CN103345556B - 基于自调节双链量子遗传算法的焊接悬臂梁优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于自调节双链量子遗传算法的焊接悬臂梁优化设计方法。根据焊接悬臂梁优化问题的目标函数和约束条件确定适应度函数，并初始化双链量子种群；利用双链量子个体表示优化问题的解，根据适应度函数获得个体适应度，并存储全局最优和最差可行解与非可行解；利用量子旋转门更新双链个体，执行进化调整；利用量子非门进行变异；然后计算个体适应度，更新全局最优和最差的可行解与非可行解；直到当前迭代步数等于最大迭代步数时，终止迭代，输出全局最优可行解作为优化变量的值。本发明简化了计算，提高了优化效率和搜索效率，获得的焊接悬臂梁优化设计结果好，速度快。

Description

基于自调节双链量子遗传算法的焊接悬臂梁优化设计方法

技术领域

本发明涉及一种基于自调节双链量子遗传算法的焊接悬臂梁优化设计方法，属于工程设计与方法优化技术领域。

背景技术

在机械工程结构优化设计中，数值优化是普遍存在的问题。随着现代工业的发展，标准化、规范化、系列化的实施以及客观的要求，使得机械设计优化问题中的目标函数通常是非线性、非凸和多峰的。传统的运筹学方法在求解此类问题时显得有些乏力，客观上需要寻求不依赖函数性质的其它方法。而智能优化算法的出现，为解决一些非线性和高维问题的优化问题提供了新的思路。其中，双链量子遗传算法以其高效的优化能力，逐渐受到国内外学者的关注。

实际工程结构优化设计问题中，往往还包含大量的条件约束，如何选择设计参数，使得在满足约束要求的基础上又能使目标函数达到最优，是约束优化的本质。焊接悬臂梁优化设计是一种典型的结构优化问题，它包含一个非线性目标函数、四个设计变量以及七个非线性约束。目前很多方法已经尝试优化焊接悬臂梁设计问题，它已经成为检验优化算法性能好坏的标准。设计的目的是使梁体能牢固地焊接在实体中，在确保能承受一定负载、满足剪切应力、弯曲应力和弯曲载荷等约束条件的同时，使制造成本最低。因此七个非线性约束的处理是解决此问题的关键。

为了解决有约束的工程优化问题，很多方法已经被提出。目前，针对约束处理的方法主要有罚函数法、修正算法、混合算法等。罚函数法是应用最广泛的约束处理方法，将罚函数项添加到目标函数中，从而使有约束的优化问题转换成无约束的优化问题。但是针对不同的优化问题，选择合适的罚函数因子十分困难。修正算法是另一种应用较为普遍的约束处理方法，将非可行解修正为可行解，从而使所有个体都满足约束条件。但是，一方面修正方法需要先验知识；另一方面在实际优化过程中，这种对非可行解的修正往往带来一种倾向，使优化解朝着修正的方向进化。混合算法是将拉格朗日乘子、模糊逻辑或者模拟退火等技术与优化算法结合，增强优化算法的搜索能力。但是不同参数之间的协调工作是此类方法需要克服的问题。不同方法和技术结合的同时也带来了一定的计算复杂性。

发明内容

针对现有技术中存在的问题，本发明提出一种基于自调节双链量子遗传算法的焊接悬臂梁优化设计方法。本发明方法针对焊接悬臂梁优化设计这一结构优化问题，将优化问题的解空间中的解划分为满足约束的可行解与不满足约束的非可行解，可行解与非可行解都有各自的适应度评价函数，并提出步进化的概念用来指导自调节双链量子遗传算法的进化，以更快获得焊接悬臂梁优化设计的结果。

本发明提出一种基于自调节双链量子遗传算法的焊接悬臂梁优化设计方法，包括以下步骤：

第一步：根据焊接悬臂梁优化问题的目标函数和约束条件确定适应度函数，并初始化双链量子种群；

第二步：由四个设计变量的上下界确定解空间，将双链个体的每个量子位概率幅从单位空间[-1,1]映射到解空间，将映射得到的值带入适应度函数获得个体适应度，并存储最优和最差可行解，以及最优和最差非可行解；

第三步：进化调整过程；利用量子旋转门更新双链个体，判断更新后的群体是否为步进化群体，如果是步进化群体，执行第四步；否则继续进行量子门旋转直到群体为步进化群体或者达到旋转忍耐度，然后执行第四步；

第四步：利用量子非门进行变异；

第五步：对新一代双链量子种群中的双链个体，按照第二步的方法计算个体适应度，更新全局最优和最差的可行解与非可行解；

第六步：判断当前迭代步数是否小于最大迭代步数，若是，跳转到第三步执行，否则，输出全局最优的可行解，结束本方法。

第一步中，所述的焊接悬臂梁设计的适应度函数表示为：

$\mathrm{fitness}=\left\{\begin{array}{cc}{f}_{\cos t}=1.10471x_1^2{x}_2+0.04811x_3{x}_4(14.0+x_2),& \stackrel{\→}{x}\∈\mathrm{\Ω}\\ G\left(\stackrel{\→}{x}\right)=\underset{j=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}\max \{0,g_j\left(\stackrel{\→}{x}\right)\},& \stackrel{\→}{x}\∉\mathrm{\Ω}\end{array}\right.$

