CN102768474A - 基于二阶像差模型的投影物镜波像差检测方法 - Google Patents

Abstract

一种基于二阶像差模型的投影物镜波像差检测方法，该方法利用主成分分析和多元线性回归分析的方法，建立了空间像光强分布与泽尼克系数之间的二阶关系模型，并利用非线性最小二乘法，优化算得表征投影物镜成像质量的波像差值。与基于空间像主成分分析的线性关系模型（AMAI-PCA）相比，本发明拓展了测量像差的幅值范围，当波像差幅值相等时，本发明拥有更高的测量精度。

Description

基于二阶像差模型的投影物镜波像差检测方法

技术领域

本发明涉及光刻机，尤其是一种基于二阶像差模型的光刻机投影物镜波像差检测方法。

背景技术

光刻机是制造极大规模集成电路最重要的设备。光刻机的投影物镜是光刻机最重要的系统之一，它的性能直接决定光刻机的成像质量。当投影物镜有波像差存在时，将造成光刻成像质量的恶化和工艺窗口的减小，特别是随着光刻的特征尺寸不断减小，投影物镜波像差对光刻成像质量的影响越来越突出。国际上，通常使用一组正交的37阶泽尼克多项式表征波像差，这37阶泽尼克多项式可以按奇偶分为两类。其中，以Z₇、Z₁₄为代表的奇像差会引起空间像的成像位置偏移，并导致空间像对称位置的特征尺寸CD（Critical Dimensions）不对称等形状改变；以Z₅、Z₉为代表的偶像差则会引起空间像的焦面偏移，并导致空间像离轴位置的CD不均衡等形状改变。所以，研发快速，高精度的投影物镜波像差检测技术具有重要的意义。

基于空间像主成分分析的波像差检测技术是一种新近提出的投影物镜波像差现场检测技术。该技术具有检测速度快，求解精度高的特点(参见在先技术，LifengDuan,Xiangzhao Wang,Anatoly Bourov,Bo Peng and Peng Bu,“In situ aberrationmeasurement technique based on principal component analysis of aerial image,”OpticsExpress.Vol.19,No.19,18080-18090(2011))。在先技术是一种基于物理仿真和统计分析的波像差检测技术。它利用物理仿真产生大量训练用空间像，然后对训练空间像进行主成分分析，并建立主成分系数与泽尼克系数之间的回归分析矩阵，从而实现空间像与泽尼克系数之间的线性关系模型，测量时，使用建立好的模型对实测空间像进行拟合即可提取出投影物镜的波像差。

理论上，在先技术可以建立空间像与Z₅～Z₃₇共33阶泽尼克系数之间的线性关系。但在实际中，由于像差之间的相关性，建立33阶模型会将线性模型的线性工作区间压缩得非常小。使用线性模型对大范围的波像差进行测量时，测量精度很低。所以，建立空间像与泽尼克系数之间的二阶关系模型对于提高测量精度和拓展测量像差的幅值范围都具有重要意义。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于二阶像差模型的光刻机投影物镜波像差检测方法，具体地说就是通过建立空间像光强分布与泽尼克系数之间的二阶关系测量波像差，并拓展泽尼克系数的测量范围，提高泽尼克系数的测量精度。

本发明的技术解决方案如下：

一种基于二阶像差模型的光刻机投影物镜波像差检测方法，该方法利用的系统包括：产生照明光束的照明光源；能调整照明光源发出光束的束腰尺寸，光强分布，部分相干因子和照明方式的照明系统；能承载测试掩模并拥有精确步进和定位能力的掩模台；能将测试掩模上的检测标记按照一定比例缩放成像的投影物镜；能精确步进和定位的工件台；安装在工件台上的用于采集检测标记所成空间像的图像传感装置；与所述图像传感装置相连的用于光刻机控制，数据采集和处理的计算机；其特征在于该方法所述的检测标记是孤立线、孤立空、或中线宽于边线的3线或5线，并包含0°，90°两个方向；该方法包括如下步骤：

