CN103237000A - Frft-ofdm系统的低复杂度峰均比抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及FRFT-OFDM系统的低复杂度峰均比抑制方法，属于宽带无线数字通信技术领域，可以用于降低FRFT-OFDM系统的峰均比。该方法基于分数阶随机相位序列和分数阶圆周卷积定理，有效降低了运算复杂度。本发明的方法，具有系统实现简单，计算复杂度低的优点。该方法在保持系统可靠性的同时，能有效地降低系统的峰均比，在备选信号个数相同时，该方法与SLM方法的PAPR抑制性能相当、比PTS方法具有更好的PAPR抑制性能，而且该方法较SLM和PAPR方法的运算复杂度大大降低。

Description

FRFT-OFDM系统的低复杂度峰均比抑制方法

技术领域

本发明涉及FRFT-OFDM系统的低复杂度峰均比抑制方法，属于宽带无线数字通信技术领域，可以用于降低FRFT-OFDM系统的峰均比。

背景技术

传统的OFDM（正交频分复用）系统通常采用离散Fourier(傅里叶)变换（DFT）实现时-频变换，将频率选择性信道转换成多个平坦的子信道，进而将串行高速的数据流转换成多个并行低速的数据流，这使得OFDM系统具有良好的抗多径衰落的性能。然而在时频双弥散信道中，OFDM系统中子载波间的正交性容易受到破坏，从而形成严重的子载波间干扰。为了克服这一问题，Martone Massimiliano提出了基于分数阶傅里叶变换的OFDM系统简称（FRFT-OFDM系统），并得出在快速时变信道中FRFT-OFDM系统比传统OFDM系统具有更好的传输性能；同时，FRFT（分数阶傅里叶变换）的计算复杂度和FFT（傅里叶变换）相近，容易实现，所以FRFT-OFDM系统具有很大的应用价值。

然而，作为多载波传输系统，FRFT-OFDM系统同样存在高峰均比问题，这一问题直接影响系统的运行成本和效率，是该技术不可忽视的问题之一。目前，FRFT-OFDM系统的峰均比抑制方法仅仅是将传统OFDM系统的方法直接应用到该系统中，传统OFDM系统的峰均比抑制方法有：限幅法、选择映射法（SLM）、部分传输序列法(PTS)、有效星座扩展法（ACE）等。虽然有学者将传统的SLM法和PTS法分别应用于FRFT-OFDM系统，系统的峰均比特性有了明显改善，但是这两种方法存在计算复杂度大的问题。同时也有学者针对传统OFDM系统中PTS方法运算量大的问题提出了CSPS和OCSPS方法，但是由于分数阶Fourier变换chirp周期性的存在，该方法并不能直接应用到FRFT-OFDM系统。

下面，就对分数阶傅立叶变换及其离散算法和分数阶卷积定理进行简单介绍。

分数阶傅立叶变换是傅立叶变换的一种广义形式。作为一种新的时频分析工具，FRFT可以解释为信号在时频平面内，坐标轴绕原点的旋转。

信号x(t)的FRFT定义为：

$X_p\left(u\right)=\left\{F_p\right[x\left(t\right)\left]\right\}\left(u\right)={\∫}_{-\∞}^{+\∞}x\left(t\right)\·K_p(t,u)\mathrm{dt}---\left(1\right)$

其中：p=2·α/π为FRFT的阶次，α为旋转角度，F_p[·]为FRFT算子符号，K_p(t,u)为FRFT的变换核：

$K_p(t,u)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{1-j\·\cot \mathrm{\α}}{2\mathrm{\π}}}\·\exp (j\·\frac{t^2+u^2}{2}\·\cot \mathrm{\α}-j\·u\·t\·\csc \mathrm{\α})& \mathrm{\α}\≠\mathrm{n\π}\\ \mathrm{\δ}(t-u)& \mathrm{\α}=2\mathrm{n\π}\\ \mathrm{\δ}(t+u)& \mathrm{\α}=(2n\±1)\mathrm{\π}\end{array}\right.---\left(2\right)$

