CN102678862A - 一种确定铰接杆系机构运动奇异构型的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种确定铰接杆系机构运动奇异构型的方法。本方法以状态变量关于控制变量的导数为类刚度，将机构运动独立的协调方程分别对独立的控制变量进行一阶偏导，求解得类刚度表达式，以类刚度表达式等于零、无穷、0/0型为类刚度方程，通过联立求解机构的类刚度方程和协调方程可得机构所有运动奇异构型。本发明能寻找出机构的所有运动奇异构型，操作性强，为新型空间结构提供了设计依据，对机构奇异研究具有重大的推进作用。

Description

一种确定铰接杆系机构运动奇异构型的方法

技术领域

本发明为涉及新型空间结构——机构的运动奇异构型的求解方法，属于新型空间结构工程分析与设计技术领域。

背景技术

随着结构形式的不断发展，现代结构中出现了许多可动体系，如张拉整体结构、索穹顶、攀达穹顶以及可展结构等。这些新体系具有可变的初始形态，施工成型过程伴随着区别于弹性位移的几何位移，因此常与机构联系在一起。研究发现机构运动存在奇异现象，在奇异构型处机构可能出现运动“死点”，也可能按照非设计运动路径运动，失去可控性。当机构按照非设计路径运动时，由于控制与实际运动之间的矛盾，将在系统中产生较大的附加荷载，导致整个结构系统失稳，造成严重后果。因此，对机构奇异性的分析判定备受国内外学者的关注，具有非常重要的意义。

发明内容

本发明的目的是提供一种确定铰接杆系机构运动奇异构型的方法。为此，本发明采用以下技术方案：它包括以下步骤：

1)、确定铰接杆系机构的自由节点中的驱动节点和从动节点，所述驱动节点为与铰接杆系机构驱动杆件直接相连的自由节点，所述从动节点为除驱动节点外的其余自由节点，描述驱动节点状态的变量为控制变量θ＝(θ₁，θ₂，...，θ_m)，描述从动节点状态的变量为状态变量β＝(β₁，β₂，...，β_n)；θ₁，θ₂，...，θ_m分别为驱动节点1，驱动节点2，...，驱动节点m对应的控制变量，β₁，β₂，...，β_n分别为从动节点1，从动节点2，...，从动节点n对应的状态变量；

2)、建立铰接杆系机构运动的协调方程：F(β；θ)＝0，(β＝(β₁，β₂，...，β_n)；θ＝(θ₁，θ₂，...，θ_m))，其中F为独立的协调函数；将独立协调方程关于各独立控制变量进行一阶求导，并求解得到铰接杆系机构的类刚度K表达式；

3)、根据步骤2)得到的类刚度表达式，以其等于零、无穷大或0/0型为类刚度方程，联立求解类刚度方程和协调方程确定铰接杆系机构运动奇异构型。

在采用以上技术方案的基础上，本发明还可采用以下进一步的技术方案：

分别将协调方程中m个独立方程对独立的控制变量求导，可得：

$\frac{{\∂F}_k}{{\∂\mathrm{\θ}}_i}+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\∂F}_k}{{\∂\mathrm{\β}}_j}\frac{{\∂\mathrm{\β}}_j}{{\∂\mathrm{\θ}}_i}=0;$ (i＝1，2，L，m；k＝1，2，L，m)        (1)

其中，F_k为第k个独立协调函数，θ_i为驱动节点i对应的控制变量，β_j为从动节点j对应的状态变量；

定义类刚度K为：

(i＝1，2，...，m；j＝1，2，...，n-m)。由(1)式计算可得类刚度K表达式。

对于结构工程中的铰接杆系机构，状态变量与控制变量之间一般互为显式函数，有下式成立：

$\frac{{\mathrm{d\β}}_j}{\mathrm{dt}}=\frac{{\∂\mathrm{\β}}_j}{{\∂\mathrm{\θ}}_i}\frac{{\mathrm{d\θ}}_i}{\mathrm{dt}}=K\frac{{\mathrm{d\θ}}_i}{\mathrm{dt}}---\left(2\right)$

