CN103439475A - 具有圆形隧道的准饱和粘弹性土振动响应的检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及具有圆形隧道的准饱和粘弹性土振动响应的检测方法，包括以下步骤：(1)建立准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型：无将周土中水气混合物等价为一种均匀的流体，空气仅以气泡形式存在于水中，孔隙内只有水相连通，建立准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型；(2)衬砌运动：将衬砌视为具有分数阶导数本构关系的均匀黏弹性体，在轴对称情形下，建立具有分数导数本构黏弹性模型的应力-位移本构关系式；(3)边界条件：根据准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型及具有分数导数本构黏弹性模型的应力-位移本构关系式，检测在边界不渗透和自由渗透条件下，得到具有分数导数型黏弹性衬砌的深埋圆形隧洞准饱和黏弹性土稳态响应的具体解答。与现有技术相比，本发明具有计算量小、抑制干扰能力强、调节稳定、调节精度高等优点。

Description

具有圆形隧道的准饱和粘弹性土振动响应的检测方法

技术领域

本发明涉及一种具有圆形隧道的准饱和粘弹性土振动响应的检测方法。

背景技术

众所周知，混凝土材料衬砌具有黏弹性性质，即在长期加载过程中发生蠕变和应力松弛现象。为此，现有技术中有采用三轴压缩蠕变试验，研究了衬砌材料的蠕变特性。

目前，许多学者对饱和土中深埋圆形隧道的动力响应进行了深入研究。Senjuntichai和Rajapakse利用Laplace变换技术得到了边界轴对称荷载和流体压力作用下饱和土中圆形隧道动力响应的解析解，讨论了饱和土各参数对响应幅值的影响。杨峻等考虑流固耦合作用，在Laplace变换域内得到了饱和土中圆形隧道应力、位移和孔压的解析表达式，并与经典弹性土中隧道问题的解答作了比较。上述忽略衬砌和土体的相互作用。将衬砌视为弹塑性材料，Feldgun等得到了爆炸荷载作用下圆形隧道的瞬态响应解答，而Auslender等在球面坐标下研究了弹性介质中球形空腔的瞬态响应。将衬砌等效为无扭矩的薄壁壳体结构，Glenn得到了突加和脉冲荷载作用下弹性土中球壳振动响应解答。Xie等考虑衬砌和土体的相对渗透性，分别研究了饱和黏弹性中隧道和球形空腔的动力响应，利用Laplace变换得到位移、应力和孔压的表达式，并讨论了衬砌和土体相对刚度和渗透参数对系统响应的影响。蔡袁强等采用峰值递减的三段突加三角形荷载模拟爆炸荷载，分别给出弹性和黏弹性饱和土中圆形隧道动力响应。将衬砌视为均匀弹性体，高盟等得到了饱和土和弹性衬砌动力相互作用时圆形隧道的内源问题解答。而高华喜和闻敏杰推导了具有黏弹性衬砌的深埋圆形隧道饱和黏弹性土动力响应。然而，上述都忽略了土体中气体的影响。

高饱和度土(95％≤S_r＜100％)中气体以气泡形式存在于水中。由于动荷载激励下气泡自身会产生振动效应从而影响土体的渗透性、压缩性等性质，目前对于准饱和土中弹性波波速和衰减问题已取得不少成果，但对准饱和土中隧道的动力响应问题研究较少。

发明内容

本发明的目的是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种控制效果好、适用范围广的具有圆形隧道的准饱和粘弹性土振动响应的检测方法。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

具有圆形隧道的准饱和粘弹性土振动响应的检测方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)建立准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型：无限黏弹性土体中深埋一衬砌厚度为d的圆形隧洞，衬砌内径为R₁，外径为R₂；土骨架的剪切模量为G^S，其黏性用复模量表示为G^S(1+2ξ^Si)；ξ^S为黏性阻尼比；土骨架和衬砌的泊松比分别为v^S和v^L；土体的总密度为ρ^T＝(1-n)ρ^S+nρ^F；n为孔隙率；土颗粒和孔隙流体的密度分别为ρ^S和ρ^F＝S_rρ_w；S_r和ρ_w分别表示饱和度和水的质量密度；衬砌内边界作用一圆频率为ω的径向均布简谐荷载

将周土中水气混合物等价为一种均匀的流体，空气仅以气泡形式存在于水中，孔隙内只有水相连通，建立准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型；

(2)衬砌运动：将衬砌视为具有分数阶导数本构关系的均匀黏弹性体，在轴对称情形下，建立具有分数导数本构黏弹性模型的应力-位移本构关系式；

(3)边界条件：根据准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型及具有分数导数本构黏弹性模型的应力-位移本构关系式，检测在边界不渗透和自由渗透条件下，得到具有分数导数型黏弹性衬砌的深埋圆形隧洞准饱和黏弹性土稳态响应的具体解答。

所述的准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型具体为：

采用Biot两相孔隙介质理论来研究准饱和土，孔隙流体的体积模量K_f可近似为：

$\frac{1}{K_f}=\frac{1}{K_w}+\frac{1-S_r}{p_0}---(1-1)$

式中，K_w和p₀分别表示孔隙水的体积模量和绝对孔隙水压力；可见，当土体为完全饱和土时孔隙水和流体体积模量相等；而当土体为高饱和度的准饱和土时，由于绝对孔压很小饱和度S_r对孔隙流体有较大影响；另外，准饱和土中土颗粒、空气和水三者的比例关系可用孔隙率n和饱和度S_r表示

