CN103267679B - 基于近似模型技术的复合泡沫塑料界面相力学测试方法 - Google Patents

Abstract

一种复合材料领域的基于近似模型技术及计算细观力学的复合泡沫塑料界面相力学参数测试方法，针对复合泡沫塑料这种由空心球形颗粒填充的复合材料界面性质难于通过实验测量，以及复合泡沫塑料宏观力学性能预测研究中，界面相力学模型缺乏准确可靠的界面参数支撑，本发明避开了对界面相的直接实验测量，转而通过宏观力学实验与细观有限元仿真相结合的方法，利用近似模型技术来识别复合泡沫塑料界面相的弹性刚度常数及厚度。克服了该种类型材料无法通过实验手段直接获取界面性能的障碍，为界面相建模提供准确可靠的力学参数，并为精确预测该类材料的宏观力学性能奠定基础。

Description

基于近似模型技术的复合泡沫塑料界面相力学测试方法

技术领域

本发明涉及的是一种复合材料领域的力学参数测试方法，具体是一种基于近似模型技术的复合泡沫塑料界面相力学测试方法。

背景技术

在复合材料的生产制备过程中，由于复杂的热效应、化学效应、结晶效应，在基体与增强相之间会形成一层界面，也称为界面相或界面层。界面相无论在化学组成上还是在力学性能上都与组分材料(基体、增强相)有着明显的差别。随着复合材料力学的快速发展，人们越来越清楚的认识到复合材料的性能除与基体和增强相密切相关外，界面也起着至关重要的作用。复合材料的力学性能并不是其组分材料的简单加和，而是产生了“1+1＞2”的协同效应。究其原因，是因为界面相的微观结构和性能特征对复合材料的宏观性能产生了直接的影响。

经过对现有技术文献的检索发现，目前科学界和工程界对复合材料界面相的研究主要包括两个途径。一是通过实验手段，如纳米压痕、单丝拉伸等来测量界面相的结构特征和力学参数；另一种则是通过细观力学的方法对界面相进行数值建模。

A.Hodzic等在期刊《Micron》2001年第32期中，采用了纳米压痕和纳米划痕的实验手段来测量玻璃纤维增强复合材料的界面相性能，包括界面厚度，界面刚度，界面应力分布等。

TTL.Doan等在期刊《Composites Science and Technology》2012年第72期中，通过对天然黄麻纤维进行表面处理，提高了该种纤维增强的环氧基复合材料的界面粘接性能，并采用单丝拉伸结合扫描电镜的实验手段测量了复合材料的界面强度，揭示了该材料的界面失效机理。

M.Yu等在期刊《Computational Materials Science》2012年第61期中，对复合泡沫塑料的界面相进行了有限元建模，并基于计算细观力学理论，预测了复合泡沫塑料的宏观弹性性能，研究结果指出界面相的力学性能对复合泡沫塑料的宏观力学性能有直接影响，忽略界面效应的预测结果远高于实验值。

相较于组分材料的力学性能，界面相的力学性能很难通过实验手段来测量。现有的实验方法(单丝拉伸、纳米压痕等)往往只适用于纤维增强的复合材料。对于复合泡沫塑料这种由空心球形颗粒填充的复合材料，目前几乎没有实验方法适用于测量其界面性质。因此，在对复合泡沫塑料宏观力学性能进行预测的研究中，界面相的力学模型缺乏准确可靠的界面参数支撑，最终导致预测结果与实际值之间存在较大偏差。

发明内容

本发明针对现有技术存在的上述不足，提出一种基于近似模型技术的复合泡沫塑料界面相力学测试方法，通过数值手段识别出复合泡沫塑料界面相的基本力学参数，克服该种类型材料无法通过实验手段直接获取界面性能的障碍，提高界面相建模的精度，并为精确预测该类材料的宏观力学性能奠定基础。

本发明是通过以下技术方案实现的，本发明包括以下步骤：

步骤一、通过实验测量复合泡沫塑料的宏观力学性能，具体为：分别制备不同微珠体积含量的复合泡沫塑料，并对其进行准静态下的单向拉伸实验，根据拉伸曲线确定材料的两个基本弹性常数，即杨氏模量E_c和泊松比v_c。

