CN103150479B - 减振器环形阀片在非均布压力下径向应力的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及减振器环形阀片在非均布压力下径向应力的计算方法，属于减振器技术领域。由于实际阀片所受压力是非均布的，但先前对阀片在非均布压力下的径向应力一直没有精确的计算方法。本发明的特征在于：通过均布压力下及反向线性非均布压力下的环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数的叠加运算，得到减振器环形阀片在非均布压力下的径向应力系数，根据环形阀片的厚度及最大非均布压力，实现对减振器环形阀片在非均布压力下径向应力的精确计算。通过与ANSYS仿真结果可知，所建立的减振器环形阀片在非均布压力下径向应力的计算方法正确，为实际减振器及叠加阀片精确设计及强度校核，提供了精确的环形阀片在非均布压力下径向应力的计算方法。

Description

减振器环形阀片在非均布压力下径向应力的计算方法

技术领域

本发明涉及液压减振器，特别是减振器环形阀片在非均布压力下径向应力的计算方法。

背景技术

环形阀片其厚度一般只有0.15mm～0.3mm，是汽车减振器中最为关键性的精密元件，环形阀片应力影响减振器叠加阀片的拆分设计及强度校核，其中，径向应力会引起阀片在内圆处断裂。因此，能否实现对环形阀片径向应力的精确计算，决定着减振器环形叠加阀片拆分设计及强度校核，并且决定着能否真正实现汽车减振器及叠加阀片的现代化CAD设计。然而由于减振器常通节流孔和节流缝隙的存在，减振器阀片实际所受的压力并不是均布的，尽管国内、外很多学者已对此进行了大量研究，但是对于在非均布压力下的减振器环形阀片径向应力至今还没有给出精确的计算方法。目前国内外大都是利用有限元仿真软件，对给定压力下的环形阀片通过建立实体模型进行数值仿真，尽管可得到近似的数值解，但是不能提供满足减振器及阀片现代化CAD设计要求的精确解析计算式或计算方法。

随着汽车工业的快速发展及车辆行驶速度的不断提高，对减振器设计提出了更高的要求，要实现减振器及叠加阀片现代化CAD设计和强度校核，必须建立一种精确的减振器环形阀片在非均布压力下的径向应力计算方法，满足减振器及叠加阀片设计和强度校核的要求，使减振器及叠加阀片参数设计值更加准确、可靠，进一步提高减振器设计水平、质量和性能，提高减振器使用寿命。

发明内容

针对上述现有技术中存在的缺陷，本发明所要解决的技术问题是提供一种精确、可靠的减振器环形阀片在非均布压力下径向应力的计算方法，其计算流程如图1所示。

为了解决上述技术问题，本发明所提供的减振器环形阀片在非均布压力下径向应力的计算方法，环形阀片在非均布压力下的力学模型如图2所示，在区间[r_a，r_k]的均布压力p₀，在区间[r_k，r_b]的压力p＝p₀[1-(r-r_k)/(r_b-r_k)]；环形阀片所受的非均布压力可看作是由区间[r_a，r_b]的均布压力p₀与区间[r_k，r_b]的反向线性非均布压力p₀(r-r_k)/(r_b-r_k)叠加构成的；环形阀片在非均布压力下径向应力的计算步骤如下：

(1)在均布压力p₀下的环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr1计算:

根据减振器环形阀片的内圆半径r_a，外圆半径r_b，泊松比μ，计算在均布压力下减振器环形阀片在任意半径r处的径向应力系数G_σr1，即：

$G_{\mathrm{\σ}r1}=\frac{({\mathrm{rK}}_{G12r}+{\mathrm{\μK}}_{G11r})}{2(1-{\mathrm{\μ}}^2)r},r_a\≤r\≤r_b;$

式中，K_G11r和K_G12r是为了方便阀片在均布压力下的径向应力系数G_σr1的表达和计算，根据减振器环形阀片的内圆半径r_a，外圆半径r_b，泊松比μ，所定义的中间参数，即

K_G11r＝3(1-μ²)(E₁/r+2E₂rlnr+E₂r+2E₃r+4r³)/16，r_a≤r≤r_b；

K_G12r＝3(1-μ²)(-E₁/r²+2E₂lnr+3E₂+2E₃+12r²)/16，r_a≤r≤r_b；

其中， $E_2=-8r_b^2,E_3=\frac{(A_1{E}_2{B}_2+A_1{B}_4-B_1{E}_2{A}_2-B_1{A}_4)}{B_1{A}_3-A_1{B}_3},E_1=-\frac{A_4+E_2{A}_2+E_3{A}_3}{A_1},$ $A_1=\frac{1}{r_a},$ A₂＝2r_a ln r_a+r_a，A₃＝2r_a， $A_4=4r_a^2,B_1=\frac{(\mathrm{\μ}-1)}{r_b^2},$ B₂＝2(μ+1)lnr_b+μ+3，B₃＝2(μ+1)， $B_4=4r_b^2(3+\mathrm{\μ});$

(2)反向线性非均布压力p₀(r-r_k)/(r_b-r_k)下的环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr2计算:

根据减振器环形阀片的内圆半径r_a，外圆半径r_b，阀口位置半径r_k，泊松比μ，计算在线性非均布压力下的减振器环形阀片在任意半径r处的径向应力系数G_σr2，即：

$G_{\mathrm{\σ}r2}=\frac{({\mathrm{rK}}_{G22r}+{\mathrm{\μK}}_{G21r})}{2(1-{\mathrm{\μ}}^2)r},r_a\≤r\≤r_b;$

式中，K_G21r和K_G22r是为了方便阀片在反向线性非均布压力下的径向应力系数G_σr2的表达和计算，根据减振器环形阀片的内圆半径r_a，外圆半径r_b，阀口位置半径r_k，泊松比μ，所定义的中间参数，即