FRFT的逆变换为：

$x\left(t\right)={\∫}_{-\∞}^{+\∞}{X}_p\left(u\right)\·{K\_}_p(t,u)\mathrm{du}---\left(3\right)$

在实际应用中，需要离散分数阶傅立叶变换（DFRFT）。目前，已有几种不同类型的DFRFT快速算法，具有不同的精度和计算复杂度。和通常采用的分解型快速算法不同，本发明选用了Soo-Chang Pei在2000年提出的输入输出直接采样DFRFT快速算法。该算法在保持同分解型快速算法变换精度和复杂度相当的情况下（计算复杂度为（O(Nlog₂N)，N为采样点数），通过对输入输出采样间隔的限定，使DFRFT的变换核保持正交性，从而可以在输出端比较精确的通过逆离散变换恢复原序列。

对FRFT的输入输出分别以间隔Δt和Δu进行取样，当分数阶傅立叶域的输出采样点数M大于等于时域输入采样点数N，并且采样间隔满足

Δu·Δt=|S|·2π·sinα/M                       (4)

其中|S|是与M互质的整数（常取为1），DFRFT可以表示为：

其中 $A_{\mathrm{\α}}=\sqrt{\frac{\sin \mathrm{\α}-j\·\cos \mathrm{\α}}{N}},$ D为整数。

卷积定理在基于传统傅立叶变换的信号处理理论中占有重要的地位。Zayed在1998年提出了分数阶卷积定理。根据定义，信号x(t)和g(t)的p阶分数阶卷积定义为：

$y\left(t\right)=x\left(t\right)\stackrel{p}{\⊗}g\left(t\right)$ (6)

$=\sqrt{\frac{1-j\·\cot \mathrm{\α}}{2\mathrm{\π}}}\·e^{-j\·\frac{1}{2}\·\cot \mathrm{\α}\·t^2}\·{\∫}_{-\∞}^{\∞}x\left(\mathrm{\τ}\right)\·e^{j\·\frac{1}{2}\·\cot \mathrm{\α}\·t^2}\·g(t-\mathrm{\τ})\·e^{j\·\frac{1}{2}\·\cot \mathrm{\α}\·{(t-\mathrm{\τ})}^2}\mathrm{d\τ}$

上式中，α=p·π/2。在p阶分数阶傅立叶域，两个连续信号x(t)和g(t)的分数阶傅立叶变换和它们分数阶卷积得到的连续信号y(t)的分数阶傅立叶变换有如下关系：

$Y_p\left(u\right)=X_p\left(u\right)\·G_p\left(u\right)\·e^{-j\·\frac{1}{2}\·\cot \mathrm{\α}\·u^2}---\left(7\right)$

上式中，X_p(u)、G_p(u)和Y_p(u)分别为x(t)、g(t)和y(t)的p阶FRFT。也就是说，两个时域信号的分数阶卷积对应与它们的FRFT的乘积再乘以一个线性调频信号。同理也可得时域相乘的分数阶卷积公式，这里不再阐述。

分数阶卷积定理针对的是两个时域连续信号的分数阶卷积情况，而工程中处理的信号一般为时域离散信号，针对离散信号的分数阶圆周卷积定理定义为：如果

那么

$y\left(n\right)=x\left(n\right)\underset{p}{\overset{N}{\⊗}}g\left(n\right)---\left(8b\right)$

其中，y(n)=IDFRFT(Y_p(m))，x(n)=IDFRFT(X_p(m)),g(n)=IDFRFT(G_p(m))，

表示阶次为p的N点分数阶圆周卷积。

发明内容

本发明的目的是为了解决FRFT-OFDM系统的高峰均比问题，提出FRFT-OFDM系统的低复杂度峰均比抑制方法，该方法基于分数阶随机相位序列和分数阶圆周卷积定理，有效降低了运算复杂度。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的。

