CN102521514A - 深水桥墩考虑水—墩耦合效应的地震响应评估方法 - Google Patents

Abstract

一种深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法，是考虑水-墩耦合效应的深水桥墩动力方程：

P＝-[M⁽¹⁾ü_g(t)+M⁽²⁾ü_s(t)]式中，M、K和C分别为结构的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵；ü_g(t)为地震动加速度时程；u_s(t)为桥墩的相对运动位移时程，

为桥墩的相对运动速度时程，ü_s(t)为桥墩的相对运动加速度时程；[M⁽¹⁾]和[M⁽²⁾]分别为各水下的刚体附加质量矩阵和弹性附加质量矩阵；P是桥墩受到的地震动水压力荷载。本发明可用于地震作用下深水桥梁结构的抗震设计以及承载力评估。可以方便的在有限元软件中实施深水桥墩地震响应分析，可以在分析中考虑材料非线性、土-结构动力相互作用等因素，并且相对流固耦合的数值软件而言计算效率高，从而为深水桥梁的抗震设计提供理论依据。

Description

深水桥墩考虑水—墩耦合效应的地震响应评估方法

技术领域

本发明涉及一种水-墩耦合效应的地震响应评估方法。特别是涉及一种可以方便的在有限元软件中实施深水桥墩地震响应分析的深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法。

背景技术

长大桥梁中许多为跨海、跨江桥梁及西部库区深水高墩桥梁，如杭州湾跨海大桥、位于漳州九龙江入海口的厦漳跨海大桥、通过紫坪铺水库的庙子坪岷江大桥，上述跨海及库区桥梁，由于其桥墩位于深水之中，在地震作用下存在水-桥墩动力相互作用会对深水桥墩产生动水压力作用，从而影响桥梁结构的动力响应。水-桥墩动力相互作用为流固耦合问题其作用机理十分复杂，目前我国桥梁抗震设计均参照相应的公路或铁路工程设计规范中的桥梁抗震部分，《铁路工程抗震设计规范》(GB50111-2006)和《公路桥梁抗震设计细则》(JTGTB02-01-2008)中规定了桥墩地震动水压力的计算方法。然而，上述抗震规范中桥墩动水压力计算仅适用于中等跨度桥梁。地震作用下水-桥墩动力相互作用分析方法主要有解析法、数值法以及混合法。解析法仅能对简单桥墩进行计算分析，而数值法对计算机性能要求高、计算效率低；混合法是先求得地震动水压力的解析解，再采用有限元法建立桥墩结构分析模型，进而对桥墩进行动水压力作用下的地震响应分析；由于利用有限元建立桥墩模型，可以方便的考虑桥面系对桥墩的影响，同时仅对桥墩建立数值模型相对数值法而言混合法计算效率高；基于混合法的上述特点，地震作用下水-桥墩动力相互作用分析方法主要采用混合法。混合法的关键是桥墩地震动水压力的解答，桥墩地震动水压力应采用辐射波浪理论进行求解，此时，桥墩动水压力由桥墩刚体运动产生的动水压力和桥墩弹性振动产生的动水压力两部分组成。然而，上述研究存在如下问题：深水桥墩地震响应分析中无法在现有有限元软件中考虑桥墩弹性振动产生的地震动水压力作用，仅能利用数学软件编制简单程序进行分析，而利用数学软件编制简单程序却无法进行桥墩模型的精细化建模，即无法考虑材料非线性、土-结构动力相互作用等因素。

利用水体控制方程及相应的边界条件，可以求得深水桥墩的地震动水压力，将上述求解得到的深水桥墩地震动水压力代入桥墩结构的动力方程，可以得到考虑水-墩耦合效应的深水桥墩动力方程：

$(M+M^{\left(2\right)}){\stackrel{\·\·}{u}}_s\left(t\right)+C{\stackrel{\·}{u}}_s\left(t\right)+K{u}_s\left(t\right)=-(M+M^{\left(1\right)}){\stackrel{\·\·}{u}}_g\left(t\right)---\left(1\right)$

式中，M、K和C分别为结构的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵；ü_g(t)为地震动加速度时程；u_s(t)为桥墩的相对运动位移时程，为桥墩的相对运动速度时程，ü_s(t)为桥墩的相对运动加速度时程；[M⁽¹⁾]和[M⁽²⁾]分别为各水下的刚体附加质量矩阵和弹性附加质量矩阵。