$n=\frac{V_v}{V_t};S_r=\frac{V_w}{V_v}---(1-2)$

式中，V_v，V_w分别为孔隙和孔隙流体体积；V_t为土体总体积；

考虑土骨架和孔隙流体的压缩性且不计体力，根据Biot理论，准饱和土的动力方程为

$\left.\begin{array}{c}({\mathrm{\λ}}^S+{2\mathrm{\μ}}^S+{\mathrm{\β}}^{2}M)\frac{\∂e}{\∂r}-\mathrm{M\β}\frac{\∂\mathrm{\ζ}}{\∂r}=\frac{{\∂}^2}{{\∂t}^2}({\mathrm{\ρ}}^T{u}_r^S+{\mathrm{\ρ}}^F{w}_r^F)\\ \mathrm{M\β}\frac{\∂e}{\∂r}-M\frac{\∂\mathrm{\ζ}}{\∂r}=\frac{{\∂}^2}{{\∂t}^2}({\mathrm{mw}}_r^F+{\mathrm{\ρ}}^F{u}_r^S)+b\frac{{\∂w}_r^F}{\∂t}\end{array}\right\}---(1-3)$

式中，e，ζ分别为土体和流体相对于土体的总应变；

λ^S＝2v^Sμ^S/(1-2ｖ^S)，

μ^S＝G^S(1+2ξ^Si)为两个Lame常数；b＝η₀/k_S为液固耦合系数，反映孔隙流体渗透性，η₀为流体黏滞系数，k_S为动力渗透系数；m＝ρ^F/n为物质耦合因子；α，M为与土骨架孔隙水及整体变形特性有关的常数，可表示为

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{\β}=1-\frac{K_b}{K_s}\\ M=\frac{K_s^2}{(K_d-K_b)}\\ K_d=K_s[1+n(\frac{K_s}{K_f}-1)]\end{array}\right\}---(1-4)$

式中，K_s，K_b分别表示土颗粒和土骨架体积模量，当M→∞，β→1时，表示土颗粒和孔隙流体都不可压缩；

为了求解方程(1-3)，引入位移势函数

$u_r^S=\frac{{\∂\mathrm{\φ}}^S(r,t)}{\∂r},w_r^F=\frac{{\∂\mathrm{\ψ}}^F(r,t)}{\∂r}---(1-5)$

对于圆频率为ω的稳态振动，记

p＝G^Spe^iωt，并对式(1-3)引入无量纲量

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{\η}=r/R_2,\stackrel{\‾}{M}=M/G^S,\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}={\mathrm{\ρ}}^F/{\mathrm{\ρ}}^T\\ {\stackrel{\‾}{\mathrm{\η}}}_0={\mathrm{\η}}_0/R_2\sqrt{G^S{\mathrm{\ρ}}^T},{\stackrel{\‾}{k}}_S=k_S/R_2^2,\mathrm{\λ}=\mathrm{\ω}{R}_2/V^S\\ \stackrel{\‾}{b}={\stackrel{\‾}{\mathrm{\η}}}_0/{\stackrel{\‾}{k}}_S{,\stackrel{\‾}{K}}_b=K_b/G^S,{\stackrel{\‾}{K}}_s=K_s/G^S\\ {\stackrel{\‾}{K}}_d=K_d/G^S,{\stackrel{\‾}{K}}_f=K_f/G^S,{\stackrel{\‾}{p}}_0=p_0/G^S\\ {\stackrel{\‾}{\mathrm{\φ}}}^S={\mathrm{\φ}}^S{R}_2^2,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ψ}}}^F={\mathrm{\ψ}}^F{R}_2^2,{\mathrm{\η}}_1=1-\mathrm{\δ},\mathrm{\δ}=d/R_2\end{array}\right\}---(1-6)$

利用式(1-5)和式(1-6)代入式(1-3)，简化后可得

$\left.\begin{array}{c}({\mathrm{\Δ}}^2-m_1\mathrm{\Δ}+m_2){\stackrel{\_}{\mathrm{\φ}}}^S=0\\ ({\mathrm{\Δ}}^2-m_1\mathrm{\Δ}+m_2){\stackrel{\_}{\mathrm{\ψ}}}^F=0\end{array}\right\}---(1-7)$

式中，

$\left.\begin{array}{c}{m}_1=\frac{[\mathrm{\χ}+{\mathrm{\β}}^2\stackrel{\_}{M}][\stackrel{\_}{b}\mathrm{i\λ}-\stackrel{\_}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2/n]-\stackrel{\_}{M}{\mathrm{\λ}}^2+2\mathrm{\β}\stackrel{\_}{M}\stackrel{\_}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2}{\mathrm{\χ}\stackrel{\_}{M}}\\ m_2=\frac{{\mathrm{\λ}}^2(\stackrel{\_}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2/n-\stackrel{\_}{b}\mathrm{i\λ})-{\stackrel{\_}{\mathrm{\ρ}}}^2{\mathrm{\λ}}^4}{\mathrm{\χ}\stackrel{\_}{M}}\\ \mathrm{\χ}=\frac{2(1-v^S)(1+2{\mathrm{\ξ}}^{S}i)}{1-{2v}^S}\\ \mathrm{\Δ}=d^2/{\mathrm{d\η}}^2+s/\mathrm{\ηd\η}\end{array}\right\}---(1-8)$

利用 $\underset{r\→\∞}{\lim }{\mathrm{\φ}}^S=0,\underset{r\→\∞}{\lim }{\mathrm{\ψ}}^F=0,$ 式(1-7)解得

$\left.\begin{array}{c}{\stackrel{\_}{\mathrm{\φ}}}^S=B_1{K}_0\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)+B_2{K}_0\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)\\ {\stackrel{\_}{\mathrm{\ψ}}}^F=C_1{K}_0\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)+C_2{K}_0\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)\end{array}\right\}---(1-9)$

式中，l₁(x)，K₁(x)分别为1阶第一类和第二类变形Bessel函数；C₁，C₂，B₁，B₂为待定系数。其中，

${\mathrm{\β}}_1^2=\frac{m_1+\sqrt{m_1^2-4m_2}}{2};{\mathrm{\β}}_2^2=\frac{m_1-\sqrt{m_1^2-4m_2}}{2}---(1-10)$

