CN102723721A - 基于个体最优位置自适应变异扰动粒子群算法的电力系统无功优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于个体最优位置自适应变异扰动粒子群算法的电力系统无功优化方法。包括以下步骤：建立电力系统无功优化模型；输入电网参数，形成初始种群，计算种群所有粒子对应的网损值；记录初始种群的个体最优位置与个体最优网损值，全局最优位置与全局最优网损值；粒子的速度与位置更新；计算种群每个粒子对应的网损值，并更新种群的个体最优位置与个体最优网损值，全局最优位置与全局最优网损值；根据自适应判据判断是否进行变异。本发明的方法收敛速度快、计算精度高、稳定性好、能有效地求解电力系统无功优化问题，可用于电力系统提高电力系统输电效率、降低网络损耗配置实时性运行控制中。

Description

基于个体最优位置自适应变异扰动粒子群算法的电力系统无功优化方法

技术领域

本发明涉及电力系统设计，尤其是提高电力系统输电效率、降低网络损耗配置实时性运行方法技术领域。 

背景技术

随着电网规模的日益扩大，电网结构也日趋复杂。用户要求供电更加可靠，电能质量更加良好。电压质量为电能质量评价中的一个重要指标。电压的偏移或波动过大均会造成电力系统的一系列不良影响，如不稳定运行、输电线路损耗增加、用电损耗增加等。因此，为保证电力系统的健康运行，电压的偏移不能超过规定的额定值。然而，电力系统的无功功率平衡决定了运行电压的水平，即无功源的无功功率输出须与负荷和无功损耗的无功功率需求平衡。因此，为了保证电压质量则需要保证电力系统的无功平衡。若电力系统的无功功率不足，则需进行无功补偿。为改善和提高电压质量，减少输电线路的损耗，不但需通过提高用户侧的负荷功率因数，同时需要通过优化配置无功补偿装置使得无功电源合理分布。为此，进行合理的无功优化规划，使无功负荷达到就地平衡，有利于实现电力系统的安全、稳定、经济运行。 

无功优化是一个复杂的非线性优化问题，其目标函数一般都与约束条件的非线性、控制变量的连续性与离散型相混合，电力系统无功优化面临的关键问题是对非线性函数的处理、算法的收敛性以及如何优化问题中的离散变量。随着电力系统的飞速发展以及迫切需求，常规的优化方法不能满足无功优化的计算的复杂度以及实时性。人工智能优化算法以其计算效率高的优点为解决电力系统无功优化提供了新的途径与手段。其中，粒子群优化算法是近年来被广为关注和研究的一种。粒子群优化算法的优点是原理简单，所需参数少，效率高。故将粒子群优化算法用于无功优化的求解中能很好地保证实时性的要求以及优化效果。 

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于个体最优位置自适应变异扰动粒子群算法(Adaptive Mutation Disturbance Particle Swarm Optimization Algorithm Based on Personal Best Position，AMDPSO)，用于电力系统的无功优化，该算法具有快速、高效、稳定的特点。 

本发明的具体步骤为： 

(a)所采用电力系统无功优化数学模型为: 

$\min F=\underset{\underset{j\∈I}{i\∈N}}{\mathrm{\Σ}}{G}_{\mathrm{ij}}(V_i^2+V_j^2-2V_i{V}_j\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})+{\mathrm{\λ}}_1\underset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}{\left(\frac{V_i-V_{\mathrm{ilim}}}{V_{i\max }-V_{i\min }}\right)}^2+{\mathrm{\λ}}_2\underset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}{\left(\frac{Q_i-Q_{\mathrm{ilim}}}{Q_{i\max }-Q_{i\min }}\right)}^2$

式中：F为目标函数；λ₁、λ₂分别为违反电压约束和发电机无功出力约束的惩罚因子，一般取100；α、β分别为违反节点电压约束和发电机无功出力约束的节点集合；V_i、V_imax、V_imin分别为节点电压及其上限和下限；Q_i、Q_imax、Q_imin分别为发电机节点无功出力及其上限和下限；V_ilim、Q_ilim分别为节点i电压和无功的限值。 

