CN102710568A - 基于压缩感知的直接序列扩频信号采集和恢复方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于压缩感知的直接序列扩频信号恢复方法，能够降低对A/D采样率的要求，以达到减少数据采集量的目的；具体步骤为：确定直接序列扩频信号的扩频基，并采用高斯随机矩阵或Rademacher矩阵作为测量矩阵；在加噪情况下，将接收机所接收的模拟信号经M个滤波器进行滤波，以远远低于Nyquist采样速率对滤波后的信号进行采样，得到向量

根据采样结果、扩频域和测量矩阵，采用压缩感知的恢复方法，将扩频域与经恢复后所得到的结果进行相乘，得到直扩信号的估计值。

Description

基于压缩感知的直接序列扩频信号采集和恢复方法

技术领域

本发明涉及压缩感知技术，属于通信信号处理领域，具体涉及一种基于压缩感知的直接序列扩频信号采集和恢复方法。

背景技术

根据Nyquist采样定律，接收机为了无失真地接收信号，需要以不低于信号的最高频分量两倍的速率进行采样。随着当今无线通信系统的发展，信号的带宽越来越宽，这就对接收机前端A/D提出了很高的要求。在直接序列扩频通信系统中，由于在扩频过程中，将信号带宽进一步地展宽，使得接收机按照Nyquist采样定律进行采样变得非常困难，这样会增加采样成本和采样复杂度。另外，在扩频之后，即便系统能够以Nyquist速率进行采样，所采得的数据量也会相当的大，这就要耗费后续的数字化处理资源和时间。传统的直接序列扩频通信系统仍以Nyquist速率进行采样，但是，随着信号频率的提高，系统的A/D部分的采样速率开始逼近物理极限，会造成提高设计难度和增加成本。因此，迫切需要一种方法能够将系统的采样率降至Nyquist速率以下。

压缩感知理论出现于2005-2006年，该理论指出：利用某个选定的测量矩阵可把一个稀疏的高维信号投影到低维的空间上，并证明了这样的随机投影包含了重建信号的足够信息。即压缩感知理论利用信号的稀疏性（或可压缩性）先验条件，通过一定的线性或非线性的解码模型可以以很高的概率重建原始信号。压缩感知依赖于两个准则：稀疏性和不相关性。稀疏性的数学定义是：信号

在基Ψ_N×U（又称测量矩阵，一般地N≤U）下可表示为

如果

中的非零元素很少，则称信号

在基Ψ_N×U下是稀疏的。只要信号具有稀疏性，我们就可以通过适当的方式来采集和恢复出原信号。不相关性是指，测量矩阵Φ_M×N的任意一列在基Ψ下的表示都是非稀疏的。测量矩阵Φ_M×N需要满足Restricted isometry Property（RIP）的条件，为特定信号专门设计测量矩阵是非常困难的，而高斯随机矩阵和Rademacher矩阵满足这一条件，目前，二者为最常用的测量矩阵。

同时，压缩感知理论指出，若信号的稀疏度为K，则存在测量矩阵Φ_M×N，其中，

M＜＜N，c为常数，使得信号可以被精确地恢复。对于稀疏信号进行恢复，已经有多种成熟的方法，如通过对l₁范数的最优化的方法、利用贪婪算法（greedy algorithm）以及基搜索（basis pursuit）方法。

由于众多信号在某些基下具有稀疏性，压缩感知理论在许多领域内已经得到广泛研究。如Ultra Wide Band（UWB）信号在时域有稀疏性；跳频信号在频域具有稀疏性；Chirp信号在时域和频域都不是稀疏的，但是在分数阶傅里叶变换域内是稀疏的；在图像处理领域，光滑的图像在频域内具有稀疏性，而分段光滑的图像在小波域内是稀疏的。而直接序列扩频信号（直扩信号）上述域内都不具有稀疏性，为了将压缩感知理论应用于接收机对直扩信号的接收，必须先找到直扩信号的扩频基。

