CN103302571B - 一种凸轮轴升程误差补偿加工方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种凸轮轴升程误差补偿加工方法，包括以下步骤：一、利用计算机的数控程序控制数控凸轮轴磨床中作为X轴的砂轮架的横向进给系统使砂轮架作往复运动和作为C轴的头架的旋转系统作旋转运动；二、获得实测凸轮升程值 与所述理论凸轮升程值之差值，即凸轮升程误差值；三、将凸轮升程误差值中小于0.005mm以下的误差忽略不计，获得处理后的凸轮升程误差值；四、将理论凸轮升程值与处理后的凸轮升程误差值（）相减，即获得误差补偿后的凸轮升程值；五、做多项式局部平滑处理；六、做N次谐波最佳逼近；七、采用N次谐波最佳逼近的凸轮升程值，由计算机自动升程数控家加工程序进行磨削加工，可以得到高精度、高效率的磨削效果。

Description

一种凸轮轴升程误差补偿加工方法

技术领域

本发明属于数控加工凸轮轴的方法，具体涉及一种凸轮轴升程误差补偿加工方法。

背景技术

汽车发动机关键零部件凸轮轴磨削加工是一种非圆磨削加工，其加工精度和生产效率与我国节能减排与绿色制造密切相关。而非圆磨削升程误差补偿是机械制造业中较难解决的问题。目前主要依赖丰富经验的工程师，采用人工的方法修改，对于局部误差较小部分，通过修改工件旋转轴的转速，修正轮廓误差，该方法因降低工件转速，会使凸轮表面产生波纹等现象，并且还降低了加工效率。对于较大的误差，只能采用三次差分法，人工修改升程值。该方法修改复杂，修改一点会影响相邻的三次差分值变化，有时甚至需要修改整个升程值，在修改的同时，还要观察加速度曲线必须平滑。由于人工修改而产生高阶噪声，还影响表面加工质量。厂家生产的大升程凸轮的升程误差(重型卡车、柴油发电机)放宽至0.04mm以内仍算合格。以湖南大学许第洪等提出的切点跟踪原理与恒磨除率的方法进行建模，从理论上实现了凸轮轴的磨削加工(切点跟踪磨削法核心技术的研究，博士论文，湖南大学，2004年6月)。湖南大学章振华、曹彦飞等建立了凸轮轴磨削的运动方程即误差补偿方法(“凸轮轴磨削的误差补偿新研究”《金刚石与磨料磨具工程》2006.4)，使凸轮轴磨削从理论进入实用阶段，但仍存在精度不高，有波纹和振纹现象。湖南大学邓朝晖等提出了根据实测轮廓误差建立虚拟升程表提高轮廓磨削精度(中国专利：200910044326.3)。能明显提高凸轮轮廓精度，但操作复杂，仍存在一定的波纹等现象。中国专利(ZL201010278922.0)公开了“一种凸轮轴数控磨削加工方法”，该方法通过加减速控制方法预测工件旋转轴(C轴)转速，实现了凸轮轴高精度磨削加工，但对于油泵凸轮和大升程的凸轮，存在腰部起升程曲率 大的部位，还是会出现较大凸轮升程误差。通过降低工件旋转轴某部位转速，虽能减少凸轮升程误差，一般只能在0.01mm以内，效果较好。但速度过低会出现波纹现象，同时还降低了工件的加工效率，距高档桥车和油泵凸轮需求的高精度、高效率加工要求还有一定差距。尤其是我国生产厂家对大升程凸轮的升程误差适当放宽至±0.040mm，与国家标准±0.025mm相差甚远。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种适合油泵凸轮和大升程凸轮、高精度和高效率的凸轮轴升程误差补偿加工方法。

为了解决所述技术问题，本发明提供的凸轮轴升程误差补偿加工方法，包括以下步骤：

步骤一、利用计算机的数控程序控制数控凸轮轴磨床中作为X轴的砂轮架的横向进给系统使砂轮架作往复运动和作为C轴的头架的旋转系统作旋转运动；

步骤二、根据待加工凸轮的理论凸轮升程值h_P(i)，对待加工的凸轮进行磨削加工，通过凸轮测试仪对磨削加工后的凸轮进行测试，获得实测凸轮升程值h_S(i)与所述理论凸轮升程值h_P(i)之差值，即凸轮升程误差值e'(i)；

e'(i)＝h_P(i)-h_S(i)                     (1) 