本发明的FRFT-OFDM系统的低复杂度峰均比抑制方法，通过对随机相位序列采用周期延拓至FRFT-OFDM符号长度，相位因子加权后与子载波调制前的数据相乘的方式，实现对高峰均比的有效抑制。该方法只需要一次逆离散分数阶Fourier变换（IDFRFT），所有备选信号直接通过时域chirp圆周移位的加权和得到。在维持原系统可靠性的同时，该方法与SLM的PAPR抑制性能相当、比PTS具有更好的PAPR抑制性能，同时，该方法较SLM和PTS方法的运算量降低。

该方法的基本原理是通过一个N点的IDFRFT得到子载波调制后的时域FRFT-OFDM符号x(n)，所有的备选信号通过对x(n)进行chirp周期延拓、圆周移位后加权叠加得到，避免了像SLM方法和PTS方法那样并行计算多个N点的IDFRFT。

该方法的步骤为：

1）在通信系统的发送端对数字调制后的长度为N的复数据X进行N个点的IDFRFT，得到子载波调制后的时域FRFT-OFDM符号x(n)；N为子载波的个数；IDFRFT为逆离散分数阶傅里叶变换；x(n)为时域FRFT-OFDM的符号；

2）按照chirp周期性对x(n)进行阶次为p的时域chirp周期延拓，将得到的周期延拓序列表示为x((n))_P,N，离散形式的p阶分数阶Fourier变换对应的时域chirp周期性延拓为：

chirp：线性调频；x((n))_P,N表示p阶分数阶Fourier变换对应的时域chirp周期性延拓得到的序列，N为chirp周期长度；α=pπ/2；dt为对连续信号的采样间隔。

3）对chirp周期延拓后的x((n))_P,N向右移iM(i=1,2,…L)点后取主值区间，得到FRFT-OFDM时域信号的chirp圆周移位x((n-iM))_P,NR_N(n),L为随机相位序列的长度，N/L=M。

4）将得到的x((n-iM))_P,NR_N(n)与

按点相乘，得到

5）用r^(l)(i)对步骤（4）得到的

进行加权叠加，得到FRFT-OFDM时域备选信号

S为备选分数阶随机相位序列的个数；

6）选择PAPR最小的时域备选信号

作为发射信号，同时将使时域备选信号的PAPR最小的加权因子r(i)_opt作为边带信息发送给接收端，接收端根据边带信息r(i)_opt将发送信息恢复。

$r{\left(i\right)}_{\mathrm{opt}}=\arg \min \underset{\{r^{\left(1\right)}\left(i\right),\·\·\·,r^{\left(S\right)}\}}{\mathrm{PARP}}\left\{{\tilde{x}}^{\left(l\right)}\left(n\right)\right\}---\left(12\right)$

下面简要说明本发明提出的FRFT-OFDM系统的低复杂度峰均比抑制方法的理论推导过程：

（一）设计分数阶随机相位序列

R是长为L的随机相位序列，R=[R(0),R(1),…,R(L-1)]（其中

θ_k均匀分布在[0,2π]上）。N为L的整数倍，即N/L=M。将R序列周期延拓至长为N的随机相位序列Q(Q=[Q(0),Q(1),…,Q(N-1)]),即

Q(m)=R((m))_L,m=0,1…N-1           (13)

然后用相位因子

分别加权Q序列中的每个元素得到B=[B(0),B(1),…,B(N-1)]，B即所要设计的分数阶随机相位序列，

其中，α=pπ/2，

为p阶分数阶Fourier域采样间隔，dt为对连续信号的采样间隔。通过式（11）和式（12）可以看出：分数阶随机相位序列通过将一个短随机相位序列周期延拓至FRFT-OFDM符号长度后再用FRFT信号加权该序列中的每一个元素得到。

通过下式得到B的逆离散分数阶Fourier变换b=[b(0),b(1),…b(N-1)]：

b(n)＝IDFrFT{B(m)}

n=0,1…,N-1

将式（11）和式（12）带入到式（13）中，得到：

n=0,1LN-1

其中，r(i)=IDFT{R(m)}。从式（14）可以看出长为N的序列B经过逆离散分数阶Fourier变换后得到的时域b^(l)序列只与r^(l)(i)有关，且只有L个非零点。

