CN103049645B - 一种煤层底板突水危险性评价方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种煤层底板突水危险性评价方法，评价步骤分为：I、建立各影响因素的模糊隶属函数；II、应用逐步判别法对影响因素的影响能力进行区分；III、根据步骤筛II选出的煤层底板突水影响因素，基于再生核理论及判别分析理论，建立基于非线性判别分析模型的煤层底板突水危险性评价方法；IV、根据所建立的模型，结合直观判别法对有底板突水危险性的工作面进行突水危险性评价。本发明可以对影响煤层底板突水因素的影响能力进行了客观的分析，有效地筛选出影响显著的影响因素，降低了影响能力不强的因素对评价结果的干扰，在已有突水样本数据的基础上，建立非线性判别分析模型，由于采用非线性的方法，较以往方法更加科学、实用。

Description

一种煤层底板突水危险性评价方法

技术领域

本发明涉及一种评价方法，尤其涉及一种煤层底板突水危险性评价方法。

背景技术

煤炭是我国重要的基础能源，我国煤炭资源十分丰富，其用途非常广泛，对我国的国民经济发展具有重要意义。2011年在中国的一次能源消费结构中，煤炭所占的比重超过70％，可见煤炭在一次能源生产和消费中一家独大的格局仍未被撼动。在煤炭消费上，电力、钢铁、建材和化工行业耗煤占到煤炭消费量的80％以上。

然而，随着煤炭产量的不断提高，越来越多的安全问题也纷至沓来。2011年全国煤炭百万吨死亡率为0.564，同比下降1/4，死亡人数首次降至2000人以内。这一数字已经达到或接近中等发达国家水平。但是，煤矿生产安全问题仍然不容忽视。据国家煤矿安全监察局资料统计显示，2000年到2011年的12年间发生矿井突水事故1054起，死亡人数达4265人。可见，进行煤层底板突水危险性评价方法研究对于解放我国受水威胁的煤炭资源，保护人员生命安全具有十分重要的意义。

多年来，诸多学者对煤层底板突水危险性评价进行了大量研究。在我国，突水系数法自上世界60年一直沿用至今，但该方法仅考虑了水压及隔水层厚度，而忽略了其它影响因素的作用。近一二十年来，学者们将模糊数学、层次分析法、神经网络、地理信息系统技术、支持向量机等方法引入煤层底板突水预测及危险性评价上，取得了很多成果。然而，这些方法虽然考虑了各因素在底板突水中的影响方式与特征，但在对底板突水影响程度上具有一定的主观性和随意性，其计算分析仍然不够客观，且没有考虑到各影响因素对于评价体系的作用与影响。

影响煤层底板突水的因素很多，但这些因素在突水过程中所起的作用是不同的，有的影响能力可能很强，有的则可能很微弱。如果不加区别地把所有因素全部用来建立评价体系，不仅会增加计算量及计算难度，还可能因影响因素间的相关性导致计算精度的降低。另一方面，评价体系中引入一些影响能力不强的因素时，会对评价效果产生干扰，致使建立的评价模型不稳健。因此，如何选择影响因素成为一个尤为重要的问题。同时，底板突水又是一个非线性问题，因而需要运用非线性方法来解决。因此急需一种更加科学的煤层底板突水危险性评价方法

发明内容

为了解决上述问题中的不足之处，本发明提供了一种煤层底板突水危险性评价方法。

本发明采用的技术方案为：一种煤层底板突水危险性评价方法，评价步骤如下：

I、建立各影响因素的模糊隶属函数：

根据“下三带”理论，初步确定煤层底板突水的影响因素，通过对突水样本数据的采集与分析，建立能够客观反映各因素对底板突水影响程度的模糊隶属函数；

II、应用逐步判别法对影响因素的影响能力进行区分：

影响煤层底板突水的因素众多，而各因素的影响能力又各不相同，为避免影响能力较弱的因素对评价结果的不利影响，需对影响因素的影响能力加以区分；根据多元方差分析原理，定义Λ为威尔克斯统计量，有

$\mathrm{\Λ}=\frac{\left|A\right|}{\left|T\right|}---\left(1\right)$

(1)式中，A为样本点的组内离差平方和；T为样本点的总离差平方和；当分析某一因素是否有显著的影响能力时，需按以下步骤来进行：

a、设有n个突水样本，突水危险性分为k类，分别记为：G₁，G₂，G₃，…，G_k，评价函数中已有q个因素，记为X^*，这时考虑是否需要增加变量，此时可计算偏威尔克斯统计量

