CN103389088A - 一种四冗余rfins最优配置方案的确定方法 - Google Patents

Abstract

一种四冗余RFINS最优配置方案的确定方法，以四冗余斜置配置的器件级冗余型捷联惯导为研究对象，从系统导航性能的角度分析其最优惯性敏感元件的配置方案。它有三个步骤：步骤一：建立冗余型捷联惯导系统惯性传感器输出模型。步骤二：推导证明基于导航性能的冗余型捷联惯导系统最优传感器配置矩阵H应满足的充要条件。步骤三：根据最优配置条件，得出使得斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能的仅有的两种配置方式，即正四面体与相邻轴夹角为70.5288°的正四棱锥配置方式。它在惯性导航技术领域里具有较好的实用价置和广阔地应用前景。

Description

一种四冗余RFINS最优配置方案的确定方法

（一）技术领域

本发明涉及一种四冗余RFINS最优配置方案的确定方法，以四、五及六冗余时斜置配置的器件级冗余型捷联惯导为研究对象，从系统导航性能的角度分析最优惯性敏感元件的配置方案。属于惯性导航技术领域。

（二）背景技术

冗余技术已成为提高捷联惯导系统(SINS)可靠性及精度的重要方法之一。相比较系统级冗余，器件级斜置冗余方式在体积功耗及成本方面具有较大优势，成为冗余捷联惯导系统(RSINS)的首选。

从上世纪60年代开始，国外多个大学及研究机构对器件级冗余型捷联惯导系统的配置方式进行了研究，早期研究主要集中于多种传感器配置方式下的硬故障及软故障检测方法，其中四、五、六冗余型捷联惯导系统在国外报道中出现频率较高：

1967年NASA Marshall飞行控制中心的F.B.Moore针对土星系列弹道导弹，计算了多种传感器配置条件下导航和控制系统故障概率；

1969年TRW系统组的F.A.Evans描述了NASA电子研究中心研发的由六个陀螺及六个加速度计组成的冗余型捷联惯导系统，并通过数字计算机内部逻辑程序比较陀螺与加速度计性能并进行故障检测；

1972年TRW系统组的James C.Wilcox针对正十二面体配置的六冗余捷联惯导系统提出了更为新颖的故障检测算法，包含了非线性滤波器以及自适应滤波器，并且利用了极大似然理论；同年Draper实验室的Jerold P.Gilmore提出了冗余捷联惯导系统的硬件及软件机制，指出正十二面体六陀螺及六加速度计配置可以实现最优的数据处理方式，有2个传感器故障时可以实现自容错隔离，3个传感器故障时系统可以继续工作；

1982年Boeing航空公司的Robert Goodstein提出了五个陀螺及五个加速度计斜置安装的冗余捷联惯导系统方案及故障诊断隔离算法；

1988年NASA-Langley研究中心的F.R.Morrell以4个双自由度的陀螺和加速度计构成的正八面体配置为例提出了冗余捷联惯性测量单元普适性测试以及边向量测试的双容错算法；

1992年Honeywell公司的Michael L.Sheffels对一套六冗余正十二面体配置的惯导系统飞行数据进行了描述，指出其较由三套系统组成的系统级冗余设计具有更高的可靠性，可以满足商业航空市场的高可靠性要求；

1996年Michael Polites在AIAA会议上描述了Delta2运载火箭所用的高性能冗余捷联惯导系统，它包含6个20cm的RL20激光陀螺和6个QA3000加速度计。

国内对冗余型惯导系统配置方式等的研究起步于上世纪90年代，研究内容同样涉及故障诊断及隔离算法：

1990年北京航空航天大学的张杰、张洪钺研究了冗余传感器系统传感器的配置和奇偶向量的选择问题，从输入和检测性能最优准则出发给出了配置结构和奇偶向量的求解途径；

1994年北京控制器件研究所的陈雪东、孙肇荣对冗余捷联惯性测量系统中的边缘向量检测法进行了研究，将原来仅能将故障定位到陀螺推广至定位故障到陀螺测量轴；

1995年北京航空航天大学的王社伟、张洪钺对冗余捷联惯导系统中冗余惯性传感器结构配置和奇偶向量的确定方法进行了研究，通过对系统误检率和漏检率的分析得到系统优化配置和奇偶向量；

1997年北京航空航天大学的金宏、张洪钺研究了冗余惯导系统中器件的结构配置及其对广义似然比故障检测方法的影响，提出以测量空间上的投影阵对角线上的元素等作为冗余惯性器件结构配置的优化条件；

