CN102749573B - 基于小波包分析和Hopfield网络的模拟电路故障诊断方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于小波包分析和Hopfield网络的模拟电路故障诊断方法，包括数据获取：将模拟电路的输出响应分别通过SPICE仿真与连接在实际电路终端的数据采集板，进行数据采样以获得理想输出响应数据集和实测输出响应数据集；特征提取：将理想与实测的电路输出响应分别作为训练与测试数据集进行小波包分解,这些分解的小波系数通过能量计算而得到的能量值构成相应故障的特征向量；故障分类：各样本的特征向量经过Hopfield编码后提交给Hopfield网络以实现准确、迅速的故障分类。本发明方法对具有微弱幅值响应的硬故障与具有较大幅值响应的软故障采取的故障特征预处理效果较好,新定义的能量函数与编码规则对模拟电路的故障诊断准确性影响显著。

Description

基于小波包分析和Hopfield网络的模拟电路故障诊断方法

技术领域

本发明涉及模拟电路故障诊断方法，具体涉及一种基于小波包分析和Hopfield网络的模拟电路故障诊断方法。

背景技术

在系统与外界之间的信号输入输出中,模拟电路起着关键作用。以控制系统为例,不论其控制器是否被数字技术所取代,该系统都需要从外界的传感器获取输入信号,并通过执行器来产生实际输出。对模拟信号所进行的传输、滤波、放大、转换是许多复杂系统必备的基本功能。因此,模拟电路的可靠性是影响诸多复杂工业系统可靠性的重要因素之一,对模拟电路开展的故障诊断也一直是电子工业领域的研究重点。

事实上,由于故障模型的缺乏、电路元件自身的非线性和容限影响,模拟电路是最不稳定的可测系统,其故障诊断仍然面临许多问题。例如外界噪声的出现、无故障元件偏离其允许容限程度的未知性以及软故障发生位置的不确定性(软故障是指元件负载超出某一容限,虽未烧毁但严重影响电路实际功能；硬故障是指元件烧毁或者由于其他原因而损坏.)都将影响模拟电路故障诊断的准确性。

针对上述问题,国内外诸多学者在过去的十多年内,对系统级、电路板级、芯片级的模拟电路进行了大量重要的研究工作。这些研究主要采用小波分析和神经网络分别作为故障特征提取和故障分类的核心技术。文献公开了相关技术，例如：Catelani M,FortA.Softfault detection and isolation in analog circuits:some results and a comparison between a fuzzy approach andradial basis function networks.IEEE Trans.Instrum.Meas.,2002,51(2):196-202.；Spina R,Upadhyaya S.Linear circuit fault diagnosis using neuromorphic analyzer.IEEE Trans.Circuits Syst.II，1997,44(3):188-196.；Maidon Y,Jervis B W,Fouillat,Lesage P S.Using artificial neural networks or lagrangeinterpolation to characterize the faults in an analog circuit:an experimental study.IEEE Trans.Instrum.Meas.,1999,48(5):932-938.；Negnevitsky M,Pavlovsky V.Neural networks approach to online identification ofmultiple failures of protection systems.IEEE Trans.Power Delivery,2005,20(2):588-594.均直接将未经任何处理的电路输出响应作为神经网络的输入,诊断准确性较低、网络结构复杂、训练时间长；又如：Mehran A,Farzan A.A modular fault-diagnostic system for analog electronic circuits usingneural networks with wavelet transform as a preprocessor.IEEE Trans.Instrum.Meas.,2007,5(5):1546-1554，照故障种类把模拟电路划分成不同模块,每个模块对应一个神经网络,并将各模块的输出响应进行主元分析以作为神经网络的输入,提高了故障诊断的准确性,但增加了网络开销；再如：Aminian M,Aminian F.Neural network based analog circuit fault diagnosis usingwavelet transform as preprocessor.IEEE Trans.CircuitsSyst.II，Analog Digit.Signal Process.,2000,47(2):151-156.将主元分析处理后的电路响应的低频小波系数作为故障特征提交给神经网络,虽提高诊断的准确性,但对网络的复杂性未作实质性改进；另外，“模拟电路故障诊断的多小波神经网络算法”.王军锋,张维强,宋国乡.电工技术学报,2006,21(1):33-36.是通过计算小波系数的能量值,并将其作为候选故障特征降低了神经网络的复杂性,但能量数值很小,特征区分不明显。此外,综合上述方法,现有技术存在以下问题:

