CN102521785A - 用于图像共享的基于EC-ElGamal算法的同态图像加密和解密方法 - Google Patents

Abstract

用于图像共享的基于EC-ElGamal算法的同态图像加密和解密方法，本发明具体涉及一种用于图像共享的基于EC-ElGamal算法的同态图像加密和解密方法。它为了解决带宽有限的情况下，无法实现图像的无失真传输和在传输过程中的泄密问题。用于图像共享的基于EC-ElGamal算法的同态图像加密和解密方法步骤如下：一、预处理，在加密之前，先把像素点转化为椭圆曲线上点的形式；二、加密，用EC-ElGamal加密方法对步骤一中得到的点进行加密；三、解密，将步骤二中的点进行解密。四、后处理，将解密后的点转化为图像的像素点。本发明实现了图像传输过程中组合之前不需要解密，传输到终端后的图像不会失真的目的。

Description

用于图像共享的基于EC-ElGamal算法的同态图像加密和解密方法

技术领域

本发明涉及图像加密方法领域，具体涉及图像的一种用于图像共享的基于EC-ElGamal算法的同态图像加密和解密方法。 

背景技术

图像是最重要的一种信息表示类型且在许多应用中得到广泛应用。在图像交换过程中，图像常常是在不安全的网络中传输的。因此，为了防止共享图像被非法者窃听，在传输之前先对共享图像进行加密。另外，由于带宽受限，需要将共享的加密图像组合在一起得到一幅新图像再进行传输。近期，一些研究者研究基于视觉秘密分享的秘密图像分享。然而，他们对共享图像的操作是以明文形式进行的，这样做显然不够安全。为了促使这种组合能直接在秘密图像之间进行，这就需要加密方法具有同态性，即对明文进行某一特定的代数操作的结果与对密文进行相同(可能不同)操作后再解密的结果相同。公钥加密系统的同态特性已经被用到很多的安全场景中，如：基于RSA(RSA算法由Rivest，Shamir和Adleman发明，故以发明人名字的开头字母命名为：RSA)的秘密图像共享、基于ElGamal的电子投票系统、基于椭圆曲线密码体制(elliptic curve cryptography，简写为ECC)的无线传感网络中的安全数据聚集、基于Paillier的安全失真计算等等。RSA和ElGamal具有乘法同态特性，而ECC和Paillier具有加法同态特性。而且加法同态特性具有更广泛的应用，如为了降低加密图像的分辨率而对图像进行像素取均值和在视频监控中实现隐私保护而获得差分图像。 

RSA和ElGamal加密系统是最常用的加密系统，它们实现的是指数操作，因此具有高计算复杂度。然而，ECC只需要加法和乘法运算，相比RSA和ElGamal其计算复杂度较低。另外，由表1我们可以观察到为了达到最小的安全需求，ECC所要求的最短密钥长度比RSA、ElGamal要小很多。基于RSA和ElGamal的加密方法需要高的计算复杂度和大的空间消耗，所以RSA和ElGamal不适合用于实时和带宽有限的应用中(例如、图像传输、视频流和视频监督)。 

表1 达到最低安全需求的最短密钥长度 

发明内容

本发明的目的是提供一种基于EC-ElGamal(椭圆曲线-厄格玛尔算法)算法的同态图像加密和解密方法，它解决了带宽有限的情况下，无法实现图像的无失真传输和在传输过程中因为解密而泄密的问题。提出了用于图像共享的基于EC-ElGamal算法的同态图像加密和解密方法。基于EC-ElGamal的加密和解密方法包括下述步骤： 

一、预处理，在用椭圆曲线密码系统对图像像素加密之前，把像素点转化为椭圆曲线E_p(a，b)上点的形式，给定一个明文单元plainm，将几个像素组合起来形成plainm，明文单元plainm＝p₁||p₂||...||p_m，p₁，p₂，...，p_m是图像像素值的二进制表示形式，||表示p₁，p₂，...，p_m的二进制形式以一个字节为单 位进行串联，在预处理以后，原图像P₁或P₂中所有像素点被组合成块，并转化到对应椭圆曲线上点的集合ECP₁或ECP₂； 