Λ(X_j|X^*)＝Λ(X^*，X_j)/Λ(X^*)(2)

(2)式中，X_j表示待增加变量，Λ(X_j|X^*)为X_j偏威尔克斯统计量，Λ(X^*，X_j)表示X^*与X_j的威尔克斯统计量，Λ(X^*)为X^*的威尔克斯统计量；可以证明统计量：

$F=\frac{n-k-q}{k-1}\·\frac{1-\mathrm{\Λ}\left(X_j\right|X^{*})}{\mathrm{\Λ}\left(X_j\right|X^{*})}~F_{\mathrm{\α}}(k-1,n-k-q)---\left(3\right)$

记F_进＝F_α(k-1，n-k-q)，若F≥F_进，则表明因素X_j影响能力显著，在评价函数中应增加因素X_j；

F表示统计学中的统计量；F_进为F_α(k-1，n-k-q)统计量值；F_α(k-1，n-k-q)表示当显著性水平为α时的统计量值；

b、对于评价函数中已存在的q个因素中，若有影响能力不显著的因素存在，应将其从评价函数中予以剔除；记剔除掉X_k的因素组为X^*(k)，则有：

$F=\frac{n-k-q+1}{k-1}\·\frac{1-\mathrm{\Λ}\left(X_k\right|X^{*}\left(k\right))}{\mathrm{\Λ}\left(X_k\right|X^{*}\left(k\right))}~F_{\mathrm{\α}}(k-1,n-k-q)---\left(4\right)$

此时，如果有F＜F_进，则表明因素X_k的影响能力不显著，需要将X_k从X^*中剔除；X_k表示第k个影响因素集合；

c、重复上述因素引入和剔除的过程，直至既不能引入新因素，又不能剔除已选进评价函数中的因素，此时使用已选中的影响因素来建立评价函数；

III、根据步骤II筛选出的煤层底板突水影响因素，基于再生核理论及判别分析理论，建立基于非线性判别分析模型的煤层底板突水危险性评价方法：

设步骤II中筛选出m个影响因素，为评价新样本X＝(x₁，x₂，…，x_m)^T的突水危险性，建立评价函数：

y(x)＝C₁x₁+C₂x₂+…+C_mx_m＝C^TX(5)

式中，C＝(C₁，C₂，…，C_m)^T，X＝(x₁，x₂，…，x_m)^T，则

${\stackrel{\‾}{y}}^{\left(i\right)}=C^T{u}^{\left(i\right)},{\mathrm{\σ}}_i^2=C^T{\mathrm{\Σ}}^{\left(i\right)}C---\left(6\right)$

其中，X为影响因素集合；其中上标T是数学中的转置符号，是一种通用符号；为第i类重心；u⁽ⁱ⁾为样本均值向量；为样本方差；∑⁽ⁱ⁾为样本协方差阵；y为上述建立的评价函数；x为上述的影响因素；C为常数项，数学中用C来表示常数，由于上述m个影响因素，因而有m个对应的常数，即C_m；C^T为C的转置；

设μ为总的均值向量，则

根据再生核理论，设一个非线性映射Φ把原空间Ψ中的数据映射到特征空间H，在这个特征空间H中，求得Fisher线性判别函数，使离差比达到最大值；这样就隐含地实现了对原输入空间的非线性判别；n_i为第i类中有的样本数量；为第i类重心，为总重心；为方差；

将 ${\stackrel{\‾}{y}}^{\left(i\right)}=C^T{u}^{\left(i\right)},{\mathrm{\σ}}_i^2=C^T{\mathrm{\Σ}}^{\left(i\right)}C,\stackrel{\‾}{y}=C^T$ μ代入λ，得

$\mathrm{\λ}=\frac{C^T\mathrm{BC}}{C^T\mathrm{AC}}---\left(7\right)$

式中，C∈H，

$B=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i(X_i-\stackrel{\‾}{X}){(X_i-\stackrel{\‾}{X})}^T---\left(8\right)$

称为组间离差平方和；

$A=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n_1}{\mathrm{\Σ}}}(X_j^{\left(i\right)}-\stackrel{\‾}{X_i}){(X_j^{\left(i\right)}-\stackrel{\‾}{X_i})}^T---\left(9\right)$