1)小波分析无疑是提取特征有效方法之一,但上述方法在提取小波系数时,考虑到在随后故障分类中神经网络的复杂性,通常舍弃了信号的细节信息而选取代表信号基本结构的近似小波系数作为候选特征。从信息完整的角度来说,被丢弃的细节系数对特征信息的完整表达是有价值的,在提取特征时有必要将其考虑在内。

2)为降低神经网络的复杂性,上述方法大多采用PCA进行数据降维,但该方法使用的条件是数据对象应满足一定的统计特征。实际采集的数据是否具备该统计特征,加之提取到的主元同样是以舍弃部分特征信息作为代价的,不得不考虑这项技术在提取最优候选特征时的合理性与有效性。

3)前馈网络(如BP、RBF)在上述方法中作为故障分类的主要工具被广泛应用,此类网络完成从输入空间到输出空间的固定权值映射,并不具备动态特性,使得这类网络对个别器件的故障(尤其软故障)有可能不灵敏,导致故障漏报的出现.而动态递归网络受统计力学的启发,利用反馈方法使网络初始状态和过去状态在非线性单元中能进行一系列处理,在恰当选择权值的前提下,网络在显示稳定状态的同时还能产生并存储时空模式,因而有望在故障分类(本质为模式识别)中取得良好效果。

发明内容

针对现有技术存在的上述问题,本发明解决的技术问题是如何较为完整地获取故障响应的有用信息；如何有效的刻画故障特征，使得特征彼此之间区别明显；如何更加快速准确地实现故障分类，而提供一种采用小波包分析和Hopfield网络分别作为故障特征提取和故障分类的方法应用于模拟电路的故障诊断。

解决上述技术问题，本发明采用的技术方案如下：一种基于小波包分析和Hopfield网络的模拟电路故障诊断方法，其特征在于，包括数据获取、特征提取与故障分类三步骤，具体为：

数据获取：将模拟电路的输出响应分别通过SPICE仿真与连接在实际电路终端的数据采集板，进行数据采样以获得理想输出响应数据集和实测输出响应数据集；

特征提取：将理想与实测的电路输出响应分别作为训练与测试数据集进行小波包分解,这些分解的小波系数通过能量计算而得到的能量值构成相应故障的特征向量；

故障分类：各样本的特征向量经过Hopfield编码后提交给Hopfield网络以实现准确、迅速的故障分类。

相比现有技术，本发明具有如下有益效果：

本发明通过小波包分解较为完整地获取故障信号的有用信息，通过能量计算将故障信息映射到能量空间，进而更加精细地刻画故障特征（各种故障特征之间以及故障特征与正常特征之间的区别非常明显），通过Hopfield网络自动实现快速准确地故障分类。

还通过数据采集板和SPICE仿真分别获取模拟电路的实际输出响应和理想输出响应后,将两类信号在小波包机制下完整分解。由Hopfield特殊的自联想记忆,信号的近似信息和细节信息并不能直接提交给该网络进行模式识别。并定义了一种新的能量函数来计算各小波系数的能量值,并将这些能量值合并成向量以作为故障特征。在完成对各故障特征向量的Hopfield编码后,将故障编码提交给Hopfield网络以实现准确的故障分类。

本发明方法中,模拟电路在理想和实际故障情形下的输出响应分别通过SPICE仿真及电路终端的数据采集板所采集；故障电路输出响应通过小波包完整分解,各尺度小波系数的能量值由一个新定义的能量函数进行计算；由小波能量值所构成的理想与实测故障特征向量经Hopfield编码后被分别作为联想记忆的记忆原型与记忆起始点,在自联想记忆驱动下,实测模拟电路故障的编码被Hopfield神经网络准确分类。Sallen-Key滤波器的软故障诊断及非线性整流电路的硬故障诊断的数值实验结果显示。本发明方法对具有微弱幅值响应的硬故障与具有较大幅值响应的软故障采取的故障特征预处理效果较好,新定义的能量函数与编码规则对模拟电路的故障诊断准确性影响显著。

对线性电路和非线性电路的软、硬故障的数值实验表明:本发明方法模拟电路的故障响应与正常响应特征之间的区别,以及各故障响应特征之间的区别相当明显,特征向量充分涵盖了各类故障本质信息；对各故障特征的Hopfield编码使得通过Hopfield网络所进行的故障诊断具备准确、迅速的效果。

