CN102564455A - 星敏感器安装误差四位置标定与补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明公布了一种星敏感器安装误差四位置标定与补偿方法，该方法首先分析了星敏感器输出姿态信息与安装误差之间的耦合关系，建立了星敏感器安装误差角量测模型，得到星敏感器输出的姿态矩阵；然后分析了利用不同横滚角位置标定安装误差的原理，并在此基础上，建立了基于不同横滚角位置的星敏感器安装误差标定模型；最后实现了基于四位置量测信息的三轴星敏感器安装误差标定计算与误差补偿算法。本发明能够实现对星敏感器安装误差的高精度标定，在此基础上进行安装误差的补偿，可有效提高星光天文定姿的精度，对星敏感器的高精度应用具有重要的理论意义和实际参考价值。

Description

星敏感器安装误差四位置标定与补偿方法

技术领域

发明涉及一种星敏感器安装误差四位置标定与补偿方法，属于导航技术领域，可应用于飞行器星敏感器安装误差的高精度标定和补偿，适用于空天飞行器的导航定位。

背景技术

以星敏感器为代表的星光天文导航系统以其隐蔽性好、精度高、无姿态累积误差等特点，在航空、航天等领域得到了广泛的应用。随着CMOS、APS敏感器的发展和动态性能的提高，星敏感器越来越多地采用更为灵活和低成本的捷联安装方式。

星敏感器作为高精度天文敏感器，本身具有较高的测量精度，最高可达角秒级。但在实际应用中，星敏感器安装误差可达到角分级，其带来的测量误差大大高于星敏感器的随机测量误差，严重污染了星敏感器的量测信息，因此安装误差是影响星敏感器在实际应用中测量精度的主要因素之一。由于星敏感器安装误差实际是表现为像坐标轴的指向偏差，并最终耦合到星敏感器的量测信息中，因此利用星敏感器的量测输出进行安装误差标定的方法逐渐受到重视。现阶段的解决方法多使用其它器件(如陀螺)进行辅助标定，但该类方法有其自身缺点：陀螺等器件本身具有测量误差，其测量精度会影响标定精度，从而增加了标定时误差建模及相应信息处理算法的复杂性。

因此，现有的星敏感器安装误差标定方法复杂且精度较低，不能充分发挥星敏感器自身的高精度测量优势。

发明内容

本发明目的在于：降低已有星敏感器安装误差对星敏感器定姿精度的影响，提供了一种星敏感器安装误差四位置标定与补偿方法。

本发明为实现上述目的，采用如下技术方案：

本发明星敏感器安装误差四位置标定与补偿方法，其特征在于包括以下步骤：

(1)建立星敏感器安装误差角量测模型，得到星敏感器输出的载体相对于惯性系的姿态矩阵，表示为：

其中C_β表示考虑安装误差角时的安装误差矩阵，

表示地心惯性坐标系和载体坐标系之间的转换矩阵，v表示星敏感器本身的随机观测噪声，可等效为角秒级的测角精度，对姿态阵元素的影响较小，

表示转台坐标系和载体坐标系之间的转换矩阵，

表示当地地理坐标系和转台坐标系之间的转换矩阵，

表示地心地球固联坐标系和当地地理坐标系之间的转换矩阵，

表示地心惯性坐标系和地心地球固联坐标系之间的转换矩阵，坐标转移矩阵中上下标的含义分别为：i为地心惯性坐标系。e为地心地球固连坐标系，n为当地地理坐标系，p为转台坐标系，b为载体坐标系；

