CN103219914B - 一种基于Lyapunov的超声波电机模型参考自适应控制系统 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于Lyapunov的超声波电机模型参考自适应控制系统，属于超声波电机控制技术领域。本发明通过在闭环比例控制器和超声波电机模型之间增设一辅助控制器，该辅助控制器与超声波电机模型串联组成广义被控对象，参考模型的动态部分只需与广义被控对象的动态部分相同即可，使得参考模型不再与被控对象（超声波电机）模型有密切关系，参考模型的增益和动态部分均可与被控对象模型不同，从而使得参考模型能够准确反应期望特性，使Lyapunov控制方法能够应用到超声波电机的控制系统中，同时又采用基于Lyapunov的自适应律，使得对闭环比例控制器的可调增益k_c进行在线自适应调整的计算量小，从而有助于提高该系统的运行效率，降低系统成本。

Description

一种基于Lyapunov的超声波电机模型参考自适应控制系统

技术领域

本发明涉及一种基于Lyapunov的超声波电机模型参考自适应控制系统，属于超声波电机控制技术领域。

背景技术

超声波电机是一种新型的运动控制执行元件，具有不同于传统电机的工作原理与结构。由于运行机理的特殊性，超声波电机的运行离不开适当的驱动电路和控制策略。与数字控制技术的发展同步，超声波电机的控制策略越来越多地采用数字控制的实现技术，在硬件结构上体现为在嵌入式微处理器芯片中实时执行的控制程序。单片机、DSP等微处理器芯片与驱动电路结合在一起，成为驱动控制电路，与超声波电机一起构成了超声波电机运动控制装置。

对于超声波电机的控制，和其它任何对象的控制一样，我们总是希望用相对简单的控制方法实现期望的控制性能。这样，不仅可以降低系统成本，还会因为降低了系统复杂性而提高系统运行的可靠性。但是，由于超声波电机所具有的时变非线性特征，控制性能不易采用简单的方法来提高，一般都是采用自适应自适应控制方法。在众多的自适应控制方法中，基于Lyapunov稳定理论的模型参考自适应控制方法（下文简写为Lyapunov控制方法）是一种相对简单的方法。作为一种模型参考自适应控制方法，Lyapunov控制方法根据适当的自适应律，在线调整控制器参数，使超声波电机转速控制系统的实际转速响应跟踪由参考模型表达的期望响应过程，从而实现对超声波电机时变特性的自适应随动，改善控制性能。Lyapunov方法的控制器是一个简单的比例控制器，所以控制算法简洁，在线计算量小。图1给出了超声波电机Lyapunov自适应转速控制系统的基本结构。

其中，k_c为闭环比例控制器，增益k_c由自适应律根据转速输出侧的广义误差进行在线调整。控制器的输出控制量为超声波电机驱动电压的频率。参考模型与超声波电机模型的动态部分N(s)/D(s)完全相同，仅增益不同，分别为k和kp。参考模型的增益k为常数，超声波电机的增益kp则是时变的，随电机自身特性时变及各种扰动的出现而变化。可调增益k_c的作用，就在于补偿k_p的变化，使可调增益k_c与超声波电机时变增益k_p的乘积等于（实际上是趋近）参考模型的增益k，从而努力使电机转速响应过程与期望的参考模型特性一致。

参考模型是这个系统的重要组成部分，体现了对系统控制性能的要求，应该按照期望的控制性能来设计参考模型。理想情况下，系统的控制性能与参考模型的性能一样，也就达到了期望的控制性能。但是，在Lyapunov模型参考自适应控制方法中，要求参考模型与被控对象（超声波电机）模型仅有增益不同、动态环节相同。为满足这一前提条件，这种控制方法的参考模型的设计就不是任意的，这就可能与“参考模型表征控制期望”这一要求相抵触。用于超声波电机转速控制时，就出现了这种抵触，使参考模型无法设计，Lyapunov控制方法也就无法应用于超声波电机控制系统。根据超声波电机二阶数学模型，在转速给定值为20.3r/min的情况下，经过归一化处理后，得到二阶欠阻尼模型标准形式的单位传递函数为

$G_p\left(s\right)=\frac{k_v}{D\left(s\right)}=\frac{710509.0689}{s^2+632.6935002s+710509.0689}---\left(1\right)$

期望的控制性能是，在阶跃给定信号作用下，输出响应无超调、调节时间为0.3s以内。对于式（1）所给出的超声波电机模型来说，这是一个二阶欠阻尼的传递函数。如果要按照Lyapunov控制方法的要求来设计参考模型，无论怎么改变增益也不会使参考模型无超调。如果建立一个满足性能要求的参考模型，其传递函数与电机模型的传递函数相比，相差的就不止一个比例增益k_c了。这样，在“参考模型应该反映期望的控制性能”和“Lyapunov控制方法要求参考模型与对象模型的动态部分完全相同”这两个必须同时满足的要求之间，就出现了抵触。于是，Lyapunov控制方法虽然简单，但无法用于超声波电机的控制系统。

