CN103399487B - 一种基于非线性多入多出mimo系统的解耦控制方法及其装置 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于非线性多入多出MIMO系统的解耦控制方法和装置，其包括：输入模块、神经网络模块、神经网络逆模块、控制模块和延时模块。其中，将神经网络逆模块的输出信号输入控制模块和神经网络模块；所述控制模块与所述神经网络模块在相同的输入信号下，两者的输出信号输入到输出模块；输出模块根据所述控制模块与所述神经网络模块的输出信号生成扰动信号；所述扰动信号经过延时处理后输入神经网络逆模块，经过控制模块后，输入所述输出模块。通过本发明的方法和装置，提高了对非线性MIMO系统的解耦控制的速度和稳定性。

Description

一种基于非线性多入多出MIMO系统的解耦控制方法及其装置

技术领域

本发明涉及电力系统控制技术领域，尤其涉及一种基于非线性多入多出MIMO系统的解耦控制方法及其装置。

发明背景

在实际的工业生产过程中，尤其是在电力系统中，控制对象都是未知时变的，如果不能够得到适当的控制，无论是在经济效益上，还是在人身安全上都会造成巨大的隐性威胁。因此，随着控制理论的发展，多种控制手段和新型控制策略也蓬勃发展：有的是在经典的控制方法上进行改进；有的是在应用上不成熟的新方法；也有将一个或多个方法相结合，取其精华，将其缺点最小化的复合控制方案。

在对热工对象进行控制时，许多控制方案都有被尝试，如：PID控制及参数自整定，用神经网络优化PID参数的协调控制；非线性内模控制，预测控制，取得了满意的效果；特别是智能控制和逆系统方法的提出对于控制理论的研究具有重大的意义，应用到协调控制的研究时，满足了对控制高精度的要求，以及对非线性系统更加逼近的期望等。智能控制有很多分支，并不是单一的，如智能控制包含了模糊控制，神经网络控制，遗传算法，专家控制；而逆系统也有神经网络逆等。这两种方法是近年来应用较为频繁的方法，智能控制的应用上，模糊控制和神经网络多被采用。此外，在实际的工业生产中，逆方法早已被多样化，各有特色。

随着控制研究的发展，单一的控制策略在对系统控制时，不可避免会出现不足之处，已经无法满足对控制精度和控制效果的要求，因此，就产生了一种新的方法，即根据控制对象的特点和控制要求将几种满足要求的控制策略进行综合，组成复合的控制方法。该方法已经应用于实践，且取得了令人满意的效果。基于多种控制策略综合的控制方法在协调控制中的应用研究已成为专家学者关注的热点。仿真结果表明，复合控制方法的鲁棒性好，抗干扰能力强，自适应控制效果良好。

自适应控制方法的本质是在线识别模型参数，这在某种程度上解决了不确定性问题。神经网络具有自学习、自组织以及逼近任意非线性映射的能力，加上其自身的结构和多输入多输出的特点，使其与其他非线性函数逼近方法相比更为有效，成为了多变量非线性系统识别的一个有力工具。如果能够将可实现系统的线性化和解耦的逆系统方法与具有对未知非线性系统逼近能力的神经网络方法相结合，构造出适合于工程应用的神经网络系统，则可发挥两者之长。

发明内容

因此，考虑到神经网络对非线性对象有较强的逼近能力和自适应控制的逆模型作为控制器的特点，本发明将神经网络系统方法和自适应控制方法结合起来引入到控制对象的控制中，即MIMO系统的解耦控制中。

本发明提出了一种基于非线性多入多出MIMO系统的解耦控制方法，其包括以下步骤：

接收输入信号；

将所述输入信号以及经延时处理后的输出信号输入神经网络逆模块进行处理；

将神经网络逆模块的输出信号输入控制模块和神经网络模块；

所述控制模块与所述神经网络模块在相同的输入信号下，两者的输出信号输入到输出模块；

输出模块根据所述控制模块与所述神经网络模块的输出信号生成扰动信号；

所述扰动信号经过延时处理后输入神经网络逆模块，经过控制模块后，输入所述输出模块；

其中将所述系统输入信号以及经延时处理后的输出信号输入神经网络逆模块进行处理包括以下步骤：

(1)确定神经网络逆模型的结构；

(2)获取神经网络的训练样本；

设f_s为采样频率，τ_s为采样时间，N为采样的样本数，采样数据中能够覆盖的最大频率为ω_max＝2π·f_s/2＝π/τ_s；采样数据中的频率分辨率为ω_res＝2π·(f_s/2)/(N/2)＝2π/Nτ_s；