(2)基于步骤(1)中所述的星敏感器安装误差角量测模型，建立基于不同横滚角的星敏感器安装误差标定模型；

(3)根据步骤(2)中所述的基于不同横滚角的星敏感器安装误差标定模型，设计基于四位置量测信息的三轴星敏感器安装误差标定算法；

(4)由步骤(3)所述三轴星敏感器安装误差标定算法获得安装误差参数，在星敏感器的定姿算法中加入安装误差补偿环节，校正安装误差造成的星敏感器对惯性姿态的量测误差。

本发明克服了现有星敏感器误差标定技术受辅助测量器件量测误差影响的不足，构建了一种适用于空天飞行器星敏感器安装误差标定与补偿方法，它具有以下优势：(1)无需借用陀螺等辅助测量器件，有效减小了辅助器件量测精度对误差标定精度的影响；(2)以标定测试中星敏感器输出的姿态信息为基础，从中提取安装误差的四位置标定测试与补偿方法，大大降低了标定实现的复杂性。

附图说明

图1为本发明的星敏感器安装误差标定与补偿算法的具体实施流程图；

图2为星敏感器安装误差角示意图；

图3为第一组测试时星敏感器基座在转台上的固定关系示意图；

图4为第二组测试时星敏感器基座在转台上的固定关系示意图；

图5为仿真的一条飞行航迹；

图6为本发明的星敏感器安装误差补偿前的天文定姿误差曲线图；

图7为本发明的星敏感器安装误差补偿后的天文定姿误差曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对发明的技术方案进行详细说明：

如图1所示，本发明的原理是：从建立安装误差角量测模型入手，得出星敏感器输出姿态矩阵，建立了基于不同横滚角位置的标定安装误差模型，实现了三轴星敏感器安装误差标定及补偿算法，实现高精度星光天文定姿。具体实施方法如下：

一、建立星敏感器安装误差角量测模型，得到星敏感器输出姿态矩阵

安装误差角表现为星敏感器像坐标系与载体坐标系之间的夹角，如附图1所示，当考虑安装误差为小量时，安装误差矩阵可表示为：

$C_{\mathrm{\β}}=\left[\begin{array}{ccc}1& {\mathrm{\β}}_z& -{\mathrm{\β}}_y\\ -{\mathrm{\β}}_z& 1& {\mathrm{\β}}_x\\ {\mathrm{\β}}_y& -{\mathrm{\β}}_x& 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

对于星敏感器固定于转台上的情况，得到星敏感器输出的载体相对于惯性系的姿态矩阵，采用一系列坐标转换矩阵表示为：

式(5)中，其中C_β表示考虑安装误差角时的安装误差矩阵，

表示地心惯性坐标系和载体坐标系之间的转换矩阵，v表示星敏感器本身的随机观测噪声，可等效为角秒级的测角精度，对姿态阵元素的影响较小，表示转台坐标系和载体坐标系之间的转换矩阵，

表示当地地理坐标系和转台坐标系之间的转换矩阵，

表示地心地球固联坐标系和当地地理坐标系之间的转换矩阵，

表示地心惯性坐标系和地心地球固联坐标系之间的转换矩阵，坐标转移矩阵中上下标的含义分别为：i为地心惯性坐标系。e为地心地球固连坐标系，n为当地地理坐标系，p为转台坐标系，b为载体坐标系。

二、建立基于不同横滚角位置的星敏感器安装误差标定模型

星敏感器固定于转台时，式(5)中仅

和

为可变，于是得到在t₁和t₂时刻转台处于不同姿态角时，星敏感器的输出

(6)

当t₂时刻相对与t₁时刻仅横滚角变化时，得到式(3)中的姿态矩阵有

${C2}_n^p={\mathrm{\Φ}}_y\left(\mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right){C1}_n^b---\left(7\right)$

其中，Φ_y(Δγ_2-1)表示绕y轴转过角度Δγ_2-1的坐标旋转矩阵；Δγ_2-1＝γ₂-γ₁为两个不同测量位置的横滚角之差。

考虑到地球自转的影响，在t₁、t₂两个不同的时刻的量测关系为

${C2}_i^e={C1}_i^e{\mathrm{\Φ}}_z\left({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ie}}\mathrm{\Δ}{t}_{2-1}\right)---\left(8\right)$

其中ω_ie＝7.2921151647×10^-5rad/s为地球自转角速度；Φ_z(ω_ieΔt_2-1)表示z轴转过角度ω_ieΔt_2-1的坐标旋转矩阵；Δt_2-1＝t₂-t₁。