二、加密，用EC-ElGamal加密方法对步骤一中得到的点的集合ECP₁或ECP₂进行加密；其加密的方法如下：对于给定的明文M_i，根据式子(7)C’＝M+rK，C”＝rG将M_i加密得到其密文G_i＝(M_i+r_iK，r_iG)，根据式子(8)M’＝C’-kC”将G_i解密为M_i’＝M_i+r_iK-kr_iG，其中K＝kG，k和r为随机产生的整数，k为私钥，G为椭圆曲线E_p(a，b)上的基点，得到EnECP₁和EnECP₂，在EnECP₁和EnECP₂传输过程中，根据EC-ElGamal的加法同态特性，在传输的某一节点处将EnECP₁和EnECP₂按分块方式进行对应相加得到AEnECP； 

三、解密，将步骤二中的EnECP₁或EnECP₂和AEnECP进行解密得到ECP₁(或ECP2)和De(AEnECP)，根据等式ECP₂＝De(AEnECP)-ECP₁恢复ECP₂或ECP₁＝De(AEnECP)-ECP₂恢复ECP₁； 

四、后处理，将步骤三中解密得到的对应椭圆曲线上点的集合ECP₁和ECP₂转化为图像像素点，对每一个解密点(x，y)，其相对应的像素值plainm’＝[x/L]，其中[x/L]表示对x/L的向下取整，L为在预处理中所使用的参数，以字节大小为分隔标志从plainm’中提取原始的m个像素值，得到原始图像P₁和P₂。 

本发明针对现有技术存在的问题，提出了用于图像共享的基于EC-ElGamal算法的同态图像加密和解密方法，实现了图像传输过程中组合之前不需要解密，传输到终端后的图像不会失真的问题。达到了在实时和宽带有限的情况下实现秘密图像的共享的目的。 

附图说明

图1是本发明应用实例的具体场景示例，图2是两个原始图像的 EC-ElGamal加密和相加的示意图，图3是EC-ElGamal解密及提取原始图像的示意图，图4为在预处理过程中将图像像素组合分块示意图。 

具体实施方式

具体实施方式一、用于图像共享的基于EC-ElGamal算法的同态图像加密和解密方法，它包括下述步骤： 

一、预处理，在用椭圆曲线密码系统对图像像素加密之前，把像素点转化为椭圆曲线E_p(a，b)上点的形式，给定一个明文单元plainm，将几个像素组合起来形成plainm，明文单元plainm＝p₁||p₂||...||p_m，p₁，p₂，...，p_m是图像像素值的二进制表示形式，||表示p₁，p₂，...，p_m的二进制形式以一个字节为单位进行串联，在预处理以后，原图像P₁或P₂中所有像素点被组合成块，并转化到对应椭圆曲线上点的集合ECP₁或ECP₂； 

二、加密，用EC-ElGamal加密方法对步骤一中得到的点的集合ECP₁或ECP₂进行加密；其加密的方法如下：对于给定的明文M_i，根据式子(7)C’＝M+rK，C”＝rG将M_i加密得到其密文点C_i＝(M_i+r_iK，r_iG)，根据式子(8)M’＝C’-kC”将C_i解密为M_i’＝M_i+r_iK-kr_iG，其中K＝kG，k和r为随机产生的整数，k为私钥，G为椭圆曲线E_p(a，b)上的基点，得到EnECP₁和EnECP₂，在EnECP₁和EnECP₂传输过程中，根据EC-ElGamal的加法同态特性，在传输的某一节点处将EnECP₁和EnECP₂按分块方式进行对应相加得到AEnECP； 

三、解密，将步骤二中的EnECP₁或EnECP₂和AEnECP进行解密得到ECP₁(或ECP2)和De(AEnECP)，根据等式ECP₂＝De(AEnECP)-ECP₁恢复ECP₂或ECP₁＝De(AEnECP)-ECP₂恢复ECP₁； 

四、后处理，将步骤三中解密得到的对应椭圆曲线上点的集合ECP₁和 ECP₂转化为图像像素点，对每一个解密点(x，y)，其相对应的像素值plainm’＝[x/L]，其中[x/L]表示对x/L的向下取整，L为在预处理中所使用的参数，以字节大小为分隔标志从plainm’中提取原始的m个像素值，得到原始图像P₁和P₂。 