但是，由于上述深水桥墩动力方程式(1)中左右两边的地震动水附加质量[M⁽¹⁾]和[M⁽²⁾]不相等，在有限元软件中无法直接以集中质量形式施加。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，提供一种用于地震作用下深水桥梁结构的抗震设计以及承载力评估的深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法。

本发明所采用的技术方案是：一种深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法，包括如下考虑水-墩耦合效应的深水桥墩动力方程：

$M{\stackrel{\·\·}{u}}_s\left(t\right)+C{\stackrel{\·}{u}}_s\left(t\right)+K{u}_s\left(t\right)=-M{\stackrel{\·\·}{u}}_g\left(t\right)-[M^{\left(1\right)}{\stackrel{\·\·}{u}}_g\left(t\right)+M^{\left(2\right)}{\stackrel{\·\·}{u}}_s\left(t\right)]=-M{\stackrel{\·\·}{u}}_g\left(t\right)+P$

P＝-[M⁽¹⁾ü_g(t)+M⁽²⁾ü_s(t)]

式中，M、K和C分别为结构的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵；ü_g(t)为地震动加速度时程；u_s(t)为桥墩的相对运动位移时程，

为桥墩的相对运动速度时程，ü_s(t)为桥墩的相对运动加速度时程；[M⁽¹⁾]和[M⁽²⁾]分别为各水下的刚体附加质量矩阵和弹性附加质量矩阵；P是桥墩受到的地震动水压力荷载。

完成所述的考虑水-墩耦合效应的深水桥墩动力方程，包括如下阶段：

1)进行初始设置；

2)计算动力水附加质量矩阵；

3)设置地震荷载的初始条件；

4)进行荷载步作用下的地震响应分析。

阶段1所述的初始设置包括：

(1)在有限元软件中建立桥墩分析模型，同时建立包括材料非线性、土-结构相互作用因素的精细化模型；

(2)设置荷载计算结果输出项，使桥墩结构分析中能够实时输出桥墩结构不同节点处的加速度响应。

(3)对桥墩模型施加重力荷载，进行重力分析。

阶段2所述的动力水附加质量矩阵包括有：

(1)根据桥墩的截面尺寸和水深，计算桥墩刚体地震动水附加质量矩阵[M⁽¹⁾]，[M⁽¹⁾]为对角阵，所述的对角元素为：

${m_i}^{\left(1\right)}=-2\mathrm{\πR\ρ}{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_i}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\sin \left({{\mathrm{\λ}}_m}^{\′}h\right)\stackrel{\‾}{K}1\left({\mathrm{\β}}_{m}R\right)f_m\left(z\right)\mathrm{dz}$

式中，R为桥墩半径；ρ为桥墩密度；h为水深；

K₁(β_mr)为修正的第二类一阶Bessel函数；

(2)计算桥墩弹性地震动水附加质量矩阵[M⁽²⁾]，[M⁽²⁾]中各元素为：

${m_{\mathrm{ij}}}^{\left(2\right)}=-2\mathrm{\πR\ρ}\underset{{\mathrm{\Γ}}_i}{\∫}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\cos \left({{\mathrm{\λ}}_m}^{\′}{z}_j\right)L_j\stackrel{\‾}{K}1\left({\mathrm{\β}}_{m}R\right)f_m\left(z\right){\mathrm{\β}}_m\mathrm{dz}$

式中，z_i为第i节点z轴坐标值，如图1所示；为各节点弹性振动加速度；L_i为第i单元长度。

阶段3所述的地震荷载的初始条件是，设地震荷载总时间为T，荷载步数为n，每个荷载步的时间间隔为Δt，即T＝n×Δt，令地震分析开始时的地震动水压力为零。

阶段4所述的进行荷载步作用下的地震响应分析包括如下步骤：

(1)对桥墩模型施加地震荷载，通过有限元软件得到地震作用时第一个荷载步下的桥墩结构动力响应，其中包括桥墩的加速度；

(2)沿着桥墩高度，提取桥墩结构水下部分不同节点处对应的加速度，设桥墩水下共计K个单元，第i节点处对应的加速度

其中i由1到K；同时，提取桥墩墩底加速

(3)利用提取的桥墩墩底加速度

通过下式计算得到桥墩第i号节点对应单元受到的刚体动水压力；

$P_i^{\left(1\right)}=-{m_i}^{\left(1\right)}{\stackrel{\·\·}{x}}_g$

其中

按阶段2给出的公式： ${m_i}^{\left(1\right)}=-2\mathrm{\πR\ρ}{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_i}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\sin \left({{\mathrm{\λ}}_m}^{\′}h\right)\stackrel{\‾}{K}1\left({\mathrm{\β}}_{m}R\right)f_m\left(z\right)\mathrm{dz}$ 计算得到；

