CN103227710A - 一种基于符号函数多涡卷混沌吸引子产生及其错位投影同步方法 - Google Patents

一种基于符号函数多涡卷混沌吸引子产生及其错位投影同步方法 Download PDF

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Abstract

一种基于符号函数多涡卷混沌吸引子产生及其错位投影同步方法。在JERK混沌系统的基础上，本发明提出了一个最简单而新颖的方法，采用符号函数，通过系统变换，可以产生1-D-、2-D-
Figure 728619DEST_PATH_IMAGE002
及3-D-

Description

一种基于符号函数多涡卷混沌吸引子产生及其错位投影同步方法
技术领域
本发明涉及一种基于符号函数多涡卷混沌吸引子产生及其错位投影同步方法，适用于控制及保密通信领域。
背景技术
上世纪90年代初，基于Chua电路归一化状态方程，Suykens和Vandewalle通过增加非线性函数曲线的转折点发现了多涡卷混沌吸引子。相比于传统的单涡卷和双涡卷混沌系统，多涡卷或多翼混沌系统呈现出更为复杂的吸引子拓扑结构，在电子、通信、系统控制等领域具有广阔的应用前景。因此，多涡卷混沌系统的理论分析和相应的电路实现成为混沌研究的一个热点．而混沌同步在保密通信、信号处理和生命科学等方面有着十分广阔的应用前景,近年来,人们提出了许多混沌同步的方法,如自适应控制、主动控制法、Backstepping 方法、线性控制方法等，而对混沌系统的简易多涡卷吸引子产生方法及错位投影同步控制却鲜有报道。
发明内容
本发明提出一种基于符号函数多涡卷混沌吸引子产生及其错位投影同步方法，适用于控制及保密通信领域。其特征在于：在JERK混沌系统的基础上，本发明提出了一个最简单而新颖的方法，采用符号函数，通过系统变换，可以产生1-D- 、2-D-
Figure 54012DEST_PATH_IMAGE002
及3-D-
Figure 39285DEST_PATH_IMAGE003
多涡卷混沌系统，通过设置不同参数，可以产生不同数量的多涡卷混沌吸引子，然后把多涡卷混沌系统作为驱动系统，实现多涡卷混沌系统的错位投影同步控制。这种方法所设计的控制器比较简单，容易实现，有效克服了混沌系统的多涡卷吸引子产生及其错位投影同步问题。
本发明提出的技术方案具体步骤包括：
首先引入符号函数为：
(1)
另外JERK混沌系统为
Figure 87279DEST_PATH_IMAGE005
Figure 671844DEST_PATH_IMAGE006
(2)
Figure 777204DEST_PATH_IMAGE007
其中，参数
Figure 257863DEST_PATH_IMAGE008
。
对JERK混沌系统(2)进行变换，产生1-D-涡卷混沌吸引子系统方程为：
Figure 39372DEST_PATH_IMAGE006
(3)
Figure 81146DEST_PATH_IMAGE009
其中，函数为：
Figure 787251DEST_PATH_IMAGE011
, (产生
Figure 601623DEST_PATH_IMAGE012
个混沌吸引子) (4)
, (产生
Figure 363223DEST_PATH_IMAGE014
个混沌吸引子) (5)
其中，
Figure 562123DEST_PATH_IMAGE015
为非负整数，
Figure 496581DEST_PATH_IMAGE016
。
产生二维2-D-
Figure 411316DEST_PATH_IMAGE017
涡卷混沌吸引子系统方程为：
Figure 168236DEST_PATH_IMAGE006
(6)
Figure 957201DEST_PATH_IMAGE019
其中，函数
Figure 387045DEST_PATH_IMAGE020
为
Figure 35195DEST_PATH_IMAGE021
, (产生
Figure 841477DEST_PATH_IMAGE012
个混沌吸引子) (7)
, (产生
Figure 85694DEST_PATH_IMAGE014
个混沌吸引子) (8)
Figure 204829DEST_PATH_IMAGE023
, (产生
Figure 814801DEST_PATH_IMAGE012
个混沌吸引子) (9)
Figure 578358DEST_PATH_IMAGE024
, (产生个混沌吸引子) (10)
产生3-D-
Figure 441589DEST_PATH_IMAGE025
涡卷混沌吸引子系统方程为：
Figure 473316DEST_PATH_IMAGE026