式中e'(i)为凸轮升程误差值，h_S(i)为实测凸轮升程值，h_P(i)为理论凸轮升程值，i为0、1、…、l-1，即凸轮升程值个数，其中l为凸轮升程值总个数；

步骤三、将凸轮升程误差值e'(i)中小于0.005mm以下的误差忽略不计，获得处理后的凸轮升程误差值e(i)，

$e\left(i\right)=\left\{\begin{array}{c}{e}^{\&prime;}\left(i\right),e^{\&prime;}\left(i\right)\&GreaterEqual;0.005\mathrm{mm}\\ 0,e^{\&prime;}\left(i\right)<0.005\mathrm{mm}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，e'(i)为凸轮升程误差值，e(i)为处理后的凸轮升程误差值；

步骤四、将理论凸轮升程值h_P(i)与处理后的凸轮升程误差值(e(i))相减，即获得误差补偿后的凸轮升程值h_X(i)：

h_X(i)＝h_P(i)-k×e(i)                (3) 

其中h_X(i)为误差补偿后的凸轮升程值，k为补偿系数，一般取0.8～1，由于加工凸轮时，基圆、凸轮升程随机误差一般小于0.005mm，因此，只有凸轮升程误差大于0.005mm才进行补偿；

步骤五、多项式局部平滑处理

从误差补偿后的凸轮升程值h_X(i)中取2n+1个点表示如下：

h_X(-n)，h_X(-n+1)，…h_X(-1)，h_X(0)，h_X(1)，…h_X(n-1)，h_X(n)，

其中n为等于或大于2的正整数； 

假设采用m次多项式进行局部平滑，则：

$\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(s\right)}=\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_k{s}^k,s=-n,-n+1,...-\mathrm{1,0,1},...n-1,n---\left(4\right)$

式中为局部平滑后的凸轮升程值，a_k为多项式系数，k为0，1，…，m，m为次数，2n+1为l中补偿后的凸轮升程值的个数；

以式(4)对h_X(s)进行局部平滑时，根据最小二乘原理有：

$\mathrm{\&epsiv;}=\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_k{s}^k-h_X\left(s\right))}^2---\left(5\right)$

其中ε为误差平方和；使ε最小，由(5)式对a_s求偏导数，并令其为0，即：

$\frac{\&PartialD;\mathrm{\&epsiv;}}{\&PartialD;a_k}=\frac{\&PartialD;\underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_k{s}^k-h_X\left(s\right))}^2}{\&PartialD;a_k}=\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}2(\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_k{s}^k-h_X\left(s\right))s^j=0,j=\mathrm{0,1},...,m---\left(6\right)$

由此得如下方程组：

$\underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_k{s}^{k+j}=\underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_X\left(s\right)s^j,j=\mathrm{0,1},...,m---\left(7\right)$

根据(7)式，得矩阵方程BA’＝CH’             (9) 

由式(4)得： $\stackrel{\&OverBar;}{H}=D{A}^{,}---\left(10\right)$

把(9)式代入式(10)得： $\stackrel{\&OverBar;}{H}=D{B}^{-1}C{H}^{,}=P{H}^{,}---\left(11\right)$

其中 $\stackrel{\&OverBar;}{H}=[\stackrel{\&OverBar;}{h_X(-n)}\stackrel{\&OverBar;}{h_X(-n+1)}...\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(0\right)}...\stackrel{\&OverBar;}{h_X(n-1)}\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(n\right)}]$

$B=\left[\begin{array}{ccc}\underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^0& \underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^1& ...\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^m\\ \underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^1& \underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^2& ...\underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^{m+1}\\ ...& ...& ......\\ \underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^{m+0}& \underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^{m+1}& ...\underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^{m+m}\end{array}\right],$ $C=\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& ...& 1& 1& ...1\\ {(-n)}^1& {(-n+1)}^1& ...& 0& 1^1& ...n^1\\ ...& ...& ...& ...& ...& ......\\ {(-n)}^m& {(-n+1)}^m& ...& 0& 1^m& ...n^m\end{array}\right]$

$D=\left[\begin{array}{ccccc}{(-n)}^0& {(-n)}^1& ...& {(-n)}^s& ...{(-n)}^m\\ {(-n+1)}^0& {(-n+1)}^1& ...& {(-n+1)}^s& ...{(-n+1)}^m\\ ...& ...& ...& ...& ......\\ {\left(n\right)}^0& n^1& ...& n^s& ...n^m\end{array}\right],$ A＝[a₀ a₁ a₂ … a_m]