称为组内离差平方和；

其中表示第i类中第j个样本；分别为第i类重心及总样本重心；n_i为第i类中有的样本数量；

使离差比λ达到最大值的最优解问题可以转化为A^-1B的特征分解问题，当A为奇异矩阵时，需作正则化处理，即A＝A+μE，其中，μ为总的均值向量，E为单位矩阵；

设A^-1B的全部非零特征值依次为λ₁≥λ₂≥…≥λ_s＞0，其中，非零特征值的个数s≤min{k-1，m}，于是可构造s个评价函数：

$y_l\left(x\right)=C^{{\left(l\right)}^T}X,l=1,2,...,s---\left(10\right)$

C^(l)为第l个评价函数的系数，当r≤s时，将前r个评价函数的累积判别能力定义为

$\mathrm{sp}=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i/\underset{i=1}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i---\left(11\right)$

若前r个评价函数的判别能力较高，达到85％，则可采用这r个评价函数进行评价；

对所建模型进行检验，以考察其可靠性与准确性；将突水危险等级两两配对，利用统计量F逐对进行检验，以查明各对的判别效果；再将突水训练样本数据代入评价方程作逐一回代评价，并与实际情况相比较，来验证模型的准确性；

IV、根据所建立的模型，结合直观判别法对有底板突水危险性的工作面进行突水危险性评价；将待评价突水样本X的相关数据代入评价函数，根据直观判别法，当样本重心与底板突水危险性类别G_i重心的距离满足判别准则

$D_r^2=\underset{l\≤i\≤k}{\min }{D}_i^2---\left(12\right)$

时，X∈G_r；

其中，样本重心与底板突水危险性类别G_i重心的距离为为最小距离；G_r为突水危险性类别为第r类；

根据某矿的实际发生过的突水案例，通过收集、分析相关突水数据，建立了非线性判别分析模型，对其它有突水危险的工作面进行底板突水危险性评价。

本发明提供的煤层底板突水危险性评价方法，对影响煤层底板突水因素的影响能力进行了客观的分析，有效地筛选出影响显著的影响因素，降低了影响能力不强的因素对评价结果的干扰。根据筛选出的因素，将再生核理论与判别分析法结合，在已有突水样本数据的基础上，建立非线性判别分析模型。由于该模型有选择地引入影响因素，影响能力不显著的因素已被剔除，加之采用非线性的方法，因而较以往模型更加稳健，更加科学、实用。

附图说明

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。

图1为本发明的评价步骤流程图。

“下三带”理论：对承压水体上采煤底板岩层突水机理研究表明，在煤层开采过程中，煤层底板岩层由上到下形成底板导水破坏带、有效隔水层保护带和承压水导升带，称为“下三带”。

具体实施方式

如图1所示，具体实施方式包括以下步骤：

1.建立各影响因素的模糊隶属函数：

根据“下三带”理论，初步确定煤层底板突水的影响因素，通过对突水样本数据的采集与分析，建立能够客观反映各因素对底板突水影响程度的模糊隶属函数；

2.应用逐步判别法对影响因素的影响能力进行区分：

影响煤层底板突水的因素众多，而各因素的影响能力又各不相同，为避免影响能力较弱的因素对评价结果的不利影响，需对影响因素的影响能力加以区分；根据多元方差分析原理，定义Λ为威尔克斯统计量，有

$\mathrm{\Λ}=\frac{\left|A\right|}{\left|T\right|}---\left(1\right)$

(1)式中，A为样本点的组内离差平方和；T为样本点的总离差平方和。当分析某一因素是否有显著的影响能力时，需按以下步骤来进行：

a、设有n个突水样本，突水危险性分为k类，分别记为：G₁，G₂，G₃，…，G_k，评价函数中已有q个因素，记为X^*，这时考虑是否需要增加变量，此时可计算偏威尔克斯统计量

Λ(X_j|X^*)＝Λ(X^*，X_j)/Λ(X^*)(2)

(2)式中，X_j表示待增加变量，Λ(X_j|X^*)为X_j偏威尔克斯统计量，Λ(X^*，X_j)表示X^*与X_j的威尔克斯统计量，Λ(X^*)为X^*的威尔克斯统计量。可以证明统计量：

$F=\frac{n-k-q}{k-1}\·\frac{1-\mathrm{\Λ}\left(X_j\right|X^{*})}{\mathrm{\Λ}\left(X_j\right|X^{*})}~F_{\mathrm{\α}}(k-1,n-k-q)---\left(3\right)$