①建立仿真空间像训练库SAIB：

首先，按照Box_Behnken design的采样方式，以下简称BBdesign，要求每个设计变量只有0，±1三种可能取值，每个采样组合，只有两个设计变量不为0，设计泽尼克系数训练库ZB：ZB=A·BBdesign(ZN),ZN=3,4,…,33，其中，A是泽尼克系数的变化范围，在0至0.2范围内取值，单位是λ，λ表示照明光源的波长；ZN表示泽尼克系数训练库模型选用的泽尼克系数的个数，因为BBdesign理论上可以设计变量个数要求大于等于3，而本方法可以求解Z₅至Z₃₇共33项泽尼克系数，所以ZN的取值是3到33的整数；所述的ZB是一个N行ZN列的矩阵，N是一个与ZN相关的量，ZB的每一行表示一组训练用的泽尼克系数；

然后，将ZB逐行输入光刻仿真软件PROLITH的光瞳函数中，再设定PROLITH的各项参数，包括照明光源的波长、照明方式及部分相干因子、投影物镜的数值孔径、空间像的采样范围、采样点数；将0°检测标记仿真成像在F-X平面，得到空间像

其中，上标0表示0°方向检测标记，下标j表示ZB的第j行，也即第j幅空间像，同法，将90°方向检测标记仿真成像在F-Y平面，得到空间像最后，将所有空间像按照下式排列组和成仿真空间像训练库SAIB：

$\mathrm{SAIB}=\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{ai}}_1^0& {\mathrm{ai}}_2^0& \·\·\·& {\mathrm{ai}}_j^0& \·\·\·& {\mathrm{ai}}_N^0\\ {\mathrm{ai}}_1^{90}& {\mathrm{ai}}_2^{90}& \·\·\·& {\mathrm{ai}}_j^{90}& \·\·\·& {\mathrm{ai}}_N^{90}\end{array}\right];$

②建立仿真空间像训练库SAIB与二阶泽尼克系数训练库QZB之间的线性关系模型，也就是仿真空间像训练库SAIB与泽尼克系数训练库ZB之间的二阶关系模型：

该模型包含主成分矩阵PCM和二阶泽尼克回归矩阵QZRM；

首先，根据主成分分析方法的原理，，将空间像这种多像素点的变量集合转化为一组正交矢量来表示，以下简称princomp，对仿真空间像训练库SAIB进行主成分分析：[PCC，PCM]=princomp(SAIB)，得到SAIB的主成分系数PCC和主成分矩阵PCM，它们之间的关系是：SAIB=PCM·PCC；

其中，PCCM是由N个主成分pc_j按照下式组成的矩阵，pc_j是列向量：

PCM=[pc₁ pc₂…pc_j…pc_N]，

然后，根据ZB构造二阶泽尼克系数训练库QZB，QZB的结构包括常数项，泽尼克系数的线性项，泽尼克系数的二阶项，其中二阶项包括交叉项和平方项：QZB＝[One，ZB，ZB²]，其中，One是N维列向量，元素均为1，ZB²表示ZB的二阶项，其具体构造算法是：

ZB²=[ZB₁×ZB₂ ZB₁×ZB₃…ZB₂×ZB₃…ZB_ZN-1×ZB_ZN ZB₁×ZB₁ ZB₂×ZB₂…ZB_ZN×ZB_ZN]，

其中，ZB₁表示ZB的第一列，ZB₂表示ZB的第二列，以此类推；

再按照下列各式，对PCC进行多元线性回归分析运算，以下简称regress，建立从主成分系数PCC到二阶泽尼克系数训练库QZB的二阶泽尼克回归矩阵QZRM:

$[{\mathrm{rm}}_j,R_j^2]=\mathrm{regress}({\mathrm{PCC}}_j,{\mathrm{QZB}}_j),j=\mathrm{1,2},\·\·\·,N,$

$\mathrm{QZRM}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{rm}}_1\\ {\mathrm{rm}}_2\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{rm}}_j\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{rm}}_N\end{array}\right],$

