CN102680016A - 一种光电编码器的误差补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种光电编码器的误差补偿方法，该方法进行误差补偿的过程较为简单，以达到提高补偿精度的目的；该方法所涉及的设备包括光电编码器、转台和控制器，具体步骤为：控制器将各角度测量值为需要补偿的值x，各转台转角值为约定真值z，将z和x作差得到y；根据x和z，采用最小二乘法建立光电编码器的知识基模型并输出z′；根据x和y，采用改进的自适应神经模糊推理系统结构建立神经模糊模型并输出y_net(k)；将所建立的知识基模型和神经模糊模型的输出进行相加得到z’+y_net(k)；分别将光电编码器的各测量值输入已建立的知识基模型和神经模糊模型中进行补偿，控制器输出补偿后的值。

Description

一种光电编码器的误差补偿方法

技术领域

本发明涉及自适应神经模糊推理技术，属于定向导航领域，具体涉及一种光电编码器的误差补偿方法。

背景技术

光电编码器又称为光电角位置传感器，是一种集光、机、电一体的数字测角传感器，它采用光电转换技术可将机械轴的角位置信息转换成相应的数字代码输出，可实现对角度、速度和其他机械物理量的测量。与其他同类用途的传感器相比，具有不易受外界噪音特别是磁场的影响，光电编码器具有分辨力高、测量精度高、寿命长、工作可靠性好、测量范围广、体积小、重量轻和易于维护等优点，因此被广泛地应用于雷达、光电经纬仪、指挥仪、机器人和高精度闭环调速系统等诸多领域。但是，由于光电编码器在使用一段时间后会因弹性元件疲劳、运动机件磨损及腐蚀、电子元器件的老化以及其在运输过程中因振动或碰撞都会造成误差，这样会影响光电编码器的测量精度。因此，如何降低各种干扰对光电编码器测量精度的影响是工程应用中必须解决的问题。

在现有技术中的光电编码器进行误差补偿的主要方法分别为：Orton等的论文《Automatic self-calibration of an incremental motion encoder》提出了一种采用三个或更多读数头的方法来消除角度传感器的大部分误差，但这种方法对读数头安装精度及制造工艺要求严格，过程复杂且成本很高。张礼松、管炳良的论文《关于坐标测量机研制中圆光栅误差修正技术》采用非线性最小二乘拟合法对圆光栅安装偏心带来的分度误差来进行误差修正，该方法误差测量时使用到24面棱体及光电自准直仪，这样操作起来较为繁琐，此外，最小二乘法是一种局部搜索技术，易陷入局部最优，而得不到全局最优解，且补偿效果一般。熊文卓、孔智勇、张炜的论文《光电轴角编码器光电信号正交性偏差的相量校正方法》提出了采用相量校正方法消除高精度光电轴角编码器的细分误差中的正交性偏差，但该方法需要以正弦信号为基准，并设计专门的信号处理电路，通过精密调节确保余弦信号的幅值与正弦信号严格相等才可以消除正交性误差，此外该方法只是针对正交性偏差的补偿。洪喜、续志军、杨宁的论文《基于径向基函数网络的光电编码器误差补偿法》提出了一种基于径向基函数网络模型的光电编码器误差修正技术，该方法需要以23位高精度编码器作为基准来检测16位光电编码器，操作较繁琐，数据量太小且补偿效果一般。赵人杰、马文礼的论文《利用误差谐波补偿法提高金属圆光栅测角精度》采用误差谐波法来消除稳定的可重复性误差源，该方法所使用的标校系统由23面棱体和自准直仪组成，且需要确定10个系数，该方法的操作复杂，耗时较长。高贯斌、王文、林铿、陈子辰的论文《圆光栅角度传感器的误差补偿及参数辨识》使用光电自准直仪和金属多面体对圆光栅角度传感器的测量误差进行离散标定，提出了一种基于正弦函数的圆光栅角度传感器误差补偿模型，采用粒子群算法求解7个模型参数，该方法的求解步骤较为繁琐，耗时较长。

综上所述，目前对光电编码器进行误差补偿的主要方法均存在误差补偿过程较繁琐和补偿精度低的问题。

发明内容

有鉴于此，本发明提供了一种光电编码器的误差补偿方法，该方法进行误差补偿的过程较为简单，以达到提高补偿精度的目的。

该方法所涉及的设备包括光电编码器、转台和控制器，其中，光电编码器安装在转台上且保持二者同轴，控制器通过数据线连接至光电编码器。该方法的具体步骤为：

S00、获取训练样本。

在常温的室内环境下，将与光电编码器同轴安装的转台，非匀速旋转转台一圈，在转台进行转动的过程中，可获得n个转台的转角值z₁，…，z_j，…，z_n并输入至控制器，同时对应于每个转角值，光电编码器测得角度测量值x₁，…，x_j，…，x_n，并通过数据线传输至控制器；控制器将角度测量值和转角值作为训练样本，其中，各角度测量值为需要补偿的值x=[x₁，…，x_j，…，x_n]^T，将约定真值z=[z₁，…，z_j，…，z_n]^T与x作差得到y=[y₁，…，y_j，…，y_n]^T=[z₁-x₁，…，z_j-x_j，…，z_n-x_n]^T，n的取值范围为24~72。