步骤二、界面相细观力学建模，具体为：基于内聚力单元理论对复合泡沫塑料的界面相进行细观有限元建模。

步骤三、复合泡沫塑料细观有限元建模，具体为：根据细观力学理论，选用三维立方单胞体作为复合泡沫塑料的代表性体积单元，为了考虑界面效应，将复合泡沫塑料视为由基体、微珠颗粒和界面相组成的三相材料，将步骤二中建立的界面相力学模型引入到单胞体中，使其位于基体与微珠之间，以此来模拟界面相的力学行为。然后利用有限元软件ABAQUS对单胞模型进行六面体网格划分。

步骤四、复合泡沫塑料弹性性能有限元仿真计算，具体为：利用ABAQUS-Standard求解器来计算模拟材料在单向拉伸载荷下的弹性响应。基于仿真结果通过计算细观力学均匀化方法来获取复合泡沫塑料的宏观杨氏模量和泊松比；

步骤五、建立复合泡沫塑料宏观弹性响应的Kriging近似模型，具体为：根据步骤二中建立的界面相细观力学模型，选取界面相的力学参数作为输入变量进行试验设计；采用拉丁超立方采样准则生成一定数量的设计样本点，包括训练样本和测试样本；利用步骤三中建立的复合泡沫塑料细观有限元模型对每个样本点进行如步骤四所述的有限元仿真计算，获得各样本的输出响应状态；根据样本计算结果，建立复合泡沫塑料宏观弹性响应的Kriging近似模型；

步骤六、复合泡沫塑料界面相力学参数识别，具体为：结合步骤一中测得的复合泡沫塑料宏观弹性常数的实验数据和步骤五中建立的复合泡沫塑料宏观弹性响应的Kriging近似模型，对复合泡沫塑料界面相力学参数进行识别；

步骤七、在材料的生产设计阶段，利用步骤六中得到的复合泡沫塑料界面相力学参数对不同微珠含量的复合泡沫塑料的宏观弹性常数(杨氏模量和泊松比)进行准确评估并用于设计相应的材料。

技术效果

与现有技术相比，本发明的优点包括：

1)与传统的研究复合材料界面性质的纯实验方法相比，本发明避开了对界面相的直接微观实验测量，转而通过宏观力学实验与细观有限元仿真相结合的方法，利用近似模型技术来识别界面相的力学参数。本发明尤其适用于复合泡沫塑料这种由空心球形颗粒填充的复合材料，克服了该种类型材料无法通过实验手段直接获取界面相性能的障碍；

2)本发明对复合泡沫塑料的界面相进行了详细的细观力学建模，并将其引入到复合泡沫塑料宏观力学性能的预测模型中。由于充分考虑了界面效应对材料宏观力学性能的影响，并为界面相模型提供了准确可靠的力学参数，本发明建立的方法不仅提高了界面建模的精度，同时还提高了材料宏观力学性能预测的整体精度；

3)本发明的工程应用性强。基于本发明得到的界面相参数识别结果，揭示了微珠体积分数等细观结构对复合泡沫塑料界面相力学性能的影响规律，可加深对界面相力学性能的认识。虽然本发明是针对复合泡沫塑料提出的，但本发明的理论成果具有很强的工程应用前景，稍加扩展便可应用于各种类型的复合材料。

附图说明

图1为拉伸试件形状和尺寸(mm)。

图2为界面相细观力学模型。

图3为复合泡沫塑料周期性细观结构示意图。

图4为复合泡沫塑料细观有限元模型。

图5为有限元仿真周期性边界条件示意图。

具体实施方式

下面对本发明的实施例作详细说明，本实施例在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

实施例1

本实施例包括如下步骤：

步骤一、复合泡沫塑料的宏观力学性能实验：试件的形状和尺寸如图1所示，实验所用复合泡沫塑料的基体采用环氧树脂E51；固化剂为二氨基二苯基甲烷和聚酰胺651；树脂与两种固化剂的质量配比为100∶25∶7；填充相选用澳大利亚Envirospheres公司的E-SPHERES空心陶瓷微珠。通过调整陶瓷微珠的加入量，制备微珠体积分数为10％、20％、30％、40％、50％五种不同的复合泡沫塑料。分别对环氧基体和五种不同微珠体积分数的复合泡沫塑料进行室温下的准静态单向拉伸实验，每种材料各测量五个有效数据。实验中采用位移控制，加载变形速率保持恒定的0.3mm/min，对应的工程应变率为0.0001/s。