则由公式(6)(7)(8)，可得到基于不同横滚角位置的星敏感器安装误差标定方程：

等式(9)左端反映星敏感器两个测量位置之间的关系，右端则包含了星敏感器两次量测的信息及时间间隔。

由于星敏感器基座相对转台的固定关系

可以事先测得，通过标定测试获得Δt_2-1，Δγ_2-1，则计算安装误差矩阵C_β。

三、基于四位置量测信息的三轴星敏感器安装误差标定计算

1.三轴安装误差标定方案设计

设计两组共四个位置的测试，具体如下：

1)第一组测试：设定载体坐标系与转台坐标系三轴重合，则星敏感器基座在转台上的固定关系示意图如附图3所示；在t₁时刻记为位置1，此时转台姿态为(ψ₁，φ₁，γ₁)，星敏感器输出的惯性姿态阵为

在t₂时刻记为位置2，此时转台姿态为(ψ₁，φ₁，γ₁+Δγ_2-1)，星敏感器输出的惯性姿态阵为

2)第二组测试：在第一组测试的基础上，将星敏感器绕载体系z轴旋转90°后重新固定于转台上，则星敏感器基座在转台上的固定关系示意图如附图4所示；在t₃时刻记为位置3，此时转台姿态为(ψ₃，φ₃，γ₃)，星敏感器输出的惯性姿态阵为

在t₄时刻记为位置4，此时转台姿态为(ψ₃，φ₃，γ₃+Δγ_4-3)，星敏感器输出的惯性姿态阵为

2.三轴安装误差标定计算

1)对于第一组两位置测试，载体坐标系与转台坐标系三轴重合，则

$C_p^b=I_{3\×3}---\left(10\right)$

将式(10)代入式(6)，经整理展开，并忽略二阶小量可得

$\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}& -\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right){\mathrm{\β}}_x+(1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}){\mathrm{\β}}_z& -\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\\ \left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right){\mathrm{\β}}_x+(1-\cos {\mathrm{\Δ\γ}}_{2-1}){\mathrm{\β}}_z& 1& -(1-\cos {\mathrm{\Δ\γ}}_{2-1}){\mathrm{\β}}_x+\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right){\mathrm{\β}}_z\\ \sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}& -(1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}){\mathrm{\β}}_x-\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right){\mathrm{\β}}_z& \cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]---\left(11\right)$

其中

为由两位置星敏感器输出的惯性姿态矩阵及量测时间间隔计算所得的矩阵中提取的对应元素。

由式(11)两端矩阵对应元素相等，可以获得量测矩阵式(12)

$\left[\begin{array}{cc}-\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right)& (1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1})\\ \left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right)& (1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1})\\ -(1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1})& \left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right)\\ -(1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1})& -\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_x\\ {\mathrm{\β}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{21}\\ a_{23}\\ a_{32}\end{array}\right]A\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_x\\ {\mathrm{\β}}_z\end{array}\right]=a---\left(12\right)$

2)对于第二组两位置测试，即在第一组测试的基础上，将星敏感器在绕载体系z轴旋转90°后重新固定于转台上，经过与第一组两位置测试类似的推导，可获得式(14)所示的方程

$\left[\begin{array}{cc}-\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3}\right)& -(1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3})\\ (1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3})& -\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3}\right)\\ \left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3}\right)& -(1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3})\\ (1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3})& \left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_y\\ {\mathrm{\β}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_{12}\\ b_{13}\\ b_{21}\\ b_{31}\end{array}\right]B\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_x\\ {\mathrm{\β}}_z\end{array}\right]=b---\left(13\right)$

其中

通过上面的两组共四个位置的测试，由式(12)、(13)可得，

$\left[\begin{array}{cc}{A}_{4\×2}& 0_{4\×1}\\ 0_{4\×1}& B_{4\×2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_x\\ {\mathrm{\β}}_y\\ {\mathrm{\β}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]---\left(14\right)$

