CN103424537A - 检测饱和黏弹性土中圆柱形隧洞振动特性的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及检测饱和黏弹性土中圆柱形隧洞振动特性的方法，包括以下步骤：(1)建立饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型：设定衬砌和土体紧密接触，不产生相对滑移，建立饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型：(2)衬砌运动：将衬砌视为具有分数阶导数本构关系的均匀黏弹性体，在轴对称情形下，利用分数阶导数模型建立衬砌的应力和位移本构关系式；(3)边界条件：根据饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型及衬砌的应力和位移本构关系式，得到饱和黏弹性土和分数导数黏弹性衬砌耦合稳态振动时的具体解答。与现有技术相比，本发明具有计算量小、抑制干扰能力强、调节稳定、调节精度高等优点。

Description

检测饱和黏弹性土中圆柱形隧洞振动特性的方法

技术领域

本发明涉及一种检测饱和黏弹性土中圆柱形隧洞振动特性的方法。

背景技术

地下隧洞的动力学行为分析在交通、水利、石油、水电和通信等工程领域得到广泛运用。众多学者对此进行了深入研究。有研究人员推导了爆轰荷载作用下具有球形空腔的均匀各向同性、线弹性无限介质动力响应，借助Laplace变换法获得了问题的参数解。有的采用修正后的Biot模型，利用积分变换法得到了具有圆柱形孔洞的饱和土体瞬态响应，并以瞬加荷载、阶梯荷载和脉冲荷载为例，比较分析了饱和土和理想土体的差异。有的推导了任意荷载作用下具有圆形隧道的饱和土瞬态响应，并以脉冲荷载为例，讨论了饱和土的参数对动力响应的影响。有的考虑轴向位移的影响，借助傅立叶变换法得到了具有三维无限隧道的饱和土动力响应，同时考察了响应幅值随轴向坐标的变化。高盟等^[5]考虑饱和土和弹性衬砌相互作用，推导了突加荷载作用下具有圆形隧道的饱和土瞬态响应，并分析了饱和土和衬砌各参数对衬砌结构动力响应的影响。有的研究了轴对称荷载和流体压力作用下具有柔性衬砌的半封闭圆形隧洞饱和黏弹性动力响应，并讨论了半封闭特性和阻尼系数对响应幅值的影响。在此基础上，有研究人员将衬砌视为薄壁壳体结构，借助Laplace变换法得到了饱和黏弹性土和隧洞衬砌耦合振动时的动力响应解答。研究了具有多孔柔性或刚性衬砌的深埋隧道的饱和弹性土动力响应，讨论衬砌和土体界面处渗透系数和应力系数对动力响应的影响。

需指出的是，上述研究都忽略了混凝土衬砌材料的黏性。以往的经典Kelvin、Maxwell等黏弹性本构模型在描述材料蠕变性质时存在一定缺陷。

发明内容

本发明的目的是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种控制效果好、适用范围广的检测饱和黏弹性土中圆柱形隧洞振动特性的方法。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

检测饱和黏弹性土中圆柱形隧洞振动特性的方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)建立饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型：设定衬砌和土体紧密接触，不产生相对滑移，衬砌的内外径分别为R₁和R₂，其厚度为d＝R₂-R₁；衬砌和土颗粒的泊松比分别为v^L和v^S；衬砌的剪切模量和材料密度为G^L和ρ^L；土骨架和孔隙水的表观密度分别为ρ^S和ρ^F；土骨架的黏性用复模量表示为G^S(1+2ξ^Si)，G^S为土体的剪切模量，ξ^S为阻尼比，衬砌内边界(r＝R₁)作用一个圆频率为ω的径向均布内水压力q^Fe^iωr(i²＝-1)，q^F为单位面积衬砌上所受的水压力大小，单位为“帕”；衬砌和土体界面处(r＝R₂)的水头为P₂；衬砌内边界(r＝R₁)的水头为P₁；设定衬砌和土体接触面(r＝R₂)无积水，且忽略衬砌中孔隙水的影响，建立饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型；

(2)衬砌运动：将衬砌视为具有分数阶导数本构关系的均匀黏弹性体，在轴对称情形下，利用分数阶导数模型建立衬砌的应力和位移本构关系式；

(3)边界条件：根据饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型及衬砌的应力和位移本构关系式，得到饱和黏弹性土和分数导数黏弹性衬砌耦合稳态振动时的具体解答。

所述的建立饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型具体为：

采用Bowen提出的饱和多孔介质理论，土体在内水压力作用下的动力方程为：

$\left\{\begin{array}{c}({\mathrm{\λ}}^S+2{\mathrm{\μ}}^S)\frac{\∂}{\∂r}\left[\frac{1}{r}\frac{\∂}{\∂r}\left(r{u}_r^S\right)\right]-\frac{\∂p}{\∂r}-\\ {\mathrm{\ρ}}^S\frac{{\∂}^2{u}_r^S}{{\∂t}^2}-{\mathrm{\ρ}}^F\frac{{\∂}^2{u}_r^F}{{\∂t}^2}=0,\\ n^F\frac{\∂p}{\∂r}+{\mathrm{\ρ}}^F\frac{{\∂}^2{u}_r^F}{{\∂t}^2}+S_v(\frac{{\∂u}_r^F}{\∂t}-\frac{{\∂u}_r^S}{\∂t})=0,\\ \frac{1}{r}\frac{\∂}{\∂r}\left[r(n^S\frac{\∂u_r^S}{\∂t}+n^F\frac{{\∂u}_r^F}{\∂t})\right]=0.\end{array}\right.---(1-1)$

式中，n^S，n^F为土颗粒和孔隙流体的体积分数；λ^s＝2v^sμ^s/(1-2v^s)和μ^s＝G^s(1+2ξ^si)为饱和黏弹性土的表观复拉梅常数；

分别为土骨架和孔隙流体的径向位移；p为孔隙水压力；S_v为液固相互作用系数；

对于稳态振动，记

$u_r^S=R_2{U}_{\mathrm{\η}}^S{e}^{\mathrm{i\ωt}},u_r^F=R_2{U}_{\mathrm{\η}}^F{e}^{\mathrm{i\ωt}},p=G^{S}P{e}^{\mathrm{i\ωt}}---(1-2)$

