CN102678861B - 一种确定铰接杆系机构奇异构型处相应自由节点运动方式的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种铰接杆系机构奇异构型处相应自由节点运动方式的确定方法。本方法将机构独立的协调函数对描述相应自由节点变量进行二阶求导，判定此二阶导数在奇异构型处是否等于零，如等于零，此奇异构型处相应自由节点可发生有限机构运动；如不等于零，相应自由节点发生一阶无穷小机构运动。本发明可以确定铰接杆系机构奇异构型处相应自由节点运动方式，以此为基础可以判定机构奇异构型处的运动状态，操作性强，为新型空间结构奇异性规避和结构设计提供了依据，且对机构奇异和运动分岔研究具有重大的推进作用，具有广阔的应用前景。

Description

一种确定铰接杆系机构奇异构型处相应自由节点运动方式的方法

技术领域

本发明为涉及机构奇异构型处自由节点运动方式确定方法，属于新型空间结构工程分析与设计技术领域。

背景技术

杆系机构施工成型全过程模拟分析已成为现代空间结构研究的一个热点。机构奇异的存在使机构运动具有不确定性。在机构运动奇异构型处，相应自由节点有两种运动方式：有限机构运动和一阶无穷小机构运动，不同运动方式对整个结构系统产生的影响不同，结构设计所采取的规避措施也不同，因此对机构奇异构型处相应自由节点运动方式的研究也是机构奇异和运动分岔研究的重要内容之一，其具有非常重要的实际意义。

发明内容

本发明的目的在于提供一种确定铰接杆系机构奇异构型处相应自由节点运动方式的方法。为此，本发明采用以下技术方案：所述运动方式被分为有限机构运动和一阶无穷小机构运动，所述方法包括以下步骤：

1)、确定自由节点中的驱动节点和从动节点，所述驱动节点为与铰接杆系机构驱动杆件直接相连的自由节点，所述从动节点为除驱动节点外的其余自由节点，描述驱动节点状态的变量为控制变量θ＝(θ₁，θ₂，...，θ_m)，描述从动节点状态的变量为状态变量β＝(β₁，β₂，...，β_m)；θ₁，θ₂，...，θ_m分别为驱动节点1，驱动节点2，...，驱动节点m对应的控制变量，β₁，β₂，...，β_n分别为从动节点1，从动节点2，...，从动节点n对应的状态变量；

2)、建立铰接杆系机构运动的协调方程：F(β；θ＝0，(β＝(β₁，β₂，...，β_m)；θ＝(θ₁，θ₂，...，θ_m))，其中F为独立的协调函数；

3)、将所述独立的协调函数对描述奇异构型处相应自由节点的变量进行二阶求导；

4)、如此二阶导数在奇异构型处等于零，则此奇异构型处相应自由节点发生有限机构运动；如不等于零，则此奇异构型处相应自由节点发生一阶无穷小机构运动。

在采用以上技术方案的基础上，本发明还可采用以下进一步的技术方案：

在输入奇异构型处，当驱动节点固定时，所需确定运动方式的对应从动节点j具有可动性，为考察其运动方式，将协调函数F对该从动节点的状态变量β_j进行二阶求导，可得：

$\frac{{\∂}^{2}F}{{\∂\mathrm{\β}}_j^2}=\frac{\∂}{{\∂\mathrm{\β}}_j}(\frac{\∂F}{{\∂\mathrm{\β}}_j}+\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\∂F}{{\∂\mathrm{\θ}}_i}\frac{{\∂\mathrm{\θ}}_i}{{\∂\mathrm{\β}}_j})---\left(1\right)$

若则表明在奇异构型的局部领域内，协调方程关于状态变量β_j独立，此时对应从动节点j可发生有限机构运动；若则表明此时协调方程仅在奇异构型处瞬间满足，对应从动节点j只能发生一阶无穷小机构运动。

在输出奇异构型处，当从动节点固定时，所需确定运动方式的对应驱动节点i具有可动性，为考察其运动方式，将协调函数F对该驱动节点的控制变量θ_i进行二阶求导，可得：

$\frac{{\∂}^{2}F}{{\∂\mathrm{\θ}}_i^2}=\frac{\∂}{{\∂\mathrm{\θ}}_i}(\frac{\∂F}{{\∂\mathrm{\θ}}_i}+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\∂F}{{\∂\mathrm{\β}}_j}\frac{{\∂\mathrm{\β}}_j}{{\∂\mathrm{\θ}}_i})---\left(2\right)$