根据拉伸应力-应变曲线，取纵向应变0.2％以前的数据点做线性拟合，将拟合所得直线斜率作为材料的杨氏模量；泊松比的计算参考ASTM E132-04标准，利用最小二乘法拟合纵向应变-加载力、横向应变-加载力直线，计算两条直线斜率的比值，进而得到材料的泊松比。对六组试样的有效数据求平均值和标准差，得到杨氏模量和泊松比的实验结果如表1所示。

表1不同微珠含量复合泡沫塑料杨氏模量和泊松比实验数据

步骤二、界面相细观力学建模：通过内聚力单元理论对复合泡沫塑料的界面相进行细观力学建模，力学模型如图2所示。界面相的力学行为通过张力-位移法则来控制，界面相的变形包含一个沿厚度方向的法向位移和两个切向位移，分别用δ_n、δ_s、δ_t表示；用T代表界面相的厚度，名义应变可定义为： ${\mathrm{\ϵ}}_n=\frac{{\mathrm{\δ}}_n}{T},{\mathrm{\ϵ}}_s=\frac{{\mathrm{\δ}}_s}{T},{\mathrm{\ϵ}}_t=\frac{{\mathrm{\δ}}_t}{T}---\left(1\right)$

因此，界面相弹性段的本构关系可写为： $t=\left\{\begin{array}{c}{t}_n\\ t_s\\ t_t\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc}{K}_{\mathrm{nn}}& K_{\mathrm{ns}}& K_{\mathrm{nt}}\\ K_{\mathrm{ns}}& K_{\mathrm{ss}}& K_{\mathrm{st}}\\ K_{\mathrm{nt}}& K_{\mathrm{st}}& K_{\mathrm{tt}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_n\\ {\mathrm{\δ}}_s\\ {\mathrm{\δ}}_t\end{array}\right\}=\mathrm{K\δ}---\left(2\right)$

其中：t为名义应力向量，包含了t_n、t_s、t_t三个分量，分别代表法向应力和两个切向应力；K为界面刚度矩阵。

为简化问题，本实施例采用如下两个假设：

1)界面相刚度矩阵非对角元素为0，即法向与切向解耦；

2)界面相两个切向方向的刚度相等，即K_ss＝K_tt。

基于这两点假设，需要确定的界面相参数一共只有3个，即厚度T，法向刚度K_n和切向刚度K_t。

步骤三、复合泡沫塑料细观有限元建模：分别针对不同微珠含量的复合泡沫塑料建立细观有限元模型，选择如图3所示的周期性三维立方单胞体作为复合泡沫塑料的代表性体积单元，为了考虑界面效应，将复合泡沫塑料视为由基体、微珠颗粒和界面相组成的三相材料，将步骤二中建立的界面相力学模型引入到单胞模型中，使其位于基体与微珠之间，以此来模拟界面相的力学行为。其中：单胞体中微珠颗粒的体积分数可通过下式计算：

$V_f=\frac{\mathrm{\π}}{6}{\left(\frac{D_f}{L}\right)}^3---\left(3\right)$

利用有限元软件ABAQUS6.9对模型进行六面体网格划分，单元类型选择C3D8I。由于对称性，只取模型的1/8进行分析，最终建立的复合泡沫塑料细观有限元模型如图4所示。环氧基体和陶瓷微珠均视为各向同性弹性材料，环氧基体的弹性参数(杨氏模量、泊松比)取表1给出的实验数据：E_m＝2.06GPa，ν_m＝0.384；陶瓷微珠的弹性参数参照制造商给出的值：E_f＝74GPa，ν_f＝0.18。

步骤四、样本计算：选取界面相的厚度T，法向刚度K_n和切向刚度K_t作为输入变量进行试验设计，变量的取值区间为：K_n∈(0，100)GPa/mm，K_t∈(0，100)GPa/mm，T∈(0，2)μm。采用拉丁超立方采样准则生成200个训练样本和100个测试样本，训练样本用以拟合Kriging近似模型，而测试样本用于检测所建立模型的精度。利用步骤三中建立的复合泡沫塑料细观有限元模型对每个样本点进行仿真计算，获得各样本的输出响应状态。