H＝[h_X(-n) h_X(-n+1) …h_X(0) … h_X(n-1) h_X(n)] 

由式(11)得：P＝DB^-1C                 (12) 

式(11)中的第i个值取为： $\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)}=P(n+1)H_X{\left(i\right)}^{\&prime;}---\left(13\right)$

式中P(n+1)为P矩阵中的第n+1行的行矩阵,H_X(i)＝[h_X(i-n) h_X(i-n+1) …h_X(i) … h_X(i+n-1) h_X(i+n)]，为所述局部平滑后的凸轮升程值，i取0、1、…、l-1

由式(13)得到局部平滑后的凸轮升程值

步骤六、N次谐波最佳逼近

设傅氏级数展开式为：

$h_L\left(i\right)=\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_k\cos {\mathrm{k\&theta;}}_i+\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{B}_k\sin k{\mathrm{\&theta;}}_i---\left(14\right)$

其中， ${\mathrm{\&theta;}}_i=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{21}i,i=\mathrm{0,1},...,1-1,$ A_k、B_k傅氏级数系数；

根据级数理论，使h_L(i)成为偶函数，式(14)简化为:

$h_L\left(i\right)=\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_k\cos k{\mathrm{\&theta;}}_i---\left(15\right)$

h_L(i)与的误差平方和为:

$\mathrm{\&epsiv;}=\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(A_k\cos k{\mathrm{\&theta;}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)})}^2---\left(16\right)$

要使ε为最小，对ε求关于A₀、A₁、……、A_n的偏导数，并令其偏导数等于零，即可得A₀、A₁、……、A_k应满足的方程为:

$\frac{\&PartialD;\mathrm{\&epsiv;}}{\&PartialD;A_k}=\frac{\&PartialD;\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_k\cos \mathrm{k\&theta;}-\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)})}^2}{\&PartialD;A_k}=2\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_k\cos k{\mathrm{\&theta;}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)})\cos k{\mathrm{\&theta;}}_i=0---\left(17\right)$

根据式(17)，可列矩阵方程:FG’＝E’

即G’＝F^-1E’(19)

其中： $F=\left[\begin{array}{ccc}\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos (0\&times;{\mathrm{\&theta;}}_i)& \underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos {\mathrm{\&theta;}}_i& ...\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos (l-1){\mathrm{\&theta;}}_i\\ \underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos {\mathrm{\&theta;}}_i& \underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_i& ...\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos {\mathrm{\&theta;}}_i\cos (l-1){\mathrm{\&theta;}}_i\\ ...& ...& ...\\ \underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos n{\mathrm{\&theta;}}_i& \underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos {\mathrm{\&theta;}}_i\cos n{\mathrm{\&theta;}}_i& ...\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos {\mathrm{n\&theta;}}_i\cos (l-1){{\mathrm{\&theta;}}_i}_{}\end{array}\right],$ ${\mathrm{\&theta;}}_i=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{21}i$

G＝[A₀A₁…A_n]， $E=\left[\begin{array}{ccc}\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)}& \underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)}\cos {\mathrm{\&theta;}}_i& ...\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)}\cos (l-1){\mathrm{\&theta;}}_i\end{array}\right]$

由式(19)求出式(17)中满足最小二乘条件下的系数A₀、A₁、……、A_n，将系数A₀、A₁、……、A_n代回到式(15)，得到的h_L(i)即为N次谐波最佳逼近的凸轮升程值；

步骤七、采用N次谐波最佳逼近的凸轮升程值，由计算机自动升程数控家 加工程序进行磨削加工，可以得到理想的效果。

所述步骤五中式(12)中，当n＝3，m＝3时，解P矩阵，得P如下：

$P=\left[\begin{array}{ccccccc}0.9286& 0.1905& -0.0952& -0.0952& 0.0238& -0.0952& -0.0476\\ 0.1905& 0.4524& 0.3810& 0.1429& -0.0952& -0.1667& 0.0952\\ -0.0952& 0.3810& 0.4524& 0.2857& 0.0476& -0.0952& 0.0238\\ -0.0952& 0.1429& 0.2857& 0.3333& 0.2857& 0.1429& -0.0952\\ 0.0238& -0.0952& 0.0476& 0.2857& 0.4524& 0.3810& -0.0952\\ 0.0952& -0.1667& -0.0952& 0.1429& 0.3810& 0.4524& 0.1905\\ -0.0476& 0.0952& 0.0238& -0.0952& -0.0952& 0.1905& 0.9286\end{array}\right]$