1999年南京航空航天大学的刘建业、王伟对用MEMS器件构成的冗余捷联惯性系统配置算法进行了研究，以典型的六陀螺余度配置方案进行讨论；

2002年北京航空航天大学的王社伟、张洪钺指出了马尔可夫模型方法比串并联分析方法和故障树方法更适合于冗余惯导系统的可靠性分析，给出了马尔可夫模型定义和转移矩阵的确定方法；

2005年第二炮兵工程学院的夏克寒、许化龙得到了一种冗余捷联惯导系统的优化模型及算法；

2006年西安飞行控制研究所的陈璞、王曼提出了利用主、子惯导系统中六路加速度计信号进行余度配置的方法；

2006年北京航空航天大学的王社伟、张洪钺利用半马尔可夫过程理论分析了冗余捷联惯导系统的可靠性；

2006年北京航空航天大学的贾鹏、张洪钺以正十二面体配置的六陀螺冗余惯性组件为平台，对奇异值分解法在冗余惯导系统故障诊断中的实用性进行了研究；

2007年南京航空航天大学的边德飞、熊智将开环Kalman滤波器用于多套导航系统并存时的导航性能在线评估算法。

本发明提出了一种四冗余RFINS最优配置方案的确定方法，以四、五及六冗余时斜置配置的器件级冗余型捷联惯导为研究对象，基于系统导航性能最优的角度分析惯性敏感元件的配置方案，并得出结论：只有正四面体与相邻轴夹角为70.5288°的正四棱锥两种配置方式，能使斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能。

（三）发明内容

本发明提出了一种四冗余RFINS最优配置方案的确定方法，该方法首先建立冗余型捷联惯导系统惯性传感器输出模型，然后给出基于导航性能的冗余型捷联惯导系统最优传感器配置矩阵H应满足的充要条件及证明，最后根据最优配置条件，证明得到：使得斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能的仅有两种配置方式，分别是正四面体与相邻轴夹角为70.5288°的正四棱锥配置方式。该方法具体步骤如下：

步骤一：建立冗余型捷联惯导系统惯性传感器输出模型；冗余型捷联惯导系统中与传感器输入输出相关的两个坐标系：

●传感器坐标系(s系)：它是由传感器的安装轴所形成的坐标系，原点位于传感器安装轴的相交点，坐标轴即为传感器安装轴，因此在s系中各坐标轴并非传统的正交关系；

●系统本体坐标系(b系)：它的原点在系统的重心处(为便于表示，假设系统重心与s系原点重合)，x_b沿载体横轴向右，y_b沿载体纵轴向前，z_b与载体底座垂直向上，三个坐标轴满足右手定则。

s系与b系均与载体固联，其中b系与当地地理坐标系之间的关系即反映了载体的水平及航向姿态角。假设m=[m₁ m₂ ... m_n]^T表示n个陀螺仪或加速度计的输出矢量；x=[x₁ x₂ x₃]^T表示载体相对惯性空间的转动角速度或比力沿b系中三个正交轴的映射矢量；H=[h₁ h₂ ... h_n]^T为n×3阶的传感器配置矩阵，其描述了s系与b系之间的关系，并满足rank(H)=3且

的条件；ε为陀螺仪或加速度计的量测噪声矢量，满足ε～N(0,ρI_n)。此时m,x,H和ε具有如下关系：

m=Hx+ε      (3-1)

在斜置或正交+斜置配置时，各种配置方案之间的差异主要体现于惯性传感器安装轴之间的夹角不同。在斜置冗余型捷联惯导系统中，一般不会直接利用陀螺仪与加速度计输出值m完成惯导解算，而是首先求出b系下的映射矢量

再按照图3所示惯导解算过程完成载体速度、位置和姿态的求解。如下式所示：

$\hat{x}{=\left(H^{T}H\right)}^{-1}{H}^{T}m---(3-2)$

步骤二：推导证明基于导航性能的冗余型捷联惯导系统最优传感器配置矩阵H应满足的充要条件；观察方程（3-1）和（3-2）可以得到，

中包含由陀螺仪或加速度计量测噪声ε引入的误差矢量。定义x的估计误差为此时冗余型捷联惯导系统的导航精度基于以下误差方差阵：

P=E[e·e^T]=(H^TH)^-1ρ²    (3-3)

方差阵P的迹J可用于表示系统导航性能的优劣，如下式所示。基于导航性能的最优传感器配置应满足J最小。

$J=\mathrm{trace}\left(P\right)=E\left[{(x_1-{\hat{x}}_1)}^2\right]+E\left[{(x_2-{\hat{x}}_2)}^2\right]+E\left[{(x_3-{\hat{x}}_3)}^2\right]---(3-4)$

