CN102645280B - 高效的光谱还原方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种高效的光谱还原方法，该还原方法步骤为首先对干涉图进行过零单边采样并单边补零，干涉图短双边采样并双边补零；其次，把补零后的过零单边数据和短双边数据组成复数序列，其中过零单边数据为实部，短双边数据为虚部；然后采用下陷式三角切趾函数对复数序列切趾，再进行快速傅里叶变换；最后根据共轭对称复数序列的性质，进行光谱相位校正，得到准确的光谱分布。

Description

高效的光谱还原方法

技术领域

本发明涉及一种新的干涉图切趾函数及其高效的光谱还原方法。 

背景技术

在傅里叶变换光谱仪干涉图的实际测量中，一般采样到有限的极大光程差L处，实际上意味着强制干涉图函数从这一点开始及其后突然下降到零，这导致干涉图在该处出现尖锐的不连续性，从而引起变换光谱在颇大波数范围内的“微扰”，即旁瓣。为了抑制旁瓣对光谱失真造成的影响，可以采用三角切趾函数对干涉图加权，以缓和在极大光程差L处出现的不连续性。 

另外，理想情况下，干涉图关于零光程差点是对称的，但是由于检测干涉信号很难从零光程差开始、分束板存在吸收损耗和不均匀性、电子线路误差等，导致干涉图出现一定程度的不对称性和相位误差，降低探测灵敏度，并导致光谱失真。因此，相位误差的校正是傅里叶变换光谱分析仪计算的重要环节。 

在乘积法相位误差校正中，当采用过零单边干涉图进行光谱复原时，短双边干涉图数据被重复使用两次，导致光谱曲线变得平滑、分辨率下降。为了减小过零单边干涉图中心条纹领域内的数据被计算两次带来的误差，过零单边干涉图需要乘以一个权重函数，即采用Mertz提出的切趾函数，对短双边干涉图各点乘以不同的系数，使具有相同光程差的两点的干涉光强之和保持单点的幅值。 

目前，能够抑制旁瓣并且减小短双边干涉图数据被使用两次带来的误差，获得光谱的最佳方案如下： 

步骤(一)：通过测量得到过零单边干涉图光强分布I_s(x)和短双边干涉图光强分布I_d(x)，最大光程差分别为L₁、L₂(L₂<L₁)，采样间隔为T； 

步骤(二)：在光程差-L₁～-L₂之间对过零单边采样数据补零，补零间隔为T，然后采用Mertz切趾函数对补零后的过零单边干涉图进行切趾，切趾之后的光强分布I₁(x)为： 

$I_1\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& -L_1\&le;x<-L_2\\ A_1\left(x\right)\&CenterDot;I_s\left(x\right)& -L_2\&le;x<L_1\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x是光程差，A₁(x)是Mertz切趾函数，表示如下 

$A_1\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& -L_1\&le;x<-L_2\\ \frac{x+L_2}{2L_2}& \left|x\right|=L_2\\ 1& L_2<x\&le;L_1\end{array}\right.---\left(2\right)$

步骤(三)：在光程差-L₁～-L₂和L₂～L₁之间对短双边采样数据进行补零，补零间隔为T，补零后得到新的光强分布I₂(x)为：

$I_2\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& -L_1\&le;x<-L_2\\ I_d\left(x\right)& \left|x\right|\&le;L_2\\ 1& L_2<x\&le;L_1\end{array}\right.---\left(3\right)$

步骤(四)：根据实序列傅里叶变换的性质，把光强分布序列I₁(x)和I₂(x)分别作为一组复数序列的实部和虚部，组成一组复数序列f₀(x)，表示如下

f₀(x)＝I₁(x)+i·I₂(x)    (4)

然后采用三角切趾函数对此复数序列进行切趾，切趾后的复数序列f(x)为：

f(x)＝f₀(x)·A₂(x)    (5)

其中，A₂(x)是三角切趾函数，表示如下：

步骤(五)：对复数序列f(x)进行快速傅里叶变换，得到变换后的复数序列 F(k)，根据共轭对称复数序列的性质，把复数序列F(k)分成复数序列C(k)和D(k)两部分，其中

