CN102522746A - 基于原对偶内点法的vsc-hvdc交直流最优潮流方法 - Google Patents

Abstract

本发明公布了一种基于原对偶内点法的电压源换流器型高压直流输电(VSC-HVDC)交直流最优潮流方法。所述方法如下：根据VSC-HVDC的稳态特性，推导出其稳态潮流模型；并根据其工作特性推导出VSC-HVDC的几种控制方式及其组合方式。基于VSC-HVDC的稳态模型，将直流网络与交流系统结合起来，对交直流系统进行联立优化求解，并对多组算例进行了仿真和分析，算例结果表明本发明提出的原对偶内点法优化效果显著，并且在解决含VSC-HVDC的最优潮流问题的能力上，保持了传统内点法最优潮流的高效性。

Description

基于原对偶内点法的VSC-HVDC交直流最优潮流方法

技术领域

发明涉及一种基于原对偶内点法的VSC-HVDC交直流最优潮流方法，属于电力系统优化运行领域。

背景技术

电力系统不但规模庞大复杂，而且它对国民经济发展具有重要的影响。这就决定了电力系统运行的经济性是一个值得关注的问题。随着社会的发展，能源的消耗量愈来愈大，节约能源受到人们的普遍关注。电力又是当今能源消耗最重要的一个方面，因此，在满足电力系统供电可靠性和电能质量的前提下，要尽可能提高运行的经济性，合理地利用现有的能源和设备，以最少的燃料消耗量。

随着电网建设的发展，直流输电在电网中越来越广泛，以全控型开关器件和电压源换流器(Voltage Source Converter，VSC)为基础的新一代高压直流(High Voltage Direct Current，HVDC)输电，相比于基于晶闸管的直流输电，具有直接向孤立的远距离负荷供电、更经济地向负荷中心送电、运行控制方式灵活多变等优点。因此VSC-HVDC的研究成为近年来众多学者研究的热点。

原对偶内点法求解最优潮流是在可行域内部向最优解逼近，无需估计起作用的约束集，收敛迅速，鲁棒性强，对初值的选择不敏感。该算法的基本思路是：用松弛变量将不等式约束转化为等式约束，再利用拉格朗日乘子将约束引入到目标函数中，并对松弛变量用障碍函数法进行约束。加入VSC-HVDC之后，系统OPF模型发生了变化，需要根据VSC-HVDC的稳态潮流模型，将交、直流系统结合起来，进行联立优化求解。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对新模型的加入提供一种含VSC-HVDC的内点法交直流最优潮流方法。

本发明为实现上述目的，采用如下技术方案：

本发明为基于原对偶内点法的VSC-HVDC交直流最优潮流方法，其特征在于所述方法是在计算机中依次按以下步骤实现的：

(1)获得电力系统的网络参数，包括：母线编号、名称、负荷有功、负荷无功、补偿电容，输电线路的支路号、首端节点和末端节点编号、串联电阻、串联电抗、并联电导、并联电纳、变压器变比和阻抗，发电机有功出力、无功上下限，经济参数；

(2)程序初始化，包括：对状态量设置初值、对拉格朗日乘子和罚因子设置初值、节点次序优化、形成节点导纳矩阵、恢复迭代计数器k＝1、设置精度要求；

(3)计算对偶间隙C_Gap，判断其是否满足精度要求，若是，则输出计算结果，退出循环，若否，则继续；

(4)计算扰动因子μ；

(5)根据以下方程求解Δx，Δy，Δl，Δu，Δz，Δw：

$\left[\begin{array}{cc}{H}^{\′}& {\▿}_{x}h\left(x\right)\\ {\▿}_x^{T}h\left(x\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}\\ \mathrm{\Δy}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{L}_x^{\′}\\ -L_y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& L^{-1}Z\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δz}\\ \mathrm{\Δl}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-L^{-1}{L}_l^{\mathrm{\μ}}\\ L_z+{\▿}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\Δx}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& U^{-1}W\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δw}\\ \mathrm{\Δu}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-U^{-1}{L}_u^{\mathrm{\μ}}\\ -L_w+{\▿}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\Δx}\end{array}\right]$