对于方程（3-3），基于导航性能的冗余型捷联惯导系统最优传感器配置矩阵H应满足以下充要条件：

$H^{T}H=\frac{n}{3}{I}_n---(3-5)$

证明：充分性：假设满足上述条件，并且矩阵H^TH的特征值为λ₁,λ₂,λ₃。由

可以得到以下不等式：

$J=\mathrm{trace}\left(P\right)={\mathrm{\ρ}}^2\mathrm{trace}\left\{{\left(H^{T}H\right)}^{-1}\right\}={\mathrm{\ρ}}^2(\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_3})\≥\frac{{3\mathrm{\ρ}}^2}{\sqrt[3]{{\mathrm{\λ}}_1{\mathrm{\λ}}_2{\mathrm{\λ}}_3}}---(3-6)$

上式当且仅当λ₁=λ₂=λ₃时等号成立。因此当

时，描述导航性能的方差阵P的迹达到最小，此时配置矩阵H将使系统获得最优的导航性能。

必要性：假设导航性能最优时传感器配置矩阵为H，且方程（3-3）中方差阵P的迹达到最小。设H^TH的特征值为λ₁,λ₂,λ₃，同样可以由

得到不等式（3-6），式中当且仅当λ₁=λ₂=λ₃时等号成立。

由于

且trace(HH^T)=λ₁+λ₂+λ₃，而当方差阵P的迹最小时λ₁=λ₂=λ₃，因此可以得到下面证明当满足上述条件时，

成立。

对H进行奇异值分解可以得到：

H=UΛV^T    (3-7)

这里U=[u₁,u₂,…,u_n],V=[v₁,v₂,v₃], $\mathrm{\Λ}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Σ}\\ 0\end{array}\right],$ Σ=diag{σ₁,σ₂,σ₃}。u_i和v_i分别是与H的奇异值相关的左右特征向量，U和V均为酉矩阵且σ_i ²=λ_i。因此可以得到：

$H^{T}H=V{\mathrm{\Λ}}^T{U}^T\mathrm{U\Λ}{V}^T={\mathrm{\Σ}}^2=\frac{n}{3}{I}_n---(3-8)$

步骤三：根据最优配置条件，得出使得斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能的配置方式。由上节得，若使器件级斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能，陀螺仪与加速度计的配置矩阵H应满足如下条件：

$H^{T}H=\frac{4}{3}{I}_n---(3-9)$

由于H^TH是正定矩阵且H为列满秩矩阵，其三个特征值均为

对H做如式（3-7）所示的奇异值分解，其中U∈R^4×4与V∈R^3×3均为正交矩阵，Λ可表示为：

$\mathrm{\Λ}=\left[\begin{array}{ccc}2/\sqrt{3}& 0& 0\\ 0& 2/\sqrt{3}& 0\\ 0& 0& 2/\sqrt{3}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]---(3-10)$

矩阵H可表示为如下形式：

$H=\left[\begin{array}{cc}{U}_1& U_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Λ}}_1\\ {\mathrm{\Λ}}_2\end{array}\right]V---(3-11)$

其中，U₁∈R^4×3，U₂∈R^4×1，

Λ₂=0。由于U₂Λ₂=0，因此H即为：

$H=U_1{\mathrm{\Λ}}_{1}V=(2/\sqrt{3})U_{1}V---(3-12)$

U₁V可看作将U₁进行坐标系转换，但其行向量之间的夹角始终保持不变，因此H中四个行向量之间的夹角等同于U₁中四个行向量之间的夹角。由于H=[h₁,h₂,h₃,h₄]^T具有|h_i|=1的特征，则U₁与U₂的行向量的模分别为

和1/2。假设U₂=[u₂₁,u₂₂,u₂₃,u₂₄]^T，其中四个元素均为1/2或-1/2，因此U₂可为如表1所示的16个向量之一。

表1 U₂的16种表达形式

假设U₁=[u₁₁,u₁₂,u₁₃,u₁₄]^T，则U=[(u₁₁,u₂₁),(u₁₂,u₂₂),(u₁₃,u₂₃),(u₁₄,u₂₄)]^T，并且对于 $\∀i,j=\mathrm{1,2,3,4}(i\≠j),$ 满足如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}\left|u_{1i}\right|=\sqrt{3}/2\\ \left|u_{2i}\right|=1/2\\ u_{1i}{u}_{1j}^T+u_{2i}{u}_{2j}^T=0\end{array}\right.---(3-13)$

同样对于

矩阵U₁中各行向量之间夹角的余弦可表示为：

$\cos \⟨\begin{array}{cc}{u}_{1i}& u_{1j}\end{array}\⟩=\frac{u_{1i}{u}_{1j}^T}{\left|u_{1i}\right|\left|u_{1j}\right|}=-4u_{2i}{u}_{2j}^T/3---(3-14)$