S01、建立知识基模型。

根据需要补偿的值x和z，采用最小二乘法建立光电编码器的知识基模型，该知识基模型的输出为z′＝g(x)，其中，g(·)为m次多项式，m=1~3，z′为约定真值z的拟合值。

S02、建立神经模糊模型。

在控制器上预设训练参数，包括训练次数epoch、训练误差目标值E₀和初始步长S（1），训练次数epoch的设置范围为100到10万，训练误差目标值E₀的设置范围为0~0.1，初始步长S（1）的设置范围为0.001~0.1。同时根据需要补偿的值x和y，采用自适应神经模糊推理系统结构建立神经模糊模型，具体过程为：

1）采用单输入单输出五层前向的自适应神经模糊推理系统，所选用的模糊推理规则为：若x为A_i，则有：f_i(x)=p_i(k)x+r_i(k)，其中，A_i为前题的模糊数，f_i(x)为结论中的精确数，p_i(k)和r_i(k)均为后件参数，迭代次数k＝1,2,...,epoch，i为模糊推理规则数，i＝1,2，...,R，R为每层的节点数；

所建立的神经模糊模型共五层，每层的输出分别为：

第一层的输出函数为：

其中，c_i(k)为隶属度函数

的中心，σ_i(k)为

的宽度，将c_i(k)和σ_i(k)作为前件参数。

第二层的输出函数为：

$O_i^2\left(x\right)={\mathrm{\μ}}_{A_i}\left(x\right)={\mathrm{\ω}}_i={[{\mathrm{\ω}}_{i1},...,{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}},...,{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{in}}]}^T---\left(2\right)$

其中， ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}=e^{-\frac{{[x_j-c_i\left(k\right)]}^2}{2\×{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}}.$

第三层的输出函数为：

$O_i^3\left(x\right)={\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i={[\frac{{\mathrm{\ω}}_{i1}}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i1}},...,\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}},...,\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{in}}}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{in}}}]}^T---\left(3\right)$

第四层的输出函数为：

$O_i^4\left(x\right)={\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i{f}_i\left(x\right)={\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i[p_i\left(k\right)x+r_i\left(k\right)]---\left(4\right)$

第五层的输出函数为：

$O_1^5\left(x\right)=y_{\mathrm{net}}\left(k\right)=f=\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i{f}_i\left(x\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i{f}_i\left(x\right)}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i}---\left(5\right)$

由式（4）和（5），则有：f＝A·X         （6）

其中，

X＝[p₁(k),r₁(k),p₂(k),r₂(k),...,p_R(k),r_R(k)]^T。

2）选择误差函数为：

其中，y_netj(k)为第j个角度测量值所对应的神经模糊模型输出， $y_{\mathrm{netj}}\left(k\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i{f}_i\left(x_j\right)}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i}.$

3）令A·X＝y，且

为A的第m+1个行向量，

为y的第m+1行元素，则有：

$S_{m+1}=S_m-\frac{S_m\·a_m\·a_m^T\·S_m}{1+a_m^T\·S_m\·a_m}---\left(8\right)$

$X_{m+1}=X_m+S_{m+1}\·a_m\·(b_m^T-a_m^T\·X_m)---\left(9\right)$

其中，m=0，…，n-1；S_m为协方差矩阵，S₀＝10⁶×I，I为2R×2R维的单位矩阵；X₀=0。

由式（8）和（9），得到2R×1的列向量X，由式（7）可知，列向量X中的元素即为后件参数p_i(k)和r_i(k)。

4）首先计算得到：

$\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂c_i\left(k\right)}=-2\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}[y_j-y_{\mathrm{netj}}\left(k\right)]\·\frac{x-c_i\left(k\right)}{{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}\·e^{-\frac{{[x-c_i\left(k\right)]}^2}{2\×{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}}\·\left[\frac{p_i\left(k\right)\·x+r_i\left(k\right)-y_{\mathrm{net}}\left(k\right)}{{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\ω}}_2+...+{\mathrm{\ω}}_R}\right]---\left(10\right)$

$\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)}=-2\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}[y_j-y_{\mathrm{netj}}\left(k\right)]\·\frac{{[x-c_i\left(k\right)]}^2}{{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^3}\·e^{-\frac{{[x-c_i\left(k\right)]}^2}{2\×{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}}\·\left[\frac{p_i\left(k\right)\·x+r_i\left(k\right)-y_{\mathrm{net}}\left(k\right)}{{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\ω}}_2+...+{\mathrm{\ω}}_R}\right]---\left(11\right)$