其中，

P分别为无量纲位移和孔压；

为了求解土体动力方程式(1-1)，引入无量纲量和常数

$\mathrm{\η}=\frac{r}{R_2},\mathrm{\λ}=\frac{R_2\mathrm{\ω}}{V^S},{\stackrel{\‾}{S}}_v=\frac{R_2{S}_v}{V^S{\mathrm{\ρ}}^S},{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}=\frac{{\mathrm{\ρ}}^F}{{\mathrm{\ρ}}^S},$

${\mathrm{\η}}_0=1-\mathrm{\β},\mathrm{\β}=\frac{d}{R_2},V^S=\sqrt{\frac{G^S}{{\mathrm{\ρ}}^S}},Q=\frac{q^F}{G^L}---(1-3)$

其中，η，λ分别为无量纲半径和频率；V^S为剪切波速；

则控制方程(4-1)可化为

$\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left[\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left(\mathrm{\η}{U}_{\mathrm{\η}}^S\right)\right]+\frac{1-2v^S}{2(1-v^S)(1+2{\mathrm{\ξ}}^{S}i)}\×$

$(-\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{d\η}}+{\mathrm{\λ}}^2{U}_{\mathrm{\η}}^S+{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}{U}_{\mathrm{\η}}^S)=0---(1-4)$

$\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{d\η}}-\frac{{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}}{n^F}{U}_{\mathrm{\η}}^F+\frac{{\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}}{n^F}(U_{\mathrm{\η}}^F-U_{\mathrm{\η}}^S)=0---(1-5)$

$\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left[\mathrm{\η}(n^S{U}_{\mathrm{\η}}^S+n^F{U}_{\mathrm{\η}}^F)\right]=0---(1-6)$

将式(1-5)代入式(1-4)，可得

$\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left[\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left(\mathrm{\η}{U}_{\mathrm{\η}}^S\right)\right]-D_1{U}_{\mathrm{\η}}^S+D_2{U}_{\mathrm{\η}}^F=0---(1-7)$

式中， $\left.\begin{array}{c}{D}_1=\frac{(1-2v^S)({\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}-n^F{\mathrm{\λ}}^2)}{2(1-v^S)n^F(1+2{\mathrm{\ξ}}^{S}i)}\\ D_2=\frac{(1-2v^S)({\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}-n^S{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}})}{2(1-v^S)n^F(1+2{\mathrm{\ξ}}^{S}i)}\end{array}\right\}---(1-8)$

利用式(1-6)代入式(1-7)，整理可得

$\frac{d^2{U}_{\mathrm{\η}}^S}{d{\mathrm{\η}}^2}+\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{d{U}_{\mathrm{\η}}^S}{\mathrm{d\η}}-\frac{U_{\mathrm{\η}}^S}{{\mathrm{\η}}^2}-h^2{U}_{\mathrm{\η}}^S+\frac{D_2{C}_1}{n^F\mathrm{\η}}=0---(1-9)$

式中，h²＝D₁+n^SD₂/n^F；利用无穷远处位移为零和贝塞尔函数渐近性质，非齐次方程式(1-9)的解为

$U_{\mathrm{\η}}^S=\frac{C_1{D}_2}{n^F{h}^2\mathrm{\η}}+C_2{K}_1\left(\mathrm{h\η}\right)---(1-10)$

式中，K₁(K)为1阶第二类虚宗量贝塞尔函数

结合式(1-6)和式(1-10)，式(1-5)有

$P=D_3{C}_1\ln \mathrm{\η}-\frac{D_4{C}_2}{h}{K}_0\left(\mathrm{h\η}\right)+C_3---(1-11)$

式中，C₁，C₂，C₃是待定系数，可由边界条件求得；由式(1-11)可见，ln η是发散函数，选取大数K，使得P＝0(η＝K)，满足在η→∞时，孔隙水压力P→0，从而

$C_3=-D_3{C}_1\ln K+\frac{D_4{C}_2}{h}{K}_0\left(\mathrm{hK}\right)\≈-D_3{C}_1\ln K---(1-12)$

于是， $P=D_3{C}_1\ln \frac{\mathrm{\η}}{K}-\frac{D_4{C}_2}{h}{K}_0\left(\mathrm{h\η}\right)---(1-13)$

式中，

$\left.\begin{array}{c}{D}_3=\frac{D_2{\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}}{h^2{\left(n^F\right)}^2}+\frac{{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}-\mathrm{\λ}{\stackrel{\‾}{S}}_{v}i}{{\left(n^F\right)}^2}(1-\frac{n^S{D}_2}{n^F{h}^2})\\ D_4=\frac{{\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}}{n^F}-\frac{n^S({\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}-\mathrm{\λ}{\stackrel{\‾}{S}}_{v}i)}{{\left(n^F\right)}^2}\end{array}\right\}---(1-14)$

当大数K＝60时，随着参数K的增加，位移幅值|U|和孔压幅值|P|趋于某一极限状态，对系统幅值无任何影响；

根据土骨架的黏弹性本构关系，得到土骨架径向有效应力为

式中，

根据有效应力原理，土体的总应力为

式中，

所述的衬砌运动具体为：

极坐标下衬砌的动力方程为

$\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_r^L}{\∂r}+\frac{{\mathrm{\σ}}_r^L-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}^L}{r}={\mathrm{\ρ}}^L\frac{{\∂}^2{u}_r^L}{{\∂t}^2}---(1-19)$

其中，

分别为衬砌的径向和环向应力；

为衬砌的径向位移；

利用分数阶导数模型描述衬砌的应力和位移本构关系

$\left.\begin{array}{c}(1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ϵ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}}){\mathrm{\σ}}_r^L=(1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}})\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}^L(\frac{\∂u_r^L}{\∂r}+\frac{u_r^L}{r})+\\ 2G^L\frac{\∂u_r^L}{\∂r}\end{array}\right]\\ (1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ϵ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}}){\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}^L=(1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}})\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}^L(\frac{\∂u_r^L}{\∂r}+\frac{u_r^L}{r})+\\ 2G^L\frac{u_r^L}{r}\end{array}\right]\end{array}\right\}---(1-20)$