$\frac{{\mathrm{d\θ}}_i}{\mathrm{dt}}=\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_i}{{\∂\mathrm{\β}}_j}\frac{{\mathrm{d\β}}_j}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{K}\frac{{\mathrm{d\β}}_j}{\mathrm{dt}}---\left(3\right)$

其中，t为时间变量。

1)由式(2)可得：当K＝0时，对于任意的输入速度(控制变量导数dθ_i/dt)，输出速度(状态变量导数dβ_j/dt)均为零。此时驱动节点无法带动从动节点，即当从动节点固定时，驱动节点仍具有可动性，机构发生输出奇异。

2)由式(3)可得：当K＝∞时，对于任意的输出速度(状态变量导数dβ_j/dt)，输入速度(控制变量导数dθ_i/dt)均为零。此时驱动节点失去自由度，发生自锁现象；从动节点获得一个或者多个自由度，当驱动节点固定时，从动节点仍具有可动性，机构发生输入奇异。

3)当K＝0/0型时，机构同时具有输入奇异和输出奇异的特点：当驱动节点固定时，从动节点仍具有可动性；当从动节点固定时，驱动节点仍具有可动性，机构发生结构奇异。

由上可得：机构运动发生奇异的本质为输入与输出之间失去可控性。

本发明定义状态变量关于控制变量的导数为类刚度，并以类刚度表达式等于零、无穷大以及0/0型为类刚度方程，联立求解类刚度方程和协调方程可得机构所有奇异构型，操作性强，为新型空间结构提供了设计依据，对机构奇异研究具有重大的推进作用，且具有广阔的应用前景。

附图说明

图1为一平面铰接两自由度五杆体系的示意图；

图2a为图1所示平面铰接五杆体系机构运动奇异构型(杆BC、CD共线)示意图；

图2b为图1所示平面铰接五杆体系机构运动奇异构型(杆AB、BC共线)示意图；

图2c为图1所示平面铰接五杆体系机构运动奇异构型(杆CD、DE共线)示意图；

图2d为图1所示平面铰接五杆体系机构运动奇异构型(杆AB，BC，CD共线)示意图；

图2e为图1所示平面铰接五杆体系机构运动奇异构型(杆BC，CD，DE共线)示意图。

具体实施方式

以图1所示一平面铰接两自由度五杆体系为例，选择AB、DE杆件为驱动杆，则节点B、D为驱动节点，C节点为从动节点。对应θ₁和θ₄为控制变量，θ₂和θ₃状态变量，其中θ₁和θ₂逆时针为正，θ₃和θ₄顺时针为正。

根据闭合回路中C节点的坐标可建立此机构运动的独立协调方程如下：

F₁＝l₁cosθ₁+l₂cosθ₂+l₃cosθ₃+l₄cosθ₄-l₅＝0(4)

F₂＝l₁sinθ₁+l₂sinθ₂-l₃sinθ₃-l₄sinθ₄＝0

其中，l₁，l₂，l₃，l₄，l₅分别表示AB，BC，CD，DE，AE杆长。

将方程组(4)分别对控制变量θ₁，θ₄求导可得：

$\frac{{\∂F}_1}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}=l_1\sin {\mathrm{\θ}}_1+l_2\sin {\mathrm{\θ}}_2\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_2}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}+l_3\sin {\mathrm{\θ}}_3\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_3}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}=0$

$\frac{{\∂F}_2}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}=l_1\cos {\mathrm{\θ}}_1+l_2\cos {\mathrm{\θ}}_2\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_2}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}-l_3\cos {\mathrm{\θ}}_3\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_3}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}=0$ (5)

$\frac{{\∂F}_1}{{\∂\mathrm{\θ}}_4}=l_2\sin {\mathrm{\θ}}_2\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_2}{{\∂\mathrm{\θ}}_4}+l_3\sin {\mathrm{\θ}}_3\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_3}{{\∂\mathrm{\θ}}_4}+l_4\sin {\mathrm{\θ}}_4=0$

$\frac{{\∂F}_2}{{\∂\mathrm{\θ}}_2}{=l}_2\cos {\mathrm{\θ}}_2\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_2}{{\∂\mathrm{\θ}}_4}-l_3\cos {\mathrm{\θ}}_3\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_3}{{\∂\mathrm{\θ}}_4}-l_4\cos {\mathrm{\θ}}_4=0$