前件参数c_i(k)和σ_i(k)的调整学习算法分别为：

c_i(k+1)＝c_i(k)+Δc_i(k)         （12）

σ_i(k+1)＝σ_i(k)+Δσ_i(k)      （13）

其中，Δc_i(k)为c_i(k)的变化量，Δσ_i(k)为σ_i(k)的变化量。

结合动量附加法，则有：

$\mathrm{\Δ}{c}_i\left(k\right)=\mathrm{\λ}\·\mathrm{\Δ}{c}_i(k-1)+{\mathrm{\λ}}^2\·\mathrm{\Δ}{c}_i(k-2)-(1-\mathrm{\λ}-{\mathrm{\λ}}^2)\·\mathrm{\β}\left(k\right)\·\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂c_i\left(k\right)}---\left(14\right)$

$\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)=\mathrm{\λ}\·\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_i(k-1)+{\mathrm{\λ}}^2\·\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_i(k-2)-(1-\mathrm{\λ}-{\mathrm{\λ}}^2)\·\mathrm{\β}\left(k\right)\·\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)}---\left(15\right)$

其中，λ为动量因子，λ的取值范围为0.5~0.7；S(k)为步长；学习速率β(k)＞0，且

$\mathrm{\β}\left(k\right)=\frac{S\left(k\right)}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}({\left(\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂c_i\left(k\right)}\right)}^2+{\left(\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)}\right)}^2)}}---\left(16\right)$

5）开始进行训练，输入x和y至所建立的神经模糊模型；当k＝1时，预设前件参数c_i(k)的初始值为：

$c_i\left(1\right)=\min \left(x\right)+(i-1)\×\frac{[\max \left(x\right)-\min \left(x\right)]}{R-1}---\left(17\right)$

其中，min(x)为x₁，…，x_j，…，x_n中的最小值，max(x)为x₁，…，x_j，…，x_n中的最大值。

假设当k=1且i取1,2,..,R时，σ_i(k)相等，令隶属度函数

为0.5，由式（1）、（17）、（8）和（9），计算得到前件参数{c_i(1)，σ_i(1)}和后件参数{p_i(1),r_i(1)}；结合式（5）和（7）得到：

$E\left(1\right)=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[y_j-y_{\mathrm{netj}}\left(1\right)]}^2---\left(18\right)$

将{p_i(1),r_i(1)}和{c_i(1)，σ_i(1)}均代入式（18），计算得到误差函数值E(1)。

6）将当前训练次数k和epoch进行比较：若k大于或等于epoch，则将E(k)与训练误差目标值E₀作比较：若E(k)大于E₀，则说明本次训练失败，返回S02重新设置训练参数，重新从步骤5）开始进行训练，否则，完成训练并转至S03；若k小于epoch，对k进行判断：若k大于或等于4，转至步骤8），否则，转至步骤7）。

7）k自增1，根据训练样本以及计算得到的后件参数{p_i(k),r_i(k)}并结合式（5）~（9）以及（10）~（16）计算得到E(k)，转至步骤6）。

8）若计算得到的连续4个误差函数值：E(k)＜E(k-1)，E(k-2)＜E(k-3)且E(k-1)＞E(k-2)，则令S（k+1）=S（k）×S_D（k+1），其中，S_D(k+1)为第k+1次训练时步长下降速率，

根据S（k+1）调整学习速率β(k+1)并转至步骤7）；若计算得到的连续4个误差函数值：E(k)＜E(k-1)＜E(k-2)＜E(k-3)，则令S（k+1）=S_R×S（k），其中，S_R(k+1)为第k+1次训练时步长上升速率， $S_R(k+1)=\max (\frac{E(k-1)}{E\left(k\right)},\frac{E(k-2)}{E(k-1)},\frac{E(k-3)}{E(k-2)}),$ 根据S（k+1）调整学习速率β(k+1)并转至步骤7）。

S03、将所建立的知识基模型和神经模糊模型的输出进行相加得到z’+y_net(k)。

S04、分别将光电编码器的各测量值输入已建立的知识基模型和神经模糊模型中进行补偿，控制器输出补偿后的值。

有益效果：

（1）本发明所提供的方法，通过采用角度编码器和转台相结合，可获取训练样本，此外，在进行训练的过程中，采用改进的自适应神经模糊推理系统（ANFIS）结构来建立神经模糊模型，该神经模糊模型易于实现，可达到简化训练步骤的目的。

（2）本发明所提供的方法，首先通过采用传统的多项式拟合法对光电编码器建立知识基模型；其次采用改进的ANFIS结构建立神经模糊模型，即在对前件参数进行学习的过程中，通过引入动量因子的二次方项，来改进常用的动量附加法，此外，根据已求取的误差函数的变化规律来调整步长；最后将两模型并联组合得到误差模型来补偿光电编码器测角值。经多次误差补偿实验，均有效地提高了光电编码器的测角精度，从而达到了提高光电编码器进行角度测量的目的。

附图说明

图1为本发明所提供的方法的流程图；

图2为五层ANFIS原理结构图；

图3为本发明所提供的原理图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明进行详细描述。

本发明提供了一种光电编码器的误差补偿方法，该方法所涉及的设备包括光电编码器、转台（高精度的）和控制器，其中，光电编码器安装在转台上且保持二者同轴，控制器分别通过数据线连接至光电编码器。该方法的具体步骤为：