附图说明

图1是故障诊断方法的体系结构示意图；

图2是小波包分析图；

图3是离散Hopfield神经网络的结构图；

图4是Sallen-Key带通滤波器图；

图5是非线性整流电路；

图6是Sallen-Key带通滤波器的输出响应图；

图7是非线性整流电路的输出响应图；

图8是Sallen-Key带通滤波器故的障特征子空间图；

图9是非线性整流电路的障特征子空间图；

图10是Sallen-Key带通滤波器的实测故障特征编码图；

图11是Sallen-Key带通滤波器的故障分类图；

图12是非线性整流电路的实测故障特征编码图；

图13是非线性整流电路的故障分类图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步详细说明。

1、故障诊断方法：

如图1所示，基于小波包分析和Hopfield网络的模拟电路故障诊断方法，具体步骤为：

数据获取：将模拟电路的输出响应分别通过SPICE仿真与连接在实际电路终端的数据采集板，进行数据采样以获得理想输出响应数据集和实测输出响应数据集；

特征提取：将理想与实测的电路输出响应分别作为训练与测试数据集进行小波包分解,这些分解的小波系数通过能量计算而得到的能量值构成相应故障的特征向量；

故障分类：各样本的特征向量经过Hopfield编码后提交给Hopfield网络以实现准确、迅速的故障分类。

下面将对本发明故障诊断方法中的核心技术:小波包分析、能量函数以及离散Hopfield神经网络(DHNN)作进一步详细说明。

1.1小波包分析

小波包分析由小波分析延伸而来.小波分析（参见：[A]Shensa M J.The discrete wavelet transform:wedding the A trous and mallat algorithms.IEEE Trans.Sg.Proc.,1992,40(10):2464-2482；[B]Lang M,Guo H,Odegard J E,Burrus C S.Noise reduction using an undecimated discrete wavelet transform.IEEETrans.Sig.Proc.,1996,3(1):10-12.）通过近似系数与细节系数将电路输出响应分别分解为低频和高频成分。该过程可由母小波的尺度变换与平移变换得到,即:

${\mathrm{\ψ}}_{a,b}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{a}}\mathrm{\ψ}\left(\frac{x-b}{a}\right)---\left(1\right)$

此处,ψ_a,b(x)代表母小波函数,a与b分别表示小波变换的尺度和平移因子。电路响应I(x)的小波系数可用下式表示：

$C(a,b)=<{\mathrm{\&psi;}}_{a,b}\left(x\right),I\left(x\right)>=\frac{1}{\sqrt{a}}\&Integral;I\left(x\right)\mathrm{\&psi;}\left(\frac{x-b}{a}\right)\mathrm{dx}---\left(2\right)$

为便于在计算机上高效运算,工程中一般采用离散二进制小波变换。它只需令上式中的尺度因子与平移因子分别为a=2^j和b=k2^j=ka，(k,j)∈Z²就可得到。受多分辨思想的启发,小波包分析将电路响应I(x)在各个尺度上均分解为低频的近似部分和高频的细节部分,如图2所示。

1.2能量计算与Hopfield编码：

由于Hopfield网络具有的自联想记忆功能,经小波包分解得到的电路响应的小波系数不能直接提交给Hopfield网络(该网络是一种没有持续输入的特殊网络)。因此,要实现故障诊断,还需对各小波系数进行预处理,即:小波系数的能量计算与小波能量值的Hopfield编码。本发明所定义的小波系数能量函数可表示为:

$E\left(C\left(x\right)\right)=N^{-1}{\left|\right|C\left(x\right)\left|\right|}_2\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\exp (-\frac{C{\left(x_i\right)}^2}{2})---\left(3\right)$

这里,C(x)代表小波系数,||C(x)||₂为小波系数的椭球范数,N为小波系数的长度。

通过式(3)计算得到的各小波系数能量值组合在一起就构成了相应的电路响应特征向量。为提高诊断的快速性,这些特征向量还需按照一定规则进行转换。该转换过程被为Hopfield编码。其编码规则可表述为:当实测数据的能量值大于或等于理想数据的能量值时,该能量值设置为“+1”,否则设置为“-1”。