式中，λ^L，G^L，

为衬砌材料参数，λ^L＝2v^LG^L/(1-2v^L)，且0＜α＜1，D^α＝d^α/dt^α为α阶Riemann-Liouville分数阶导数，可定义为

$D^{\mathrm{\α}}\left[x\left(t\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}\frac{d}{\mathrm{dt}}{\∫}_0^t\frac{x\left(\mathrm{\τ}\right)}{{(t-\mathrm{\τ})}^{\mathrm{\α}}}\mathrm{d\τ}---(1-21)$

其中，

为Gamma函数；

从式(1-20)看出，只是在分数导数算子描述的粘弹性衬砌运动控制方程两边分别多了

和项；当α＝1时衬砌动力方程(1-19)可以退化为经典黏弹性衬砌；当τ_σ＝τ_ε＝0或α＝0时可以退化为经典弹性衬砌；

对于系统作稳态振动，设

并将本构关系式(1-20)代入动力方程式(1-19)，得

$\frac{d^2{U}_{\mathrm{\η}}^L}{{\mathrm{d\η}}^2}+\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{d{U}_{\mathrm{\η}}^L}{\mathrm{d\η}}-\frac{U_{\mathrm{\η}}^L}{\mathrm{\η}}-q^2{U}_{\mathrm{\η}}^L=0---(1-22)$

式中， $\left.\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{\σ}}=\frac{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\σ}}{V}^S}{R_2},T_{\mathrm{\ϵ}}=\frac{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ϵ}}{V}^S}{R_2},{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{LS}}=\frac{{\mathrm{\ρ}}^L}{{\mathrm{\ρ}}^S},G^{\mathrm{SL}}=\frac{G^S}{G^L}\\ q^2=-\frac{1+T_{\mathrm{\ϵ}}^{\mathrm{\α}}{\left(\mathrm{i\λ}\right)}^{\mathrm{\α}}}{1+T_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{\left(\mathrm{i\λ}\right)}^{\mathrm{\α}}}\frac{{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{LS}}{\mathrm{\λ}}^2(1-{2v}^L)G^{\mathrm{SL}}}{2(1-v^L)}\end{array}\right\}---(1-23)$

于是，由控制方程式(1-22)，解得

$U_{\mathrm{\η}}^L=C_5{I}_1\left(\mathrm{q\η}\right)+C_6{K}_1\left(\mathrm{q\η}\right)---(1-24)$

其中，I₁(x)为1阶第一类虚宗量贝塞尔函数；C₅，C₆为待定系数；

由式(1-20)，可得衬砌的径向应力为

式中，

所述的边界条件具体为：

采用电模拟试验分析圆形隧洞的轴对称渗流场分布及渗透动水压力分布特性，提出当衬砌和土体的渗透系数比无穷小时衬砌消耗了全部水头，而当其比值无穷大时衬砌内没有水头损失；但是，混凝土衬砌材料的渗透系数并非无穷小或无穷大；绝大部分隧洞边界不单单是不透水或者透水，而是处于部分透水，即半封闭状态；由于衬砌和土体都为多孔黏弹性介质，则衬砌和孔隙水共同承担了衬砌内边界的内水压力值；由此，定义与孔隙流体体积分数有关的应力系数δ，其中，δ＝1-η_c；η_c为孔隙流体压力作用面积系数，可近似为η_c＝(n^F)^2/3，混凝土材料和碎裂岩石η_c分别为

和η_c≈1。因此，可知衬砌承担的内水压力值为δq^Fe^iωt孔隙水承担的内水压力值为(1-δ)q^Fe^iωt结合本文模型，衬砌内边界(r＝R₁)的应力协调条件

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_r^L={\mathrm{\δq}}^F{e}^{\mathrm{i\ωt}}& r=R_1\end{array}---(1-27)$

式中，当δ→0时，衬砌内边界上的内水压力全部由孔隙水承担，隧洞边界初始应力为零。当δ→1时，衬砌内边界上的内水压力全部由衬砌承担；

假设衬砌不产生变形，利用Darcy渗透定律可得单位长度衬砌中的流量

$q_1=\frac{k^L(P_2-P_1)}{{\mathrm{\γ}}_w{R}_2\ln (R_2/R_1)}(1-28)$

式中，q₁为流量；k^L为动力渗透系数；γ_W为流体重度；

利用衬砌和土体界面处连续性条件，可得

$q_1=\frac{k^F}{{\mathrm{\γ}}_w}\frac{\∂p}{\∂r}---(1-29)$

式中，k^F为Darcy渗透系数；

因此，衬砌外边界的水头P₂＝p，而内边界水头结合式(1-28)和式(1-29)可得：

$\frac{\∂p}{\∂r}=\frac{\mathrm{\κ}}{R_2}[p-(1-\mathrm{\δ})q^F{e}^{\mathrm{i\ωt}}]---(1-30)$

式中，κ＝k^L/k^F(ln R₂-ln R₁)由衬砌和土体相对渗透系数和衬砌的几何尺寸决定；当k^L＜＜k^F时，κ→0，边界不渗透，衬砌处于封闭状态；当k^L＞＞k^F时，κ→∞，边界为自由渗透，衬砌为不封闭状态；

另外，由于衬砌和土体紧密接触(r＝R₂)，则衬砌和土体界面处应力和位移协调条件

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_r^L={\mathrm{\σ}}_r^{\mathrm{ST}}& r=R_2---(1-31)\end{array}$

$\begin{array}{cc}{u}_r^L=u_r^S& r=R_2\end{array}---(1-32)$

至此，利用边界条件式(1-27)和式(1-30)-(1-32)代入式(1-10)、式(1-13)和式(1-17)以及式(1-24)、(1-25)可得到待定系数C₁，C₂，C₅，C₆的具体表达式；由此，可得饱和黏弹性土和分数导数黏弹性衬砌耦合稳态振动时的具体解答。

与现有技术相比，本发明基于饱和多孔介质理论，采用分数导数模型描述了衬砌的应力和应变本构关系，在频率域内研究了内水压力作用下饱和黏弹性土和隧洞分数导数型黏弹性衬砌系统动力相互作用，考察相关物性和几何参数对系统动力响应的影响，通过引入应力系数及衬砌和土体的相对渗透系数来检测内水压力作用下饱和黏弹性土和分数导数型黏弹性衬砌系统的振动特性。具有计算量小、抑制干扰能力强、调节稳定、调节精度高等优点。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明进行详细说明。