(3)对训练样本进行归一化处理；

(4)神经网络逆建模，其包括以下步骤：

设第j个隐层神经元的输出为：

$R_j\left(X_k\right)=\exp (-\frac{{\left|\right|X_k-c_j\left|\right|}^2}{{\mathrm{\δ}}_j^2})=G\left(\right||u-c_j|\left|\right),j=\mathrm{1,2}...,m,$     (式1)

其中，X_k＝(x_1k，x_2k，...，x_nk)^T∈Rⁿ为第k个输入向量，n为输入层神经元个数；R_j(X_k)是隐层第j个神经元的输出，c_j是为第j个高斯函数的神经元中心，即第j个隐层节点的中心，δ_j是中心基宽参数，m是隐层神经元的个数，||·||为欧氏范数，u为n维向量；G(·)为径向基函数，具有中心径向对称的特点，离中心点的距离越近输出的数值则越大，对称中心的输出值越大，第k个神经元的输出为y_k，即

$y_k=\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{\mathrm{kj}}\·R_j\left(X_k\right)$     (式2)

其中，w_kj是连接隐层神经元j和输出神经元k的连接权值，

假设整个网络的输出为：

$u=\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{y}_k$

网络的期望输出值是u_d，则输出层误差为

e＝u_d-u

取目标函数为

$J=\frac{1}{2}{\left|\right|u_d-u\left|\right|}^2$

则，

输出层权值的更新表达式为：

w_kj(k+1)＝w_kj(k)+Δw_kj(k)＝w_kj(k)+η(u_d-u)R_j(X_k)；

隐层中心的表达式为：

$c_j(k+1)=c_j\left(k\right)+\mathrm{\μ}(u_d-u)w_{\mathrm{kj}}\frac{R_j\left(X_k\right)(X_k-c_j)}{b_j^2},$

式中，η，μ为常量，b_k为第k个输出节点的阈值。

另外，本发明还提出了一种基于非线性多入多出MIMO系统的解耦控制装置，其包括：

输入模块，用来接收输入信号；

神经网络模块，其用来构建神经网络模型；

神经网络逆模块，其用来构建神经网络逆模型；

控制模块，其用于产生控制信号，对被控对象进行解耦控制；

延时模块，用于对信号进行延时处理。

其中，将神经网络逆模块的输出信号输入控制模块和神经网络模块；

所述控制模块与所述神经网络模块在相同的输入信号下，两者的输出信号输入到输出模块；

输出模块根据所述控制模块与所述神经网络模块的输出信号生成扰动信号；

所述扰动信号经过延时处理后输入神经网络逆模块，经过控制模块后，输入所述输出模块。

本发明的方法和装置需要很少的先验知识，并不需要获知被控对象的数学模型，其对非线性系统良好的跟踪性能，稳态精度高，抗干扰能力强，并具有良好的鲁棒性，提高了对非线性MIMO系统的解耦控制的速度和稳定性。

附图说明

图1为与本发明一致的2输入2输出系统原理图；

图2为与本发明一致的基于非线性多入多出MIMO系统的解耦控制装置。

具体实施例

实施例一

对于2输入2输出系统，如果非线性系统Σ₁可以用传递函数 ${\mathrm{\Σ}}_1:G\left(s\right)=\left[\begin{array}{cc}{G}_{11}& G_{12}\\ G_{21}& G_{22}\end{array}\right],$ 输入为U＝[u₁ u₂]^T，输出为Y＝[y₁ y₂]^T，其耦合情况如图1所示，那么该系统的逆系统 ${\mathrm{\Σ}}_2:g\left(s\right)=\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\end{array}\right],$ 满足G(s)g(s)＝I，其中I为单位阵，这样就实现了非线性二阶系统的解耦控制。同理，对多阶系统也能实现相应的解耦控制。