利用式(1-9)代入式(1-7)，可得待定系数的关系式为

C_i＝α_iB_i，(i＝1，2)(1-11)

式中， ${\mathrm{\α}}_i=-\frac{\mathrm{\β}\stackrel{\_}{M}{\mathrm{\β}}_i^2+\stackrel{\_}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2}{\stackrel{\_}{M}{\mathrm{\β}}_i^2+\stackrel{\_}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2/n-\stackrel{\_}{b}\mathrm{i\λ}}$

于是，由式(1-5)得径向位移为

$\left.\begin{array}{c}{U}_r^S=-B_1{\mathrm{\β}}_1{K}_1\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)-B_2{\mathrm{\β}}_2{K}_1\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)\\ W_r^F=-{\mathrm{\α}}_1{B}_1{\mathrm{\β}}_1{K}_1\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)-{\mathrm{\α}}_2{B}_2{\mathrm{\β}}_2{K}_1\left(B_2\mathrm{\η}\right)\end{array}\right\}---(1-12)$

再由土骨架的应力-应变本构关系，可得土骨架的径向有效应力为

式中，

孔隙水压力满足如下本构关系：

p＝Mζ-βMe   (1-15)

由此可得孔隙水压力为

$\begin{array}{c}p=-({\mathrm{\α}}_1+\mathrm{\β})\stackrel{\_}{M}{\mathrm{\β}}_1^2{K}_0\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)B_1-\\ ({\mathrm{\α}}_2+\mathrm{\β})\stackrel{\_}{M}{\mathrm{\β}}_2^2{K}_0\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)B_2\end{array}---(1-16)$

根据有效应力原理，得土体的总应力为

式中，

所述的衬砌运动具体为：

根据弹性理论，衬砌动力方程为

$\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_r^L}{\∂r}+\frac{{\mathrm{\σ}}_r^L-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}^L}{r}={\mathrm{\ρ}}^L\frac{{\∂}^2{u}_r^L}{{\∂t}^2}---(2-1)$

式中，

分别为径向应力和环向应力；ρ_L为衬砌材料密度，而

为径向位移；

轴对称情形下，具有分数导数本构黏弹性模型的应力-位移本构关系为

$(1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ϵ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}}){\mathrm{\σ}}^L=(1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}})[{\mathrm{\λ}}^L({\mathrm{\ϵ}}^L\·I)+2{\mathrm{\μ}}^L{\mathrm{\ϵ}}^L]---(2-2)$

式中，τ_ε，τ_σλ^S，μ^S为材料参数，满足λ^S＝2v^Sμ^S/(1-2v^S)，D^α＝d^α/(dt)^α为α阶黎曼-刘维尔形式分数阶导数，且0＜α＜1，其表达式为

$D^{\mathrm{\α}}\left[x\left(t\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}\frac{d}{\mathrm{dt}}{\∫}_0^t\frac{x\left(\mathrm{\τ}\right)}{{(t-\mathrm{\τ})}^{\mathrm{\α}}}\mathrm{dt}---(2-3)$

式中，

为Gamma函数；从本构模型(2-2)中看出，当α＝1时，该模型可退化为经典黏弹性本构模型；当τ_σ＝0，τ_ε＝0或α＝0时，为经典弹性本构模型；

衬砌的应变-位移满足如下本构关系

${\mathrm{\ϵ}}^L=\frac{1}{2}(\mathrm{grad}{u}^L+{\mathrm{grad}}^T{u}^L)---(2-4)$

对于系统作稳态振动，设

利用本构关系式(2-2)代入式(2-1)，可得

$\frac{d^2{U}_{\mathrm{\η}}^L}{{\mathrm{d\η}}^2}+\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{d{U}_{\mathrm{\η}}^L}{\mathrm{d\η}}-\frac{U_{\mathrm{\η}}^L}{\mathrm{\η}}-q^2{U}_{\mathrm{\η}}^L=0---(2-5)$

其中， $\left.\begin{array}{c}{q}^2=-\frac{1+T_{\mathrm{\ϵ}}^{\mathrm{\α}}{\left(\mathrm{i\λ}\right)}^{\mathrm{\α}}}{1+T_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{\left(\mathrm{i\λ}\right)}^{\mathrm{\α}}}\frac{{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{LS}}{\mathrm{\λ}}^2(1-2v^L)G^{\mathrm{SL}}}{2(1-v^L)}\\ {\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{LS}}=\frac{{\mathrm{\ρ}}^L}{{\mathrm{\ρ}}^S},G^{\mathrm{SL}}=\frac{G^S}{G^L}\end{array}\right\}---(2-6)$

式(2-5)可易解得

$U_{\mathrm{\η}}^L=C_5{I}_1\left(\mathrm{q\η}\right)+C_6{K}_1\left(\mathrm{q\η}\right)---(2-7)$

利用本构关系式(2-2)，可得径向应力为

其中，

所述的边界条件具体为：

应力和位移边界条件：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_r^L{|}_{r=R_1}=q_0{e}^{\mathrm{i\ωt}}\\ {\mathrm{\σ}}_r^L{|}_{r=R_2}={\mathrm{\σ}}_r^S{|}_{r=R_2}\\ u_r^L{|}_{r=R_2}=u_r^S{|}_{r=r_2}\end{array}\right\}---(3-1);$

若边界不渗透，则

若边界自由渗透，则

与现有技术相比，本发明在现有研究基础上，将土体中水-气混合物和衬砌分别视为一种均匀流体和具有分数导数本构关系的黏弹性体，在频率域内用解析方法研究了简谐荷载作用下具有分数导数型黏弹性衬砌的圆形隧道准饱和黏弹性土振动响应问题。同时，讨论了饱和度、衬砌厚度及分数导数模型参数对系统动力响应的影响。具有计算量小、抑制干扰能力强、调节稳定、调节精度高等优点。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明进行详细说明。

