CN103366095A - 一种基于坐标变换的最小二乘拟合信号处理方法 - Google Patents

Abstract

一种基于坐标变换的最小二乘拟合信号处理方法，首先，通过选取参考横坐标，根据参考横坐标计算并存储与参考横坐标有关的变量；然后，根据变量求解拟合曲线的系数；其次，判断散点信号的横坐标是否与参考横坐标相同，若散点信号的横坐标与参考横坐标相同，则参考横坐标下的拟合曲线的系数即为散点信号拟合曲线的系数，若散点信号的横坐标与参考横坐标不相同，则根据坐标变换求得散点信号拟合曲线的系数；最后利用拟合曲线的系数建立拟合方程，将散点信号带入拟合方程进行计算，实现对散点信号的拟合，并结束该方法。

Description

一种基于坐标变换的最小二乘拟合信号处理方法

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，具体涉及一种基于坐标变换的最小二乘拟合信号处理方法。

背景技术

在信号处理中，由于受到外界各种因素的影响，信号中混合了噪声，而且可能会存在一些偏差比较大的值，为了提高处理结果的精度，需要修正这些偏差，对数据进行曲线拟合。所谓曲线拟合就是通过分析数据的总体规律，构造一条能较好反映这种规律的曲线，使之尽可能地靠近所有的数据点。

曲线拟合的方法有很多，最常用的是最小二乘拟合法，最小二乘拟合算法的原理简单，运算精度比较高。最小二乘拟合算法就是先构造一条拟合曲线，然后令所有散点到拟合曲线的偏差的平方和最小，以此求出拟合曲线的系数。在实际中最常用的是一次直线拟合和二次曲线拟合。

有一组N点的数据，它们的坐标表示为(x_i，y_i)，其中i＝1，2，…，N。利用最小二乘拟合算法对这组数据进行拟合。

设一次拟合曲线为则每个点相对于拟合曲线的偏差为

$d_i=y_i-(p_1^1{x}_i+p_1^0)---\left(1\right)$

则所有点偏差的平方和为

$D=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{d}_i^2=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{[y_i-(p_1^1{x}_i+p_1^0)]}^2---\left(2\right)$

根据极值的原理，令D最小相当于D对系数

和

的偏导等于0，即

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂D}{\∂p_1^0}=-2[\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i-N{p}_1^0-p_1^1\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i]=0\\ \frac{\∂D}{{\∂p}_1^1}=-2[\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i-p_1^0\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i-p_1^1\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2]=0\end{array}\right.---\left(3\right)$

用类似

的形式表示一个变量的均值，求得一次拟合曲线的系数为

$\left\{\begin{array}{c}{p}_1^0=\stackrel{\‾}{y}-p_1^1\stackrel{\‾}{x}\\ p_1^1=\frac{\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}-\stackrel{\‾}{x}\stackrel{\‾}{y}}{\stackrel{\‾}{x^2}-{\stackrel{\‾}{x}}^2}\end{array}\right.---\left(4\right)$

同理，设二次拟合曲线为

根据最小二乘拟合的原理，求得二次拟合曲线的系数为

$\left\{\begin{array}{c}{p}_2^0=y-p_2^1\stackrel{\‾}{x}-p_2^2\stackrel{\‾}{x^2}\\ p_2^1=\frac{\stackrel{\‾}{x^{2}y}(\stackrel{\‾}{x^3}-\stackrel{\‾}{x^2}\stackrel{\‾}{x})+\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}[{\left(\stackrel{\‾}{x^2}\right)}^2-\stackrel{\‾}{x^4}]+\stackrel{\‾}{y}[\stackrel{\‾}{x}\stackrel{\‾}{x^4}-\stackrel{\‾}{x^2}\stackrel{\‾}{x^3}]}{\stackrel{\‾}{x^4}[{\left(\stackrel{\‾}{x}\right)}^2-\stackrel{\‾}{x^2}]+\stackrel{\‾}{x^3}(\stackrel{\‾}{x^3}-\stackrel{\‾}{x^2}\stackrel{\‾}{x})+\stackrel{\‾}{x^2}[{\left(\stackrel{\‾}{x}\right)}^2-\stackrel{\‾}{x^3}\stackrel{\‾}{x}]}\\ p_2^2=\frac{\stackrel{\‾}{x^{2}y}[{\left(\stackrel{\‾}{x}\right)}^2-\stackrel{\‾}{x^2}]+\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}(\stackrel{\‾}{x^3}-\stackrel{\‾}{x^2}\stackrel{\‾}{x})+\stackrel{\‾}{y}[{\left(\stackrel{\‾}{x}\right)}^2-\stackrel{\‾}{x^3}\stackrel{\‾}{x}]}{\stackrel{\‾}{x^4}[{\left(\stackrel{\‾}{x}\right)}^2-\stackrel{\‾}{x^2}]+\stackrel{\‾}{x^3}(\stackrel{\‾}{x^3}-\stackrel{\‾}{x^2}\stackrel{\‾}{x})+\stackrel{\‾}{x^2}[{{\left(\stackrel{\‾}{x}\right)}^2}^{}-\stackrel{\‾}{x^3}\stackrel{\‾}{x}]}\end{array}\right.---\left(5\right)$