其定义如下： 

$V_{\mathrm{ilim}}=\left\{\begin{array}{cc}{V}_{i\max },& V_i>V_{i\max }\\ V_{i\min },& V_i＜V_{i\min }\end{array}\right.$

$Q_{\mathrm{ilim}}=\left\{\begin{array}{cc}{Q}_{i\max },& Q_i>Q_{i\max }\\ Q_{i\min },& Q_i＜Q_{i\min }\end{array}\right.$

等式约束为： 

$\left\{\begin{array}{c}{P}_i=V_i\underset{j=1}{\overset{N_B}{\mathrm{\Σ}}}{V}_j(G_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})\\ Q_i=V_i\underset{j=1}{\overset{N_B}{\mathrm{\Σ}}}{V}_j(G_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})\end{array}\right.$

式中P_i、Q_i、V_i分别为节点i处注入的有功、无功和电压；G_ij、B_ij和θ_ij为节点i、j的电导、电纳和相角差；N_B为节点总数。 

不等式约束为： 

$\left\{\begin{array}{cc}{V}_{\mathrm{Gk},\min }＜V_{\mathrm{Gk}}＜V_{\mathrm{Gk},\max }& \mathrm{Gk}=1,...,N_G\\ C_{i,\min }＜C_i＜C_{i,\max }& i=1,...,N_c\\ T_{j,\min }＜T_j＜T_{j,\max }& j=1,...,N_T\end{array}\right.$

式中：V_GK,min、V_GK，max为可调发电机电压的上、下限；C_i,min、C_i，max为补偿电容器投切组数的上、下限；T_j，min、T_j，max为可调变压器分接头档位的上、下限；N_G为所有可调发电机节点总数；N_c为所有无功补偿节点总数；N_T为所有变压器支路总数。 

(b)输入电力系统无功优化控制变量的数据，并初始化种群。设迭代次数t=1；无功优化控制变量有D个，初始种群有n个粒子，第i个粒子的位置x_i＝(x_i1,x_i2…x_iD)，第i个粒子的初始化位置按如下计算得到： 

发电机电压幅值：x_ij＝V_min+(V_max-V_min)×rand(0,1)，其中x_ij表示第i个粒子的第j维的位置，V_max与V_min分别为对应的发电机电压幅值的上下限，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数。 

变压器：x_ih=T_min+round(rand(0,1)×T_num)×(T_max-T_min)/T_num，其中x_ih表示第i个粒子的第h维的位置，T_max与T_min分别为对应的变压器调节的上下限，T_num为变压器可调的档位数，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数，round()为四舍五入取整函数。 

无功补偿量：x_ik=Q_min+round(rand(0,1)×Q_num)×(Q_max-Q_min)/Q_num，其中x_ik表示第i个粒子的第k维的位置，Q_max与Q_min分别为对应的无功补偿量的上下限，T_num为无功补偿量的投入档数，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数，round()为四舍五入取整函数。 

第i个粒子的初始化位置按如下计算得到： 

v_id=v_{id_min}+(v_{id_max}-v_{id_min})×rand(0,1)，其中v_id表示第i个粒子的第d维的速度，v_{id_max}与v_{id_min}分别为该维速度的上下限，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数。 

(c)进行潮流计算（采用牛顿-拉夫逊法），并记录种群第i个粒子的个体最优网损值f_pbest(x_i)、种群全局最优网损值f_gbest、第i个粒子个体最优位置pbest_i以及种群全局最优位置gbest； 