其中，N是仿真空间像训练库SAIB中空间像的个数，PCC_j表示第j幅空间像的主成分系数，QZB_j表示第j幅空间像的二阶泽尼克系数组合，是QZB的第j行，rm_j是行向量，表示从PCC_j到QZB_j的回归系数向量，所有N个回归系数向量就组成二阶泽尼克回归矩阵QZRM，

表示第j个回归系数向量rm_j的拟合优度，用于评估rm_j的拟合质量；它们之间的关系是：PCC=QZRM·QZB；

于是，仿真空间像训练库SAIB与二阶泽尼克系数训练库QZB之间的线性关系模型可以表示为：

SAIB=PCM·QZRM·QZB；

③采集实测空间像RAI：

运行光刻机配套的伺服软件，按照步骤①中生成仿真空间像训练库SAIB时使用的参数条件设置光刻机的各项参数，包括照明光源的波长、照明方式及部分相干因子、投影物镜的数值孔径、空间像的采样范围、采样点数以及空间像采样的视场点位置；

运行空间像采集程序，图像传感装置对检测标记经过光学系统投影下来的空间像进行采集，采集得到含有空间像信息的机器数据，经过计算机的数据处理，生成矩阵形式的空间像数据，即为实测空间像RAI；

④使用二阶模型求解实测空间像RAI得到实测泽尼克系数RZC：

首先，从QZRM中选取拟合优度

大于0.9999的S个拟合质量好的回归系数向量rm_j以及S个与rm_j下标对应的主成分pc_j，将S个rm_j和pc_j分别抽出，按原下标从小到大的顺序重新排序为1~S，为了与原下标区分，新下标用i表示，使用最小二乘法，对实测空间像RAI进行主成分分解得到实测主成分系数RPCC：

${\mathrm{RPCC}}_i={({\mathrm{pc}}_i^T\·{\mathrm{pc}}_i)}^{-1}\·({\mathrm{pc}}_i^T\·\mathrm{RAI}),i=\mathrm{1,2},\·\·\·,S,$

其中，

是pc_i的转置，RPCC_i表示RAI的第i个主成分系数；然后，根据S个实测主成分系数和S个回归系数向量构造S个误差方程：

er₁=rm₁·RZC-RPCC₁

er₂=rm₂·RZC-RPCC₂

er₃=rm₃·RZC-RPCC₃,

………………………

er_s=rm_s·RZC-RPCC_S

根据误差方程建立优化算法的评估函数CF：

$\mathrm{CF}={\mathrm{er}}_1^2+{\mathrm{er}}_2^2+{\mathrm{er}}_3^2+\·\·\·+{\mathrm{er}}_S^2;$

最后，根据非线性最小二乘法，以下简称lsqnonlin，原则是以误差的平方和最小为优化的目标，优化解得表征投影物镜成像质量的实测泽尼克系数RZC：

RZC=lsqnonlin(CF,SV)，

其中，SV是优化算法lsqnonlin的初始值，可以是ZN维的零向量，也可以是使用线性模型计算得到的ZN维泽尼克系数值。

本发明是在先技术的发展，在继承在先技术的主成分分析思想后，找到了空间像与泽尼克系数之间更为准确的二阶关系模型代替在先技术的线性模型，并基于该模型检测投影物镜波像差。

与在先技术相比，本发明具有以下优点：

本发明通过引入与二阶波像差相关的主成分拟合空间像，获得了更多高精度的主成分系数，克服了从主成分系数求解泽尼克系数时，回归运算方程组是欠定方程的问题，拓展了波像差测量的幅值范围，当测量同样幅值的波像差时，本发明可以取得更高的测量精度。