记F_进＝F_α(k-1，n-k-q)，若F≥F_进，则表明因素X_j影响能力显著，在评价函数中应增加因素X_j。

F表示统计学中的统计量；F_进为F_α(k-1，n-k-q)统计量值；F_α(k-1，n-k-q)中的α表示显著性水平，F_α(k-1，n-k-q)表示当显著性水平为α时的统计量值；n、k、q分别表示n个突水样本，突水危险性分为k类，评价函数中已有q个因素。

b、对于评价函数中已存在的q个因素中，若有影响能力不显著的因素存在，应将其从评价函数中予以剔除。记剔除掉X_k的因素组为X^*(k)，则有

$F=\frac{n-k-q+1}{k-1}\·\frac{1-\mathrm{\Λ}\left(X_k\right|X^{*}\left(k\right))}{\mathrm{\Λ}\left(X_k\right|X^{*}\left(k\right))}~F_{\mathrm{\α}}(k-1,n-k-q)---\left(4\right)$

此时，如果有F＜F_进，则表明因素X_k的影响能力不显著，需要将X_k从X^*中剔除。X_k表示第k个影响因素集合。

c、重复上述因素引入和剔除的过程，直至既不能引入新因素，又不能剔除已选进评价函数中的因素，此时使用已选中的影响因素来建立评价函数。

3.根据步骤II筛选出的煤层底板突水影响因素，基于再生核理论及判别分析理论，建立基于非线性判别分析模型的煤层底板突水危险性评价方法：

设步骤II中筛选出m个影响因素，为评价新样本X＝(x₁，x₂，…，x_m)^T的突水危险性，建立评价函数：

y(x)＝C₁x₁+C₂x₂+…+C_mx_m＝C^TX(5)

式中，C＝(C₁，C₂，…，C_m)^T，X＝(x₁，x₂，…，x_m)^T，则

${\stackrel{\‾}{y}}^{\left(i\right)}=C^T{u}^{\left(i\right)},{\mathrm{\σ}}_i^2=C^T{\mathrm{\Σ}}^{\left(i\right)}C---\left(6\right)$

其中，X为影响因素集合；其中上标T是数学中的转置符号，是一种通用符号；为第i类重心；u⁽ⁱ⁾为样本均值向量；为样本方差；∑⁽ⁱ⁾为样本协方差阵；y为上述建立的评价函数；x为上述的影响因素；C为常数项，数学中用C来表示常数，由于上述m个影响因素，因而有m个对应的常数，即C_m。C^T为C的转置。

设μ为总的均值向量，则

根据再生核理论，设一个非线性映射Φ把原空间Ψ中的数据映射到特征空间H，在这个特征空间H中，求得Fisher线性判别函数(Fisher：线性判别函数”，一种线性判别函数的固定称谓)，使离差比达到最大值。这样就隐含地实现了对原输入空间的非线性判别。n_i为第i类中有的样本数量；为第i类重心，为总重心；为方差。

将 ${\stackrel{\‾}{y}}^{\left(i\right)}=C^T{u}^{\left(i\right)},{\mathrm{\σ}}_i^2=C^T{\mathrm{\Σ}}^{\left(i\right)}C,\stackrel{\‾}{y}=C^T$ μ代入λ，得

$\mathrm{\λ}=\frac{C^T\mathrm{BC}}{C^T\mathrm{AC}}---\left(7\right)$

式中，C∈H，x⁽ⁱ⁾表示第i类样本

$B=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i(X_i-\stackrel{\‾}{X}){(X_i-\stackrel{\‾}{X})}^T---\left(8\right)$

称为组间离差平方和；

$A=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n_1}{\mathrm{\Σ}}}(X_j^{\left(i\right)}-\stackrel{\‾}{X_i}){(X_j^{\left(i\right)}-\stackrel{\‾}{X_i})}^T---\left(9\right)$

称为组内离差平方和。

其中B为所组间离差平方和；表示第i类中第j个样本；分别为第i类重心及总样本重心；n_i为第i类中有的样本数量。是数学中二重求和符号，就像加减号一样，是通用符号。

使离差比入达到最大值的最优解问题可以转化为A^-1B的特征分解问题，当A为奇异矩阵时，需作正则化处理，即A＝A+μE，其中，μ为总的均值向量，E为单位矩阵。

设A^-1B的全部非零特征值依次为λ₁≥λ₂≥…≥λ_s＞0，其中，非零特征值的个数s≤min{k-1，m}，于是可构造s个评价函数：

$y_l\left(x\right)=C^{{\left(l\right)}^T}X,l=1,2,...,s---\left(10\right)$

C^(l)为第l个评价函数的系数，当r≤s时，将前r个评价函数的累积判别能力定义为

$\mathrm{sp}=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i/\underset{i=1}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i---\left(11\right)$