其中，Ω为可行解空间，个体x₁为焊接厚度，x₂为焊接长度，x₃为梁体厚度，x₄为梁体宽度，f_cost为焊接悬臂梁优化设计的目标函数；为约束违反程度，是非可行解的适应度函数，是第j个焊接悬臂梁优化设计的约束条件。

第一步中，初始化双链量子种群，设置的双链量子种群的初始参数包括种群数、初始旋转角、初始变异概率、旋转忍耐度和最大迭代步数，并获取初始种群中的双链个体。

第v代双链量子种群中的第t个双链个体P_t ^(v)为：

$\begin{array}{c}{P_t}^{\left(v\right)}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\→}{x}}_{t1}\\ {\stackrel{\→}{x}}_{t2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{\α}}_{t1}& & {\mathrm{\α}}_{t2}& & {\mathrm{\α}}_{t3}& & {\mathrm{\α}}_{t4}\\ & |& & |& & |& \\ {\mathrm{\β}}_{t1}& & {\mathrm{\β}}_{t2}& & {\mathrm{\β}}_{t3}& & {\mathrm{\β}}_{t4}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccccccc}\cos \left(r_{t1}\right)& & \cos \left(r_2\right)& & \cos \left(r_{t3}\right)& & \cos \left(r_{t4}\right)\\ & |& & |& & |& \\ \sin \left(r_{t1}\right)& & \sin \left(r_{t2}\right)& & \sin \left(r_{t3}\right)& & \sin \left(r_{t4}\right)\end{array}\right]\end{array}$

其中，和是第t个双链个体的两个个体， $\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ti}}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ti}}\end{array}\right]$ 为第t个双链个体的第i个量子位，i=1,2,3,4。r_ti∈[0,2π]为相位角，随机生成值。t=1,2,…,m，m是种群数。v=0时，P_t ⁽⁰⁾表示初始种群的个体。

依据下面公式初始化双链量子种群中的双链个体：

第v代双链量子种群中的第t个双链个体P_t ^(v)为：

$\begin{array}{c}{P_t}^{\left(v\right)}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\→}{x}}_{t1}\\ {\stackrel{\→}{x}}_{t2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{\α}}_{t1}& & {\mathrm{\α}}_{t2}& & {\mathrm{\α}}_{t3}& & {\mathrm{\α}}_{t4}\\ & |& & |& & |& \\ {\mathrm{\β}}_{t1}& & {\mathrm{\β}}_{t2}& & {\mathrm{\β}}_{t3}& & {\mathrm{\β}}_{t4}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccccccc}\cos \left(r_{t1}\right)& & \cos \left(r_2\right)& & \cos \left(r_{t3}\right)& & \cos \left(r_{t4}\right)\\ & |& & |& & |& \\ \sin \left(r_{t1}\right)& & \sin \left(r_{t2}\right)& & \sin \left(r_{t3}\right)& & \sin \left(r_{t4}\right)\end{array}\right]\end{array}$

当v=0时，P_t ⁽⁰⁾表示初始种群的个体；和是第t个双链个体的两个个体， $\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ti}}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ti}}\end{array}\right]$ 为第t个双链个体的第i个量子位，α_ti和β_ti为状态概率幅，i=1,2,3,4；r_ti∈[0,2π]为相位角，随机生成值；t=1,2,…,m，m是种群数。

所述的步骤3中，利用量子旋转门更新双链个体，具体是：

首先按照如下公式获取旋转角：

${\mathrm{\Δ\θ}}_{\mathrm{ti}}=\left\{\begin{array}{cc}-\mathrm{sgn}\left(A\right)\×{\mathrm{\Δ\θ}}_0\×\exp (-\frac{\▿f_i\max -|\▿f\left(x_{\mathrm{tbi}}\right)|}{{\▿f}_i\max -{\▿f}_i\min \▿}),& {\stackrel{\→}{x}}_{\mathrm{tb}}\∈\mathrm{\Ω}\\ -\mathrm{sgn}\left(A\right)\×{\mathrm{\Δ\θ}}_0\×\exp (-\frac{\▿G_i\max -|\▿G\left(x_{\mathrm{tbi}}\right)}{{\▿G}_i\max -{\▿G}_i\min }),& {\stackrel{\→}{x}}_{\mathrm{tb}}\∉\mathrm{\Ω}\end{array}\right.$

$s.t.A=\left|\begin{array}{cc}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{bi}}& {\mathrm{\α}}_{\mathrm{ti}}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{bi}}& {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ti}}\end{array}\right|$

其中，为第t个双链个体中的较好个体。Δθ_ti为第t个双链个体的第i个量子位的旋转角，Δθ₀为初始角。α_ti,β_ti和α_bi,β_bi分别为第t个双链个体和全局最优个体的第i个量子位的概率幅。i=1,2,3,4。sgn(A)为行列式A的符号。x_tbi为第t个双链个体中较好个体的第i个概率幅。▽f(x_tbi)和▽G(x_tbi)是第t个双链个体在x_tbi的梯度。▽f_imax和▽f_imin是当前个体中所有可行解个体在x_tbi的最大和最小梯度值，同样，▽G_imax和▽G_imin为当前个体中所有非可行解个体在x_tbi的最大和最小梯度值。