为了满足对称性和周期性，需对有限元模型施加如图5所示的边界条件：

1)对三个对称面施加对称边界条件；

2)选择剩余三个面中的其中一个作为承载面，施加均匀的法向位移载荷；

3)利用多点约束方程对剩余两个面做节点耦合，使其始终保持为平面。

作为一种非均质复合材料，复合泡沫塑料的力学性能是宏观上的等效值。基于细观力学均匀化方法，将细观尺度下应力σ_ij和应变ε_ij的体积平均值分别视作其宏观等效应力∑_ij和等效应变E_ij：

${\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{V}{\∫}_V{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}\mathrm{dV}=\frac{1}{V}\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}^{\left(m\right)}{V}^{\left(m\right)}---\left(4\right)$

$E_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{V}{\∫}_V{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ij}}\mathrm{dV}=\frac{1}{V}\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ij}}^{\left(m\right)}{V}^{\left(m\right)}---\left(5\right)$

$V=\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{V}^{\left(m\right)}---\left(6\right)$

其中：V为代表性体积单元总体积，N为代表性体积单元中总的积分点数， V^(m)分别代表第m个积分点上的细观场应力、应变及该积分点的体积权重。复合泡沫塑料的杨氏模量E_c和泊松比v_c可由如下公式确定：

$E_c=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{ii}}}{E_{\mathrm{ii}}},v_c=\frac{E_{\mathrm{jj}}}{E_{\mathrm{ii}}}---\left(7\right)$

其中：ii、jj分别为代表性体积单元的加载方向和与之正交的方向。

步骤五、复合泡沫塑料宏观弹性响应的Kriging近似模型的建立及验证：Kriging近似模型是一种广义的线性规划模型，其基本表达式为：

y(x)＝f(x)+Z(x)     (8)

其中：x为输入参数向量，y(x)为待求的输出函数，f(x)为全局多项式拟合函数，Z(x)为均值等于0的随机过程，其协方差矩阵为：

Cov[Z(x_i)，Z(x_j)]＝σ²R[(R(x_i，x_j)]     (9)

其中：R为Z(x)的相关矩阵，R(x_i，x_j)为两个样本点之间的相关函数。

本实施例中选取界面相的三个力学参数作为输入参数x＝[K_n，K_t，T]，复合泡沫塑料的宏观杨氏模量E_c和泊松比v_c作为输出响应，建立如下Kriging近似模型。

$E_c^{\mathrm{\λ}}=f_{\mathrm{\λ}}\left(x\right)+Z_{\mathrm{\λ}}\left(x\right),\mathrm{\λ}=\mathrm{1,2,3,4,5}---\left(10\right)$

$v_c^{\mathrm{\λ}}=f_{\mathrm{\λ}}\left(x\right)+Z_{\mathrm{\λ}}\left(x\right),\mathrm{\λ}=\mathrm{1,2,3,4,5}---\left(11\right)$

其中：λ代表复合泡沫塑料中微珠颗粒的含量，如λ＝1代表微珠体积分数为10％。

Kriging模型的f(x)选择一阶多项式，随机过程Z(x)的相关函数选择高斯相关函数：

$f\left(x\right)=\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_i{h}_i\left(x\right)={\mathrm{\β}}_0+{\mathrm{\β}}_1{K}_n+{\mathrm{\β}}_2{K}_t+{\mathrm{\β}}_{3}T---\left(12\right)$

$R(x_i,x_j)=\exp [-\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_k{|x_k^i-x_k^j|}^2]---\left(13\right)$

在近似建模过程中，分别输入训练样本的设计变量矩阵和对应的仿真输出响应值，对Kriging模型的待求参数进行优化，并确定最佳拟合值，其中：h(x)代表多项式函数，β_i为待求的多项式系数，可通过最小二乘法确定；n等于输入参数的个数，θ_k为待求的相关系数参数，可通过求解最大似然估计确定：

$\max \underset{{\mathrm{\θ}}_k>0}{\mathrm{\Φ}}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)=-\frac{1}{2}[n\ln {\mathrm{\σ}}^2\left({\mathrm{\θ}}_k\right)+\ln |R\left({\mathrm{\θ}}_k\right)\left|\right]---\left(14\right)$

该步建立的Kriging近似模型实质上提供了一种复合泡沫塑料的界面相性能与其宏观弹性性能之间的一一映射关系。

在本实施例中，根据步骤四中的样本计算结果，分别输入训练样本的设计变量矩阵和对应的仿真输出响应值，确定Kriging近似模型的待求参数如表2所示。然后利用测试样本的计算结果对建立的Kriging模型进行精度验证，精度指标采用决定系数R²：