实施例二

在该实施例中，描述神经网络逆模型的实现。步骤如下：

(1)确定神经网络逆模型的结构；

(2)获取神经网络的训练样本；

确定合适的采样频率和采样数据量。设f_s为采样频率，τ_s为采样时间，N为采样的样本数。采样数据中能够覆盖的最大频率为ω_max＝2π·f_s/2＝π/τ_s；采样数据中的频率分辨率(最小频率)为ω_min＝2π·(f_s/2)/(N/2)＝2π/Nτ_s。根据系统的实际要求可以确定出ω_max和ω_min，从而确定出τ_s和N，对样本数据进行预处理，剔除不良数据。

(3)神经网络的训练样本集的构造；

将采样和经过预处理后的结果组合成神经网络训练样本，构成神经网络的输入样本集和期望输出样本集。对训练样本进行归一化处理。

(4)神经网络逆建模。

使用径向基函数作为神经网络隐层单元的节点激活函数，构成隐含层函数空间，对隐单元输出的加权求和得到网络的输出。径向基函数是一种常见的前馈式神经网络，是最优非线性函数逼近器，具有三隐层，即输入层、隐层和输出层。输入节点到隐层节点之间的连接权值恒为1，隐层节点的函数一般选高斯函数。隐层与输出层之间通过权值相连。隐层激活函数是径向对称的核函数，通常采用高斯核函数。径向基函数神经网络主要分两步来实现其功能：第一步，确定各隐函数的中心向量及其宽度参数；第二步，确定隐含层到输出层的权值。

径向基函数网络的具体结构和函数描述如下：

设第j个隐层神经元的输出为：

$R_j\left(X_k\right)=\exp (-\frac{{\left|\right|X_k-c_j\left|\right|}^2}{{\mathrm{\δ}}_j^2}),j=\mathrm{1,2},...,m$     (式1)

其中，X_k＝(x_1k，x_2k，...，x_nk)^T∈Rⁿ为第k个输入向量，n为输入层神经元个数；R_j(X_k)是隐含层第j个神经元的输出，c_j是为第j个高斯函数的神经元中心，δ_j是中心基宽参数，m是隐层神经元的个数，||·||为欧氏范数。第k个神经元的输出为y_k，即

$y_k=\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{\mathrm{kj}}\·R_j\left(X_k\right)$     (式2)

其中，w_kj是连接隐层神经元j和输出神经元k的连接权值。

训练该神经网络是为了调节高斯函数的中心c_j和基宽参数δ_j以及权值w_kj得到最小均方误差。

通过最小化目标函数对各隐层节点的数据中心、基宽参数和输出权值进行训练和调节来对该神经网络进行梯度训练。设神经网络学习的目标函数为：

$E=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{e}_i^2$     (式3)

式中，误差信号e_i定义为

$e_i=y_i-F\left(x_i\right)=y_i-\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{\mathrm{kj}}\·{\mathrm{\Φ}}_j\left(X_i\right)$     (式4)

式中，Φ_j(X_i)是高斯函数，N为样本数，y_i表示第i个样本的期望输出。

网络学习的目标是为了得到网络的参数，包括径向基函数的数据中心c_j和基宽参数δ_j以及输出权值w_kj，通过学习训练使得误差函数达到极小。如果网络的激活函数是高斯基函数，求解上述问题，则表示为：

目标函数对权值的偏导数

$\frac{\∂E}{\∂w_{\mathrm{kj}}}=-\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{e}_i{\mathrm{\Φ}}_j$

(式5)

目标函数对径向基函数的数据中心的偏导数

$\frac{\∂E}{\∂c_j}=-\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{e}_i{w}_{\mathrm{kj}}\frac{\∂{\mathrm{\Φ}}_j}{\∂c_j}$

(式6)

误差函数对基宽参数的偏导数

$\frac{\∂E}{\∂{\mathrm{\δ}}_j}=-\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{e}_i{w}_{\mathrm{kj}}\frac{\∂{\mathrm{\Φ}}_j}{\∂{\mathrm{\δ}}_j}$

(式7)