然后进行量子门旋转：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ti}}^{\′}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ti}}^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\cos \mathrm{\Δ\θ}}_{\mathrm{ti}}& -{\sin \mathrm{\Δ\θ}}_{\mathrm{ti}}\\ {\sin \mathrm{\Δ\θ}}_{\mathrm{ti}}& {\cos \mathrm{\Δ\θ}}_{\mathrm{ti}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ti}}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ti}}\end{array}\right]$

其中，α′_ti,β′_ti为量子门旋转之后的第t个双链个体的第i个量子位的概率幅。

所述的步骤4具体包括如下步骤：

首先，利用下面公式获取各双链个体的变异概率：

${\mathrm{\Δp}}_t=\left\{\begin{array}{cc}\frac{S\left(\stackrel{\→}{x}\right)}{S_{\max }}\×{\mathrm{\Δ\θp}}_0\×\exp (-\frac{|f_{\max }-f\left({\stackrel{\→}{x}}_{\mathrm{tb}}\right)|}{|f_{\max }-f_{\min }|}),& {\stackrel{\→}{x}}_{\mathrm{tb}}\∈\mathrm{\Ω}\\ \frac{S\left(\stackrel{\→}{x}\right)}{S_{\max }}\×{\mathrm{\Δ\θp}}_0\×\exp (-\frac{|G_{\max }-G\left({\stackrel{\→}{x}}_{\mathrm{tb}}\right)|}{|G_{\max }-G_{\min }|}),& {\stackrel{\→}{x}}_{\mathrm{tb}}\∉\mathrm{\Ω}\end{array}\right.$

其中，Δp_t为第t个双链个体的变异概率，Δp₀为初始变异概率。为第t个双链个体中较好个体，和是第t个双链个体中较好个体的目标函数值和约束违反程度。如果是可行解，则用目标函数获得变异概率，反之用约束违反程度计算变异概率。f_max和f_min是当前全局最好和最差目标函数值；G_max和G_min是当前全局最好和最差约束违反程度。是每一次的进化调整过程中，种群在进行变异操作之前所进行的量子门旋转次数；S_max为旋转忍耐度。

然后，针对每个双链个体，随机生成一个数，若生成的数小于Δp_t，则该个体需要进行变异，否则该个体不需要变异；个体变异方法是：从个体的四个量子位中随机挑选任何一个量子位，交换该量子位的两个概率幅。

本发明方法的优点和积极效果在于：

（1）针对有约束的焊接悬臂梁优化设计问题，本发明采用基于自调节的双链量子遗传算法将满足约束的可行解与不满足约束的非可行解都看成优化问题的解，而不是抛弃非可行解。将非可行解作为参考，指导种群在迭代过程中的进化方向，提高搜索效率。

(2)本发明所采用的基于自调节的双链量子遗传算法划分了两类适应度函数，当个体是非可行解时，约束违反程度用来评价个体的优劣，从而避免了非可行解的目标函数计算，简化了计算。可行解与非可行解都有各自的适应度评价函数，从而避免罚函数的参与。

(3)本发明方法在进化调整过程的设计提高了基于自调节的双链量子遗传算法的搜索效率，加快了算法的收敛，能更快获得焊接悬臂梁优化设计的结果。

(4)双链个体通过量子门旋转进行更新，通过变异保持种群的多样性。其中，量子旋转角和变异概率都是可调节的，不同的个体可以根据自身的适应度，调节自身的旋转和变异程度，改善了个体的自适应性，从而能找到更好的焊接悬臂梁优化解。

附图说明

图1是焊接悬臂梁的结构示意图；

图2是步进化群体；

图3是进化调整过程；

图4是基于自调节的双链量子遗传算法流程。

具体实施方式

本发明提出了一种基于自调节双链量子遗传算法的焊接悬臂梁优化设计方法，焊接悬臂梁设计是一个标准的有约束结构优化设计问题，下面针对焊接悬臂梁优化设计问题，对本方法做进一步说明。

如图1所示，为焊接悬臂梁的结构示意图，其中，A为悬臂梁，B为被焊接的物体。h为焊接厚度，l为焊接长度、t_A为梁体厚度，b_A为梁体宽度。

对四个参数变量（h＝x₁,l＝x₂,t_A＝x₃,b_A＝x₄）进行优化设计。在满足剪切应力、弯曲应力和弯曲载荷等约束条件的情况下，使得制造成本最小。

焊接悬臂梁优化设计的目标函数f_cost定义为：

$f_{\cos t}=1.10471x_1^2{x}_2+0.04811x_3{x}_4(14.0+x_2)---\left(1\right)$

四个参数满足七个约束条件：g₁是剪切应力约束，g₂是梁弯曲应力约束，g₃,g₄,g₅为界限约束，g₆是梁末端挠度约束，g₇是杆上弯曲载荷约束。约束的具体定义为公式（2）：