式(13)中，当n＝3时得：即得到局部平滑后的最佳凸轮升程值其中i为0，1，…，l-1个值。

本方法就是根据高档桥车凸轮轴、油泵凸轮、卡车大升程凸轮的加工精度和加工节拍要求，在保证加工节拍的前提下，根据数值分析的理论及应用方法，以凸轮测试仪检测的凸轮升程误差值作为补偿值，对原始升程值进行补偿，利用邻近几点三次多项式拟合的方法，对补偿后的升程值进行平滑，然后采用N次谐波最佳逼近的方法，消除凸轮因补偿产生的高阶噪声。获得新的升程值，利用磨削控制软件生成砂轮架进给位移数控加工子程序，控制砂轮架(X轴)进给，实现高精度高效率的凸轮轴磨削加工。

本发明方法与现有技术相比，具有操作方便，磨削精度高，响应速度快，效率高，型线误差小于±0.025mm，相邻差≤5μm,无明显的波纹和振纹现象，磨削质量与德国进口凸轮轴磨床相当。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步说明。

附图说明

图1是凸轮加工过程的方框图。

图2是经初加工后的凸轮升程误差曲线图。

图3是人工差分修改法砂轮进给加加速度曲线图。

图4是局部平滑处理方法砂轮进给加加速度曲线图。

图5是21次谐波最佳逼近处理后砂轮进给加加速度曲线图。

图6经本发明处理后磨削加工凸轮测试曲线图。

具体实施方式

参见图1，本发明方法的步骤如下：

1).利用计算机的数控程序控制数控凸轮轴磨床中作为X轴的砂轮架的横向进给系统使砂轮架作往复运动和作为C轴的头架的旋转系统作旋转运动；

2).根据待加工凸轮的理论凸轮升程值h_P(i)，对待加工的凸轮进行磨削加工，通过凸轮测试仪对磨削加工后的凸轮进行测试，获得实测凸轮升程值h_S(i)与所述理论凸轮升程值h_P(i)之差值，即凸轮升程误差值e'(i)；

e'(i)＝h_P(i)-h_S(i)                 (1) 

式中e'(i)为凸轮升程误差值，h_S(i)为实测凸轮升程值，h_P(i)为理论凸轮升程值，i为0、1、…、l-1，即凸轮升程值个数，其中l为凸轮升程值总个数；

(3)将凸轮升程误差值e'(i)中小于0.005mm以下的误差忽略不计，获得处理后的凸轮升程误差值e(i)。

$e\left(i\right)=\left\{\begin{array}{c}{e}^{\&prime;}\left(i\right),e^{\&prime;}\left(i\right)\&GreaterEqual;0.005\mathrm{mm}\\ 0,e^{\&prime;}\left(i\right)<0.005\mathrm{mm}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，e'(i)为凸轮升程误差值，e(i)为处理后的凸轮升程误差值_；

如图2所示为经初加工后凸轮升程误差曲线。理论凸轮升程值、凸轮升程误差值、处理后的凸轮升程误差值、多项式局部平滑处理后的凸轮升程值、人工差分修改法后的凸轮升程值、21次谐波最佳逼近的凸轮升程值如表1所示。

3)将理论凸轮升程值对凸轮升程误差值进行相减，即获得误差补偿后的凸轮升程值如下式：

h_X(i)＝h_P(i)-k×e(i)                (3) 

其中h_X(i)为误差补偿后的凸轮升程值，k为补偿系数，一般取0.8～1。数据见表1。由于加工凸轮时，基圆、凸轮升程随机误差一般小于0.005mm，因此，只有凸轮升程值误差大于0.005mm才进行补偿。

4)多项式局部平滑处理

我们从误差补偿后的凸轮升程值h_X(i)中取2n+1个点表示如下：h_X(-n)，h_X(-n+1)，…h_X(-1)，h_X(0)，h_X(1)，…h_X(n-1)，h_X(n)。

其中n为等于或大于2的正整数； 

假设采用m次多项式进行局部平滑，则：

$\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)}=\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_k{i}^k,i=-n,-n+1,...-\mathrm{1,0,1},...n-1,n---\left(4\right)$