实施例

具有圆形隧道的准饱和粘弹性土振动响应的检测方法，包括以下步骤：

(1)建立准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型：无限黏弹性土体中深埋一衬砌厚度为d的圆形隧洞，衬砌内径为R₁，外径为R₂；土骨架的剪切模量为G^S，其黏性用复模量表示为G^S(1+2ξ^Si)；ξ^S为黏性阻尼比；土骨架和衬砌的泊松比分别为v^S和v^L；土体的总密度为ρ^T＝(1-n)ρ^S+nρ^F；n为孔隙率；土颗粒和孔隙流体的密度分别为ρ^S和ρ^F＝S_rρ_w；S_r和ρ_w分别表示饱和度和水的质量密度；衬砌内边界作用一圆频率为ω的径向均布简谐荷载q₀e^iωt(i²＝-1)；将周土中水气混合物等价为一种均匀的流体，空气仅以气泡形式存在于水中，孔隙内只有水相连通，建立准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型；

所述的准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型具体为：

采用Biot两相孔隙介质理论来研究准饱和土，孔隙流体的体积模量K_f可近似为：

$\frac{1}{K_f}=\frac{1}{K_w}+\frac{1-S_r}{p_0}---(1-1)$

式中，K_w和p_O分别表示孔隙水的体积模量和绝对孔隙水压力；可见，当土体为完全饱和土时孔隙水和流体体积模量相等；而当土体为高饱和度的准饱和土时，由于绝对孔压很小饱和度S_r对孔隙流体有较大影响；另外，准饱和土中土颗粒、空气和水三者的比例关系可用孔隙率n和饱和度S_r表示

$n=\frac{V_v}{V_t};S_r=\frac{V_w}{V_v}---(1-2)$

式中，V_v，V_w分别为孔隙和孔隙流体体积；V_t为土体总体积；

考虑土骨架和孔隙流体的压缩性且不计体力，根据Biot理论，准饱和土的动力方程为

$\left.\begin{array}{c}({\mathrm{\λ}}^S+2{\mathrm{\μ}}^S+{\mathrm{\β}}^{2}M)\frac{\∂e}{\∂r}-\mathrm{M\β}\frac{\∂\mathrm{\ζ}}{\∂r}=\frac{{\∂}^2}{\∂t^2}({\mathrm{\ρ}}^T{u}_r^S+{\mathrm{\ρ}}^F{w}_r^F)\\ \mathrm{M\β}\frac{\∂e}{\∂r}-M\frac{\∂\mathrm{\ζ}}{\∂r}=\frac{{\∂}^2}{\∂t^2}(m{w}_r^F+{\mathrm{\ρ}}^F{u}_r^S)+b\frac{\∂w_r^F}{\∂t}\end{array}\right\}---(1-3)$

式中，e，ζ分别为土体和流体相对于土体的总应变；

λ^S＝2v^Sμ^S/(1-2ｖ^S)，

μ^S＝G^S(1+2ξ^Si)为两个Lame常数；b＝η₀/k_S为液固耦合系数，反映孔隙流体渗透性，η₀为流体黏滞系数，k_S为动力渗透系数；m＝ρ^F/ｎ为物质耦合因子；α，M为与土骨架孔隙水及整体变形特性有关的常数，可表示为

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{\β}=1-\frac{K_b}{K_s}\\ M=\frac{K_s^2}{(K_d-K_b)}\\ K_d=K_s[1+n(\frac{K_s}{K_f}-1)]\end{array}\right\}---(1-4)$

式中，K_ｓ，K_ｂ分别表示土颗粒和土骨架体积模量，当M→∞，β→１时，表示土颗粒和孔隙流体都不可压缩：

为了求解方程(1-3)，引入位移势函数

$u_r^S=\frac{\∂{\mathrm{\φ}}^S(r,t)}{\∂r},w_r^F=\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}^F(r,t)}{\∂r}---(1-5)$

对于圆频率为ω的稳态振动，记

并对式(1-3)引入无量纲量

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{\η}=r/R_2,\stackrel{\‾}{M}=M/G^S,\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}={\mathrm{\ρ}}^F/{\mathrm{\ρ}}^T\\ {\stackrel{\‾}{\mathrm{\η}}}_0={\mathrm{\η}}_0/R_2\sqrt{G^S{\mathrm{\ρ}}^T},{\stackrel{\‾}{k}}_S=k_S/R_2^2,\mathrm{\λ}=\mathrm{\ω}{R}_2/V^S\\ \stackrel{\‾}{b}={\stackrel{\‾}{\mathrm{\η}}}_0/{\stackrel{\‾}{k}}_S,{\stackrel{\‾}{K}}_b=K_b/G^S,{\stackrel{\‾}{K}}_s=K_s/G^S\\ {\stackrel{\‾}{K}}_d=K_d/G^S,{\stackrel{\‾}{K}}_f=K_f/G^S,{\stackrel{\‾}{p}}_0=p_0/G^S\\ {\stackrel{\‾}{\mathrm{\φ}}}^S={\mathrm{\φ}}^S{R}_2^2,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ψ}}}^F={\mathrm{\ψ}}^F{R}_2^2,{\mathrm{\η}}_1=1-\mathrm{\δ},\mathrm{\δ}=d/R_2\end{array}\right\}---(1-6)$

利用式(1-5)和式(1-6)代入式(1-3)，简化后可得

$\left.\begin{array}{c}({\mathrm{\Δ}}^2-m_1\mathrm{\Δ}+m_2){\stackrel{\‾}{\mathrm{\φ}}}^S=0\\ ({\mathrm{\Δ}}^2-m_1\mathrm{\Δ}+m_2){\stackrel{\‾}{\mathrm{\ψ}}}^F=0\end{array}\right\}---(1-7)$

