CN103106326A - 一种用于核电设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及核电厂概率安全评价技术领域，具体公开了一种用于核电设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法。该方法包括：1、采集设备运行数据，利用矩法估计获得分布参数的初步估计值；2、根据估计值选取分布参数α的一组备选值，并利用似然方程获得分布参数β的一组备选值；3、根据步骤2所获得的分布参数备选值，获取最终的分布参数估计值。该估算方法简便易行、严谨可靠，能够清晰准确地利用核电设备的运行历史数据估算分布参数α和β值；同时，该方法通过控制步长，实现精确度控制，该方法获得的结果优于矩法估计的结果，能够较好地满足工程实际需要。

Description

一种用于核电设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法

技术领域

本发明属于核电厂概率安全评价技术领域，具体涉及一种用于核电设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法。

背景技术

核电设备可靠性Gamma-Poisson模型通常用以描述核电设备的运行失效，例如核电厂的泵在持续运行一段时间内发生故障的次数。在Gamma-Poisson模型中，Gamma(α，β)分布的分布参数α和β值往往很难估算。如果α和β值不够准确或者缺失，则核电厂概率安全评价(PSA)的准确性将受到影响，而且日后无法对特定电厂的设备可靠性参数进行贝叶斯更新。

发明内容

本发明的目的在于提供一种用于核电设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法，可以利用核电设备运行的历史数据，解决计算分布参数困难的问题。

本发明的技术方案如下：一种用于核电设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法，该方法具体包括如下步骤：

步骤1、采集核电设备的运行数据，利用矩法估计获得分布参数的初步估计值；

采集核电设备的运行数据，获取核电设备失效率λ的均值

和方差

利用矩法估计获得分布参数α、β的初步估计值α₀和β₀；

步骤2、根据步骤1获取的分布参数α的估计值α₀，以k为步长，获取分布参数α值的一组备选值α_j(j＝1，2，…)，利用似然方程获取一组与备选值α_j(j＝1，2，…)相对应的分布参数β值的一组备选值β_j(j＝1，2，…)；

步骤3、根据步骤2所获得的分布参数备选值(α_j，β_j)，获取最终的分布参数估计值；

将步骤2中所获得的分布参数备选值(α_j，β_j)代入检验函数f(α，β)中，计算获得使检验函数f(α，β)达到最小值f_m(α，β)时所对应的(α_m，β_m)值，其中，

检验函数f(α，β)为：

$f(\mathrm{\α},\mathrm{\β})=\left|\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{\mathrm{\β}}\right[\frac{(\mathrm{\α}+x_i)t_i}{\mathrm{\β}+t_i}-x_i\left]\right|$

式中，x_i为第i个样本的失效次数；t_i，为第i个样本的运行时间；n为采集样本容量；

检验函数f(α，β)达到最小值f_m(α，β)时所对应的(α_m，β_m)值即为所要获得的分布参数α、β的最终估计值

所述的步骤3中检验函数f(α，β)达到最小值f_m(α，β)时所对应的(α_m，β_m)值中，若α_m等于步骤2中获取一组备选值α_j(j＝1，2，…)范围的边界时，则以步骤1所获得的分布参数的初步估计值α₀和β₀作为分布参数α、β的最终估计值。

所述的步骤3中检验函数f(α，β)达到最小值f_m(α，β)时，如果所对应的(α_m，β_m)值不唯一，则选取α_m与β_m比值最接近于设备失效率的均值

的那个(α_m，β_m)作为最终估计值

所述的步骤2具体包括如下步骤：

步骤2.1、根据步骤1获取的分布参数α的估计值α₀，以k为步长，以1为搜索半径，获取区间[max((α₀-1)，0)，α₀+1]内的分布参数α值的一组备选值α_j(j＝1，2，…)，其中，k值与最终结果小数位数相同，一般取0.1或0.01；

步骤2.2、根据步骤2.1获取的一组备选值α_j(j＝1，2，…)，通过求解似然方程，获取一组与备选值α_j(j＝1，2，…)相对应的分布参数β值的一组备选值β_j(j＝1，2，…)；

对于Gamma-Poisson模型，似然方程为：

$\frac{\∂}{\∂\mathrm{\α}}\ln L(\mathrm{\α},\mathrm{\β})=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}[\mathrm{\Ψ}(\mathrm{\α}+x_i)-\mathrm{\Ψ}\left(\mathrm{\α}\right)-\ln (1+\frac{t_i}{\mathrm{\β}})]=0$

其中，L(α，β)为似然函数；Ψ(·)为Gamma函数的对数导函数；

对于区间[max((α₀-1)，0)，α₀+1]内的一组备选值α_j(j＝1，2，…)，通过上述方程获得每一个与备选值α_j所对应的备选值β_j，从而获得一组满足上述似然方程的分布参数备选值(α_j，β_j)

所述的步骤1中利用矩法估计获得分布参数初步估计值具体为：

采用Gamma-Poisson模型超参数的矩法估计方法估算分布参数的初步估计值α₀和β₀为：

${\mathrm{\α}}_0=\frac{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}^2}{S_{\mathrm{\λ}}^2}$