$C\left(k\right)=\frac{F\left(k\right)+F^{*}(-k)}{2}=a_1\left(k\right)+i{b}_1\left(k\right),k=\mathrm{1,2,3}\mathrm{\&Lambda;N}---\left(7\right)$

$D\left(k\right)=\frac{F\left(k\right)-F^{*}(-k)}{2i}=a_2\left(k\right)+i{b}_2\left(k\right),k=\mathrm{1,2,3}\mathrm{\&Lambda;N}---\left(8\right)$

其中，a₁(k)、b₁(k)分别是C(k)中点k的实部和虚部，a₂(k)、b₂(k)分别是D(k)中点k的实部和虚部，N是光强分布I₁(x)的总点数，对复数序列F(k)进行相位校正，就可以得到相位校正后点k的光强了，校正方法以及校正后点k的光强分布如下：

$B_0\left(k\right)=\frac{a_1\left(k\right)\&CenterDot;a_2\left(k\right)+b_1\left(k\right)\&CenterDot;b_2\left(k\right)}{\sqrt{a_2^2\left(k\right)+b_2^2\left(k\right)}}---\left(9\right)$

步骤(六)：对光强进行归一化。假设光强分布B₀(k)的最大值是a，最小值是b，对B₀(k)采用如下方法进行归一化处理，就可以得到归一化的光强分布B(k)：

$B\left(k\right)=\frac{B_0\left(k\right)-b}{a-b}---\left(10\right)$

根据式(11)中点数k与波数v的关系，就可以把光强分布B(k)转换为光强关于波数v的分布；

$v=\frac{2\&CenterDot;k}{T\&CenterDot;N}---\left(11\right)$

假设单边采样点数为N₁，过零采样点数为N₂，则此方案中步骤(一)至步骤(四)的计算量为

加法：4N₁+2N₂-1    (12)

乘法：4N₁+6N₂+1    (13)

采用这种方案获得还原光谱，为了减小过零单边干涉图中心条纹领域内的 数据被计算两次带来的误差，过零单边干涉图需要乘以Mertz切趾函数，使短双边干涉图具有相同光程差的两点的干涉光强之和保持单点的幅值。为了抑制旁瓣对光谱失真的影响，还需要采用三角切趾函数对干涉图切趾处理。由此可见，在已有的乘积法相位误差校正方法中，针对适用于三角切趾函数加权的干涉图，为了减小短双边干涉图数据被使用两次带来的误差和抑制旁瓣，需要分别采用Mertz切趾函数和三角切趾函数进行两次切趾处理，计算量大，效率低；

另外，使用Mertz切趾函数对过零单边干涉图加权，减小短双边干涉图数据被使用两次带来的误差，该方法具有明显的缺点：当相位误差不满足随波数缓变的条件时，干涉图的非对称性比较严重，此时这种加权方法不但不能减弱非对称性，反而会加重不对称性，达不到预期的加权效果，导致光谱失真，计算精度低。而且随着过零点数据量的减少这种现象变得更加明显。

因此，采用何种切趾函数，在抑制旁瓣的同时，能够减小短双边干涉图数据被使用两次带来的误差，减少校正相位误差的计算量；以及当相位误差不满足随波数缓变的条件时，采用何种切趾函数，对非对称性比较严重的干涉图加权，减小干涉图的非对称性带来的计算误差，已经成为亟待解决的问题。

发明内容

针对上述缺点，本发明的目的在于克服上述技术问题的缺陷，提出一种傅里叶变换光谱仪下陷式三角切趾函数及其高效的光谱还原方法，研究结果表明，本发明的下陷式三角切趾函数在抑制旁瓣的同时，能够使短双边干涉图中具有相同光程差的两个对应点的光强与各自对应的旋转因子的乘积之和为加权之前这两个对应点的光强与各自对应的旋转因子的乘积之和的平均值，减小短双边干涉图数据被使用两次带来的误差。当相位误差不满足随波数缓变的条件时， 此切趾函数也能够减弱干涉图的非对称性，达到预期的加权效果。

本发明的目的之一是通过以下技术方案来实现的：

步骤(一)：首先通过测量得到干涉图光强分布I(x)；

步骤(二)：提出下陷式三角切趾函数A(x)：

$A\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x+L_1}{L_1}& -L_1\&le;x<-L_2\\ \frac{L_1-\left|x\right|}{{2L}_1}& \left|x\right|\&le;L_2\\ \frac{L_1-x}{L_1}& L_2<x\&le;L_1\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x是光程差，L₁、L₂分别是过零单边干涉图和短双边干涉图的最大光程差；