(11)
Figure 540498DEST_PATH_IMAGE027
其中，函数
Figure 509591DEST_PATH_IMAGE028
为：
, (产生
Figure 668357DEST_PATH_IMAGE012
个混沌吸引子) (12)
Figure 922752DEST_PATH_IMAGE030
, (产生个混沌吸引子) (13)
通过与所述能产生1-D-
Figure 869028DEST_PATH_IMAGE001
、2-D-
Figure 196104DEST_PATH_IMAGE002
及3-D-
Figure 870668DEST_PATH_IMAGE003
涡卷混沌系统及对应参数
Figure 283195DEST_PATH_IMAGE031
的值，从而控制涡卷数量及其位置分布。
关于错位投影同步控制算法为：考虑同步混沌系统为：
Figure 164880DEST_PATH_IMAGE033
(14)
其中， x ， y ÎRn，f(x), g(y,x)ÎRn，当比例矩阵
Figure 620132DEST_PATH_IMAGE015
为非对角矩阵，满足下式：
(15)
则可以达到错位投影同步。
本发明的技术效果：本发明提出了一个最简单而新颖的方法，采用符号函数，通过系统变换，可以产生1-D-
Figure 617224DEST_PATH_IMAGE001
、2-D-
Figure 309106DEST_PATH_IMAGE002
及3-D-
Figure 200838DEST_PATH_IMAGE003
多涡卷混沌系统，通过设置不同参数，可以产生不同数量的多涡卷混沌吸引子，然后把多涡卷混沌系统作为驱动系统，实现多涡卷混沌系统的错位投影同步控制。这种方法所设计的控制器比较简单，容易实现，有效克服了混沌系统的多涡卷吸引子产生及其错位投影同步问题。对通信系统具有一定的应用价值。
附图说明
为了使本发明的目的，技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作进一步的详细描述：
图1为本发明符号函数的时域示意图；
图2 为1-D-
Figure 587957DEST_PATH_IMAGE001
多涡卷混沌系统(3)式的3涡卷混沌吸引子相图（a = b = c = 0.65, A=2, k= 1 ）；(a)(x1,x2) (b)(x1,x3) (c)(x2,x3) (d)(x1,x2,x3)。
图3 为2-D-
Figure 364283DEST_PATH_IMAGE002
多涡卷混沌系统(6)式的
Figure 520458DEST_PATH_IMAGE035
涡卷混沌吸引子相图（a = b = c = 0.65,
Figure 583092DEST_PATH_IMAGE036
Figure 457507DEST_PATH_IMAGE037
）；(a)(x1,x2) (b)(x1,x3) (c)(x2,x3) (d)(x1,x2,x3)。
图4 为3-D-
Figure 631000DEST_PATH_IMAGE003
多涡卷混沌系统(11)式的
Figure 641681DEST_PATH_IMAGE038
涡卷混沌吸引子相图（a = b = c = 0.8,
Figure 265429DEST_PATH_IMAGE039
Figure 627140DEST_PATH_IMAGE040
;
Figure 604324DEST_PATH_IMAGE041
）；(a)(x1,x2) (b)(x1,x3) (c)(x2,x3) (d)(x1,x2,x3)。
图5(a)为实施例1三维错位投影相图
图5(b)为实施例1误差
Figure 141615DEST_PATH_IMAGE042
同步曲线响应；(a);(b)
Figure 129480DEST_PATH_IMAGE044
; (c)
Figure 644775DEST_PATH_IMAGE045
。
图6(a)为实施例2三维错位投影相图
图6(b)为实施例2误差
Figure 957945DEST_PATH_IMAGE042
同步曲线响应；(a)
Figure 798862DEST_PATH_IMAGE043
;(b)
Figure 869586DEST_PATH_IMAGE044
; (c) 。
图7(a)为实施例3三维错位投影相图
图7(b)为实施例3误差
Figure 152986DEST_PATH_IMAGE042
同步曲线响应；(a)
Figure 899225DEST_PATH_IMAGE043
;(b)
Figure 988403DEST_PATH_IMAGE044
; (c)