由于配置矩阵H中四个行向量之间的夹角等同于U₁中四个行向量之间的夹角，假设四个陀螺仪或加速度计的安装轴分别为A、B、C和D，则安装轴之间的夹角A/B,A/C,A/D,B/C,B/D和C/D的余弦如表2所示。

表2四个安装轴之间夹角的余弦

A/B

A/C

A/D

B/C

B/D

C/D

1

-1/3

-1/3

-1/3

-1/3

-1/3

-1/3

2

1/3

1/3

1/3

-1/3

-1/3

-1/3

3

1/3

-1/3

-1/3

1/3

1/3

-1/3

4

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1/3

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1/3

-1/3

1/3

5

-1/3

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1/3

-1/3

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6

-1/3

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1/3

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7

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1/3

1/3

-1/3

1/3

8

1/3

1/3

-1/3

-1/3

1/3

1/3

通过比较表1和表2中的数据可以发现，通过奇异值分解的方法可以求解出基于导航性能最优的器件级四冗余捷联惯导系统配置方案，四个安装轴之间夹角的余弦值存在固定解。图1与图2为表2中8种配置结构的图形化显示。

如图1与图2所示，表2中实质只存在两种配置方式：(1)～(5)表示正四面体配置，其中(1)与其余四种安装方式的区别为A轴的正向相反，在(1)中各轴之间夹角为109.4712°，在(2)～(5)中各棱轴与中心轴间夹角为70.5288°，而棱轴之间夹角仍为109.4712°；(6)～(8)表示正四棱锥配置，此时相邻棱轴间夹角为70.5288°，而相对棱轴间夹角为109.4712°。以(1)、(2)和(6)为例，其配置矩阵可分别表示为：

$H_{\left(1\right)}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -0.3333& -0.9428& 0\\ -0.3333& 0.4714& 0.8165\\ -0.3333& 0.4714& -0.8165\end{array}\right]$

$H_{\left(2\right)}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -0.3333& 0.9428& 0\\ 0.3333& 0.4714& 0.8165\\ -0.3333& -0.4714& 0.8165\end{array}\right]$

$H_{\left(6\right)}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0.3333& 0.9428& 0\\ 0.3333& -0.4714& 0.8165\\ -0.3333& 0.4714& 0.8165\end{array}\right]$

因此能够使斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能的配置方式仅有两种，分别是正四面体与相邻轴夹角为70.5288°的正四棱锥配置方式。

本发明的优点在于：

（1）从数学角度严格推导证明基于导航性能的冗余型捷联惯导系统最优传感器配置矩阵H应满足的充要条件，具有较好的参考价值。

（2）根据最优配置条件，得出使得斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能的两种配置方式，即正四面体与相邻轴夹角为70.5288°的正四棱锥配置方式，为四冗余系统的优化设计提供了参考依据，具有重要的指导意义。

（四）附图说明

图1（a）、图1（b）、图1（c）、图1（d）、图1（e）为正四面体配置方式示意图，分别对应表2中序号1至5所示的配置方式；

图2（a）、图2（b）、图2（c）为正四棱锥配置方式示意图，分别对应表2中序号6至8所示的配置方式；

图3为惯导解算基本原理框图；

图4为本发明所述方法流程图。

图中符号说明如下：

为加表输出，

为姿态阵，

为导航坐标系下的加速度，

为速度，

为位移角速度，

为位置矩阵，L,λ,α分别为纬度、经度和游动方位角，ψ，θ,γ为三个姿态角，

为地球自转角速度，

为陀螺输出。

（五）具体实施方式

下面将结合附图对本发明作进一步的详细说明。

见图4，本发明提出了一种四冗余RFINS最优配置方案的确定方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：建立冗余型捷联惯导系统惯性传感器输出模型。冗余型捷联惯导系统中与传感器输入输出相关的两个坐标系：

●传感器坐标系(s系)：它是由传感器的安装轴所形成的坐标系，原点位于传感器安装轴的相交点，坐标轴即为传感器安装轴，因此在s系中各坐标轴并非传统的正交关系；

●系统本体坐标系(b系)：它的原点在系统的重心处(为便于表示，假设系统重心与s系原点重合)，x_b沿载体横轴向右，y_b沿载体纵轴向前，z_b与载体底座垂直向上，三个坐标轴满足右手定则。

s系与b系均与载体固联，其中b系与当地地理坐标系之间的关系即反映了载体的水平及航向姿态角。假设m=[m₁ m₂ ... m_n]^T表示n个陀螺仪或加速度计的输出矢量；x=[x₁ x₂ x₃]^T表示载体相对惯性空间的转动角速度或比力沿b系中三个正交轴的映射矢量；H=[h₁ h₂ ... h_n]^T为n×3阶的传感器配置矩阵，其描述了s系与b系之间的关系，并满足rank(H)=3且