步骤(三)：在光程差-L₂～L₁范围内，对干涉图进行过零单边采样，采样间隔为T，在光程差-L₁～-L₂之间对过零单边采样数据补零，补零间隔为T，补零后的光强分布I₁(x)为

$I_1\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& -L_1\&le;x<-L_2\\ I_s\left(x\right)& -L_2\&le;x\&le;L_1\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，I_s(x)是过零单边采样的光强分布；

步骤(四)：在光程差-L₂～L₂范围内，对干涉图进行短双边采样，采样间隔为T，然后对短双边采样数据在光程差-L₁～-L₂和L₂～L₁之间进行补零，补零间隔为T，补零后得到新的光强分布I₂(x)为：

$I_2\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& -L_1\&le;x<-L_2\\ I_d\left(x\right)& \left|x\right|\&le;L_2\\ 0& L_2<x\&le;L_1\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，I_d(x)是短双边采样的光强分布；

步骤(五)：根据实序列傅里叶变换的性质，把光强分布序列I₁(x)和I₂(x)分别作为一组复数序列的实部和虚部，组成一组复数序列f₀(x)，表示如下：

f₀(x)＝I₁(x)+i·I₂(x)    (4)

然后采用下陷式三角切趾函数对此复数序列进行切趾，切趾后的复数序列f(x)为：

f(x)＝f₀(x)·A(x)    (5)

根据本发明的优选实施例，其中切趾之后，使短双边干涉图中具有相同光程差的两个对应点的光强与各自对应的旋转因子的乘积之和为加权之前这两个对应点的光强与各自对应的旋转因子的乘积之和的平均值。

步骤(六)：对复数序列f(x)进行快速傅里叶变换，得到变换后的复数序列F(k)，根据共轭对称复数序列的性质，把复数序列F(k)分成复数序列C(k)和D(k)两部分，其中

$C\left(k\right)=\frac{F\left(k\right)+F^{*}(-k)}{2}=a_1\left(k\right)+i{b}_1\left(k\right),k=\mathrm{1,2,3}\mathrm{\&Lambda;N}---\left(6\right)$

$D\left(k\right)=\frac{F\left(k\right)-F^{*}(-k)}{2i}=a_2\left(k\right)+i{b}_2\left(k\right),k=\mathrm{1,2,3}\mathrm{\&Lambda;N}---\left(7\right)$

其中，a₁(k)、b₁(k)分别是C(k)中点k的实部和虚部，a₂(k)、b₂(k)分别是D(k)中点k的实部和虚部，N是光强分布I₁(x)的总点数，对复数序列F(k)进行相位校正，就可以得到相位校正后点k的光强了，校正方法以及校正后点k的光强分布如下：

$B_0\left(k\right)=\frac{a_1\left(k\right)\&CenterDot;a_2\left(k\right)+b_1\left(k\right)\&CenterDot;b_2\left(k\right)}{\sqrt{a_2^2\left(k\right)+b_2^2\left(k\right)}}---\left(8\right)$

步骤(七)：对光强进行归一化。假设光强分布B₀(k)的最大值是a，最小值是b，对B₀(k)采用如下方法进行归一化处理，就可以得到归一化的光强分布B(k)：

$B\left(k\right)=\frac{B_0\left(k\right)-b}{a-b}---\left(9\right)$

根据式(10)中点数k与波数v的关系，就可以把光强分布B(k)转换为光强关于波数v的分布；

$v=\frac{2\&CenterDot;k}{T\&CenterDot;N}---\left(10\right)$

利用本发明的下陷式三角切趾函数及光谱还原方法只需对干涉图进行一次切趾处理，就可以获得高精度的光谱，并且具有高效率、高精度优点。

虽然在下文中将结合一些示例性实施及使用方法来描述本发明，但本领域技术人员应当理解，并不旨在将本发明限制于这些实施例。反之，旨在覆盖包含在所附的权利要求书所定义的本发明的精神与范围内的所有替代品、修正及等效物。

本发明的其它优点、目的和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目的和其它优点可以通过下面的说明书，权利要求书，以及附图中所特别指出的结构来实现和获得。