发明内容

本发明的目的是提供一种超声波电机LYAPUNOV模型参考自适应控制系统，以解决目前无法将LYAPUNOV控制方法应用到超声波电机控制系统中的问题。

本发明为解决上述技术问题而提供一种基于Lyapunov的超声波电机模型参考自适应控制系统，该自适应控制系统包括闭环比例控制器、参考模型、超声波电机模型、自适应律模块和辅助控制器，所述的辅助控制器设置在闭环比例控制器和超声波电机模型之间，辅助控制器的输入端与闭环比例控制器的输出端相连，辅助控制器的输出端与超声波电机模型的输入端相连，

所述的参考模型为k_m为模型的增益部分，A(s)/B(s)为模型的动态部分，该参考模型的输入为超声波电机转速的给定值N_ref，输出为N_m；

所述的超声波电机模型为k_p为模型的增益部分，N(s)/D(s)为模型的动态部分，该超声波电机模型的输入为辅助控制控制器的输出，超声波电机模型的输出为n；

所述的闭环比例控制器的可调增益为k_c，k_c的变化由自适应律模块控制；

所述的辅助控制器模型为其输入为k_cN_ref；

所述的自适应律模块采用的是基于Lyapunov的自适应律，自适应律为其中e是参考模型的输出和超声波电机模型的输出之间的误差，N_ref为超声波电机转速的给定值，e=N_m-n，λ为Lyapunov函数中的系数，且λ>0。

所述的辅助控制器模型G_a(s)与超声波电机模型G_p(s)串联组成广义被控对象G(s),

$G\left(s\right)=G_a\left(s\right)\·G_p\left(s\right)=\frac{A\left(s\right)D\left(s\right)}{B\left(s\right)N\left(s\right)}\·\frac{k_{p}N\left(s\right)}{D\left(s\right)}=\frac{k_{p}A\left(s\right)}{B\left(s\right)}.$

本发明的有益效果是:本发明通过在闭环比例控制器和超声波电机模型之间增设一辅助控制器，该辅助控制器与超声波电机模型串联组成广义被控对象，参考模型的动态部分只需与广义被控对象的动态部分相同即可，使得参考模型不再与被控对象（超声波电机）模型有密切关系，参考模型的增益和动态部分均可与被控对象模型不同，从而使得参考模型能够准确反应期望特性，同时又采用基于Lyapunov的自适应律，使得对闭环比例控制器的可调增益kc进行在线自适应调整的计算量小，从而有助于提高该系统的运行效率。

附图说明

图1是Lyapunov模型参考自适应控制系统结构图；

图2是本发明的基于Lyapunov的超声波电机模型参考自适应控制系统框图；

图3是本发明实施例中实测转速阶跃响应示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步的说明。

产生前述抵触的原因是Lyapunov控制方法对参考模型给出了严格的限制，导致参考模型无法在满足这一限制的前提下，再同时反映期望的控制特性，为消除这一抵触，本发明给出了一种超声波电机模型参考自适应控制系统，如图2所示，该基于Lyapunov的超声波电机模型参考自适应控制系统包括闭环比例控制器、参考模型、超声波电机模型、自适应律模块和辅助控制器，所述的辅助控制器设置在闭环比例控制器和超声波电机模型之间，辅助控制器的输入端与闭环比例控制器的输出端相连，辅助控制器的输出端与超声波电机模型的输入端相连，本系统与图1所示的Lyapunov模型参考自适应控制系统相比增加了一个辅助控制器，使得参考模型不再与被控对象（超声波电机）模型有密切关系，参考模型的增益和动态部分均可与被控对象模型不同，因此本发明消除了控制方法本身对参考模型设计的限制，使参考模型的设计仅需要考虑如何准确反映期望性能这一要求。

其中参考模型为该参考模型的输入为超声波电机转速的给定值N_ref，输出为N_m；

超声波电机模型为该超声波电机模型的输入为辅助控制控制器的输出，超声波电机模型的输出为n；

闭环比例控制器的可调增益为k_c，k_c的变化由自适应律模块控制；

辅助控制器模型为其输入为k_cN_ref；

自适应律模块采用的是Lyapunov算法，其输入是参考模型的输出和超声波电机模型的输出之间的误差e，其中e=N_m-n，自适应律模块参考自适应控制系统实现自适应的主要环节，自适应律为其中自适应系数λ为Lyapunov函数中的系数，且λ>0。下面详述该自适应律的推到过程。