的条件；ε为陀螺仪或加速度计的量测噪声矢量，满足ε～N(0,ρI_n)。此时m,x,H和ε具有如下关系：

m=Hx+ε    (5-1)

在斜置或正交+斜置配置时，各种配置方案之间的差异主要体现于惯性传感器安装轴之间的夹角不同。在斜置冗余型捷联惯导系统中，一般不会直接利用陀螺仪与加速度计输出值m完成惯导解算，而是首先求出b系下的映射矢量

按照图3所示惯导解算过程完成载体速度、位置和姿态的求解。如下式所示：

$\hat{x}{=\left(H^{T}H\right)}^{-1}{H}^{T}m---(5-2)$

步骤二：推导基于导航性能的冗余型捷联惯导系统最优传感器配置矩阵H应满足的充要条件。观察方程（5-1）和（5-2）可以得到，

中包含由陀螺仪或加速度计量测噪声ε引入的误差矢量。定义x的估计误差为

此时冗余型捷联惯导系统的导航精度基于以下误差方差阵：

P=E[e·e^T]=(H^TH)^-1ρ²    (5-3)

方差阵P的迹J可用于表示系统导航性能的优劣，如下式所示。基于导航性能的最优传感器配置应满足J最小。

$J=\mathrm{trace}\left(P\right)=E\left[{(x_1-{\hat{x}}_1)}^2\right]+E\left[{(x_2-{\hat{x}}_2)}^2\right]+E\left[{(x_3-{\hat{x}}_3)}^2\right]---(5-4)$

对于方程（5-3），基于导航性能的冗余型捷联惯导系统最优传感器配置矩阵H应满足以下充要条件：

$H^{T}H=\frac{n}{3}{I}_n---(5-5)$

证明：充分性：假设满足上述条件，并且矩阵H^TH的特征值为λ₁,λ₂,λ₃。由

可以得到以下不等式：

$J=\mathrm{trace}\left(P\right)={\mathrm{\ρ}}^2\mathrm{trace}\left\{{\left(H^{T}H\right)}^{-1}\right\}={\mathrm{\ρ}}^2(\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_3})\≥\frac{{3\mathrm{\ρ}}^2}{\sqrt[3]{{\mathrm{\λ}}_1{\mathrm{\λ}}_2{\mathrm{\λ}}_3}}---(5-6)$

上式当且仅当λ₁=λ₂=λ₃时等号成立。因此当

时，描述导航性能的方差阵P的迹达到最小，此时配置矩阵H将使系统获得最优的导航性能。

必要性：假设导航性能最优时传感器配置矩阵为H，且方程（5-3）中方差阵P的迹达到最小。设H^TH的特征值为λ₁,λ₂,λ₃，同样可以由

得到不等式（5-6），式中当且仅当λ₁=λ₂=λ₃时等号成立。

由于

且trace(HH^T)=λ₁+λ₂+λ₃，而当方差阵P的迹最小时λ₁=λ₂=λ₃，因此可以得到

下面证明当满足上述条件时，

成立。

对H进行奇异值分解可以得到：

H=UΛV^T    (5-7)

这里U=[u₁,u₂,…,u_n],V=[v₁,v₂,v₃], $\mathrm{\Λ}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Σ}\\ 0\end{array}\right],$ Σ=diag{σ₁,σ₂,σ₃}。u_i和v_i分别是与H的奇异值相关的左右特征向量，U和V均为酉矩阵且σ_i ²=λ_i。因此可以得到：

$H^{T}H=V{\mathrm{\Λ}}^T{U}^T\mathrm{U\Λ}{V}^T={\mathrm{\Σ}}^2=\frac{n}{3}{I}_n---(5-8)$

步骤三：根据最优配置条件，得出使得斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能的仅有的两种配置方式。由上节得，若使器件级斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能，陀螺仪与加速度计的配置矩阵H应满足如下条件：

$H^{T}H=\frac{4}{3}{I}_n---(5-9)$

由于H^TH是正定矩阵且H为列满秩矩阵，其三个特征值均为

对H做如式（5-7）所示的奇异值分解，其中U∈R^4×4与V∈R^3×3均为正交矩阵，Λ可表示为：

$\mathrm{\Λ}=\left[\begin{array}{ccc}2/\sqrt{3}& 0& 0\\ 0& 2/\sqrt{3}& 0\\ 0& 0& 2/\sqrt{3}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]---(5-10)$

矩阵H可表示为如下形式：

$H=\left[\begin{array}{cc}{U}_1& U_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Λ}}_1\\ {\mathrm{\Λ}}_2\end{array}\right]V---(5-11)$

