}}_k^{d_k,t_k,l_k,j_k}=A_{k-1}{\mathrm{\μ}}_{k-1}^{d_{k-1},t_{k-1},l_{k-1},j_{k-1}}{B}_k^{d_k}{u}_k^{d_k}+B_k^{l_k}{u}_k^{l_k}+B_k^{t_k}{u}_k^{t_k}+B_k^{j_k}{u}_k^{j_k}+w_k,& w_k~N[0,W_k]\\ P_k^{d_k}=E_k^{d_k}{\mathrm{\μ}}_k+v_k,& v_k~N[0,V_k]\\ {\mathrm{\μ}}_0|D_0~N[m_0,C_0]& \end{array}\right.---\left(47\right)$

式中，P_t表示工序k加工质量特性波动的测量值或者预测值；μ_t表示工序k质量特性波动的真实值，为不可观测的状态值；w_t表示工序k制造系统的状态噪声项，W_t表示其方差；v_t表示工序k测量噪声项，V_t表示其方差；D₀表示t=0时刻关于工序质量的初始信息集合；m₀表示在D₀条件下对工序质量的均值的一个估计值；C₀表示关于均值m₀的方差，是对m₀一种不确定性的度量。并且认为，对所有的t和s，当t≠s时，v_t和v_s、w_t和w_s以及v_t和w_s都相互独立。

则多种误差源影响下的耦合误差表示为：

$\mathrm{\ΔP}={\mathrm{\ΔP}}^I+{\mathrm{\ΔP}}^{\mathrm{II}}$

$={\left(H_{\mathrm{ps}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{fso}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{Wso}}^O\right)}^{-1}{[{\mathrm{\Δ}}_T^O-{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{Ws}}^O]}_{6*1}\left(H_{\mathrm{Wo}}^O\right)\left(H_{\mathrm{fo}}^O\right)\left(H_p^O\right)+R_T^{\mathrm{Ps}}\frac{F}{K}---\left(48\right)$

式中：

$R_T^{\mathrm{Ps}}={\left[\begin{array}{cc}{\left({R_{\mathrm{ps}}^O}^0\right)}^T& -{\left({R_{\mathrm{ps}}^O}^0\right)}^T\·r\×_{\mathrm{Gs}}^O\\ 0_{3*3}& {\left({R_{\mathrm{ps}}^O}^0\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}.$

则得到扩展SoV误差耦合模型式(47)中的系数：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_{k-1}={\mathrm{\Λ}}_p{U_{\mathrm{Gi}}}^{+}D\\ B_k^{f_k}={-\mathrm{\Λ}}_p{U_{\mathrm{Gi}}}^{+}N\\ B_k^{t_k}=\left[\begin{array}{cc}{R}_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O& {-R}_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O(R_{\mathrm{ws}}^O{r}_{\mathrm{ws}}^O\×+r_{\mathrm{fs}}^O\×)R_{\mathrm{ws}}^O-R_{\mathrm{ps}}^O{r}_{\mathrm{ps}}^O\×R_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O\\ 0_{3*3}& R_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O\end{array}\right]---\left(49\right)\\ B_k^{j_k}=R_T^O\end{array}\right.$

式中，

表示的是测量系统的坐标转换，为了简化计算，本实施例取其为单位矩阵。从而求解出了扩展SoV模型。

为了描述KPCs和KCCs之间的关系，将式(47)的状态方程带入到测量等式中，得到如下显式表达式，即为误差的预测模型：

$p_k^{d_k}=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\φ}}_{k,i}^{(\·)}{B}_i^{d_i}{u}_i^{d_i}+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\φ}}_{k,i}^{(\·)}{B}_i^{l_i}{u}_i^{l_i}+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\φ}}_{k,i}^{(\·)}{B}_i^{t_i}{u}_i^{t_i}$

$+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\φ}}_{k,i}^{(\·)}{B}_i^{j_i}{u}_i^{j_i}+E_k^{d_k}{\mathrm{\φ}}_{k,0}^{(\·)}+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\φ}}_{k,i}^{(\·)}{w}_i+v_k---\left(50\right)$

式中，

是追踪基准误差、夹具几何误差、刀具位姿误差以及切削力误差的状态转移矩阵，i＝1，...k-1，并且 ${\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}=A_{k-1}^{d_k}{A}_{k-2}^{d_{k-1}}...A_i^{d_{i+1}}(i<k),{\mathrm{\&phi;}}_{k,k}^{(\&CenterDot;)}=I.$ 初始状态向量μ₀表示的是一个零件的KQCs在进入第一道工序加工前的初始偏差。

本发明的有益效果是：该方法采用模型驱动进行过程监控，对几何定位误差源与受力变形误差源产生的误差及时进行预测，对误差耦合和传递机理进行了研究，对加工过程误差耦合建模方案进行了设计；通过网格划分的思想对叶片零件进行了微元划分，将变形分析转换为微元坐标系的坐标变换；对加工过程误差与误差源因素的映射关系进行了深入的研究分析，从加工工序流的角度采用扩展误差流的理论，建立了基于扩展误差流(SoV)的多源多工序误差耦合模型，在此基础上给出了基于误差耦合模型的综合误差预测模型。帮助工作人员及时发现叶片的制造缺陷，进行校正和调整，减少返工次数，提高了加工质量和效率。

下面结合附图和实施例对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明方法的流程图。

图2是本发明方法中的多种误差源驱动下的误差建模方案示意图。

图3是本发明方法中工艺系统示意图。

图4是本发明方法中切削过程切深变化的示意图。

图5是本发明方法中工件表面误差形成的示意图。

图6是本发明方法中叶片零件多工序加工过程误差流表示方法的示意图。

图7是本发明方法中工件尺寸和定位销布局图。

具体实施方式

参照图1-7。以某航空发动机制造厂加工某种叶片(材料钛合金TC4)零件为例，依据步骤一对叶片加工过程进行误差分析预测。对本发明进行详细描述，验证本发明对某类型叶片多工序加工过程误差的预测效果。

对叶片零件的截面线进行等精度离散，可以得到微元坐标点，并将叶片零件简化为薄板零件，将对应的微元坐标点也映射到叶片简化模型，可以得到薄板上与叶片零件等进度离散处理后点相对应，用薄板上的这些对应点近似分析叶片上的对应点。

在简化模型中，ps₁到ps₄为微元。考虑了几种可能产生误差源的情况，假定过程由两道工序构成，第一道工序加工部位1，第二道工序加工部位2，第一道工序的加工特征是第二道工序的加工基准。

在简化模型上构建全局坐标系、工件坐标系、刀具坐标系、加工特征坐标系以及微元坐标系，为简化计算，让全局坐标系和工件坐标重合，加工特征面的中心为特征坐标系。

1、确定叶片加工过程误差源。

本实施例考虑影响叶片零件加工的关键几何定位误差与受力变形误差，分别为：(1)定位基准精度产生的误差；(2)安装产生的误差(夹具)误差；(3)刀具位姿变化产生的误差；(4)切削力产生的变形误差；(5)噪声误差。

本实施例对以上引起误差的主要误差源进行建模，并对加工过程中的因素做如下的约定：

(1)多工序加工过程中将一道工序的加工过程分为安装好(加工前)和加工中两个阶段。

(2)基准误差、夹具安装几何误差以及刀具倾斜误差对工件产生定位误差，定义为几何定位误差，它是加工前引起的叶片零件刚体误差的主要原因。

(3)加工中的弹性变形主要是由切削力引起的。

2、基于微元刚体坐标变换的几何定位误差计算。

为了描述一个叶片零件的加工过程，定义了5个坐标系，分别为全局坐标系{O}、工件坐标系{ws}，特征坐标系{fs}，和微元坐标系{ps}以及刀具坐标系{T}。

根据各个对象在空间的位姿关系，由全局坐标系{O}、工件坐标系{ws}，特征坐标系{Fs}，和微元坐标系{ps}以及刀具坐标系共同构成空间运动链可知：

$T_T^O=T_{\mathrm{ws}}^O\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\&CenterDot;T_T^{\mathrm{ps}}---\left(1\right)$

表示刀具坐标系{T}相对于全局坐标系{O}的坐标变换矩阵，

表示工件坐标系{ws}相对于全局坐标系{O}的坐标变换矩阵，

表示特征坐标系{fs}相对于工件坐标系{ws}的坐标变换矩阵，

表示微元坐标系{ps}相对于特征坐标系{fs}的坐标变换矩阵

表示刀具坐标系{T}相对于微元坐标系{ps}的坐标变换矩阵。

运用微分运动原理得到：

$\mathrm{\&Delta;}T_T^O\&CenterDot;T_T^O=(\mathrm{\&Delta;}T_{\mathrm{ws}}^O\&CenterDot;T_{\mathrm{ws}}^O)\&CenterDot;(\mathrm{\&Delta;}T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}})\&CenterDot;(\mathrm{\&Delta;}{T}_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})\&CenterDot;(\mathrm{\&Delta;}T_T^{\mathrm{ps}}\&CenterDot;T_T^{\mathrm{ps}})---\left(2\right)$

式中，Δ表示微分。

式(2)的左边变换为 $\mathrm{\&Delta;}T_T^O\&CenterDot;T_T^O=\mathrm{\&Delta;}{T}_T^O\&CenterDot;T_{\mathrm{ws}}^O\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}$

则得到：

$\mathrm{\&Delta;}T_T^O\&CenterDot;T_{\mathrm{ws}}^O\&CenterDot;T_f^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\&CenterDot;T_T^{\mathrm{ps}}=(\mathrm{\&Delta;}T_{\mathrm{ws}}^O\&CenterDot;T_{\mathrm{ws}}^O)\&CenterDot;(\mathrm{\&Delta;}T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}})\&CenterDot;(\mathrm{\&Delta;}T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})\&CenterDot;(\mathrm{\&Delta;}T_T^{\mathrm{ps}}\&CenterDot;T_T^{\mathrm{ps}})---\left(3\right)$