$\begin{array}{c}{g}_1\left(\stackrel{\→}{x}\right)=\mathrm{\τ}\left(\stackrel{\→}{x}\right)-{\mathrm{\τ}}_d\≤0\\ g_2\left(\stackrel{\→}{x}\right)=\mathrm{\σ}\left(\stackrel{\→}{x}\right)-{\mathrm{\σ}}_d\≤0\\ g_3\left(\stackrel{\→}{x}\right)=x_1-x_4\≤0\\ g_4\left(\stackrel{\→}{x}\right)=0.10471x_1^2+0.04811x_3{x}_4(14.0+x_2)-5.0\≤0\\ g_5\left(\stackrel{\→}{x}\right)=0.125-x_1\≤0\\ g_6\left(\stackrel{\→}{x}\right)=\mathrm{\δ}\left(\stackrel{\→}{x}\right)-{\mathrm{\δ}}_d\≤0\\ g_7\left(\stackrel{\→}{x}\right)=P-P_c\left(\stackrel{\→}{x}\right)\≤0\end{array}---\left(2\right)$

其中，表示参数向量，表示焊接梁的最大剪切应力，τ_d表示焊接梁的设计剪切应力，表示焊接梁的最大应力，σ_d表示梁体材料的设计应力，表示梁末端挠度，δ_d表示焊接梁的设计末端挠度，P表示应用悬臂负载，表示杆上弯曲载荷，其中，和都是的函数，表达式如（3）所示。

$\mathrm{\τ}\left(\stackrel{\→}{x}\right)=\sqrt{{\left({\mathrm{\τ}}^{\′}\right)}^2+{2\mathrm{\τ}}^{\′}{\mathrm{\τ}}^{\′\′}\frac{x_2}{2\sqrt{\frac{x_2^2}{4}+{\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)}^2}}+{\left({\mathrm{\τ}}^{\′\′}\right)}^2}$

${\mathrm{\τ}}^{\′}=\frac{P}{\sqrt{2}{x}_1{x}_2},{\mathrm{\τ}}^{\′\′}=\frac{M\sqrt{\frac{x_2^2}{4}+{\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)}^2}}{J}$

$M=P(L+\frac{x_2}{2}),J=2\left\{\sqrt{2}{x}_1{x}_2\right[\frac{x_2^2}{12}+{\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)}^2\left]\right\}$

$\mathrm{\σ}\left(\stackrel{\→}{x}\right)=\frac{6\mathrm{PL}}{x_4{x}_3^2},\mathrm{\δ}\left(\stackrel{\→}{x}\right)=\frac{{4\mathrm{PL}}^3}{{\mathrm{Ex}}_3^3{x}_4}$

$P_c\left(\stackrel{\→}{x}\right)=\frac{4.013E\sqrt{\left(x_3^2{x}_4^6\right)/36}}{L^2}(1-\frac{x_3}{2L}\sqrt{\frac{E}{4G}})---\left(3\right)$

P＝6000lb,L＝14in,E＝3×10⁶psi,G＝12×10⁶psi,

τ_d＝13,600psi,σ_d＝30,000psi,δ_d＝0.25in.

其中，τ′表示主焊接应力，τ′′表示二级焊接应力，M表示负载对焊接梁的有效力矩，J表示焊缝的惯性矩，L表示露出的悬臂杆的长度，E表示焊接梁体材料的杨氏模量，G表示焊接梁体材料的剪切模量。

解空间（即四个变量的上下界）为：

0.1≤x₁≤2

0.1≤x₂≤10

0.1≤x₃≤10(4)

0.1≤x₄≤2

如图4所示，本发明的基于自调节双链量子遗传算法的焊接悬臂梁优化设计方法可以按照如下步骤完成：

步骤一：确定适应度函数，种群初始化。

适应度函数是用来评价解优劣的标准，在解空间中，不是所有解都能满足约束条件。对于可行解，目标函数即为适应度函数；对于非可行解，目标函数的计算失去了意义，约束的违反程度成为评价非可行解优劣的标准。

由于可行解满足问题（3）中的所有约束，那么目标函数即为可行解的适应度。针对非可行解，其约束违反程度是七个约束条件(j∈1,2,…,7)的总和，用式（5）表示：

$G\left(\stackrel{\→}{x}\right)=\underset{j=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}\max \{0,g_j\left(\stackrel{\→}{x}\right)\}---\left(5\right)$

可行解空间用Ω表示，个体则焊接悬臂梁设计的适应度函数可以表示为：

$\mathrm{fitness}=\left\{\begin{array}{cc}{f}_{\cos t}=1.10471x_1^2{x}_2+0.04811x_3{x}_4(14.0+x_2),& \stackrel{\→}{x}\∈\mathrm{\Ω}\\ G\left(\stackrel{\→}{x}\right)=\underset{j=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}\max \{0,g_j\left(\stackrel{\→}{x}\right)\},& \stackrel{\→}{x}\∉\mathrm{\Ω}\end{array}\right.---\left(6\right)$

本发明实施例中，设置种群数m＝30，种群数即种群规模，最大迭代步数MaxGen＝3000，以及初始旋转角Δθ₀＝0.005π，旋转忍耐度S_max＝5，初始变异概率Δp₀＝0.05。