其中，U₁∈R^4×3，U₂∈R^4×1，

Λ₂=0。由于U₂Λ₂=0，因此H即为：

$H=U_1{\mathrm{\Λ}}_{1}V=(2/\sqrt{3})U_{1}V---(5-12)$

U₁V可看作将U₁进行坐标系转换，但其行向量之间的夹角始终保持不变，因此H中四个行向量之间的夹角等同于U₁中四个行向量之间的夹角。由于H=[h₁,h₂,h₃,h₄]^T具有|h_i|=1的特征，则U₁与U₂的行向量的模分别为

和1/2。假设U₂=[u₂₁,u₂₂,u₂₃,u₂₄]^T，其中四个元素均为1/2或-1/2，因此U₂可为如表1所示的16个向量之一。

表1 U₂的16种表达形式

假设U₁=[u₁₁,u₁₂,u₁₃,u₁₄]^T，则U=[(u₁₁,u₂₁),(u₁₂,u₂₂),(u₁₃,u₂₃),(u₁₄,u₂₄)]^T，并且对于 $\∀i,j=\mathrm{1,2,3,4}(i\≠j),$ 满足如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}\left|u_{1i}\right|=\sqrt{3}/2\\ \left|u_{2i}\right|=1/2\\ u_{1i}{u}_{1j}^T+u_{2i}{u}_{2j}^T=0\end{array}\right.---(5-13)$

同样对于

矩阵U₁中各行向量之间夹角的余弦可表示为：

$\cos \⟨\begin{array}{cc}{u}_{1i}& u_{1j}\end{array}\⟩=\frac{u_{1i}{u}_{1j}^T}{\left|u_{1i}\right|\left|u_{1j}\right|}=-4u_{2i}{u}_{2j}^T/3---(3-14)$

由于配置矩阵H中四个行向量之间的夹角等同于U₁中四个行向量之间的夹角，假设四个陀螺仪或加速度计的安装轴分别为A、B、C和D，则安装轴之间的夹角A/B,A/C,A/D,B/C,B/D和C/D的余弦如表2所示。

表2四个安装轴之间夹角的余弦

A/B

A/C

A/D

B/C

B/D

C/D

1

-1/3

-1/3

-1/3

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-1/3

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2

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3

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4

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通过比较表1和表2中的数据可以发现，通过奇异值分解的方法可以求解出基于导航性能最优的器件级四冗余捷联惯导系统配置方案，四个安装轴之间夹角的余弦值存在固定解。图1（a）、图1（b）、图1（c）、图1（d）、图1（e）与图2（a）、图2（b）、图2（c）为表2中8种配置结构的图形化显示。

如图1（a）、图1（b）、图1（c）、图1（d）、图1（e）与图2（a）、图2（b）、图2（c）所示，表2中实质只存在两种配置方式：(1)～(5)表示正四面体配置，其中(1)与其余四种安装方式的区别为A轴的正向相反，在(1)中各轴之间夹角为109.4712°，在(2)～(5)中各棱轴与中心轴间夹角为70.5288°，而棱轴之间夹角仍为109.4712°；(6)～(8)表示正四棱锥配置，此时相邻棱轴间夹角为70.5288°，而相对棱轴间夹角为109.4712°。以(1)、(2)和(6)为例，其配置矩阵可分别表示为：

$H_{\left(1\right)}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -0.3333& -0.9428& 0\\ -0.3333& 0.4714& 0.8165\\ -0.3333& 0.4714& -0.8165\end{array}\right]$

$H_{\left(2\right)}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -0.3333& 0.9428& 0\\ 0.3333& 0.4714& 0.8165\\ -0.3333& -0.4714& 0.8165\end{array}\right]$

$H_{\left(6\right)}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0.3333& 0.9428& 0\\ 0.3333& -0.4714& 0.8165\\ -0.3333& 0.4714& 0.8165\end{array}\right]$

因此能够使斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能的配置方式仅有两种，分别是正四面体与相邻轴夹角为70.5288°的正四棱锥配置方式。

Claims (1)

1.一种四冗余RFINS最优配置方案的确定方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：建立冗余型捷联惯导系统惯性传感器输出模型；冗余型捷联惯导系统中与传感器输入输出相关的两个坐标系：