附图说明

下面结合附图对本发明的具体实施例作进一步详细的说明。

图1本发明实现反演光谱流程图

图2本发明计算效率提高曲线图

图3相位误差不满足随波数缓变的条件时，采集的短双边干涉图

图4相位误差不满足随波数缓变时的相位谱图

图5采用传统方法和本发明方法反演的光谱图

具体实施方式

下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述；应当理解，优 选实施例仅为了说明本发明，而不是为了限制本发明的保护范围。

图1示出了本发明的技术方案：首先对干涉图进行过零单边采样并单边补零，干涉图短双边采样并双边补零；其次，把补零后的过零单边采样数据和短双边采样数据组成复数序列，其中过零单边数据为实部，短双边数据为虚部；然后采用下陷式三角切趾函数对复数序列切趾，再进行快速傅里叶变换；最后根据共轭对称复数序列的性质，进行光谱相位校正，得到准确的光谱分布。

下陷式三角切趾函数对复数序列切趾获得高精度还原光谱的过程为：

步骤(一)：首先通过测量得到干涉图光强分布I(x)；

步骤(二)：提出下陷式三角切趾函数A(x)：

$A\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x+L_1}{L_1}& -L_1\&le;x<-L_2\\ \frac{L_1-\left|x\right|}{{2L}_1}& \left|x\right|\&le;L_2\\ \frac{L_1-x}{L_1}& L_2<x\&le;L_1\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x是光程差，L₁、L₂分别是过零单边干涉图和短双边干涉图的最大光程差；

步骤(三)：在光程差-L₂～L₁范围内，对干涉图进行过零单边采样，采样间隔为T，在光程差-L₁～-L₂之间对过零单边采样数据补零，补零间隔为T，补零后的光强分布I₁(x)为

$I_1\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& -L_1\&le;x<-L_2\\ I_s\left(x\right)& -L_2\&le;x\&le;L_1\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，I_s(x)是过零单边采样的光强分布；

步骤(四)：在光程差-L₂～L₂范围内，对干涉图进行短双边采样，采样间隔为T，然后对短双边采样数据在光程差-L₁～-L₂和L₂～L₁之间进行补零，补零间隔为T，补零后的光强分布I₂(x)为：

$I_2\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& -L_1\&le;x<-L_2\\ I_d\left(x\right)& \left|x\right|\&le;L_2\\ 0& L_2<x\&le;L_1\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，I_d(x)是短双边采样的光强分布；

步骤(五)：根据实序列傅里叶变换的性质，把光强分布序列I₁(x)和I₂(x)分别作为一组复数序列的实部和虚部，组成一组复数序列f₀(x)，表示如下：

f₀(x)＝I₁(x)+i·I₂(x)    (4)

然后采用下陷式三角切趾函数对此复数序列进行切趾，在抑制旁瓣的同时，使短双边中具有相同光程差的两个对应点的光强与各自对应的旋转因子的乘积之和为加权之前这两个对应点的光强与各自对应的旋转因子的乘积之和的平均值。举例来说，比如具有相同光程差的两个对应点分别是A、B，那么加权后A点的光强与A点对应的旋转因子的乘积+加权后B点的光强与B点对应的旋转因子的乘积＝(加权前A点的光强与A点对应的旋转因子的乘积+加权前B点的光强与B点对应的旋转因子的乘积)/2。其中，不同点对应的旋转因子是不同的。切趾后的复数序列f(x)为：

f(x)＝f₀(x)·A(x)    (5)

步骤(六)：对复数序列f(x)进行快速傅里叶变换，得到变换后的复数序列F(k)，根据共轭对称复数序列的性质，把复数序列F(k)分成复数序列C(k)和D(k)两部分，其中

$C\left(k\right)=\frac{F\left(k\right)+F^{*}(-k)}{2}=a_1\left(k\right)+i{b}_1\left(k\right),k=\mathrm{1,2,3}\mathrm{\&Lambda;N}---\left(6\right)$

$D\left(k\right)=\frac{F\left(k\right)-F^{*}(-k)}{2i}=a_2\left(k\right)+i{b}_2\left(k\right),k=\mathrm{1,2,3}\mathrm{\&Lambda;N}---\left(7\right)$