S00、获取训练样本。

在常温的室内环境下，将与光电编码器同轴安装的转台，非匀速手动旋转转台一圈，在转台进行转动的过程中，可读取n个转台的转角值z₁，…，z_j，…，z_n并输入至控制器，对应于每个转角值，光电编码器可测得角度测量值x₁，…，x_j，…，x_n，并通过数据线传输至控制器。控制器将角度测量值和转角值作为训练样本，其中，各角度测量值为需要补偿的值x=[x₁，…，x_j，…，x_n]^T，将约定真值z=[z₁，…，z_j，…，z_n]^T与x作差得到y=[y₁，…，y_j，…，y_n]^T=[z₁-x₁，…，z_j-x_j，…，z_n-x_n]^T。n的取值范围为24~72。

S01、建立知识基模型。

根据需要补偿的值x和z，采用最小二乘法建立光电编码器的知识基模型，该知识基模型的输出为z′＝g(x)，其中，g(·)为m次多项式，m=1~3，z′为约定真值z的拟合值。

S02、建立神经模糊模型。

在控制器上预设训练参数，包括训练次数epoch、训练误差目标值E₀和初始步长S（1）。训练次数epoch的设置范围为100到10万。训练误差目标值E₀的设置范围为0~0.1。初始步长S（1）的设置范围为0.001~0.1。

同时，根据x和y，采用自适应神经模糊推理系统（ANFIS）结构建立神经模糊模型，具体过程为：

1）采用单输入单输出五层前向的自适应神经模糊推理系统，所选用的模糊推理规则为：若x为A_i，则有：f_i(x)=p_i(k)x+r_i(k)。其中，A_i为前题的模糊数，f_i(x)为结论中的精确数，p_i(k)和r_i(k)均为后件参数，迭代次数k＝1,2,.e.p，o c，i为模糊推理规则数，i＝1,2，...,R，R为每层的节点数。

所建立的神经模糊模型共五层，各层的功能分别为：

第一层L1用A_i表示，该层用于模糊化输入变量。将需要补偿的值x作为该层的输入变量，该层的输出函数为：

$O_i^1\left(x\right)={\mathrm{\μ}}_{A_i}\left(x\right)---\left(1\right)$

其中，

为A_i的隶属度函数值，

决定了变量x属于集合A_i的程度。选取隶属度函数

为高斯函数的形式，则有：

${\mathrm{\μ}}_{A_i}\left(x\right)=e^{-\frac{{[x-c_i\left(k\right)]}^2}{2\×{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}}---\left(2\right)$

其中，c_i(k)为隶属度函数的中心，σ_i(k)为隶属度函数的宽度。将c_i(k)和σ_i(k)作为前件参数（前题参数）。

第二层L2用∏表示，该层用于将

进行传输并输出规则强度ω_i。

$O_i^2\left(x\right)={\mathrm{\μ}}_{A_i}\left(x\right)={\mathrm{\ω}}_i={[{\mathrm{\ω}}_{i1},...,{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}},...,{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{in}}]}^T---\left(3\right)$

其中， ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\μ}}_{A_i}\left(x_j\right)=e^{-\frac{{[x_j-c_i\left(k\right)]}^2}{2\×{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}}.$

第三层L3用N表示，该层用于对规则强度ω_i进行归一化。

$O_i^3\left(x\right)={\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i={[\frac{{\mathrm{\ω}}_{i1}}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i1}},...,\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}},...,\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{in}}}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{in}}}]}^T---\left(4\right)$

第四层L4用f_i表示，该层用于计算每条规则的输出，则有：

$O_i^4\left(x\right)={\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i{f}_i\left(x\right)={\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i[p_i\left(k\right)x+r_i\left(k\right)]---\left(5\right)$

第五层L5用Σ表示，该层用于计算规则总的输出，则有：

$y_{\mathrm{net}}\left(k\right)=O_1^5\left(x\right)=f=\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i{f}_i\left(x\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i{f}_i\left(x\right)}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i}---\left(6\right)$

由式（4）和（5）可得：

$f=\frac{{\mathrm{\ω}}_1}{{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\ω}}_2+...+{\mathrm{\ω}}_R}{f}_1\left(x\right)+\frac{{\mathrm{\ω}}_2}{{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\ω}}_2+...+{\mathrm{\ω}}_R}{f}_2\left(x\right)+...+\frac{{\mathrm{\ω}}_R}{{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\ω}}_2+...+{\mathrm{\ω}}_R}{f}_R\left(x\right)$

$={\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_1{f}_1\left(x\right)+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_2{f}_2\left(x\right)+...+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_R{f}_R\left(x\right)---\left(7\right)$

$=\left({\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_{1}x\right)p_1\left(k\right)+\left({\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_1\right)r_1\left(k\right)+\left({\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_{2}x\right)p_2\left(k\right)+\left({\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_2\right)r_2\left(k\right)+...+\left({\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_{R}x\right)p_R\left(k\right)+\left({\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_R\right)r_R\left(k\right)$