式中，

$\left.\begin{array}{c}{m}_1=\frac{[\mathrm{\χ}+{\mathrm{\β}}^2\stackrel{\‾}{M}][\stackrel{\‾}{b}\mathrm{i\λ}-\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2/n]-\stackrel{\‾}{M}{\mathrm{\λ}}^2+2\mathrm{\β}\stackrel{\‾}{M}\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2}{\mathrm{\χ}\stackrel{\‾}{M}}\\ m_2=\frac{{\mathrm{\λ}}^2(\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2/n-\stackrel{\‾}{b}\mathrm{i\λ})-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}}^2{\mathrm{\λ}}^4}{\mathrm{\χ}\stackrel{\‾}{M}}\\ \mathrm{\χ}=\frac{2(1-v^S)(1+2{\mathrm{\ξ}}^{S}i)}{1-2v^S}\\ \mathrm{\Δ}=d^2/d{\mathrm{\η}}^2+d/\mathrm{\ηd\η}\end{array}\right\}---(1-8)$

利用 $\underset{r\→\∞}{\lim }{\mathrm{\φ}}^S=0,\underset{r\→\∞}{\lim }{\mathrm{\ψ}}^F=0,$ 式(1-7)解得

$\left.\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\φ}}}^S=B_1{K}_0\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)+B_2{K}_0\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)\\ {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ψ}}}^F=C_1{K}_0\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)+C_2{K}_0\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)\end{array}\right\}---(1-9)$

式中，I₁(x)，K₁(x)分别为1阶第一类和第二类变形Bessel函数；C₁，C₂，B₁，B₂为待定系数。其中，

${\mathrm{\β}}_1^2=\frac{m_1+\sqrt{m_1^2-4m_2}}{2};{\mathrm{\β}}_2^2=\frac{m_1-\sqrt{m_1^2-4m_2}}{2}---(1-10)$

利用式(1-9)代入式(1-7)，可得待定系数的关系式为

C_i＝α_iB_i，(i＝1，2)(1-11)

式中， ${\mathrm{\α}}_i=-\frac{\mathrm{\β}\stackrel{\‾}{M}{\mathrm{\β}}_i^2+\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2}{\stackrel{\‾}{M}{\mathrm{\β}}_i^2+\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2/n-\stackrel{\‾}{b}\mathrm{i\λ}}$

于是，由式(1-5)得径向位移为

$\left.\begin{array}{c}{U}_r^S=-B_1{\mathrm{\β}}_1{K}_1\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)-B_2{\mathrm{\β}}_2{K}_1\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)\\ W_r^F=-{\mathrm{\α}}_1{B}_1{\mathrm{\β}}_1{K}_1\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)-{\mathrm{\α}}_2{B}_2{\mathrm{\β}}_2{K}_1\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)\end{array}\right\}---(1-12)$

再由土骨架的应力-应变本构关系，可得土骨架的径向有效应力为

${\mathrm{\σ}}_r^{\mathrm{SE}}=\frac{2{\mathrm{\μ}}^S{e}^{\mathrm{i\ωt}}}{1-2v^S}\left[\begin{array}{c}({\mathrm{\θ}}_1-\frac{v^S{\mathrm{\β}}_1{K}_1\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)}{\mathrm{\η}})B_1+\\ ({\mathrm{\θ}}_2-\frac{v^S{\mathrm{\β}}_2{K}_1\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)}{\mathrm{\η}})B_2\end{array}\right]---(1-13)$

式中，

孔隙水压力满足如下本构关系：

p＝Mζ-βMe(1-15)

由此可得孔隙水压力为

$\begin{array}{c}P=-({\mathrm{\α}}_1+\mathrm{\β})\stackrel{\‾}{M}{\mathrm{\β}}_1^2{K}_0\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)B_1-\\ ({\mathrm{\α}}_2+\mathrm{\β})\stackrel{\‾}{M}{\mathrm{\β}}_2^2{K}_0\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)B_2\end{array}---(1-16)$

根据有效应力原理，得土体的总应力为

式中，

(2)衬砌运动：将衬砌视为具有分数阶导数本构关系的均匀黏弹性体，在轴对称情形下，建立具有分数导数本构黏弹性模型的应力-位移本构关系式；

所述的衬砌运动具体为：

根据弹性理论，衬砌动力方程为

$\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_r^L}{\∂r}+\frac{{\mathrm{\σ}}_r^L-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}^L}{r}={\mathrm{\ρ}}^L\frac{{\∂}^2{u}_r^L}{{\∂t}^2}---(2-1)$

式中，

分别为径向应力和环向应力；ρ^L为衬砌材料密度，而为径向位移；

轴对称情形下，具有分数导数本构黏弹性模型的应力-位移本构关系为

$(1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}}){\mathrm{\σ}}^L=(1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}})[{\mathrm{\λ}}^L({\mathrm{\ϵ}}^L\·I)+{2\mathrm{\μ}}^L{\mathrm{\ϵ}}^L]---(2-2)$

式中，τ_ε，τ_σ，λ^S，μ^S为材料参数，满足λ^S＝2v^Sμ^S/(1-2v^S)，D^α＝d^α/(dt)^α为α阶黎曼-刘维尔形式分数阶导数，且0＜α＜1，其表达式为

$D^{\mathrm{\α}}\left[x\left(t\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}\frac{d}{\mathrm{dt}}{\∫}_0^t\frac{x\left(\mathrm{\τ}\right)}{{(t-\mathrm{\τ})}^{\mathrm{\α}}}\mathrm{dt}---(2-3)$

式中，

为Gamma函数；从本构模型(2-2)中看出，当α＝1时，该模型可退化为经典黏弹性本构模型；当τ_σ＝0，τ_ε＝0或α＝0时，为经典弹性本构模型；

衬砌的应变-位移满足如下本构关系

${\mathrm{\ϵ}}^L=\frac{1}{2}(\mathrm{grad}{u}^L+{\mathrm{grad}}^T{u}^L)---(2-4)$

对于系统作稳态振动，设

利用本构关系式(2-2)代入式(2-1)，可得

$\frac{d^2{U}_{\mathrm{\η}}^L}{{\mathrm{d\η}}^2}+\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{{\mathrm{dU}}_{\mathrm{\η}}^L}{\mathrm{d\η}}-\frac{U_{\mathrm{\η}}^L}{\mathrm{\η}}-q^2{U}_{\mathrm{\η}}^L=0---(2-5)$