$G_m\left(s\right)=\frac{k_{m}A\left(s\right)}{B\left(s\right)}---\left(2\right)$

$G_p\left(s\right)=\frac{k_{p}N\left(s\right)}{D\left(s\right)}---\left(3\right)$

在自适应控制器k_c的输出端和电机模型的输入端之间，增加了一个辅助控制器G_a(s)

$G_a\left(s\right)=\frac{A\left(s\right)D\left(s\right)}{B\left(s\right)N\left(s\right)}---\left(4\right)$

如图2所示，虚线框内的G_a(s)与电机模型G_p(s)串联组成广义被控对象G(s)

$G\left(s\right)=G_a\left(s\right)\·G_p\left(s\right)=\frac{A\left(s\right)D\left(s\right)}{B\left(s\right)N\left(s\right)}\·\frac{k_{p}N\left(s\right)}{D\left(s\right)}=\frac{k_{p}A\left(s\right)}{B\left(s\right)}---\left(5\right)$

e=N_m-n        （6）

式中，N_m为参考模型的输出；n为被控对象超声波电机的实际输出转速；广义误差e定义为，转速给定值为N_ref时，参考模型输出与被控对象输出之间的误差。

由图2得

$\frac{e\left(s\right)}{N_{\mathrm{ref}}\left(s\right)}=\frac{(k_m-k_c{k}_p)A\left(s\right)}{B\left(s\right)}=\frac{\mathrm{kA}\left(s\right)}{B\left(s\right)}---\left(7\right)$

式中，k=k_m-k_ck_p。

若取传递函数的一般表述形式，即令

$\frac{A\left(s\right)}{B\left(s\right)}=\frac{b_{n-1}{s}^{n-1}+b_{n-2}{s}^{n-2}+...+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+...+a_0}---\left(8\right)$

则式（7）可写为

$e^{\left(n\right)}+a_{n-1}{e}^{(n-1)}+...+a_{0}e=k(b_{n-1}{N}_{\mathrm{ref}}^{(n-1)}+b_{n-2}{N}_{\mathrm{ref}}^{(n-1)}+...+b_0{N}_{\mathrm{ref}})---\left(9\right)$

其状态方程可写为：

$\stackrel{\·}{x}=\mathrm{Ax}+\mathrm{kB}{N}_{\mathrm{ref}}$                       （10）

e＝c^Tx

式中，x＝(x₁x₂...x_n)^T。这里的状态向量选为：

x₁＝e

$x_2=\stackrel{\·}{e}-{\mathrm{\β}}_1{N}_{\mathrm{ref}}$            （11）

$x_n=e^{(n-1)}-{\mathrm{\β}}_1{N_{\mathrm{ref}}}^{(n-2)}-{\mathrm{\β}}_2{N_{\mathrm{ref}}}^{(n-3)}-...-{\mathrm{\β}}_{n-1}{N}_{\mathrm{ref}}$

且有

$A=\left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& ...& 0& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0& 0\\ .& .& .& & .& .\\ .& .& .& ...& .& .\\ .& .& .& & .& .\\ -a_0& -a_1& -a_2& ...& -a_{n-2}& -a_{n-1}\end{array}\right)---\left(12\right)$

$B={\left(\begin{array}{cccc}{\mathrm{\β}}_1& {\mathrm{\β}}_2& ...& {\mathrm{\β}}_n\end{array}\right)}^T,c^T=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& ...& 0\end{array}\right)$

这里

β₁＝b_n-1,β₂＝b_n-2-a_n-1β₁,...,β_n＝b₀-a_n-1β_n-1-a_n-2β_n-2-...-a₁β₁

选取Lyapunov函数为

$V=x^T\mathrm{Px}+\mathrm{\λ}{k}^2---\left(13\right)$

式中，P是正定对称矩阵，λ>0。

$\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}=x(\mathrm{PA}+\mathrm{AP})x+{2x}^T{\mathrm{PBN}}_{\mathrm{ref}}k+2\mathrm{\λk}\stackrel{\·}{k}---\left(14\right)$

令上式右端后两项之和为零，即

${2x}^T{\mathrm{PBN}}_{\mathrm{ref}}k+2\mathrm{\λk}\stackrel{\·}{k}=0---\left(15\right)$

得

$\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}=x^T(\mathrm{PA}+A^{T}P)x---\left(16\right)$

取PA+A^TP=-Q，这里

Q＝Q^T＞0       （17）

代入式（16）

$\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}=-x^T\mathrm{Qx}\≤0---\left(18\right)$