$K_{G21r}=\left\{\begin{array}{cc}{b}_1/r+2b_{2}r\ln r+b_{2}r+2b_{3}r& r_a\&le;r\&le;r_k\\ c_1/r+2c_{2}r\ln r+c_{2}r+2c_{3}r+\frac{1}{d_1(r_k-r_b)}(\frac{4r^3{r}_k}{64}-\frac{5r^4}{225})& r_k<r\&le;r_b\end{array}\right.;$

$K_{G22r}=\{\begin{array}{cc}-b_1/r^2+2b_2\ln r+3b_2+2b_3& r_a\&le;r\&le;r_k\\ -c_1/r^2+2c_2\ln r+3c_2+2c_3+\frac{1}{d_1(r_k-r_b)}(\frac{12r^2{r}_k}{64}-\frac{20r^3}{225})& r_k<r\&le;r_b\end{array};$

其中，

$\begin{array}{c}{b}_1=\frac{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)r_a^2}{720K}(20r_k^3{r}_b^2\mathrm{\&mu;}-180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_a+9r_k^5\mathrm{\&mu;}+20r_k^3{r}_b^2+45r_b^4{r}_k+16r_6^5\mathrm{\&mu;}-60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_b\\ +60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-45r_b^4{r}_k\mathrm{\&mu;}-120r_b^5{\mathrm{lnr}}_b+60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_a+120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+120r_b^5{\mathrm{lnr}}_a-9r_k^5\end{array}$

$-60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_b-120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_b-56r_b^5),$

$b_2=\frac{(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)(r_k^2+r_k{r}_b-r_b^2)}{2},$

$\begin{array}{c}{b}_3=-\frac{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)}{1440K}(-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_a-10r_k^3{r}_b^2\mathrm{\&mu;}-60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_b+60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a\\ +180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_a+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+9r_k^5\mathrm{\&mu;}-10r_k^3{r}_b^2+135r_b^4{r}_k-44r_b^5\mathrm{\&mu;}-60r_a^2{r}_b^3-30r_k^3{r}_a^2+45r_b^4{r}_k\mathrm{\&mu;}\\ -180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-9r_k^5+90r_k{r}_a^2{r}_b^2+60r_a^2{r}_b^3\mathrm{\&mu;}+30r_k^3{r}_a^2\mathrm{\&mu;}-90r_k{r}_a^2{r}_b^2\mathrm{\&mu;}\\ -116r_b^5-120r_b^5{\mathrm{lnr}}_b-60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_b-120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_b-60r_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_a),\end{array}$

$\begin{array}{c}{c}_1=\frac{12r_b^2(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)}{720K}(9r_k^5\mathrm{\&mu;}+9r_k^5+60r_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_a-60r_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_k+20r_k^3{r}_a^2+20r_k^3{r}_a^2\mathrm{\&mu;}-60{\mathrm{\&mu;r}}_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_k\\ +60{\mathrm{\&mu;r}}_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_a+45r_k{r}_a^2{r}_b^2+180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_b-180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_b-180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_a\\ -45r_k{r}_a^2{r}_b^2\mathrm{\&mu;}-56r_a^2{r}_b^3-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_b+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+16r_a^2{r}_b^3\mathrm{\&mu;}+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_a-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_b),\end{array}$

$c_2=-\frac{r_b^2}{(r_k-r_b)}(\frac{r_k}{8}-\frac{r_b}{12}),$

$\begin{array}{c}{c}_3=-\frac{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)}{1440K}(-44r_b^5\mathrm{\&mu;}-120r_b^5{\mathrm{lnr}}_b+135r_k{r}_b^4-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_a+180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;}}_k{\mathrm{lnr}}_b-60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_k\\ -60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{lnr}}_a+90r_a^2{r}_b^2{r}_k+60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{lnr}}_k-60r_a^2{r}_b^3-20r_a^2{r}_k^3-180r_a^2{r}_b^2{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+60r_a^2{r}_b^3\mathrm{\&mu;}\\ +180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_b+20r_a^2{r}_k^3\mathrm{\&mu;}-116r_b^5+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-90r_a^2{r}_b^2{r}_k\mathrm{\&mu;}-120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_b+180r_a^2{r}_b^2{r}_k{\mathrm{lnr}}_a\\ +60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-9r_k^5+9r_k^5\mathrm{\&mu;}+45r_b^4{r}_k\mathrm{\&mu;}),\end{array}$

$K=r_b^3+r_k{r}_a^2\mathrm{\&mu;}-r_b{r}_a^2\mathrm{\&mu;}+r_k{r}_a^2+r_b{r}_a^2+r_b^3\mathrm{\&mu;}-r_b^2{r}_k-r_b^2{r}_k\mathrm{\&mu;},d_1=\frac{1}{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)};$

(3)非均布压力下的减振器环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr计算:

根据步骤(1)中的G_σr1和步骤(2)中的G_σr2，通过叠加运算，可计算得到在非均布压力下减振器环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr，即：

$G_{\mathrm{\&sigma;}r}=G_{\mathrm{\&sigma;}r1}-G_{\mathrm{\&sigma;}r2}=\frac{\&lsqb;r(K_{G12r}-K_{G22r})+\mathrm{\&mu;}(K_{G11r}-K_{G21r})\&rsqb;}{2(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)r},r_a\&le;r\&le;r_b;$

其中，当半径r等于内圆半径r_a时，G_σr即为减振器环形阀片在内圆半径位置的径向应力系数

(4)非均布压力下减振器环形阀片在任意半径r位置的径向应力σ_r及最大径向应力σ_rmax计算:

根据环形阀片厚度h，在区间[r_a，r_k]的均布压力p₀，及步骤(3)中的G_σr，对非均布压力下减振器环形阀片在半径r处的径向应力σ_r进行计算，即:

${\mathrm{\&sigma;}}_r=G_{\mathrm{\&sigma;}r}\frac{p_0}{h^2};$

其中，当时，所求得的径向应力即为环形阀片在内圆半径处的最大径向应力σ_rmax，即:

${\mathrm{\&sigma;}}_{rmax}=G_{{\mathrm{\&sigma;r}}_a}\frac{p_0}{h^2}.$

本发明比现有技术具有的优点：

实际减振器环形节流阀片所受压力为非均布的，对于减振器环形阀片在非均布压力下的径向应力，先前国内、外均无给出精确的计算方法，大都是利用有限元仿真软件，对给定压力下的阀片通过建立实体模型进行数值仿真得到近似的数值解，但是有限元建模仿真的方法不能提供精确的解析计算式及计算方法，不能满足减振器现代化CAD设计及叠加阀片拆分设计的要求。本发明所建立的减振器环形阀片在非均布压力下径向应力的计算方法，是将减振器环形阀片非均布压力力学模型，看作为均布压力力学模型与反向线性非均布压力力学模型的叠加，通过叠加运算得到减振器环形阀片在非均布压力下的叠加径向应力系数，从而实现对减振器环形阀片在非均布压力下径向应力的精确计算。通过与ANSYS仿真验证结果比较可知，所建立的减振器环形阀片在非均布压力下径向应力的计算方法正确，为实际减振器及叠加阀片精确设计及强度校核，提供了精确的环形阀片在非均布压力下径向应力的计算方法。

附图说明

为了更好地理解本发明下面结合附图作进一步的说明。

图1是减振器环形阀片在非均布压力下变形的计算方法流程图。

图2是减振器环形阀片非均布压力力学模型。

图3是实施例一的环形阀片在均布压力下的径向应力系数曲线。

图4是实施例一的环形阀片在反向线性非均布压力下的径向应力系数曲线。

图5是实施例一的减振器环形阀片在非均布压力下的径向应力系数曲线。

图6是实施例一的减振器环形阀片在非均布压力下的径向应力曲线。

图7是实施例一的减振器环形阀片在非均布压力下的径向应力仿真云图。

图8是实施例二的环形阀片在反向线性非均布压力下的径向应力系数曲线。

图9是实施例二的减振器环形阀片在非均布压力下的径向应力系数曲线。

图10是实施例二的减振器环形阀片在非均布压力下的径向应力曲线。

图11是实施例三的环形阀片在均布压力下的径向应力系数曲线。

图12是实施例三的环形阀片在反向线性均布压力下的径向应力系数曲线。

图13是实施例三的减振器环形阀片非均布压力下的径向应力系数曲线。

图14是实施例三的减振器环形阀片非均布压力下的径向应力曲线。

图15是实施例四的减振器环形阀片在区间[r_a,r_k]不同均布压力下的径向应力曲线。

具体实施方案

下面通过实施例对本发明作进一步详细说明。

实施例一：某减振器阀片的厚度h＝0.3mm，内园半径r_a＝5.0mm，外园半径r_b＝8.5mm，阀口位置半径r_k＝8.0mm，泊松比μ＝0.3，在区间r_a≤r≤r_k的均布压力p₀＝3.0MPa，在r_k＜r≤r_b区间的压力p＝p₀[1-(r-r_k)/(r_b-r_k)]MPa。

本发明实例所提供的减振器环形阀片非均布压力下径向应力的计算方法，计算流程如图1所示，具体步骤如下：

(1)区间[r_a,r_b]均布压力p₀下的环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr1计算：

根据减振器环形阀片的内园半径r_a＝5.0mm，外园半径r_b＝8.5mm，泊松比μ＝0.3，计算在均布压力下减振器环形阀片在任意半径r处的径向应力系数G_σr1，即

$G_{\mathrm{\&sigma;}r1}=\frac{({\mathrm{rK}}_{G12r}+{\mathrm{\&mu;K}}_{G11r})}{2(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)r},r_a\&le;r\&le;r_b;$

式中，K_G11r＝3(1-μ²)(E₁/r+2E₂rlnr+E₂r+2E₃r+4r³)/16，

K_G12r＝3(1-μ²)(-E₁/r²+2E₂lnr+3E₂+2E₃+12r²)/16；其中，

$\begin{array}{cc}{E}_2=-8r_b^2=-5.78\&times;{10}^{-4},& E_3=\frac{(A_1{E}_2{B}_2+A_1{B}_4+B_1{E}_2{A}_2-B_1{A}_4)}{B_1{A}_3-A_1{B}_3}=-0.002457,\end{array}$

$E_1=-\frac{A_4+E_2{A}_2+E_3{A}_3}{A_1}=-1.831\&times;{10}^{-8},$

$A_1=\frac{1}{r_a}=200,A_2=2r_a{\mathrm{lnr}}_a+r_a=-0.04798,A_3=2r_a=0.01,A_4=4r_a^2=5\&times;{10}^{-7},$

$B_1=\frac{(\mathrm{\&mu;}-1)}{r_b^2}=-9.6885\&times;{10}^3,B_2=2(\mathrm{\&mu;}+1){\mathrm{lnr}}_b+\mathrm{\&mu;}+3=-9.09599,$

$B_3=2(\mathrm{\&mu;}+1)=2.6,B_4=4r_b^2(3+\mathrm{\&mu;})=9.537\&times;{10}^{-4};$

计算所得到的在均布压力下的减振器环形阀片的径向应力系数G_σr1曲线，如图3所示；

(2)区间[r_k,r_b]线性非均布压力p₀(r-r_k)/(r_b-r_k)下的环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr2计算:

根据减振器环形阀片的内园半径r_a＝5.0mm，外园半径r_b＝8.5mm，阀口位置半径r_k＝8.0mm，泊松比μ＝0.3，计算在线性非均布压力下减振器环形阀片在任意半径r处的径向应力系数G_σr2，即:

$G_{\mathrm{\&sigma;}r2}=\frac{({\mathrm{rK}}_{G22r}+{\mathrm{\&mu;K}}_{G21r})}{2(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)r},r_a\&le;r\&le;r_b;$

式中， $K_{G21r}=\left\{\begin{array}{cc}{b}_1/r+2b_{2}r\ln r+b_{2}r+2b_{3}r& r_a\&le;r\&le;r_k\\ c_1/r+2c_{2}r\ln r+c_{2}r+2c_{3}r+\frac{1}{d_1(r_k-r_b)}(\frac{4r^3{r}_k}{64}-\frac{5r^4}{225})& r_k<r\&le;r_b\end{array}\right.;$

$K_{G22r}=\{\begin{array}{cc}-b_1/r^2+2b_2\ln r+3b_2+2b_3& r_a\&le;r\&le;r_k\\ -c_1/r^2+2c_2\ln r+3c_2+2c_3+\frac{1}{d_1(r_k-r_b)}(\frac{12r^2{r}_k}{64}-\frac{20r^3}{225})& r_k<r\&le;r_b\end{array};$ 其中，

$\begin{array}{c}{b}_1=\frac{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)r_a^2}{720K}(20r_k^3{r}_b^2\mathrm{\&mu;}-180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_a+9r_k^5\mathrm{\&mu;}+20r_k^3{r}_b^2+45r_b^4{r}_k+16r_6^5\mathrm{\&mu;}-60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_b\\ +60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-45r_b^4{r}_k\mathrm{\&mu;}-120r_b^5{\mathrm{lnr}}_b+60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_a+120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+120r_b^5{\mathrm{lnr}}_a-9r_k^5\\ -60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_b-120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_b-56r_b^5)=-3.044\&times;{10}^{-10},\end{array}$

$b_2=\frac{(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)(r_k^2+r_k{r}_b-r_b^2)}{2}=-5.6875\&times;{10}^{-6},$

$\begin{array}{c}{b}_3=-\frac{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)}{1440K}(-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_a-10r_k^3{r}_b^2\mathrm{\&mu;}-60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_b+60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a\\ +180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_a+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+9r_k^5\mathrm{\&mu;}-10r_k^3{r}_b^2+135r_b^4{r}_k-44r_b^5\mathrm{\&mu;}-60r_a^2{r}_b^3-30r_k^3{r}_a^2+45r_b^4{r}_k\mathrm{\&mu;}\\ -180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-9r_k^5+90r_k{r}_a^2{r}_b^2+60r_a^2{r}_b^3\mathrm{\&mu;}+30r_k^3{r}_a^2\mathrm{\&mu;}-90r_k{r}_a^2{r}_b^2\mathrm{\&mu;}\\ -116r_b^5-120r_b^5{\mathrm{lnr}}_b-60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_b-120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_b-60r_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_a)=-2.12\&times;{10}^{-5},\end{array}$

$\begin{array}{c}{c}_1=\frac{12r_b^2(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)}{720K}(9r_k^5\mathrm{\&mu;}+9r_k^5+60r_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_a-60r_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_k+20r_k^3{r}_a^2+20r_k^3{r}_a^2\mathrm{\&mu;}-60{\mathrm{\&mu;r}}_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_k\\ +60{\mathrm{\&mu;r}}_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_a+45r_k{r}_a^2{r}_b^2+180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_b-180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_b-180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_a\\ -45r_k{r}_a^2{r}_b^2\mathrm{\&mu;}-56r_a^2{r}_b^3-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_b+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+16r_a^2{r}_b^3\mathrm{\&mu;}+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_a-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_b),\end{array}$ $=-8.64126\&times;{10}^{-9},$

$c_2=-\frac{r_b^2}{(r_k-r_b)}(\frac{r_k}{8}-\frac{r_b}{12})=-4.6\&times;{10}^{-4},$

$\begin{array}{c}{c}_3=-\frac{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)}{1440K}(-44r_b^5\mathrm{\&mu;}-120r_b^5{\mathrm{lnr}}_b+135r_k{r}_b^4-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_a+180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;}}_k{\mathrm{lnr}}_b-60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_k\\ -60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{lnr}}_a+90r_a^2{r}_b^2{r}_k+60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{lnr}}_k-60r_a^2{r}_b^3-20r_a^2{r}_k^3-180r_a^2{r}_b^2{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+60r_a^2{r}_b^3\mathrm{\&mu;}\\ +180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_b+20r_a^2{r}_k^3\mathrm{\&mu;}-116r_b^5+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-90r_a^2{r}_b^2{r}_k\mathrm{\&mu;}-120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_b+180r_a^2{r}_b^2{r}_k{\mathrm{lnr}}_a\\ +60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-9r_k^5+9r_k^5\mathrm{\&mu;}+45r_b^4{r}_k\mathrm{\&mu;})=0.00215,\end{array}$

$K=r_b^3+r_k{r}_a^2\mathrm{\&mu;}-r_b{r}_a^2\mathrm{\&mu;}+r_k{r}_a^2+r_b{r}_a^2+r_b^3\mathrm{\&mu;}-r_b^2{r}_k-r_b^2{r}_k\mathrm{\&mu;}=5.57125\&times;{10}^{-8},d_1=\frac{1}{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)}=0.091575;$

计算所得到的在线性非均布压力下的减振器环形阀片的径向应力系数G_σr2曲线，如图4所示；

(3)减振器环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr计算:

根据步骤(1)中的G_σr1及步骤(2)中的G_σr2，通过叠加运算得到在非均布压力下环形阀片在任意半径r处的周向应力系数G_σr＝G_σr1-G_σr2，如图5所示；

其中，环形阀片在内圆半径处的径向应力系数

(4)减振器环形阀片在任意半径r位置的径向应力σ_r及最大径向应力σ_rmax计算

根据环形阀片厚度h＝0.3mm，在区间[r_a,r_k]的均布压力p₀＝3.0MPa，及步骤(3)中的G_σr，对减振器环形阀片在半径r处的径向应力进行计算，计算得到的减振器环形阀片的径向应力σ_r随半径r的变化曲线，如图6所示；