式中为多项式局部平滑后的凸轮升程值，a_k为多项式系数，k为0，1，…，m，m为次数，2n+1为l中补偿后的凸轮升程值的个数；

以式(4)对h_X(i)进行局部平滑时，根据最小二乘原理有：

$\mathrm{\&epsiv;}=\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_k{i}^k-h_X\left(i\right))}^2---\left(5\right)$

其中ε为误差平方和；使ε最小，由(5)式对a_i求偏导数，并令其为0，即：

$\frac{\&PartialD;\mathrm{\&epsiv;}}{\&PartialD;a_k}=\frac{\&PartialD;\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_k{i}^k-h_X\left(i\right))}^2}{\&PartialD;a_k}=\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}2(\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_k{i}^k-h_X\left(i\right))i^j=0,j=\mathrm{0,1},...,m---\left(6\right)$

由此得如下方程组：

$\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_k{i}^{k+j}=\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_X\left(i\right)i^j,j=\mathrm{0,1},...,m---\left(7\right)$

根据式(7)列方程：

当j＝0 $\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}^0{a}_0+\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}^1{a}_1+...+\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}^m{a}_3=\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_X\left(i\right)i^0$

当j＝i $\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}^0{a}_0+\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}^{1+1}{a}_1+...+\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}^{i+m}{a}_3=\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_X\left(i\right)i^i---\left(6\right)$

当j＝m $\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}^m{a}_0+\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}^{m+1}{a}_1+...+\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}^{m+m}{a}_3=\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_X\left(i\right)i^m$

根据(8)式，得矩阵方程BA’＝CH’               (9) 

由式(4)得： $\stackrel{\&OverBar;}{H}=D{A}^{,}---\left(10\right)$

把(9)式代入式(10)得： $\stackrel{\&OverBar;}{H}=D{B}^{-1}C{H}^{,}=P{H}^{,}---\left(11\right)$

其中 $\stackrel{\&OverBar;}{H}=[\stackrel{\&OverBar;}{h_X(-n)}\stackrel{\&OverBar;}{h_X(-n+1)}...\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(0\right)}...\stackrel{\&OverBar;}{h_X(n-1)}\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(n\right)}]$

$B=\left[\begin{array}{ccc}\underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^0& \underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^1& ...\underset{i=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^m\\ \underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^1& \underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^2& ...\underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^{m+1}\\ ...& ...& ......\\ \underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^{m+0}& \underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^{m+1}& ...\underset{s=-n}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}^{m+m}\end{array}\right],$ $C=\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& ...& 1& 1& ...1\\ {(-n)}^1& {(-n+1)}^1& ...& 0& 1^1& ...n^1\\ ...& ...& ...& ...& ...& ......\\ {(-n)}^m& {(-n+1)}^m& ...& 0& 1^m& ...n^m\end{array}\right]$

$D=\left[\begin{array}{ccccc}{(-n)}^0& {(-n)}^1& ...& {(-n)}^s& ...{(-n)}^m\\ {(-n+1)}^0& {(-n+1)}^1& ...& {(-n+1)}^s& ...{(-n+1)}^m\\ ...& ...& ...& ...& ......\\ {\left(n\right)}^0& n^1& ...& n^s& ...n^m\end{array}\right],$ A＝[a₀ a₁ a₂ … a_m]

H＝[h_X(-n) h_X(-n+1) …h_X(0) … h_X(n-1) h_X(n)] 

由式(11)得：P＝DB^-1C                 (12) 

式(11)中的第i个值取为： $\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)}=P(n+1)H_X{\left(i\right)}^{\&prime;}---\left(13\right)$

式中P(n+1)为P矩阵中的第n+1行的行矩阵,H_X(i)＝[h_X(i-n) h_X(i-n+1) …h_X(i) … h_X(i+n-1) h_X(i+n)]，为所述局部平滑后的凸轮升程值，i取0、1、…、l-1

由式(13)得到多项式局部平滑后的凸轮升程值

局部平滑就是从数据中取某一点及相邻的2n个点的值，用上述方法改进该点的原始值。为了提高局部平滑效果，即尽量减少其高阶噪声，采用七点三次局部平滑，高阶噪声、加加速度值较小。即每次取7个相邻的点。n＝3，m＝3，代入式(12)矩阵中，并解式(12)矩阵得P：

