CN103196451B - 一种基于Fisher信息矩阵的导航脉冲星选择方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于Fisher信息矩阵的导航脉冲星选择方法，属于深空探测技术领域。本发明方法建立了脉冲星导航的测量简化模型，基于信息论相关概念构建了导航状态的Fisher信息矩阵，根据使得Fisher信息矩阵的行列式最大的原则选择导航脉冲星，提高导航状态可观测性；提高脉冲星导航的可观测性及导航精度。

Description

一种基于Fisher信息矩阵的导航脉冲星选择方法

技术领域

本发明涉及一种基于Fisher信息矩阵的导航脉冲星选择方法，属于深空探测技术领域。

背景技术

脉冲星是一类旋转的中子星，可以发射独特、稳定、可预测的X射线信号。脉冲星的特性为空间自主导航提供了新的发展方向。通过对脉冲星发射的X射线的测量可以实现不依赖地面深空网的自主导航。近年来美国航天局及欧空局都在考虑将脉冲星作为潜在的导航信息源，国内外学者也针对脉冲星导航的基础理论及导航精度进行了大量的研究。

脉冲星作为导航信息源，其位置及空间分布必将影响到导航性能，但已有的研究主要侧重脉冲星导航可行性的验证，对如何合理地选择导航脉冲星缺少系统的研究。所以需要结合信息论的思想，对导航脉冲星进行优化选择以提高导航系统状态的可观测性。

发明内容

本发明的目的是为了提高脉冲星导航的可观测性及导航精度，提出一种基于Fisher信息矩阵的导航脉冲星选择方法，结合信息论中Fisher信息矩阵的概念，通过构建导航状态的Fisher信息矩阵并对其行列式进行分析，优化选择导航脉冲星使得导航方案可观测性最强。

基于Fisher信息矩阵的导航脉冲星选择方法流程如下：

步骤1：建立脉冲星导航测量模型

通过接收脉冲星发射的X射线，并与通过地面长期观测得到的标准波形进行比对，得到X射线到达探测器与到达太阳系质心SSB的时间差

$\mathrm{\Δ}{t}_i=t_{\mathrm{bi}}-t_{\mathrm{si}}=\frac{n_i\·r_b}{c}+\frac{1}{2c{D}_{0i}}[{(n_i\·r_b)}^2-r_b^2+2(n_i\·b)(n_i\·r_b)$

$-2(b\·r_b)]+\frac{2{\mathrm{\μ}}_s}{c^3}\ln |\frac{n_i\·r_b+r_b}{n_i\·b+b}+1|---\left(1\right)$

i＝1，2，…，m

式中c为光速，n _i 为太阳系质心SSB到第i颗脉冲星的单位矢量，b是SSB在日心惯性坐标系下的位置矢量，r _b 为探测器相对SSB的位置矢量，满足：

r _s ＝b + r _b                (2) 

式中r _s =[r_x,r_y,r_z]^T为探测器位置状态矢量。另外D_0i为第i颗脉冲星到日心的距离，m为所测量的脉冲星数量。

由于太阳质量占太阳系质量的99%以上，并且脉冲星通常距离太阳系非常遥远，将（1）式简化为：

$\mathrm{\Δ}{t}_i=\frac{n_i\·r_s}{c}+{\mathrm{\ϵ}}_i,i=1,2,\·\·\·,m---\left(3\right)$

式中ε_i为测量噪声，服从零均值、σ标准差的高斯分布。由于估计探测器状态需要同时利用至少三颗脉冲星的测量信息，所以取m≥3，并且得到脉冲星导航测量模型为：

y＝[y₁，y₂，....，y_m]^T     (4) 

y_i＝Δt_i＝h_i(r _s )+ε_i，  i＝1，2，…，m

步骤2：构建Fisher信息矩阵

由于ε_i为高斯白噪声，将所测量的m颗脉冲星的联合似然函数表示为

$L\left(y\right|r_s)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Π}}}\frac{1}{{\left(2\mathrm{\π}\right)}^{1/2}\mathrm{\σ}}\exp (-\frac{1}{2}{\mathrm{\σ}}^{-2}{\left|\right|y_i-h_i\left(r_s\right)\left|\right|}^2)---\left(5\right)$