个体中的每个元素用一个量子位表示。量子计算中，最小的信息单元用量子位来表示。一个量子位的状态可以为|0>,|1>或者中间态。一个量子位的叠加态可用二维Hilbert空间的单位向量表示：其中，α和β是状态概率幅，且满足：|α|²+|β|²＝1。|α|²是量子位被观测为|0>的概率，|β>²是量子位被观测为|1>的概率。则一个量子位可以表示为 $\left[\begin{array}{c}\mathrm{\α}\\ \mathrm{\β}\end{array}\right].$

按照公式(7)获得初始化个体。

$\begin{array}{c}{P_t}^{\left(0\right)}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\→}{x}}_{t1}\\ {\stackrel{\→}{x}}_{t2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{\α}}_{t1}& & {\mathrm{\α}}_{t2}& & {\mathrm{\α}}_{t3}& & {\mathrm{\α}}_{t4}\\ & |& & |& & |& \\ {\mathrm{\β}}_{t1}& & {\mathrm{\β}}_{t2}& & {\mathrm{\β}}_{t3}& & {\mathrm{\β}}_{t4}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccccccc}\cos \left(r_{t1}\right)& & \cos \left(r_2\right)& & \cos \left(r_{t3}\right)& & \cos \left(r_{t4}\right)\\ & |& & |& & |& \\ \sin \left(r_{t1}\right)& & \sin \left(r_{t2}\right)& & \sin \left(r_{t3}\right)& & \sin \left(r_{t4}\right)\end{array}\right]\end{array}---\left(7\right)$

其中，是第0代种群（即初始种群）中的第t个双链个体。和是第t个双链个体的两个个体。初始群体的相位角r_ti∈[0,2π]由计算机随机生成,t=1,2,...，m，i＝1,2,3,4。m是种群数。 $\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ti}}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ti}}\end{array}\right]$ 为第t个双链个体的四个量子位。

每个双链解向量都包含两个个体，通常这两个个体的适应度不相同，除非所有的相位角都为π/4。因此通常每个双链解向量由一个较好个体和一个较差个体组成。另外，由于三角函数的值都在单位空间[-1,1]中，对应到约束优化问题中，需要进行单位空间到解空间的映射。

步骤二：进行单位空间到解空间的映射，获得个体适应度，并分别存储最优和最差可行解与非可行解。

由于双链个体中的概率幅都是由三角函数表示，而且三角函数的值都在单位空间[-1,1]中，对应到焊接悬臂梁优化问题中，需要进行单位空间到解空间的映射，映射公式为：

$x_i^{\′}=\frac{x_i+1}{2}\·(x_i^u-x_i^l)+x_i^l---\left(8\right)$

其中，x_i(i＝1,2,3,4)为双链个体中四个设计变量中的第i个变量，和为x_i的上界和下界,x′_i为映射后的值。

将四个映射后的变量值代入到适应度函数中，得到所有个体的适应度。同时，分别保存可行解的最优个体和最差个体，以及非可行解的最优个体和最差个体。

●如果种群为第一代群体，将可行解的最优个体和最差个体保存为全局最优可行解和全局最差可行解；将非可行解的最优个体和最差个体保存为全局最优非可行解和全局最差非可行解。

●如果不是第一代群体，将此代的最优可行解与全局最优可行解进行比较，如果此代的最优可行解优于全局最优可行解，则将此代的最优可行解设置为全局最优可行解；同时将此代的最差可行解与全局最差可行解进行比较，如果此代的最差可行解差于全局最差可行解，则将此代的最差可行解设置为全局最差可行解。同理，对于非可行解也是如此处理。

步骤三：进化调整过程。

同其他量子遗传算法类似，自调节双链量子遗传算法也是用量子旋转门更新群体，不同的是更新过程。如图2所示，在进行量子门旋转后，首先获取个体的适应度，如果更新后种群是步进化群体，那么跳转到变异操作；如果不是步进化群体，则继续进行量子门旋转，直到种群是步进化群体。当然不是无限制的进行量子门更新，如果旋转次数达到了旋转忍耐度，同样种群需要跳转到变异操作。进化调整过程如图3。

a)按照公式(9)获取旋转角；

${\mathrm{\Δ\θ}}_{\mathrm{ti}}=\left\{\begin{array}{cc}-\mathrm{sgn}\left(A\right)\×{\mathrm{\Δ\θ}}_0\×\exp (-\frac{\▿f_i\max -|\▿f\left(x_{\mathrm{tbi}}\right)|}{{\▿f}_i\max -{\▿f}_i\min }),& {\stackrel{\→}{x}}_{\mathrm{tb}}\∈\mathrm{\Ω}\\ -\mathrm{sgn}\left(A\right)\×{\mathrm{\Δ\θ}}_0\×\exp (-\frac{\▿G_i\max -|\▿G\left(x_{\mathrm{tbi}}\right)|}{{\▿G}_i\max -{\▿G}_i\min }),& {\stackrel{\→}{x}}_{\mathrm{tb}}\∉\mathrm{\Ω}\end{array}\right.---\left(9\right)$

$s.t.A=\left|\begin{array}{cc}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{bi}}& {\mathrm{\α}}_{\mathrm{ti}}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{bi}}& {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ti}}\end{array}\right|$