$=A\·X$

其中，

X＝[p₁(k),r₁(k),p₂(k),r₂(k),...,p_R(k),r_R(k)]^T。

2）确定误差函数。

所选择的误差函数为：

$E\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[y_j-y_{\mathrm{netj}}\left(k\right)]}^2---\left(8\right)$

其中，y_netj(k)为第j个角度测量值所对应的神经模糊模型输出，结合（6）式，则有 $y_{\mathrm{netj}}\left(k\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i{f}_i\left(x_j\right)}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i}.$

3）对后件参数进行学习。

为了使得y逼近y_net(k)，令A·X＝y，且

为A的第m+1个行向量，

为y的第m+1行元素，则有：

$S_{m+1}=S_m-\frac{S_m\·a_m\·a_m^T\·S_m}{1+a_m^T\·S_m\·a_m}---\left(9\right)$

$X_{m+1}=X_m+S_{m+1}\·a_m\·(b_m^T-a_m^T\·X_m)---\left(10\right)$

其中，m=0，…，n-1；S_m为协方差矩阵，S₀＝10⁶×I，I为2R×2R维的单位矩阵；X₀=0。

由式（9）和（10）进行递推，最终可得到2R×1的列向量X，由式（7）可知，该列向量中的元素即为后件参数p_i(k)和r_i(k)。

4）对前件参数进行学习。

首先计算：

$\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂c_i\left(k\right)}=\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂y_{\mathrm{net}}\left(k\right)}\·\frac{\∂y_{\mathrm{net}}\left(k\right)}{\∂c_i\left(k\right)}---\left(11\right)$

且 $\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂y_{\mathrm{net}}\left(k\right)}=-2\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}[y_j-y_{\mathrm{netj}}\left(k\right)]---\left(12\right)$

结合式（5）和（6），则有：

$\frac{{\∂y}_{\mathrm{net}}\left(k\right)}{{\∂c}_i\left(k\right)}=\frac{\∂\left[\frac{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i{f}_i\left(x\right)}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i}\right]}{\∂c_i\left(k\right)}$

$=\frac{\∂{\mathrm{\ω}}_i}{\∂c_i\left(k\right)}\·\frac{f_i\left(x\right)}{{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\ω}}_2+...+{\mathrm{\ω}}_R}-\frac{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i{f}_i\left(x\right)}{{({\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\ω}}_2+...+{\mathrm{\ω}}_R)}^2}\·\frac{{\∂\mathrm{\ω}}_i}{\∂c_i\left(k\right)}---\left(13\right)$

$=\frac{{\∂\mathrm{\ω}}_i}{\∂c_i\left(k\right)}\·\left[\frac{f_i\left(x\right)-y_{\mathrm{net}}\left(k\right)}{{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\ω}}_2+...+{\mathrm{\ω}}_R}\right]$

$=\frac{x-c_i\left(k\right)}{{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}\·e^{-\frac{{[x-c_i\left(k\right)]}^2}{2\×{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}}\·\left[\frac{p_i\left(k\right)\·x+r_i\left(k\right)-y_{\mathrm{net}}\left(k\right)}{{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\ω}}_2+...+{\mathrm{\ω}}_R}\right]$

从而可得：

$\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂c_i\left(k\right)}=-2\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}[y_j-y_{\mathrm{netj}}\left(k\right)]\·\frac{x-c_i\left(k\right)}{{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}\·e^{-\frac{{[x-c_i\left(k\right)]}^2}{2\×{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}}\·\left[\frac{p_i\left(k\right)\·x+r_i\left(k\right)-y_{\mathrm{net}}\left(k\right)}{{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\ω}}_2+...+{\mathrm{\ω}}_R}\right]---\left(14\right)$

同理可得：

$\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)}=-2\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}[y_j-y_{\mathrm{netj}}\left(k\right)]\·\frac{{[x-c_i\left(k\right)]}^2}{{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^3}\·e^{-\frac{{[x-c_i\left(k\right)]}^2}{2\×{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}}\·\left[\frac{p_i\left(k\right)\·x+r_i\left(k\right)-y_{\mathrm{net}}\left(k\right)}{{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\ω}}_2+...+{\mathrm{\ω}}_R}\right]---\left(15\right)$

前件参数c_i(k)和σ_i(k)的调整学习算法分别为：

c_i(k+1)＝c_i(k)+Δc_i(k)       （16）

σ_i(k+1)＝σ_i(k)+Δσ_i(k)    （17）

其中，Δc_i(k)为c_i(k)的变化量，Δσ_i(k)为σ_i(k)的变化量。

对于Δc_i(k)和Δσ_i(k)的推导，常采用梯度下降法，由于梯度下降法易陷入局部极小，而常用的动量附加法能够克服该缺陷，为了进一步提高动量附加法对前件参数学习的精确性，并充分考虑在参数学习的过程中，前件参数的微小变化对误差函数变化的影响，在这里引入动量因子的二次方项，使得前件参数变化量Δc_i(k)和Δσ_i(k)更加精确，则有：