其中，a₁(k)、b₁(k)分别是C(k)中点k的实部和虚部，a₂(k)、b₂(k)分别是D(k)中 点k的实部和虚部，N是光强分布I₁(x)的总点数，对复数序列F(k)进行相位校正，就可以得到相位校正后点k的光强了，校正方法以及校正后点k的光强分布如下：

$B_0\left(k\right)=\frac{a_1\left(k\right)\&CenterDot;a_2\left(k\right)+b_1\left(k\right)\&CenterDot;b_2\left(k\right)}{\sqrt{a_2^2\left(k\right)+b_2^2\left(k\right)}}---\left(8\right)$

步骤(七)：对光强进行归一化。假设光强分布B₀(k)的最大值是a，最小值是b，对B₀(k)采用如下方法进行归一化处理，就可以得到归一化的光强分布B(k)：

$B\left(k\right)=\frac{B_0\left(k\right)-b}{a-b}---\left(9\right)$

根据式(10)中点数k与波数v的关系，就可以把光强分布B(k)转换为光强关于波数v的分布；

$v=\frac{2\&CenterDot;k}{T\&CenterDot;N}---\left(10\right)$

假设单边采样点数为N₁，过零采样点数为N₂，则此方案中步骤(一)至步骤(五)的计算量为：

加法：4N₁-2        (11)；

乘法：4N₁+2N₂-1    (12)。

由于本发明中步骤(六)、步骤(七)与现有的最佳方案中步骤(五)、步骤(六)的计算量相同，所以本发明可以节约的计算量为：

加法：2N₂+1    (13)

乘法：4N₂+2    (14)

本发明提出的下陷式三角切趾函数及光谱还原方法，在抑制旁瓣的同时，使短双边干涉图中具有相同光程差的两个对应点的光强与各自对应的旋转因子的乘积之和为加权之前这两个对应点的光强与各自对应的旋转因子的乘积之和 的平均值，减小了短双边干涉图数据被使用两次带来的误差。只需要一次切趾就可以获得光谱，计算效率更高。从背景技术现有最佳方案中公式(12)、(13)以及具体实施方式中公式(13)、(14)可以计算出，随着过零采样点数N₂的增加，本发明的计算效率也将逐步得到提高，当单边采样点数N₁＝8200时，本发明与最好的现有技术相比，计算效率提高曲线如图2所示。

当相位误差不满足随波数缓变的条件时，干涉图的非对称性比较严重，通过以上措施，能够获得比Mertz乘积法更高精度的光谱。在仿真试验中，过零单边采样的最大光程差L₁＝0.4502cm，短双边采样的最大光程差L₂＝0.0136cm，采样间隔T＝632.8×10^-7cm，图3就是此时采集到的短双边干涉图，相位误差如图4所示。从图3和图4中可以看出，此时的相位误差不再满足随波数缓变的条件，采集的干涉图非对称性也比较严重，用Mertz切趾函数对此干涉图加权，就达不到使具有相同光程差的两点的干涉光强之和保持单点的幅值的效果。而采用本发明的下陷式三角切趾函数对此干涉图加权，在抑制旁瓣的同时，使短双边干涉图中具有相同光程差的两个对应点的光强与各自对应的旋转因子的乘积之和为加权之前这两个对应点的光强与各自对应的旋转因子的乘积之和的平均值，减小了短双边干涉图数据被使用两次带来的误差。与采用两次切趾获得的光谱相比，通过以上措施，能够获得更高精度的还原光谱，图5是分别采用两次切趾和本发明方法获得的光谱图，从图中可以看出，与现有的最好技术相比，本发明获得的光谱与实际光谱更加吻合，进一步减小了光谱失真，从而证明了本发明方法的可行性及有效性。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范 围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (2)

1.一种高效光谱还原方法，步骤为首先对干涉图过零单边采样并单边补零，干涉图短双边采样并双边补零；其次把补零后过零单边数据和短双边数据组成复数序列，其中过零单边数据为实部，短边数据为虚部；对复数序列进行快速傅里叶变换；最后根据共轭对称复数序列的性质，进行光谱相位校正，得到准确的光谱分布，其特征在于：在对复数序列进行快速傅里叶变换前，采用下陷式三角切趾函数对复数序列切趾。