其中， $\left.\begin{array}{c}{q}^2=-\frac{1+T_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{\left(\mathrm{i\λ}\right)}^{\mathrm{\α}}}{1+T_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{\left(\mathrm{i\λ}\right)}^{\mathrm{\α}}}\frac{{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{LS}}{\mathrm{\λ}}^2(1-{2v}^L)G^{\mathrm{SL}}}{2(1-v^L)}\\ {\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{LS}}=\frac{{\mathrm{\ρ}}^L}{{\mathrm{\ρ}}^S},G^{\mathrm{SL}}=\frac{G^S}{G^L}\end{array}\right\}---(2-6)$

式(2-5)可易解得

$U_{\mathrm{\η}}^L=C_5{I}_1\left(\mathrm{q\η}\right)+C_6{K}_1\left(\mathrm{q\η}\right)---(2-7)$

利用本构关系式(2-2)，可得径向应力为

其中，

(3)边界条件：根据准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型及具有分数导数本构黏弹性模型的应力-位移本构关系式，检测在边界不渗透和自由渗透条件下，得到具有分数导数型黏弹性衬砌的深埋圆形隧洞准饱和黏弹性土稳态响应的具体解答。

所述的边界条件具体为：

应力和位移边界条件：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_r^L{|}_{r=R_t}=q_0{e}^{\mathrm{i\ωt}}\\ {\mathrm{\σ}}_r^L{|}_{r=R_2}={\mathrm{\σ}}_r^S{|}_{r=R_2}\\ u_r^L{|}_{r=R_2}=u_r^S{|}_{r=R_2}\end{array}\right\}---(3-1);$

若边界不渗透，则

若边界自由渗透，则

将水-气混合物和混凝土衬砌分别视为一种均匀流体和具有分数阶导数本构关系的黏弹性体，在频率域内用解析方法研究了具有分数导数型黏弹性衬砌的隧洞准饱和黏弹性土稳态动力响应问题。利用衬砌内边界及土体和衬砌界面处应力和位移连续，得到了边界透水和不透水两种条件下准饱和土和衬砌的位移、应力和孔压表达式，并讨论了准饱和土和衬砌各物性和几何参数的影响，得到了如下结论：

1、弹性衬砌条件下的准饱和黏弹性土-深埋隧洞衬砌系统动力响应大于分数导数型黏弹性衬砌条件下的准饱和黏弹性土-隧洞衬砌系统动力响应。

2、稳态振动时，饱和土中的孔压幅值远大于准饱和土中的孔压幅值。而当S_r＝0.95和S_r＝0.97时对孔压幅值几乎无影响。

3、衬砌材料参数比对准饱和黏弹性土-深埋隧洞衬砌系统动力响应的影响大小与分数导数阶数取值有关，且阶数对系统动力响应的影响与材料参数比有关。

4、随着材料参数比的增加，衬砌材料的阻抗增大，而响应幅值逐渐减小。

5、随着衬砌厚度的增加，衬砌的刚度增大，引起响应幅值减小。

6、衬砌和土体界面处孔隙水的渗透性与土体的饱和度有密切关系，随着饱和度的增加，边界透水和不透水两种条件下系统的动力响应差异越明显。

Claims (4)

1.具有圆形隧道的准饱和粘弹性土振动响应的检测方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)建立准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型：无限黏弹性土体中深埋一衬砌厚度为d的圆形隧洞，衬砌内径为R₁，外径为R₂：土骨架的剪切模量为G^S，其黏性用复模量表示为G^S(1+2ξ^Si)；ξ^S为黏性阻尼比；土骨架和衬砌的泊松比分别为v^S和v^L；土体的总密度为ρ^T＝(1-n)ρ^S+nρ^F；n为孔隙率；土颗粒和孔隙流体的密度分别为ρ^S和ρ^F＝S_rρ_w；S_r和ρ_w分别表示饱和度和水的质量密度；衬砌内边界作用-圆频率为ω的径向均布简谐荷载

将周土中水气混合物等价为一种均匀的流体，空气仅以气泡形式存在于水中，孔隙内只有水相连通，建立准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型；

(2)衬砌运动：将衬砌视为具有分数阶导数本构关系的均匀黏弹性体，在轴对称情形下，建立具有分数导数本构黏弹性模型的应力-位移本构关系式；

(3)边界条件：根据准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型及具有分数导数本构黏弹性模型的应力-位移本构关系式，检测在边界不渗透和自由渗透条件下，得到具有分数导数型黏弹性衬砌的深埋圆形隧洞准饱和黏弹性土稳态响应的具体解答。

2.根据权利要求1所述的一种具有圆形隧道的准饱和粘弹性土振动响应的检测方法，其特征在于，所述的准饱和黏弹性土-隧洞衬砌动力相互作用模型具体为：

采用Biot两相孔隙介质理论来研究准饱和土，孔隙流体的体积模量K_f可近似为：

$\frac{1}{K_f}=\frac{1}{K_w}+\frac{1-S_r}{p_0}---(1-1)$

式中，K_w和p₀分别表示孔隙水的体积模量和绝对孔隙水压力；可见，当土体为完全饱和土时孔隙水和流体体积模量相等；而当土体为高饱和度的准饱和土时，由于绝对孔压很小饱和度S_r对孔隙流体有较大影响；另外，准饱和土中土颗粒、空气和水三者的比例关系可用孔隙率n和饱和度S_r表示