若则表明在奇异构型的局部领域内，协调方程关于控制变量θ_i独立，此时对应驱动节点i可发生有限机构运动；若则表明此时协调方程仅在奇异构型处瞬间满足，对应驱动节点i只能发生一阶无穷小机构运动。

在结构奇异构型处，由于结构奇异构型同时具有输入奇异和输出奇异构型的运动特点，因此可分别采用式(1)和(2)作为从动节点和驱动节点的运动方式判定准则。

综上，采用本发明的技术方案，可以确定铰接杆系机构奇异构型处相应自由节点运动方式，以此为基础可以判定机构奇异构型处的运动状态，操作性强，为新型空间结构奇异性规避和结构设计提供了依据，且对机构奇异和运动分岔研究具有重大的推进作用，具有广阔的应用前景。

附图说明

图1为一平面铰接四杆体系的示意图。

图2a为图1所示平面铰接四杆体系的结构奇异构型(α＝0，β＝0)的示意图。

图2b为图1所示平面铰接四杆体系的结构奇异构型(α＝0，β＝π)的示意图。

图2c为图1所示平面铰接四杆体系的结构奇异构型(α＝π，β＝π)的示意图。

图3a为图2a所示结构奇异构型(α＝0，β＝0)处C节点运动方式示意图。

图3b为图2b所示结构奇异构型(α＝0，β＝π)处C节点运动方式示意图。

图3c为图2c所示结构奇异构型(α＝π，β＝π)处C节点运动方式示意图。

图4a为图2a所示结构奇异构型(α＝0，β＝0)处B节点运动方式示意图。

图4b为图2b所示结构奇异构型(α＝0，β＝π)处B节点运动方式示意图。

图4c为图2c所示结构奇异构型(α＝π，β＝π)处B节点运动方式示意图。

具体实施方式

以图1所示一平面铰接四杆体系为例，AB杆件为驱动杆，节点B为驱动节点，C节点为从动节点。对应α为控制变量，β为状态变量，均以逆时针为正。

根据闭合回路中BC杆长可建立此机构运动独立协调方程如下：

F(β；α)＝(b+bcosβ-bcosα)²+(bsinβ-bsinα)²-b²＝0        (3)

其中，b为各杆杆长。其奇异条件为(α＝0，β＝0)，(α＝0，β＝π)，(α＝π，β＝π)，对应奇异构型如图2所示，且均为结构奇异构型。

将协调方程(3)关于状态变量做二阶分析，可得：

$\frac{{\∂}^{2}F}{{\∂\mathrm{\β}}^2}=-{2b}^2[\cos \mathrm{\β}-\cos (\mathrm{\β}-\mathrm{\α})(1-\frac{\mathrm{d\α}}{\mathrm{d\β}})]+{2b}^2[\cos \mathrm{\α}+\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})(\frac{\mathrm{d\α}}{\mathrm{d\β}}-1)]\frac{\mathrm{d\α}}{\mathrm{d\β}}$

(4)

${2b}^2[\sin \mathrm{\α}+\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})]\frac{d^2\mathrm{\α}}{{\mathrm{d\β}}^2}$

当驱动节点B固定时，α为常数，故下式成立：

$\frac{\mathrm{d\α}}{\mathrm{d\β}}=0,$ $\frac{d^2\mathrm{\α}}{{\mathrm{d\β}}^2}=0---\left(5\right)$

将式(5)代入式(4)可得：在分岔构型(α＝0，β＝0)和(α＝0，β＝π)处，表明从动节点C可发生图3(a)和图3(b)虚线所示的有限机构运动；在分岔构型(α＝π，β＝π)处，表明从动节点C只能发生图3(c)虚线所示的一阶无穷小机构运动。