${\mathrm{\β}}_0=\frac{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}{S_{\mathrm{\λ}}^2}$

其中，为核电设备失效率的均值；

为核电设备失效率的方差。

本发明的显著效果在于：本发明所述的一种用于核电设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法简便易行、严谨可靠，能够清晰准确地利用核电设备的运行历史数据估算分布参数α和β值；同时，该方法通过控制步长，实现精确度控制，该方法获得的结果优于矩法估计的结果，能够较好地满足工程实际需要。

附图说明

图1为本发明所述的一种用于核电设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。

如图1所示，一种用于核电设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法具体包括如下步骤：

步骤1、采集设备的运行数据，利用矩法估计获得分布参数的初步估计值；

采集设备的运行数据，认真考察关注的设备失效模式，然后对数据进行适当筛选和整理。对于比较极端的样本数据，应当单独分析。根据采集的设备运行数据，获取设备失效率λ的均值

和方差采用Gamma-Poisson模型超参数的矩法估计方法得出分布参数的初步估计值α₀和β₀为：

${\mathrm{\α}}_0=\frac{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}^2}{S_{\mathrm{\λ}}^2}---\left(1\right)$

${\mathrm{\β}}_0=\frac{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}{S_{\mathrm{\λ}}^2}---\left(2\right)$

其中，为设备失效率的均值；

为设备失效率的方差。

步骤2、根据步骤1获取的分布参数α的估计值α₀，以k为步长，获取分布参数α值的一组备选值α_j(j＝1，2，…)，利用似然方程获取一组与备选值α_j(j＝1，2，…)相对应的一组分布参数β值的一组备选值β_j(j＝1，2，…)；

步骤2.1、根据步骤1获取的分布参数α的估计值α₀，以k为步长，以1为搜索半径，获取区间[max((α₀-1)，0)，α₀+1]内的分布参数α值的一组备选值α_j(j＝1，2，…)，其中，k值与最终结果小数位数相同，一般取0.1或0.01。

步骤2.2、根据步骤2.1获取的一组备选值α_j(j＝1，2，…)，通过求解似然方程，获取一组与备选值α_j(j＝1，2，…)相对应的分布参数β值的一组备选值β_j(j＝1，2，…)；

对于Gamma-Poisson模型，第一个似然方程为：

$\frac{\∂}{\∂\mathrm{\α}}\ln L(\mathrm{\α},\mathrm{\β})=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}[\mathrm{\Ψ}(\mathrm{\α}+x_i)-\mathrm{\Ψ}\left(\mathrm{\α}\right)-\ln (1+\frac{t_i}{\mathrm{\β}})]=0---\left(3\right)$

其中，L(α，β)为似然函数；Ψ(·)为Gamma函数的对数导函数；x_i为第i个样本的失效次数；t_i，为第i个样本的运行时间；n为采集样本容量。

对于区间[max((α₀-1)，0)，α₀+1]内的一组备选值α_j(j＝1，2，…)，通过求解方程(3)获得每一个与备选值α_j所对应的备选值β_j，从而获得一组满足第一个似然方程(3)的分布参数备选值(α_j，β_j)。

步骤3、根据步骤2所获得的分布参数备选值(α_j，β_j)，获取最终的分布参数估计值；

将步骤2中所获得的分布参数备选值(α_j，β_j)代入第二个似然方程(4)左端形成的检验函数f(α，β)(5)中，计算获得使检验函数f(α，β)达到最小值f_m(α，β)时所对应的(α_m，β_m)值，其中，

$\frac{\∂}{\∂\mathrm{\β}}\ln L(\mathrm{\α},\mathrm{\β})=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{\mathrm{\β}}[\frac{(\mathrm{\α}+x_i)t_i}{\mathrm{\β}+t_i}-x_i]=0---\left(4\right)$

记检验函数f(α，β)为：

$f(\mathrm{\α},\mathrm{\β})=\left|\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{\mathrm{\β}}\right[\frac{(\mathrm{\α}+x_i)t_i}{\mathrm{\β}+t_i}-x_i\left]\right|---\left(5\right)$

若a_m等于区间[max((α₀-1)，0)，α₀+1]的边界值时，即α_m等于max((α₀-1)，0)或α₀+1时，则以步骤1所获得的分布参数的初步估计值α₀和β₀作为分布参数α、β的最终估计值；若α_m不等于区间[max((α₀-1)，0)，α₀+1]的边界值时，判断满足使检验函数f(α，β)达到最小值f_m(α，β)时所对应的(α_m，β_m)值是否唯一，若(α_m，β_m)值唯一，则所获得的(α_m，β_m)值即为所要的分布参数α、β的最终估计值若(α_m，β_m)值不唯一，则选取α_m与β_m比值最接近于设备失效率的均值