其中：Δx、Δy、Δz、Δl、Δu、Δw为x、y、z、l、u、w的修正量；

$L_x^{\′}=L_x+{\▿}_{x}g\left(x\right)[L^{-1}(L_l^{\mathrm{\μ}}+{\mathrm{ZL}}_z)+U^{-1}(L_u^{\mathrm{\μ}}+W{L}_w)]$

$H^{\′}=H-{\▿}_{x}g\left(x\right)[L^{-1}Z-U^{-1}W]{\▿}_x^{T}g\left(x\right)$

$H=-[{\▿}_x^{2}f\left(x\right)-{\▿}_x^{2}h\left(x\right)y-{\▿}_x^{2}g\left(x\right)(z+w)]$

(6)确定原始变量和对偶变量的迭代步长：

${\mathrm{\&alpha;}}_p=0.9995\min \{\underset{i}{\min }(\frac{{-l}_i}{{\mathrm{\&Delta;l}}_i},{\mathrm{\&Delta;l}}_i<0;\frac{{-u}_i}{{\mathrm{\&Delta;u}}_i},{\mathrm{\&Delta;u}}_i<0),1\}$

${\mathrm{\&alpha;}}_d=0.9995\min \{\underset{i}{\min }(\frac{{-z}_i}{{\mathrm{\&Delta;z}}_i},{\mathrm{\&Delta;z}}_i<0;\frac{{-w}_i}{{\mathrm{\&Delta;w}}_i},{\mathrm{\&Delta;w}}_i>0),1\}$

(7)更新原始变量及拉格朗日乘子；

(8)判断迭代次数是否大于K_max，若是，则计算不收敛，退出程序，若否，则置迭代次数加1，返回(3)。

相较于传统的相控换流器直流输电，VSC-HVDC具有运行控制方式灵活多变、可直接向孤立的远距离负荷供电、更经济地向负荷中心送电等优点。

目前一些学者对含传统电流源换流器直流输电的交直流最优潮流进行了不少研究，但鲜有关于VSC-HVDC的最优潮流成果。本发明基于VSC-HVDC的稳态潮流模型，提出了一种解决VSC-HVDC交直流最优潮流的内点算法。

附图说明

图1：本发明方法流程图。

图2：本发明采用的交直流混合系统模型。

图3：本发明提出的基于内点法的VSC-HVDC交直流最优潮流方法所应用的三个算例系统，其中：图(a)是IEEE-14节点系统，图(b)是IEEE-30节点系统，图(c)是IEEE-57节点系统。

具体实施方式

图1为本发明方法流程图。图2为本发明采用的交直流混合系统模型。

图2中i表示接入直流网络的第i个VSC。假设第i个VSC输出的基波电压相量为

与交流系统连接处的电压相量为

换流变压器阻抗为jX_Li，交流滤波器阻抗为jX_fi，R_i为第i个换流器内部损耗和换流变压器损耗的等效电阻，交流系统流入换流变压器的有功功率和无功功率分别为P_si和Q_si，流入换流桥的有功功率和无功功率分别为P_si和Q_ci，其中流过换流变压器的电流为假设方向如图1所示，则

交流系统流入换流变压器的复功率

满足如下关系式：

为了讨论方便，令δ_i＝θ_si-θ_ci，α_i＝arctan(X_Li/R_i)，进一步推导可得

$P_{\mathrm{si}}=-\left|Y_i\right|U_{\mathrm{si}}{U}_{\mathrm{ci}}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_i+{\mathrm{\&alpha;}}_i)+\left|Y_i\right|U_{\mathrm{si}}^2\cos {\mathrm{\&alpha;}}_i$

$Q_{\mathrm{si}}=-\left|Y_i\right|U_{\mathrm{si}}{U}_{\mathrm{ci}}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_i+{\mathrm{\&alpha;}}_i)+\left|Y_i\right|U_{\mathrm{si}}^2\sin {\mathrm{\&alpha;}}_i$

同理可推导得到：

$P_{\mathrm{ci}}=-\left|Y_i\right|U_{\mathrm{si}}{U}_{\mathrm{ci}}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_i-{\mathrm{\&alpha;}}_i)+\left|Y_i\right|U_{\mathrm{ci}}^2\cos {\mathrm{\&alpha;}}_i$