$n=\frac{V_v}{V_t};$ $S_r=\frac{V_w}{V_v}---(1-2)$

式中，V_v，V_w分别为孔隙和孔隙流体体积；V_t为土体总体积；

考虑土骨架和孔隙流体的压缩性且不计体力，根据Biot理论，准饱和土的动力方程为

$\left.\begin{array}{c}({\mathrm{\λ}}^S+2{\mathrm{\μ}}^S+{\mathrm{\β}}^{2}M)\frac{\∂e}{\∂r}-\mathrm{M\β}\frac{\∂\mathrm{\ζ}}{\∂r}=\frac{{\∂}^2}{{\∂t}^2}({\mathrm{\ρ}}^T{\mathrm{\μ}}_r^S+{\mathrm{\ρ}}^F{w}_r^F)\\ \mathrm{M\β}\frac{\∂e}{\∂r}-M\frac{\∂\mathrm{\ζ}}{\∂r}=\frac{{\∂}^2}{{\∂t}^2}({\mathrm{mw}}_r^F+{\mathrm{\ρ}}^F{u}_r^S)+b\frac{\∂w_r^F}{\∂t}\end{array}\right\}---(1-3)$

式中，e，ζ分别为土体和流体相对于土体的总应变；

λ^S＝2v^Sμ^S/(1-2v^S)，

μ^S＝G^S(1+2ξ^Si)为两个Lame常数：b＝η₀/k_S为液固耦合系数，反映孔隙流体渗透性，η₀为流体黏滞系数，k_S为动力渗透系数；m＝ρ^F/n为物质耦合因子；α，M为与土骨架孔隙水及整体变形特性有关的常数，可表示为

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{\β}=1-\frac{K_b}{K_s}\\ M=\frac{K_s^2}{(K_d-K_b)}\\ K_d=K_s[1+n(\frac{K_s}{K_r}-1)]\end{array}\right\}---(1-4)$

式中，K_s，K_b分别表示土颗粒和土骨架体积模量，当M→∞，β→1时，表示土颗粒和孔隙流体都不可压缩；

为了求解方程(1-3)，引入位移势函数

$u_r^S=\frac{\∂{\mathrm{\φ}}^S(r,t)}{\∂r},$ $w_r^F=\frac{\∂{\mathrm{\ψ}}^F(r,t)}{\∂r}---(1-5)$

对于圆频率为ω的稳态振动，记

p＝G^SPe^iωt，并对式(1-3)引入无量纲量

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{\η}=r/R_2,\stackrel{\‾}{M}=M/G^S,\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}={\mathrm{\ρ}}^F/{\mathrm{\ρ}}^T\\ {\stackrel{\‾}{\mathrm{\η}}}_0={\mathrm{\η}}_0/R_2\sqrt{G^S{\mathrm{\ρ}}^T},{\stackrel{\‾}{k}}_S=k_S/R_2^2,\mathrm{\λ}=\mathrm{\ω}{R}_2/V^S\\ \stackrel{\‾}{b}={\stackrel{\‾}{\mathrm{\η}}}_0/{\stackrel{\‾}{k}}_S,{\stackrel{\‾}{K}}_b=K_b/G^S,{\stackrel{\‾}{K}}_s=K_s/G^S\\ {\stackrel{\‾}{K}}_d=K_d/G^S,{\stackrel{\‾}{K}}_f=K_f/G^S,{\stackrel{\‾}{p}}_0=p_0{/G}^S\\ {\stackrel{\‾}{\mathrm{\φ}}}^S={\mathrm{\φ}}^S{R}_2^2,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ψ}}}^F={\mathrm{\ψ}}^F{R}_2^2,{\mathrm{\η}}_1=1-\mathrm{\δ},\mathrm{\δ}=d/R_2\end{array}\right\}---(1-6)$

利用式(1-5)和式(1-6)代入式(1-3)，简化后可得

$\left.\begin{array}{c}({\mathrm{\Δ}}^2-m_1\mathrm{\Δ}+m_2){\stackrel{\‾}{\mathrm{\φ}}}^S=0\\ ({\mathrm{\Δ}}^2-m_1\mathrm{\Δ}+m_2){\stackrel{\‾}{\mathrm{\ψ}}}^F=0\end{array}\right\}---(1-7)$

式中，

$\left.\begin{array}{c}{m}_1=\frac{[\mathrm{\χ}+{\mathrm{\β}}^2\stackrel{\‾}{M}][\stackrel{\‾}{b}\mathrm{i\λ}-\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2/n]-\stackrel{\‾}{M}{\mathrm{\λ}}^2+2\mathrm{\β}\stackrel{\‾}{M}\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2}{\mathrm{\χ}\stackrel{\‾}{M}}\\ m_2=\frac{{\mathrm{\λ}}^2(\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2/n-\stackrel{\‾}{b}\mathrm{i\λ})-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}}^2{\mathrm{\λ}}^4}{\mathrm{\χ}\stackrel{\‾}{M}}\\ \mathrm{\χ}=\frac{2(1-v^S)(1+2{\mathrm{\ξ}}^{S}i)}{1-2v^S}\\ \mathrm{\Δ}=d^2/{\mathrm{d\η}}^2+d/\mathrm{\ηd\η}\end{array}\right\}---(1-8)$

利用 $\underset{r\→\∝}{\lim }{\mathrm{\φ}}^S=0,$ $\underset{r\→\∝}{\lim }{\mathrm{\ψ}}^F=0,$ 式(1-7)解得

$\left.\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\φ}}}^S=B_1{K}_0\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)+B_2{K}_0\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)\\ {\stackrel{\‾}{\mathrm{\ψ}}}^F=C_1{K}_0\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)+C_2{K}_0\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)\end{array}\right\}---(1-9)$

式中，I₁(x)，K₁(x)分别为1阶第一类和第二类变形Bessel函数；C₁，C₂，B₁，B₂为待定系数。其中，

${\mathrm{\β}}_1^2=\frac{m_1+\sqrt{m_1^2-{4m}_2}}{2};$ ${\mathrm{\β}}_2^2=\frac{m_1-\sqrt{m_1^2-{4m}_2}}{2}---(1-10)$