将式(3)改写为：

$(\mathrm{\&Delta;}_T^O+I)\&CenterDot;T_{\mathrm{ws}}^O\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}=(\mathrm{\&Delta;}_{\mathrm{ws}}^O+I)\&CenterDot;T_{\mathrm{ws}}^O\&CenterDot;(\mathrm{\&Delta;}_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}+I)\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;(\mathrm{\&Delta;}_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}+I)\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\&CenterDot;(\mathrm{\&Delta;}_T^{\mathrm{ps}}+I)---\left(4\right)$

因此得到以下表达式(忽略高阶项)：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}_T^{\mathrm{ps}}={(T_{\mathrm{ws}}^o\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})}^{-1}({\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O-T_{\mathrm{ws}}^o{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}{\left(T_{\mathrm{ws}}^o\right)}^{-1}-T_{\mathrm{ws}}^o\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}{(T_{\mathrm{ws}}^o\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}})}^{-1})(T_{\mathrm{ws}}^o\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})\\ ={(T_{\mathrm{ws}}^o\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})}^{-1}({\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fs}}^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ps}}^O)(T_{\mathrm{ws}}^o\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})\\ ={\left(T_{\mathrm{ps}}^o\right)}^{-1}({\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fs}}^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ps}}^O)\left(T_{\mathrm{ps}}^o\right)\end{array}---\left(5\right)$

从而得到刀具在微元坐标系下的偏差：

$\mathrm{\&Delta;X}_T^{\mathrm{ps}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R^0_{\mathrm{ps}}^O\right)}^T& -{\left(R^0_{\mathrm{ps}}^O\right)}^T\&CenterDot;r_{\mathrm{ps}}^O\&times;\\ 0_{3*3}& {\left(R^0_{\mathrm{ps}}^O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}{[\mathrm{\&Delta;}_T^O-\mathrm{\&Delta;}_{\mathrm{ws}}^O-\mathrm{\&Delta;}_{\mathrm{fs}}^O-\mathrm{\&Delta;}_{\mathrm{ps}}^O]}_{6*1}---\left(6\right)$

由此得到刀具在特征坐标系下和在工件坐标系下的偏差分别为：

$\mathrm{\&Delta;X}_T^{\mathrm{fs}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R^0_{\mathrm{fs}}^O\right)}^T& -{\left(R^0_{\mathrm{fs}}^O\right)}^T\&CenterDot;r_{\mathrm{fs}}^O\&times;\\ 0_{3*3}& {\left(R^0_{\mathrm{fs}}^O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}{[\mathrm{\&Delta;}_T^O-\mathrm{\&Delta;}_{\mathrm{ws}}^O-\mathrm{\&Delta;}_{\mathrm{fs}}^O]}_{6*1}---\left(7\right)$

$\mathrm{\&Delta;X}_T^{\mathrm{ws}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R^0_{\mathrm{ws}}^O\right)}^T& -{\left(R^0_{\mathrm{ws}}^O\right)}^T\&CenterDot;r_{\mathrm{ws}}^O\&times;\\ 0_{3*3}& {\left(R^0_{\mathrm{ws}}^O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}{[\mathrm{\&Delta;}_T^O-\mathrm{\&Delta;}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}---\left(8\right)$

式中，

表示微元坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，

表示特征坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，

表示工件坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，

和

表示反对称矩阵，

为刀具相对于全局坐标系的偏差量，

为工件相对于全局坐标系的偏差量，

为特征相对于全局坐标系的偏差量，

表示微元相对于全局坐标系的偏差量。

在装夹好工件时，理想情况下接触点在工件坐标系、特征坐标系以及微元坐标系与定位元件坐标系是重合的则工件与元件l的第i个接触点有四种方法描述：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_i(X_{\mathrm{wso}},{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{wsO}},r_{\mathrm{wsi}})=X_{\mathrm{wso}}+R{r}_{\mathrm{wsi}}_{\mathrm{ws}}^O\\ F_i(X_{\mathrm{fso}},{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{fsO}},r_{\mathrm{fsi}})=X_{\mathrm{fso}}+R{r}_{\mathrm{fsi}}_{\mathrm{fs}}^O\\ F_i(X_{\mathrm{pso}},{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{psO}},r_{\mathrm{psi}})=X_{\mathrm{pso}}+R_{\mathrm{ps}}^O{r}_{\mathrm{psi}}\\ f_i(X_{\mathrm{li}},{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{li}},r_{\mathrm{li}})=X_{\mathrm{li}}+R_{\mathrm{li}}^O{r}_{\mathrm{li}}\end{array}\right.---\left(9\right)$

则该式中的前三个等式与最后一个相等，即F_i＝f_i

采用一阶泰勒级数展开，省去高阶项得到：

$\left(\frac{\&PartialD;F_i}{\&PartialD;x_{\mathrm{psO}}}\frac{{\&PartialD;F}_i}{\&PartialD;{\mathrm{\&Theta;}}_{\mathrm{psO}}}\right)\&CenterDot;\left(\stackrel{\mathrm{\&Delta;}{x}_{\mathrm{psO}}}{\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Theta;}}_{\mathrm{psO}}}\right)=\left(\frac{\&PartialD;f_i}{\&PartialD;X_{\mathrm{li}}}\frac{\&PartialD;f_i}{\&PartialD;{\mathrm{\&Theta;}}_{\mathrm{li}}}\right)\&CenterDot;\left(\stackrel{\mathrm{\&Delta;}{x}_{\mathrm{fi}}}{\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Theta;}}_{\mathrm{li}}}\right)+\frac{\&PartialD;f_i}{\&PartialD;r_{\mathrm{li}}}\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{li}}-\frac{\&PartialD;F_i}{\&PartialD;r_{\mathrm{psi}}}\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{psi}}---\left(10\right)$

将式(10)写成：

$\mathrm{\&Delta;}{X}_{\mathrm{ps}}^O={\left(\mathrm{\&Delta;}{x_{\mathrm{pso}}}^T\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Theta;}}_{\mathrm{psO}}^T\right)}^T\&Element;R^{6*1}$

令

$\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{li}}={\left(\mathrm{\&Delta;}{x}_{\mathrm{li}}^T\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Theta;}}_{\mathrm{li}}^T\right)}^T\&Element;R^{6*1}$

则得到：

$U_{\mathrm{psi}}\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}{X}_{\mathrm{ps}}^O=U_{\mathrm{li}}\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&Psi;}}_{\mathrm{li}}+R_{\mathrm{li}}^O\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{li}}-R_{\mathrm{ps}}^O\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{psi}}---\left(12\right)$

由于夹具固定在机床上，假定忽略掉夹具的位置和姿态误差，则得到：

$U_{\mathrm{psi}}\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}{X}_{\mathrm{ps}}^O=R_{\mathrm{li}}^O\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{li}}-R_{\mathrm{ps}}^O\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{psi}}---\left(13\right)$

其中微元在全局坐标系下的偏差

其中

表示

定位偏差分量，表示基准偏差分量。

从而得到：

$\left\{\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{psi}}\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}{X}_{\mathrm{psl}}^O=R_{\mathrm{li}}^O\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{li}}\\ U_{\mathrm{psi}}\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}{X}_{\mathrm{psd}}^O=-R_{\mathrm{ps}}^O\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{psi}}\end{array}\right.---\left(14\right)$

假设工件上第i个接触点的几何位置Δr_psi足够小，则忽略工件上基准面接触点的位置误差：

$U_{\mathrm{psi}}\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;X}=\mathrm{R\&Delta;}{r}_{\mathrm{li}}_{\mathrm{li}}^O---\left(15\right)$

假定在i个接触点在法向上有误差Δr_ni，并且坐标系{li}与法向ni重合，那么

$R_{\mathrm{li}}^O\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{li}}=\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{ni}}\&CenterDot;n_i---\left(16\right)$

对于有m个定位元件的定位系统，采用m个等式的矩阵进行下述描述：

$G_l^T\mathrm{\&Delta;}{X}_{\mathrm{psl}}^O=N\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{ni}}---\left(17\right)$

从而将式(17)写成：

$W_{\mathrm{psl}}\mathrm{\&Delta;}{X}_{\mathrm{psl}}^O=\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{psl}}---\left(18\right)$

式中：

W_psl＝NG_l;

$G_l=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{3*3}& ...& I_{3*3}\\ r_{\mathrm{psl}}^O\&times;& ...& r_{\mathrm{psm}}^O\&times;\end{array}\right]=[{\left(U_{\mathrm{ps}1}\right)}^T,{\left(U_{\mathrm{ps}2}\right)}^T,...,{\left(U_{\mathrm{psm}}\right)}^T]\&Element;R^{6*3m}$ 表示雅克比矩阵；

N＝diag(n₁...n_m)∈R^3m*m;

Δr_psl＝(Δr_n1...Δr_nm)^T∈R^m*1。

假设工件上第i个接触元件的几何位置△r_psi足够小，则工件上夹具元件的位置误差可以忽略：

$U_{\mathrm{psi}}\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{ps}}^O=-\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O---\left(19\right)$

若基准偏差为小偏差，则式(14)的第二个等式表示为：

$\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O=n\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psi}}$

对于有m个定位点的工件，采用m个等式的矩阵进行下述描述：

$G_l^T\mathrm{\&Delta;}{X}_{\mathrm{psd}}^O=N\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psd}}---\left(20\right)$

从而将式(19)写成：

$W_{\mathrm{psd}}\mathrm{\&Delta;}{X}_{\mathrm{psd}}^O=\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{psd}}---\left(21\right)$

式中：

W_psd=-NG_l；

N=diag(n₁...n_m)∈R^3m*m；

△r_psd=(△r_n1...△r_nm)^T∈R^m*1。

取广义逆后，则基准d偏差、定位l偏差与刀具c偏差在微元坐标系产生的误差分别为：

${\mathrm{\&Delta;P}}_d=W_{\mathrm{psd}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psd}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{psd}}^{+}{W}_{\mathrm{psd}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{psd}}---\left(22\right)$

${\mathrm{\&Delta;P}}_l=W_{\mathrm{psl}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psl}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{psl}}^{+}{W}_{\mathrm{psl}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{psl}}---\left(23\right)$