同态密码系统定义：假设En_k1(m)为对m∈M使用公钥k1加密后的密文，De_k2(c)为使用私钥k2解密得到的明文。一个密码系统如果满足式子(1)，则该密码系统是同态的。即对明文的操作f₁(·)可以通过直接对相应密文执行操作f₂(·)后解密得到。如果f₁(·)是加法因子，则该加密系统是加法同态的。 

f₁(m₁，m₂)＝De_k2(f₂(En_k1(m₁)，En_k1(m₂))，m₁，m₂∈M          (1) 

椭圆曲线(Elliptic curve)定义：设p为素数且p＞3。在有限域F_p上的椭圆曲线是满足等式(2)的一组(x，y)解。其中a，b为常数，属于F_p且满足不等式4a³+27b²≠0(modp)，无穷远点∞称为该椭圆曲线的原点O。 

y²≡x³+ax+b(modp)                (2) 

将满足式子(2)的椭圆曲线表示为E_p(a，b)。假设点P＝(x_P，y_P)，Q＝(x_Q，y_Q)在椭圆曲线E_p(a，b)上。R＝P+Q＝(x_R，y_R)。E_p(a，b)上点的加法规则见式子(3-6)使得E_p(a，b)是一个阿贝尔群，即E_p(a，b)上点的加法具有可交换性和闭包性。如果P＝Q，R＝2P。点P的负数形式计算为-P＝(x_P，-y_P)。 

x_R＝(λ²-x_P-x_Q)modp                           (3) 

y_R＝(λ(x_P-x_R)-y_P)modp                        (4) 

λ＝((y_Q-y_P)/(x_Q-x_P))modp，当P≠Q             (5) 

λ＝((3x_P ²+a)/(2y_P))modp，当P＝Q              (6) 

点的乘法通过重复求倍数及加法得到。例如12G＝2(2(G+2G))，通过3次求倍数和1次加法得到。 

椭圆曲线密码体制(ECC)的安全性基于椭圆曲线离散对数难题(ECDLP)，到目前为止没有亚指数时间的方法来解决ECLDP。 

ECDLP定义：对于点C∈E_p(a，b)(具有基本点G)，找到m∈F_p(如果这样的m存在)使得C＝mG。 

具有基本点G的E_p(a，b)表示E_p(a，b)上的所有点都属于由G产生的循环子群<G>＝{∞，G，2G，3G，...，(n-1)G}。(p，E，G，n)为ECC上的公开参数。 

EC-ElGamal是对ElGamal密码系统在ECC上的模拟。对具有基本点G的椭圆曲线E_p(a，b)，产生随机整数k和r。计算K＝kG。公钥为点K，私钥为k。待加密的明文m首先表示为E_p(a，b)上的点M。式子(7)和(8)分别实现EC-ElGamal加密和解密。 

加密：C’＝M+rK，C”＝rG                  (7) 

解密：M’＝C’-kC”                       (8) 

EC-ElGamal加密方法的加法同态性证明： 

对于给定的明文点M_i，根据式子(7)对其进行加密，则其密文点C_i＝(M_i+r_iK，r_iG)，根据式子(8)将C_i解密为M_i’＝M_i+r_iK-kr_iG＝M_i。其中k和r为产生的随机整数，k为私钥，公钥K＝kG。EC-ElGamal的加密和解密基于两点加法进行实现。 

一一、EC-ElGamal加法同态性的证明 

假设M₁，M₂，...，M_n都是以G为基点的椭圆曲线E_p(a，b)上的点，r₁，r₂，...，r_n为产生的随机整数，为了叙述方便，记r’＝r₁+r₂+...+r_n，则 

C₁+C₂+...+C_n

                                                        (9) 

＝(M₁+r₁K，r₁G)+(M₂+r₂K，r₂G)+...+(M_n+r_nK，r_nG) 

＝(M₁+r₁K+M₂+r₂K+...+M_n+r_nK，r₁G+r₂G+...+r_nG) 

＝(M₁+M₂+...+M_n+r₁K+r₂K+...r_nK，r₁G+r₂G+...+r_nG) 

＝(M₁+M₂+...+M_n+(r₁+r₂+...r_n)K，(r₁+r₂+...+r_n)G) 

＝(M₁+M₂+...+M_n+r’K，r’G) 

De(C₁+C₂+...+C_n) 

＝De(M₁+M₂+...+M_n+r’K，r’G) 

                                          (10) 