取（5）式的自然对数，并只保留与状态r_s相关项，得到对数似然函数

$J\left(r_s\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{2}{\mathrm{\σ}}^{-2}{\left|\right|y_i-h_i\left(r_s\right)\left|\right|}^2---\left(6\right)$

从而Fisher信息矩阵F由下式计算： 

$F=E\left\{\frac{{\∂}^2}{\∂r_s\∂r_s^T}J\left(r_s\right)\right\}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\σ}}^{-2}\frac{\∂h_i\left(r_s\right)}{\∂r_s}{\left(\frac{\∂h_i\left(r_s\right)}{\∂r_s}\right)}^T---\left(7\right)$

$=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^2{c}^2}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{n}_i^T$

步骤3：导航脉冲星选择

根据Cramér-Rao定理，Fisher信息矩阵奇异性越强导航状态可观测性越差。而Fisher信息矩阵的行列式可以反映其奇异性，所以应选择导航脉冲星使得Fisher信息矩阵的行列式最大。Fisher信息矩阵的行列式只与矩阵的行列式相关，且

$\det \left(\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{n}_i{n}_i^T\right)=\underset{k_1,k_2,k_3}{\mathrm{\&Sigma;}}{({n_k}_1\&CenterDot;({n_k}_2\&times;{n_k}_3\left)\right)}^2,m\&le;k_1<k_2<k_3\&le;1---\left(8\right)$

得到导航脉冲星选择的原则为：选择使得最大的m颗导航脉冲星。

有益效果

（1）建立了脉冲星导航的测量简化模型。

（2）基于信息论相关概念构建了导航状态的Fisher信息矩阵。

（3）通过使得Fisher信息矩阵的行列式最大选择导航脉冲星，提高导航状态可观测性。

附图说明

图1为本发明方法的流程图；

图2为具体实施方式中所选导航脉冲星的空间位置图；

图3为具体实施方式中导航脉冲星构建火星最终接近段自主导航误差曲线，其中图a)显示x轴位置误差；图b)显示y轴位置误差；图c)显示z轴位置误差。

具体实施方式

本实例针对火星最终接近段基于脉冲星测量的自主导航方案，构建导航状态的Fisher信息矩阵并对其行列式进行分析，优化选择导航脉冲星使得导航方案可观测性最强，并利用数学仿真验证了方法的可行性。本实例的具体实施方法如下：

步骤1：脉冲星导航测量模型建立

通过脉冲星发射的X射线的接收，并与通过地面长期观测得到的标准波形的比对，可以得到X射线到达探测器与到达太阳系质心SSB的时间差

$\mathrm{\&Delta;}{t}_i=t_{\mathrm{bi}}-t_{\mathrm{si}}=\frac{n_i\&CenterDot;r_b}{c}+\frac{1}{2c{D}_{0i}}[{(n_i\&CenterDot;r_b)}^2-r_b^2+2(n_i\&CenterDot;b)(n_i\&CenterDot;r_b)$

$-2(b\&CenterDot;r_b)]+\frac{2{\mathrm{\&mu;}}_s}{c^3}\ln |\frac{n_i\&CenterDot;r_b+r_b}{n_i\&CenterDot;b+b}+1|---\left(1\right)$

i＝1，2，…，m

式中c为光速，n _i 为太阳系质心SSB到第i颗脉冲星的单位矢量，b是SSB在日心惯性坐标系下的位置矢量，r _b 为探测器相对SSB的位置矢量，满足：

r _s ＝b + r _b             (2) 

式中r _s =[r_x,r_y,r_z]^T为探测器位置状态矢量。另外D_0i为第i颗脉冲星到日心的距离。这里考虑利用三颗脉冲星的测量信息，所以取m=3。

由于太阳质量占太阳系质量的99%以上，并且脉冲星通常距离太阳系非常遥远，所以（1）式可以简化为：

$\mathrm{\&Delta;}{t}_i=\frac{n_i\&CenterDot;r_s}{c}+{\mathrm{\&epsiv;}}_i,i=1,2,3---\left(3\right)$