$P=\left[\begin{array}{ccccccc}0.9286& 0.1905& -0.0952& -0.0952& 0.0238& -0.0952& -0.0476\\ 0.1905& 0.4524& 0.3810& 0.1429& -0.0952& -0.1667& 0.0952\\ -0.0952& 0.3810& 0.4524& 0.2857& 0.0476& -0.0952& 0.0238\\ -0.0952& 0.1429& 0.2857& 0.3333& 0.2857& 0.1429& -0.0952\\ 0.0238& -0.0952& 0.0476& 0.2857& 0.4524& 0.3810& -0.0952\\ 0.0952& -0.1667& -0.0952& 0.1429& 0.3810& 0.4524& 0.1905\\ -0.0476& 0.0952& 0.0238& -0.0952& -0.0952& 0.1905& 0.9286\end{array}\right]$

把n＝3代入式(13)得：即得到多项式局部平滑后的凸轮升程值

上式中：P(4)为P矩阵的第4行，即P(4)＝[-0.0952 0.1429 0.2857 0.3333 0.2857 0.1429 -0.0952]，H_X(i)＝[h_X(i-3) h_X(i-2) h_X(i-1) h_X(i) h_X(i+1) h_X(i+2) h_X(i+3)]，其中H_X(i)为误差补偿后的凸轮升程值中任意连续取7个值。

根据(13)式即可对误差补偿后的升程值进行平滑处理。

我们对人工差分修改法砂轮进给加加速度曲线如图3所示。局部平滑处理方法砂轮进给加加速度曲线如图4所示。平滑后数据见表1所示。

5)N次谐波最佳逼近

由于进行误差补偿，将产生较多的高阶噪声，我们采用N次谐波平方最佳逼近，由于函数的傅氏级数是收敛的，而误差的傅氏级数不收敛，可以根据此方法区分函数与误差。有限傅氏级数展开式就可消除大部分误差。这样既可对局部平滑后的升程值做大范围平滑，同时又得到它的函数表达式。

我们根据误差理论可知，若用某种函数去逼近带误差的经局部平滑的凸轮升程值，采用最小二乘法，以获得精度最高、误差最小的逼近效果。因不知凸轮的升程方程的形式，故采用N次谐波展开的方式去逼近。基于上述的考虑，把N次谐波最佳逼近和最小二乘法联合使用，即可获得理想的拟合效果。

经过误差补偿、局部平滑后的凸轮升程值因是周期函数，只要 具有一定的平滑性，就可以展开成傅氏级数：

$h_L\left(i\right)=\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_k\cos {\mathrm{k\&theta;}}_i+\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{B}_k\sin k{\mathrm{\&theta;}}_i---\left(14\right)$

其中， ${\mathrm{\&theta;}}_i=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{21}i,i=\mathrm{0,1},...,1-1,$ A_k、B_k傅氏级数系数；

根据级数理论，可以把在区间多项式局部平滑的凸轮升程值在内补充定义，使其成为偶函数，然后再进行展开。其结果保留余弦项，正弦项全部为零。

式(14)简化为:

$h_L\left(i\right)=\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_k\cos k{\mathrm{\&theta;}}_i---\left(15\right)$

假若这些误差的平方和能尽可能地小，便可以保证这些误差的绝对值尽可能地小。其误差的平方和为:

$\mathrm{\&epsiv;}=\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(A_k\cos k{\mathrm{\&theta;}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)})}^2---\left(16\right)$

若要使平方和为最小，也就是要选取系数A₀、A₁、……、A_n，使ε为最小。对ε求关于A₀、A₁、……、A_n的偏导数，并令其偏导数等于零，即可得A₀、A₁、……、A_k。应满足的方程为:

$\frac{\&PartialD;\mathrm{\&epsiv;}}{\&PartialD;A_k}=\frac{\&PartialD;\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_k\cos \mathrm{k\&theta;}-\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)})}^2}{\&PartialD;A_k}=2\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_k\cos k{\mathrm{\&theta;}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)})\cos k{\mathrm{\&theta;}}_i=0---\left(17\right)$

展开式(17)得:

$A_0\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos (0\&times;{\mathrm{\&theta;}}_i)+A_1\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos {\mathrm{\&theta;}}_i+......+A_n\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos (l-1){\mathrm{\&theta;}}_i=\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)}$

$A_0\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos {\mathrm{\&theta;}}_i+A_1\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_i+......+A_n\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos (l-1){\mathrm{\&theta;}}_i\cos {\mathrm{\&theta;}}_i=\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)}\cos {\mathrm{\&theta;}}_i---\left(18\right)$