附图说明

图1为本发明光刻机投影物镜波像差现场测量系统结构示意图；

图2为实施例使用的环形照明光源结构示意图；

图3为实施例使用的检测标记结构示意图；

图4为实测空间像光强分布等高线图；

图5为模型前4阶主成分等高线图；

图6为计算中使用的前4阶与二阶波像差相关的主成分等高线图；

图7为二阶模型与线性模型测量实测空间像的结果比较；

具体实施方式

下面，结合实施例和附图进一步描述本发明，但不应以此实施例限制本发明的保护范围。

为了便于描述和突出显示本发明，附图中省略了现有技术中已有的相关部件，并将省略对这些公知部件的描述。

图1为本发明光刻机投影物镜波像差测量系统结构示意图。该系统包括：产生照明光束的照明光源1；能调整照明光源1发出光束的束腰尺寸，光强分布，部分相干因子和照明方式的照明系统2；能承载测试掩模3并拥有精确步进和定位能力的掩模台4；能将测试掩模3上的检测标记5按照一定比例缩放成像的投影物镜6；能精确步进和定位的工件台7；安装在工件台7上的用于采集检测标记5所成空间像的图像传感装置8；与所述图像传感装置相连的用于光刻机控制，数据采集和处理的计算机9。

所述的光源1，本实施例使用中心波长λ为193nm的准分子激光器。

所述的照明方式如图2所示，本实施例采用环形照明方式，其中σ_in为0.7，σ_out为0.9。

所述的检测标记5如图3所示，本实施例采用孤立空，该标记的线宽为250nm，周期3000nm，二者均为工件台尺寸，该标记包括0度和90度两个方向。

所述的投影物镜6，本实施例采用全透射式投影物镜，NA为0.75。

所述的图像传感装置8，本实施例采用光电二极管阵列。

利用上述系统进行光刻机投影物镜波像差测量的方法，包括以下步骤：

①建立仿真空间像训练库SAIB：

首先，调用MATLAB的BBdesign命令语句按照下式设计泽尼克系数训练库ZB，泽尼克系数的变化范围为±0.05λ：

ZB=0.05×BBdesign(27)，因为两个方向的检测标记可以测量27项泽尼克系数，分别是Z₅，Z₇~Z₁₂，Z₁₄~Z₁₇，Z₁₉~Z₂₂，Z₂₃~Z₂₈，Z₃₀~Z₃₂，Z₃₄~Z₃₇，所以BBdesign的输入参数为27，得到的ZB是1416乘27的矩阵，即需要1416组训练用泽尼克系数；

然后，将泽尼克系数训练库ZB逐行输入光刻仿真软件PROLITH的光瞳函数中，再设定PROLITH的各项参数：照明光源的波长λ为193nm，照明方式为环形照明方式，部分相干因子σ_in是0.7，σ_out是0.9，投影物镜的数值孔径为0.75，检测标记使用孤立空、检测标记的线宽CD为250nm，周期Pitch为3000nm，空间像的采样范围：水平方向为1800nm，离焦方向为7000nm，采样点数：水平方向为61个，离焦方向为57个，将0°检测标记仿真成像在F-X平面，得到空间像

将90°检测标记仿真成像在F-Y平面，得到空间像

最后，将所有空间像按照下式排列组合成仿真空间像训练库SAIB：

$\mathrm{SAIB}=\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{ai}}_1^0& {\mathrm{ai}}_2^0& \·\·\·& {\mathrm{ai}}_j^0& \·\·\·& {\mathrm{ai}}_{1416}^0\\ {\mathrm{ai}}_1^{90}& {\mathrm{ai}}_2^{90}& \·\·\·& {\mathrm{ai}}_j^{90}& \·\·\·& {\mathrm{ai}}_{1416}^{90}\end{array}\right];$

②建立仿真空间像训练库SAIB与二阶泽尼克系数训练库QZB之间的线性关系模型，也就是仿真空间像训练库SAIB与泽尼克系数训练库ZB之间的二阶关系模型：

首先，调用MATLAB的princomp命令对仿真空间像训练库SAIB进行主成分分析：[PCC，PCM]=princomp(SAIB)，得到SAIB的主成分系数PCC和主成分矩阵PCM，PCM的每一列为一阶主成分，共得到1416阶，其中前4阶主成分如图5所示，第1阶主成分为常数项主成分，第2，3，4阶为与泽尼克系数线性相关的主成分；