2.如权利要求1所述的高效光谱还原方法，其特征在于：下陷式三角切趾函数对复数序列切趾获得光谱的过程为：

步骤(一)：首先通过测量得到干涉图光强分布I(x)；

步骤(二)：提出下陷式三角切趾函数A(x)：

$A\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x+L_1}{L_1}& -L_1\&le;x<-L_2\\ \frac{L_1-\left|x\right|}{{2L}_1}& \left|x\right|=L_2\\ \frac{L_1-x}{L_1}& L_2<x\&le;L_1\end{array}\right.---\left(1\right)$ 其中，x是光程差，L₁、L₂分别是过零单边干涉图和短双边干涉图的最大光程差；

步骤(三)：在光程差-L₂～L₁范围内，对干涉图进行过零单边采样，采样间隔为T，在光程差-L₁～-L₂之间对过零单边采样数据补零，补零间隔为T，补零后的光强分布I₁(x)为

$I_1\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& -L_1\&le;x<-L_2\\ I_s\left(x\right)& -L_2\&le;x\&le;L_1\end{array}\right.---\left(2\right)$ 其中，I_s(x)是过零单边采样的光强分布；

步骤(四)：在光程差-L₂～L₂范围内，对干涉图进行短双边采样，采样间隔为T，然后对短双边采样数据在光程差-L₁～-L₂和L₂～L₁之间进行补零，补零间隔为T，补零后得到新的光强分布I₂(x)为：

$I_2\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& -L_1\&le;x<-L_2\\ I_d\left(x\right)& \left|x\right|=L_2\\ 0& L_2<x\&le;L_1\end{array}\right.---\left(3\right)$ 其中，I_d(x)是短双边采样的光强分布；

步骤(五)：根据实序列傅里叶变换的性质，把光强分布序列I₁(x)和I₂(x)分别作为一组复数序列的实部和虚部，组成一组复数序列f₀(x)，表示如下：

f₀(x)＝I₁(x)+i·I₂(x)   (4)

然后采用下陷式三角切趾函数对此复数序列进行切趾，切趾后的复数序列f(x)为：

f(x)＝f₀(x)·A(x)   (5)

切趾之后，使短双边中具有相同光程差的两个对应点的光强与各自对应的旋转因子的乘积之和为加权之前这两个对应点的光强与各自对应的旋转因子的乘积之和的平均值；

步骤(六)：对复数序列f(x)进行快速傅里叶变换，得到变换后的复数序列F(k)，根据共轭对称复数序列的性质，把复数序列F(k)分成复数序列C(k)和D(k)两部分，其中

$C\left(k\right)=\frac{F\left(k\right)+F^{*}(-k)}{2}=a_1\left(k\right)+{\mathrm{ib}}_1\left(k\right),k=\mathrm{1,2,3}\mathrm{\&Lambda;N}---\left(6\right)$

$D\left(k\right)=\frac{F\left(k\right)-F^{*}(-k)}{2i}=a_2\left(k\right)+{\mathrm{ib}}_2\left(k\right),k=\mathrm{1,2,3}\mathrm{\&Lambda;N}---\left(7\right)$

其中，a₁(k)、b₁(k)分别是C(k)中点k的实部和虚部，a₂(k)、b₂(k)分别是D(k)中点k的实部和虚部，N是光强分布I₁(x)的总点数，对复数序列F(k)进行相位校正，就可以得到相位校正后点k的光强了，校正方法以及校正后点k的光强分布如下：

$B_0\left(k\right)=\frac{a_1\left(k\right)\&CenterDot;a_2\left(k\right)+b_1\left(k\right)\&CenterDot;b_2\left(k\right)}{\sqrt{a_2^2\left(k\right)+b_2^2\left(k\right)}}---\left(8\right)$

步骤(七)：对光强进行归一化；假设光强分布B₀(k)的最大值是a，最小值是b，对B₀(k)采用如下方法进行归一化处理，就可以得到归一化的光强分布B(k)：

$B\left(k\right)=\frac{B_0\left(k\right)-b}{a-b}---\left(9\right)$

根据式(10)中点数k与波数v的关系，就可以把光强分布B(k)转换为光强关于波数v的分布：

$v=\frac{2\&CenterDot;k}{T\&CenterDot;N}---\left(10\right).$