＝M₁+M₂+...+M_n+r’K-kr’G 

＝M₁+M₂+...+M_n

EC-ElGamal加密得到的密文相加分段进行，见式(9)第3行；由阿贝尔群的可交换性可知式(9)第4行等式成立。由于K＝kG和r’＝r₁+r₂+...+r_n，故式(9)中的第6行成立。 

一二、对于相加的点不在同一条椭圆曲线的讨论 

由于每一条椭圆曲线定义了一个阿贝尔群Group，所以不同的椭圆曲线定义不同的阿贝尔群。由阿贝尔群的封闭性知，如果P和Q属于同一个阿贝尔群Group，则P+Q也属于同一个群Group。假设P和Q分别属于不同的阿贝尔群Group1和Group2，则P+Q既不属于Group1也不属于Group2。这个结论可以用反证法证明，不妨假设R∈Group1，由P∈Group1，(-P)∈Group1，Q＝R-P＝R+(-P)，知Q∈Group1，这与Q∈Group2矛盾。故R不属于Group1，同理可证R不属于Group2。因此不同椭圆曲线上点的加法不满足阿贝尔群的封闭性，而这一点与椭圆曲线的定义相矛盾。因此，本发明只考虑在同一条椭圆曲线上的点的加法，即在同一个阿贝尔群里。因此，在用EC-ElGamal加密方法之前，把明文转化为同一条椭圆曲线上的点。 

对于C_i＝(M_i+r_iK，r_iG)，如果M_i不是椭圆曲线E_p(a，b)上的点，则点M_i+ r_iK和r_iG不再在椭圆曲线E_p(a，b)上，但是它们在另外的椭圆曲线E_p’(a’，b’)上，C_i解密为M_i’＝M_i+r_iK-kr_iG＝M_i。然而，如果M₁，M₂，...，M_n不在同一条椭圆曲线上，则C₁，C₂，...，C_n分布在不同的椭圆曲线上，这时就不存在一个具有封闭性的阿贝尔群，因此式子(9)不能成立。此时，式子(9)和(10)都不成立，所以用EC-ElGamal的加法同态性之前，将像素点转化到同一条椭圆曲线上的点。 

一三、EC-ElGamal加解密及加法同态性示例 

假设式子(2)中p＝11，a＝1，b＝6，即椭圆曲线E₁₁(1，6)具有等式y²≡x³+x+6(mod 11)，基本点G＝(2，7)。M₁＝(5，2)，M₂＝(8，3)为椭圆曲线E₁₁(1，6)上两点。假设私钥k＝6，根据式子(3-6)计算公钥K＝6G＝2(G+2G)＝(7，9)。 

M₁+M₂＝(5，2)+(8，3)＝(3，6) 

根据式子(7)分别对M₁和M₂进行EC-ElGamal加密得到密文En(M₁)和En(M₂)。加密M₁和M₂所用随机数分别为5和7。 

En(M₁)＝((5，2)+5(7，9)，5(2，7))＝((7，9)，(3，6)) 

En(M₂)＝((8，3)+7(7，9)，7(2，7))＝((7，9)，(7，2)) 

En(M₁)+En(M₂)＝((7，9)，(3，6))+((7，9)，(7，2)) 

             ＝((7，9)+(7，9)，(3，6)+(7，2))＝((2，4)，(2，4)) 

根据式子(8)对En(M₁)+En(M₂)解密得到De(En(M₁)+En(M₂))＝(2，4)-6*(2，4)＝(3，6)。 

M₁+M₂＝De(En(M₁)+En(M₂))，满足EC-ElGamal的加法同态性。 

用于图像共享的基于EC-ElGamal算法的同态图像加密和解密方法具体实施方法如下： 

本发明适用带宽受限且不安全网络上的图像保密可靠传输。例如图1所 示，用户A和B试图通过图1所示的网络将各自拥有的原始图像P₁和P₂同时传给接收者E和F分享。图1中所有链路1次不能同时通过2幅加密图像的文件大小。在节点C上同时收到了来自A和B的密文图像En(P₁)和En(P₂)。为了在C点同时将他们传给节点D，将En(P₁)和En(P₂)进行同态组合得到具有不大于En(P₁)和En(P₂)数据总量的组合加密图像AEnP。接收者E和F根据接收到的En(P₁)，AEnP和En(P₂)，AEnP各自恢复出P₁和P₂。 