(d)在第t代中，第i个粒子第d维的速度v_id(t)与位置x_id(t)按如下公式更新速度与位置： 

v_id(t+1)＝ω(t)×v_id(t)+c₁×r₁×(p_id(t)-x_id(t))+c₂×r₂×(p_gd(t)-x_id(t))+r 

x_id(t+1)＝x_id(t)+v_id(t+1),1≤i≤n,1≤d≤D 

ω(t)＝(ω_ini-ω_fin)(T_max-t)/T_max+ω_fin

其中，c₁，c₂为正常数；r₁，r₂为[0,1]之间的随机数；p_id(t)为第i个粒子第d维在t代中找到的个体最优位置；p_gd(t)为整个种群在t代中找到的第d维全局最优位置；r为扰动项，它符合标准正态分布，且根据实际问题的不同，扰动项r所符合的正态分布的均值与方差值有所不同；T_max为最大迭代次数；ω_ini为初始惯性权值；ω_fin为最大迭代次数时的惯性权值。 

粒子位置与速度越界处理：当x_id＞x_d.max时，x_id＝x_d.max；当x_id＜x_d.min时，则x_id＝x_d.min。同理，当v_id＞v_d.max时，v_id＝v_d.max；当v_id＜v_d.min时，则v_id＝v_d.min。其中，x_d.max、x_d.min分别表示搜索空间第d维的搜索范围上下限；v_d.max、v_d.min分别表示搜索空间第d维的速度上下限。 

按如下对变压器与无功补偿量的位置进行离散处理： 

变压器：x_ih=round(x_ih×T_num/(T_max-T_min))×(T_max-T_min)/T_num，其中x_ih表示第i个粒子的第h维的位置，T_max与T_min分别为对应的变压器调节的上下限，T_num为变压器可调的档位数，round()为四舍五入取整函数。 

无功补偿量：x_ik=round(x_ik×(Q_max-Q_min)/Q_num)×(Q_max-Q_min)/Q_num，其中x_ik表示第i个粒子的第k维的位置，Q_max与Q_min分别为对应的无功补偿量的上下限，T_num为无功补偿量的投入档数，round()为四舍五入取整函数。 

(e)评价种群，根据计算每个粒子的网损值f_k(x_i)，并比较f_pbest(x_i)与f_gbest，更新f_pbest(x_i)、f_gbest、pbest_i与gbest； 

(f)根据自适应判据判断是否进行变异操作。若满足则进行变异操作，并再次计算每个粒子的网损值f_k(x_i)，并比较f_pbest(x_i)与f_gbest，更新f_pbest(x_i)、f_gbest、pbest_i与gbest；自适应判据如下： 

以寻找最小值为基准，设在第t次迭代时， 其中f_pbest.i为粒子在t次迭代内找到的个体最优值。在第t+1次迭代时，满足

则进行变异操作；否则则无需进行变异操作。 

变异操作按如下公式进行： 

x_id(t)＝p_id(t)×rand(0,1) 

其中，P_id(t)为第i个粒子的第d维在t次迭代内找到的个体历史最优位置，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数。 

(g)检查适应值是否达到精度要求或达到最大迭代次数。如果精度达到要求或达到最 大迭代次数，则循环结束，输出结果至优化配置无功补偿装置；否则t=t+1，返回步骤(d)。 

与现有技术相比，本发明的有益效果是： 

本发明针对粒子群优化算法在搜索后期多样性容易缺失而容易陷入局部最优的不足，提出加入扰动，增强种群的多样性。为判断种群多样性是否缺失，提出了一种有效的自适应判据。当种群多样性缺失时，则以粒子的个体最优位置为依据进行变异操作以让种群恢复多样性。基于上述一系列的操作，本发明有效地提高了粒子群算法的优化性能，是一种计算精度高、稳定性好、能有效地求解电力系统无功优化问题的工具。 

附图说明

图1IEEE30节点系统中三种不同算法的网损收敛曲线图 

具体实施方式：

以IEEE 30节点系统为例，节点网络参数来源于[张伯明，陈寿孙，严正．高等电网络分析[M]．北京：清华大学出版社，2007：325-328]。该系统共有30个节点，41条支路，21个负荷节点，6台发电机，4台可调变压器，以及两个电容无功补偿节点。设定可调变压器初始变比为1，发电机初始电压为1，无功补偿点初始为0，得到初始网络损耗为P_LOSS＝0.0844。 