由于刀具姿态偏差、基准偏差和夹具误差能在工件特征上产生同样的尺寸偏差模式。因此，把刀具姿态偏差

转换成夹具误差并令

从而得到：

${\mathrm{\&Delta;P}}_T=W_{\mathrm{psl}}^{+}\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{psc}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{psl}}^{+}{W}_{\mathrm{psl}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{psm}}---\left(24\right)$

△r_psc为等效夹具误差。

对于特征坐标系采用坐标变化得到：

$U_{\mathrm{fsi}}\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{fs}}^O=\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O-\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{fsi}}^{\mathrm{fs}}{}_O---\left(25\right)$

则基准偏差、定位偏差与刀具偏差在特征坐标系产生的误差分别为：

${\mathrm{\&Delta;fs}}_d=W_{\mathrm{fsd}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{fsd}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsd}}^{+}{W}_{\mathrm{fsd}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{fsd}}---\left(26\right)$

${\mathrm{\&Delta;fs}}_l=W_{\mathrm{fsl}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{fsl}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsl}}^{+}{W}_{\mathrm{fsl}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{fsl}}---\left(27\right)$

${\mathrm{\&Delta;fs}}_T=W_{\mathrm{fsl}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{fsc}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsl}}^{+}{W}_{\mathrm{fsl}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{fsm}}---\left(28\right)$

$U_{\mathrm{wsi}}\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{ws}}^O=\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O-\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{wsi}}^{\mathrm{ws}}{}_O---\left(29\right)$

则基准偏差、定位偏差与刀具偏差在工件坐标系产生的误差分别为：

${\mathrm{\&Delta;ws}}_d=W_{\mathrm{wsd}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{wsd}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsd}}^{+}{W}_{\mathrm{wsd}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{wsd}}---\left(30\right)$

${\mathrm{\&Delta;ws}}_l=W_{\mathrm{wsl}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{wsl}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsl}}^{+}{W}_{\mathrm{wsl}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{wsl}}---\left(31\right)$

${\mathrm{\&Delta;ws}}_T=W_{\mathrm{wsl}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{wsc}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsl}}^{+}{W}_{\mathrm{wsl}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{wsm}}---\left(32\right)$

式中，△Ψ_li表示第i个定位销在全局坐标系下的位移量，

表示微元坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，△r_li表示工件与第i个定位销相接触定位销的偏差，特征坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，△r_psi表示工件与第i个定位销相接触的微元的偏差。

将式(13)、式(25)和式(29)带入到式(6)中，得：

${\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{ps}}=C_1{\left[\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psc}}& {\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{wsd}}& {\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{wsl}}& {\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{fsd}}& {\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{fsl}}& {\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psd}}& {\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psl}}\end{array}\right]}^T$

$+C_2{\left[\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{psc}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{wsd}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{wsl}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{fsd}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{fsl}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{psd}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{psl}}\end{array}\right]}^T---\left(33\right)$

式中：

$C_1=\left[\begin{array}{ccccccc}{E}_m{W}_{\mathrm{psl}}^{+}& -E_{\mathrm{ws}}{W}_{\mathrm{wsd}}^{+}& -E_{\mathrm{ws}}{W}_{\mathrm{wsl}}^{+}& -E_{\mathrm{fs}}{W}_{\mathrm{fsd}}^{+}& -E_{\mathrm{fs}}{W}_{\mathrm{fsl}}^{+}& -E_{\mathrm{ps}}{W}_{\mathrm{psd}}^{+}& -E_{\mathrm{ps}}{W}_{\mathrm{psl}}^{+}\end{array}\right];$

$C_2=\left[\begin{array}{ccc}{E}_m(I_{6*6}-W_{\mathrm{psl}}^{+}{W}_{\mathrm{psl}})& -E_{\mathrm{ws}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsd}}^{+}{W}_{\mathrm{wsd}})& -E_{\mathrm{ws}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsl}}^{+}{W}_{\mathrm{wsl}})\end{array}\right]$

$-E_{\mathrm{fs}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsd}}^{+}{W}_{\mathrm{fsd}})-E_{\mathrm{fs}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsl}}^{+}{W}_{\mathrm{fsl}})-E_{\mathrm{ps}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{psd}}^{+}{W}_{\mathrm{psd}})-E_{\mathrm{ps}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{psl}}^{+}{W}_{\mathrm{psl}})];$

E_m=E_ps=U_ps；

E_ws=U_ws；

E_fs=U_fs。

由式(13)得：

${\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{ps}}^O={U_{\mathrm{psi}}}^{+}(\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O-\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O)$

$={U_{\mathrm{psi}}}^{+}(N\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_l-D\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psd}})---\left(34\right)$

据以上分析，根据式(6)、式(7)、式(8)、式(33)和式(34)，从而得到几何因素产生的误差。

工件坐标系下微元的几何偏差为：

${\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{ws}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T& -{\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T\&CenterDot;r_{\mathrm{ws}}^O\&times;\\ 0_{3*3}& {\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}$

$={\left(H_{\mathrm{Wo}}^O\right)}^{-1}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}\left(H_{\mathrm{Wo}}^O\right)---\left(35\right)$

特征坐标系下微元的几何偏差：

式中，

微元坐标系下的几何偏差：

${\mathrm{\&Delta;P}}^I=\mathrm{\&Delta;}{X}_T^{\mathrm{ps}}={\left(H_{\mathrm{ps}}^O\right)}^{-1}{H_{\mathrm{fs}}^O}^{-1}{\left(H_{\mathrm{Ws}}^O\right)}^{-1}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}\left(H_{\mathrm{Ws}}^O\right)\left(H_{\mathrm{fs}}^O\right)\left(H_{\mathrm{ps}}^O\right)$

$={\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{ps}}{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{ps}}\left[{U_{\mathrm{Gi}}}^{+}(N\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_l-D\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{Wd}})\right]---\left(37\right)$

式中：

${\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{ps}}=\left[\begin{array}{cc}{R}_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O& -R_{\mathrm{Ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O(R_{\mathrm{ws}}^O(r_{\mathrm{ws}}^O\&times;)+r_{\mathrm{fs}}^O\&times;)R_{\mathrm{ws}}^O-R_{\mathrm{ps}}^O(r_{\mathrm{ps}}^O\&times;)R_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O\\ 0_{3*3}& R_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O\end{array}\right].$

假定简化模型的两道工序中工件的微元及其对应的特征的关键质量特性如表1所示，并分别给出了其名义方向和位置。

表1微元的名义方向和位置

两道工序各自的定位元件位置和方向向量如表2所示。

表2两道工序各自的定位元件的位置和方向向量

为了方便计算，两道工序的坐标系和定位元件信息相同，则根据各坐标系之间的相对位置关系得到转换矩阵相同，为：

$\mathrm{\&Gamma;}=\left[\begin{array}{cccccc}-1& 0& 0& 0& 7.5& 120\\ 0& -1& 0& -7.5& 0& 75\\ 0& 0& -1& -120& -75& 0\\ 0& 0& 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$

根据表2得到以下定位相关的矩阵：

定位销的姿态矩阵相同，为：

$N=\left[\begin{array}{cccccc}{n}_1^T& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& n_2^T& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& n_3^T& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& n_4^T& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& n_5^T& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& n_6^T\end{array}\right]$

式中，n_i=[0 0 1](i=1～3)，n_i=[0 1 0](i=4～5)，n₆=[-1 0 0]。

定位矩阵相同，为：

$\hat{G}={[U_1^T...U_6^T]}^T$

式中，

$U_1=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& -20& -17.5\\ 0& 1& 0& 20& 0& -130\\ 0& 0& 1& 17.5& 130& 0\end{array}\right],U_2=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& -20& -7.5\\ 0& 1& 0& 20& 0& -75\\ 0& 0& 1& 7.5& 75& 0\end{array}\right]$

$U_3=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& -20& -7.5\\ 0& 1& 0& 20& 0& -20\\ 0& 0& 1& 17.5& 20& 0\end{array}\right],U_4=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& -10& 0\\ 0& 1& 0& 10& 0& -130\\ 0& 0& 1& 0& 130& 0\end{array}\right]$

$U_5=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& -10& 0\\ 0& 1& 0& 10& 0& -20\\ 0& 0& 1& 0& 20& 0\end{array}\right],U_6=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& -10& -12.5\\ 0& 1& 0& 10& 0& 0\\ 0& 0& 1& 12.5& 0& 0\end{array}\right]$

第一道工序几何定位误差预测。

a.基准引起的误差。

基准误差是上一道工序引起的误差，假定第一道工序要加工的特征的前几道工序没有偏差，则将其的基准误差设置为0。

b.夹具几何偏差造成的工件加工误差。

对于定位点1，夹具元件1产生的误差为Rf＝[0，0.25，0，0，0，0]^T，则由式(35) $\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{X}_T^{\mathrm{ws}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T& -{\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T\&CenterDot;r_{\mathrm{ws}}^O\&times;\\ 0_{3*3}& {\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}\\ ={\left(H_{\mathrm{Wo}}^O\right)}^{-1}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}\left(H_{\mathrm{Wo}}^O\right)\end{array}$ 计算得到第一道工序的第一个微元ps₁的在工件坐标系的误差为：

[0.0024，0.0269，0.00383，-0.0008，0.0002，-0.0000]^T

由式(36)

计算在特征坐标系的误差为[-0.0027，-0.0343，0.00112，0.0008，0.0000，0.0002]^T。

由式(37) $\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;P}}^I={\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{ps}}={\left(H_{\mathrm{ps}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{fs}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{Ws}}^O\right)}^{-1}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}\left(H_{\mathrm{Ws}}^O\right)\left(H_{\mathrm{fs}}^O\right)\left(H_{\mathrm{ps}}^O\right)\\ ={\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{ps}}{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{ps}}\left[{U_{\mathrm{Gi}}}^{+}(N\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_l-D\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{Wd}})\right]\end{array}$ 计算在微元坐标系的误差为[-0.0026，-0.0452，0.00124，0.0008，0.0000，0.0002]^T。