发明内容

有鉴于此，本发明提供了一种基于压缩感知的直接序列扩频信号采集和恢复方法，该方法利用直接序列扩频信号在扩频域固有的稀疏性，结合压缩感知技术对信号进行采集，能够降低对A/D采样率的要求，以达到减少数据采集量的目的。

本发明所提供的方法的具体步骤为：

步骤一、确定用于对直接序列扩频信号进行压缩感知恢复的基Ψ。

①确定直接序列扩频信号的等效基带：

在不考虑信号载波且未加噪声的情况下，对于直接序列扩频通信系统，接收机所接收的信号s(t)的等效基带表示为：

$s\left(t\right)={\mathrm{\Σ}}_{p=1}^P{\mathrm{\Σ}}_{q=1}^Q{\mathrm{\γ}}_{p}b\left(q\right)u[t-(q-1)T_s-{\mathrm{\τ}}_p]---\left(1\right)$

其中，P为可分辨多径数量；Q为信号帧长度；T_s为码元周期；γ_p为第p条可分辨多径的复幅度；τ_p为第p条可分辨多径的延时，t为时间；b(q)∈{-1,+1}为第q个对极码元；u(t)为扩频波形，T_c为码片周期，L为扩频增益，c(l)表示长度为L的扩频码，g(t)为截断的带限成形波形，l为扩频码中的码片序号。

②对（1）式进行离散化：

假设接收机以Nyquist采样速率f_NSR＝2/T_c对s(t)进行采样，则有：

$s\left(t\right)={\mathrm{\Σ}}_{p=1}^P{\mathrm{\Σ}}_{q=1}^Q{\mathrm{\θ}}_{p,q}u[\frac{n-1}{f_{\mathrm{NSR}}}-(q-1)T_s-{\mathrm{\τ}}_p]---\left(2\right)$

其中，n∈[1，N]，N为以f_NSR进行采样时，一帧信号的采样点数。

③根据稀疏性的数学定义构造基Ψ为:

其中，

n∈[1，N]，k∈[1，U]，U=QDL，δ＝T_c/D，

D为以δ为间隔对码片周期进行分段得到的分段数，D≥16，DL>>P；则有：其中，由稀疏性的定义，可知直接序列扩频信号在所构建的基Ψ下是稀疏的，稀疏度为PQ。

④确定测量矩阵。

根据稀疏度PQ，选定常用的测量矩阵Φ_M×N，测量矩阵的行数

c为常数。所述测量矩阵Φ_M×N为高斯随机矩阵或Rademacher矩阵。

步骤二、在基Ψ下对信号s(t)进行采集和恢复，具体为：

①接收机所接收的模拟信号r(t)输入M个相同滤波器，分别得到信号a₁(t)~a_M(t)，以

的速率分别对a₁(t)~a_M(t)进行采样，每次采样共得到M个采样点，将M个采样点构成向量

即采样结果。

②根据采样结果

基Ψ_N×U和测量矩阵Φ_M×N，采用压缩感知的恢复方法，得到

的估计值

将基Ψ_N×U与

相乘得到直接序列扩频信号

的估计值中的元素即为信号s(n)的估计值

有益效果：

本发明所提供的方法，通过给出直接序列扩频信号的具有稀疏性的扩频域，并结合压缩感知原理，可实现接收机在远远低于Nyquist速率下，可对所接收的模拟信号进行采样，这样就降低了接收机对A/D采样速率的要求，从而达到了减少数据采集量的目的，使得通信系统成本降低。

此外，采用本发明所提供的方法的接收机，结合所给出的扩频基，可实现对低于Nyquist采样速率下所得到的采样结果进行精确的恢复。

附图说明

图1为本发明所提供的方法的流程图。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。

直接序列扩频信号（直扩信号）是用多个码片来表示1个码元的信息，那么就存在一种方式，使得不需要以Nyquist速率对码片进行采样，这样就为压缩感知理论应用于直扩信号的接收提供了理论基础。