Figure 720867DEST_PATH_IMAGE045
。
具体实施方式
首先引入符号函数为：
Figure 946312DEST_PATH_IMAGE004
(1)
其响应如图1所示，另外JERK混沌系统为
Figure 298982DEST_PATH_IMAGE006
(2)
Figure 694191DEST_PATH_IMAGE007
其中，参数
Figure 774143DEST_PATH_IMAGE008
。
对JERK混沌系统(2)进行变换，产生1-D-
Figure 862184DEST_PATH_IMAGE001
涡卷混沌吸引子系统方程为：
Figure 535742DEST_PATH_IMAGE005
Figure 222DEST_PATH_IMAGE006
(3)
Figure 669100DEST_PATH_IMAGE009
其中，函数
Figure 928043DEST_PATH_IMAGE010
为：
Figure 947952DEST_PATH_IMAGE011
, (产生
Figure 606335DEST_PATH_IMAGE012
个混沌吸引子) (4)
Figure 395300DEST_PATH_IMAGE013
, (产生
Figure 559565DEST_PATH_IMAGE014
个混沌吸引子) (5)
其中，
Figure 66770DEST_PATH_IMAGE015
为非负整数，
Figure 13997DEST_PATH_IMAGE016
。当参数a = b = c = 0.65, A=2, k= 1时，可产生3涡卷混沌吸引子如图2(a)、(b)、(c)、(d)所示
产生二维2-D-
Figure 657468DEST_PATH_IMAGE017
涡卷混沌吸引子系统方程为：
Figure 523793DEST_PATH_IMAGE018
Figure 987135DEST_PATH_IMAGE006
(6)
Figure 659425DEST_PATH_IMAGE019
其中，函数
Figure 422982DEST_PATH_IMAGE020
为
Figure 460208DEST_PATH_IMAGE021
, (产生个混沌吸引子) (7)
Figure 683565DEST_PATH_IMAGE022
, (产生个混沌吸引子) (8)
, (产生
Figure 354214DEST_PATH_IMAGE012
个混沌吸引子) (9)
Figure 305990DEST_PATH_IMAGE024
, (产生个混沌吸引子) (10)
当参数a = b = c = 0.65,
Figure 892009DEST_PATH_IMAGE036
时，可产生
Figure 962919DEST_PATH_IMAGE046
涡卷混沌吸引子如图3(a)、(b)、(c)、(d)所示
产生3-D-涡卷混沌吸引子系统方程为：
Figure 574346DEST_PATH_IMAGE018
Figure 393398DEST_PATH_IMAGE026
(11)
Figure 686976DEST_PATH_IMAGE027
其中，函数
Figure 134138DEST_PATH_IMAGE028
为：
Figure 245182DEST_PATH_IMAGE029
, (产生
Figure 879426DEST_PATH_IMAGE012
个混沌吸引子) (12)
Figure 711115DEST_PATH_IMAGE030
, (产生
Figure 278363DEST_PATH_IMAGE014
个混沌吸引子) (13)
当参数a = b = c = 0.8,
Figure 170096DEST_PATH_IMAGE039
Figure 698160DEST_PATH_IMAGE040
;
Figure 67961DEST_PATH_IMAGE041
时，可产生
Figure 489716DEST_PATH_IMAGE038
涡卷混沌吸引子如图4(a)、(b)、(c)、(d)所示。
从图2、图3及图4可以看出，通过与所述能产生1-D-
Figure 552349DEST_PATH_IMAGE001
、2-D-及3-D-
Figure 2189DEST_PATH_IMAGE003
涡卷混沌系统及对应参数的值，从而控制涡卷数量及其位置分布。
错位投影同步控制算法为：考虑同步混沌系统为：
Figure 246405DEST_PATH_IMAGE032
Figure 483483DEST_PATH_IMAGE033
(14)
其中， x ， y ÎRn，f(x), g(y,x)ÎRn，当比例矩阵
Figure 726245DEST_PATH_IMAGE015