实施例

检测饱和黏弹性土中圆柱形隧洞振动特性的方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)建立饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型：设定衬砌和土体紧密接触，不产生相对滑移，衬砌的内外径分别为R₁和R₂，其厚度为d＝R₂-R₁；衬砌和土颗粒的泊松比分别为v^L和v^S；衬砌的剪切模量和材料密度为G^L和ρ^L；土骨架和孔隙水的表观密度分别为ρ^S和ρ^F；土骨架的黏性用复模量表示为G^S(1+2ξ^Si)，G^S为土体的剪切模量，ξ^S为阻尼比，衬砌内边界(r＝R₁)作用一个圆频率为ω的径向均布内水压力q^Fe^iωt(i²＝-1)，q^F为单位面积衬砌上所受的水压力大小，单位为“帕”；衬砌和土体界面处(r＝R₂)的水头为P₂；衬砌内边界(r＝R₁)的水头为P₁；设定衬砌和土体接触面(r＝R₂)无积水，且忽略衬砌中孔隙水的影响，建立饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型；

所述的建立饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型具体为：

采用Bowen提出的饱和多孔介质理论，土体在内水压力作用下的动力方程为：

$\left\{\begin{array}{c}({\mathrm{\λ}}^S+2{\mathrm{\μ}}^S)\frac{\∂}{\∂r}\left[\frac{1}{r}\frac{\∂}{\∂r}\left({\mathrm{ru}}_r^S\right)\right]-\frac{\∂p}{\∂r}-\\ {\mathrm{\ρ}}^S\frac{{\∂}^2{u}_r^S}{{\∂t}^2}-{\mathrm{\ρ}}^F\frac{{\∂}^2{u}_r^F}{{\∂t}^2}=0,\\ n^F\frac{\∂p}{\∂r}+{\mathrm{\ρ}}^F\frac{{\∂}^2{u}_r^F}{\∂t^2}+S_v(\frac{{\∂u}_r^F}{\∂t}-\frac{\∂u_r^S}{\∂t})=0,\\ \frac{1}{r}\frac{\∂}{\∂r}\left[r(n^S\frac{\∂u_r^S}{\∂t}+n^F\frac{{\∂u}_r^F}{\∂t})\right]=0.\end{array}\right.---(1-1)$

式中，n^S，n^F为土颗粒和孔隙流体的体积分数；λ^s＝2v^sμ^s/(1-2v^s)和μ^s＝G^s(1+2ξ^si)为饱和黏弹性土的表观复拉梅常数；

分别为土骨架和孔隙流体的径向位移；p为孔隙水压力；S_v为液固相互作用系数；

对于稳态振动，记

$u_r^S=R_2{U}_{\mathrm{\η}}^S{e}^{\mathrm{i\ωt}},u_r^F=R_2{U}_{\mathrm{\η}}^F{e}^{\mathrm{i\ωt}},p=G^S{\mathrm{Pe}}^{\mathrm{i\ωt}}---(1-2)$

其中，

，P分别为无量纲位移和孔压；

为了求解土体动力方程式(1-1)，引入无量纲量和常数

$\mathrm{\η}=\frac{r}{R_2},\mathrm{\λ}=\frac{R_2\mathrm{\ω}}{V^S},{\stackrel{\‾}{S}}_v=\frac{R_2{S}_v}{V^S{\mathrm{\ρ}}^S},{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}=\frac{{\mathrm{\ρ}}^F}{{\mathrm{\ρ}}^S},$

${\mathrm{\η}}_0=1-\mathrm{\β},\mathrm{\β}=\frac{d}{R_2},V^S=\sqrt{\frac{G^S}{{\mathrm{\ρ}}^S}},Q=\frac{q^F}{G^L}---(1-3)$

其中，η，λ分别为无量纲半径和频率；V^S为剪切波速；

则控制方程(4-1)可化为

$\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left[\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left({\mathrm{\ηU}}_{\mathrm{\η}}^S\right)\right]+\frac{1-2v^S}{2(1-v^S)(1+2{\mathrm{\ξ}}^{S}i)}\×$

$(-\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{d\η}}+{\mathrm{\λ}}^2{U}_{\mathrm{\η}}^S+{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}{U}_{\mathrm{\η}}^S)=0---(1-4)$

$\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{d\η}}-\frac{{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}}{n^F}{U}_{\mathrm{\η}}^F+\frac{{\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}}{n^F}(U_{\mathrm{\η}}^F-U_{\mathrm{\η}}^S)=0---(1-5)$

$\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left[\mathrm{\η}(n^S{U}_{\mathrm{\η}}^S+n^F{U}_{\mathrm{\η}}^F)\right]=0---(1-6)$

将式(1-5)代入式(1-4)，可得

$\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left[\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left(\mathrm{\η}{U}_{\mathrm{\η}}^S\right)\right]-D_1{U}_{\mathrm{\η}}^S+D_2{U}_{\mathrm{\η}}^F=0---(1-7)$

式中， $\left.\begin{array}{c}{D}_1=\frac{(1-2v^S)({\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}-n^F{\mathrm{\λ}}^2)}{2(1-v^S)n^F(1+2{\mathrm{\ξ}}^{S}i)}\\ D_2=\frac{(1-2v^S)({\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}-n^S{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}})}{2(1-v^S)n^F(1+2{\mathrm{\ξ}}^{S}i)}\end{array}\right\}---(1-8)$

利用式(1-6)代入式(1-7)，整理可得

$\frac{d^2{U}_{\mathrm{\η}}^S}{d{\mathrm{\η}}^2}+\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{d{U}_{\mathrm{\η}}^S}{\mathrm{d\η}}-\frac{U_{\mathrm{\η}}^S}{{\mathrm{\η}}^2}-h^2{U}_{\mathrm{\η}}^S+\frac{D_2{C}_1}{n^F\mathrm{\η}}=0---(1-9)$

式中，h²＝D₁+n^SD₂/n^F；利用无穷远处位移为零和贝塞尔函数渐近性质，非齐次方程式(1-9)的解为

$U_{\mathrm{\η}}^S=\frac{C_1{D}_2}{n^F{h}^2\mathrm{\η}}+C_2{K}_1\left(\mathrm{h\η}\right)---(1-10)$