$\mathrm{\Δ}{c}_i\left(k\right)=\mathrm{\λ}\·\mathrm{\Δ}{c}_i(k-1)+{\mathrm{\λ}}^2\·\mathrm{\Δ}{c}_i(k-2)-(1-\mathrm{\λ}-{\mathrm{\λ}}^2)\·\mathrm{\β}\left(k\right)\·\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂c_i\left(k\right)}---\left(18\right)$

$\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)=\mathrm{\λ}\·\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_i(k-1)+{\mathrm{\λ}}^2\·\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_i(k-2)-(1-\mathrm{\λ}-{\mathrm{\λ}}^2)\·\mathrm{\β}\left(k\right)\·\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)}---\left(19\right)$

其中，λ为动量因子，取值范围为0.5~0.7；S(k)为步长；学习速率β(k)＞0，且

$\mathrm{\β}\left(k\right)=\frac{S\left(k\right)}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}({\left(\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂c_i\left(k\right)}\right)}^2+{\left(\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)}\right)}^2)}}---\left(20\right)$

5）开始进行训练，输入x和y至所建立的神经模糊模型。当k＝1时，预设前件参数c_i(k)的初始值为：

$c_i\left(1\right)=\min \left(x\right)+(i-1)\×\frac{[\max \left(x\right)-\min \left(x\right)]}{R-1}---\left(21\right)$

其中，min(x)为x₁，…，x_j，…，x_n中的最小值，max(x)为x₁，…，x_j，…，x_n中的最大值。

假设当k=1且i取1,2,...,R时，σ_i(k)相等，令隶属度函数

为0.5，由式（2）和（21），则可得到σ_i(k)的初始值σ_i(1)。

根据前件参数{c_i(1)，σ_i(1)}，并结合式（9）和（10）可计算得到后件参数{p_i(1),r_i(1)}。

结合式（6）和（8）得到：

$E\left(1\right)=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[y_j-y_{\mathrm{netj}}\left(1\right)]}^2---\left(22\right)$

将后件参数{p_i(1),r_i(1)}以及前件参数{c_i(1)，σ_i(1)}均代入式（23），计算误差函数值E(1)。

6）将当前训练次数k和epoch进行比较：若k大于或等于epoch，则将E(k)与训练误差目标值E₀作比较：若E(k)大于E₀，则说明本次训练失败，返回S02重新设置训练参数，重新从步骤5）开始进行训练，否则，完成训练并转至S03。若k小于epoch，对k进行判断：若k大于或等于4，转至步骤8），否则，转至步骤7）。

7）k自增1，对前件参数和后件参数进行学习：根据训练样本以及计算得到的后件参数{p_i(k),r_i(k)}并结合式（6）~（10）以及（14）~（20）计算得到E(k)。转至步骤6）。

8）调整步长S（k）。在进行步长S（k）调整时，若调整后的步长S（k）过小，则会降低进行参数学习的速率；若调整后的步长S（k）过大，则会使得对于参数值的调整幅度过大，最终导致所得到的前件和后件参数值发散。为了获得最优的前件和后件参数值，应根据误差函数E(k)的变化规律来进行步长S（k）的调整，具体为：若计算得到的连续4个误差函数值：E(k)＜E(k-1)，E(k-2)＜E(k-3)且E(k-1)＞E(k-2)，此时，所得到的误差函数值波动较大，应缩短步长S（k）来进行前件和后件参数的学习，故令S（k+1）=S（k）×S_D（k+1），其中，S_D(k+1)为第k+1次训练时步长下降速率，

根据S（k+1）调整学习速率β(k+1)并转至步骤7）；若计算得到的连续4个误差函数值：E(k)＜E(k-1)＜E(k-2)＜E(k-3)，此时，所得到的误差函数值呈连续下降的趋势，应增大步长S（k），故令S（k+1）=S_R×S（k），其中，S_R(k+1)为第k+1次训练时步长上升速率，

根据S（k+1）调整学习速率β(k+1)并转至步骤7）。

S03、将所建立的知识基模型和神经模糊模型的输出进行相加得到z’+y_net(k)。

S04、分别将光电编码器的各测量值输入已建立的知识基模型和神经模糊模型中进行补偿，控制器输出补偿后的值，如图3所示。

下面举一个实例来说明上述方法。

选取误差补偿对象为一16位绝对式光电编码器，并选取一高精度转台：GT系列双轴手动转台，该转台的转角范围为360°，位置精度为±4″或±5″。手动转动转台一圈，每转5度进行一次测量，可得到72个角度测量值和转台的转角值，见表1。选取72个角度测量值和转台的转角值作为训练样本，对这72组测量数据求标准偏差，可得到原始测量数据的标准偏差为1.0755，如表2所示。

基于所建立的知识基模型和神经模糊模型，将所述训练样本中的角度测量值作为各模型的输入，在训练次数epoch分别为100和1800时，进行误差补偿并计算光电编码器的测角精度，得到表2的结果。

此外，将所述训练样本输入至采用ANFIS结构所建立的模型中，在训练次数epoch分别为100和1800时，计算得到相应的编码器测角精度，如表2所示，可见，采用以上两种方法对编码器进行补偿后，计算得到的编码器测角精度均有所提高，但采用本发明所提供的方法进行误差补偿的效果较好。