$Q_{\mathrm{ci}}=-\left|Y_i\right|U_{\mathrm{si}}{U}_{\mathrm{ci}}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_i-{\mathrm{\&alpha;}}_i)+\left|Y_i\right|U_{\mathrm{ci}}^2\sin {\mathrm{\&alpha;}}_i$

由于VSC的换流桥臂的损耗已经由R_i等效，所以直流功率P_di应该与注入换流桥的P_ci相等，因此可得

$P_{\mathrm{di}}=U_{\mathrm{di}}{I}_{\mathrm{di}}=\left|Y_i\right|U_{\mathrm{si}}{U}_{\mathrm{ci}}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_i-{\mathrm{\&alpha;}}_i)-\left|Y_i\right|U_{\mathrm{ci}}^2\cos {\mathrm{\&alpha;}}_i$

其中U_di、I_di分别为直流节点的直流电压和电流。另外，电压方程为：

$U_{\mathrm{ci}}=\frac{\sqrt{6}}{4}{M}_i{U}_{\mathrm{di}}$

其中M_i为第i个VSC的调制度。

上述8个方程构成了标幺制下VSC-HVDC的稳态模型。

VSC-HVDC中，直流电压的稳定与否直接关系着系统能否正常运行以及交流侧输出电压的稳定性。若有功发送端的VSC从该端交流系统吸收的有功功率大于接受端VSC发送到对应端交流系统的有功功率，直流电压升高，反之直流电压降低。因此为了实现这种功率平衡，其中一端VSC必须采用定直流电压控制。另外，若直流电压恒定，则直流电流的变化量正比于有功功率的不平衡量，则定直流电流控制和定有功功率控制是等效的。综合以上分析，VSC-HVDC中VSC可以选择的控制方式有以下几种：

①.定直流电压、定无功功率控制；

②.定直流电压、定交流电压控制；

③.定有功功率、定无功功率控制；

④.定有功功率、定交流电压控制。

本发明对直流支路两端的VSC-HVDC采用以下四种控制方式组合：

(1).①+③；(2).①+④；

(3).③+②；(4).④+②。

按照节点是否接有换流变压器，将节点分为直流节点和纯交流节点。直流节点是指换流变压器的一次侧所连接的节点，如图1所示节点，由于在交流节点上连接了换流器，其对应的控制和状态变量在原交流节点的交流状态变量U_i，θ_i基础上增加了直流变量U_di，I_di，δ_i，M_i，P_si，Q_si，其中δ_i，M_i为换流器的相位角和调制度；纯交流节点是指不与换流变压器相连的节点。设系统的节点总数为n，其中VSC的个数为n_c，则直流节点数为n_c，纯交流节点数为n_a＝n-n_c。下面为了行文方便，假设交直流混合系统的节点编号顺序为：1～n_a节点为纯交流节点；n_a+1～n节点为直流节点。

对于直流节点，其潮流计算方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;P}}_{\mathrm{ti}}=P_{\mathrm{ti}}^s-U_{\mathrm{ti}}\underset{j\&Element;i}{\mathrm{\&Sigma;}}{U}_j(G_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{ij}})-P_{\mathrm{si}}\\ {\mathrm{\&Delta;Q}}_{\mathrm{ti}}=Q_{\mathrm{ti}}^s-U_{\mathrm{ti}}\underset{j\&Element;i}{\mathrm{\&Sigma;}}{U}_j(G_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{ij}}-B_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{ij}})-Q_{\mathrm{si}}\end{array}\right.$

其中：ΔP_ti、ΔQ_ti为直流节点功率不平衡量；

为扣除负荷后的节点发出功率；U_ti为接有VSC的交流节点电压幅值，下标j为与节点i直接相连的所有节点(公式中用j∈i表示)；U_j为交流节点电压辐值，θ_ij为节点i，j间相角差；G_ij，B_ij为节点i，j间导纳的实部和虚部。P_si，Q_si为交流系统流入换流变压器的有功和无功功率。

根据VSC-HVDC的稳态模型，可得到直流系统的潮流计算方程为：

${\mathrm{\&Delta;d}}_{i1}=P_{\mathrm{si}}+(\sqrt{6}/4)M_i{U}_{\mathrm{si}}{U}_{\mathrm{di}}\left|Y_i\right|\cos ({\mathrm{\&delta;}}_i+{\mathrm{\&alpha;}}_i)-U_{\mathrm{si}}^2\left|Y_i\right|\cos {\mathrm{\&alpha;}}_i$