其中，在非均布压力下环形阀片在内圆半径r_a处的最大径向应力σ_rmax为

${\mathrm{\&sigma;}}_{rmax}=G_{{\mathrm{\&sigma;r}}_a}\frac{p_0}{h^2}=1353.1777MPa.$

根据减振器环形阀片的内半径r_a＝5.0mm，外半径r_b＝8.5mm，阀口位置半径r_k＝8.0mm，，厚度h＝0.3mm，泊松比μ＝0.3，利用ANSYS进行建模，网格划分单位为0.1mm，在r_a≤r≤r_k区间施加均布压力p₀＝3.0MPa，在r_k＜r≤r_b区间施加线性非均布压力p＝p₀[1-(r-r_k)/(r_b-r_k)]MPa，仿真得到的阀片径向应力仿真云图，如图7所示。

通过仿真图7可知，通过ANSYS仿真得到的减振器环形阀片在非均布压力下的径向应力为1350MPa，与用该方法计算得到的1353.1777MPa之间的偏差为3.1777MPa，相对偏差仅为0.234％，表明该减振器环形阀片在非均布压力下径向应力的计算方法是正确的，为减振器环形阀片强度校核及拆分设计，提供了精确的环形阀片径向应力计算方法。

实施例二：某减振器阀片的厚度、内圆半径、外圆半径及阀片材料特性与实施例一完全相同，阀口位置半径不同，其中，阀口半径r_k＝7.0mm，在区间r_a≤r≤r_k的均布压力p₀＝3.0MPa，在r_k＜r≤r_b区间分布的压力p＝p₀[1-(r-r_k)/(r_b-r_k)]MPa。

采用实施例一的计算步骤，即：

(1)区间[r_a,r_b]均布压力p₀下的环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr1计算：

由于减振器环形阀片的厚度、内圆半径、外圆半径及阀片材料特性与实施例一完全相同，因此，均布压力下环形阀片的径向应力系数G_σr1与实施例一的相同；

(2)区间[r_k,r_b]线性非均布压力p₀(r-r_k)/(r_b-r_k)下的环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr2计算：

根据减振器环形阀片的内园半径r_a＝5.0mm，外园半径r_b＝8.5mm，阀口位置半径r_k＝7.0mm，泊松比μ＝0.3，计算在线性非均布压力下减振器环形阀片在任意半径r处的径向应力系数G_σr2，即：

$G_{\mathrm{\&sigma;}r2}=\frac{({\mathrm{rK}}_{G22r}+{\mathrm{\&mu;K}}_{G21r})}{2(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)r},r_a\&le;r\&le;r_b;$

式中， $K_{G21r}=\left\{\begin{array}{cc}{b}_1/r+2b_{2}r\ln r+b_{2}r+2b_{3}r& r_a\&le;r\&le;r_k\\ c_1/r+2c_{2}r\ln r+c_{2}r+2c_{3}r+\frac{1}{d_1(r_k-r_b)}(\frac{4r^3{r}_k}{64}-\frac{5r^4}{225})& r_k<r\&le;r_b\end{array}\right.;$

其中，

$\begin{array}{c}{b}_1=\frac{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)r_a^2}{720K}(20r_k^3{r}_b^2\mathrm{\&mu;}-180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_a+9r_k^5\mathrm{\&mu;}+20r_k^3{r}_b^2+45r_b^4{r}_k+16r_6^5\mathrm{\&mu;}-60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_b\\ +60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-45r_b^4{r}_k\mathrm{\&mu;}-120r_b^5{\mathrm{lnr}}_b+60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_a+120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+120r_b^5{\mathrm{lnr}}_a-9r_k^5\\ -60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_b-120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_b-56r_b^5)=-8.35944\&times;{10}^{-10},\end{array}$

$b_2=\frac{(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)(r_k^2+r_k{r}_b-r_b^2)}{2}=-1.638\&times;{10}^{-5},$

$\begin{array}{c}{b}_3=-\frac{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)}{1440K}(-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_a-10r_k^3{r}_b^2\mathrm{\&mu;}-60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_b+60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a\\ +180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_a+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+9r_k^5\mathrm{\&mu;}-10r_k^3{r}_b^2+135r_b^4{r}_k-44r_b^5\mathrm{\&mu;}-60r_a^2{r}_b^3-30r_k^3{r}_a^2+45r_b^4{r}_k\mathrm{\&mu;}\\ -180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-9r_k^5+90r_k{r}_a^2{r}_b^2+60r_a^2{r}_b^3\mathrm{\&mu;}+30r_k^3{r}_a^2\mathrm{\&mu;}-90r_k{r}_a^2{r}_b^2\mathrm{\&mu;}\\ -116r_b^5-120r_b^5{\mathrm{lnr}}_b-60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_b-120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_b-60r_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_a)=-6.188775\&times;{10}^{-15},\end{array},$

$\begin{array}{c}{c}_1=\frac{12r_b^2(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)}{720K}(9r_k^5\mathrm{\&mu;}+9r_k^5+60r_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_a-60r_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_k+20r_k^3{r}_a^2+20r_k^3{r}_a^2\mathrm{\&mu;}-60{\mathrm{\&mu;r}}_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_k\\ +60{\mathrm{\&mu;r}}_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_a+45r_k{r}_a^2{r}_b^2+180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_b-180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_b-180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_a\\ -45r_k{r}_a^2{r}_b^2\mathrm{\&mu;}-56r_a^2{r}_b^3-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_b+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+16r_a^2{r}_b^3\mathrm{\&mu;}+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_a-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_b)\\ =-6.93492\&times;{10}^{-10},\end{array}$