径向基函数对中心的偏导数

$\frac{\∂{\mathrm{\Φ}}_j}{\∂c_j}=2{\mathrm{\Φ}}_j\left(X_k\right)\frac{\left|\right|X_k-c_j\left|\right|}{{\mathrm{\δ}}_j^2}$

(式8)

径向基函数对基宽参数的偏导数

$\frac{\∂{\mathrm{\Φ}}_j}{\∂{\mathrm{\δ}}_j}=2{\mathrm{\Φ}}_j\left(X_k\right)\frac{{\left|\right|X_k-c_j\left|\right|}^2}{{\mathrm{\δ}}_j^3}$

(式9)

考虑所有训练样本的影响，径向基函数网络的隐层中心，基宽参数和输出层权值的调节量为

$c_j(k+1)=c_j\left(k\right)+\mathrm{\Δ}{c}_j\left(k\right)=c_j\left(k\right)+{\mathrm{\η}}_2\frac{\∂E}{\∂c_j}$

(式10)

${\mathrm{\δ}}_j(k+1)={\mathrm{\δ}}_j\left(k\right)+\mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_j\left(k\right)={\mathrm{\δ}}_j\left(k\right)+{\mathrm{\η}}_1\frac{\∂E}{\∂{\mathrm{\δ}}_j}$

(式11)

$w_{\mathrm{kj}}(k+1)=w_j\left(k\right)+\mathrm{\Δ}{w}_{\mathrm{kj}}\left(k\right)=w_{\mathrm{kj}}\left(k\right)+{\mathrm{\η}}_3\frac{\∂E}{\∂w_{\mathrm{kj}}}$

(式12)

式中，η₁，η₂，η₃是学习率。

实施例三

如图2所示，为与本发明一致的基于非线性多入多出MIMO系统的解耦控制装置，如图2中1为该解耦控制装置。

输入模块，用来接收输入信号，还用于产生对神经网络模块和神经网络逆模块的采样信号；

神经网络模块，其用来构建神经网络模型；

神经网络逆模块，其用来构建神经网络逆模型；

控制模块，其用于产生控制信号，对被控对象进行解耦控制；

延时模块，用于对信号进行延时处理。

其中，输入信号输入神经网络逆模块；

将神经网络逆模块的输出信号输入控制模块和神经网络模块；

所述控制模块与所述神经网络模块在相同的输入信号下，两者的输出信号输入到输出模块；

输出模块根据所述控制模块与所述神经网络模块的输出信号生成扰动信号；

所述扰动信号经过延时处理后经输入模块输入到神经网络逆模块，经过控制模块后，至所述输出模块。

其中，输入模块输出采样信号，到控制模块和神经网络模块，两者都输出至输出模块，从而形成神经网络建模闭环电路。

其中，输入模块输出采样信号到神经网络模块，经由延时模块和神经网络逆模块，并与输出模块形成神经网络逆建模闭环电路。

神经网络模块和控制模块在相同的输入激励下，两者的输入相减等于干扰n(k)，这个干扰n(k)经过延时模块处理后，输入给神经网络逆模块，再经过控制模块后与干扰n(k)求和来消除干扰n(k)。

用神经网络进行对象逆模型的识别。网络的输入是对象的输出指令和对象的输入指令，网络的输出是隐层的输出加权和。网络的隐层的选取需要通过对网络的训练来完成。

径向基函数网络隐层第j个节点的输出为

R_j(X_k)＝G(||u-c_j||)    (式13)

式中，u为n维向量；c_j为第j个隐层节点的中心，j＝1，2，...，m；||·||为欧氏范数；G(·)为径向基函数，具有中心径向对称的特点，离中心点的距离越近输出的数值则越大，对称中心的输出值越大。

在网络的输出层中，第k个节点的输出可以用数学式表示为：

$y_k=\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{w}_{\mathrm{kj}}\·R_j\left(X_k\right)$

(式14)

式中，w_kj是隐层节点j与输出y_k的连接权；b_k为第k个输出节点的阈值。

径向基函数网络从隐层到输出层为非线性映射关系，因此整个网络的输出为：

$u=\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{y}_k$     (式15)

假设网络的期望输出值是u_d，则输出层误差为

e＝u_d-u    (式16)

取目标函数为

$J=\frac{1}{2}{\left|\right|u_d-u\left|\right|}^2$     (式17)