综上所述，传统的最小二乘拟合算法的运算过程十分复杂，运算量很大，给硬件实现带来了很大的困难。为了提高拟合算法的性能，减小硬件资源成了一个亟待解决的问题。

发明内容

本发明的目的是为了克服已有技术的缺陷，为了解决传统最小二乘拟合算法运算过程复杂、运算量大及硬件资源大的问题，提出的一种基于坐标变换的最小二乘拟合信号处理方法。

本发明方法是通过下述技术方案实现的：

一种基于坐标变换的最小二乘拟合信号处理方法，其基本实施步骤如下：

1、一种基于坐标变换的最小二乘拟合信号处理方法，其特征在于，实施步骤如下：

步骤一、选取包含N个参数的等差数列作为参考横坐标x₁＝(x₁₁，x₁₂，……，x_1N)，其中x₁₁＝a₀，x₁₂＝a₀+s₀，x₁₃＝a₀+2s₀，……，x_1N＝a₀+(N-1)s₀；

步骤二、根据所选取的参考横坐标x₁，计算变量X₁ ^-1和

$X_1^{-1}\text{=}{\left[\begin{array}{cc}1& \stackrel{\‾}{x_1}\\ \stackrel{\‾}{x_1}& \stackrel{\‾}{{x_1}^2}\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{13}& m_{14}\end{array}\right],$ $X_2^{-1}={\left[\begin{array}{ccc}1& \stackrel{\‾}{x}& \stackrel{\‾}{x^2}\\ \stackrel{\‾}{x}& \stackrel{\‾}{x^2}& \stackrel{\‾}{x^3}\\ \stackrel{\‾}{x^2}& \stackrel{\‾}{x^3}& \stackrel{\‾}{x^4}\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{m}_{21}& m_{22}& m_{23}\\ m_{24}& m_{25}& m_{26}\\ m_{27}& m_{28}& m_{29}\end{array}\right];$

步骤三、基于变量X₁ ^-1和一次拟合曲线系数公式 $\left\{\begin{array}{c}{p}_1^1=m_{11}\·\stackrel{\‾}{y}+m_{13}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}\\ p_1^0=m_{12}\·\stackrel{\‾}{y}+m_{14}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}\end{array}\right.,$ 计算一次拟合曲线的系数 $A_1=\left[p_1^1\begin{array}{cc}& p_1^0\end{array}\right];$

基于变量X₂ ^-1和二次拟合曲线系数公式 $\left\{\begin{array}{c}{p}_2^2=m_{21}\·\stackrel{\‾}{y}+m_{24}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}+m_{27}.\stackrel{\‾}{x^{2}y}\\ p_2^1=m_{22}.\stackrel{\‾}{y}+m_{25}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}+m_{28}\·\stackrel{\‾}{x^{2}y}\\ p_2^0=m_{23}\·\stackrel{\‾}{y}+m_{26}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}+m_{29}\·\stackrel{\‾}{x^{2}y}\end{array}\right.,$ 计算二次拟合曲线的系数 $A_2=\left[\begin{array}{ccc}{p}_2^2& p_2^1& p_2^0\end{array}\right];$