表1测量数据（单位：度）

表2效果比较（单位：度）

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种光电编码器的误差补偿方法，该方法所涉及的设备包括光电编码器、转台和控制器，其中，光电编码器安装在转台上且保持二者同轴，控制器通过数据线连接至光电编码器；该方法的具体步骤为：

S00、获取训练样本；

在常温的室内环境下，将与光电编码器同轴安装的转台，非匀速旋转转台一圈，在转台进行转动的过程中，可获得n个转台的转角值z₁，…，z_j，…，z_n并输入至控制器，同时对应于每个转角值，光电编码器测得角度测量值x₁，…，x_j，…，x_n，并通过数据线传输至控制器；控制器将角度测量值和转角值作为训练样本，其中，各角度测量值为需要补偿的值x=[x₁，…，x_j，…，x_n]^T，将约定真值z=[z₁，…，z_j，…，z_n]^T与x作差得到y=[y₁，…，y_j，…，y_n]^T=[z₁-x₁，…，z_j-x_j，…，z_n-x_n]^T；

S01、建立知识基模型；

根据需要补偿的值x和z，采用最小二乘法建立光电编码器的知识基模型，该知识基模型的输出为z′＝g(x)，其中，g(·)为m次多项式，m=1~3，z′为约定真值z的拟合值；

S02、建立神经模糊模型；

在控制器上预设训练参数，包括训练次数epoch、训练误差目标值E₀和初始步长S（1）；同时根据需要补偿的值x和y，采用自适应神经模糊推理系统结构建立神经模糊模型，具体过程为：

1）采用单输入单输出五层前向的自适应神经模糊推理系统，所选用的模糊推理规则为：若x为A_i，则有：f_i(x)=p_i(k)x+r_i(k)，其中，A_i为前题的模糊数，f_i(x)为结论中的精确数，p_i(k)和r_i(k)均为后件参数，迭代次数k＝1,2,...,epoch，i为模糊推理规则数，i＝1,2,...,R，R为每层的节点数；

所建立的神经模糊模型共五层，每层的输出分别为：

第一层的输出函数为：

其中，c_i(k)为隶属度函数

的中心，σ_i(k)为

的宽度，将c_i(k)和σ_i(k)作为前件参数；

第二层的输出函数为：

$O_i^2\left(x\right)={\mathrm{\μ}}_{A_i}\left(x\right)={\mathrm{\ω}}_i={[{\mathrm{\ω}}_{i1},...,{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}},...,{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{in}}]}^T---\left(2\right)$

其中， ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}=e^{-\frac{{[x_j-c_i\left(k\right)]}^2}{2\×{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}};$

第三层的输出函数为：

$O_i^3\left(x\right)={\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i={[\frac{{\mathrm{\ω}}_{i1}}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{i1}},...,\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ij}}},...,\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{in}}}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{in}}}]}^T---\left(3\right)$

第四层的输出函数为：

$O_i^4\left(x\right)={\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i{f}_i\left(x\right)={\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i[p_i\left(k\right)x+r_i\left(k\right)]---\left(4\right)$

第五层的输出函数为：

$O_1^5\left(x\right)=y_{\mathrm{net}}\left(k\right)=f=\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i{f}_i\left(x\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i{f}_i\left(x\right)}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i}---\left(5\right)$

由式（4）和（5），则有：f＝A·X    （6）

其中，

X＝[p₁(k),r₁(k),p₂(k),r₂(k),...,p_R(k),r_R(k)]^T；

2）选择误差函数为：

其中，y_netj(k)为第j个角度测量值所对应的神经模糊模型输出， $y_{\mathrm{netj}}\left(k\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i{f}_i\left(x_j\right)}{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i};$

3）令A·X＝y，且

为A的第m+1个行向量，

为y的第m+1行元素，则有：

$S_{m+1}=S_m-\frac{S_m\·a_m\·a_m^T\·S_m}{1+a_m^T\·S_m\·a_m}---\left(8\right)$

$X_{m+1}=X_m+S_{m+1}\·a_m\·(b_m^T-a_m^T\·X_m)---\left(9\right)$

其中，m=0，…，n-1；S_m为协方差矩阵，S₀＝10⁶×I，I为2R×2R维的单位矩阵；X₀=0；

由式（8）和（9），得到2R×1的列向量X，由式（7）可知，列向量X中的元素即为后件参数p_i(k)和r_i(k)；

4）首先计算得到：

$\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂c_i\left(k\right)}=-2\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}[y_j-y_{\mathrm{netj}}\left(k\right)]\·\frac{x-c_i\left(k\right)}{{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}\·e^{-\frac{{[x-c_i\left(k\right)]}^2}{2\×{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}}\·\left[\frac{p_i\left(k\right)\·x+r_i\left(k\right)-y_{\mathrm{net}}\left(k\right)}{{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\ω}}_2+...+{\mathrm{\ω}}_R}\right]---\left(10\right)$