根据图1所示，本发明提出了一个基于EC-ElGamal的加密系统。首先用户A和B对原始图像P₁和P₂分别进行预处理得到图像在椭圆曲线上点的集合ECP₁和ECP₂，然后用EC-ElGamal加密方法，即根据式子(7)分别对ECP₁和ECP₂加密得到EnECP₁和EnECP₂。当EnECP₁和EnECP₂传输到C点，根据EC-ElGamal的加法同态特性，节点C将EnECP₁和EnECP₂按图4所示分块方式进行对应相加得到AEnECP，传给D，继而传给E和F。接收者E根据图3进行恢复。首先对EnECP₁和AEnECP进行解密得到ECP₁和De(AEnECP)，根据等式ECP₂＝De(AEnECP)-ECP₁恢复ECP₂，最后用后处理方法得到原始图像P₁和P₂。类似的接收者F可以恢复出P₁和P₂。 

具体实施方式二、用于图像共享的基于EC-ElGamal算法的同态图像加密和解密方法，对于每一加密图像rG只有一个副本保存。 

由于可以通过解等式y²≡x³+ax+b(modp)得到y，所以不用传输y，但是一个x对应着两个y(y和-y)，因此可以用长度为1个字节的随机数i来代替y，这样可以使得数据扩展的倍数小于2，随机数i可以通过式子(11)进行计算以恢复唯一的y值。如果y＜p/2，用一个随机偶数来取代y，否则用一个随机奇数取代y，对于i进行随机的赋值是很必要的，否则，如果把i＝0赋值给y或i＝1并将其赋值给-y，则会产生大量相同像素值0和1， y＝i，其中 $\left\{\begin{array}{cc}i\mathrm{mod}2=0,& y<p/2\\ i\mathrm{mod}2=1,& y\&GreaterEqual;p/2\end{array}\right.,i\&Element;\left[\mathrm{0,255}\right]---\left(11\right).$

Claims (2)

1.用于图像共享的基于EC-ElGamal算法的同态图像加密和解密方法，其特征在于：它包括下述步骤：

一、预处理，在用椭圆曲线密码系统对图像像素加密之前，把像素点转化为椭圆曲线E_p(a，b)上点的形式，给定一个明文单元plainm，将几个像素组合起来形成plainm，明文单元plainm＝p₁||p₂||...||p_m，p₁，p₂，...，p_m是图像像素值的二进制表示形式，||表示p₁，p₂，...，p_m的二进制形式以一个字节为单位进行串联，在预处理以后，原图像P₁或P₂中所有像素点被组合成块，并转化到对应椭圆曲线上点的集合ECP₁或ECP₂；

二、加密，用EC-ElGamal加密方法对步骤一中得到的点的集合ECP₁或ECP₂进行加密；其加密的方法如下：对于给定的明文M_i，根据式子(7)C’＝M+rK，C”＝rG将M_i加密得到其密文C_i＝(M_i+r_iK，r_iG)，根据式子(8)M’＝C’-kC”将C_i解密为M_i’＝M_i+r_iK-kr_iG，其中K＝kG，k和r为随机产生的整数，k为私钥，G为椭圆曲线E_p(a，b)上的基点，得到EnECP₁和EnECP₂，在EnECP₁和EnECP₂传输过程中，根据EC-ElGamal的加法同态特性，在传输的某一节点处将EnECP₁和EnECP₂按分块方式进行对应相加得到AEnECP；

三、解密，将步骤二中的EnECP₁或EnECP₂和AEnECP进行解密得到ECP₁(或ECP2)和De(AEnECP)，根据等式ECP₂＝De(AEnECP)-ECP₁恢复ECP₂或ECP₁＝De(AEnECP)-ECP₂恢复ECP₁；

四、后处理，将步骤三中解密得到的对应椭圆曲线上点的集合ECP₁和ECP₂映射到图像像素上，对每一个解密点(x，y)，其相对应的像素值plainm’＝[x/L]，其中[x/L]表示对x/L的向下取整，L为在预处理中所使用的参数，以字节大小为分隔标志从plainm’中提取原始的m个像素值，得到原始图像P₁和P₂。

2.根据权利要求1所述的用于图像共享的基于EC-ElGamal算法的同态图像加密和解密方法，其特征在于：对于每一加密图像rG只有一个副本保存。

Images