然后，调用MATLAB的x2fx命令按照下式生成二阶泽尼克系数训练库QZB：

QZB＝x2fx(ZB，'quadratic')，

其中，QZB是1416乘406的矩阵，第一列为常数项，第2至28列为线性泽尼克系数项，第29至406列为二阶泽尼克系数项。

再使用MATLAB的多元线性回归分析运算的命令regress，建立从主成分系数PCC到二阶泽尼克系数训练库QZB的二阶泽尼克回归矩阵QZRM:

$[{\mathrm{rm}}_j,R_j^2]=\mathrm{regress}({\mathrm{PCC}}_j,{\mathrm{QZB}}_j),j=\mathrm{1,2},\·\·\·,1416,$

$\mathrm{QZRM}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{rm}}_1\\ {\mathrm{rm}}_2\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{rm}}_j\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{rm}}_{1416}\end{array}\right];$

于是，仿真空间像训练库SAIB与二阶泽尼克系数训练库QZB之间的线性关系模型可以表示为：SAIB=PCM·QZRM·QZB。

③采集实测空间像RAI：

运行光刻机配套的伺服软件，按照步骤①中生成仿真空间像训练库SAIB时使用的参数条件设置光刻机的各项参数。运行空间像采集程序，图像传感装置对检测标记经过光学系统投影下来的空间像进行采集，采集得到含有空间像信息的机器数据，经过计算机的数据处理，生成MATLAB软件可以识别的.mat格式数据，即为实测空间像RAI，如图4所示，这里的RAI为一组实测空间像，包括0°检测标记的空间像RAP⁰，以及90°检测标记的空间像RPI⁹⁰；

④使用二阶模型求解实测空间像RAI得到实测泽尼克系数RZC：

首先，从QZRM中选取拟合优度

大于0.9999的15个拟合质量好的回归系数向量rm_j以及15个与其下标对应的主成分pc_j，将15个rm_j和pc_j分别抽出，按原下标从小到大的顺序重新排序为1~15，为了与原下标区分，新下标用i表示，使用最小二乘法，对实测空间像RAI进行主成分分解得到主成分系数：

${\mathrm{RPCC}}_i={({\mathrm{pc}}_i^T\·{\mathrm{pc}}_i)}^{-1}\·({\mathrm{pc}}_i^T\·\mathrm{RAI}),i=\mathrm{1,2},\·\·\·,15,$

其中，

是pc_i的转置，RPCC_i表示RAI的第i个主成分系数。如图6所示为上式中使用的前4阶主成分，它们是与二阶泽尼克系数相关的主成分，在PCM中对应的位置分别为第12,14,16,18列。

然后，根据15个主成分系数值和15个回归系数向量rm_i构造15个误差方程：

er₁=rm₁·RZC-RPCC₁

er₂=rm₂·RZC-RPCC₂

er₃=rm₃·RZC-RPCC₃,

………………………

er₁₅=rm₁₅·RZC-RPCC₁₅

根据上式建立优化算法的评估函数CF：

$\mathrm{CF}={\mathrm{er}}_1^2+{\mathrm{er}}_2^2+{\mathrm{er}}_3^2+\·\·\·+{\mathrm{er}}_{15}^2;$

最后，根据非线性最小二乘法使用MATLAB的命令lsqnonlin，优化解得表征投影物镜成像质量的实测泽尼克系数RZC：

RZC=lsqnonlin(CF,SV)，

其中，SV是优化算法lsqnonlin的初始值，因为需要对比，所以已经根据在先技术测量了像差，所以，这里直接使用在先技术的测量结果作为优化算法的初始值，测量结果的对比如图7所示，两个模型测量的最大误差均出现在Z₇处，其中线性模型的误差约为4.5mλ，二阶模型的误差约为3.3mλ，精度提高约35%。

以上所述只是本发明的一个具体实施例，该实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对本发明的限制。凡本领域技术人员依本发明的构思通过逻辑分析、推理或者有限的实验可以得到的技术方案，皆应在本发明的范围之内。