其中，为第t个双链个体中的较好个体，x_tbi为第t个双链个体中较好个体的第i个概率幅，i=1,2,3,4。Δθ_ti为第t个双链个体的第i个量子位的旋转角，Δθ₀为初始角。α_ti,β_ti和α_bi,β_bi分别为第t个双链个体和全局最优个体的第i个量子位的概率幅。sgn(A)为行列式A的符号。

▽f(x_tbi)和▽G(x_tbi)是第t个双链个体在x_tbi的梯度。▽f_imax和▽f_imin是当前个体中所有可行解个体在x_tbi的最大和最小梯度值，同样，▽G_imax和▽G_imin为当前个体中所有非可行解个体在x_tbi的最大和最小梯度值。

b)量子门旋转；

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ti}}^{\′}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ti}}^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\cos \mathrm{\Δ\θ}}_{\mathrm{ti}}& -{\sin \mathrm{\Δ\θ}}_{\mathrm{ti}}\\ {\sin \mathrm{\Δ\θ}}_{\mathrm{ti}}& {\cos \mathrm{\Δ\θ}}_{\mathrm{ti}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ti}}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{ti}}\end{array}\right]---\left(10\right)$

其中，α_ti,β_ti为第t个双链个体的第i个量子位的概率幅，α′_ti,β′_ti为量子门旋转之后的第t个双链个体的第i个量子位的概率幅。

c)计算适应度；

经过量子门旋转后，个体的适应度会发生改变，同步骤二，计算双链个体的适应度。

d)步进化种群判断；

根据可行解与非可行解的划分，三类步进化分别为：

●违反步进化：针对非可行解，若其适应度为经过迭代进化后仍然是非可行解，但其适应度变为且有那么就称此迭代过程为违反步进化；

●跳跃步进化：针对非可行解，若其适应度为经过迭代进化后成为可行解，且其适应度变为那么就称此迭代过程为跳跃步进化；

●目标步进化：针对可行解，若其适应度为经过迭代进化后仍然是可行解，其适应度变为且有那么就称此迭代过程为目标步进化。

根据步进化的定义，当前群体中，如果其中任何一个个体更新后的适应度比当前全局最优个体好（即更新过程是步进化的），则此群体为步进化群体，跳转到步骤四。

e)旋转次数判断；

由于在进行旋转次数判断之前，能确定的是当前群体不是步进化群体，那么统计从上一个步骤到现在当前群体所进行量子门旋转的次数若则跳转到a）；若则跳转到步骤四。S_max为设定的旋转忍耐度，即进行量子门旋转次数的最大值。

步骤四：利用量子非门进行变异。

a)获取变异概率；

由于变异概率在迭代过程中是可调的，并且由每一代的群体决定的。根据变异概率公式（11）获取各双链个体的变异概率。

${\mathrm{\Δp}}_t=\left\{\begin{array}{cc}\frac{S\left(\stackrel{\→}{x}\right)}{S_{\max }}\×{\mathrm{\Δ\θp}}_0\×\exp (-\frac{|f_{\max }-f\left({\stackrel{\→}{x}}_{\mathrm{tb}}\right)|}{|f_{\max }-f_{\min }|}),& {\stackrel{\→}{x}}_{\mathrm{tb}}\∈\mathrm{\Ω}\\ \frac{S\left(\stackrel{\→}{x}\right)}{S_{\max }}\×{\mathrm{\Δ\θp}}_0\×\exp (-\frac{|G_{\max }-G\left({\stackrel{\→}{x}}_{\mathrm{tb}}\right)|}{|G_{\max }-G_{\min }|}),& {\stackrel{\→}{x}}_{\mathrm{tb}}\∉\mathrm{\Ω}\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中，Δp_t为第t个双链个体的变异概率，Δp₀为初始变异概率。为第t个双链个体中较好个体，和是第t个双链个体中较好个体的目标函数值和约束违反程度，如果是可行解则用目标函数获得变异概率，反之用约束违反程度计算变异概率。f_max和f_min是当前全局最优和最差目标函数值，根据存储的当前全局最优和最差可行解带入适应度函数得到；G_max和G_min是当前全局最优和最差约束违反程度，根据存储的当前全局最优和最差非可行解带入适应度函数得到。是每一次的进化调整过程中，种群在进行变异操作之前所进行的量子门旋转次数；S_max为旋转忍耐度。

b)量子非门变异；

在获取变异概率后，通过量子非门进行个体变异。针对每个双链个体，随机生成一个数，若小于Δp_t，则此个体需要进行变异；否则不需要变异。

量子非门的作用就是交换量子位的概率幅。针对需要变异的双链个体，从四个量子位中随机挑选任何一个量子位，交换其概率幅，如公式（22）：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}^{\′}\\ {\mathrm{\β}}^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\β}\\ \mathrm{\α}\end{array}\right]---\left(12\right)$

其中，α,β为需要变异的量子位的变异前的概率幅，α′,β′为变异后的概率幅。

步骤五：计算个体适应度，获得全局最优和最差可行解与非可行解；

个体适应度的计算同步骤二。如果双链个体是可行解，将其与全局最优和最差可行解进行比较，如果优于全局最优可行解，则将全局最优可行解进行替换；如果差于全局最差可行解，则将全局最差可行解进行替换。同理，对于非可行解也是如此。