$R^2=1-\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{[y\left(x_i\right)-\hat{y}\left(x_i\right)]}^2}{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{[y\left(x_i\right)-\stackrel{\‾}{y}\left(x_i\right)]}^2}---\left(15\right)$

其中：m为测试样本个数，y(x_i)和分别代表测试样本有限元仿真结果的观测值和其均值；代表对应的Kriging近似模型的预测值。R²越接近1代表模型的预测精度越高。

表2Kriging模型最优参数值及精度指标

步骤六、界面相力学参数识别：本实施例提出如下策略来识别复合泡沫塑料界面相力学参数：

find x

$\min F\left(x\right)=\frac{|E_c^{\mathrm{\λ}*}-E_c^{\mathrm{\λ}}\left(x\right)|}{E_c^{\mathrm{\λ}*}}+\frac{|v_c^{\mathrm{\λ}*}-v_c^{\mathrm{\λ}}\left(x\right)|}{v_c^{\mathrm{\λ}*}},\mathrm{\λ}=\mathrm{1,2,3,4,5}$

st.x₁∈[a₁，b₁]     (16)

x₂∈[a₂，b₂]

x₃∈[a₃，b₃]

其中：x＝[x₁，x₂，x₃]＝[K_n，K_t，T]为待识别的界面相力学参数向量；F(x)可视为最优化问题的目标函数；和分别为步骤一中复合泡沫塑料宏观杨氏模量和泊松比的实验值；和为与之对应的通过步骤五中的Kriging近似模型得到的预测值；「a_i，b_i](i＝1，2，3)代表参数x_i的取值范围。本实施例选用数学软件MATLAB中提供的遗传算法来求解整个寻优过程。

结合表1中复合泡沫塑料宏观弹性常数的实验数据和表2中建立的复合泡沫塑料宏观弹性响应的Kriging近似模型，根据公式(16)识别出不同微珠含量的复合泡沫塑料界面相弹性刚度常数及厚度值，结果如表3所示：

表3复合泡沫塑料界面相力学参数识别结果

步骤七、在材料的生产设计阶段，利用表3中界面相力学参数的识别结果对复合泡沫塑料的宏观弹性常数预测进行准确评估，并用于设计相应的材料。获取的高精度的杨氏模量和泊松比的预测结果如表4所示：

表4复合泡沫塑料宏观弹性常数预测结果

Claims (5)

1.一种基于近似模型技术的复合泡沫塑料界面相力学参数测试方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、通过实验测量复合泡沫塑料的宏观力学性能，具体为：分别制备不同微珠体积含量的复合泡沫塑料，并对其进行准静态下的单向拉伸实验；根据拉伸曲线确定材料的两个基本弹性常数，即杨氏模量E_c和泊松比ν_c；

步骤二、界面相细观力学建模，具体为：通过内聚力单元理论对复合泡沫塑料界面相进行细观有限元建模；界面相的力学行为通过张力-位移法则来控制，界面相的变形包含一个沿厚度方向的法向位移和两个切向位移；

步骤三、复合泡沫塑料细观有限元建模，具体为：分别针对不同微珠含量的复合泡沫塑料建立细观有限元模型，为了考虑界面效应，将复合泡沫塑料视为由基体、微珠和界面相组成的三相材料，将步骤二中建立的界面相力学模型引入到三维单胞模型中，使其位于基体与微珠之间，以此来模拟界面相的力学行为；

步骤四、复合泡沫塑料弹性性能有限元仿真计算，具体为：为了满足对称性和周期性，对有限元模型施加周期性边界条件；利用ABAQUS-Standard求解器来计算模拟材料在单向拉伸载荷下的弹性响应，然后基于仿真结果通过计算细观力学均匀化方法来获取复合泡沫塑料的宏观杨氏模量和泊松比；

步骤五、建立复合泡沫塑料宏观弹性响应的近似模型，具体为：根据步骤二中建立的界面相细观力学模型，选取界面相的力学参数作为输入变量进行试验设计；采用拉丁超立方采样准则生成一定数量的设计样本点，包括训练样本和测试样本；利用步骤三中建立的复合泡沫塑料细观有限元模型对每个样本点进行如步骤四所述的有限元仿真计算，获得各样本的输出响应状态；根据样本计算结果，建立复合泡沫塑料宏观弹性响应的近似模型；