利用最小二乘数据处理方法求解式(14)，便可以计算获得星敏感器三轴的安装误差角β_z，β_y，β_x。需要说明的是，上面仅仅是给出星敏感器固定于转台上的两种特殊方位，与此类似，还可推导出其它固定方位的标定计算公式。

四、基于四位置量测信息的三轴星敏感器安装误差补偿

在地面使用四位置标定算法对星敏感器安装误差进行静态标定后，获得的安装误差参数，便可在星敏感器的定姿算法中加入安装误差补偿的环节，校正安装误差造成的星敏感器对惯性姿态的量测误差。对安装误差的补偿依据式(16)进行

其中，

表示进行安装误差补偿前星敏感器原始输出的载体惯性姿态，

表示由标定获得的安装误差参数

参照式(1)计算，

表示对星敏感器安装误差进行补偿后获得的载体惯性姿态。

为了验证发明所提出的惯性/卫星/天文多级嵌入式组合导航系统和方法的性能，分别对未采用本发明方法前后的天文姿态误差进行了对比，图5为验证时采用的飞行航迹；图6～图7的结果表明，对星敏感器安装误差进行补偿后，天文定姿精度有明显提高，本发明的星敏感器安装误差标定与补偿方法能够显著降低星敏感器安装误差对天文定姿精度的影响。

Claims (3)

1.一种星敏感器安装误差四位置标定与补偿方法，其特征在于包括以下步骤：

(1)建立星敏感器安装误差角量测模型，得到星敏感器输出的载体相对于惯性系的姿态矩阵，表示为：

其中C_β表示考虑安装误差角时的安装误差矩阵，表示地心惯性坐标系和载体坐标系之间的转换矩阵，v表示星敏感器本身的随机观测噪声，可等效为角秒级的测角精度，对姿态阵元素的影响较小，

表示转台坐标系和载体坐标系之间的转换矩阵，

表示当地地理坐标系和转台坐标系之间的转换矩阵，

表示地心地球固联坐标系和当地地理坐标系之间的转换矩阵，表示地心惯性坐标系和地心地球固联坐标系之间的转换矩阵，坐标转移矩阵中上下标的含义分别为：i表示地心惯性坐标系，e表示地心地球固连坐标系，n表示当地地理坐标系，p表示转台坐标系，b表示载体坐标系；

(2)基于步骤(1)中所述的星敏感器安装误差角量测模型，建立基于不同横滚角的星敏感器安装误差标定模型；

(3)根据步骤(2)中所述的基于不同横滚角的星敏感器安装误差标定模型，设计基于四位置量测信息的三轴星敏感器安装误差标定算法；

(4)由步骤(3)所述的三轴星敏感器安装误差标定算法获得安装误差参数，在星敏感器的定姿算法中加入安装误差补偿环节，校正安装误差造成的星敏感器对惯性姿态的量测误差。

2.根据权利要求1所述的星敏感器安装误差四位置标定与补偿方法，其特征在于：步骤(2)中所述的基于星敏感器安装误差角量测方程的星敏感器安装误差标定模型，表达式如下：

其中Φ_y(Δγ_2-1)表示绕y轴旋转过角度Δγ_2-1的坐标旋转矩阵，Δγ_2-1＝γ₂-γ₁，表示两个不同测量位置的横滚角之差，γ₁、γ₂分别表示t₁和t₂时刻的横滚角，