式中，K₁(x)为1阶第二类虚宗量贝塞尔函数

结合式(1-6)和式(1-10)，式(1-5)有

$P=D_3{C}_1\ln \mathrm{\η}-\frac{D_4{C}_2}{h}{K}_0\left(\mathrm{h\η}\right)+C_3---(1-11)$

式中，C₁，C₂，C₃是待定系数，可由边界条件求得；由式(1-11)可见，ln η是发散函数，选取大数K，使得P＝0(η＝K)，满足在η→∞时，孔隙水压力P→0，从而

$C_3=-D_3{C}_1\ln K+\frac{D_4{C}_2}{h}{K}_0\left(\mathrm{hK}\right)\≈-D_3{C}_1\ln K---(1-12)$

于是， $P=D_3{C}_1\ln \frac{\mathrm{\η}}{K}-\frac{D_4{C}_2}{h}{K}_0\left(\mathrm{h\η}\right)---(1-13)$

式中，

$\left.\begin{array}{c}{D}_3=\frac{D_2{\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}}{h^2{\left(n^F\right)}^2}+\frac{{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}-\mathrm{\λ}{\stackrel{\‾}{S}}_{v}i}{{\left(n^F\right)}^2}(1-\frac{n^S{D}_2}{n^F{h}^2})\\ D_4=\frac{{\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}}{n^F}-\frac{n^S({\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}-\mathrm{\λ}{\stackrel{\‾}{S}}_{v}i)}{{\left(n^F\right)}^2}\end{array}\right\}---(1-14)$

当大数K＝60时，随着参数K的增加，位移幅值|U|和孔压幅值|P|趋于某一极限状态，对系统幅值无任何影响；

根据土骨架的黏弹性本构关系，得到土骨架径向有效应力为

式中，

根据有效应力原理，土体的总应力为

式中，

。

(2)衬砌运动：将衬砌视为具有分数阶导数本构关系的均匀黏弹性体，在轴对称情形下，利用分数阶导数模型建立衬砌的应力和位移本构关系式；

极坐标下衬砌的动力方程为

$\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_r^L}{\∂r}+\frac{{\mathrm{\σ}}_r^L-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}^L}{r}={\mathrm{\ρ}}^L\frac{{\∂}^2{u}_r^L}{\∂t^2}---(1-19)$

其中，

分别为衬砌的径向和环向应力；

为衬砌的径向位移；

利用分数阶导数模型描述衬砌的应力和位移本构关系

$\left.\begin{array}{c}(1+{\mathrm{\τ}}_{\text{\ϵ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}}){\mathrm{\σ}}_r^L=(1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}})\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}^L(\frac{{\∂u}_r^L}{\∂r}+\frac{u_r^L}{r}+)\\ 2G^L\frac{{\∂u}_r^L}{\∂r}\end{array}\right]\\ (1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ϵ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}}){\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}^L=(1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}})\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}^L(\frac{{\∂u}_r^L}{\∂r}+\frac{u_r^L}{r})+\\ {2G}^L\frac{u_r^L}{r}\end{array}\right]\end{array}\right\}---(1-20)$

式中，λ^L，G^L，

为衬砌材料参数，λ^L＝2v^LG^L/(1-2v^L)，且0＜α＜1，D^α＝d^α/dt^α为α阶Riemann-Liouville分数阶导数，可定义为

$D^{\mathrm{\α}}\left[x\left(t\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}\frac{d}{\mathrm{dt}}{\∫}_0^t\frac{x\left(\mathrm{\τ}\right)}{{(t-\mathrm{\τ})}^{\mathrm{\α}}}\mathrm{d\τ}---(1-21)$

其中，

为Gamma函数；

从式(1-20)看出，只是在分数导数算子描述的粘弹性衬砌运动控制方程两边分别多了和

项；当α＝1时衬砌动力方程(1-19)可以退化为经典黏弹性衬砌；当τ_σ＝τ_ε＝0或α＝0时可以退化为经典弹性衬砌；

对于系统作稳态振动，设

并将本构关系式(1-20)代入动力方程式(1-19)，得

$\frac{d^2{U}_{\mathrm{\η}}^L}{{\mathrm{d\η}}^2}+\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{{\mathrm{dU}}_{\mathrm{\η}}^L}{\mathrm{d\η}}-\frac{U_{\mathrm{\η}}^L}{\mathrm{\η}}-q^2{U}_{\mathrm{\η}}^L=0---(1-22)$

式中， $\left.\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{\σ}}=\frac{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\σ}}{V}^S}{R_2},T_{\mathrm{\ϵ}}=\frac{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ϵ}}{V}^S}{R_2},{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{LS}}=\frac{{\mathrm{\ρ}}^L}{{\mathrm{\ρ}}^S},G^{\mathrm{SL}}=\frac{G^S}{G^L}\\ q^2=-\frac{1+T_{\mathrm{\ϵ}}^{\mathrm{\α}}{\left(\mathrm{i\λ}\right)}^{\mathrm{\α}}}{1+T_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{\left(\mathrm{i\λ}\right)}^{\mathrm{\α}}}\frac{{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{LS}}{\mathrm{\λ}}^2(1-{2v}^L)G^{\mathrm{SL}}}{2(1-v^L)}\end{array}\right\}---(1-23)$

于是，由控制方程式(1-22)，解得

$U_{\mathrm{\η}}^L=C_5{I}_1\left(\mathrm{q\η}\right)+C_6{K}_1\left(\mathrm{q\η}\right)---(1-24)$

其中，I₁(x)为1阶第一类虚宗量贝塞尔函数；C₅，C₆为待定系数；

由式(1-20)，可得衬砌的径向应力为

式中，

(3)边界条件：根据饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型及衬砌的应力和位移本构关系式，得到饱和黏弹性土和分数导数黏弹性衬砌耦合稳态振动时的具体解答。