同理得第二个微元ps₂在工件坐标系误差为[0.0024，0.00109，0.00383，-0.0008，0.0002，-0.0000]^T。

在特征坐标系的误差为[-0.0027，-0.00303，0.00112，0.0008，0.0000，0.0002]^T。

在微元坐标系的误差为[-0.0028，-0.00276，0.00113，0.0008，0.0000，0.0002]^T。

同理得第三个微元ps₃在工件坐标系误差为[0.0024，0.00109，0.0383，-0.0008，0.0002，-0.0000]^T。

在特征坐标系的误差为[-0.0027，-0.00301，0.00112，0.0008，0.0000，0.0002]^T。

在微元坐标系的误差为[-0.0028，-0.00466，0.00134，0.0008，0.0000，0.0002]^T。

可以看出微元ps₁受到的影响最大，而微元ps₂和ps₃的误差经过计算近似为0。

c.切削力引起的工件的误差。

因为是刚体，切削力引起的误差假定为0。

d.刀具位姿引起的误差。

刀具位姿误差设置为0。

设置噪声为0，则通过扩展SoV预测模型公式 $p_k^{d_k}=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{B}_i^{d_i}{u}_i^{d_i}+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{B}_i^{l_i}{u}_i^{l_i}+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{B}_i^{t_i}{u}_i^{t_i}$ (50) $+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{B}_i^{j_i}{u}_i^{j_i}+E_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,0}^{(\&CenterDot;)}+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{w}_i+v_k$ 可以得到微元ps₁的预测误差值为：

[-0.0026，-0.0452，0.00124，0.0008，0.0000，0.0002]^T

第二道工序几何定位误差预测

由第一道工序可以知道第二道工序基准ps₁产生的微元偏差在微元坐标系下为：

[-0.0026，-0.0452，0.00124，0.0008，0.0000，0.0002]^T，基准ps₂和ps₃的偏差近似为[0，0，0，0，0，0]。

第二道工序定位基准1在工序二的工件坐标系下产生的偏差为：

$\mathrm{\&Delta;}{X}_{d1}^{\mathrm{wsI}}={[\mathrm{0.0005,0.0022,0.0007},-\mathrm{0.0002,0.0000},-0.0000]}^T$

${\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{fs}}={\left(H_{\mathrm{fso}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{Wso}}^O\right)}^{-1}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^{\text{O}}-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}\left(H_{\mathrm{Wso}}^O\right)\left(H_{\mathrm{fso}}^O\right)$

将其根据式(36)

和 ${\mathrm{\&Delta;P}}^I={\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{ps}}={\left(H_{\mathrm{ps}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{fs}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{Ws}}^O\right)}^{-1}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{\text{6*1}}\left(H_{\mathrm{Ws}}^O\right)\left(H_{\mathrm{fs}}^O\right)\left(H_{\mathrm{ps}}^O\right)$ (37) $={\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{ps}}{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{ps}}\left[{U_{\mathrm{Gi}}}^{+}(N\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_l-D\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{Wd}})\right]$ 进行变换，得微元ps₄在工件坐标系和微元ps₄在自身坐标系下的偏差：

$\mathrm{\&Delta;}{X}_T^{\mathrm{fsI}}={[-\mathrm{0.0012,0.067,0.0041},\mathrm{0.0002,0.0000},0.0000]}^T$

式中，

$\mathrm{\&Delta;}{X}_T^{\mathrm{psI}}={[-\mathrm{0.0011,0.067,0.0037},\mathrm{0.0002,0.0000},0.0000]}^T$

式中，

${\mathrm{\&Lambda;}}_p=\left[\begin{array}{cccccc}-1& 0& 0& 0& -7.5& 105\\ 0& 0& -1& -105& -75& 0\\ 0& 1& 1& -7.5& 0& -75\\ 0& 0& 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

${\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{ws}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R_{\mathrm{}}^0{}_{\mathrm{ws}}{}^O\right)}^T& -{\left(R_{\mathrm{}}^0{}_{\mathrm{ws}}{}^O\right)}^T\&CenterDot;r_{\mathrm{ws}}^O\&times;\\ 0_{3*3}& {\left(R_{\mathrm{}}^0{}_{\mathrm{ws}}{}^O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}$

从而由式(35)

得几何误差源诱导的偏差在工件坐标系下为：

$\mathrm{\&Delta;}{X}_T^{\mathrm{wsI}}={[-\mathrm{0.0008,0.056,0.0045},0.\mathrm{0002,0.0000},0.0000]}^T.$

3、基于微元刚体坐标变换的受力变形误差计算。

受力变形是耦合误差，是叶片零件加工质量的重要影响因素，加工中切削参数的变化会导致它发生变化。本实施例只考虑静态切削力引起的静态变形，一般采用未变形切削力平均值的方法进行分析。前面所描述的几何定位误差源基准、夹具元件以及刀具位姿等产生的几何定位误差影响切削深度使得切削力发生变化，当进行切削时，会产生让刀变形，影响零件最终的加工质量。本实施例通过辨识切削力系数，建立切削力系数与切削参数的回归关系，求解平均铣削力，然后采用UG高级仿真求解叶片微元的刚度，最后根据胡克定律求解受力变形。

(1)加工过程中切深的变化。

在加工前，几何定位误差影响了工件的位置，使切深发生了变化；在加工过程中，切深是不断变化的，切深的变化影响着切削力，切削力又会影响切深。因此有必要分析加工过程切深的变化以及它对最终质量的影响。

对于一个两次切削的过程，理论的第一次切削深度为

几何定位产生的切深为

第二次切削深度为

几何定位产生的切深为

第一次的实际切深是

则第二次的真实切深是

假定有m次加工，n个点，则切深表示为：

$a_{\mathrm{pi}}^{\left(j\right)}=a_p^{\left(j\right)}+a_{p0}^{\left(j\right)}+{\mathrm{\&delta;}}_i^{(j-1)}$

$=a_p^{\left(j\right)}+a_{p0}^{\left(j\right)}+\frac{F_{j-1}}{k_i},i=1,...,n;j=1,...,m$

式中，k_i表示i点的刚度。

由于切深是不断变化的，通过切深可以求得切削力，从而得到由切削力产生的让刀变形。为此，需要进行切削力的求解。本实施例采用平底刀端铣的方式，进行铣削力系数的标定，进而求取平均铣削力，得到平底刀的微元划分、参数以及切削力的辨识，得到随径向切深变化的切削力系数，进而得到不同径向切深下的平均铣削力，从而计算平均铣削力，进而求得对应的铣削力变形。

(2)铣削加工的平均切削力计算。

根据切削力实验求得切削力系数与切深之间的回归关系，得到不同切深下的切削力系数。在固定接触角和轴向切削深度下，改变进给速度和径向切深进行一组铣削实验，测量每个刀齿周期的平均力。实验获得的平均切削力与从切削力表达式中求得的平均切削力相等，用于辨识切削力系数。由于一个齿周期内每个刀齿切除的材料总量是一个常数，与螺旋角无关，因此平均切削力与螺旋角无关。一个周期内一个齿的三个方向的平均切削力如式(38)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{\mathrm{xi}}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{\mathrm{yi}}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{\mathrm{zi}}\end{array}\right\}=\frac{d_{a}N}{2\mathrm{\&pi;}}\left\{\begin{array}{c}{-K}_T\sin \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{staet}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}+K_R\cos \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}-\frac{f_z}{4}({-K}_T\cos 2\mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}+K_R(2\mathrm{\&theta;}-\sin 2\mathrm{\&theta;}){|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}})\\ {-K}_T\cos \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}-K_R\sin \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}+\frac{f_z}{4}(K_T(2\mathrm{\&theta;}-\sin 2\mathrm{\&theta;}){|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}+K_R\cos 2\mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}})\\ {-K}_A({\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}})+f_z{K}_A\cos \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}\end{array}\right.---\left(38\right)$

式中，N为刀齿数，f_z为每齿进给量，d_a为轴向切深，K_T，K_A，K_R为切削力系数θ_start，θ_exit分别为切入切出角。

铣槽铣削实验是最为方便快捷的切削力系数标定方法，此时，刀具的切入角θ_start和切出角θ_exit分别为0和π。主轴转速为2000rpm，进给速度为320mm／min，轴向切深为2mm，刀具螺旋角为35°，刀具半径为5mm，刀齿数为4时，设置径向切削深度分别为1mm、2mm、3mm、4mm、5mm、6mm、7mm、8mm、9mm、10mm时，通过切削力实验计算来标定得到平底刀径向切削力系数。在本组试验中，选用的铣刀为四齿硬质合金平底铣刀，直径是10mm，采用平底刀端铣方式，因此径向切深取值从1mm增至10mm，增量为1mm。试验所用机床为JOHNFORD VMC-850四轴立式数控加工中心，工件材料选用钛合金TC4。

对不同径向切削深度下的切削力系数进行三次曲线拟合，得到切削力系数关于径向切削深度d_e的表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{K}_T=-2.9242d_e^3+51.82d_e^2-309.d_e+2727\\ K_R=-1.618d_e^3+39.85d_e^2-318.7d_e+1947\\ K_A=-2.055d_e^3+34.54d_e^2-183.0d_e+603.5\end{array}\right.---\left(39\right)$

根据铣削力系数的表达式，得到不同径向切深下的铣削力系数，代入式(38)，则得到不同径向切深与轴向切深下的工件的平均切削力。

(3)基于平均切削力的微元加工变形计算。

叶片零件的加工尺寸和形状误差影响因素比较多，如刀具工件接触区的热变形，工件残余应力变形等。本实施例只考虑由切削力引起的弹性变形，具体指在刀具沿着预先规划的路径运动时，由于切削力的变化以及刀具和工件之间的相对刚度变化，使得工件尺寸偏离了期望值的这种相对位移引起的尺寸和形状误差。在加工过程中，切削力使得刀具和叶片零件产生弹性变形，走刀过后弹性变形恢复，致使部分材料未被切除，造成零件表面的加工误差。加工面法向的分力是决定工件表面误差的主要因素，所以本实施例在计算叶片零件变形时将以法向分力为主。