(1)建立无功优化模型，从经济性能出发，以网损最小为无功优化数学模型。考虑到节点电压和发电机无功出力的越界，故对节点电压越界和发电机无功出力越界以罚函数的方式进行处理。数学模型描述公式如下 

$\min F=\underset{\underset{j\∈I}{i\∈N}}{\mathrm{\Σ}}{G}_{\mathrm{ij}}(V_i^2+V_j^2-2V_i{V}_j\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})+{\mathrm{\λ}}_1\underset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}{\left(\frac{V_i-V_{\mathrm{ilim}}}{V_{i\max }-V_{i\min }}\right)}^2+{\mathrm{\λ}}_2\underset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}{\left(\frac{Q_i-Q_{\mathrm{ilim}}}{Q_{i\max }-Q_{i\min }}\right)}^2$

式中：F为目标函数；λ₁、λ₂分别为违反电压约束和发电机无功出力约束的惩罚因子，一般取100；α、β分别为违反节点电压约束和发电机无功出力约束的节点集合；V_i、V_imax、V_imin分别为节点电压及其上限和下限；Q_i、Q_imax、Q_imin分别为发电机节点无功出力及其上限和下限；V_ilim、Q_ilim分别为节点i电压和无功的限值。 

其定义如下： 

$V_{\mathrm{ilim}}=\left\{\begin{array}{cc}{V}_{i\max },& V_i>V_{i\max }\\ V_{i\min },& V_i＜V_{i\min }\end{array}\right.$

$Q_{\mathrm{ilim}}=\left\{\begin{array}{cc}{Q}_{i\max },& Q_i>Q_{i\max }\\ Q_{i\min },& Q_i＜Q_{i\min }\end{array}\right.$

等式约束为： 

$\left\{\begin{array}{c}{P}_i=V_i\underset{j=1}{\overset{N_B}{\mathrm{\Σ}}}{V}_j(G_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})\\ Q_i=V_i\underset{j=1}{\overset{N_B}{\mathrm{\Σ}}}{V}_j(G_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})\end{array}\right.$

式中P_i、Q_i、V_i分别为节点i处注入的有功、无功和电压；G_ij、B_ij和θ_ij为节点i、j的电导、电纳和相角差；N_B为节点总数。 

不等式约束为： 

$\left\{\begin{array}{cc}{V}_{\mathrm{Gk},\min }＜V_{\mathrm{Gk}}＜V_{\mathrm{Gk},\max }& \mathrm{Gk}=1,...,N_G\\ C_{i,\min }＜C_i＜C_{i,\max }& i=1,...,N_c\\ T_{j,\min }＜T_j＜T_{j,\max }& j=1,...,N_T\end{array}\right.$

式中：V_GK,min、V_GK，max为可调发电机电压的上、下限；C_i,min、C_i，max为补偿电容器投切组数的上、下限；T_j，min、T_j，max为可调变压器分接头档位的上、下限；N_G为所有可调发电机节点总数；N_c为所有无功补偿节点总数；N_T为所有变压器支路总数。 

(2)输入电网参数，包括支路参数和节点参数、各控制变量和状态变量的上下限。输入AMDPSO的参数，群体个数设置为50；最大迭代次数取100；每一维的最大速度为该维的搜索范围的20%；加速因子c₁和c₂均取2；扰动r□N(0,R)，其中R为每一维的最大速度的20%；ω_ini取0.9，ω_fin取0.4。迭代次数t=1。 

第i个粒子的初始化位置按如下计算得到： 

发电机电压幅值：x_ij＝V_min+(V_max-V_min)×rand(0,1)，其中x_ij表示第i个粒子的第j维的位置，V_max与V_min分别为对应的发电机电压幅值的上下限，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数。 