同理，将协调方程(3)关于状态变量α做二阶分析，可得：

$\frac{{\∂}^{2}F}{{\∂\mathrm{\α}}^2}={2b}^2[\cos \mathrm{\α}+\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})(1-\frac{\mathrm{d\β}}{\mathrm{d\α}})]+{2b}^2[-\cos \mathrm{\β}\frac{\mathrm{d\β}}{\mathrm{d\α}}+\cos (\mathrm{\β}-\mathrm{\α})(\frac{\mathrm{d\β}}{\mathrm{d\α}}-1)]\frac{\mathrm{d\β}}{\mathrm{d\α}}$

(6)

$+{2b}^2[-\sin \mathrm{\β}+\sin (\mathrm{\β}-\mathrm{\α})]\frac{d^2\mathrm{\β}}{d{\mathrm{\α}}^2}$

当从动节点C固定时，β为常数，故方程(5)仍成立，将其代入式(6)可得：在分岔构型(α＝0，β＝0)处，表明驱动节点B只能发生图4(a)虚线所示的一阶无穷小机构运动；在分岔构型(α＝0，β＝π)和(α＝π，β＝π)处，表明驱动节点B可发生图4(b)和图4(c)虚线所示的有限机构运动。

Claims (5)

1.一种确定铰接杆系机构奇异构型处相应自由节点运动方式的方法，其特征在于，所述运动方式被分为有限机构运动和一阶无穷小机构运动，所述方法包括以下步骤：

1)、确定自由节点中的驱动节点和从动节点，所述驱动节点为与铰接杆系机构驱动杆件直接相连的自由节点，所述从动节点为除驱动节点外的其余自由节点，描述驱动节点状态的变量为控制变量θ＝(θ₁,θ₂,…,θ_m)，描述从动节点状态的变量为状态变量β＝(β₁,β₂,…,β_n)；θ₁,θ₂,…,θ_m分别为驱动节点1,驱动节点2,…,驱动节点m对应的控制变量，β₁,β₂,…,β_n分别为从动节点1,从动节点2,…,从动节点n对应的状态变量；

2)、建立铰接杆系机构运动的协调方程：F(β；θ)＝0，(β＝(β₁,β₂,…,β_n)；θ＝(θ₁,θ₂,…,θ_m))，其中F为独立的协调函数；

3)、将所述独立的协调函数对描述奇异构型处相应自由节点的变量进行二阶求导；

4)、如此二阶导数在奇异构型处等于零，则此奇异构型处相应自由节点发生有限机构运动；如不等于零，则此奇异构型处相应自由节点发生一阶无穷小机构运动。

2.根据权利要求1所述的确定铰接杆系机构奇异构型处相应自由节点运动方式的方法，其特征在于，输入奇异构型处当驱动节点固定时，如对应状态变量的二阶协调函数值等于零，相应从动节点发生有限机构运动；如不等于零，相应从动节点发生一阶无穷小机构运动。

3.根据权利要求2所述的确定铰接杆系机构奇异构型处相应自由节点运动方式的方法，其特征在于，采用以下公式求导得二阶协调函数：

$\frac{{\∂}^{2}F}{\∂{\mathrm{\β}}_j^2}=\frac{\∂}{\∂{\mathrm{\β}}_j}(\frac{\∂F}{\∂{\mathrm{\β}}_j}+\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\∂F}{\∂{\mathrm{\θ}}_i}\frac{\∂{\mathrm{\θ}}_i}{\∂{\mathrm{\β}}_j})$

其中j表示所需确定运动方式的对应从动节点。

4.根据权利要求1所述的确定铰接杆系机构奇异构型处相应自由节点运动方式的方法，其特征在于，输出奇异构型处当从动节点固定时，如对应控制变量的二阶协调函数值等于零，相应驱动节点发生有限机构运动；如不等于零，相应驱动节点发生一阶无穷小机构运动。

5.根据权利要求4所述的确定铰接杆系机构奇异构型处相应自由节点运动方式的方法，其特征在于，采用以下公式求导得二阶协调函数：

$\frac{{\∂}^{2}F}{{\∂\mathrm{\θ}}_i^2}=\frac{\∂}{\∂{\mathrm{\θ}}_i}(\frac{\∂F}{\∂{\mathrm{\θ}}_i}+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\∂F}{\∂{\mathrm{\β}}_j}\frac{\∂{\mathrm{\β}}_j}{\∂{\mathrm{\θ}}_i})$

其中i表示所需确定运动方式的对应驱动节点。