工件表面误差Δ由两部分形成，工件沿曲面法向的变形Δ_w和刀具沿工件曲面法向的变形Δ_t，通常铣刀在轴向有较高的刚性，忽略刀具变形：

Δ=Δ_w                               (40)

当工件和刀具均为刚体时，轴向切削深度为d_a，当工件和刀具发生变形时，轴向切削深度变为d_a′，从而得到：

d_a′=d_a+Δ_轴向几何+Δ_{轴向让刀变形}                  (41)

径向切深变为：

d_e′=d_e+Δ_径向几何+Δ_{径向让刀变形}             (42)

若忽略刀具变形对切入切出角的影响，将式(39)和式(41)代入式(38)，得到工件发生变形时的平均切削力。

设刀轴在进给方向与曲面法向组成的平面(XZ平面)上的投影与曲面法向(Z轴正方向)夹角为0，在切削刃与工件表面某微元的切触点P(u,v)处，由于有切削力的存在，工件将发生变形，工件的偏移量形成该微元处的尺寸误差。随着刀具的旋转，所产生的表面误差将沿着刀具进给的方向进行分布，且切触点处的误差一方面与切削力的大小有关，另一方面与切触点处工件的刚度K(u，v)相关。刀具在垂直于刀轴方向刚性较弱，在

和

作用下会发生弹性变形，但弹性变形产生的误差在随后的加工中被切除，不影响Z方向的加工表面误差，因此本实施例忽略刀具在这两个方向的变形。因此，只考虑对于工件变形的影响，工件在平面法向的受力为：

${\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{w,Z}=-{\stackrel{\&OverBar;}{F}}_z---\left(43\right)$

工件在平面法向的变形为：

$\mathrm{\&Delta;}=\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{w,Z}}{K(u,v)}---\left(44\right)$

则微元在工件坐标系下的偏差写成：

${\mathrm{\&Delta;}}_T^{\mathrm{Ws}}=\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{w,Z}}{K(u,v)}---\left(45\right)$

工件坐标系下切削力转换到微元坐标系下，则微元坐标系下切削力产生的变形为：

$\mathrm{\&Delta;}{P}^{\mathrm{II}}{=}_T^{\mathrm{Ps}}R\frac{F}{K}---\left(46\right)$

设定第一道工序的切削力引起的误差为0，则只需计算第二道工序的切削力产生的误差。刀具半径为5mm，径向切深为2mm，轴向切深与标定系数时保持一致为2mm，采用逆铣方式，得到切入切出角分别为0和Arccos0.6。由于定位产生偏差，使得轴向切深发生变化：

$d_{a_p}=d_{a_p}+{\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{zp}}^{p_S}$

$=2.0-0.0037=1.9963\mathrm{mm}$

径向切深变为1.933mm，则由式(39) $\left\{\begin{array}{c}{K}_T=-2.9242d_e^3+51.82d_e^2-309.3d_e+2727\\ K_R=-1.618d_e^3+39.85d_e^2-318.7d_e+1947\\ K_A=-2.055d_e^3+34.54d_e^2-183.0d_e+603.5\end{array}\right.$ 计算出切削力系数，由式(38)

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{\mathrm{xi}}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{\mathrm{yi}}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{\mathrm{zi}}\end{array}\right\}=\frac{d_{a}N}{2\mathrm{\&pi;}}\left\{\begin{array}{c}-K_T\sin \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{staet}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}+K_R\cos \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}-\frac{f_z}{4}(-K_T\cos 2\mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}+K_R(2\mathrm{\&theta;}-\sin 2\mathrm{\&theta;}){|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}})\\ -K_T\cos \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}-K_R\sin \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}+\frac{f_z}{4}(K_T(2\mathrm{\&theta;}-\sin 2\mathrm{\&theta;}){|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}+K_R\cos 2\mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}})\\ -K_A({\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}})+f_z{K}_A\cos \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}\end{array}\right.$ 计算切削力，得到z向切削力为558.3015N，采用UG有限元分析可得微元ps₄处刚度k为4.7192e+004N／mm，然后计算变形得到[0，0，0.0118，0，0，0]^T。

计算微元ps₄的雅克比矩阵：

${\left[\begin{array}{cc}{\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T& -{\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T\&CenterDot;r_{\mathrm{ps}}^O\&times;\\ 0_{3*3}& {\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 7.5& 105\\ 0& 1& 0& -7.5& 0& 75\\ 0& 0& 1& -105& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

得到 ${\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{psII}}={\left[\begin{array}{cccccc}0,& 0,& 0.0118,& 0,& 0,& 0\end{array}\right]}^T.$

又由于 $\mathrm{\&Delta;}{X}_T^{\mathrm{psI}}={\&lsqb;-\mathrm{0.0011,0.067,0.0037,0.0002,0.0000,0.0000}\&rsqb;}^{\text{T}}.$

从而得到微元ps₄总偏差为：

${\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{psI}}={\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{psI}}+{\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{psII}}={\left[\begin{array}{cccccc}-0.0011,& -0.067,& 0.01217,& 0.0002,& 0,& 0\end{array}\right]}^T.$

4、基于扩展误差流的加工过程误差预测。

叶片零件多源多工序加工过程误差耦合是指依据工件的多工序过程，由于误差源的耦合影响作用使得误差在本道工序积累和向下道工序传递的过程。依据工序的输出值P和影响工序质量的误差源u建立扩展SoV多工序加工过程。具体的字母表示的含义如下：

(1)d_k表示在工序k的基准，基准误差指的是基准面引起的误差，是上道工序传递给下道工序的误差，用

表示。

(2)t_k表示在工序k的加工误差，加工误差是指刀具路径引起的误差，用

表示。

(3)l_k表示在工序k的夹具几何误差，是指夹具元件磨损引起的误差，用

表示。

(4)j_k表示在工序k的切削力引起的工件的变形误差，用

表示。

(5)

表示在工序k的误差状态值，是指加工后得到的值偏离名义值的尺寸波动。

(6)

表示在工序k，以基准d_k在坐标测量机上进行测量，得到的加工质量的测量值。在本实施例的测量均指在机测量，并且测量值服从多元正态分布。如果没有加工，而是对加工误差进行预测，则表示工序输出的预测值。

(7)w_k表示在工序k未建模的系统噪声，服从均值为0的正态分布，独立于

$u_k^{f_k},u_k^{j_k}.$

(8)v_k表示在工序k的测量噪声，假定其服从均值为0的正态分布，并且独立于和

假定误差为小误差，则依据状态空间得到扩展SoV流模型：

$\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&mu;}}_k^{d_k,t_k,l_k,j_k}=A_{k-1}{\mathrm{\&mu;}}_{k-1}^{d_{k-1},t_{k-1},l_{k-1},j_{k-1}}{B}_k^{d_k}{u}_k^{d_k}+B_k^{l_k}{u}_k^{l_k}+B_k^{t_k}{u}_k^{t_k}+B_k^{j_k}{u}_k^{j_k}+w_k,& w_k~N\&lsqb;0,W_k\&rsqb;\\ P_k^{d_k}=E_k^{d_k}{\mathrm{\&mu;}}_k+v_k,& v_k~N\&lsqb;0,V_k\&rsqb;\\ {\mathrm{\&mu;}}_0|D_0~N\&lsqb;m_0,C_0\&rsqb;& \end{array}\right.---\left(47\right)$

式中，P_t表示工序k加工质量特性波动的测量值或者预测值；μ_t表示工序k质量特性波动的真实值，为不可观测的状态值；w_t表示工序k制造系统的状态噪声项(或状态误差项)，W_t表示其方差；v_t表示工序k测量噪声项(或测量误差项)，V_t表示其方差；D₀表示t=0时刻关于工序质量的初始信息集合；m₀表示在D₀条件下对工序质量的均值的一个估计值；C₀表示关于均值m₀的方差，是对m₀一种不确定性的度量。并且认为，对所有的t和s，当t≠s时，v_t和v_s、w_t和w_s以及v_t和w_s都相互独立。假设测量噪声和状态噪声服从高斯核拉普拉斯分布。在该波动模型中，观测方程反映了工序k对制造过程质量特征的观测状况，状态方程反映了工序k制造过程的质量波动状况。其中系数矩阵A_k-1，B_k和

是需要求解和计算的，根据上道工序、本道输入误差源和测量系统进行确定。

则多种误差源影响下的耦合误差表示为：

$\mathrm{\&Delta;P}={\mathrm{\&Delta;P}}^I+{\mathrm{\&Delta;P}}^{\mathrm{II}}$

$={\left(H_{\mathrm{ps}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{fso}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{Wso}}^O\right)}^{-1}{\&lsqb;{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{Ws}}^O\&rsqb;}_{6*1}\left(H_{\mathrm{Wo}}^O\right)\left(H_{\mathrm{fo}}^O\right)\left(H_p^O\right)+R_T^{\mathrm{Ps}}\frac{F}{K}---\left(48\right)$

式中：

$R_T^{\mathrm{Ps}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T& -{\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T\&CenterDot;r_{\mathrm{Gs}}^O\&times;\\ 0_{3*3}& {\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}.$

则得到扩展SoV误差耦合模型式(47)中的系数：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_{k-1}={\mathrm{\&Lambda;}}_p{U}_{\mathrm{Gi}}+D\\ B_k^{\mathrm{fk}}=-\mathrm{\&Lambda;}{U}_{\mathrm{Gi}}+N\\ B_k^{t_k}=\left[\begin{array}{cc}{R}_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O& -R_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O(R_{\mathrm{ws}}^O{r}_{\mathrm{ws}}^O\&times;+r_{\mathrm{fs}}^O\&times;)R_{\mathrm{ws}}^O-R_{\mathrm{ps}}^O{r}_{\mathrm{ps}}^O\&times;R_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O\\ 0_{3*3}& R_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{FS}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O\end{array}\right]---\left(49\right)\\ B_k^{\mathrm{jk}}=R_T^O\end{array}\right.$

式中，

表示的是测量系统的坐标转换，为了简化计算，本实施例取其为单位矩阵。从而求解出了扩展SoV模型。

当工序被加工后，则该道工序的输出值可以测量得到，可以估计出状态值来。但是当工序还没有被加工，测量值无法知道，为了预测该工序的加工质量，需要将扩展SoV模型变换成预测模型，对该道零件的加工质量进行预测。