采用电模拟试验分析圆形隧洞的轴对称渗流场分布及渗透动水压力分布特性，提出当衬砌和土体的渗透系数比无穷小时衬砌消耗了全部水头，而当其比值无穷大时衬砌内没有水头损失；但是，混凝土衬砌材料的渗透系数并非无穷小或无穷大；绝大部分隧洞边界不单单是不透水或者透水，而是处于部分透水，即半封闭状态；由于衬砌和土体都为多孔黏弹性介质，则衬砌和孔隙水共同承担了衬砌内边界的内水压力值；由此，定义与孔隙流体体积分数有关的应力系数δ，其中，δ＝1-η_c；η_c为孔隙流体压力作用面积系数，可近似为η_c＝(n^F)^2/3，混凝土材料和碎裂岩石η_c分别为和η_c≈1。因此，可知衬砌承担的内水压力值为δq^Fe^iωt；孔隙水承担的内水压力值为(1-δ)q^Fe^iωt；结合本文模型，衬砌内边界(r＝R₁)的应力协调条件

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_r^L={\mathrm{\δq}}^F{e}^{\mathrm{i\ωt}}& r=R_1\end{array}---(1-27)$

式中，当δ→0时，衬砌内边界上的内水压力全部由孔隙水承担，隧洞边界初始应力为零。当δ→1时，衬砌内边界上的内水压力全部由衬砌承担；

假设衬砌不产生变形，利用Darcy渗透定律可得单位长度衬砌中的流量

$q_l=\frac{k^L(P_2-P_1)}{{\mathrm{\γ}}_w{R}_2\ln (R_2/R_1)}---(1-28)$

式中，q_l为流量；k^L为动力渗透系数；γ_w为流体重度；

利用衬砌和土体界面处连续性条件，可得

$q_l=\frac{k^F}{{\mathrm{\γ}}_w}\frac{\∂p}{\∂r}---(1-29)$

式中，k^F为Darcy渗透系数；

因此，衬砌外边界的水头P₂＝p，而内边界水头P₁＝(1-δ)q^Fe^iωt；结合式(1-28)和式(1-29)可得：

$\frac{\∂p}{\∂r}=\frac{\mathrm{\κ}}{R_2}[p-(1-\mathrm{\δ})q^F{e}^{\mathrm{i\ωt}}]---(1-30)$

式中，κ＝k^L/k^F(ln R₂-lnR₁)由衬砌和土体相对渗透系数和衬砌的几何尺寸决定；当k^L＜＜k^F时，κ→0，边界不渗透，衬砌处于封闭状态；当k^L＞＞k^F时，κ→∞，边界为自由渗透，衬砌为不封闭状态；

另外，由于衬砌和土体紧密接触(r＝R₂)，则衬砌和土体界面处应力和位移协调条件

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_r^L={\mathrm{\σ}}_r^{\mathrm{ST}}& r=R_2---(1-31)\end{array}$

$\begin{array}{cc}{u}_r^L=u_r^S& r=R_2---(1-32)\end{array}$

至此，利用边界条件式(1-27)和式(1-30)-(1-32)代入式(1-10)、式(1-13)和式(1-17)以及式(1-24)、(1-25)可得到待定系数C₁，C₂，C₅，C₆的具体表达式；由此，可得饱和黏弹性土和分数导数黏弹性衬砌耦合稳态振动时的具体解答。

Claims (4)

1.检测饱和黏弹性土中圆柱形隧洞振动特性的方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)建立饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型：设定衬砌和土体紧密接触，不产生相对滑移，衬砌的内外径分别为R₁和R₂，其厚度为d＝R₂-R₁；衬砌和土颗粒的泊松比分别为v^L和v^S；衬砌的剪切模量和材料密度为G^L和ρ^L；土骨架和孔隙水的表观密度分别为ρ^S和ρ^F；土骨架的黏性用复模量表示为G^S(1+2ξ^Si)，G^S为土体的剪切模量，ξ^S为阻尼比，衬砌内边界(r＝R₁)作用一个圆频率为ω的径向均布内水压力q^Fe^iωt(i²＝-1)，q^F为单位面积衬砌上所受的水压力大小，单位为“帕”；衬砌和土体界面处(r＝R₂）的水头为P₂；衬砌内边界(r＝R₁)的水头为P₁；设定衬砌和土体接触面(r＝R₂)无积水，且忽略衬砌中孔隙水的影响，建立饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型；

(2)衬砌运动：将衬砌视为具有分数阶导数本构关系的均匀黏弹性体，在轴对称情形下，利用分数阶导数模型建立衬砌的应力和位移本构关系式；

(3)边界条件：根据饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型及衬砌的应力和位移本构关系式，得到饱和黏弹性土和分数导数黏弹性衬砌耦合稳态振动时的具体解答。

2.根据权利要求1所述的一种检测饱和黏弹性土中圆柱形隧洞振动特性的方法，其特征在于，所述的建立饱和黏弹性与圆柱形隧洞衬砌相互作用模型具体为：

采用Bowen提出的饱和多孔介质理论，土体在内水压力作用下的动力方程为：

$\left\{\begin{array}{c}({\mathrm{\λ}}^S+{2\mathrm{\μ}}^S)\frac{\∂}{\∂r}\left[\frac{1}{r}\frac{\∂}{\∂r}\left({\mathrm{ru}}_r^S\right)\right]-\frac{\∂p}{\∂r}-\\ {\mathrm{\ρ}}^S\frac{{\∂}^2{u}_r^S}{{\∂t}^2}-{\mathrm{\ρ}}^F\frac{{\∂}^2{u_r^F}^{}}{{\∂t}^2}=0,\\ n^F\frac{\∂p}{\∂r}+{\mathrm{\ρ}}^F\frac{{\∂}^2{u}_r^F}{{\∂t}^2}+S_v(\frac{{\∂u}_r^F}{\∂t}-\frac{{\∂u}_r^S}{\∂t})=0,\\ \frac{1}{r}\frac{\∂}{\∂r}\left[r(n^S\frac{{\∂u}_r^S}{\∂t}+n^F\frac{{\∂u}_r^F}{\∂t})\right]=0.\end{array}\right.---(1-1)$

式中，n^S，n^F为土颗粒和孔隙流体的体积分数；λ^s＝2v^sμ^s/(1-2v^s)和μ^s＝G^s(1+2ξ^si)为饱和黏弹性土的表观复拉梅常数；

分别为土骨架和孔隙流体的径向位移；p为孔隙水压力；S_v为液固相互作用系数；

对于稳态振动，记

$u_r^S=R_2{U}_{\mathrm{\η}}^S{e}^{\mathrm{i\ωt}},u_r^F=R_2{U}_{\mathrm{\η}}^F{e}^{\mathrm{i\ωt}},p=G^{S}p{e}^{\mathrm{i\ωt}}---(1-2)$