步骤六：如果当前迭代步数小于最大迭代步数MaxGen，跳转到步骤三，否则，输出全局最优可行解，然后退出本方法。

通过以上步骤就可得出全局最优可行解，全局最优可行解的四个变量即为焊接悬臂梁优化的设计参数。

为了证明本发明方法的有效性，独立运行30次仿真实验，并将本发明方法的优化结果与现有一些已经解决过焊接悬臂梁设计的方法进行比较。对比结果如表1所示。

对比方法包括：线性近似法APPROX(LinearApproximation)、基于罚函数的DAVID(Davidon-Fletcher-Powell)方法、基于罚函数的单纯形法SIMPLEX(Simplex)以及随机优化方法RANDOM（Random）。另外，Deb（1991）、Coello（2000）、Coello和Montes（2002）提出的基于遗传算法的改进优化算法，清华大学的王凌教授（2007）提出的协同进化粒子群优化方法也在焊接悬臂梁设计中进行了应用。比较结果如表1。从表中可以看出，自调节双链量子遗传算法在满足七个焊接悬臂梁条件约束的情况下，得到的最少的制造成本为1.724852，四个设计变量分别为0.2057964、3.47048867、9.03662391和0.20572964。与其他方法相比，优化结果最好。另外在30次独立运行的仿真实验中，方法的标准差为0.007615，与其他方法相比也是最好的。

另外，为了进一步证明本发明提供的基于自调节的双链量子遗传算法的焊接悬臂梁优化设计方法的有效性，对三个典型的基准函数（benchmark）进行优化测试，并与本发明所采用的双链量子遗传算法进行比较。两种算法在相同的运行环境和初始条件下运行，都采用C++编码独立运行50次。

1.Griewangk’s函数，函数定义如下：

$f\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{x_i^2}{4000}-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}\cos \left(\frac{x_i}{\sqrt{i}}\right)---\left(13\right)$

-50≤x_i≤50

全局最小值点为f(x)＝0,x_i＝0,i＝1,2,...，n。

表2.Griewangk’s函数的优化结果对比

从表中可以看出，在50次独立Griewangk’s函数仿真实验中，自调节双链量子遗传算法得到的平均优化结果好于双链量子遗传算法，另外，找到最优解的平均迭代步数和算法的平均运行时间都好于双链量子遗传算法。

2.Rosenbrock’s函数，函数定义：

$f\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}100\·{(x_{i+1}-x_i^2)}^2+{(1-x_i)}^2---\left(14\right)$

-0.2048≤x_i≤2.048

全局最小值点为f(x)＝0,x_i＝1,i＝1,2,...，n。

表3.Rosenbrock’s函数的优化结果对比

从表中可以看出，在50次独立Rosenbrock’s函数仿真实验中，自调节双链量子遗传算法得到的平均优化结果好于双链量子遗传算法，另外，找到最优解的平均迭代步数和算法的平均运行时间都好于双链量子遗传算法。

3.Ackley’sPath函数，函数定义为：

$f\left(x\right)=-a\·e^{-b\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2}{n}}}-e^{\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\cos (c\·x_i)}{n}}+a+e^1---\left(15\right)$

-3≤x_i≤3;a＝20;b＝0.2;c＝2·π;

全局最小值点为f(x)＝0,x_i＝0,i＝1,2,...，n。

表4.Ackley’sPath函数的优化结果对比

从表中可以看出，在50次独立Ackley’sPath函数仿真实验中，自调节双链量子遗传算法得到的平均优化结果好于双链量子遗传算法，另外，找到最优解的平均迭代步数和算法的平均运行时间都好于双链量子遗传算法。

通过以上三个benchmark的测试，可以得出自调节双链量子遗传算法不仅在优化结果上好于双链量子遗传算法，并且在优化效率上也得到了提升。也同样证明了本发明基于自调节双链量子遗传算法的焊接悬臂梁优化设计方法的有效性，以及较现有方法，能更快更好的获得焊接悬臂梁的优化设计结果。

Claims (5)

1.一种基于自调节双链量子遗传算法的焊接悬臂梁优化设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：根据焊接悬臂梁设计问题的目标函数和约束条件，确定焊接悬臂梁设计的适应度函数，并初始化双链量子种群；

所述的焊接悬臂梁设计的适应度函数fitness表示为：

其中，Ω为可行解空间，个体四个设计变量：x₁为焊接厚度，x₂为焊接长度，x₃为梁体厚度，x₄为梁体宽度；f_cost为焊接悬臂梁优化设计的目标函数；为约束违反程度，是非可行解的适应度函数，是第j个焊接悬臂梁优化设计的约束条件；

初始化双链量子种群包括，设置种群数、初始旋转角、初始变异概率、旋转忍耐度和最大迭代步数，初始化双链量子种群中的双链个体；

步骤2：由四个设计变量的上下界确定解空间，将双链个体的每个量子位概率幅从单位空间[-1,1]映射到解空间，将映射得到的值带入适应度函数获得个体适应度，并存储全局最优和最差可行解，以及全局最优和最差非可行解；

步骤3：执行进化调整过程：利用量子旋转门更新双链个体，判断更新后的群体是否为步进化群体，如果是步进化群体，执行步骤4；否则继续进行量子门旋转直到群体为步进化群体或者达到旋转忍耐度，然后执行步骤4；在进化后的一代群体中，任何一个个体更新后的适应度比当前全局最优个体好，则该代群体为步进化群体；