●传感器坐标系即s系：它是由传感器的安装轴所形成的坐标系，原点位于传感器安装轴的相交点，坐标轴即为传感器安装轴，因此在s系中各坐标轴并非传统的正交关系；

●系统本体坐标系即b系：它的原点在系统的重心处，为便于表示，设系统重心与s系原点重合，x_b沿载体横轴向右，y_b沿载体纵轴向前，z_b与载体底座垂直向上，三个坐标轴满足右手定则；

s系与b系均与载体固联，其中b系与当地地理坐标系之间的关系即反映了载体的水平及航向姿态角；假设m=[m₁ m₂ ... m_n]^T表示n个陀螺仪或加速度计的输出矢量；x=[x₁ x₂ x₃]^T表示载体相对惯性空间的转动角速度或比力沿b系中三个正交轴的映射矢量；H=[h₁ h₂ ... h_n]^T为n×3阶的传感器配置矩阵，其描述了s系与b系之间的关系，并满足rank(H)=3且

的条件；ε为陀螺仪或加速度计的量测噪声矢量，满足ε～N(0,ρI_n)，此时m,x,H和ε具有如下关系：

m=Hx+ε    (3-1)

在斜置或正交+斜置配置时，各种配置方案之间的差异主要体现于惯性传感器安装轴之间的夹角不同，在斜置冗余型捷联惯导系统中，一般不会直接利用陀螺仪与加速度计输出值m完成惯导解算，而是首先求出b系下的映射矢量

再进行惯导解算过程完成载体速度、位置和姿态的求解，如下式所示：

$\hat{x}{=\left(H^{T}H\right)}^{-1}{H}^{T}m---(3-2)$

步骤二：推导证明基于导航性能的冗余型捷联惯导系统最优传感器配置矩阵H应满足的充要条件；观察方程（3-1）和（3-2）得到，

中包含由陀螺仪或加速度计量测噪声ε引入的误差矢量；定义x的估计误差为

此时冗余型捷联惯导系统的导航精度基于以下误差方差阵：

P=E[e·e^T]=(H^TH)^-1ρ²    (3-3)

方差阵P的迹J用于表示系统导航性能的优劣，如下式所示；基于导航性能的最优传感器配置应满足J最小；

$J=\mathrm{trace}\left(P\right)=E\left[{(x_1-{\hat{x}}_1)}^2\right]+E\left[{(x_2-{\hat{x}}_2)}^2\right]+E\left[{(x_3-{\hat{x}}_3)}^2\right]---(3-4)$

对于方程（3-3），基于导航性能的冗余型捷联惯导系统最优传感器配置矩阵H应满足以下充要条件：

$H^{T}H=\frac{n}{3}{I}_n---(3-5)$

证明：充分性：假设满足上述条件，并且矩阵H^TH的特征值为λ₁,λ₂,λ₃；由

得到以下不等式：

$J=\mathrm{trace}\left(P\right)={\mathrm{\ρ}}^2\mathrm{trace}\left\{{\left(H^{T}H\right)}^{-1}\right\}={\mathrm{\ρ}}^2(\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_3})\≥\frac{{3\mathrm{\ρ}}^2}{\sqrt[3]{{\mathrm{\λ}}_1{\mathrm{\λ}}_2{\mathrm{\λ}}_3}}---(3-6)$

上式当且仅当λ₁=λ₂=λ₃时等号成立；因此当

时，描述导航性能的方差阵P的迹达到最小，此时配置矩阵H将使系统获得最优的导航性能；

必要性：假设导航性能最优时传感器配置矩阵为H，且方程（3-3）中方差阵P的迹达到最小；设H^TH的特征值为λ₁,λ₂,λ₃，同样由

得到不等式（3-6），式中当且仅当λ₁=λ₂=λ₃时等号成立；

由于

且trace(HH^T)=λ₁+λ₂+λ₃，而当方差阵P的迹最小时λ₁=λ₂=λ₃，因此得到

下面证明当满足上述条件时，成立；

对H进行奇异值分解得到：

H=UΛV^T    (3-7)

这里U=[u₁,u₂,…,u_n],V=[v₁,v₂,v₃], $\mathrm{\Λ}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Σ}\\ 0\end{array}\right],$ Σ=diag{σ₁,σ₂,σ₃}；u_i和v_i分别是与H的奇异值相关的左右特征向量，U和V均为酉矩阵且σ_i ²＝λ_i；因此得到：

$H^{T}H=V{\mathrm{\Λ}}^T{U}^T\mathrm{U\Λ}{V}^T={\mathrm{\Σ}}^2=\frac{n}{3}{I}_n---(3-8)$

步骤三：根据最优配置条件，得出使得斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能的配置方式；由上节得，若使器件级斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能，陀螺仪与加速度计的配置矩阵H应满足如下条件：