变压器：x_ih=T_min+round(rand(0,1)×T_num)×(T_max-T_min)/T_num，其中x_ih表示第i个粒子的第h维的位置，T_max与T_min分别为对应的变压器调节的上下限，T_num为变压器可调的档位数，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数，round()为四舍五入取整函数。 

无功补偿量：x_ik=Q_min+round(rand(0,1)×Q_num)×(Q_max-Q_min)/Q_num，其中x_ik表示第i个粒子的第k维的位置，Q_max与Q_min分别为对应的无功补偿量的上下限，T_num为无功补偿量的投入档数，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数，round()为四舍五入取整函数。 

第i个粒子的初始化位置按如下计算得到： 

v_id=v_{id_min}+(v_{id_max}-v_{id_min})×rand(0,1)，其中v_id表示第i个粒子的第d维的速度，v_{id_max}与v_{id_min}分别为该维速度的上下限，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数。 

(3)进行潮流计算（采用牛顿—拉夫逊法），并记录种群第i个粒子的个体最优网损值f_pbest(x_i)、种群全局最优网损值f_gbest、第i个粒子个体最优位置pbest_i以及种群全局最优位置gbest； 

(4)速度与位置更新：在第t代中，第i个粒子第d维的速度v_id(t)与位置x_id(t)按如下公式更新速度与位置： 

v_id(t+1)＝ω(t)×v_id(t)+c₁×r₁×(p_id(t)-x_id(t))+c₂×r₂×(p_gd(t)-x_id(t))+r 

x_id(t+1)＝x_id(t)+v_id(t+1),1≤i≤n,1≤d≤D 

ω(t)＝(ω_ini-ω_fin)(T_max-t)/T_max+ω_fin

粒子位置与速度越界处理：当x_id＞x_d.max时，x_id＝x_d.max；当x_id＜x_d.min时，则x_id＝x_d.min。同理，当v_id＞v_d.max时，v_id＝v_d.max；当v_id＜v_d.min时，则v_id＝v_d.min。其中，x_d.max、x_d.min分别表示搜索空间第d维的搜索范围上下限；v_d.max、v_d.min分别表示搜索空间第d维的速度上下限。 

对变压器与无功补偿量的位置进行离散处理： 

变压器：x_ih=round(x_ih×T_num/(T_max-T_min))×(T_max-T_min)/T_num，其中x_ih表示第i个粒子的第h维的位置，T_max与T_min分别为对应的变压器调节的上下限，T_num为变压器可调的档位数，round()为四舍五入取整函数。 

无功补偿量：x_ik=round(x_ik×(Q_max-Q_min)/Q_num)×(Q_max-Q_min)/Q_num，其中x_ik表示第i个粒子的第k维的位置，Q_max与Q_min分别为对应的无功补偿量的上下限，T_num为无功补偿量的投入档数，round()为四舍五入取整函数。 

(5)评价种群，根据计算每个粒子的网损值f_k(x_i)，并比较f_pbest(x_i)与f_gbest，更新f_pbest(x_i)、f_gbest、pbest_i与gbest； 

(6)在第k次迭代时， 

其中f_pbest.i为粒子在t次迭代内找到的个体最优值。在第t+1次迭代时，满足

则进行变异操作；否则则无需进行变异操作。 

变异操作按如下公式进行： 

x_id(t)＝p_id(t)×rand(0,1) 

其中，P_id(t)为第i个粒子的第d维在t次迭代内找到的个体历史最优位置，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数。 

(7)检查适应值是否达到精度要求或达到最大迭代次数。如果精度达到要求或达到最大迭代次数，则循环结束，输出结果至优化配置无功补偿装置；否则t=t+1，返回步骤(4)。 