步骤四、对所需拟合的信号进行采样，得到N个散点信号，其坐标为

对所采样的信号进行判断，若所采样的信号呈线性分布时，则进入步骤五，若所采样的信号呈二次曲线分布时，则进入步骤六；

步骤五、判断散点信号的横坐标是否与参考横坐标相同，若是，则令 $\left\{\begin{array}{c}{\hat{p}}_1^1=p_1^1\\ {\hat{p}}_1^0=p_1^0\end{array}\right.$ 否则，令 $\left\{\begin{array}{c}{\hat{p}}_1^1=p_1^1/s_1\\ {\hat{p}}_1^0=p_1^0-p_1^1{x}_{21}/s_1+p_1^1\end{array}\right.,$ 求解出散点信号的一次拟合系数

其中s₁为相邻散点信号横坐标间隔，x₂₁为第一个散点信号的初始横坐标；然后进入步骤七；

步骤六、判断散点信号的横坐标是否与参考横坐标相同，若是，则令 $\left\{\begin{array}{c}{\hat{p}}_2^2=p_2^2\\ {\hat{p}}_2^1=p_2^1\\ {\hat{p}}_2^0=p_2^0\end{array}\right.$ 否则，令 $\left\{\begin{array}{c}{\hat{p}}_2^2=p_2^2/{s_1}^2\\ {\hat{p}}_2^1=(2p_2^2+p_2^1)/s_1-2{\hat{p}}_2^2{x}_{21}\\ {\hat{p}}_2^0=p_2^2+p_2^1+p_2^0-{\hat{p}}_2^2{x}_{21}^2-{\hat{p}}_2^1{x}_{21}\end{array}\right.,$ 求解出散点信号的二次拟合系数

然后进入步骤八；

步骤七、根据拟合系数建立一次拟合方程，并将散点信号坐标

代入一次拟合方程进行计算，实现对散点信号的拟合，并结束该方法；

步骤八、根据拟合系数

建立二次拟合方程，并将散点信号坐标

代入二次拟合方程进行计算，实现对散点信号的拟合，并结束该方法。

有益效果：

本发明提出的基于坐标变换的最小二乘拟合算法，通过构造参考横坐标，并预先计算存储只与参考坐标系中横坐标有关的变量；在信号处理时，只需要根据信号的自身的横坐标，对所存储的变量进行转换，这样可以大大提高信号处理的速率，并节省大量的硬件资源。

附图说明

图1为基于坐标变换的一次拟合仿真图

图2为基于坐标变换的二次拟合仿真图

图3为基于坐标变换的拟合算法实现流程图。

具体实施方式

本发明设计原理：本发明将背景技术中所述式(4)进行变形得到一次拟合方程的简化式如式(6)所示：

$\left[\begin{array}{cc}{p}_1^1& p_1^0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& \stackrel{\‾}{x}\\ \stackrel{\‾}{x}& \stackrel{\‾}{x^2}\end{array}\right]=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\‾}{y}& \stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}\end{array}\right]\end{array}---\left(6\right)$

设 $X_1=\left[\begin{array}{cc}1& \stackrel{\‾}{x}\\ \stackrel{\‾}{x}& \stackrel{\‾}{x^2}\end{array}\right],$ $Y_1=\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\‾}{y}& \stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}\end{array}\right],$ $A_1=\left[\begin{array}{cc}{p}_1^1& p_1^0\end{array}\right],$ 由于 $\stackrel{\‾}{x^2}\≠\stackrel{-2}{x},$ 故矩阵X₁为可逆矩阵，则A₁＝Y₁X₁ ^-1即为要求的一次拟合曲线的系数。

同理，对背景技术中的式(5)进行变形得到二次拟合方程的简化形式如式(7)所示：

$\left[\begin{array}{ccc}{p}_2^2& p_2^1& p_2^0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& \stackrel{\‾}{x}& \stackrel{\‾}{x^2}\\ \stackrel{\‾}{x}& \stackrel{\‾}{x^2}& \stackrel{\‾}{x^3}\\ \stackrel{\‾}{x^2}& \stackrel{\‾}{x^3}& \stackrel{\‾}{x^4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\stackrel{\‾}{y}& \stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}& \stackrel{\‾}{x^{2}y}\end{array}\right]---\left(7\right)$