${\mathrm{\&Delta;d}}_{i2}=Q_{\mathrm{si}}+(\sqrt{6}/4)M_i{U}_{\mathrm{si}}{U}_{\mathrm{di}}\left|Y_i\right|\sin ({\mathrm{\&delta;}}_i+{\mathrm{\&alpha;}}_i)-U_{\mathrm{si}}^2\left|Y_i\right|\sin {\mathrm{\&alpha;}}_i-U_{\mathrm{si}}^2/X_{\mathrm{fi}}$

${\mathrm{\&Delta;d}}_{i3}=U_{\mathrm{di}}{I}_{\mathrm{di}}-(\sqrt{6}/4)M_i{U}_{\mathrm{si}}{U}_{\mathrm{di}}\left|Y_i\right|\cos ({\mathrm{\&delta;}}_i-{\mathrm{\&alpha;}}_i)+(3/8){\left(M_i{U}_{\mathrm{di}}\right)}^2\left|Y_i\right|\cos {\mathrm{\&alpha;}}_i$

式中，下标i表示第i个VSC。

再加上直流网络的电流偏差量方程：

${\mathrm{\&Delta;d}}_{i4}=I_{\mathrm{di}}-\underset{j=1}{\overset{n_c}{\mathrm{\&Sigma;}}}{g}_{\mathrm{dij}}{U}_{\mathrm{dj}}$

其中g_dij为直流节点i、j之间的电导值。

VSC-HVDC系统接入到电网以后，系统的稳态潮流模型发生改变，需要采用前面提到的VSC稳态模型进行OPF问题的计算。

OPF模型可表示为以下非线性优化模型：

obj.min.f(x)

s.t.h(x)＝0

$\underset{\&OverBar;}{g}\&le;g\left(x\right)\&le;\stackrel{\&OverBar;}{g}$

其中：x＝[P_g，Q_R，θ，V，U_d，I_d，δ，M，P_s，Q_s]，P_g、Q_R为发电机所发功率，θ、V为节点电压相角和幅值，U_d、I_d为直流电压和电流，δ、M为PWM的调制角和调制度，P_s、Q_s为从交流系统流入换流变压器的功率。相较于常规OPF问题，x中增加了VSC-HVDC系统中的直流控制量和状态量U_d，I_d，δ，M，P_s，Q_s，f(x)为目标函数；h(x)为等式约束条件，包含交流系统的功率平衡方程，VSC-HVDC的功率和电流平衡方程，本文假设等式约束个数为m；g(x)为不等式约束条件，包含交流系统的电压幅值、相角，线路传输功率约束，直流系统的电压、PWM的调制度等，假设不等式约束个数为r。

内点法的基本思路是：用松弛变量将不等式约束转化为等式约束，再利用拉格朗日乘子将约束引入到目标函数中，并对松弛变量用障碍函数法进行约束。对于OPF问题，构造拉格朗日函数如下：

$L=f\left(x\right)-y^{T}h\left(x\right)-z^T[g\left(x\right)-l-\underset{\&OverBar;}{g}]-w^T[g\left(x\right)+u-\stackrel{\&OverBar;}{g}]-\mathrm{\&mu;}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\ln \left(l_j\right)-\mathrm{\&mu;}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\ln \left(u_j\right)$

其中y＝[y₁，L，y_m]^T为等式约束的拉格朗日乘子，z＝[z₁，L，z_r]^T、w＝[w₁，L，w_r]^T为不等式约束的拉格朗日乘子，l＝[l₁，L，l_r]^T、u＝[u₁，L，u_r]^T为不等式约束的松弛变量，μ是障碍函数的罚因子。

该问题的KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件为：

$\left\{\begin{array}{c}{L}_x={\&dtri;}_{x}f\left(x\right)-{\&dtri;}_{x}h\left(x\right)y-{\&dtri;}_{x}g\left(x\right)(z+w)=0\\ L_y=h\left(x\right)=0\\ L_z=g\left(x\right)-l-\underset{-}{g}=0\\ L_w=g\left(x\right)+u-g=0\\ L_l=z-\mathrm{\&mu;}{L}^{-1}e=0\\ L_u=-w-\mathrm{\&mu;}{U}^{-1}e=0\end{array}\right.$