（二）低复杂度峰均比抑制方法

如同SLM方法的基本原理^[5]，用S个备选随机相位序列B按元素乘以子载波调制前的数据X，得到S个备选信号

然后将这些备选信号分别进行IDFRFT得到S个时域FRFT-OFDM备选符号

${\stackrel{\‾}{x}}^{\left(l\right)}=\mathrm{IDFrFT}\left\{{\stackrel{\‾}{X}}^{\left(l\right)}\right\}---\left(18\right)$

分数阶圆周卷积定理^[12]为：

如果

那么

其中，

表示阶次为p的N点分数阶圆周卷积。x是X的N点逆离散分数阶Fourier变换，b^(l)是B^(l)的N点逆离散分数阶Fourier变换。对比式（15）和式（17.a），

需要修正，令

（接收端进行DFRFT之后,乘以相位因子

就可以很容易获得

）作为该方法的备选信号，则

的N点IDFRFT为

由于b^(l)=[b^(l)(0),b^(l)(1),…,b^(l)(N-1)]的表达式可以表示成：

n=0,1…N-1,l=1,2,…,S

其中r^(l)(i)=IDFT{R^(l)(m)}。将式（19）带入到式（18）中得到：

n=0,1…N-1,l=1，2，…S

其中

表示取主值区间的值，x((n-iM))_P,NR_N(n)表示对x信号先进行周期为N阶次为p的时域chirp周期延拓,然后再进行圆周移位，即按照式（21）所示chirp周期性^[13]，将x进行chirp周期延拓得到x((n))_P,N，然后对x((n))_P,N进行移位后取主值区间。

令

则η(n,0)=1，式（20）可进一步表示为式（22）。

从式（22）可以看出，该方法只需要一次IDFRFT，经过子载波调制后的FRFT-OFDM时域备选信号可以直接在时域通过对x信号chirp圆周移位的加权和得到，而不用多次并行进行IDFRFT处理。选择PAPR最小的备选信号

作为发射信号，同时将使备选信号最小的加权因子r(i)_opt作为边带信息发送给接收端。

$r{\left(i\right)}_{\mathrm{opt}}=\arg \min \underset{\{r^{\left(1\right)}\left(i\right),\·\·\·,r^{\left(S\right)}\}}{\mathrm{PARP}}\left\{{\tilde{x}}^{\left(l\right)}\left(n\right)\right\}---\left(25\right)$

由于b^(l)序列只有L个非零点，这使得x与b^(l)进行分数阶圆周卷积后运算复杂度降低，即该方法通过一个N点的IDFRFT得到子载波调制后的时域FRFT-OFDM符号x(n)，所有的备选信号通过对x(n)chirp周期延拓、圆周移位后加权叠加得到，避免了像SLM方法和PTS方法那样并行计算多个N点的IDFRFT。系统选择峰均比最小的信号对应的r^(l)(i)作为边带信息发送给接收端，该方法在发送端的原理如附图1所示。接收端只要将r^(l)(i)经过离散Fourier变换得到R^(l)(m)，根据式（13）和式（14）就很容易得到B，从而将发射信号恢复出来。

（三）所发明低复杂度峰均比抑制方法的运算复杂度分析

对于发明峰均比抑制方法，求子载波调制后的时域FRFT-OFDM信号x，需要一个N点的IDFRFT运算。在工程实现中，有多种DFRFT的离散算法，本文采用Pei采样型^[13]的DFRFT算法，该算法执行一个N点的IDFRFT运算需要

N次复乘运算。为了得到x((n-iM))_P,NR_N(n)，需要先向左进行一个周期的chirp周期延拓,此时需要N次复乘运算。因为对于每一个备选方案，

都是相同的，不需要重复计算，要计算L个

需要(L-1)□N次复数乘法。根据（18）式，要得到S个备选信号

只需要将和

进行加权叠加，此时求每一个备选信号需要NL次复数乘法。所以，整个方法一共需要下面所示的复乘次数：

由于该方法只需要一个N点的IDFRFT运算，同时L取值不会很大，一般取4的时候该方法的PAPR抑制效果就很好，所以相对于SLM方法、PTS方法运算复杂度降低很多。表1对SLM方法、PTS方法和所发明方法分别产生的备选信号的数量及所需要的复乘次数进行了总结。