式中ε_i为测量噪声，服从零均值、σ标准差的高斯分布。进一步得到脉冲星导航测量模型为：

y＝[y₁，y₂，y₃]^T     (4) 

y_i＝Δt_i＝h_i(r _s )+ε_i，  i＝1，2，3

步骤2：Fisher信息矩阵构建

由于ε_i为高斯白噪声，将联合似然函数表示为

$L(y_1,y_2,y_3|r_s)=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Pi;}}}\frac{1}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{1/2}\mathrm{\&sigma;}}\exp (-\frac{1}{2}{\mathrm{\&sigma;}}^{-2}{\left|\right|y_i-h_i\left(r_s\right)\left|\right|}^2)$

将（5）式取自然对数，只保留与状态r_s相关项，得到对数似然函数

$J\left(r_s\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{2}{\mathrm{\&sigma;}}^{-2}{\left|\right|y_i-h_i\left(r_s\right)\left|\right|}^2---\left(6\right)$

进一步Fisher信息矩阵F可由下式计算：

$F=E\{\frac{{\&PartialD;}^2}{\&PartialD;r_s\&PartialD;r_s^T}J\left(r_s\right)\}=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&Sigma;}{\mathrm{\&sigma;}}^{-2}\frac{\&PartialD;h_i\left(r_s\right)}{\&PartialD;r_s}{\left(\frac{\&PartialD;h_i\left(r_s\right)}{\&PartialD;r_s}\right)}^T---\left(7\right)$

$=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}^2{c}^2}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{n}_i{n}_i^T$

步骤3：导航脉冲星选择

根据Cramér-Rao定理Fisher信息矩阵奇异性越强导航状态可观测性越差。而Fisher信息矩阵的行列式可以反映其奇异性，所以应选择导航脉冲星使得Fisher信息矩阵的行列式最大。Fisher信息矩阵的行列式只与矩阵的行列式相关，且

$\det \left(\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{n}_i{n}_i^T\right)={(n_i\&CenterDot;(n_2\&times;n_3\left)\right)}^2---\left(8\right)$

所以从备选导航脉冲星中选择三颗导航脉冲星使得(n₁·(n₂×n₃))²最大。实例中所涉及的备选导航脉冲星通如表1所示。

最终选择J0030+0451、B0633+17和B0540-69作为导航脉冲星，其空间位置如图2所示。

采用选择的导航脉冲星构建火星最终接近段自主导航方案，针对火星大气进入前12小时的自主导航性能进行仿真分析。进入前6小时地面深空网测量数据切断，随后探测器利用对所选三颗导航脉冲星测量信息进行自主导航，导航误差结果如图3所示。其中图a)、b)、c)分别显示x、y、z轴位置误差。

通过对选择的导航脉冲星进行测量，火星最终接近段自主导航系统的收敛速度更快、精度高、可观测性强，证明基于Fisher信息矩阵的导航脉冲星选择方法的可行性。

表1备选导航脉冲星参数

Claims (1)

1.一种基于Fisher信息矩阵的导航脉冲星选择方法，其特征在于：具体包括如下步骤：

步骤1：建立脉冲星导航测量模型；

通过接收脉冲星发射的X射线，并与通过地面长期观测得到的标准波形进行比对，得到X射线到达探测器与到达太阳系质心SSB的时间差

式中c为光速，n _i 为太阳系质心SSB到第i颗脉冲星的单位矢量，m≥3，b是SSB在日心惯性坐标系下的位置矢量，r _b 为探测器相对SSB的位置矢量，满足：

r _s ＝b + r _b     (2) 

式中r _s ＝[r_x, r_y, r_z]^T为探测器位置状态矢量；D_0i为第i颗脉冲星到日心的距离，m为所测量的脉冲星数量；

将(1)式简化为：

式中ε_i为测量噪声，服从零均值、σ标准差的高斯分布；得到脉冲星导航测量模型为：

y＝[y₁, y₂,...., y_m]^T    (4) 

y_i＝Δt_i＝h_i(r _s )+ε_i,i＝1,2,…,m

步骤2：构建Fisher信息矩阵；

将所测量的m颗脉冲星的联合似然函数表示为

取(5)式的自然对数，并只保留与状态r_s相关项，得到对数似然函数

Fisher信息矩阵F由下式计算：

步骤3：选择导航脉冲星；

Fisher信息矩阵的行列式只与矩阵的行列式相关，且

得到导航脉冲星选择的原则为：选择使得最大的m颗导航脉冲星。