步骤4：利用量子非门进行变异；

步骤5：对新一代双链量子种群中的双链个体，按照步骤2方法计算个体适应度，更新全局最优和最差的可行解与非可行解；

步骤6：判断当前迭代步数是否小于最大迭代步数，若是，跳转到步骤3执行，否则，输出全局最优的可行解，结束本方法。

2.根据权利要求1所述的焊接悬臂梁优化设计方法，其特征在于，所述的步骤1中，依据下面公式初始化双链量子种群中的双链个体：

第v代双链量子种群中的第t个双链个体P_t ^(v)为：

$\begin{array}{c}{P_t}^{\left(v\right)}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\→}{x}}_{t1}\\ {\stackrel{\→}{x}}_{t2}\end{array}\right]=\[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{t1}\\ {\mathrm{\β}}_{t1}\end{array}\left|\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{t2}\\ {\mathrm{\β}}_{t2}\end{array}\right|\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{t3}\\ {\mathrm{\β}}_{t3}\end{array}|\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{t4}\\ {\mathrm{\β}}_{t4}\end{array}\]\\ =\[\begin{array}{c}\cos \left(r_{t1}\right)\\ \sin \left(r_{t1}\right)\end{array}\left|\begin{array}{c}\cos \left(r_{t2}\right)\\ \sin \left(r_{t2}\right)\end{array}\right|\begin{array}{c}\cos \left(r_{t3}\right)\\ \sin \left(r_{t3}\right)\end{array}|\begin{array}{c}\cos \left(r_{t4}\right)\\ \sin \left(r_{t4}\right)\end{array}\]\end{array}$

当v＝0时，P_t ⁽⁰⁾表示初始种群的个体；和是第t个双链个体的两个个体， $\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{ti}\\ {\mathrm{\β}}_{ti}\end{array}\right]$ 为第t个双链个体的第i个量子位，α_ti和β_ti为状态概率幅，i＝1,2,3,4；r_ti∈[0,2π]为相位角由计算机随机生成；t＝1,2,…,m，m是种群数。

3.根据权利要求1所述的焊接悬臂梁优化设计方法，其特征在于，所述的步骤2，将双链个体的每个量子位概率幅从单位空间[-1,1]映射到解空间，依据如下公式实现：

$x_i^{\′}=\frac{x_i+1}{2}\·(x_i^u-x_i^l)+x_i^l$

其中，x_i为双链个体中四个设计变量中的第i个变量，其中i＝1,2,3,4；和为x_i的上界和下界，x′_i为x_i映射后的值。

4.根据权利要求1所述的焊接悬臂梁优化设计方法，其特征在于，所述的步骤3中，利用量子旋转门更新双链个体，具体是：

首先按照如下公式获取旋转角：

$\begin{array}{cc}s.t.& A=\left|\begin{array}{cc}{\mathrm{\α}}_{bi}& {\mathrm{\α}}_{ti}\\ {\mathrm{\β}}_{bi}& {\mathrm{\β}}_{ti}\end{array}\right|\end{array}$

其中，Δθ_ti为第t个双链个体的第i个量子位的旋转角，Δθ₀为初始角，为第t个双链个体中的较好个体，x_tbi为第t个双链个体中较好个体的第i个概率幅，i＝1,2,3,4；和是第t个双链个体在x_tbi的梯度，和是当前个体中所有可行解个体在x_tbi的最大和最小梯度值，和为当前个体中所有非可行解个体在x_tbi的最大和最小梯度值；α_ti,β_ti和α_bi,β_bi分别为第t个双链个体和全局最优个体的第i个量子位的概率幅；sgn(A)为行列式A的符号；

然后进行量子门旋转：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{ti}^{\′}\\ {\mathrm{\β}}_{ti}^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{cos\Δ\θ}}_{ti}& -{\mathrm{sin\Δ\θ}}_{ti}\\ {\mathrm{sin\Δ\θ}}_{ti}& {\mathrm{cos\Δ\θ}}_{ti}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{ti}\\ {\mathrm{\β}}_{ti}\end{array}\right]$

其中，α′_ti,β′_ti为量子门旋转之后的第t个双链个体的第i个量子位的概率幅。

5.根据权利要求1所述的焊接悬臂梁优化设计方法，其特征在于，所述的步骤4具体包括如下步骤：

首先，利用下面公式获取各双链个体的变异概率：

其中，Δp_t为第t个双链个体的变异概率，Δp₀为初始变异概率，是每一次的进化调整过程中，种群在进行变异操作之前所进行的量子门旋转次数，S_max为旋转忍耐度，为第t个双链个体中较好个体，f_max和f_min分别是当前全局最优和最差的目标函数值；G_max和G_min是当前全局最好和最差的约束违反程度；是第t个双链个体中较好个体的目标函数值；

然后，针对每个双链个体，随机生成一个数，若生成的数小于Δp_t，则该个体需要进行变异，否则该个体不需要变异；个体变异方法是：从个体的四个量子位中随机挑选任何一个量子位，交换该量子位的两个概率幅。