表1SLM、PTS和所提方法的运算复杂度

有益效果

本发明的方法，在保持系统可靠性的同时，能有效地降低系统的峰均比，在备选信号个数相同时，该方法与SLM方法的PAPR抑制性能相当、比PTS方法具有更好的PAPR抑制性能；

本发明的方法具有系统实现简单，计算复杂度低的优点。由于离散分数阶傅立叶变换具有快速方法，其计算复杂度与FFT相当，因此该方法易于系统实现。

附图说明

图1为本发明的方法的具体实现框图；

图2为FRFT-OFDM系统引入该峰均比抑制方法前后系统的误码率对比；

图3为L=2,4时本发明的方法的PAPR抑制特性对比；

图4为SLM、PTS和本发明的方法在备选信号都为32，过采样因子J=1时的峰均比抑制特性对比；

图5为SLM、PTS和本发明的方法在备选信号都为32，过采样因子J=4时的峰均比抑制特性对比。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明。

实施例

图1给出的是本发明提出的“FRFT-OFDM系统的低复杂度峰均比抑制方法”具体实现框图，其具体实现方式归纳如下：

1）在通信系统的发送端对数字调制后的长度为N的复数据X进行N个点的IDFRFT，得到子载波调制后的时域FRFT-OFDM符号x(n)；N为子载波的个数；IDFRFT为逆离散分数阶傅里叶变换；x(n)为时域FRFT-OFDM的符号；

2）按照chirp周期性对x(n)进行阶次为p的时域chirp周期延拓，将得到的周期延拓序列表示为x((n))_P,N，离散形式的p阶分数阶Fourier变换对应的时域chirp周期性延拓为：

chirp：线性调频；x((n))_P,N表示p阶分数阶Fourier变换对应的时域chirp周期性延拓得到的序列，N为chirp周期长度；α=pπ/2；dt为对连续信号的采样间隔。

3）对chirp周期延拓后的x((n))_P,N向右移iM(i=1,2,…L)点后取主值区间，得到FRFT-OFDM时域信号的chirp圆周移位x((n-iM))_P,NR_N(n),L为随机相位序列的长度，N/L=M。

4）将得到的x((n-iM))_P,NR_N(n)与

按点相乘，得到

5）用r^(l)(i)对步骤（4）得到的进行加权叠加，得到FRFT-OFDM时域备选信号

S为备选分数阶随机相位序列的个数；

6）选择PAPR最小的时域备选信号

作为发射信号，同时将使时域备选信号的PAPR最小的加权因子r(i)_opt作为边带信息发送给接收端，接收端根据边带信息r(i)_opt将发送信息恢复。

$r{\left(i\right)}_{\mathrm{opt}}=\arg \min \underset{\{r^{\left(1\right)}\left(i\right),\·\·\·,r^{\left(S\right)}\}}{\mathrm{PARP}}\left\{{\tilde{x}}^{\left(l\right)}\left(n\right)\right\}---\left(12\right)$

下面为了说明本发明的方法的有效性，这里给出具体仿真实例及分析。

由于随着子载波个数的增多，阶次不同导致的FRFT-OFDM系统的峰均比性能的差异越来越小，当子载波个数较大时，不同阶次对应的FRFT-OFDM系统的PAPR分布趋于一致，所以仿真实例中我们取阶次为0.5，其它仿真参数如表2所示。

表2仿真参数

表3给出了该仿真实例中具体参数下的主要计算量和复乘次数。此时，对于所发明方法，加权因子r^(l)(i)∈{1,-1,j,-j}；对于SLM方法，我们取随机相位序列的元素为

对于PTS方法，相位因子

我们看到所发明方法的运算复杂度比SLM和PTS方法降低。

表3具体参数下三种方法的运算复杂度

图2给出的是系统在引入所发明的峰均比抑制方法前后系统的误码率特性。从图2可以看出系统在引入所发明的峰均比抑制方法前后系统的误码率特性一致，从而证实了该方法的可靠性，即系统利用该方法后接收端能将发送端信息正确无误恢复出来。