在本次具体实施方式中，种群个数设置为50，最大迭代次数取100。IWPSO、CFPSO以及AMDPSO每一维的最大速度为该维的搜索范围的20%。加速因子c₁和c₂均取2。另外，CFPSO的收缩因子χ取0.729。AMDPSO的扰动项r～N(0，R)，其中R为每一维的最大速度的20%。ω_ini取0.9，ω_fin取0.4。目标函数式中的罚因子λ₁、λ₂均取100。三种算法的离散变量处理策略采用取最靠近档位的策略。每个程序独立运行10次，优化IEEE30节点系统的平均时间(Mean Time)、最佳优化网损(Best P_Loss)、平均网损(Mean P_Loss)、网损方差(Std P_Loss)以及平均网损下降率(Mean P_Save)在表1列出，IEEE30节点优化后的控制变量则在表2列出（结果为10次独立运行中最优结果对应的控制变量）。IEEE30节点系统三种算法的网损动态曲线图如图1所示。 

表1三种算法的优化结果对比 

表2IEEE 30节点优化后的控制变量 

从表1可以看出，在IEEE30节点系统中，相比其他两种算法，在独立运行10次后，AMDPSO的优化效果更好。但对于最佳优化网损的结果，AMDPSO则不如IWPSO以及CFPSO。从方差上而言，AMDPSO相比其他两种算法具有更好的收敛稳定性。但AMDPSO的优化时间仍较其他两种算法稍长。 

从图1可看到，AMDPSO的收敛速度明显更快。大约在迭代75次时AMDPSO的精度已经达到了IWPSO和CFPSO经100次迭代所得精度，展示了AMDPSO寻优的有效性和高效性。 

Claims (1)

1.基于个体最优位置自适应变异扰动粒子群算法的电力系统无功优化方法，在实时性运行中提高电力系统输电效率、降低网络损耗配置，其步骤包含：

(a)所采用电力系统无功优化数学模型为:

式中：F为目标函数；λ₁、λ₂分别为违反电压约束和发电机无功出力约束的惩罚因子，一般取100；α、β分别为违反节点电压约束和发电机无功出力约束的节点集合；V_i、V_imax、V_imin分别为节点电压及其上限和下限；Q_i、Q_imax、Q_imin分别为发电机节点无功出力及其上限和下限；V_ilim、Q_ilim分别为节点i电压和无功的限值；

其定义如下：

等式约束为：

式中P_i、Q_i、V_i分别为节点i处注入的有功、无功和电压；G_ij、B_ij和θ_ij为节点i、j的电导、电纳和相角差；N_B为节点总数；

不等式约束为：

式中：V_GK，min、V_GK，max为可调发电机电压的上、下限；C_i，min、C_i，max为补偿电容器投切组数的上、下限；T_j，min、T_j,max为可调变压器分接头档位的上、下限；N_G为所有可调发电机节点总数；N_c为所有无功补偿节点总数；N_T为所有变压器支路总数；

(b)输入电力系统无功优化控制变量的数据，并初始化种群;设迭代次数t=1；无功优化控制变量有D个，初始种群有n个粒子，第i个粒子的位置x_i＝(x_i1,x_i2…x_iD)，第i个粒子的初始化位置按如下计算得到：

发电机电压幅值：x_ij＝V_min+(V_max-V_min)×rand(0,1)，其中x_ij表示第i个粒子的第j维的位置，V_max与V_min分别为对应的发电机电压幅值的上下限，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数；

变压器：x_ih=T_min+round(rand(0,1)×T_num)×(T_max-T_min)/T_num，其中x_ih表示第i个粒子的第h维的位置，T_max与T_min分别为对应的变压器调节的上下限，T_num为变压器可调的档位数，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数，round()为四舍五入取整函数； 

无功补偿量：x_ik=Q_min+round(rand(0,1)×Q_num)×(Q_max-Q_min)/Q_num，其中x_ik表示第i个粒子的第k维的位置，Q_max与Q_min分别为对应的无功补偿量的上下限，T_num为无功补偿量的投入档数，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数，round()为四舍五入取整函数；