式中：

为f(x)对x的1阶导数，

分别为h(x)、g(x)的Jacobian矩阵。

L＝diag(l₁，L，l_r)U＝diag(u₁，L，u_r)，Z＝diag(z₁，L，z_r)W＝diag(w₁，L，w_r)，

L^-1＝diag(1/l₁，L，1/l_r)，U^-1＝diag(1/u₁，L，1/u_r)，e＝[1，L，1]^T。

由式KKT条件中的最后两个方程可以求得

μ＝(l^Tz-u^Tw)/2r，定义C_Gap＝l^Tz-u^Tw。

但实践证明，当目标函数中的参数按照上式取值时收敛性比较差，一般采用

μ＝σC_Gap/2r，

其中σ称为中心参数，一般取0.1，在多数场合能够获得比较好的收敛性。KKT条件中的非线性方程组可以用牛顿-拉夫逊法求解，将其线性化，可以得到：

$\left[\begin{array}{cc}{H}^{\&prime;}& {\&dtri;}_{x}h\left(x\right)\\ {\&dtri;}_x^{T}h\left(x\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;x}\\ \mathrm{\&Delta;y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{L}_x^{\&prime;}\\ -L_y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& L^{-1}Z\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;z}\\ \mathrm{\&Delta;l}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-L^{-1}{L}_l^{\mathrm{\&mu;}}\\ L_z+{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;x}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& U^{-1}W\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;w}\\ \mathrm{\&Delta;u}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-U^{-1}{L}_u^{\mathrm{\&mu;}}\\ -L_w+{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;x}\end{array}\right]$

其中：Δx、Δy、Δz、Δl、Δu、Δw为x、y、z、l、u、w的修正量。

$L_x^{\&prime;}=L_x+{\&dtri;}_{x}g\left(x\right)[L^{-1}(L_l^{\mathrm{\&mu;}}+{\mathrm{ZL}}_z)+U^{-1}(L_u^{\mathrm{\&mu;}}+W{L}_w)]$

$H^{\&prime;}=H-{\&dtri;}_{x}g\left(x\right)[L^{-1}Z-U^{-1}W]{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)$

$H=-[{\&dtri;}_x^{2}f\left(x\right)-{\&dtri;}_x^{2}h\left(x\right)y-{\&dtri;}_x^{2}g\left(x\right)(z+w)]$

求解方程上述三组方程即可得到第k次迭代的修正量。

本发明采用原对偶内点法对VSC-HVDC交直流混合系统进行最优潮流计算，验证了本发明提出的原对偶内点法优化效果显著，并且在解决VSC-HVDC交直流最优潮流问题的能力上，保持了传统内点法最优潮流的高效性。

图3为本发明提出的三阶收敛牛顿法的VSC-HVDC潮流计算所应用的四个算例系统。图(a)是IEEE-14节点系统，其中VSC₁、VSC₂分别连接于节点13、14上；图(c)是IEEE-30节点系统，其中VSC₁、VSC₂分别连接于节点29、30上；图(d)是IEEE-57节点系统，其中VSC₁、VSC₂分别连接于节点54、55上，VSC₃、VSC₄分别连接于节点56、57上。

下面介绍本发明的两个实施例：

算例一：

本发明采用图3(a)所示的经修改的IEEE-14节点标准算例，直流支路参数见表1。

表1VSC各变量初值

N	R	XL	P1	Q1	U	θ	Ps	Qs	Ud
										2	0.006	0.150	2.000	1.000	1.078	0.000	0.919	0.122	2.000
3	0.006	0.150	3.700	1.300	1.036	0.000	-0.899	0.173	2.000

采用原对偶内点法对VSC-HVDC交直流混合系统进行最优潮流计算(直流支路两端VSC控制方式组合为①+③)，仿真结果如下表2所示。发电费用单位为$，其它变量均为标幺值。

表2交流系统结果

表3直流系统结果

由表2可见，系统的总发电有功、无功都有所减少，各发电机发电量按经济指标进行分配，费用减少了近10％。表3列出了优化前后各VSC-HVDC控制和状态变量值，VSC的调制度M均有所增加，提高了直流电压的利用率，降低了交流侧谐波畸变率。