$A_0\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos (l-1){\mathrm{\&theta;}}_i+A_1\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_i\cos (l-1){\mathrm{\&theta;}}_i+......+A_n\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos (l-1){\mathrm{\&theta;}}_i\cos {(l-1)\mathrm{\&theta;}}_i=\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)}\cos {(l-1)\mathrm{\&theta;}}_i$

由式(18)可列矩阵方程，简写为:FG’＝E’

即得：G’＝F^-1E’                   (19) 

其中： $F=\left[\begin{array}{ccc}\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos (0\&times;{\mathrm{\&theta;}}_i)& \underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos {\mathrm{\&theta;}}_i& ...\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos (l-1){\mathrm{\&theta;}}_i\\ \underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos {\mathrm{\&theta;}}_i& \underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_i& ...\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos {\mathrm{\&theta;}}_i\cos (l-1){\mathrm{\&theta;}}_i\\ ...& ...& ...\\ \underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos (l-1){\mathrm{\&theta;}}_i& \underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos {\mathrm{\&theta;}}_i\cos (l-1){\mathrm{\&theta;}}_i& ...\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos (l-1){\mathrm{\&theta;}}_i\cos (l-1){{\mathrm{\&theta;}}_i}_{}\end{array}\right],$ ${\mathrm{\&theta;}}_i=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{21}i$

G＝[A₀ A₁ … A_n]， $E=\left[\begin{array}{ccc}\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)}& \underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)}\cos {\mathrm{\&theta;}}_i& ...\underset{i=0}{\overset{l-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\stackrel{\&OverBar;}{h_X\left(i\right)}\cos (l-1){\mathrm{\&theta;}}_i\end{array}\right]$

由式(19)可很容易求出式(17)中满足最小二乘条件下的系数A₀、A₁、……、A_n。把系数A₀、A₁、……、A_n代入式(15)，一般k＝21次就够了，得到的h_L(i)即为N次谐波最佳逼近的凸轮升程值了。

21次谐波最佳逼近处理后砂轮进给加加速度曲线如图5所示。补偿后的升程值见表1。

5).采用经N次谐波最佳逼近后的凸轮升程值，根据本公司发明专利(ZL201010278922.0)加工方法对凸轮再进行磨削加工，经凸轮测试仪测试后的凸轮升程误差曲线如图6所示，如图7所示为该加工方法的程序流程图。即可获得到理想的效果。

6)应用实例

(1)某公司提供的理论凸轮升程值h_P(i)如表1第1列，通过数控凸轮轴磨床的磨削软件自动生成砂轮架进给位移、头架旋转加工子程序；经数控凸轮轴磨床的磨削加工，然后经凸轮测试仪测试获得凸轮升程误差e'(i)，如表1第 2列，曲线如图2所示；

(2)将凸轮升程误差小于0.005mm以下的去除。获得处理后的凸轮升程误差值e(i)，如表1第3列；

(3)将理论凸轮升程值h_P(i)减去处理后的凸轮升程误差值e(i)获得误差补偿后的凸轮升程值h_X(i)，其中k＝1，如表1第4列；

(4)多项式局部平滑处理：m＝3，n＝3，将h_X(i)取7个值为一组组成矩阵的一行，共有l行，代入公式即可以计算出多项式局部平滑后凸轮升程值如表1第5列；

(5)N次谐波最优逼近：将多项式局部平滑后凸轮升程值代入矩阵公式(19)，可以计算出系数A₀、A₁、……、A_n；一般n取21即满足精度要求。然后将系数A₀、A₁、……、A₂₁，代入公式(15)，经计算即可获得N次谐波最优逼近后凸轮升程值h_L(t)，如表1第7列；

(5)N次谐波最优逼近后凸轮升程值h_L(i)替换理论凸轮升程值h_P(i)，通过数控凸轮轴磨床的磨削软件自动生成砂轮架进给位移、头架旋转加工子程序；经数控凸轮轴磨床的磨削加工，然后经凸轮测试仪测试获得理想的效果，测试曲线如图6所示。

表1：某公司凸轮升程表及处理数据表

表2技术性能对照表

技术指标	国家标准	公司原软件加工	YTMK8326	德国JUNKER公司
					凸轮轮廓曲线误差：全升程误差	≤0.025mm	≤0.025mm	≤0.015mm	≤0.015mm

 

相邻差	≤0.005mm	≤0.005mm	≤0.005mm	≤0.005mm
					凸轮表面粗糙度	Ra≤0.32μm	Ra≤0.32μm	Ra≤0.25μm	Ra≤0.24μm

Claims (2)