可得

$\frac{\∂J}{\∂w_{\mathrm{kj}}}=\frac{\∂J}{\∂u}\frac{\∂u}{\∂w_{\mathrm{kj}}},\frac{\∂J}{\∂u}=-(u_d-u),\frac{\∂u}{\∂w_{\mathrm{kj}}}=R_j\left(X_k\right)$     (式18)

所以

$\frac{\∂J}{\∂w_{\mathrm{kj}}}=-(u_d-u)R_j\left(X_k\right)$     (式19)

最后得到输出层权值的更新表达式为：

$w_{\mathrm{kj}}(k+1)=w_{\mathrm{kj}}\left(k\right)+\mathrm{\Δ}{w}_{\mathrm{kj}}\left(k\right),\mathrm{\Δ}{w}_{\mathrm{kj}}\left(k\right)=\mathrm{\η}(-\frac{\∂J}{\∂w_{\mathrm{kj}}})=\mathrm{\η}(u_d-u)R_j\left(X_k\right)$     (式20)

w_kj(k+1)=w_kj(k)+Δw_kj(k)=w_kj(k)+η(u_d-u)R_j(X_k)21)

网络隐层中心的学习算法，如下：

$c_j(k+1)=c_j\left(k\right)+\mathrm{\Δ}{c}_j\left(k\right),\mathrm{\Δ}{c}_j\left(k\right)=\mathrm{\μ}(-\frac{\∂J}{\∂c_j})$     (式22)

同上可推导得出

$\frac{\∂J}{\∂c_j}=\frac{\∂J}{\∂u}\frac{\∂u}{\∂c_j}=\frac{\∂J}{\∂u}\frac{\∂u}{\∂R_j\left(X_k\right)}\frac{\∂R_j\left(X_k\right)}{\∂c_j}$     (式24)

其中

$\frac{\∂J}{\∂u}=-(u_d-u),\frac{\∂u}{\∂R_j\left(X_k\right)}=w_j,\frac{\∂R_j\left(X_k\right)}{\∂c_j}=\frac{R_j\left(X_k\right)(X_k-c_j)}{b_j^2}$     (式25)

由此可以得出隐层中心的学习方法为

$c_j(k+1)=c_j\left(k\right)+\mathrm{\μ}(u_d-u)w_{\mathrm{kj}}\frac{R_j\left(X_k\right)(X_k-c_j)}{b_k^2}.$

(式26)

实施例四

与本发明一致的基于非线性多入多出MIMO系统的解耦控制方法，其包括以下步骤：

接收输入信号；

将所述输入信号以及经延时处理后的输出信号输入神经网络逆模块进行处理；

将神经网络逆模块的输出信号输入控制模块和神经网络模块；

所述控制模块与所述神经网络模块在相同的输入信号下，两者的输出信号输入到输出模块；

输出模块根据所述控制模块与所述神经网络模块的输出信号生成扰动信号；

所述扰动信号经过延时处理后输入神经网络逆模块，经过控制模块后，输入所述输出模块；

其中将所述系统输入信号以及经延时处理后的输出信号输入神经网络逆模块进行处理包括以下步骤：

(1)确定神经网络逆模型的结构；

(2)获取神经网络的训练样本；

设f_s为采样频率，τ_s为采样时间，N为采样的样本数，采样数据中能够覆盖的最大频率为ω_max＝2π·f_s/2＝π/τ_s。采样数据中的频率分辨率(最小频率)为ω_min＝2π·(f_s/2)/(N/2)＝2π/Nτ_s；

(3)对训练样本进行归一化处理；

(4)神经网络逆建模，其包括以下步骤：

设第j个隐层神经元的输出为：

$R_j\left(X_k\right)=\exp (-\frac{{\left|\right|X_k-c_j\left|\right|}^2}{{\mathrm{\δ}}_j^2})=G\left(\right||u-c_j|\left|\right),j=\mathrm{1,2}...,m,$