其中，

P分别为无量纲位移和孔压；

为了求解土体动力方程式(1-1)，引入无量纲量和常数

$\mathrm{\η}=\frac{r}{R_2},\mathrm{\λ}=\frac{R_2\mathrm{\ω}}{V^S},{\stackrel{\‾}{S}}_v=\frac{R_2{S}_v}{V^S{\mathrm{\ρ}}^S},{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}=\frac{{\mathrm{\ρ}}^F}{{\mathrm{\ρ}}^S},$

${\mathrm{\η}}_0=1-\mathrm{\β},\mathrm{\β}=\frac{d}{R_2},V^S=\sqrt{\frac{G^S}{{\mathrm{\ρ}}^S}},Q=\frac{q^F}{G^L}---(1-3)$

其中，η，λ分别为无量纲半径和频率；V^S为剪切波速；

则控制方程(4-1)可化为

$\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left[\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left(\mathrm{\η}{U}_{\mathrm{\η}}^S\right)\right]+\frac{1-{2v}^S}{2(1-v^S)(1+{2\mathrm{\ξ}}^{S}i)}\×$

$(-\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{d\η}}+{\mathrm{\λ}}^2{U}_{\mathrm{\η}}^S+{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}{U}_{\mathrm{\η}}^S)=0---(1-4)$

$\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{d\η}}-\frac{{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}}{n^F}{U}_{\mathrm{\η}}^F+\frac{{\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}}{n^F}(U_{\mathrm{\η}}^F-U_{\mathrm{\η}}^S)=0---(1-5)$

$\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left[\mathrm{\η}(n^S{U}_{\mathrm{\η}}^S+n^F{U}_{\mathrm{\η}}^F)\right]=0---(1-6)$

将式(1-5)代入式(1-4)，可得

$\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left[\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{d}{\mathrm{d\η}}\left(\mathrm{\η}{U}_{\mathrm{\η}}^S\right)\right]-D_1{U}_{\mathrm{\η}}^S+D_2{U}_{\mathrm{\η}}^F=0---(1-7)$

式中， $\left.\begin{array}{c}{D}_1=\frac{(1-{2v}^S)({\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}-n^F{\mathrm{\λ}}^2)}{2(1-v^S)n^F(1+{2\mathrm{\ξ}}^{S}i)}\\ D_2=\frac{(1-{2v}^S)({\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}-n^S{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}})}{2(1-v^S)n^F(1+2{\mathrm{\ξ}}^{S}i)}\end{array}\right\}---(1-8)$

利用式(1-6)代入式(1-7)，整理可得

$\frac{d^2{U}_{\mathrm{\η}}^S}{{\mathrm{d\η}}^2}+\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{{\mathrm{dU}}_{\mathrm{\η}}^S}{\mathrm{d\η}}-\frac{U_{\mathrm{\η}}^S}{{\mathrm{\η}}^2}-h^2{U}_{\mathrm{\η}}^S+\frac{D_2{C}_1}{n^F\mathrm{\η}}=0---(1-9)$

式中，

利用无穷远处位移为零和贝塞尔函数渐近性质，非齐次方程式(1-9)的解为

$U_{\mathrm{\η}}^S=\frac{C_1{D}_2}{n^F{h}^2\mathrm{\η}}+C_2{K}_1\left(\mathrm{h\η}\right)---(1-10)$

式中，K₁(x)为1阶第二类虚宗量贝塞尔函数

结合式(1-6)和式(1-10)，式(1-5)有

$P=D_3{C}_1\ln \mathrm{\η}-\frac{D_4{C}_2}{h}{K}_0\left(\mathrm{h\η}\right)+C_3---(1-11)$

式中，C₁，C₂，C₃是待定系数，可由边界条件求得；由式(1-11)可见，lnη是发散函数，选取大数K，使得P＝0(η＝K)，满足在η→∞时，孔隙水压力P→0，从而

$C_3=-D_3{C}_1\ln K+\frac{D_4{C}_2}{h}{K}_0\left(\mathrm{hK}\right)\≈-D_3{C}_1\ln K---(1-12)$

于是， $P=D_3{C}_1\ln \frac{\mathrm{\η}}{k}-\frac{D_4{C}_2}{h}{K}_0\left(\mathrm{h\η}\right)---(1-13)$

式中，

$\left.\begin{array}{c}{D}_3=\frac{D_2{\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}}{h^2{\left(n^F\right)}^2}+\frac{{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}-\mathrm{\λ}{\stackrel{\‾}{S}}_{v}i}{{\left(n^F\right)}^2}(1-\frac{n^S{D}_2}{n^F{h}^2})\\ D_4=\frac{{\stackrel{\‾}{S}}_v\mathrm{\λi}}{n^F}-\frac{n^S({\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{FS}}-\mathrm{\λ}{\stackrel{\‾}{S}}_{v}i)}{{\left(n^F\right)}^2}\end{array}\right\}---(1-14)$

当大数K＝60时，随着参数K的增加，位移幅值|U|和孔压幅值|P|趋于某一极限状态，对系统幅值无任何影响；

根据土骨架的黏弹性本构关系，得到土骨架径向有效应力为

式中，

根据有效应力原理，土体的总应力为

式中，

3.根据权利要求1所述的一种检测饱和黏弹性土中圆柱形隧洞振动特性的方法，其特征在于，所述的衬砌运动具体为：

极坐标下衬砌的动力方程为

$\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_r^L}{\∂r}+\frac{{\mathrm{\σ}}_r^L-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}^L}{r}={\mathrm{\ρ}}^L\frac{{\∂}^2{u}_r^L}{{\∂t}^2}---(1-19)$

其中，

分别为衬砌的径向和环向应力；

为衬砌的径向位移；

利用分数阶导数模型描述衬砌的应力和位移本构关系

$\left.\begin{array}{c}(1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ϵ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}}){\mathrm{\σ}}_r^L=(1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ϵ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}})\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}^L(\frac{\∂u_r^L}{\∂r}+\frac{u_r^L}{r})+\\ 2G^L\frac{\∂u_r^L}{\∂r}\end{array}\right]\\ (1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ϵ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}}){\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}^L=(1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}})\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}^L(\frac{\∂u_r^L}{\∂r}+\frac{u_r^L}{r})+\\ 2G^L\frac{u_r^L}{r}\end{array}\right]\end{array}\right\}---(1-20)$