为了描述KPCs和KCCs之间的关系，将式(47)的状态方程带入到测量等式中，得到如下显式表达式，即为误差的预测模型：

$p_k^{d_k}=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{B}_i^{d_i}{u}_i^{d_i}+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{B}_i^{l_i}{u}_i^{l_i}+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{B}_i^{t_i}{u}_i^{t_i}$

$+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{B}_i^{j_i}{u}_i^{j_i}+E_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,0}^{(\&CenterDot;)}+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{w}_i+v_k---\left(50\right)$

式中，

是追踪基准误差、夹具几何误差、刀具位姿误差以及切削力误差的状态转移矩阵，i=1，...k-1，并且

初始状态向量μ₀表示的是一个零件的KQCs在进入第一道工序加工前的初始偏差。这些初始偏差信息来自于过去加工过程的历史实验。

设置夹具元件的误差为0，刀具位姿误差为0，噪声为0，则通过扩展SoV预测得到最终微元ps₄在工件坐标系下的误差值为：

[-0.0005,-0.0516,0.1274,0.0002,0,0,]^T

可以看出由于几何定位误差与切深引起的切削力的变化，从而造成了y方向和z方向产生了偏差。通过本实施例得到误差值为[-0.0003,-0.0520,0.01563,0.0001,0.0001,0.0001]^T,与预测值很接近，符合所设定的误差源的误差产生规律，因此预测是合理的。

Claims (1)

1.一种基于扩展误差流的叶片加工过程误差预测方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、确定叶片加工过程误差源分别为定位基准精度产生的误差；安装产生的误差；刀具位姿变化产生的误差；切削力产生的变形误差；噪声误差；对误差源进行建模，并对加工过程中的因素约定如下：多工序加工过程中将一道工序的加工过程分为加工前和加工中两个阶段；基准误差、夹具安装几何误差以及刀具倾斜误差对工件产生定位误差，定义为几何定位误差；加工中的弹性变形是由切削力引起的；

步骤二、基于微元刚体坐标变换的几何定位误差计算；

定义五个坐标系，分别是全局坐标系{O}、工件坐标系{ws}、特征坐标系{fs}、微元坐标系{ps}以及刀具坐标系{T}；

根据各个对象在空间的位姿关系，由全局坐标系{O}、工件坐标系{ws}、特征坐标系{Fs}、微元坐标系{ps}以及刀具坐标系共同构成空间运动链：

$T_T^O=T_{\mathrm{ws}}^O\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\&CenterDot;T_T^{\mathrm{ps}}---\left(1\right)$

式中，

表示刀具坐标系{T}相对于全局坐标系{O}的坐标变换矩阵，

表示工件坐标系{ws}相对于全局坐标系{O}的坐标变换矩阵，

表示特征坐标系{fs}相对于工件坐标系{ws}的坐标变换矩阵，

表示微元坐标系{ps}相对于特征坐标系{fs}的坐标变换矩阵

表示刀具坐标系{T}相对于微元坐标系{ps}的坐标变换矩阵；

运用微分运动原理得到：

$\mathrm{\&Delta;}{T}_T^O\&CenterDot;T_T^O=(\mathrm{\&Delta;}{T}_{\mathrm{ws}}^O\&CenterDot;T_{\mathrm{ws}}^O)\&CenterDot;(\mathrm{\&Delta;}{T}_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}})\&CenterDot;(\mathrm{\&Delta;}{T}_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})\&CenterDot;(\mathrm{\&Delta;}{T}_T^{\mathrm{ps}}\&CenterDot;T_T^{\mathrm{ps}})---\left(2\right)$

式中，Δ表示微分；

式(2)的左边变换为 ${\mathrm{\&Delta;T}}_T^O\&CenterDot;T_T^O={\mathrm{\&Delta;T}}_T^O\&CenterDot;T_{\mathrm{ws}}^O\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}$

则得到：

${\mathrm{\&Delta;T}}_T^O\&CenterDot;T_{\mathrm{ws}}^O\&CenterDot;T_f^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\&CenterDot;T_T^{\mathrm{ps}}=({\mathrm{\&Delta;T}}_{\mathrm{ws}}^O\&CenterDot;T_{\mathrm{ws}}^O)\&CenterDot;({\mathrm{\&Delta;T}}_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}})\&CenterDot;({\mathrm{\&Delta;T}}_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})\&CenterDot;({\mathrm{\&Delta;T}}_T^{\mathrm{ps}}\&CenterDot;T_T^{\mathrm{ps}})---\left(3\right)$

将式(3)改写为：

$({\mathrm{\&Delta;}}_T^O+I)\&CenterDot;T_{\mathrm{ws}}^O\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}=({\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O+I)\&CenterDot;T_{\mathrm{ws}}^O\&CenterDot;({\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}+I)\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;({\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}+I)\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}\&CenterDot;({\mathrm{\&Delta;}}_T^{\mathrm{ps}}+I)---\left(4\right)$

忽略高阶项后得到以下表达式：

${\mathrm{\&Delta;}}_T^{\mathrm{ps}}={(T_{\mathrm{ws}}^o\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})}^{-1}({\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O-T_{\mathrm{ws}}^o{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}{\left(T_{\mathrm{ws}}^o\right)}^{-1}-T_{\mathrm{ws}}^o\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}}{(T_{\mathrm{ws}}^o\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}})}^{-1})(T_{\mathrm{ws}}^o\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})$

$={(T_{\mathrm{ws}}^o\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})}^{-1}({\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fs}}^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ps}}^O)(T_{\mathrm{ws}}^o\&CenterDot;T_{\mathrm{fs}}^{\mathrm{ws}}\&CenterDot;T_{\mathrm{ps}}^{\mathrm{fs}})$

$={\left(T_{\mathrm{ps}}^o\right)}^{-1}({\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fs}}^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ps}}^O)\left(T_{\mathrm{ps}}^o\right)$

                                               (5)

从而得到刀具在微元坐标系下的偏差：

${\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{ps}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T& -{\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T\&CenterDot;r\&times;_{\mathrm{ps}}^O\\ 0_{3*3}& {\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fs}}^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ps}}^O]}_{6*1}---\left(6\right)$

由此得到刀具在特征坐标系下和在工件坐标系下的偏差分别为：

${\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{fs}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R_0^{\mathrm{fs}}{}_O\right)}^T& -{\left(R_0^{\mathrm{fs}}{}_O\right)}^T\&CenterDot;r\&times;_{\mathrm{fs}}^O\\ 0_{3*3}& {\left(R_0^{\mathrm{fs}}{}_O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fs}}^O]}_{6*1}---\left(7\right)$

${\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{ws}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T& -{\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T\&CenterDot;r\&times;_{\mathrm{ws}}^O\\ 0_{3*3}& {\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}---\left(8\right)$

式中，

表示微元坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，

表示特征坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，

表示工件坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，

和

表示反对称矩阵，

为刀具相对于全局坐标系的偏差量，

为工件相对于全局坐标系的偏差量，

为特征相对于全局坐标系的偏差量，

表示微元相对于全局坐标系的偏差量；

在装夹好工件时，接触点在工件坐标系{ws}、特征坐标系{fs}、微元坐标系{ps}与定位元件坐标系是重合的则工件与元件l的第i个接触点有四种方法描述：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_i(X_{\mathrm{wso}},{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{wsO}},r_{\mathrm{wsi}})=X_{\mathrm{wso}}+\mathrm{Rr}_{\mathrm{wsi}}^{\mathrm{ws}}{}_O\\ F_i(X_{\mathrm{fso}},{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{fsO}},r_{\mathrm{fsi}})=X_{\mathrm{fso}}+\mathrm{Rr}_{\mathrm{fsi}}^{\mathrm{fs}}{}_O\\ F_i(X_{\mathrm{pso}},{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{psO}},r_{\mathrm{psi}})=X_{\mathrm{pso}}+\mathrm{Rr}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O\\ f_i(X_{\mathrm{li}},{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{li}},r_{\mathrm{li}})=X_{\mathrm{li}}+\mathrm{Rr}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O\end{array}\right.---\left(9\right)$

则该式中的前三个等式与最后一个相等，即F_i=f_i

采用一阶泰勒级数展开，省去高阶项得到：

$\left(\frac{{\&PartialD;F}_i}{{\&PartialD;x}_{\mathrm{psO}}}\frac{{\&PartialD;F}_i}{{\&PartialD;\mathrm{\&Theta;}}_{\mathrm{psO}}}\right)\&CenterDot;\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;x}}_{\mathrm{psO}}\\ {\mathrm{\&Delta;\&Theta;}}_{\mathrm{psO}}\end{array}\right)=\left(\frac{{\&PartialD;f}_i}{{\&PartialD;X}_{\mathrm{li}}}\frac{{\&PartialD;f}_i}{{\&PartialD;\mathrm{\&Theta;}}_{\mathrm{li}}}\right)\&CenterDot;\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;x}}_{\mathrm{fi}}\\ {\mathrm{\&Delta;\&Theta;}}_{\mathrm{li}}\end{array}\right)+\frac{{\&PartialD;f}_i}{{\&PartialD;r}_{\mathrm{li}}}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{li}}-\frac{{\&PartialD;F}_i}{{\&PartialD;r}_{\mathrm{psi}}}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psi}}---\left(10\right)$

将式(10)写成：

${\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{ps}}^O={\left({{\mathrm{\&Delta;x}}_{\mathrm{pso}}}^T{\mathrm{\&Delta;\&Theta;}}_{\mathrm{psO}}^T\right)}^T\&Element;R^{6*1}$

令

${\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_{\mathrm{li}}={\left({\mathrm{\&Delta;x}}_{\mathrm{li}}^T{\mathrm{\&Delta;\&Theta;}}_{\mathrm{li}}^T\right)}^T\&Element;R^{6*1}$

则得到：

$U_{\mathrm{psi}}\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{ps}}^O=U_{\mathrm{li}}\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;\&Psi;}}_{\mathrm{li}}+\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O-\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O---\left(12\right)$