图3给出的是所发明的峰均比抑制方法在参数L分别取2和4时抑制特性的对比。从图3可是看出该PAPR抑制方法能有效地改善系统的PAPR分布，当L=2随时，系统的PAPR比不采用峰均比抑制方法时降低了约2.0dB，当L=4时该方法的峰均比抑制效果在CCDF=10^-3时大约又有1.5dB的增益，但是从表1可以得到，随着L取值的增大，方法的复杂度也相应增大了；

图4给出的是系统分别采用SLM、PTS和所发明方法，且备选信号个数都为32，过采样因子J=1时，系统的峰均比分布特性。从图4可以看出在备选信号个数都为32的情况下，PAPR值大于7dB时，所提方法的PAPR抑制效果比SLM方法稍微差一点，但是通过表3可以得到所提方法的运算量仅为SLM方法的5.21%；在备选信号个数都为32的情况下，所提方法比PTS方法有更好的PAPR抑制效果，在CCDF=10^-2时，该方法比PTS方法有0.7dB的增益，通过表2可以得到此时所提方法的运算量为PTS方法的41.67%。

图5给出的是给出的是系统分别采用SLM、PTS和所发明方法，且备选信号个数都为32，过采样因子J=4时，系统的峰均比分布特性。为了能更接近OFDM符号的连续特性，在统计OFDM符号的峰均比特性时通常要对OFDM符号进行过采样操作。一般认为过采样因子取J=4时能够基本模拟OFDM符号的连续特性。从图4和图5可以看出，过采样因子J=4比J=1时，每种方法有约0.5dB的信噪比衰减。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.FRFT-OFDM系统的低复杂度峰均比抑制方法，其特征在于：

该方法的步骤为：

1）在通信系统的发送端对数字调制后的长度为N的复数据X进行N个点的IDFRFT，得到子载波调制后的时域FRFT-OFDM符号x(n)；

2）按照chirp周期性对x(n)进行阶次为p的时域chirp周期延拓，将得到的周期延拓序列表示为x((n))_P,N，离散形式的p阶分数阶Fourier变换对应的时域chirp周期性延拓为：

3）对chirp周期延拓后的x((n))_P,N向右移iM(i=1,2,…L)点后取主值区间，得到FRFT-OFDM时域信号的chirp圆周移位x((n-iM))_P,NR_N(n)；

4）将得到的x((n-iM))_P,NR_N(n)与

按点相乘，得到

5）用r^(l)(i)对步骤（4）得到的

进行加权叠加，得到FRFT-OFDM时域备选信号

6）选择PAPR最小的时域备选信号

作为发射信号，同时将使时域备选信号的PAPR最小的加权因子r(i)_opt作为边带信息发送给接收端，接收端根据边带信息r(i)_opt将发送信息恢复；

$r{\left(i\right)}_{\mathrm{opt}}=\arg \min \underset{\{r^{\left(1\right)}\left(i\right),\·\·\·,r^{\left(S\right)}\}}{\mathrm{PARP}}\left\{{\tilde{x}}^{\left(l\right)}\left(n\right)\right\}---\left(12\right)$

其中，FRFT表示分数阶傅里叶变换，OFDM表示正交频分复用，FRFT-OFDM表示基于分数阶傅里叶变换的正交频分系统，N为子载波的个数，X表示发送端经过数字调制后的长度为N的复数据，IDFRFT表示逆离散分数阶傅里叶变换，x(n)表示时域FRFT-OFDM符号；chirp表示为线性调频，p表示为分数阶傅里叶变换的阶次，x((n))_P,N表示p阶分数阶Fourier变换对应的时域chirp周期性延拓得到的序列，N为chirp周期长度（该发明中chirp周期长度等于子载波的个数），α=pπ/2，dt为对连续信号的采样间隔，L为随机相位序列的长度，M=N/L，表示取主值区间的值，r^(l)(i)为长为L的加权因子,S为备选分数阶随机相位序列的个数,PAPR表示峰值平均功率比。

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