$H^{T}H=\frac{4}{3}{I}_n---(3-9)$

由于H^TH是正定矩阵且H为列满秩矩阵，其三个特征值均为

对H做如式（3-7）所示的奇异值分解，其中U∈R^4×4与V∈R^3×3均为正交矩阵，Λ表示为：

$\mathrm{\Λ}=\left[\begin{array}{ccc}2/\sqrt{3}& 0& 0\\ 0& 2/\sqrt{3}& 0\\ 0& 0& 2/\sqrt{3}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]---(3-10)$

矩阵H表示为如下形式：

$H=\left[\begin{array}{cc}{U}_1& U_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Λ}}_1\\ {\mathrm{\Λ}}_2\end{array}\right]V---(3-11)$

其中，U₁∈R^4×3，U₂∈R^4×1，Λ₂=0；由于U₂Λ₂=0，因此H即为：

$H=U_1{\mathrm{\Λ}}_{1}V=(2/\sqrt{3})U_{1}V---(3-12)$

U₁V看作将U₁进行坐标系转换，但其行向量之间的夹角始终保持不变，因此H中四个行向量之间的夹角等同于U₁中四个行向量之间的夹角；由于H=[h₁,h₂,h₃,h₄]^T具有|h_i|=1的特征，则U₁与U₂的行向量的模分别为

和1/2；假设U₂=[u₂₁,u₂₂,u₂₃,u₂₄]^T，其中四个元素均为1/2或-1/2，因此U₂为如表1所示的16个向量之一；

表1 U₂的16种表达形式

假设U₁=[u₁₁,u₁₂,u₁₃,u₁₄]^T，则U=[(u₁₁,u₂₁),(u₁₂,u₂₂),(u₁₃,u₂₃),(u₁₄,u₂₄)]^T，并且对于 $\∀i,j=\mathrm{1,2,3,4}(i\≠j),$ 满足如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}\left|u_{1i}\right|=\sqrt{3}/2\\ \left|u_{2i}\right|=1/2\\ u_{1i}{u}_{1j}^T+u_{2i}{u}_{2j}^T=0\end{array}\right.---(3-13)$

同样对于

矩阵U₁中各行向量之间夹角的余弦表示为：

$\cos \⟨\begin{array}{cc}{u}_{1i}& u_{1j}\end{array}\⟩=\frac{u_{1i}{u}_{1j}^T}{\left|u_{1i}\right|\left|u_{1j}\right|}=-4u_{2i}{u}_{2j}^T/3---(3-14)$

由于配置矩阵H中四个行向量之间的夹角等同于U₁中四个行向量之间的夹角，假设四个陀螺仪或加速度计的安装轴分别为A、B、C和D，则安装轴之间的夹角A/B,A/C,A/D,B/C,B/D和C/D的余弦如表2所示；

表2四个安装轴之间夹角的余弦

A/B A/C A/D B/C B/D C/D 1 -1/3 -1/3 -1/3 -1/3 -1/3 -1/3 2 1/3 1/3 1/3 -1/3 -1/3 -1/3 3 1/3 -1/3 -1/3 1/3 1/3 -1/3 4 -1/3 1/3 -1/3 1/3 -1/3 1/3 5 -1/3 -1/3 1/3 -1/3 1/3 1/3

6 -1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 -1/3 7 1/3 -1/3 1/3 1/3 -1/3 1/3 8 1/3 1/3 -1/3 -1/3 1/3 1/3

通过比较表1和表2中的数据发现，通过奇异值分解的方法求解出基于导航性能最优的器件级四冗余捷联惯导系统配置方案，四个安装轴之间夹角的余弦值存在固定解；表2中实质只存在两种配置方式：(1)～(5)表示正四面体配置，其中(1)与其余四种安装方式的区别为A轴的正向相反，在(1)中各轴之间夹角为109.4712°，在(2)～(5)中各棱轴与中心轴间夹角为70.5288°，而棱轴之间夹角仍为109.4712°；(6)～(8)表示正四棱锥配置，此时相邻棱轴间夹角为70.5288°，而相对棱轴间夹角为109.4712°；以(1)、(2)和(6)为例，其配置矩阵分别表示为：

$H_{\left(1\right)}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -0.3333& -0.9428& 0\\ -0.3333& 0.4714& 0.8165\\ -0.3333& 0.4714& -0.8165\end{array}\right]$

$H_{\left(2\right)}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -0.3333& 0.9428& 0\\ 0.3333& 0.4714& 0.8165\\ -0.3333& -0.4714& 0.8165\end{array}\right]$

$H_{\left(6\right)}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0.3333& 0.9428& 0\\ 0.3333& -0.4714& 0.8165\\ -0.3333& 0.4714& 0.8165\end{array}\right]$

因此能够使斜置型四冗余捷联惯导系统获得最优导航性能的配置方式仅有两种，分别是正四面体与相邻轴夹角为70.5288°的正四棱锥配置方式。

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