Claims (1)

1.一种基于二阶像差模型的光刻机投影物镜波像差检测方法，该方法利用的系统包括：产生照明光束的照明光源（1）；能调整照明光源（1）发出光束的束腰尺寸，光强分布，部分相干因子和照明方式的照明系统（2）；能承载测试掩模（3）并拥有精确步进和定位能力的掩模台（4）；能将测试掩模（3）上的检测标记（5）按照一定比例缩放成像的投影物镜（6）；能精确步进和定位的工件台（7）；安装在工件台（7）上的用于采集检测标记（5）所成空间像的图像传感装置（8）；与所述图像传感装置相连的用于光刻机控制，数据采集和处理的计算机（9）；其特征在于：

所述的检测标记（5）是孤立线、孤立空、或中线宽于边线的3线或5线检测标记，包含0°和90°两个方向的检测标记；该方法包括如下步骤：

①建立仿真空间像训练库SAIB：

首先，按照Box_Behnken design的采样方式，以下简称BBdesign，要求每个设计变量只有0，±1三种可能取值，每个采样组合，只有两个设计变量不为0，设计泽尼克系数训练库ZB：ZB=A·BBdesign(ZN),ZN=3,4,…,33，其中，A是泽尼克系数的变化范围，在0至0.2范围内取值，单位是λ，λ表示照明光源的波长；ZN表示泽尼克系数训练库模型选用的泽尼克系数的个数，因为BBdesign理论上可以设计变量个数要求大于等于3，而本方法可以求解Z₅至Z₃₇共33项泽尼克系数，所以ZN的取值是3到33的整数；所述的ZB是一个N行ZN列的矩阵，N是一个与ZN相关的量，ZB的每一行表示一组训练用的泽尼克系数；

然后，将ZB逐行输入光刻仿真软件PROLITH的光瞳函数中，再设定PROLITH的各项参数，包括照明光源的波长、照明方式及部分相干因子、投影物镜的数值孔径、空间像的采样范围、采样点数；将0°检测标记仿真成像在F-X平面，得到空间像其中，上标0表示0°方向检测标记，下标j表示ZB的第j行，也即第j幅空间像，同法，将90°方向检测标记仿真成像在F-Y平面，得到空间像

最后，将所有空间像按照下式排列组和成仿真空间像训练库SAIB：

$\mathrm{SAIB}=\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{ai}}_1^0& {\mathrm{ai}}_2^0& \·\·\·& {\mathrm{ai}}_j^0& \·\·\·& {\mathrm{ai}}_N^0\\ {\mathrm{ai}}_1^{90}& {\mathrm{ai}}_2^{90}& \·\·\·& {\mathrm{ai}}_j^{90}& \·\·\·& {\mathrm{ai}}_N^{90}\end{array}\right];$

②建立仿真空间像训练库SAIB与二阶泽尼克系数训练库QZB之间的线性关系模型，也就是仿真空间像训练库SAIB与泽尼克系数训练库ZB之间的二阶关系模型：

该模型包含主成分矩阵PCM和二阶泽尼克回归矩阵QZRM；

首先，根据主成分分析方法的原理，将空间像这种多像素点的变量集合转化为一组正交矢量来表示，以下简称princomp，对仿真空间像训练库SAIB进行主成分分析：[PCC，PCCM]=princomp(SAIB)，得到SAIB的主成分系数PCC和主成分矩阵PCM，它们之间的关系是：SAIB=PCM·PCC；

其中，PCM是由N个主成分pc_j按照下式组成的矩阵，pc_j是列向量：

PCM=[pc₁ pc₂…pc_j…pc_N]，

然后，根据ZB构造二阶泽尼克系数训练库QZB，QZB的结构包括常数项，泽尼克系数的线性项，泽尼克系数的二阶项，其中二阶项包括交叉项和平方项：QZB＝[One，ZB，ZB²]，其中，One是N维列向量，元素均为1，ZB²表示ZB的二阶项，其具体构造算法是：