利用式(1-9)代入式(1-7)，可得待定系数的关系式为

C_i＝α_iB_i，(i＝1，2)(1-11)

式中， ${\mathrm{\α}}_i=-\frac{\mathrm{\β}\stackrel{\‾}{M}{\mathrm{\β}}_i^2+\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2}{\stackrel{\‾}{M}{\mathrm{\β}}_i^2+\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}^2/n-\stackrel{\‾}{b}\mathrm{i\λ}}$

于是，由式(1-5)得径向位移为

$\left.\begin{array}{c}{U}_r^S=-B_1{\mathrm{\β}}_1{K}_1\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)-B_2{\mathrm{\β}}_2{K}_1\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)\\ W_r^F=-{\mathrm{\α}}_1{B}_1{\mathrm{\β}}_1{K}_1\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)-{\mathrm{\α}}_2{B}_2{\mathrm{\β}}_2{K}_1\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)\end{array}\right\}---(1-12)$

再由土骨架的应力-应变本构关系，可得土骨架的径向有效应力为

式中，

孔隙水压力满足如下本构关系：

p＝Mζ-βMe (1-15)

由此可得孔隙水压力为

$P=-({\mathrm{\α}}_1+\mathrm{\β})\stackrel{\‾}{M}{\mathrm{\β}}_1^2{K}_0\left({\mathrm{\β}}_1\mathrm{\η}\right)B_1-$ (1-16)

$({\mathrm{\α}}_2+\mathrm{\β})\stackrel{\‾}{M}{\mathrm{\β}}_2^2{K}_0\left({\mathrm{\β}}_2\mathrm{\η}\right)B_2$

根据有效应力原理，得土体的总应力为

式中，

3.根据权利要求1所述的一种具有圆形隧道的准饱和粘弹性土振动响应的检测方法，其特征在于，所述的衬砌运动具体为：

根据弹性理论，衬砌动力方程为

$\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_r^L}{\∂r}+\frac{{\mathrm{\σ}}_r^L-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}^L}{r}={\mathrm{\ρ}}^L\frac{{\∂}^2{u}_r^L}{\∂t^2}---(2-1)$

式中，

分别为径向应力和环向应力；ρ^L为衬砌材料密度，而为径向位移；

轴对称情形下，具有分数导数本构黏弹性模型的应力-位移本构关系为

$(1+{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\ϵ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}}){\mathrm{\σ}}^L=(1+{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{D}^{\mathrm{\α}})[{\mathrm{\λ}}^L({\mathrm{\ϵ}}^L\·I)+2{\mathrm{\μ}}^L{\mathrm{\ϵ}}^L]---(2-2)$

式中，τ_s，τ_σ，λ^S，μ^S为材料参数，满足λ^S＝2v^Sμ^S/(1-2v^S)，D^α＝d^α/(dt)^α为α阶黎曼-刘维尔形式分数阶导数，且0＜α＜1，其表达式为

$D^{\mathrm{\α}}\left[x\left(t\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{\Γ}(1-\mathrm{\α})}\frac{d}{\mathrm{dt}}{\∫}_0^t\frac{x\left(\mathrm{\τ}\right)}{{(t-\mathrm{\τ})}^{\mathrm{\α}}}\mathrm{dt}---(2-3)$

式中，

为Gamma函数；从本构模型(2-2)中看出，当α＝1时，该模型可退化为经典黏弹性本构模型；当τ_σ＝0，τ_ε＝0或α＝0时，为经典弹性本构模型；

衬砌的应变—位移满足如下本构关系

${\mathrm{\ϵ}}^L=\frac{1}{2}({\mathrm{grad}u}^L+{\mathrm{grad}}^T{u}^L)---(2-4)$

对于系统作稳态振动，设

利用本构关系式(2-2)代入式(2-1)，可得

$\frac{d^2{U}_{\mathrm{\η}}^L}{{\mathrm{d\η}}^2}+\frac{1}{\mathrm{\η}}\frac{d{U}_{\mathrm{\η}}^L}{\mathrm{d\η}}-\frac{U_{\mathrm{\η}}^L}{\mathrm{\η}}-q^2{U}_{\mathrm{\η}}^L=0---(2-5)$

其中， $\left.\begin{array}{c}{q}^2=-\frac{1+T_{\mathrm{\ϵ}}^{\mathrm{\α}}{\left(\mathrm{i\λ}\right)}^{\mathrm{\α}}}{1+T_{\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\α}}{\left(\mathrm{i\λ}\right)}^{\mathrm{\α}}}\frac{{\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{LS}}{\mathrm{\λ}}^2(1-2v^L)G^{\mathrm{SL}}}{2(1-v^L)}\\ {\mathrm{\ρ}}^{\mathrm{LS}}=\frac{{\mathrm{\ρ}}^L}{{\mathrm{\ρ}}^S},G^{\mathrm{SL}}=\frac{G^S}{G^L}\end{array}\right\}---(2-6)$

式(2-5)可易解得

$U_{\mathrm{\η}}^L=C_5{I}_1\left(\mathrm{q\η}\right)+C_6{K}_1\left(\mathrm{q\η}\right)---(2-7)$

利用本构关系式(2-2)，可得径向应力为

其中，

4.根据权利要求2或3所述的一种具有圆形隧道的准饱和粘弹性土振动响应的检测方法，其特征在于，所述的边界条件具体为：

应力和位移边界条件：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_r^L{|}_{r=R_1}=q_0{e}^{\mathrm{i\ωt}}\\ {\mathrm{\σ}}_r^L{|}_{r=R_2}={\mathrm{\σ}}_r^S{|}_{r=R_2}\\ u_r^L{|}_{r=R_2}=u_r^S{|}_{r=R_2}\end{array}\right\}---(3-1);$

若边界不渗透，则

若边界自由渗透，则