1.一种凸轮轴升程误差补偿加工方法，其特征是包括以下步骤：

步骤一、利用计算机的数控程序控制数控凸轮轴磨床中作为X轴的砂轮架的横向进给系统使砂轮架作往复运动和作为C轴的头架的旋转系统作旋转运动；

步骤二、根据待加工凸轮的理论凸轮升程值h_P(i)，对待加工的凸轮进行磨削加工，通过凸轮测试仪对磨削加工后的凸轮进行测试，获得实测凸轮升程值h_S(i)与所述理论凸轮升程值h_P(i)之差值，即凸轮升程误差值e'(i)；

e'(i)＝h_P(i)-h_S(i)  (1) 

式中e'(i)为凸轮升程误差值，h_S(i)为实测凸轮升程值，h_P(i)为理论凸轮升程值，i为0、1、…、l-1，即凸轮升程值个数，其中l为凸轮升程值总个数；

步骤三、将凸轮升程误差值e'(i)中小于0.005mm以下的误差忽略不计，获得处理后的凸轮升程误差值e(i)，

其中，e'(i)为凸轮升程误差值，e(i)为处理后的凸轮升程误差值；

步骤四、将理论凸轮升程值h_P(i)与处理后的凸轮升程误差值(e(i))相减，即

获得误差补偿后的凸轮升程值h_X(i)：

h_X(i)＝h_P(i)-k×e(i)  (3)

其中h_X(i)为误差补偿后的凸轮升程值，k为补偿系数，一般取0.8～1，由于加工凸轮时，基圆、凸轮升程随机误差一般小于0.005mm，因此，只有凸轮升程误差大于0.005mm才进行补偿；

步骤五、多项式局部平滑处理

从误差补偿后的凸轮升程值h_X(i)中取2n+1个点表示如下：

h_X(-n)，h_X(-n+1)，…h_X(-1)，h_X(0)，h_X(1)，…h_X(n-1)，h_X(n)，

其中n为等于或大于2的正整数；

假设采用m次多项式进行局部平滑，则：

式中为局部平滑后的凸轮升程值，a_k为多项式系数，k为0，1，…，m，m为次数，2n+1为l中补偿后的凸轮升程值的个数；

以式(4)对h_X(s)进行局部平滑时，根据最小二乘原理有：

其中ε为误差平方和；使ε最小，由(5)式对a_s求偏导数，并令其为0，即：

由此得如下方程组：

根据(7)式，得矩阵方程BA’＝CH’(9)

由式(4)得：

把(9)式代入式(10)得：

其中

A＝[a₀ a₁ a₂ … a_m]

H＝[h_X(-n) h_X(-n+1) … h_X(0) … h_X(n-1) h_X(n)]

由式(11)得：P＝DB^-1C  (12) 

式(11)中的第i个值取为：

式中P(n+1)为P矩阵中的第n+1行的行矩阵,H_X(i)＝[h_X(i-n)h_X(i-n+1) … h_X(i) … h_X(i+n-1) h_X(i+n)]，为所述局部平滑后的凸轮升程值，i取0、1、…、l-1

由式(13)得到局部平滑后的凸轮升程值

步骤六、N次谐波最佳逼近

设傅氏级数展开式为：

其中，i＝0、1、…、l-1，A_k、B_k傅氏级数系数；

根据级数理论，使h_L(i)成为偶函数，式(14)简化为:

h_L(i)与的误差平方和为:

要使ε为最小，对ε求关于A₀、A₁、……、A_n的偏导数，并令其偏导数等于零，即可得A₀、A₁、……、A_k应满足的方程为:

根据式(17)，可列矩阵方程:FG’＝E’

即G’＝F^-1E’  (19)

其中：

G＝[A₀ A₁ … A_n]，

由式(19)求出式(17)中满足最小二乘条件下的系数A₀、A₁、……、A_n，将系数A₀、A₁、……、A_n代回到式(15)，得到的h_L(i)即为N次谐波最佳逼近的凸轮升程值；

步骤七、采用N次谐波最佳逼近的凸轮升程值，由计算机自动升程数控家加工程序进行磨削加工，可以得到理想的效果。

2.根据权利要求1所述的凸轮轴升程误差补偿加工方法，其特征是所述步骤五中式(12)中，当n＝3，m＝3时，解P矩阵，得P如下：

式(13)中，当n＝3时得：即得到局部平滑后的最佳凸轮升程值其中i为0，1，…，l-1个值。