为非对角矩阵，满足下式：
(15)
则可以达到错位投影同步。
实施例1：选取3-D-驱动系统为：
Figure 969511DEST_PATH_IMAGE018
Figure 750385DEST_PATH_IMAGE026
(16)
Figure 1238DEST_PATH_IMAGE027
响应系统为：
Figure 451942DEST_PATH_IMAGE047
(17)
其中
Figure 788245DEST_PATH_IMAGE048
矩阵选为
Figure 372810DEST_PATH_IMAGE049
(18)
其中，
Figure 212590DEST_PATH_IMAGE050
为比例因子，可以得到响应系统为：
Figure 907063DEST_PATH_IMAGE052
(19)
其中
Figure 864971DEST_PATH_IMAGE054
, (20)
Figure 782112DEST_PATH_IMAGE055
(21)
, (22)
Figure 488217DEST_PATH_IMAGE057
(23)
Figure 958381DEST_PATH_IMAGE058
, (24)
Figure 46423DEST_PATH_IMAGE059
(25)
系统(16)式及(19)式的错位投影同步误差为：
Figure 313456DEST_PATH_IMAGE060
=(e1(t), e2(t), e3(t))=(x1-2y3, x2-2y1, x3-2y2)．
实施例 1： 对于1-D-
Figure 43515DEST_PATH_IMAGE001
系统，即
Figure 712393DEST_PATH_IMAGE061
Figure 112282DEST_PATH_IMAGE062
当参数a=0.65;b=0.65;c=0.65;A1=80;A2=50;A3=40,
Figure 132191DEST_PATH_IMAGE063
,K=2；初始值x0=[-1;-1;1];y0=[4; 4;-4]时，其错位投影相图及误差
Figure 56153DEST_PATH_IMAGE042
同步曲线响应分别如图5(a)、图5(b)所示。
实施例 2： 对于2-D-
Figure 579538DEST_PATH_IMAGE002
系统，即
Figure 657533DEST_PATH_IMAGE065
参数a=0.65;b=0.65;c=0.65; A1=A2=A3=2,
Figure 463815DEST_PATH_IMAGE063
,K=2, 初始值x0=[0.1;0.1;0.1];y0=[-0.1;-0.1; -0.1];时，其错位投影相图及误差同步曲线响应分别如图6(a)、图6(b)所示。
实施例 3 ： 对于3-D-
Figure 708031DEST_PATH_IMAGE003
系统，a=0.8;b=0.8;c=0.8;A1=A2=A3=2,
Figure 827166DEST_PATH_IMAGE063
,K=100; 初始值x0=[0.1;0.1;0.1];y0=[-0.1;-0.1; -0.1]; 其错位投影相图及误差
Figure 171560DEST_PATH_IMAGE042
同步曲线响应分别如图7(a)、图7(b)所示。
从图5、图6及图7可以看出，利用上述算法，可以实现驱动及响应系统的错位投影同步。
以上所述仅为本发明的优选实施例，并不用于限制本发明，显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (5)

1.一种基于符号函数多涡卷混沌吸引子产生及其错位投影同步方法，其特征在于：在JERK混沌系统的基础上，本发明提出了一个最简单而新颖的方法，采用符号函数，通过系统变换，可以产生1-D-
Figure 144236DEST_PATH_IMAGE001
、2-D-
Figure 157192DEST_PATH_IMAGE002
及3-D-
Figure 570856DEST_PATH_IMAGE003
多涡卷混沌系统，通过设置不同参数，可以产生不同数量的多涡卷混沌吸引子，然后把多涡卷混沌系统作为驱动系统，实现多涡卷混沌系统的错位投影同步控制，这种方法所设计的控制器比较简单，容易实现，有效克服了混沌系统的多涡卷吸引子产生及其错位投影同步问题，对通信系统具有一定的应用价值。
2.如权利要求1所述的多涡卷混沌吸引子产生方法及错位投影同步方法，其特征在于：引入符号函数为：
Figure 657760DEST_PATH_IMAGE004
(1)
如权利要求1所述的多涡卷沌吸引子产生方法方法，其特征在于：JERK混沌系统为