求解方程组(5)可得类刚度具体表达式如下：

$K_1=\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_2}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}=-\frac{l_1\sin ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_3)}{l_2\sin ({\mathrm{\θ}}_2+{\mathrm{\θ}}_3)}$

$K_2=\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_3}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}=-\frac{l_1\sin ({\mathrm{\θ}}_1-{\mathrm{\θ}}_2)}{l_3\sin ({\mathrm{\θ}}_2-{\mathrm{\θ}}_3)}$ (6)

$K_3=\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_2}{{\∂\mathrm{\θ}}_4}=-\frac{l_4\sin ({\mathrm{\θ}}_3-{\mathrm{\θ}}_4)}{l_2\sin \left({\mathrm{\θ}}_2\text{+}{\mathrm{\θ}}_3\right)}$

$K_4=\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_3}{{\∂\mathrm{\θ}}_4}=-\frac{l_4\sin ({\mathrm{\θ}}_4+{\mathrm{\θ}}_2)}{l_3\sin ({\mathrm{\θ}}_2+{\mathrm{\θ}}_3)}$

与式(6)中的类刚度K＝0，K＝∞，K＝0/0等效的类刚度方程如下：

sin(θ₁+θ₃)＝0

sin(θ₂+θ₃)＝0

sin(θ₁-θ₂)＝0                                                (7)

sin(θ₃-θ₄)＝0

sin(θ₄+θ₂)＝0

联立求解协调方程(4)和方程组(7)其中一类刚度方程，即可得机构的奇异构型。

该体系机构运动所有奇异构型见表1。

表1两自由度五杆体系的奇异构型

由于各杆长的数值不确定性，图2给出了代表性的各类奇异构型，其中实线表示奇异构型，虚线表示奇异构型处的可能运动路径。

Claims (2)

1.一种确定铰接杆系机构运动奇异构型的方法，其特征在于，它包括以下步骤：

1)、确定铰接杆系机构的自由节点中的驱动节点和从动节点，所述驱动节点为与铰接杆系机构驱动杆件直接相连的自由节点，所述从动节点为除驱动节点外的其余自由节点，描述驱动节点状态的变量为控制变量θ＝(θ₁，θ₂，...，θ_m)，描述从动节点状态的变量为状态变量β＝(β₁，β₂，...，β_n)；θ₁，θ₂，...，θ_m分别为驱动节点1，驱动节点2，...，驱动节点m对应的控制变量，β₁，β₂，...，β_n分别为从动节点1，从动节点2，...，从动节点n对应的状态变量；

2)、建立铰接杆系机构运动的协调方程：F(β；θ)＝0，(β＝(β₁，β₂，...，β_n)；θ＝(θ₁，θ₂，...，θ_m))，其中F为独立的协调函数，将独立的协调方程关于各独立控制变量进行一阶求导，并求解得到铰接杆系机构的类刚度K表达式；

3)、根据步骤2)得到的类刚度表达式，以其等于零、无穷大或0/0型为类刚度方程，联立求解类刚度方程和协调方程确定铰接杆系机构运动奇异构型。

2.根据权利要求1所述的一种确定铰接杆系机构运动奇异构型的方法，其特征在于，在步骤2)中，分别将协调方程中m个独立方程对独立的控制变量求导得：

$\frac{{\∂F}_k}{{\∂\mathrm{\θ}}_i}+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\∂F}_k}{{\∂\mathrm{\β}}_j}\frac{{\∂\mathrm{\β}}_j}{{\∂\mathrm{\θ}}_i}=0;$ (i＝1，2，L，m；k＝1，2，L，m)                  (1)

其中，F_k为第k个独立协调函数，θ_i为驱动节点i对应的控制变量，β_j为从动节点j对应的状态变量；

定义类刚度K为：

(i＝1，2，...，m；j＝1，2，...，n-m)；由(1)式计算得类刚度K表达式；当K＝0时，铰接杆系机构发生输出奇异；当K＝∞时，铰接杆系机构发生输入奇异；当K＝0/0型时，铰接杆系机构发生结构奇异。

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