式中，λ^L，G^L，

为衬砌材料参数，λ^L＝2v^LG^L/(1-2v^L)，且0＜a＜1，D^α＝d^α/dt^α为α阶Riemann-Liouville分数阶导数，可定义为

$D^{\mathrm{\α}}\left[x\left(t\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}\frac{d}{\mathrm{dt}}{\∫}_0^t\frac{x\left(\mathrm{\τ}\right)}{{(t-\mathrm{\τ})}^{\mathrm{\α}}}\mathrm{d\τ}---(1-21)$

其中，

为Gamma函数；

从式(1-20)看出，只是在分数导数算子描述的粘弹性衬砌运动控制方程两边分别多了和

项；当α＝1时衬砌动力方程(1-19)可以退化为经典黏弹性衬砌；当τ_σ＝τ_ε＝0或α＝0时可以退化为经典弹性衬砌；

对于系统作稳态振动，设

并将本构关系式(1-20)代入动力方程式(1-19)，得

$\frac{d^2{U}_{\mathrm{\η}}^L}{{\mathrm{d\η}}^2}+\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{{\mathrm{dU}}_{\mathrm{\η}}^L}{\mathrm{d\η}}-\frac{U_{\mathrm{\η}}^L}{\mathrm{\η}}-q^2{U}_{\mathrm{\η}}^L=0---(1-22)$

式中， $\left.\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{\σ}}=\frac{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\σ}}{V}^S}{R^2},T_{\mathrm{\ϵ}}=\frac{{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ϵ}}{V}^S}{R^2},{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{LS}}=\frac{{\mathrm{\ρ}}^L}{{\mathrm{\ρ}}^S},G^{\mathrm{SL}}=\frac{G^S}{G^L}\\ q^2=-\frac{1+T_{\mathrm{\ϵ}}^{\mathrm{\α}}{\left(\mathrm{i\λ}\right)}^{\mathrm{\α}}}{1+T_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{\left(\mathrm{i\λ}\right)}^{\mathrm{\α}}}\frac{{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{LS}}{\mathrm{\λ}}^2(1-2v^L)G^{\mathrm{SL}}}{2(1-v^L)}\end{array}\right\}---(1-23)$

于是，由控制方程式(1-22)，解得

$U_{\mathrm{\η}}^L=C_5{I}_1\left(\mathrm{q\η}\right)+C_6{K}_1\left(\mathrm{q\η}\right)---(1-24)$

其中，I₁(x)为1阶第一类虚宗量贝塞尔函数；C₅，C₆为待定系数；

由式(1-20)，可得衬砌的径向应力为

式中，

4.根据权利要求2或3所述的一种检测饱和黏弹性土中圆柱形隧洞振动特性的方法，其特征在于，所述的边界条件具体为：

采用电模拟试验分析圆形隧洞的轴对称渗流场分布及渗透动水压力分布特性，提出当衬砌和土体的渗透系数比无穷小时衬砌消耗了全部水头，而当其比值无穷大时衬砌内没有水头损失；但是，混凝土衬砌材料的渗透系数并非无穷小或无穷大；绝大部分隧洞边界不单单是不透水或者透水，而是处于部分透水，即半封闭状态；由于衬砌和土体都为多孔黏弹性介质，则衬砌和孔隙水共同承担了衬砌内边界的内水压力值；由此，定义与孔隙流体体积分数有关的应力系数δ，其中，δ＝1-η_c；η_c为孔隙流体压力作用面积系数，可近似为η_c＝(n^F)^2/3混凝土材料和碎裂岩石η_c分别为和η_c≈1。因此，可知衬砌承担的内水压力值为δq^Fe^iωt；孔隙水承担的内水压力值为(1-δ)q^Fe^iωt；结合本文模型，衬砌内边界(r＝R₁)的应力协调条件

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_r^L=\mathrm{\δ}{q}^F{e}^{\mathrm{i\ωt}}& r=R_1---(1-27)\end{array}$

式中，当δ→0时，衬砌内边界上的内水压力全部由孔隙水承担，隧洞边界初始应力为零。当δ→1时，衬砌内边界上的内水压力全部由衬砌承担；

假设衬砌不产生变形，利用Darcy渗透定律可得单位长度衬砌中的流量

$q_l=\frac{k^L(P_2-P_1)}{{\mathrm{\γ}}_w{R}_2\ln (R_2/R_1)}---(1-28)$

式中，q_l为流量；k^L为动力渗透系数；γ_w为流体重度；

利用衬砌和土体界面处连续性条件，可得

$q_l=\frac{k^F}{{\mathrm{\γ}}_w}\frac{\∂p}{\∂r}---(1-29)$

式中，k^F为Darcy渗透系数；

因此，衬砌外边界的水头P₂＝p，而内边界水头P₁＝(1-δ)q^Fe^iωt；结合式(1-28)和式(1-29)可得：

$\frac{\∂p}{\∂r}=\frac{\mathrm{\κ}}{R_2}[p-(1-\mathrm{\δ})q^F{e}^{\mathrm{i\ωt}}]---(1-30)$

式中，κ＝k^L/k^F(ln R₂-lnR₁)由衬砌和土体相对渗透系数和衬砌的几何尺寸决定；当k^L＜＜k^F时，κ→0，边界不渗透，衬砌处于封闭状态；当k^L＞＞k^F时，κ→∞，边界为自由渗透，衬砌为不封闭状态；

另外，由于衬砌和土体紧密接触(r＝R₂)，则衬砌和土体界面处应力和位移协调条件

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_r^L={\mathrm{\σ}}_r^{\mathrm{ST}}& r=R_2\end{array}---(1-31)$

$\begin{array}{cc}{u}_r^L=u_r^S& r=R_2\end{array}---(1-32)$

至此，利用边界条件式(1-27)和式(1-30)-(1-32)代入式(1-10)、式(1-13)和式(1-17)以及式(1-24)、(1-25)可得到待定系数C₁，C₂，C₅，C₆的具体表达式；由此，可得饱和黏弹性土和分数导数黏弹性衬砌耦合稳态振动时的具体解答。