即，对于任意分段连续的输入给定信号N_ref，系统是渐进稳定的。

在稳定的前提下，推导自适应律。由式（15）得

$\frac{\mathrm{dk}}{\mathrm{dt}}=\stackrel{\·}{k}=-{\mathrm{\λ}}^{-1}{x}^T{\mathrm{PBN}}_{\mathrm{ref}}---\left(19\right)$

在图2系统中，k_p缓变，在短时内可认为不变。于是，由k=k_m-k_ck_p得

$\stackrel{\·}{k}=-k_p{\stackrel{\·}{k}}_c---\left(20\right)$

将上式代入式（19），得

${\stackrel{\·}{k}}_c\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{\λ}{k}_p}{x}^T{\mathrm{PBN}}_{\mathrm{ref}}---\left(21\right)$

对于由式（10）所表示的系统，如果C^T(sI-A)^-1B正实，则有

$\mathrm{PA}+A^{T}P=-Q,\mathrm{PB}=C={\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)}^T---\left(22\right)$

于是，由式（21）和式（22），得自适应控制器k_c的调节规律为

${\stackrel{\·}{k}}_c=\frac{1}{\mathrm{\λ}{k}_p}e{N}_{\mathrm{ref}}---\left(23\right)$

令自适应系数代入上式并化为时域表达式，得

$k_c=\frac{\mathrm{\μ}}{s}e{N}_{\mathrm{ref}}---\left(24\right)$

式（23）、（24）就是自适应律。

利用式（23）或（24），可实现对k_c的在线调节，如图2所示。具体来说，若设前一时刻的k_c值为k_{c_last}，则当前时刻控制器计算中调整的k_c值为

k_c＝k_{c_last}+μeN_ref·dt＝k_{c_last}+μ_TCeN_ref      （25）

式中，T_c为控制周期，dt为前后两次调整k_c值之间的时间间隔。因为对k_c值的调整是在每次控制器计算之前进行的，因而有dt=T_c。

式（25）中，μ和T_c都是事先设计的固定值，可离线计算出两者的乘积用于在线计算。于是，采用式（25）对k_c值进行一次在线自适应调整，仅需2次乘法、1次加法，计算量极小。

将上述控制系统应用于超声波电机的转速控制，设定期望的控制性能为，在阶跃给定信号作用下，输出响应无超调、调节时间为0.3s以内。据此，设计参考模型为

$G_m\left(s\right)=\frac{2427}{s^2+96s+2427}---\left(26\right)$

辅助控制器G_a(s)为

$G_a\left(s\right)=\frac{D\left(s\right)}{B\left(s\right)}=\frac{s^2+632.6935002s+710509.0689}{s^2+96s+2427}---\left(27\right)$

按照上述系统对超声波电机转速进行控制实验，得转速阶跃响应如图3所示，实测转速的阶跃响应没有出现超调，且调节时间在0.3s以内，满足所设定的期望控制性能。因此本发明的超声波电机模型参考自适应控制系统既满足了参考模型与被控对象（超声波电机）模型仅有增益不同、动态环节相同的同时，又能够使参考模型表征控制期望，使Lyapunov控制方法能够应用到超声波电机的控制系统中，同时又采用基于梯度优化的自适应律，使得对闭环比例控制器的可调增益k_c进行在线自适应调整的计算量小，从而有助于提高该系统的运行效率，并降低系统成本。

Claims (2)

1.一种基于Lyapunov的超声波电机模型参考自适应控制系统，其特征在于：该自适应控制系统包括闭环比例控制器、参考模型、超声波电机模型、自适应律模块和辅助控制器，所述的辅助控制器设置在闭环比例控制器和超声波电机模型之间，辅助控制器的输入端与闭环比例控制器的输出端相连，辅助控制器的输出端与超声波电机模型的输入端相连，

所述的参考模型为k_m为模型的增益部分，A(s)/B(s)为模型的动态部分，该参考模型的输入为超声波电机转速的给定值N_ref，输出转速为N_m；

所述的超声波电机模型为k_p为模型的增益部分，N(s)/D(s)为模型的动态部分，该超声波电机模型的输入为辅助控制器的输出，超声波电机模型的输出转速为n；

所述的闭环比例控制器的可调增益为k_c，k_c的变化由自适应律模块控制；

所述的辅助控制器模型为其输入为k_cN_ref；

所述的自适应律模块采用的是基于Lyapunov的自适应律，自适应律为 其中e是参考模型的输出和超声波电机模型的输出之间的误差，N_ref为超声波电机转速的给定值，e＝N_m-n，λ为Lyapunov函数中的系数，且λ>0。

2.根据权利要求1所述的基于Lyapunov的超声波电机模型参考自适应控制系统，其特征在于：所述的辅助控制器模型G_a(s)与超声波电机模型G_p(s)串联组成广义被控对象G(s),