若前r个评价函数的判别能力较高(达到85％)，则可采用这r个评价函数进行评价。

上式10中，X为影响因素集。上式11中sp即为所述的累积判别能力。是数学中求和的通用符号。

对所建模型进行检验，以考察其可靠性与准确性。将突水危险等级两两配对，利用统计量F逐对进行检验，以查明各对的判别效果。再将突水训练样本数据代入评价方程作逐一回代评价，并与实际情况相比较，来验证模型的准确性。

4.根据所建立的模型，结合直观判别法对有底板突水危险性的工作面进行突水危险性评价。将待评价突水样本X的相关数据代入评价函数，根据直观判别法，当样本重心与底板突水危险性类别G_i重心的距离满足判别准则

$D_r^2=\underset{l\≤i\≤k}{\min }{D}_i^2---\left(12\right)$

时，X∈G_r。

其中，样本重心与底板突水危险性类别G_i重心的距离为为最小距离；G_r为突水危险性类别为第r类。

根据某矿的实际发生过的突水案例，通过收集、分析相关突水数据，建立了非线性判别分析模型，对其它有突水危险的工作面进行底板突水危险性评价。事实证明，该方法的评价结果与实际情况相符，说明该方法具有较高的准确性和良好的实用性。

本文中所提到的模型(非线性判别分析模型)不是实物，是虚拟的，所述模型是指一种方法。

Claims (1)

1.一种煤层底板突水危险性评价方法，其特征在于：评价步骤如下：

I、建立各影响因素的模糊隶属函数：

根据“下三带”理论，初步确定煤层底板突水的影响因素，通过对突水样本数据的采集与分析，建立能够客观反映各因素对底板突水影响程度的模糊隶属函数；

II、应用逐步判别法对影响因素的影响能力进行区分：

影响煤层底板突水的因素众多，而各因素的影响能力又各不相同，为避免影响能力较弱的因素对评价结果的不利影响，需对影响因素的影响能力加以区分；根据多元方差分析原理，定义Λ为威尔克斯统计量，有

$\mathrm{\Λ}=\frac{\left|A\right|}{\left|T\right|}---\left(1\right)$

(1)式中，A为样本点的组内离差平方和；T为样本点的总离差平方和；当分析某一因素是否有显著的影响能力时，需按以下步骤来进行：

a、设有n个突水样本，突水危险性分为k类，分别记为：G₁，G₂，G₃，…，G_k，评价函数中已有q个因素，记为X^*，这时考虑是否需要增加变量，此时可计算偏威尔克斯统计量

Λ(X_j|X^*)＝Λ(X^*，X_j)/Λ(X^*)(2)

(2)式中，X_j表示待增加变量，Λ(X_j|X^*)为X_j偏威尔克斯统计量，Λ(X^*，X_j)表示X^*与X_j的威尔克斯统计量，Λ(X^*)为X^*的威尔克斯统计量；可以证明统计量：

$F=\frac{n-k-q}{k-1}\·\frac{1-\mathrm{\Λ}\left(X_j\right|X^{*})}{\mathrm{\Λ}\left(X_j\right|X^{*})}~F_{\mathrm{\α}}(k-1,n-k-q)---\left(3\right)$

记F_进＝F_α(k-1，n-k-q)，若F≥F_进，则表明因素X_j影响能力显著，在评价函数中应增加因素X_j；

F表示统计学中的统计量；F_进为F_α(k-1，n-kq)统计量值；F_α(k-1，n-k-q)表示当显著性水平为α时的统计量值；

b、对于评价函数中已存在的q个因素中，若有影响能力不显著的因素存在，应将其从评价函数中予以剔除；记剔除掉X_k的因素组为X^*(k)，则有： $F=\frac{n-k-q+1}{k-1}\·\frac{1-\mathrm{\Λ}\left(X_k\right|X^{*}\left(k\right))}{\mathrm{\Λ}\left(X_k\right|X^{*}\left(k\right))}~F_{\mathrm{\α}}(k-1,n-k-q)---\left(4\right)$