步骤六、复合泡沫塑料界面相力学参数识别，具体为：结合步骤一中测得的复合泡沫塑料宏观弹性常数的实验数据和步骤五中建立的复合泡沫塑料宏观弹性响应的近似模型，对复合泡沫塑料界面相力学参数进行识别；

步骤七、在材料的生产设计阶段，利用步骤六中得到的复合泡沫塑料界面相力学参数对不同微珠含量的复合泡沫塑料的宏观弹性常数进行准确评估并用于设计相应的材料。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征是，步骤二中所述的界面相细观力学模型所描述的界面相弹性段本构关系为： $t=\left\{\begin{array}{c}{t}_n\\ t_s\\ t_t\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc}{K}_{\mathrm{nn}}& K_{\mathrm{ns}}& K_{\mathrm{nt}}\\ K_{\mathrm{ns}}& K_{\mathrm{ss}}& K_{\mathrm{st}}\\ K_{\mathrm{nt}}& K_{\mathrm{st}}& K_{\mathrm{tt}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_n\\ {\mathrm{\δ}}_s\\ {\mathrm{\δ}}_t\end{array}\right\}=\mathrm{K\δ},$ 其中：t为名义应力向量，δ为界面位移向量，K为界面刚度矩阵，下标n，s，t分别代表法向方向和两个切向方向；并且有：

1)界面相刚度矩阵非对角元素为0，即法向与切向解耦；

2)界面相两个切向方向的刚度相等，即K_ss＝K_tt；

则需要确定的界面相参数为厚度T、法向刚度K_n和切向刚度K_t。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征是，步骤四中所述的复合泡沫塑料弹性性能有限元仿真计算的周期性边界条件是指：

1)对三维单胞模型的三个对称面施加对称边界条件；

2)选择剩余三个面中的其中一个作为承载面，施加均匀的法向位移载荷；

3)利用多点约束方程对剩余两个面做节点耦合，使其始终保持为平面。

4.根据权利要求1所述的方法，其特征是，步骤四中所述的通过计算细观力学均匀化方法来获取复合泡沫塑料的宏观杨氏模量和泊松比是指：

将细观尺度下应力σ_ij和应变ε_ij的体积平均值分别视作宏观等效应力Σ_ij和等效应变E_ij：

${\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{V}{\∫}_V{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}\mathrm{dV}=\frac{1}{V}\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}^{\left(m\right)}{V}^{\left(m\right)}$

$E_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{V}{\∫}_V{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ij}}\mathrm{dV}=\frac{1}{V}\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ij}}^{\left(m\right)}{V}^{\left(m\right)}$

$V=\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{V}^{\left(m\right)}$

其中：V为代表性体积单元总体积，N为代表性体积单元中总的积分点个数，V^(m)分别代表第m个积分点上的细观场应力、应变及该积分点的体积权重；复合泡沫塑料的杨氏模量E_c和泊松比ν_c满足：其中：ii、jj分别为代表性体积单元的加载方向和与之正交的方向。

5.根据权利要求1所述的方法，其特征是，步骤六中所述的界面相力学参数的识别方法如以下最优化过程所示：

find x

$\begin{array}{cc}\min & F\left(x\right)=\frac{|E_c^{\mathrm{\λ}*}-E_c^{\mathrm{\λ}}\left(x\right)|}{E_c^{\mathrm{\λ}*}}+\frac{{|v}_c^{\mathrm{\λ}*}-v_c^{\mathrm{\λ}}\left(x\right)}{v_c^{\mathrm{\λ}*}},\mathrm{\λ}=\mathrm{1,2,3,4,5}\end{array}$

st.x₁∈[a₁,b₁]

x₂∈[a₂,b₂]

x₃∈[a₃,b₃]

其中：x＝[x₁,x₂,x₃]＝[K_n,K_t,T]为待识别的界面相参数向量；F(x)可视为最优化问题的目标函数；和分别为步骤一中复合泡沫塑料杨氏模量和泊松比的实验值；和为与之对应的通过Kriging近似模型得到的预测值；[a_i，b_i](i＝1，2，3)代表参数x_i的取值范围。