的那个(α_m，β_m)作为最终估计值

本发明所述的一种用于设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法的一个具体实施例为：

假设电动泵的运行失效数据如表1所示，

表1核电厂的电动泵运行失效记录

其中，采集样本容量n为7。

根据表1中的运行数据可以获得电动泵失效率λ的均值和方差

为：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}=1.20\×{10}^{-5}$

$S_{\mathrm{\λ}}^2=2.32\×{10}^{-10}$

将电动泵失效率λ的均值和方差

的结果分别代入Gamma-Poisson模型的矩法估计公式(1)和(2)中，获得分布参数α、β的初步估计值α₀和β₀为：

${\mathrm{\α}}_0=\frac{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}^2}{S_{\mathrm{\λ}}^2}=\frac{{(1.20\×{10}^{-5})}^2}{2.32\×{10}^{-10}}=0.62$

${\mathrm{\β}}_0=\frac{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}{S_{\mathrm{\λ}}^2}=\frac{1.20\×{10}^{-5}}{2.32\×{10}^{-10}}=5.18\×{10}^4$

由于0.62小于1，区间[max((α₀-1)，0)，α₀+1]的起点为0；本实施例中，以k＝0.01为步长，选取区间(0，1.62)内的一组备选值α_j(j＝1，2，…)，代入式(3)获得每一个与备选值α_j所对应的备选值β_j。然后将分布参数备选值(α_j，β_j)代入式(4)，获得检验函数f(α，β)(5)达到最小值f_m(α，β)时所对应的α_m和β_m值为：

α_m＝0.78

β_m＝4.99×10⁴

所以，电动泵失效率λ的估计值分别为0.78和4.99×10⁴。由于f(α，β)具有唯一的最小值并且0.78和4.99×10⁴不是边界值，所以这个值就可以作为电动泵的分布参数，用以核电厂的安全分析。

Claims (5)

1.一种用于核电设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法，其特征在于：该方法具体包括如下步骤：

步骤1、采集核电设备的运行数据，利用矩法估计获得分布参数的初步估计值；

采集核电设备的运行数据，获取核电设备失效率λ的均值 

和方差 

利用矩法估计获得分布参数α、β的初步估计值α₀和β₀；

步骤2、根据步骤1获取的分布参数α的估计值α₀，以k为步长，获取分布参数α值的一组备选值α_j(j＝1，2，…)，利用似然方程获取一组与备选值α_j(j＝1，2，…)相对应的分布参数β值的一组备选值β_j(j＝1，2，…)；

步骤3、根据步骤2所获得的分布参数备选值(α_j，β_j)，获取最终的分布参数估计值；

将步骤2中所获得的分布参数备选值(α_j，β_j)代入检验函数f(α，β)中，计算获得使检验函数f(α，β)达到最小值f_m(α，β)时所对应的(α_m，β_m)值，其中，

检验函数f(α，β)为：

式中，x_i为第i个样本的失效次数；t_i，为第i个样本的运行时间；n为采集样本容量；

检验函数f(α，β)达到最小值f_m(α，β)时所对应的(α_m，β_m)值即为所要获得的分布参数α、β的最终估计值 

2.根据权利要求1所述的一种用于核电设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法，其特征在于：所述的步骤3中检验函数f(α，β)达到最小值f_m(α，β)时所对应的(α_m，β_m)值中，若α_m等于步骤2中获取一组备选值α_j(j＝1，2，…)范围的边界，则以步骤1所获得的分布参数的初步估计值α₀和β₀作为分布参数α、β的最终估计值。

3.根据权利要求2所述的一种用于核电设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法，其特征在于：所述的步骤3中检验函数f(α，β)达到最小值 f_m(α，β)时所对应的(α_m，β_m)值不唯一，则选取α_m与β_m比值最接近于设备失效率的均值 

的那个(α_m，β_m)作为最终估计值 

4.根据权利要求1所述的一种用于核电设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法，其特征在于：所述的步骤2具体包括如下步骤：

步骤2.1、根据步骤1获取的分布参数α的估计值α₀，以k为步长，以1为搜索半径，获取区间[max((α₀-1)，0)，α₀+1]内的分布参数α值的一组备选值α_j(j＝1，2，…)，其中，k值与最终结果小数位数相同，一般取0.1或0.01；

步骤2.2、根据步骤2.1获取的一组备选值α_j(j＝1，2，…)，通过求解似然方程，获取一组与备选值α_j(j＝1，2，…)相对应的分布参数β值的一组备选值β_j(j＝1，2，…)；

对于Gamma-Poisson模型，似然方程为：

其中，L(α，β)为似然函数；Ψ(·)为Gamma函数的对数导函数；

对于区间[max((α₀-1)，0)，α₀+1]内的一组备选值α_j，通过上述方程获得每一个与备选值α_j所对应的备选值β_j，从而获得一组满足上述似然方程的分布参数备选值(α_j，β_j)。

5.根据权利要求1所述的一种用于核电设备可靠性Gamma-Poisson模型分布参数的估算方法，其特征在于：所述的步骤1中利用矩法估计获得分布参数的初步估计值具体为：

采用Gamma-Poisson模型超参数的矩法估计方法估算分布参数的初步估计值α₀和β₀为：

其中， 为核电设备失效率的均值； 

为核电设备失效率的方差。 

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