ZB²=[ZB₁×ZB₂ ZB₁×ZB₃…ZB₂×ZB₃…ZB_ZN-1×ZB_ZN ZB₁×ZB₁ ZB₂×ZB₂…ZB_ZN×ZB_ZN]，

其中，ZB₁表示ZB的第一列，ZB₂表示ZB的第二列，以此类推；

再按照下列各式，对PCC进行多元线性回归分析运算，以下简称regress，建立从主成分系数PCC到二阶泽尼克系数训练库QZB的二阶泽尼克回归矩阵QZRM:

$[{\mathrm{rm}}_j,R_j^2]=\mathrm{regress}({\mathrm{PCC}}_j,{\mathrm{QZB}}_j),$ j=1,2,…,N，

$\mathrm{QZRM}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{rm}}_1\\ {\mathrm{rm}}_2\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{rm}}_j\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{rm}}_N\end{array}\right],$

其中，N是仿真空间像训练库SAIB中空间像的个数，PCC_j表示第j幅空间像的主成分系数，QZB_j表示第j幅空间像的二阶泽尼克系数组合，是QZB的第j行，rm_j是行向量，表示从PCC_j到QZB_j的回归系数向量，所有N个回归系数向量就组成二阶泽尼克回归矩阵QZRM，

表示第j个回归系数向量rm_j的拟合优度，用于评估rm_j的拟合质量；它们之间的关系是：PCC=QZRM·QZB；

于是，仿真空间像训练库SAIB与二阶泽尼克系数训练库QZB之间的线性关系模型可以表示为：

SAIB=PCM·QZRM·QZB；

③采集实测空间像RAI：

运行光刻机配套的伺服软件，按照步骤①中生成仿真空间像训练库SAIB时使用的参数条件设置光刻机的各项参数，包括照明光源的波长、照明方式及部分相干因子、投影物镜的数值孔径、空间像的采样范围、采样点数以及空间像采样的视场点位置；

运行空间像采集程序，图像传感装置（8）对检测标记（5）经过光学系统投影下来的空间像进行采集，采集得到含有空间像信息的机器数据，经过计算机（9）的数据处理，生成矩阵形式的空间像数据，即为实测空间像RAI；

④使用二阶模型求解实测空间像RAI得到实测泽尼克系数RZC：

首先，从QZRM中选取拟合优度

大于0.9999的S个拟合质量好的回归系数向量rm_j以及S个与rm_j下标对应的主成分pc_j，将S个rm_j和pc_j分别抽出，按原下标从小到大的顺序重新排序为1~S，为了与原下标区分，新下标用i表示，使用最小二乘法，对实测空间像RAI进行主成分分解得到实测主成分系数RPCC：

${\mathrm{RPCC}}_i={({\mathrm{pc}}_i^T\·{\mathrm{pc}}_i)}^{-1}\·({\mathrm{pc}}_i^T\·\mathrm{RAI}),$ i=1,2,…,S,

其中，

是pc_i的转置，RPCC_i表示RAI的第i个主成分系数；

然后，根据S个实测主成分系数和S个回归系数向量构造S个误差方程：

er₁=rm₁·RZC-RPCC₁

er₂=rm₂·RZC-RPCC₂

er₃=rm₃·RZC-RPCC₃,

………………………

er_s=rm_s·RZC-RPCC_s

根据误差方程建立优化算法的评估函数CF：

$\mathrm{CF}={\mathrm{er}}_1^2+{\mathrm{er}}_2^2+{\mathrm{er}}_3^2+\·\·\·+{\mathrm{er}}_S^2;$

最后，根据非线性最小二乘法，以下简称lsqnonlin，原则是以误差的平方和最小为优化的目标，优化解得表征投影物镜成像质量的实测泽尼克系数RZC：

RZC=lsqnonlin(CF,SV)，

其中，SV是优化算法lsqnonlin的初始值，或ZN维的零向量，或是使用线性模型计算得到的ZN维泽尼克系数值。

Images