第i个粒子的初始化位置按如下计算得到：

v_id=v_{id_min}+(v_{id_max}-v_{id_min})×rand(0,1)，其中v_id表示第i个粒子的第d维的速度，v_{id_max}与v_{id_min}分别为该维速度的上下限，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数；

(c)进行潮流计算（采用牛顿—拉夫逊法），并记录种群第i个粒子的个体最优网损值f_pbest(x_i)、种群全局最优网损值f_gbest、第i个粒子个体最优位置pbest_i以及种群全局最优位置gbest；

(d)在第t代中，第i个粒子第d维的速度v_id(t)与位置x_id(t)按如下公式更新速度与位置：

v_id(t+1)＝ω(t)×v_id(t)+c₁×r₁×(p_id(t)-x_id(t))+c₂×r₂×(p_gd(t)-x_id(t))+r

x_id(t+1)＝x_id(t)+v_id(t+1),1≤i≤n,1≤d≤D

ω(t)＝(ω_ini-ω_fin)(T_max-t)/T_max+ω_fin

其中，c₁，c₂为正常数；r₁，r₂为[0,1]之间的随机数；p_id(t)为第i个粒子第d维在t代中找到的个体最优位置；p_gd(t)为整个种群在t代中找到的第d维全局最优位置；r为扰动项，它符合标准正态分布，且根据实际问题的不同，扰动项r所符合的正态分布的均值与方差值有所不同；T_max为最大迭代次数；ω_ini为初始惯性权值；ω_fin为最大迭代次数时的惯性权值；

粒子位置与速度越界处理：当x_id＞x_d.max时，x_id＝x_d.max；当x_id＜x_d.min时，则x_id＝x_d.min;同理，当v_id＞v_d.max时，v_id＝v_d.max；当v_id＜v_d.min时，则v_id＝v_d.min；其中，x_d.max、x_d.min分别表示搜索空间第d维的搜索范围上下限；v_d.max、v_d.min分别表示搜索空间第d维的速度上下限；

按如下对变压器与无功补偿量的位置进行离散处理：

变压器：x_ih=round(x_ih×T_num/(T_max-T_min))×(T_max-T_min)/T_num，其中x_ih表示第i个粒子的第h维的位置，T_max与T_min分别为对应的变压器调节的上下限，T_num为变压器可调的档位数，round()为四舍五入取整函数；

无功补偿量：x_ik=round(x_ik×(Q_max-Q_min)/Q_num)×(Q_max-Q_min)/Q_num，其中x_ik表示第i个粒子的第k维的位置，Q_max与Q_min分别为对应的无功补偿量的上下限，T_num为无功补偿量的投入档数，round()为四舍五入取整函数；

(e)评价种群，根据计算每个粒子的网损值f_k(x_i)，并比较f_pbest(x_i)与f_gbest，更新f_pbest(x_i)、f_gbest、pbest_i与gbest；

(f)根据自适应判据判断是否进行变异操作；若满足则进行变异操作，并再次计算每个粒子的网损值f_k(x_i)，并比较f_pbest(x_i)与f_gbest，更新f_pbest(x_i)、f_gbest、pbest_i与gbest；自适应判据如下： 

以寻找最小值为基准，设在第t次迭代时， 

其中f_pbest.i为粒子在t次迭代内找到的个体最优值;在第t+1次迭代时，当满足

则进行变异操作；否则无需进行变异操作；

变异操作按如下公式进行：

x_id(t)＝p_id(t)×rand(0,1)

其中，P_id(t)为第i个粒子的第d维在t次迭代内找到的个体历史最优位置，rand(0,1)为[0,1]之间的随机数；

(g)检查适应值是否达到精度要求或达到最大迭代次数,如果精度达到要求或达到最大迭代次数，则循环结束，输出结果至优化配置无功补偿装置；否则t＝t+1，返回步骤(d)。