对于接收机而言，可分辨的多径数量远远小于实际可能出现的总的多径数，且信号的能量往往集中于少量的可分辨的多径中，这就从可分辨多径与总的多径数量的比例上来看，可体现出稀疏性。因此，可考虑针对直扩信号，寻找扩频域，对直扩信号进行稀疏表示，从而采用较低速率进行信号采集和恢复。

图1示出了本发明所提供的方法的流程图。该方法的具体步骤为：

步骤一、确定用于对直接序列扩频信号进行压缩感知恢复的基Ψ。

由于电磁波在传输至接收机的过程中，电磁波在无线信道中会受多径效应的影响，因此，接收机所接收到的波形是含有噪声的不同延时信号的叠加。对于直接序列扩频通信系统而言，接收机所接收的直扩信号是对不同传输多径下的扩频波形延时后，进行可分辨多径增益加权并乘以相应的对极码元，最终进行叠加后所构成。结合稀疏性的数学定义，可将不同可分辨多径下的扩频波形延时构成一个矩阵，将相应的可分辨多径增益与对极码元之积构成一个列向量，这样，直扩信号可看作是所述矩阵与所述列向量相乘所构成的。而不可分辨的多径不会对直扩信号有路径增益，所以对直扩信号而言，该直扩信号可扩展为一个新的矩阵与一个大多为零元素的列向量相乘所构成，结合稀疏性的数学定义，则可知该新矩阵为直扩信号的稀疏域，即扩频域。下面进行理论分析和推导：

①确定直扩信号的等效基带

在不考虑信号载波且未加噪声的情况下，对于直接序列扩频通信系统，接收机所接收的信号s(t)的等效基带可表示为：

$s\left(t\right)={\mathrm{\Σ}}_{p=1}^P{\mathrm{\Σ}}_{q=1}^Q{\mathrm{\γ}}_{p}b\left(q\right)u[t-(q-1)T_s-{\mathrm{\τ}}_p]---\left(1\right)$

其中，P为可分辨多径数量；Q为信号帧长度；T_s为码元周期；γ_p为第p条可分辨多径的复幅度；τ_p为第p条可分辨多径的延时，0≤τ_p≤T_s，t为时间，0≤t≤T，T为一帧信号持续的最长时间，根据直扩信号的特性有T＝(Q+1)T_s+(2F-1)T_c，且γ_p和τ_p在接收机接收一帧信号的时间T内是恒定不变的，T_c为码片周期，F为截断的带限成形波形的单边过零点数；b(q)∈{-1,+1}为第q个对极码元；u(t)为扩频波形，

L为扩频增益，c(l)表示长度为L的扩频码，g(t)为截断的带限成形波形，该波形的时域支撑长度为2FT_c，l为扩频码中的码片序号。

②对等效基带进行离散化

根据（1）式，假设接收机以Nyquist采样速率f_NSR＝2/T_c对s(t)进行采样，则有：

$s\left(t\right)={\mathrm{\Σ}}_{p=1}^P{\mathrm{\Σ}}_{q=1}^Q{\mathrm{\θ}}_{p,q}u[\frac{n-1}{f_{\mathrm{NSR}}}-(q-1)T_s-{\mathrm{\τ}}_p]---\left(2\right)$

其中，n∈[1，N]，N为以f_NSR＝2/T_c进行采样时，一帧信号的采样点数。

③根据稀疏性的数学定义构造基Ψ并确定测量矩阵

由于，N-以f_NSR进行采样时，一帧信号的采样点数，因此N＝T·f_NSR＝2(Q+1)T_s/T_c+2(2F-1)，而且直扩信号有T_s=T_c·L，则

θ_p,q＝γ_p·b(q)。将s(1),...,s(N)构成列向量则有：

结合稀疏性的数学定义，要使得在某一基Ψ下是稀疏的，即

在Ψ下可表示为

且中的非零元素必须很少。结合（3）式，需要对

进行扩展，使PQ×1的列向量扩展为U×1的列向量，这里令U=（DL）Q，D≥16，DL>>P。当取Q=20，L=31，D=32，则有U=19840，远大于PQ=3×20=60，符合