设 $X_2=\left[\begin{array}{ccc}1& \stackrel{\‾}{x}& \stackrel{\‾}{x^2}\\ \stackrel{\‾}{x}& \stackrel{\‾}{x^2}& \stackrel{\‾}{x^3}\\ \stackrel{\‾}{x^2}& \stackrel{\‾}{x^3}& \stackrel{\‾}{x^4}\end{array}\right],$ $Y_2=\left[\begin{array}{ccc}\stackrel{\‾}{y}& \stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}& \stackrel{\‾}{x^{2}y}\end{array}\right],$ $A_2=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}{p}_2^2& p_2^1& p_2^0\end{array}\right]\end{array},$ 由于 $\stackrel{\‾}{x^2}\≠{\stackrel{\‾}{x}}^2,\stackrel{\‾}{x^3}\≠\stackrel{\‾}{x}\·\stackrel{\‾}{x^2},$ 故矩阵X₂为可逆矩阵，则A₂＝Y₂X₂ ^-1即为要求的二次拟合曲线的系数。

由上述推导结果可知，X₁ ^-1和X₂ ^-1都只与拟合数据的横坐标有关，如果拟合数据的横坐标可提前确定，则可预先计算出逆矩阵X₁ ^-1和X₂ ^-1中元素的值并进行存储，这样拟合过程的运算量将大大减小；同时在信号处理领域中，由于所采样的数字信号的横坐标通常存在特定的规律，即横坐标为等差数列，因此本发明基于上述原理，针对信号处理领域，提出了一种基于坐标变换的最小二乘拟合信号处理方法。

本发明基于坐标变换的最小二乘拟合方法，如图3所示，其基本实施步骤如下：

步骤一、选取包含N个参数的等差数列作为参考横坐标x₁＝(x₁₁，x₁₂，……，x_1N)，其中x₁₁＝a₀，x₁₂＝a₀+s₀，x₁₃＝a₀+2s₀，……，x_1N＝a₀+(N-1)s₀，其中a₀为所选取的参考横坐标的起始值，s₀为相邻参考横坐标的间隔，N为需要拟合的散点信号个数；一般选取a₀＝1，s₀＝1，即参考横坐标选为x₁＝(1，2，3，…，N)。

步骤二、根据所选取的参考横坐标x₁，计算只与所述横坐标x₁有关的变量X₁ ^-1和并存储X₁ ^-1和

分别用m_1k(k＝1，2，3，4)和m₂₁(l＝1，2，…，9)表示逆矩阵X₁ ^-1和

的元素值，由a₀＝1，s₀＝1，可以计算得到X₁ ^-1和

的具体形式：

$X_1^{-1}={\left[\begin{array}{cc}1& \stackrel{\‾}{x_1}\\ \stackrel{\‾}{x_1}& \stackrel{\‾}{{x_1}^2}\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{13}& m_{14}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}({4N}^2+6N+2)/(N^2+1)& (6N+6)/(1-N^2)\\ (6N+6)/(1-N^2)& 12/(N^2-1)\end{array}\right],$

$X_2^{-1}={\left[\begin{array}{ccc}1& \stackrel{\‾}{x}& \stackrel{\‾}{x^2}\\ \stackrel{\‾}{x}& \stackrel{\‾}{x^2}& \stackrel{\‾}{x^3}\\ \stackrel{\‾}{x^2}& \stackrel{\‾}{x^3}& \stackrel{\‾}{x^4}\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{m}_{21}& m_{22}& m_{23}\\ m_{24}& m_{25}& m_{26}\\ m_{27}& m_{28}& m_{29}\end{array}\right]$

$=\frac{1}{f}\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{20}{N}^6+\frac{1}{5}{N}^5+\frac{7}{30}{N}^4-\frac{13}{60}{N}^3-\frac{1}{5}{N}^2-\frac{1}{15}& -\frac{1}{5}{N}^5-\frac{7}{10}{N}^4-\frac{1}{2}{N}^3+\frac{1}{2}{N}^2+\frac{7}{10}N+\frac{1}{5}& \frac{1}{6}{N}^4+\frac{1}{2}{N}^3+\frac{1}{6}{N}^2-\frac{1}{2}N-\frac{1}{36}\\ -\frac{1}{5}{N}^5-\frac{7}{10}{N}^4-\frac{1}{2}{N}^3+\frac{1}{2}{N}^2+\frac{7}{10}N+\frac{1}{5}& \frac{11}{15}{N}^4+2N^3-\frac{1}{3}{N}^2-2N+\frac{16}{15}& -N^3-N^2+N+1\\ \frac{1}{6}{N}^4+\frac{1}{2}{N}^3+\frac{1}{6}{N}^2-\frac{1}{2}N-\frac{1}{6}& -N^3-N^2+N+1& N^2-1\end{array}\right]$