表示绕z轴转过角度ω_ieΔt_2-1的坐标旋转矩阵，ω_ie表示地球自转角速度，Δt_2-1＝t₂-t₁，

表示t₁时刻星敏感器的输出，表示t₁时刻当地地理坐标系和转台坐标系之间的转换矩阵，

表示t₁时刻地心惯性坐标系和地心地球固联坐标系之间的转换矩阵，

表示t₂时刻星敏感器的输出，

表示t₂时刻当地地理坐标系和转台坐标系之间的转换矩阵，

表示t₂时刻地心惯性坐标系和地心地球固联坐标系之间的转换矩阵，上标“-1”表示求逆。

3.根据权利要求1所述的星敏感器安装误差四位置标定与补偿方法，其特征在于：步骤(3)中所述的基于四位置量测信息的三轴星敏感器安装误差标定算法，具体如下：

1)第一组两位置测试，设定载体坐标系与转台坐标系三轴重合，其量测矩阵为：

$\left[\begin{array}{cc}-\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right)& (1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1})\\ \left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right)& (1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1})\\ -(1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1})& \left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right)\\ -(1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1})& -\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_x\\ {\mathrm{\β}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{21}\\ a_{23}\\ a_{32}\end{array}\right]A\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_x\\ {\mathrm{\β}}_z\end{array}\right]=a---\left(1\right)$

其中，Δγ_2-1＝γ₂-γ₁，表示第一组测试中两个不同测量位置的横滚角之差，γ₁、γ₂分别表示第一组测试时t₁和t₂时刻的横滚角，β_x、β_z分别为星敏感器x轴、z轴的安装误差角，

(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，为由两位置星敏感器输出的惯性姿态矩阵及量测时间间隔计算所得的矩阵中提取的对应元素；

式(1)中 $\left[\begin{array}{cc}-\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right)& (1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1})\\ \left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right)& (1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1})\\ -(1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1})& \left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right)\\ -(1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1})& -\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{2-1}\right)\end{array}\right]=A,$ $\left[\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{21}\\ a_{23}\\ a_{32}\end{array}\right]=a;$

2)第二组两位置测试，在第一组测试的基础上，将星敏感器绕载体系z轴旋转90°后重新固定于转台上，其量测矩阵为：

$\left[\begin{array}{cc}-\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3}\right)& -(1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3})\\ (1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3})& -\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3}\right)\\ \left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3}\right)& -(1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3})\\ (1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3})& \left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_y\\ {\mathrm{\β}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_{12}\\ b_{13}\\ b_{21}\\ b_{31}\end{array}\right]B\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_x\\ {\mathrm{\β}}_z\end{array}\right]=b---\left(2\right)$

其中，Δγ_4-3＝γ₄-γ₃，表示第二组测试中两个不同测量位置的横滚角之差，γ₃、γ₄分别表示第二组测试时t₃和t₄时刻的横滚角，β_y、β_z分别为星敏感器y轴、z轴的安装误差角，

(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，为由两位置星敏感器输出的惯性姿态矩阵及量测时间间隔计算所得的矩阵中提取的对应元素，表示t₃时刻星敏感器的输出，

表示t₃时刻当地地理坐标系和转台坐标系之间的转换矩阵，

表示t₃时刻地心惯性坐标系和地心地球固联坐标系之间的转换矩阵，

表示t₄时刻星敏感器的输出，

表示t₄时刻当地地理坐标系和转台坐标系之间的转换矩阵，

表示t4时刻地心惯性坐标系和地心地球固联坐标系之间的转换矩阵；

为书写方便，式(2)中 $\left[\begin{array}{cc}-\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3}\right)& -(1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3})\\ (1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3})& -\left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3}\right)\\ \left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3}\right)& -(1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3})\\ (1-\cos \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3})& \left(\sin \mathrm{\Δ}{\mathrm{\γ}}_{4-3}\right)\end{array}\right]=B,$ $\left[\begin{array}{c}{b}_{12}\\ b_{13}\\ b_{21}\\ b_{31}\end{array}\right]=b;$

3)通过上面两组共四个位置的测试，得到三轴星敏感器安装误差量测方程为：

$\left[\begin{array}{cc}{A}_{4\×2}& 0_{4\×1}\\ 0_{4\×1}& B_{4\×2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_x\\ {\mathrm{\β}}_y\\ {\mathrm{\β}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中0_4×1表示该零矩阵有4行1列，A_4×2表示矩阵A有4行2列，B_4×2表示矩阵B有4行2列。

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