其中，X_k＝(x_1k，x_2k，...，x_nk)^T∈Rⁿ为第k个输入向量，n为输入层神经元个数；R_j(X_k)是隐层第j个神经元的输出，c_j是为第j个高斯函数的神经元中心，即第j个隐层节点的中心，δ_j是中心基宽参数，m是隐层神经元的个数，||·||为欧氏范数，u为n维向量；G(·)为径向基函数，具有中心径向对称的特点，离中心点的距离越近输出的数值则越大，对称中心的输出值越大，第k个神经元的输出为y_k，即

$y_k=\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{\mathrm{kj}}\·R_j\left(X_k\right)$

其中，w_kj是连接隐层神经元j和输出神经元k的连接权值，

假设整个网络的输出为：

$u=\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{y}_k$

网络的期望输出值是u_d，则输出层误差为

e＝u_d-u

取目标函数为

$J=\frac{1}{2}{\left|\right|u_d-u\left|\right|}^2$

则，

输出层权值的更新表达式为：

w_kj(k+1)＝w_kj(k)+Δw_kj(k)＝w_kj(k)+η(u_d-u)R_j(X_k)；

隐层中心的表达式为：

$c_j(k+1)=c_j\left(k\right)+\mathrm{\μ}(u_d-u)w_{\mathrm{kj}}\frac{R_j\left(X_k\right)(X_k-c_j)}{b_k^2},$

式中，η，μ为常量，b_k为第k个输出节点的阈值。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种基于非线性多入多出MIMO系统的解耦控制方法，其包括以下步骤：

接收输入信号；

将所述输入信号以及经延时处理后的输出信号输入神经网络逆模块进行处理；

将神经网络逆模块的输出信号输入控制模块和神经网络模块；

所述控制模块与所述神经网络模块在相同的输入信号下，两者的输出信号输入到输出模块；

输出模块根据所述控制模块与所述神经网络模块的输出信号生成扰动信号；

所述扰动信号经过延时处理后经输入模块输入到神经网络逆模块，经过控制模块后，至所述输出模块；

其中将所述输入信号以及经延时处理后的输出信号输入神经网络逆模块进行处理包括以下步骤：

(1)确定神经网络逆模型的结构；

(2)获取神经网络的训练样本；

设f_s为采样频率，τ_s为采样时间，N为采样的样本数，采样数据中能够覆盖的最大频率为ω_max＝2π·f_s/2＝π/τ_s；采样数据中的频率分辨率为ω_res＝2π·(f_s/2)/(N/2)＝2π/Nτ_s；

(3)对训练样本进行归一化处理；

(4)神经网络逆建模，其包括以下步骤：

设第j个隐层神经元的输出为：

$R_j\left(X_k\right)=\exp (-\frac{{\left|\right|X_k-c_j\left|\right|}^2}{{\mathrm{\δ}}_j^2})=G\left(\right||u-c_j|\left|\right),j=\mathrm{1,2},...,m,$

其中，X_k＝(x_1k,x_2k,...,x_nk)^T∈Rⁿ为第k个输入向量，n为输入层神经元个数；R_j(X_k)是隐层第j个神经元的输出，c_j是为第j个高斯函数的神经元中心，即第j个隐层节点的中心，δ_j是中心基宽参数，m是隐层神经元的个数，||·||为欧氏范数，u为n维向量；G(·)为径向基函数，具有中心径向对称的特点，离中心点的距离越近输出的数值则越大，对称中心的输出值越大，第k个神经元的输出为y_k，即

$y_k=\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{\mathrm{kj}}\·R_j\left(X_k\right)$

其中，w_kj是连接隐层神经元j和输出神经元k的连接权值，

假设整个网络的输出为：

$u=\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{y}_k$

网络的期望输出值是u_d，则输出层误差为

e＝u_d-u

取目标函数为

$J=\frac{1}{2}{\left|\right|u_d-u\left|\right|}^2$

则，

输出层权值的更新表达式为：

w_kj(k+1)＝w_kj(k)+Δw_kj(k)＝w_kj(k)+η(u_d-u)R_j(X_k)；

隐层中心的表达式为：

$c_j(k+1)=c_j\left(k\right)+\mathrm{\μ}(u_d-u)w_{\mathrm{kj}}\frac{R_j\left(X_k\right)(X_k-c_j)}{b_k^2},$

式中，η,μ为常量，b_k为第k个输出节点的阈值。