Figure 397046DEST_PATH_IMAGE005
Figure 834981DEST_PATH_IMAGE006
(2)
Figure 990019DEST_PATH_IMAGE007
其中，参数。
3.对JERK混沌系统(2)进行变换，产生1-D-
Figure 638355DEST_PATH_IMAGE001
涡卷混沌吸引子系统方程为：
Figure 298006DEST_PATH_IMAGE005
Figure 53473DEST_PATH_IMAGE006
(3)
Figure 380549DEST_PATH_IMAGE009
其中，函数
Figure 461637DEST_PATH_IMAGE010
为：
Figure 608585DEST_PATH_IMAGE011
, (产生
Figure 167742DEST_PATH_IMAGE012
个混沌吸引子) (4)
Figure 880483DEST_PATH_IMAGE013
, (产生
Figure 335735DEST_PATH_IMAGE014
个混沌吸引子) (5)
其中，
Figure 969979DEST_PATH_IMAGE015
为非负整数，
Figure 332827DEST_PATH_IMAGE016
。
4.产生二维2-D-
Figure 103337DEST_PATH_IMAGE017
涡卷混沌吸引子系统方程为：
Figure 729490DEST_PATH_IMAGE018
Figure 647768DEST_PATH_IMAGE006
(6)
Figure 548728DEST_PATH_IMAGE019
其中，函数
Figure 439323DEST_PATH_IMAGE020
为
Figure 767537DEST_PATH_IMAGE021
, (产生
Figure 376372DEST_PATH_IMAGE012
个混沌吸引子) (7)
Figure 346602DEST_PATH_IMAGE022
, (产生
Figure 91705DEST_PATH_IMAGE014
个混沌吸引子) (8)
Figure 856398DEST_PATH_IMAGE023
, (产生
Figure 483689DEST_PATH_IMAGE012
个混沌吸引子) (9)
Figure 929713DEST_PATH_IMAGE024
, (产生
Figure 794901DEST_PATH_IMAGE014
个混沌吸引子) (10)
产生3-D-
Figure 730496DEST_PATH_IMAGE025
涡卷混沌吸引子系统方程为：
Figure 845083DEST_PATH_IMAGE018
Figure 829219DEST_PATH_IMAGE026
(11)
Figure 814493DEST_PATH_IMAGE027
其中，函数
Figure 932708DEST_PATH_IMAGE028
为：
, (产生
Figure 322418DEST_PATH_IMAGE012
个混沌吸引子) (12)
Figure 162198DEST_PATH_IMAGE030
, (产生
Figure 439596DEST_PATH_IMAGE014
个混沌吸引子) (13)
如权利要求1所述的多涡卷混沌吸引子产生及错位投影同步方法，其特征在于： 还包括通过与所述能产生1-D-
Figure 794354DEST_PATH_IMAGE001
、2-D-及3-D-
Figure 80158DEST_PATH_IMAGE003
涡卷混沌系统及对应参数
Figure 528457DEST_PATH_IMAGE031
的值，从而控制涡卷数量及其位置分布。
5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，错位投影算法为：考虑同步混沌系统为：
Figure 104932DEST_PATH_IMAGE032
Figure 765721DEST_PATH_IMAGE033
(14)
其中，x，yÎRn，f(x), g(y,x)ÎRn，当比例矩阵为非对角矩阵，满足下式：
Figure 933714DEST_PATH_IMAGE034
(15)
则可以实现错位投影同步。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN109143871A (zh) * 2018-10-31 2019-01-04 东北大学 基于改进极点配置的三阶严反馈混沌比例投影同步方法

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