$c_2=-\frac{r_b^2}{(r_k-r_b)}(\frac{r_k}{8}-\frac{r_b}{12})=-8.766\&times;{10}^{-5},$

$\begin{array}{c}{c}_3=-\frac{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)}{1440K}(-44r_b^5\mathrm{\&mu;}-120r_b^5{\mathrm{lnr}}_b+135r_k{r}_b^4-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_a+180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;}}_k{\mathrm{lnr}}_b-60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_k\\ -60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{lnr}}_a+90r_a^2{r}_b^2{r}_k+60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{lnr}}_k-60r_a^2{r}_b^3-20r_a^2{r}_k^3-180r_a^2{r}_b^2{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+60r_a^2{r}_b^3\mathrm{\&mu;}\\ +180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_b+20r_a^2{r}_k^3\mathrm{\&mu;}-116r_b^5+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-90r_a^2{r}_b^2{r}_k\mathrm{\&mu;}-120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_b+180r_a^2{r}_b^2{r}_k{\mathrm{lnr}}_a\\ +60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-9r_k^5+9r_k^5\mathrm{\&mu;}+45r_b^4{r}_k\mathrm{\&mu;})=4.37\&times;{10}^3,\end{array}$

$K=r_b^3+r_k{r}_a^2\mathrm{\&mu;}-r_b{r}_a^2\mathrm{\&mu;}+r_k{r}_a^2+r_b{r}_a^2+r_b^3\mathrm{\&mu;}-r_b^2{r}_k-r_b^2{r}_k\mathrm{\&mu;}=1.671375\&times;{10}^{-7},d_1=\frac{1}{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)}=0.091575;$

计算所得到的减振器环形阀片的径向应力系数G_σr2曲线，如图8所示；

(3)减振器环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr计算

据步骤(1)中的G_σr1及步骤(2)中的G_σr2，通过叠加运算得到在非均布压力下环形阀片在任意半径r处的周向应力系数G_σr＝G_σr1-G_σr2，如图9所示；

其中，环形阀片在内圆半径处的径向应力系数

(4)环形阀片在任意半径r位置的径向应力σ_r及最大径向应力σ_rmax计算

根据环形阀片厚度h＝0.3mm，在区间[r_a,r_k]的均布压力p₀＝3.0MPa，及步骤(3)中的G_σr，对减振器环形阀片在半径r处的径向应力进行计算，计算得到的减振器环形阀片的径向应力σ_r随半径r的变化曲线，如图10所示；

其中，环形阀片在内圆半径r_a处的最大径向应力σ_rmax为

${\mathrm{\&sigma;}}_{rmax}=G_{{\mathrm{\&sigma;r}}_a}\frac{p_0}{h^2}=966.025MPa.$

实施例三：某减振器阀片的厚度、内圆半径、阀口位置半径及阀片材料特性与实施例一完全相同，外圆半径r_b＝8.75mm，在区间r_a≤r≤r_k的均布压力p₀＝3.0MPa，在r_k＜r≤r_b区间的压力p＝p₀[1-(r-r_k)/(r_b-r_k)]MPa。

采用实施例一的计算步骤，即：

(1)区间[r_a,r_b]均布压力p₀下的环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr1计算：

根据减振器环形阀片的内园半径r_a＝5.0mm，外园半径r_b＝8.75mm，泊松比μ＝0.3，计算在均布压力下减振器环形阀片在任意半径r处的径向应力系数G_σr1，即：

$G_{\mathrm{\&sigma;}r1}=\frac{({\mathrm{rK}}_{G12r}+{\mathrm{\&mu;K}}_{G11r})}{2(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)r},r_a\&le;r\&le;r_b;$

式中，K_G11r＝3(1-μ²)(E₁/r+2E₂rlnr+E₂r+2E₃r+4r³)/16，

K_G12r＝3(1-μ²)(-E₁/r²+2E₂lnr+3E₂+2E₃+12r²)/16；

其中， $\begin{array}{cc}{E}_2=-8r_b^2=-6.125\&times;{10}^{-4},& E_3=\frac{(A_1{E}_2{B}_2+A_1{B}_4-B_1{E}_2{A}_2-B_1{A}_4)}{B_1{A}_3-A_1{B}_3}=-0.0025848,\end{array}$

$E_1=-\frac{A_4+E_2{A}_2+E_3{A}_3}{A_1}=-2.02078\&times;{10}^{-8},$

$A_1=\frac{1}{r_a}=200,A_2=2r_a{\mathrm{lnr}}_a+r_a=-0.04798,L=2r_a=0.01,A_4=4r_a^2=5\&times;{10}^{-7},$

$B_1=\frac{(\mathrm{\&mu;}-1)}{r_b^2}=-9.142857\&times;{10}^3,B_2=2(\mathrm{\&mu;}+1){\mathrm{lnr}}_b+\mathrm{\&mu;}+3=-9.020624,$

$B_3=2(\mathrm{\&mu;}+1)=2.6,B_4=4r_b^2(3+\mathrm{\&mu;})=0.001010625;$

计算所得到的在均布压力下的环形阀片径向应力系数G_σr1曲线，如图11所示；

(2)区间[r_k,r_b]线性非均布压力p₀(r-r_k)/(r_b-r_k)下的环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr2计算：

根据减振器环形阀片的内园半径r_a＝5.0mm，外园半径r_b＝8.75mm，阀口半径r_k＝8.0mm，泊松比μ＝0.3，计算在线性非均布压力下减振器环形阀片在任意半径r处的径向应力系数G_σr2，如图12所示；

(3)减振器环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr计算

根据步骤(1)中的G_σr1及步骤(2)中的G_σr2，通过叠加运算得到在非均布压力下环形阀片在任意半径r处的周向应力系数G_σr＝G_σr1-G_σr2，如图13所示；