中非零元素很少的要求。下面对U×1的列向量的构建作进一步的说明：

将每一个码片周期T_c分为D段，每段为一个延时，由于码元周期T_s是由L个T_c组成，这样，T_s中就包含了DL个延时。在实际的采样过程中，可能出现的P个延时出现于这DL个延时中，这P个延时为可分辨路径的延时，那么不可分辨路径的延时为DL-P个。由于，P个延时是随机出现的，为了表示所有可能的延时情况，将（3）式的P替换为DL，那么向量就扩展为U×1的列向量，U=QDL，相应地，将（3）式的矩阵扩展为N×U的矩阵。

假设延时τp的取值为τ_p∈{0,δ，2δ，...,(DL-1)δ},其中，δ＝T_c/D，则（2）式中的(q-1)T_s+τ_p＝(q-1)DLδ+τ_p，令q在1~Q中依次取值：

当q=1时，令τ_p在0,δ，2δ，...,(DL-1)δ内变化，则(q-1)DLδ+τ_p的变化范围为：0~(DL-1)δ。

当q=2时，令τ_p在0,δ，2δ，...,(DL-1)δ内变化，则(q-1)DLδ+τ_p的变化范围为：DLδ~(2DL-1)δ。

以此类推，当q=Q时，令τ_p在0,δ，2δ，...,(DL-1)δ内变化，则(q-1)DLδ+τ_p的变化范围为：(Q-1)DLδ~(U-1)δ。

综上所述，(q-1)DLδ+τ_p的取值范围为0~(U-1)δ，因此可将（2）式中的 $u[\frac{n-1}{f_{\mathrm{NSR}}}-(q-1)T_s-{\mathrm{\τ}}_p],$ 表示为：

其中，k为正整数，k=1，…，U。

由（3）和（4）式，则有：

其中，

且中包含有PQ个非零元素θ_p，q，基

由稀疏性的定义，可知直扩信号在所构建的基Ψ_N×U下是稀疏的，那么可在基Ψ下对信号s(t)进行采集和恢复，相应地，稀疏度为PQ。

采用高斯随机矩阵或Rademacher矩阵作为测量矩阵Φ_M×N，为了保证对于信号s(t)的恢复精度高，使得测量矩阵的行数

M＜＜N，c为常数。

为了验证所述扩频域，下面根据该扩频域，并结合压缩感知的恢复方法，对直扩信号s(n)进行恢复。

步骤二、在实际应用中，接收机所接收的模拟信号r(t)输入M个具有积分功能的低通滤波器后，分别得到信号a₁(t)~a_M(t)，在远远低于Nyquist采样速率下，即以

的速率分别对a₁(t)~a_M(t)进行采样，每次采样共得到M个采样点，将M个采样点构成向量

即采样结果。

步骤三、根据采样结果

基Ψ_N×U和测量矩阵Φ_M×N，采用压缩感知的恢复方法得到

的估计值

将基Ψ_N×U与

相乘得到

的估计值

中的元素即为信号s(n)的估计值

在已知采样结果

基Ψ_N×U和测量矩阵Φ_M×N的基础上，得到估计值

是现有的技术手段，其可以采样贪婪算法或基搜索方法，其中的基搜索方法的计算过程为：

${\stackrel{\begin{array}{c}^\\ \→\end{array}}{\mathrm{\θ}}}_{U\×1}=\underset{\stackrel{\→}{\mathrm{\θ}}\∈R^{U\×1}}{\arg \min }{\left|\right|\stackrel{\→}{\mathrm{\θ}}\left|\right|}_1,$ 其中，