其中

由于在进行信号的拟合处理时，信号个数N是确定值，故矩阵X₁ ^-1和X₂ ^-1中元素的值均为常数。

步骤三、分别计算一次拟合曲线系数和二次拟合曲线系数；

一次拟合曲线系数：(1)根据存储的变量X₁ ^-1和一次拟合曲线的系数公式 $\left\{\begin{array}{c}{p}_1^1=m_{11}\·\stackrel{\‾}{y}+m_{13}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}\\ p_1^0=m_{12}\·\stackrel{\‾}{y}+m_{14}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}\end{array}\right.,$ 计算参考坐标系下的一次拟合曲线的系数 $A_1={\left[\begin{array}{c}{p}_1^1\\ p_1^0\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{c}(4N^2+6N+2)\stackrel{\‾}{y}/(N^2+1)+(6N+6)\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}/(1-N^2)\\ (6N+6)\stackrel{\‾}{y}/(1-N^2)+12\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}/(N^2-1)\end{array}\right]}^T;$

二次拟合曲线系数：(2)根据存储的变量X₂ ^-1和二次拟合曲线的系数公式 $\left\{\begin{array}{c}{p}_2^2=m_{21}\·\stackrel{\‾}{y}+m_{24}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}+m_{27}.\stackrel{\‾}{x^{2}y}\\ p_2^1=m_{22}.\stackrel{\‾}{y}+m_{25}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}+m_{28}\·\stackrel{\‾}{x^{2}y}\\ p_2^0=m_{23}\·\stackrel{\‾}{y}+m_{26}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}+m_{29}\·\stackrel{\‾}{x^{2}y}\end{array}\right.,$ 计算参考坐标系下的二次拟合曲线的系数

$A_2={\left[\begin{array}{c}{p}_2^2\\ p_2^1\\ p_2^0\end{array}\right]}^T$

$=\frac{1}{f}{\left[\begin{array}{c}(\frac{1}{20}{N}^6+\frac{1}{5}{N}^5+\frac{7}{30}{N}^4-\frac{13}{60}{N}^3-\frac{1}{5}{N}^2-\frac{1}{15})\stackrel{\‾}{y}+(-\frac{1}{5}{N}^5-\frac{7}{10}{N}^4-\frac{1}{2}{N}^3+\frac{1}{2}{N}^2+\frac{7}{10}N+\frac{1}{5})\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}+(\frac{1}{6}{N}^4+\frac{1}{2}{N}^3+\frac{1}{6}{N}^2-\frac{1}{2}N-\frac{1}{6})\stackrel{\‾}{x^{2}y}\\ (-\frac{1}{5}{N}^5-\frac{7}{10}{N}^4-\frac{1}{2}{N}^3+\frac{1}{2}{N}^2+\frac{7}{10}N+\frac{1}{5})\stackrel{\‾}{y}+(\frac{11}{15}{N}^4+{2N}^3-\frac{1}{3}{N}^2-2N+\frac{16}{15})\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}+(-N^3-N^2+N+1)\stackrel{\‾}{x^{2}y}\\ (\frac{1}{6}{N}^4+\frac{1}{2}{N}^3+\frac{1}{6}{N}^2-\frac{1}{2}N-\frac{1}{36})\stackrel{\‾}{y}+(-N^3-N^2+N+1)\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}+(N^2-1)\stackrel{\‾}{x^{2}y}\end{array}\right]}^T$