算例二：

在实际电力系统运行中，为了实现稳定运行、减少损耗、控制潮流等功能，VSC-HVDC常常需要在多种控制模式下运行。表4列出了不同算例在不同控制方式下，优化前后的发电费用。表中各系统的发电费用单位均为$。

表4不同控制方式下各母线电压

各算例在不同控制方式下得到的优化效果略有差别，主要原因是设置了不同的控制方式，实际上相当于增强了VSC-HVDC的运行约束。由各算例的优化效果可见该算法适用性较强，对各种控制方式下的系统都能够成功进行优化，而且优化效果显著，以IEEE-57节点为例，费用减少量达35％。

Claims (1)

1.一种基于原对偶内点法的VSC-HVDC交直流最优潮流方法，其特征在于所述方法包括以下步骤：

(1)获得电力系统的网络参数，包括：母线编号、名称、负荷有功、负荷无功、补偿电容，输电线路的支路号、首端节点和末端节点编号、串联电阻、串联电抗、并联电导、并联电纳、变压器变比和阻抗，发电机有功出力、无功上下限，经济参数；

(2)程序初始化，包括：对状态量设置初值、对拉格朗日乘子和罚因子设置初值、节点次序优化、形成节点导纳矩阵、恢复迭代计数器k＝1、设置精度要求；

(3)计算对偶间隙C_Gap，判断其是否满足预先设定的精度要求，若是，则输出计算结果，退出循环，若否，则继续；

(4)计算扰动因子μ；

(5)根据以下方程求解Δx，Δy，Δl，Δu，Δz，Δw：

$\left[\begin{array}{cc}{H}^{\&prime;}& {\&dtri;}_{x}h\left(x\right)\\ {\&dtri;}_x^{T}h\left(x\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;x}\\ \mathrm{\&Delta;y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{L}_x^{\&prime;}\\ -L_y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& L^{-1}Z\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;z}\\ \mathrm{\&Delta;l}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-L^{-1}{L}_l^{\mathrm{\&mu;}}\\ L_z+{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;x}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}I& U^{-1}W\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;w}\\ \mathrm{\&Delta;u}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-U^{-1}{L}_u^{\mathrm{\&mu;}}\\ -L_w+{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)\mathrm{\&Delta;x}\end{array}\right]$

其中：Δx、Δy、Δz、Δl、Δu、Δw为x、y、z、l、u、w的修正量；

$L_x^{\&prime;}=L_x+{\&dtri;}_{x}g\left(x\right)[L^{-1}(L_l^{\mathrm{\&mu;}}+{\mathrm{ZL}}_z)+U^{-1}(L_u^{\mathrm{\&mu;}}+W{L}_w)]$

$H^{\&prime;}=H-{\&dtri;}_{x}g\left(x\right)[L^{-1}Z-U^{-1}W]{\&dtri;}_x^{T}g\left(x\right)$

$H=-[{\&dtri;}_x^{2}f\left(x\right)-{\&dtri;}_x^{2}h\left(x\right)y-{\&dtri;}_x^{2}g\left(x\right)(z+w)]$

(6)确定原始变量和对偶变量的迭代步长：

${\mathrm{\&alpha;}}_p=0.9995\min \{\underset{i}{\min }(\frac{{-l}_i}{{\mathrm{\&Delta;l}}_i},{\mathrm{\&Delta;l}}_i<0;\frac{{-u}_i}{{\mathrm{\&Delta;u}}_i},{\mathrm{\&Delta;u}}_i<0),1\}$

${\mathrm{\&alpha;}}_d=0.9995\min \{\underset{i}{\min }(\frac{{-z}_i}{{\mathrm{\&Delta;z}}_i},{\mathrm{\&Delta;z}}_i<0;\frac{{-w}_i}{{\mathrm{\&Delta;w}}_i},{\mathrm{\&Delta;w}}_i>0),1\}$

(7)更新原始变量及拉格朗日乘子；

(8)判断迭代次数是否大于K_max，若是，则计算不收敛，退出程序，若否，则置迭代次数加1，返回步骤(3)。

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