由于夹具固定在机床上，假定忽略掉夹具的位置和姿态误差，则得到：

$U_{\mathrm{psi}}\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{ps}}^O=\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O-\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O---\left(13\right)$

其中微元在全局坐标系下的偏差其中

表示

定位偏差分量，表示

基准偏差分量；

从而得到：

$\left\{\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{psi}}\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{psl}}^O=\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O\\ U_{\mathrm{psi}}\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{psd}}^O=-\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O\end{array}\right.---\left(14\right)$

假设工件上第i个接触点的几何位置Δr_psi足够小，则忽略工件上基准面接触点的位置误差：

$U_{\mathrm{psi}}\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;X}=\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O---\left(15\right)$

假定在i个接触点在法向上有误差Δr_ni，并且坐标系{li}与法向ni重合，那么

$\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O={\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{ni}}\&CenterDot;n_i---\left(16\right)$

对于有m个定位元件的定位系统，采用m个等式的矩阵进行下述描述：

$G_l^T{\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{psl}}^O=N\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{ni}}---\left(17\right)$

从而将式(17)写成：

$W_{\mathrm{psl}}{\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{psl}}^O={\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psl}}---\left(18\right)$

式中：

W_psl=NG_l；

$G_l=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{3*3}& ...& I_{3*3}\\ r_{\mathrm{ps}1}^O\&times;& ...& r_{\mathrm{psm}}^O\&times;\end{array}\right]=[{\left(U_{\mathrm{ps}1}\right)}^T,{\left(U_{\mathrm{ps}2}\right)}^T,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,{\left(U_{\mathrm{psm}}\right)}^T]\&Element;R^{6*3m}$ 表示雅克比矩阵；

N=diag(n₁...n_m)∈R^3m*m；

Δr_psl=(Δr_n1...Δr_nm)^T∈R^m*1；

假设工件上第i个接触元件的几何位置Δr_psi足够小，则工件上夹具元件的位置误差可以忽略：

$U_{\mathrm{psi}}\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{ps}}^O=-\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O---\left(19\right)$

若基准偏差为小偏差，则式(14)的第二个等式表示为：

$\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O=n\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psi}}$

对于有m个定位点的工件，采用m个等式的矩阵进行下述描述：

$G_l^T{\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{psd}}^O=N\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{psd}}---\left(20\right)$

从而将式(19)写成：

$W_{\mathrm{psd}}\mathrm{\&Delta;}{X}_{\mathrm{psd}}^O=\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{psd}}---\left(21\right)$

式中：

W_psd=-NG_l；

N=diag(n₁...n_m)∈R^3m*m；

Δr_psd=(Δr_n1...Δr_nm)^T∈R^m*1；

取广义逆后，则基准d偏差、定位l偏差与刀具c偏差在微元坐标系产生的误差分别为：

$\mathrm{\&Delta;}{P}_d=W_{\mathrm{psd}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psd}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{psd}}^{+}{W}_{\mathrm{psd}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{psd}}---\left(22\right)$

$\mathrm{\&Delta;}{P}_l=W_{\mathrm{psl}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psl}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{psl}}^{+}{W}_{\mathrm{psl}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{psl}}---\left(23\right)$

由于刀具姿态偏差、基准偏差和夹具误差能在工件特征上产生同样的尺寸偏差模式；因此，把刀具姿态偏差

转换成夹具误差并令

从而得到：

$\mathrm{\&Delta;}{P}_T=W_{\mathrm{psl}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psc}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{psl}}^{+}{W}_{\mathrm{psl}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{psm}}---\left(24\right)$

Δr_psc为等效夹具误差；

对于特征坐标系采用坐标变化得到：

$U_{\mathrm{fsi}}\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{fs}}^O=\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O-\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{fsi}}^{\mathrm{fs}}{}_O---\left(25\right)$

则基准偏差、定位偏差与刀具偏差在特征坐标系产生的误差分别为：

${\mathrm{\&Delta;fs}}_d=W_{\mathrm{fsd}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{fsd}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsd}}^{+}{W}_{\mathrm{fsd}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{fsd}}---\left(26\right)$

${\mathrm{\&Delta;fs}}_l=W_{\mathrm{fsl}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{fsl}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsl}}^{+}{W}_{\mathrm{fsl}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{fsl}}---\left(27\right)$

${\mathrm{\&Delta;fs}}_T=W_{\mathrm{fsl}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{fsc}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsl}}^{+}{W}_{\mathrm{fsl}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{fsm}}---\left(28\right)$

$U_{\mathrm{wsi}}\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{ws}}^O=\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O-\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{wsi}}^{\mathrm{ws}}{}_O---\left(29\right)$

则基准偏差、定位偏差与刀具偏差在工件坐标系产生的误差分别为：

${\mathrm{\&Delta;ws}}_d=W_{\mathrm{wsd}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{wsd}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsd}}^{+}{W}_{\mathrm{wsd}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{wsd}}---\left(30\right)$

${\mathrm{\&Delta;ws}}_l=W_{\mathrm{wsl}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{wsl}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsl}}^{+}{W}_{\mathrm{wsl}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{wsl}}---\left(31\right)$

${\mathrm{\&Delta;ws}}_T=W_{\mathrm{wsl}}^{+}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{wsc}}+(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsl}}^{+}{W}_{\mathrm{wsl}}){\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{wsm}}---\left(32\right)$

式中，ΔΨ_li表示第i个定位销在全局坐标系下的位移量，

表示微元坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，Δr_li表示工件与第i个定位销相接触定位销的偏差，特征坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵的名义值，Δr_psi表示工件与第i个定位销相接触的微元的偏差；

将式(13)、式(25)和式(29)带入到式(6)中，得：

${\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{ps}}=C_1{\left[\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psc}}& {\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{wsd}}& {\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{wsl}}& {\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{fsd}}& {\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{fsl}}& {\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psd}}& {\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{psl}}\end{array}\right]}^T$

$+C_2{\left[\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{psc}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{wsd}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{wsl}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{fsd}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{fsl}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{psd}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{psl}}\end{array}\right]}^T$     (33)

式中：

$C_1=\left[\begin{array}{ccccccc}{E}_m{W}_{\mathrm{psl}}^{+}& -E_{\mathrm{ws}}{W}_{\mathrm{wsd}}^{+}& -E_{\mathrm{ws}}{W}_{\mathrm{wsl}}^{+}& -E_{\mathrm{fs}}{W}_{\mathrm{fsd}}^{+}& -E_{\mathrm{fs}}{W}_{\mathrm{fsl}}^{+}& -E_{\mathrm{ps}}{W}_{\mathrm{psd}}^{+}& -E_{\mathrm{ps}}{W}_{\mathrm{psl}}^{+}\end{array}\right];$

$C_2=\left[\begin{array}{ccc}{E}_m(I_{6*6}-W_{\mathrm{psl}}^{+}{W}_{\mathrm{psl}})& -E_{\mathrm{ws}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsd}}^{+}{W}_{\mathrm{wsd}})& -E_{\mathrm{ws}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{wsl}}^{+}{W}_{\mathrm{wsl}})\end{array}\right.$

$-E_{\mathrm{fs}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsd}}^{+}{W}_{\mathrm{fsd}})-E_{\mathrm{fs}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{fsl}}^{+}{W}_{\mathrm{fsl}})-E_{\mathrm{ps}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{psd}}^{+}{W}_{\mathrm{psd}})-E_{\mathrm{ps}}(I_{6*6}-W_{\mathrm{psl}}^{+}{W}_{\mathrm{psl}})];$

E_m=E_ps=U_ps；

E_ws=U_ws；

E_fs=U_fs；

由式(13)得：

${\mathrm{\&Delta;X}}_{\mathrm{ps}}^O={U_{\mathrm{psi}}}^{+}(\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{li}}^{\mathrm{li}}{}_O-\mathrm{R\&Delta;r}_{\mathrm{psi}}^{\mathrm{ps}}{}_O)$

$={U_{\mathrm{psi}}}^{+}(N\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_l-D\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}{r}_{\mathrm{psd}})---\left(34\right)$

根据式(6)、式(7)、式(8)、式(33)和式(34)得到几何因素产生的误差；

工件坐标系下微元的几何偏差为：

$\mathrm{\&Delta;}{X}_T^{\mathrm{ws}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T& -{\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T\&CenterDot;r_{\mathrm{ws}}^O\&times;\\ 0_{3*3}& {\left(R_0^{\mathrm{ws}}{}_O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}$

$={\left(H_{\mathrm{Wo}}^O\right)}^{-1}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}\left(H_{\mathrm{Wo}}^O\right)---\left(35\right)$

特征坐标系下微元的几何偏差：

${\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{fs}}={\left(H_{\mathrm{fso}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{Wso}}^O\right)}^{-1}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}\left(H_{\mathrm{Wso}}^O\right)\left(H_{\mathrm{fso}}^O\right)$

式中，

微元坐标系下的几何偏差：

${\mathrm{\&Delta;P}}^I={\mathrm{\&Delta;X}}_T^{\mathrm{ps}}={\left(H_{\mathrm{ps}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{fs}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{Ws}}^O\right)}^{-1}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ws}}^O]}_{6*1}\left(H_{\mathrm{Ws}}^O\right)\left(H_{\mathrm{fs}}^O\right)\left(H_{\mathrm{ps}}^O\right)$

$={\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{ps}}{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{ps}}\left[{U_{\mathrm{Gi}}}^{+}(N\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_l-D\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{Wd}})\right]---\left(37\right)$

式中：

${\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{ps}}={\left[\begin{array}{cc}{R}_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O& -R_{\mathrm{Ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O(R_{\mathrm{ws}}^O(r_{\mathrm{ws}}^O\&times;)+r_{\mathrm{fs}}^O\&times;)R_{\mathrm{ws}}^O-R_{\mathrm{ps}}^O(r_{\mathrm{ps}}^O\&times;)R_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O\\ 0_{3*3}& R_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O\end{array}\right]}_{;}$