其中 $f=\frac{1}{180}{N}^6-\frac{1}{30}{N}^4+\frac{1}{20}{N}^2-\frac{1}{45};$

步骤四、对所需拟合的信号进行采样，得到N个散点信号，其坐标为

对所采样的信号进行判断，若所采样的信号呈线性分布时，则进入步骤五，若所采样的信号呈二次曲线分布时，则进入步骤六。

步骤五、判断散点信号的横坐标是否与参考横坐标相同(即满足)，如果相同，则将步骤三中获得的系数A₁即为散点信号的一次拟合系数

即 $\left\{\begin{array}{c}{\hat{p}}_1^1=p_1^1\\ {\hat{p}}_1^0=p_1^0\end{array}\right.;$ 如果不同，根据步骤三中获得的系数A₁，求解散点信号的一次拟合系数

求解散点信号的一次拟合系数A₁′的具体过程为：

散点信号的横坐标为x₂＝(x₂₁，x₂₂，…，x_2N)，由于在信号处理领域中，采样系统一般为均匀采样，故散点信号的横坐标间隔为一个固定值，设为s₁；

令散点信号与参考横坐标一一对应，且令对应点上纵坐标值相同y_1i＝y_2i，此时得到N个参考坐标

并得到如式(10)所示的关系式：

$\left\{\begin{array}{c}(x_{2i}-x_{20})=s_1(x_{1i}-1)\\ y_{2i}=y_{1i}\end{array}\right.---\left(10\right)$

对于一次拟合，设散点信号在参考坐标系下的拟合直线为

在散点信号所处的坐标系下的拟合直线为

步骤三中已根据存储的X₁ ^-1求得了在参考坐标系下的拟合曲线Linel的拟合系数

将参考坐标系下对应的散点信号坐标

和散点信号坐标 $S_2=\left\{{(x_{2i},y_{2i})}_{i=1}^N\right\}$ 代入一次拟合方程 $\mathrm{Linel}:y=p_1^{1}x+p_1^0$ 和 $\mathrm{line}2:y={\hat{p}}_1^{1}x+{\hat{p}}_1^0$ 得到式(11)：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_{1i}=p_1^1{x}_{1i}+p_1^0\\ y_{2i}={\hat{p}}_1^1{x}_{2i}+{\hat{p}}_1^0\end{array}\right.---\left(11\right)$

把式(10)代入式(11)得到式(12)：

$y_{1i}=y_{2i}$

$={\hat{p}}_1^1{x}_{2i}+{\hat{p}}_1^0---\left(12\right)$

$=\left({\hat{p}}_1^1{s}_1\right)x_{1i}+({\hat{p}}_1^1{x}_{21}-{\hat{p}}_1^1{s}_1+{\hat{p}}_1^0)$

结合式(11)和式(12)并化简得到式(13)：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{p}}_1^1=p_1^1/s_1\\ {\hat{p}}_1^0=p_1^0-p_1^1{x}_{21}/s_1+p_1^1\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中，式(13)中s₁为相邻散点信号的横坐标间隔，x₂₁为散点信号初始横坐标值，由此可以计算得到散点信号在其所处的真实坐标系下的一次拟合系数 ${\hat{A}}_1=[{\hat{p}}_1^1,{\hat{p}}_1^0].$

步骤六、判断散点信号的横坐标是否与参考横坐标相同(即满足

如果相同，则将步骤三中获得的系数A₂即为散点信号的二次拟合系数

即 $\left\{\begin{array}{c}{\hat{p}}_2^2=p_2^2\\ {\hat{p}}_2^1=p_2^1\\ {\hat{p}}_2^0=p_2^0\end{array}\right.;$ 如果不同，根据步骤三中获得的系数A₂，求解散点信号的二次拟合系数

求解散点信号的二次拟合系数

的具体过程为：

散点信号的横坐标为x₂＝(x₂₁，x₂₂，…，x_2N)，由于在信号处理领域中，采样系统一般为均匀采样，故散点信号的横坐标间隔为一个固定值，设为s₁；

对于二次拟合，设散点信号在参考横坐标系下的二次拟合曲线为

在散点信号所处的坐标下的拟合曲线为

步骤三中已根据存储的X₁ ^-2求得了参考横坐标系下的拟合曲线Line3的拟合系数

将参考坐标系下对应的散点信号坐标和散点信号坐标

代入二次拟合曲线方程

和 $\mathrm{Line}4:y={\hat{p}}_2^2{x}^2+{\hat{p}}_2^{1}x+{\hat{p}}_2^0$ 得到式(14)：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_{1i}=p_2^2{x}_{1i}+p_2^1{x}_{1i}+p_2^0\\ y_{2i}={\hat{p}}_2^2{x}_{2i}+{\hat{p}}_2^1{x}_{2i}+{\hat{p}}_2^0\end{array}\right.---\left(14\right)$