服从 ${\left|\right|{\stackrel{\→}{y}}_{M\×1}\·{\mathrm{\Φ}}_{M\×N}\·{\mathrm{\Ψ}}_{N\×U}\·{\stackrel{\→}{\mathrm{\θ}}}_{U\×1}\left|\right|}_2\≤B,$ $B\≥{\left|\right|\stackrel{\→}{x}\left|\right|}_2,$ $\stackrel{\→}{x}=\left(\begin{array}{c}x\left(1\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ x\left(N\right)\end{array}\right),$

为噪声x（n），当n取1到N时所构成的列向量。

通过求解估计值

的归一化均方误差，对信号s(n)的恢复情况进行评价，计算得到的归一化均方误差的数量级为10^-3，可知，本发明所提供的方法的恢复精度很高。

可见，为了对直扩信号进行恢复，本发明所提供的方法结合稀疏性的数学定义，在找到了直扩信号的扩频域的情况下，根据该扩频域、测量矩阵和以远远低于Nyquist的速率进行采样的结果，采用压缩感知的恢复方法，即可恢复出模拟信号，且恢复精度很高。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种基于压缩感知的直接序列扩频信号采集和恢复方法，其特征在于，该方法的具体步骤为：

步骤一、确定用于对直接序列扩频信号进行压缩感知恢复的基Ψ；

①确定直接序列扩频信号的等效基带：

在不考虑信号载波且未加噪声的情况下，对于直接序列扩频通信系统，接收机所接收的信号s(t)的等效基带表示为：

$s\left(t\right)={\mathrm{\Σ}}_{p=1}^P{\mathrm{\Σ}}_{q=1}^Q{\mathrm{\γ}}_{p}b\left(q\right)u[t-(q-1)T_s-{\mathrm{\τ}}_p]---\left(1\right)$

其中，P为可分辨多径数量；Q为信号帧长度；T_s为码元周期；γ_p为第p条可分辨多径的复幅度；τ_p为第p条可分辨多径的延时，t为时间；b(q)∈{-1,+1}为第q个对极码元；u(t)为扩频波形，

T_c为码片周期，L为扩频增益，c(l)表示长度为L的扩频码，g(t)为截断的带限成形波形，l为扩频码中的码片序号；

②对（1）式进行离散化：

假设接收机以Nyquist采样速率f_NSR＝2/T_c对s(t)进行采样，则有：

$s\left(n\right)={\mathrm{\Σ}}_{p=1}^P{\mathrm{\Σ}}_{q=1}^Q{\mathrm{\θ}}_{p,q}u[\frac{n-1}{f_{\mathrm{NSR}}}-(q-1)T_s-{\mathrm{\τ}}_p]---\left(2\right)$

其中，n∈[1，N]，N为以f_NSR进行采样时，一帧信号的采样点数；

③根据稀疏性的数学定义构造基Ψ为:

其中，

n∈[1，N]，k∈[1，U]，U=QDL，δ＝T_c/D，D为以δ为间隔对码片周期进行分段得到的分段数，D≥16，DL>>P；则有：

其中，

由稀疏性的定义，可知直接序列扩频信号在所构建的基Ψ下是稀疏的，稀疏度为PQ；

④确定测量矩阵；

根据稀疏度PQ，选定常用的测量矩阵Φ_M×N，测量矩阵的行数c为常数；

步骤二、在基Ψ下对信号s(t)进行采集和恢复，具体为：

①接收机所接收的模拟信号r(t)输入M个具有积分功能的低通滤波器，分别得到信号a₁(t)~a_M(t)，以

的速率分别对a₁(t)~a_M(t)进行采样，每次采样共得到M个采样点，将M个采样点构成向量

即采样结果；

②根据采样结果

基Ψ_N×U和测量矩阵Φ_M×N，采用压缩感知的恢复方法，得到

的估计值

将基Ψ_N×U与

相乘得到直接序列扩频信号

的估计值中的元素即为信号s(n)的估计值

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述测量矩阵Φ_M×N选择高斯随机矩阵或Rademacher矩阵。

Images