1.3离散Hopfield神经网络：

Hopfield神经网络是一种异步非线性动态系统,系统的相空间由表示网络原型状态的稳定点(吸引子)构成,通过系统局部单元之间的相互作用,网络的整体动态特性得以体现(集体涌现)（参见：Hopfield JJ.Neural networks and physical systems with emergent collective computationalability.In:Proceeding of the nationalacademy of science,USA,1982,79:2554-2558.）在网络运作过程中,提交给网络的响应为相空间的起始点,若起始点“接近”记忆检索的稳定点,则动态系统将随时间演化并收敛于该记忆状态(即系统状态的相空间流收敛于该记忆状态)。从而动态系统产生适当记忆。因此,Hopfield网络可执行在动态稳定环境中模式识别(故障特征分类)的功能（参见[C]Zheng P,Zhang J,Tang W.Learning associative memories by error backpropagation.IEEE Trans.Neural Netw.,2011,22(3):347-354.，[D]Davey N,Hunt S P,Adams R G.High capacityrecurrent associative memories.Neurocomputing，2004,62:459-491。）典型的离散Hopfield神经网络(如图3所示)的神经元在架构上采用了McMulloch-Pitts模型（参见[E]McCulloch W S,Pitts W.A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity.Bulletin ofmathematical biophysics,1943,5(11):115-133.）,其激活函数为硬限幅函数,从而网络在任意时刻的状态只能是“+1”或“-1”。

对于图3中的每一神经元,线性组合器的输出可表示为:

$v_i=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_{\mathrm{ij}}{x}_j-{\mathrm{\&theta;}}_i,i=\mathrm{1,2},...,n---\left(4\right)$

其中,x=[x₁,x₂,…,x_n]^T是网络的状态(提交给网络的故障特征编码),θ_i是外部应用阈值.对于i＝1,2,…,n，每一线性组合器输出传给对称硬限幅激活函数与单元延迟元素.任意神经元的单元延迟输出x_i作为反馈给其他神经元的输入,但并不反馈给自己.即,当i＝j时,w_ij=0，而其他神经元的状态可表示为:

$x_j=\mathrm{sgn}\left(v_i\right)=\left\{\begin{array}{ccc}+1& \mathrm{if}& v_i>0\\ -1& \mathrm{if}& v_i<0\end{array}\right.---\left(5\right)$

因此,网络输出的矢量形式为：

x(k+1)=sgn(Wx(k)-θ)                        （6）

这里,θ=[θ₁,θ₂,…,θ_n]^T，W∈R^n×n.在存储阶段,网络的联想记忆由相关矩阵记忆的外积规则建立.假定r个原型记忆的集为{φ₁,φ₂,…φ_r},则网络权值可由下式计算：

$W=\frac{1}{n}\underset{h=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&phi;}}_h{\mathrm{\&phi;}}_h^T-\frac{r}{n}I---\left(7\right)$

在回忆阶段,提交测试输入向量x'∈R^n×1给网络,初始化具有未知输入值的网络状态x(k)|_k＝0=x(0)=x'。运用式(6),状态向量x(k)异步更新,直到向量元素没有变化为止。此时,稳定状态x_e就是网络输出。

2、案例电路与方法应用：

下面以国际通用的两个典型故障电路为例,分别对具有软故障的Sallen-Key带通滤波器(线性电路)和具有硬故障的非线性整流电路应用本发明方法进行故障诊断作说明。

2.1故障电路：

案例1:本发明所采用的第一个故障电路为如图4所示的Sallen-Key带通滤波器。若电路各元件都在其正常值范围内,该电路的中心频率为25kHz。假定该滤波器中电阻和电容的容差分别为5%与10%。

当R2、R3、C1、C2中的任一元件超过或低于其正常值的50%,而电路其他元件都在其允许的容差范围内变化时,Sallen-Key滤波器输出一种故障响应。由此,可获得 8种故障,其中和分别表示超过正常值的50%与低于正常值的50%。

案例2:第二个故障电路为如图5所示的非线性整流电路。该电路实现AC电源转化为DC电源的功能，如图5所示。

当D1、C1、C2、C3中的任一元件短路或断路,而电路中其他元件都在正常的工作状态时,该电路输出一种故障响应。由此,可得到D1·、D1°、C1·、C1°、C2·、C2°、C3·、C3°8种故障,其中·和°分别表示元件的短路与元件的断路状态。