此时，如果有F＜F_进，则表明因素X_k的影响能力不显著，需要将X_k从X^*中剔除；X_k表示第k个影响因素集合；

c、重复上述因素引入和剔除的过程，直至既不能引入新因素，又不能剔除已选进评价函数中的因素，此时使用已选中的影响因素来建立评价函数；

III、根据步骤II筛选出的煤层底板突水影响因素，基于再生核理论及判别分析理论，建立基于非线性判别分析模型的煤层底板突水危险性评价方法：

设步骤II中筛选出m个影响因素，为评价新样本X＝(x₁，x₂，…，x_m)^T的突水危险性，建立评价函数：

y(x)＝C₁x₁+C₂x₂+…+C_mx_m＝C^TX(5)

式中，C＝(C₁，C₂，…，C_m)^T，X＝(x₁，x₂，…，x_m)^T，则

${\stackrel{\‾}{y}}^{\left(i\right)}=C^T{u}^{\left(i\right)},{\mathrm{\σ}}_i^2=C^T{\mathrm{\Σ}}^{\left(i\right)}C---\left(6\right)$

其中，X为影响因素集合；其中上标T是数学中的转置符号，是一种通用符号；为第i类重心；u⁽ⁱ⁾为样本均值向量；为样本方差；Σ⁽ⁱ⁾为样本协方差阵；y为上述建立的评价函数；x为上述的影响因素；C为常数项，数学中用C来表示常数，由于上述m个影响因素，因而有m个对应的常数，即C_m；C^T为C的转置；

设μ为总的均值向量，则

根据再生核理论，设一个非线性映射Ф把原空间Ψ中的数据映射到特征空间H，在这个特征空间H中，求得Fisher线性判别函数，使离差比达到最大值；这样就隐含地实现了对原输入空间的非线性判别；n_i为第i类中有的样本数量；为第i类重心，为总重心；为方差；

将 ${\stackrel{\‾}{y}}^{\left(i\right)}=C^T{u}^{\left(i\right)},{\mathrm{\σ}}_i^2=C^T{\mathrm{\Σ}}^{\left(i\right)}C,\stackrel{\‾}{y}=C^T\mathrm{\μ}$ 代入λ，得

$\mathrm{\λ}=\frac{C^T\mathrm{BC}}{C^T\mathrm{AC}}---\left(7\right)$

式中，C∈H，

$B=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i(X_i-\stackrel{\‾}{X}){(X_i-\stackrel{\‾}{X})}^T---\left(8\right)$

称为组间离差平方和；

$A=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n_1}{\mathrm{\Σ}}}(X_j^{\left(i\right)}-\stackrel{\‾}{X_i}){(X_j^{\left(i\right)}-\stackrel{\‾}{X_i})}^T---\left(9\right)$

称为组内离差平方和；

其中表示第i类中第j个样本；分别为第i类重心及总样本重心；n_i为第i类中有的样本数量；

使离差比λ达到最大值的最优解问题可以转化为A^-1B的特征分解问题，当A为奇异矩阵时，需作正则化处理，即A＝A+μE，其中，μ为总的均值向量，E为单位矩阵；

设A^-1B的全部非零特征值依次为λ₁≥λ₂≥…≥λ_s＞0，其中，非零特征值的个数s≤min{k-1，m}，于是可构造s个评价函数：

$y_l\left(x\right)=C^{{\left(l\right)}^T}X,l=\mathrm{1,2},...,s---\left(10\right)$

C^(l)为第l个评价函数的系数，当r≤s时，将前r个评价函数的累积判别能力定义为

$\mathrm{sp}=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i/\underset{i=1}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i---\left(11\right)$

若前r个评价函数的判别能力较高，达到85％，则可采用这r个评价函数进行评价；

对所建模型进行检验，以考察其可靠性与准确性；将突水危险等级两两配对，利用统计量F逐对进行检验，以查明各对的判别效果；再将突水训练样本数据代入评价方程作逐一回代评价，并与实际情况相比较，来验证模型的准确性；

IV、根据所建立的模型，结合直观判别法对有底板突水危险性的工作面进行突水危险性评价；将待评价突水样本X的相关数据代入评价函数，根据直观判别法，当样本重心与底板突水危险性类别G_i重心的距离满足判别准则

$D_r^2=\underset{l\≤i\≤k}{\min }{D}_i^2---\left(12\right)$

时，X∈G_r；

其中，样本重心与底板突水危险性类别G_i重心的距离为为最小距离；G_r为突水危险性类别为第r类；

根据某矿的实际发生过的突水案例，通过收集、分析相关突水数据，建立了非线性判别分析模型，对其它有突水危险的工作面进行底板突水危险性评价。