其中，在内圆半径处的径向应力系数

(4)环形阀片在任意半径r位置的径向应力σ_r及最大径向应力σ_rmax计算

根据环形阀片厚度h＝0.3mm，在区间[r_a,r_k]的均布压力p₀＝3.0MPa，及步骤(3)中的G_σr，对减振器环形阀片在半径r处的径向应力进行计算，计算得到环形阀片径向应力σ_r随半径r的变化曲线，如图14所示；

其中，非均布压力下环形阀片在内圆半径r_a处的最大径向应力σ_rmax为

${\mathrm{\&sigma;}}_{rmax}=G_{{\mathrm{\&sigma;r}}_a}\frac{p_0}{h^2}=1470.7549MPa.$

实施例四：某减振器环形阀片的厚度、内圆半径、外圆半径、阀口位置半径、阀片材料特性及压力分布区间与实施例三完全相同，只是在区间r_a≤r≤r_k的均布压力分别为p₀＝1.0MPa、p₀＝2.0MPa和p₀＝3.0MPa，而在r_k＜r≤r_b区间的压力分别为p＝[1-(r-r_k)/(r_b-r_k)]MPa、p＝2[1-(r-r_k)/(r_b-r_k)]MPa和p＝3[1-(r-r_k)/(r_b-r_k)]MPa。

采用实施例三的计算步骤，即：

由于某减振器环形阀片的厚度、内圆半径、外圆半径、阀口位置半径、阀片材料特性及压力分布区间与实施例三的完全相同，因此，减振器环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr与实施例三的相同，如图13所示；

根据环形阀片厚度h＝0.3mm，及非均布压力下环形阀片在任意半径r处的径向应力系数G_σr，计算得到在区间[r_a,r_k]均布压力分别为p₀＝1.0MPa、p₀＝2.0MPa和p₀＝3.0MPa情况的环形阀片径向应力σ_r随半径r的变化曲线，如图15所示。

Claims (1)

1.减振器环形阀片在非均布压力下径向应力的计算方法，其中，环形阀片的内圆半径r_a，外圆半径r_b，阀口位置半径r_k，在区间[r_a，r_k]的均布压力p₀，区间[r_k，r_b]的压力p＝p₀[1-(r-r_k)/(r_b-r_k)]；环形阀片所受的非均布压力可看作是由区间[r_a，r_b]的均布压力p₀与区间[r_k，r_b]的反向线性非均布压力p₀(r-r_k)/(r_b-r_k)叠加构成的，径向应力的计算步骤如下：

(1)在均布压力p₀下的环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr1计算:

根据减振器环形阀片的内圆半径r_a，外圆半径r_b，泊松比μ，计算在均布压力下减振器环形阀片在任意半径r处的径向应力系数G_σr1，即：

$G_{\mathrm{\&sigma;}r1}=\frac{({\mathrm{rK}}_{G12r}+{\mathrm{\&mu;K}}_{G11r})}{2(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)r},r_a\&le;r\&le;r_b;$

式中，K_G11r和K_G12r是为了方便阀片在均布压力下的径向应力系数G_σr1的表达和计算，根据减振器环形阀片的内圆半径r_a，外圆半径r_b，泊松比μ，所定义的中间参数，即

K_G11r＝3(1-μ²)(E₁/r+2E₂rlnr+E₂r+2E₃r+4r³)/16，r_a≤r≤r_b；

K_G12r＝3(1-μ²)(-E₁/r²+2E₂lnr+3E₂+2E₃+12r²)/16，r_a≤r≤r_b；

其中， $E_2=-8r_b^2,E_3=\frac{(A_1{E}_2{B}_2+A_1{B}_4-B_1{E}_2{A}_2-B_1{A}_4)}{B_1{A}_3-A_1{B}_3},E_1=-\frac{A_4+E_2{A}_2+E_3{A}_3}{A_1},$ A₂＝2r_a lnr_a+r_a，A₃＝2r_a， B₂＝2(μ+1)lnr_b+μ+3，B₃＝2(μ+1)， $B_4=4r_b^2(3+\mathrm{\&mu;});$

(2)反向线性非均布压力p₀(r-r_k)/(r_b-r_k)下的环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr2计算:

根据减振器环形阀片的内圆半径r_a，外圆半径r_b，阀口位置半径r_k，泊松比μ，计算在线性非均布压力下的减振器环形阀片在任意半径r处的径向应力系数G_σr2，即：

$G_{\mathrm{\&sigma;}r2}=\frac{({\mathrm{rK}}_{G22r}+{\mathrm{\&mu;K}}_{G21r})}{2(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)r},r_a\&le;r\&le;r_b;$

式中，K_G21r和K_G22r是为了方便阀片在反向线性非均布压力下的径向应力系数G_σr2的表达和计算，根据减振器环形阀片的内圆半径r_a，外圆半径r_b，阀口位置半径r_k，泊松比μ，所定义的中间参数，即

$K_{G21r}=\left\{\begin{array}{cc}{b}_1/r+2b_{2}r\ln r+b_{2}r+2b_{3}r& r_a\&le;r\&le;r_k\\ c_1/r+2c_{2}r\ln r+c_{2}r+2c_{3}r+\frac{1}{d_1(r_k-r_b)}(\frac{4r^3{r}_k}{64}-\frac{5r^4}{225})& r_k<r\&le;r_b\end{array}\right.;$

$K_{G22r}=\left\{\begin{array}{cc}-b_1/r^2+2b_2\ln r+3b_2+2b_3& r_a\&le;r\&le;r_k\\ -c_1/r^2+2c_2\ln r+3c_2+2c_3+\frac{1}{d_1(r_k-r_b)}(\frac{12r^2{r}_k}{64}-\frac{20r^3}{225})& r_k<r\&le;r_b\end{array}\right.;$