2.2数据采集：

在Sallen-Key滤波器和非线性整流电路中,施加的激励响应分别为:幅值为5V，持续时间为10μs的脉冲序列与幅值为10V，频率为1kHz的正弦波.两种电路在不同故障模式下的理想输出响应和实际输出响应分别通过SPICE仿真以及利用在电路终端的数据采集板进行采样而得到。图6和图7分别描述了两种电路在不同故障模式下的理想与实测电路数据。

2.3特征提取：

下面采用小波包变换作为上述两种电路输出响应的数据分析工具。其中,小波分解的尺度为3层,采用的小波基为Haar小波(db1小波).得到输出响应的高频和低频小波系数后,按照式(3)对各小波系数进行能量计算。Sallen-Key滤波器和非线性整流电路在3个尺度下的近似小波系数与细节小波系数的能量计算值分别显示在表1和表2中。表中的E(A1A2A3)代表小波系数A1A2A3的能量值,A代表低频的近似小波系数,D代表高频的细节小波系数,下标1,2,3代表分解的尺度。

表1Sallen-Key滤波器的故障响应的能量分布

表2非线性整流电路的故障响应的能量分布

这些能量值在单独情况下所包涵的故障信息有限,并不能作为区别不同故障模式的特征。受“集体涌现”思想的启发,将相关小波系数在各个尺度下的能量值组合成一个矢量,通过该矢量各元素的相互作用就能就能完整地体现不同模式故障之间的本质区别。而这些特征向量张成的空间,称之为故障特征空间。在该空间中,由理想数据集得到的标准故障特征向量(记忆原型)是唯一的,而由实测数据得到的个例故障特征向量(记忆起始点)会在联想记忆的帮助下收敛到记忆原型。上述两种电路的故障特征子空间如图8和图9所示。

2.4故障分类：

由于离散Hop_eld神经网络中神经元的状态只能为“-1”或“+1”,要实现快速准确地故障诊断,还必需对故障特征空间中的各元素进行编码,此过程可理解为在“编码准则”下的数据“归一化”。按照1.2节的编码准则,可得到如图10所示的Sallen-Key滤波器在实测情形下的故障特征编码.图中凹陷的部分表示“-1”,突出的部分表示“+1”。

图10中实测情形下的故障特征编码被当作“记忆初始点”(网络输入)提交给Hopfield神经网络,而Sallen-Key滤波器在SPICE仿真下(理想情形)的故障特征编码则被当作“记忆稳态”(网络目标向量)提交给Hopfield网络。在设置好合适的时间步长后(本文的演化时间步长仅需5步),实测的故障特征在Hopfield网络自联想记忆驱动下,朝预定的记忆稳态(故障记忆原型)收敛,进而实现快速准确的故障分类。图11描述了采用本发明所提方法对具有软故障的Sallen-Key滤波器的诊断结果。

按上述同样的步骤所得到的非线性整流电路在实测情形下的故障特征编码如图12所示,该电路的硬故障诊断结果如图13所示。

值得一提的是,上述故障分类基于这样的思想:在故障特征空间中,以理想情形(SPICE)仿真所得到的故障编码为类中心,以实测情形下的故障特征编码为待分类的对象,当待分类的对象随时间变化而收敛到某一特定类中心时(表现为:网络输出为这个类中心的稳态输出),该待分类的对象就属于这个类中心,反之，待分类对象属于其他类中心。

3、结果分析：

众所周知,不同故障之间或故障与正常状态之间的特征数值差别越大,不同故障之间或故障与正常状态之间的信号响应差别就越明显,这样的故障特征就越有利于故障诊断。从表1和表2可知,按本发明方法所得到的电路故障响应特征与电路正常状态响应特征之间的数值差异,以及两种电路在不同故障模式下的特征数值差异较大,这充分说明本发明故障特征提取的有效性。值得一提的是,本发明的特征提取方法对于微弱故障信号的故障特征也具有良好的效果。从图7可知,在D1·D1°、C1·C2·故障模式下的电路输出响应属于微弱信号。一般来讲,微弱信号的特征提取是相当困难的,而表2中相应故障输出响应的小波系数能量值所构成的特征向量之间的区别明显。