把式(10)代入式(14)得到式(15)：

$y_{1i}=y_{2i}$

$={\hat{p}}_2^2{x}_{2i}^2+{\hat{p}}_2^1{x}_{2i}+{\hat{p}}_2^0---\left(15\right)$

$=\left({\hat{p}}_2^2{s_1}^2\right)x_{1i}^2+[2{\hat{p}}_2^2{s}_1(x_{21}-s_1)+{\hat{p}}_2^1{s}_1]x_{1i}+[(2p_2^1+p_2^0)/s_1\·x_{21}-p_2^1/{s_1}^2\·x_{21}^2-p_2^2-p_2^1+{\hat{p}}_2^0]$

结合式(14)和式(15)并化简得到式(16)：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{p}}_2^2=p_2^2/{s_1}^2\\ {\hat{p}}_2^1=(2p_2^2+p_2^1)/s_1-2{\hat{p}}_2^2{x}_{21}\\ {\hat{p}}_2^0=p_2^2+p_2^1+p_2^0-{\hat{p}}_2^2{x}_{21}^2-{\hat{p}}_2^1{x}_{21}\end{array}\right.---\left(16\right)$

由此可以计算得到散点信号所处的坐标系下的二次拟合系数 ${\hat{A}}_2=\left[\begin{array}{ccc}{\hat{p}}_2^2& {\hat{p}}_2^1& {\hat{p}}_2^0\end{array}\right].$

步骤七、根据拟合系数

建立一次拟合方程

并将散点信号坐标

代入一次拟合方程进行计算，实现对散点信号的拟合，并结束该方法；

步骤八、根据拟合系数建立二次拟合方程

并将散点信号坐标

代入二次拟合方程进行计算，实现对散点信号的拟合，并结束该方法。

实例

本发明利用Matlab对一种基于坐标变换的最小二乘拟合方法进行了仿真，取散点信号横坐标的起始坐标值为x₂₀＝1.5。为了更好的分析这种改进的拟合算法的精度，本发明对多种情况进行了仿真，散点信号横坐标的间隔分别取s₁＝0.5，s₁＝1，s₁＝2。

首先利用函数y＝2.3x+4.5在区间[0，12]内均匀间隔生成40个采样点，并加入幅值为0.5的随机噪声组成观测数据

利用基于坐标变换的最小二乘一次拟合算法对这组散点数据进行拟合运算，得到的拟合结果如图1所示。

然后利用函数y＝5.8x²+7.9x-10.8在区间[1，12]内均匀生成40个采样点，并加入幅值为0.5的随机噪声组成观测数据

利用基于坐标变换的最小二乘二次拟合算法对这组散点数据进行拟合运算，得到的拟合结果如图2所示。

从图1和图2可以看出，这种基于坐标转换的最小二乘拟合算法的一次拟合和二次拟合的效果都挺好，拟合曲线有效的刻画了散点数据的变换趋势，而且散点数据均匀的分布在拟合曲线的两侧。

对多次的仿真结果取平均，定量分析基于坐标变换的最小二乘拟合算法的误差。一次拟合曲线相对于原始数据的均方误差为0.2811，其中样本点的噪声的均方误差为0.2921；二次拟合曲线的均方误差为0.2115，其中样本点的噪声的均方误差为0.2591。可以看出，这种改进的拟合算法的均方误差与样本噪声的均方误差相当，说明这种改进的拟合算法有比较高的精度。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于坐标变换的最小二乘拟合信号处理方法，其特征在于，实施步骤如下：

步骤一、选取包含N个参数的等差数列作为参考横坐标x₁＝(x₁1，x₁₂，……，x_1N)，其中x₁₁＝a₀，x₁₂＝a₀+s₀，x₁₃＝a₀+2s₀，……，x₁N＝a₀+(N-1)s₀；