步骤三、基于微元刚体坐标变换的受力变形误差计算；

对于一个两次切削的过程，理论的第一次切削深度为

几何定位产生的切深为

第二次切削深度为

几何定位产生的切深为

第一次的实际切深是

则第二次的真实切深是

假定有m次加工，n个点，则切深表示为：

$a_{\mathrm{pi}}^{\left(j\right)}=a_p^{\left(j\right)}+a_{p0}^{\left(j\right)}+{\mathrm{\&delta;}}_i^{(j-1)}$

$=a_p^{\left(j\right)}+a_{p0}^{\left(j\right)}+\frac{F_{j-1}}{k_i},i=1,...,n;j=1,...,m$

式中，k_i表示i点的刚度；

根据切削力实验求得切削力系数与切深之间的回归关系，得到不同切深下的切削力系数；在固定接触角和轴向切削深度下，改变进给速度和径向切深进行一组铣削实验，测量每个刀齿周期的平均力；一个周期内一个齿的三个方向的平均切削力如式(38)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{\mathrm{xi}}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{\mathrm{yi}}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{\mathrm{zi}}\end{array}\right\}=\frac{d_{a}N}{2\mathrm{\&pi;}}\left\{\begin{array}{c}-K_T\sin \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{staet}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}+K_R\cos \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}-\frac{f_z}{4}({-K}_T\cos 2\mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}+K_R(2\mathrm{\&theta;}-\sin 2\mathrm{\&theta;}){|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}})\\ -K_T\cos \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}-K_R\sin \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}+\frac{f_z}{4}(K_T(2\mathrm{\&theta;}-\sin 2\mathrm{\&theta;}){|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}+K_R\cos 2\mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}})\\ -K_A({\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}})+f_z{K}_A\cos \mathrm{\&theta;}{|}_{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{start}}}^{{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{exit}}}\end{array}\right.----\left(38\right)$

式中，N为刀齿数，f_z为每齿进给量，d_a为轴向切深，K_T，K_A，K_R为切削力系数θ_start，θ_exit分别为切入切出角；

对不同径向切削深度下的切削力系数进行三次曲线拟合，得到切削力系数关于径向切削深度d_e的表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{K}_T={-2.9242d}_e^3+{51.82d}_e^2-{309.3d}_e+2727\\ K_R={-1.618d}_e^3+{39.85d}_e^2-{318.7d}_e+1947\\ K_A={-2.055d}_e^3+{34.54d}_e^2-{183.0d}_e+603.5\end{array}---\left(39\right)\right.$

根据铣削力系数的表达式，得到不同径向切深下的铣削力系数，代入式(38)，则得到不同径向切深与轴向切深下的工件的平均切削力；

工件表面误差Δ由两部分形成，工件沿曲面法向的变形Δ_w和刀具沿工件曲面法向的变形Δ_t，铣刀在轴向有较高的刚性，忽略刀具变形：

Δ＝Δ_w             (40)

当工件和刀具均为刚体时，轴向切削深度为d_a，当工件和刀具发生变形时，轴向切削深度变为d′_a，从而得到：

d_a′=d_a+Δ_轴向几何+Δ_{轴向让刀变形}          (41)

径向切深变为：

d′_e=d_e+Δ_径向几何+Δ_{径向让刀变形}              （42）

若忽略刀具变形对切入切出角的影响，将式(39)和式(41)代入式(38)，得到工件发生变形时的平均切削力；

设刀轴在进给方向与曲面法向组成的XZ平面上的投影与Z轴正方向夹角为0，在切削刃与工件表面某微元的切触点P(u，v)处，由于有切削力的存在，工件将发生变形，工件的偏移量形成该微元处的尺寸误差；随着刀具的旋转，所产生的表面误差将沿着刀具进给的方向进行分布，且切触点处的误差一方面与切削力的大小有关，另一方面与切触点处工件的刚度K(u，v)相关；刀具在垂直于刀轴方向刚性较弱，在

和

作用下会发生弹性变形，但弹性变形产生的误差在随后的加工中被切除，不影响Z方向的加工表面误差；考虑

对于工件变形的影响，工件在平面法向的受力为：

${\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{w,Z}=-{\stackrel{\&OverBar;}{F}}_z---\left(43\right)$

工件在平面法向的变形为：

$\mathrm{\&Delta;}=\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{w,Z}}{K(u,v)}---\left(44\right)$

则微元在工件坐标系下的偏差写成：

${\mathrm{\&Delta;}}_T^{\mathrm{Ws}}=\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{F}}_{w,Z}}{K(u,v)}---\left(45\right)$

工件坐标系下切削力转换到微元坐标系下，则微元坐标系下切削力产生的变形为：

${\mathrm{\&Delta;P}}^{\mathrm{II}}=R_T^{\mathrm{Ps}}\frac{F}{K}---\left(46\right)$

步骤四、基于扩展误差流的加工过程误差预测；

依据工序的输出值P和影响工序质量的误差源u建立扩展SoV多工序加工过程；具体的字母表示的含义如下：

(1)d_k表示在工序k的基准，基准误差指的是基准面引起的误差，是上道工序传递给下道工序的误差，用

表示；

(2)t_k表示在工序k的加工误差，加工误差是指刀具路径引起的误差，用

表示；

(3)l_k表示在工序k的夹具几何误差，是指夹具元件磨损引起的误差，用

表示；

(4)j_k表示在工序k的切削力引起的工件的变形误差，用

表示；

(5)

表示在工序k的误差状态值，是指加工后得到的值偏离名义值的尺寸波动；

(6)

表示在工序k，以基准d_k在坐标测量机上进行测量，得到的加工质量的测量值；在本实施例的测量均指在机测量，并且测量值服从多元正态分布；如果没有加工，而是对加工误差进行预测，则表示工序输出的预测值；

(7)w_k表示在工序k未建模的系统噪声，服从均值为0的正态分布，独立于

(8)v_k表示在工序k的测量噪声，假定其服从均值为0的正态分布，并且独立于

和

假定误差为小误差，则依据状态空间得到扩展SoV流模型：

$\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&mu;}}_k^{d_k,t_k,l_k,j_k}=A_{k-1}{\mathrm{\&mu;}}_{k-1}^{d_{k-1},t_{k-1},l_{k-1},j_{k-1}}{B}_k^{d_k}{u}_k^{d_k}+B_k^{l_k}{u}_k^{l_k}+B_k^{t_k}{u}_k^{t_k}+B_k^{j_k}{u}_k^{j_k}+w_k,& w_k~N[0,W_k]\\ P_k^{d_k}=E_k^{d_k}{\mathrm{\&mu;}}_k+v_k,& v_k~N[0,V_k]\\ {\mathrm{\&mu;}}_0|D_0~N[m_0,C_0]& \end{array}\right.---\left(47\right)$

式中，P_t表示工序k加工质量特性波动的测量值或者预测值；μ_t表示工序k质量特性波动的真实值，为不可观测的状态值；w_t表示工序k制造系统的状态噪声项，W_t表示其方差；v_t表示工序k测量噪声项，V_t表示其方差；D₀表示t＝0时刻关于工序质量的初始信息集合；m₀表示在D₀条件下对工序质量的均值的一个估计值；C₀表示关于均值m₀的方差，是对m₀一种不确定性的度量；并且认为，对所有的t和s，当t≠s时，v_t和v_s、w_t和w_s以及v_t和w_s都相互独立；

则多种误差源影响下的耦合误差表示为：

ΔP＝ΔP^I+ΔP^II

$={\left(H_{\mathrm{ps}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{fso}}^O\right)}^{-1}{\left(H_{\mathrm{Wso}}^O\right)}^{-1}{[{\mathrm{\&Delta;}}_T^O-{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{Ws}}^O]}_{6*1}\left(H_{\mathrm{Wo}}^O\right)\left(H_{\mathrm{fo}}^O\right)\left(H_p^O\right)+R_T^{\mathrm{Ps}}\frac{F}{K}---\left(48\right)$

式中：

$R_T^{\mathrm{Ps}}={\left[\begin{array}{cc}{\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T& -{\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T\&CenterDot;r\&times;_{\mathrm{Gs}}^O\\ 0_{3*3}& {\left(R_0^{\mathrm{ps}}{}_O\right)}^T\end{array}\right]}_{6*6};$

则得到扩展SoV误差耦合模型式(47)中的系数：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_{k-1}={\mathrm{\&Lambda;}}_p{U_{\mathrm{Gi}}}^{+}D\\ B_k^{f_k}=-{\mathrm{\&Lambda;}}_p{U_{\mathrm{Gi}}}^{+}N\\ B_k^{t_k}=\left[\begin{array}{cc}{R}_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O& -R_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O(R_{\mathrm{ws}}^O{r}_{\mathrm{ws}}^O\&times;+r_{\mathrm{fs}}^O\&times;)R_{\mathrm{ws}}^O-R_{\mathrm{ps}}^O{r}_{\mathrm{ps}}^O\&times;R_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O\\ 0_{3*3}& R_{\mathrm{ps}}^O{R}_{\mathrm{fs}}^O{R}_{\mathrm{ws}}^O\end{array}\right]---\left(49\right)\\ B_k^{j_k}=R_T^O\end{array}\right.$

式中，

表示的是测量系统的坐标转换，为了简化计算，本实施例取其为单位矩阵；从而求解出了扩展SoV模型；

为了描述KPCs和KCCs之间的关系，将式(47)的状态方程带入到测量等式中，得到如下显式表达式，即为误差的预测模型：

$p_k^{d_k}=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{B}_i^{d_i}{u}_i^{d_i}+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{B}_i^{l_i}{u}_i^{l_i}+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{B}_i^{t_i}{u}_i^{t_i}$

$+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{B}_i^{j_i}{u}_i^{j_i}+E_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,0}^{(\&CenterDot;)}+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{E}_k^{d_k}{\mathrm{\&phi;}}_{k,i}^{(\&CenterDot;)}{w}_i+v_k---\left(50\right)$

式中，是追踪基准误差、夹具几何误差、刀具位姿误差以及切削力误差的状态转移矩阵，i＝1，...k-1，并且

(i＜k)，

初始状态向量μ₀表示的是一个零件的KQCs在进入第一道工序加工前的初始偏差。

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