其中，

$\begin{array}{c}{b}_1=\frac{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)r_a^2}{720K}(20r_k^3{r}_b^2\mathrm{\&mu;}-180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_a+9r_k^5\mathrm{\&mu;}+20r_k^3{r}_b^2+45r_b^4{r}_k+16r_b^5\mathrm{\&mu;}-60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_b\\ +60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-45r_b^4{r}_k\mathrm{\&mu;}-120r_b^5{\mathrm{lnr}}_b+60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_a+120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+120r_b^5{\mathrm{lnr}}_a-9r_k^5\\ -60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_b-120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_b-56r_b^5),\end{array}$

$b_2=\frac{(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)(r_k^2+r_k{r}_b-r_b^2)}{2},$

$\begin{array}{c}{b}_3=-\frac{12\left(1-{\mathrm{\&mu;}}^2\right)}{1440K}(-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_a-10r_k^3{r}_b^2\mathrm{\&mu;}-60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_b+60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a\\ +180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_a+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+9r_k^5\mathrm{\&mu;}-10r_k^3{r}_b^2+135r_b^4{r}_k-44r_b^5\mathrm{\&mu;}-60r_a^2{r}_b^3-30r_k^3{r}_a^2+45r_b^4{r}_k\mathrm{\&mu;}\\ -180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-9r_k^5+90r_k{r}_a^2{r}_b^2+60r_a^2{r}_b^3\mathrm{\&mu;}+30r_k^3{r}_a^2\mathrm{\&mu;}-90r_k{r}_a^2{r}_b^2\mathrm{\&mu;}\\ -116r_b^5-120r_b^5{\mathrm{lnr}}_b-60r_k^3{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_k+180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_b-120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_b-60r_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_a),\end{array}$

$\begin{array}{c}{c}_1=\frac{12r_b^2(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)}{720K}(9r_k^5\mathrm{\&mu;}+9r_k^5+60r_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_a-60r_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_k+20r_k^3{r}_a^2+20r_k^3{r}_a^2\mathrm{\&mu;}-60{\mathrm{\&mu;r}}_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_k\\ +60{\mathrm{\&mu;r}}_k^3{r}_a^2{\mathrm{lnr}}_a+45r_k{r}_a^2{r}_b^2+180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_b-180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{\&mu;lnr}}_b-180r_k{r}_a^2{r}_b^2{\mathrm{lnr}}_a\\ -45r_k{r}_a^2{r}_b^2\mathrm{\&mu;}-56r_a^2{r}_b^3-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_b+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+16r_a^2{r}_b^3\mathrm{\&mu;}+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_a-120r_a^2{r}_b^3\mathrm{\&mu;}{\mathrm{lnr}}_b),\end{array}$

$c_2=-\frac{r_b^2}{(r_k-r_b)}(\frac{r_k}{8}-\frac{r_b}{12}),$

$\begin{array}{c}{c}_3=-\frac{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)}{1440K}(-44r_b^5\mathrm{\&mu;}-120r_b^5{\mathrm{lnr}}_b+125r_k{r}_b^4-120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{lnr}}_a+180r_b^4{r}_k{\mathrm{\&mu;}}_k{\mathrm{lnr}}_b-60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_k\\ -60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{lnr}}_a+90r_a^2{r}_b^2{r}_k+60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{lnr}}_k-60r_a^2{r}_b^3-20r_a^2{r}_k^3-180r_a^2{r}_b^2{r}_k{\mathrm{\&mu;lnr}}_a+60r_a^2{r}_b^3\mathrm{\&mu;}\\ +180r_b^4{r}_k{\mathrm{lnr}}_b+20r_a^2{r}_k^3\mathrm{\&mu;}-116r_b^5+120r_a^2{r}_b^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-90r_a^2{r}_b^2{r}_k\mathrm{\&mu;}-120r_b^5{\mathrm{\&mu;lnr}}_b+180r_a^2{r}_b^2{r}_k{\mathrm{lnr}}_a\\ +60r_a^2{r}_k^3{\mathrm{\&mu;lnr}}_a-9r_k^5+9r_k^5\mathrm{\&mu;}+45r_b^4{r}_k\mathrm{\&mu;}),\end{array}$

$K=r_b^3+r_k{r}_a^2\mathrm{\&mu;}-r_b{r}_a^2\mathrm{\&mu;}+r_k{r}_a^2+r_b{r}_a^2+r_b^3\mathrm{\&mu;}-r_b^2{r}_k-r_b^2{r}_k\mathrm{\&mu;},d_1=\frac{1}{12(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)};$

(3)非均布压力下的减振器环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr计算:

根据步骤(1)中的G_σr1和步骤(2)中的G_σr2，通过叠加运算，可计算得到在非均布压力下减振器环形阀片在任意半径r位置的径向应力系数G_σr，即：

$G_{\mathrm{\&sigma;}r}=G_{\mathrm{\&sigma;}r1}-G_{\mathrm{\&sigma;}r2}=\frac{\&lsqb;r(K_{G12r}-K_{G22r})+\mathrm{\&mu;}(K_{G11r}-K_{G21r})\&rsqb;}{2(1-{\mathrm{\&mu;}}^2)r},r_a\&le;r\&le;r_b;$

其中，当半径r等于内圆半径r_a时，G_σr即为减振器环形阀片在内圆半径位置的径向应力系数

(4)非均布压力下减振器环形阀片在任意半径r位置的径向应力σ_r及最大径向应力σ_rmax计算:

根据环形阀片厚度h，在区间[r_a，r_k]的均布压力p₀，及步骤(3)中的G_σr，对非均布压力下减振器环形阀片在半径r处的径向应力σ_r进行计算，即:

${\mathrm{\&sigma;}}_r=G_{\mathrm{\&sigma;}r}\frac{p_0}{h^2};$

其中，当时，所求得的径向应力即为环形阀片在内圆半径处的最大径向应力σ_rmax，即:

${\mathrm{\&sigma;}}_{rmax}=G_{{\mathrm{\&sigma;r}}_a}\frac{p_0}{h^2}.$