步骤二、根据所选取的参考横坐标x₁，计算变量X₁ ^-1和X₂ ^-1：

$X_1^{-1}\text{=}{\left[\begin{array}{cc}1& \stackrel{\‾}{x_1}\\ \stackrel{\‾}{x_1}& \stackrel{\‾}{{x_1}^2}\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{13}& m_{14}\end{array}\right],$ $X_2^{-1}={\left[\begin{array}{ccc}1& \stackrel{\‾}{x}& \stackrel{\‾}{x^2}\\ \stackrel{\‾}{x}& \stackrel{\‾}{x^2}& \stackrel{\‾}{x^3}\\ \stackrel{\‾}{x^2}& \stackrel{\‾}{x^3}& \stackrel{\‾}{x^4}\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{m}_{21}& m_{22}& m_{23}\\ m_{24}& m_{25}& m_{26}\\ m_{27}& m_{28}& m_{29}\end{array}\right];$

步骤三、基于变量X₁ ^-1和一次拟合曲线系数公式 $\left\{\begin{array}{c}{p}_1^1=m_{11}\·\stackrel{\‾}{y}+m_{13}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}\\ p_1^0=m_{12}\·\stackrel{\‾}{y}+m_{14}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}\end{array}\right.,$ 计算一次拟合曲线的系数 $A_1=\left[\begin{array}{cc}{p}_1^1& p_1^0\end{array}\right];$

基于变量X₂ ^-1和二次拟合曲线系数公式 $\left\{\begin{array}{c}{p}_2^2=m_{21}\·\stackrel{\‾}{y}+m_{24}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}+m_{27}.\stackrel{\‾}{x^{2}y}\\ p_2^1=m_{22}.\stackrel{\‾}{y}+m_{25}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}+m_{28}\·\stackrel{\‾}{x^{2}y}\\ p_2^0=m_{23}\·\stackrel{\‾}{y}+m_{26}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{xy}}+m_{29}\·\stackrel{\‾}{x^{2}y}\end{array}\right.,$ 计算二次拟合曲线的系数 $A_2=\left[\begin{array}{ccc}{p}_2^2& p_2^1& p_2^0\end{array}\right];$

步骤四、对所需拟合的信号进行采样，得到N个散点信号，其坐标为

对所采样的信号进行判断，若所采样的信号呈线性分布时，则进入步骤五，若所采样的信号呈二次曲线分布时，则进入步骤六；

步骤五、判断散点信号的横坐标是否与参考横坐标相同，若是，则令 $\left\{\begin{array}{c}{\hat{p}}_1^1=p_1^1\\ {\hat{p}}_1^0=p_1^0\end{array}\right.$ 否则，令 $\left\{\begin{array}{c}{\hat{p}}_1^1=p_1^1/s_1\\ {\hat{p}}_1^0=p_1^0-p_1^1{x}_{21}/s_1+p_1^1\end{array}\right.,$ 求解出散点信号的一次拟合系数

其中s₁为相邻散点信号横坐标间隔，x₂₁为第一个散点信号的初始横坐标；然后进入步骤七；

步骤六、判断散点信号的横坐标是否与参考横坐标相同，若是，则令 $\left\{\begin{array}{c}{\hat{p}}_2^2=p_2^2\\ {\hat{p}}_2^1=p_2^1\\ {\hat{p}}_2^0=p_2^0\end{array}\right.$ 否则，令 $\left\{\begin{array}{c}{\hat{p}}_2^2=p_2^2/{s_1}^2\\ {\hat{p}}_2^1=(2p_2^2+p_2^1)/s_1-2{\hat{p}}_2^2{x}_{21}\\ {\hat{p}}_2^0=p_2^2+p_2^1+p_2^0-{\hat{p}}_2^2{x}_{21}^2-{\hat{p}}_2^1{x}_{21}\end{array}\right.,$ 求解出散点信号的二次拟合系数

然后进入步骤八；

步骤七、根据拟合系数

建立一次拟合方程，并将散点信号坐标

代入一次拟合方程进行计算，实现对散点信号的拟合，并结束该方法；

步骤八、根据拟合系数

建立二次拟合方程，并将散点信号坐标

代入二次拟合方程进行计算，实现对散点信号的拟合，并结束该方法。

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