对于故障分类,本发明通过将上述两种电路的理想故障特征和实测故障特征分别定义为联想记忆中的记忆原型与记忆的起始点。在Hopfield神经网络的驱动下,这些起始点随时间收敛到记忆原型,从而完成故障分类(故障诊断)。从两种的电路的故障诊断结果来看,对于Sallen-Key滤波器的软故障和非线性整流电路的硬故障,故障诊断的准确率都达到100%。为了说明本发明方法的有效性,对上述两种电路（参见[F]CatelaniM,FortA.Softfault detection and isolation in analog circuits:some results and a comparison between a fuzzy approach andradial basis function networks.IEEE Trans.Instrum.Meas.,2002,51(2):196-202.；[G]祝文姬,何怡刚.一种新的模拟电路故障特征提取与诊断方法.湖南大学学报,2010,38(4):41-46.；[H](王军锋,张维强,宋国乡.模拟电路故障诊断的多小波神经网络算法.电工技术学报,2006,21(1):33-36.)所提方法进行了故障诊断，故障诊断的结果见表3。

表3现有方法与本发明的故障诊断准确性比较

4、结论：

作为故障特征分析和故障分类的有效工具,小波包分析和Hopfield神经网络被用于本发明的模拟电路故障诊断之中.其故障诊断方法包括数据采集、特征提取和故障分类三步。数据采集通过SPICE仿真和故障电路终端的数据采集板分别实现理想情形和实际情形的数据获取；特征提取模块通过3层的小波包分解提取故障响应的完整小波系数,并利用本发明定义的能量函数计算各小波系数的能量值,这些小波系数能量值构成故障输出响应的故障特征向量；故障分类模块对理想情形和实测情形的故障特征响应进行Hopfield编码,并将理想和实测情形的故障编码分别作为记忆原型和记忆起始点,在自联想记忆的驱动下,Hopfield神经网络快速准确地实现故障诊断。在Sallen-Key滤波器(软故障)和非线性整流电路(硬故障)的实验中,本发明所提方法得到很好的应用。

实验结果表明:本发明定义的能量函数合理有效,在软故障模式和硬故障模式(具有微弱信号)下所提取的故障特征区别明显(各特征向量数值差异较大),Hopfield神经网络在自联想记忆驱动下的故障分类(故障诊断)准确率高达100%。

Claims (1)

1.基于小波包分析和Hopfield网络的模拟电路故障诊断方法，其特征在于，包括数据获取、特征提取与故障分类三步骤，具体步骤为：

数据获取：将模拟电路的输出响应分别通过SPICE仿真与连接在实际电路终端的数据采集板，进行数据采样以获得理想输出响应数据集和实测输出响应数据集；

特征提取：将理想与实测输出响应数据集分别作为训练与测试数据集进行小波包分解,这些分解的小波系数通过能量计算而得到的能量值构成相应故障的特征向量；

故障分类：各样本的特征向量经过Hopfield神经网络编码后提交给Hopfield网络以实现准确、迅速的故障分类；

所述小波包分解通过近似系数与细节系数将电路输出响应分别分解为低频和高频成分，该过程可由母小波的尺度变换与平移变换得到,即:

${\mathrm{\&psi;}}_{a,b}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{a}}\mathrm{\&psi;}\left(\frac{x-b}{a}\right)---\left(1\right)$

此处,ψ_a,b(x)代表母小波函数,a与b分别表示小波变换的尺度和平移因子；

电路响应I(x)的小波系数可用下式表示：

$C(a,b)=<{\mathrm{\&psi;}}_{a,b}\left(x\right),I\left(x\right)>=\frac{1}{\sqrt{a}}\&Integral;I\left(x\right)\mathrm{\&psi;}\left(\frac{x-b}{a}\right)\mathrm{dx}---\left(2\right)$

为便于在计算机上高效运算,工程中一般采用离散二进制小波变换；它只需令上式中的尺度因子与平移因子分别为a＝2^j和b＝k2^j＝ka，(k,j)∈Z²就可得到；

所述能量计算与Hopfield编码过程，包括：

首先，定义小波系数能量函数为:

$E\left(C\left(x\right)\right)=N^{-1}{\left|\right|C\left(x\right)\left|\right|}_2\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\exp (-\frac{C{\left(x_i\right)}^2}{2})---\left(3\right)$

这里,C(x)代表小波系数,||C(x)||₂为小波系数的椭球范数,N为小波系数的长度；

通过式(3)计算得到的各小波系数能量值组合在一起就构成了相应的电路响应特征向量；

Hopfield编码规则为:当实测数据的能量值大于或等于理想数据的能量值时,该能量值设置为“+1”,否则设置为“-1”。