$\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)}=-2\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}[y_j-y_{\mathrm{netj}}\left(k\right)]\·\frac{{[x-c_i\left(k\right)]}^2}{{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^3}\·e^{-\frac{{[x-c_i\left(k\right)]}^2}{2\×{\left[{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)\right]}^2}}\·\left[\frac{p_i\left(k\right)\·x+r_i\left(k\right)-y_{\mathrm{net}}\left(k\right)}{{\mathrm{\ω}}_1+{\mathrm{\ω}}_2+...+{\mathrm{\ω}}_R}\right]---\left(11\right)$

前件参数c_i(k)和σ_i(k)的调整学习算法分别为：

c_i(k+1)＝c_i(k)+Δc_i(k)        （12）

σ_i(k+1)＝σ_i(k)+Δσ_i(k)     （13）

其中，Δc_i(k)为c_i(k)的变化量，Δσ_i(k)为σ_i(k)的变化量；

结合动量附加法，则有：

$\mathrm{\Δ}{c}_i\left(k\right)=\mathrm{\λ}\·\mathrm{\Δ}{c}_i(k-1)+{\mathrm{\λ}}^2\·\mathrm{\Δ}{c}_i(k-2)-(1-\mathrm{\λ}-{\mathrm{\λ}}^2)\·\mathrm{\β}\left(k\right)\·\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂c_i\left(k\right)}---\left(14\right)$

$\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)=\mathrm{\λ}\·\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_i(k-1)+{\mathrm{\λ}}^2\·\mathrm{\Δ}{\mathrm{\σ}}_i(k-2)-(1-\mathrm{\λ}-{\mathrm{\λ}}^2)\·\mathrm{\β}\left(k\right)\·\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)}---\left(15\right)$

其中，λ为动量因子；S(k)为步长；学习速率β(k)＞0，且

$\mathrm{\β}\left(k\right)=\frac{S\left(k\right)}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}({\left(\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂c_i\left(k\right)}\right)}^2+{\left(\frac{\∂E\left(k\right)}{\∂{\mathrm{\σ}}_i\left(k\right)}\right)}^2)}}---\left(16\right)$

5）开始进行训练，输入x和y至所建立的神经模糊模型；当k＝1时，预设前件参数c_i(k)的初始值为：

$c_i\left(1\right)=\min \left(x\right)+(i-1)\×\frac{[\max \left(x\right)-\min \left(x\right)]}{R-1}---\left(17\right)$

其中，min(x)为x₁，…，x_j，…，x_n中的最小值，max(x)为x₁，…，x_j，…，x_n中的最大值；

假设当k=1且i取1,2，...,R时，σ_i(k)相等，令隶属度函数

为0.5，由式（1）、（17）、（8）和（9），计算得到前件参数{c_i(1)，σ_i(1)}和后件参数{p_i(1),r_i(1)}；结合式（5）和（7）得到：

$E\left(1\right)=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[y_j-y_{\mathrm{netj}}\left(1\right)]}^2---\left(18\right)$

将{p_i(1),r_i(1)}和{c_i(1)，σ_i(1)}均代入式（18），计算得到误差函数值E(1)；

6）将当前训练次数k和epoch进行比较：若k大于或等于epoch，则将E(k)与训练误差目标值E₀作比较：若E(k)大于E₀，则说明本次训练失败，返回S02重新设置训练参数，重新从步骤5）开始进行训练，否则，完成训练并转至S03；若k小于epoch，对k进行判断：若k大于或等于4，转至步骤8），否则，转至步骤7）；

7）k自增1，根据训练样本以及计算得到的后件参数{p_i(k),r_i(k)}并结合式（5）~（9）以及（10）~（16）计算得到E(k)，转至步骤6）；

8）若计算得到的连续4个误差函数值：E(k)＜E(k-1)，E(k-2)＜E(k-3)且E(k-1)＞E(k-2)，则令S（k+1）=S（k）×S_D（k+1），其中，S_D(k+1)为第k+1次训练时步长下降速率，

根据S（k+1）调整学习速率β(k+1)并转至步骤7）；若计算得到的连续4个误差函数值：E(k)＜E(k-1)＜E(k-2)＜E(k-3)，则令S（k+1）=S_R×S（k），其中，S_R(k+1)为第k+1次训练时步长上升速率， $S_R(k+1)=\max (\frac{E(k-1)}{E\left(k\right)},\frac{E(k-2)}{E(k-1)},\frac{E(k-3)}{E(k-2)}),$ 根据S（k+1）调整学习速率β(k+1)并转至步骤7）；

S03、将所建立的知识基模型和神经模糊模型的输出进行相加得到z’+y_net(k)；

S04、分别将光电编码器的各测量值输入已建立的知识基模型和神经模糊模型中进行补偿，控制器输出补偿后的值。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述n的取值范围为24~72。

3.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述训练次数epoch的设置范围为100到10万；训练误差目标值E₀的设置范围为0~0.1；初始步长S（1）的设置范围为0.001~0.1。

4.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述动量因子的取值范围为0.5~0.7。

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