(4)利用提取的桥墩结构第i号节点处对应的加速度

通过式下式计算得到桥墩i号节点对应单元受到的弹性动水压力：

$P_i^{\left(2\right)}=-\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{m_{\mathrm{ij}}}^{\left(2\right)}\{{\stackrel{\·\·}{x}}_j-{\stackrel{\·\·}{x}}_i\}$

其中，

按阶段2给出的公式： ${m_{\mathrm{ij}}}^{\left(2\right)}=-2\mathrm{\πR\ρ}\underset{{\mathrm{\Γ}}_i}{\∫}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\cos \left({{\mathrm{\λ}}_m}^{\′}{z}_j\right)L_j\stackrel{\‾}{K}1\left({\mathrm{\β}}_{m}R\right)f_m\left(z\right){\mathrm{\β}}_m\mathrm{dz}$ 计算得到，

和

分别为节点i和节点j处的相对运动加速度；

(5)由步骤3和步骤4的公式计算得到桥墩结构第i号节点所对应单元受到的总动水压力：

$P_i=P_i^{\left(1\right)}+P_i^{\left(2\right)}$

其中，i由1到K；

(6)将步骤5得到的公式施加到第i号节点对应单元上；

(7)返回步骤1至6，进行第二个荷载步作用下的地震响应分析，如此循环，直至分析到最后一个荷载步，完成地震响应分析。

本发明的深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法，可用于地震作用下深水桥梁结构的抗震设计以及承载力评估。可以方便的在有限元软件中实施深水桥墩地震响应分析，可以在分析中考虑材料非线性、土-结构动力相互作用等因素，并且相对流固耦合的数值软件而言计算效率高，从而为深水桥梁的抗震设计提供理论依据。

附图说明

图1是深水桥墩分析示意图；

图2是地震动水压力施加方法的流程框图；

图3是本发明方法与试验结果对比分析；

其中：(a)是墩顶加速度，(b)是墩顶相对位移

图4是本发明方法与数值方法对比分析；

其中：(a)是El-Centro波，(b)是天津波

图5是El-Centro波作用下桥墩动力响应

其中：(a)是墩顶相对位移，(b)是墩底应力。

具体实施方式

下面结合实施例和附图对本发明的深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法做出详细说明。

本发明的深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法，是将现有的考虑水-墩耦合效应的深水桥墩动力方程(1)：

$(M+M^{\left(2\right)}){\stackrel{\·\·}{u}}_s\left(t\right)+C{\stackrel{\·}{u}}_s\left(t\right)+K{u}_s\left(t\right)=-(M+M^{\left(1\right)}){\stackrel{\·\·}{u}}_g\left(t\right)$

转为如下形式的考虑水-墩耦合效应的深水桥墩动力方程

$M{\stackrel{\·\·}{u}}_s\left(t\right)+C{\stackrel{\·}{u}}_s\left(t\right)+K{u}_s\left(t\right)=-M{\stackrel{\·\·}{u}}_g\left(t\right)-[M^{\left(1\right)}{\stackrel{\·\·}{u}}_g\left(t\right)+M^{\left(2\right)}{\stackrel{\·\·}{u}}_s\left(t\right)]=-M{\stackrel{\·\·}{u}}_g\left(t\right)+P---\left(2\right)$

P＝-[M⁽¹⁾ü_g(t)+M⁽²⁾ü_s(t)](3)

式中，M、K和C分别为结构的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵；ü_g(t)为地震动加速度时程；u_s(t)为桥墩的相对运动位移时程，为桥墩的相对运动速度时程，ü_s(t)为桥墩的相对运动加速度时程；[M⁽¹⁾]和[M⁽²⁾]分别为各水下的刚体附加质量矩阵和弹性附加质量矩阵；P是桥墩受到的地震动水压力荷载。

由于桥墩地震动水压力荷载P不仅和桥墩半径及水深有关，同时和桥墩在地震作用下的实时动力响应有关。所以，为现实式(2)中的深水桥墩地震响应分析中的地震动水压力的施加，还需要建立深水桥墩地震动水压力施加方法。

本发明的深水桥墩地震动水压力施加方法主要由结构动力响应的读取和动水压力计算及施加两部分组成。深水桥墩在地震作用下，首先利用程序读取当前每个荷载步作用时桥墩结构的动力响应用于计算动水压力，再利用程序计算出桥墩水下不同高度处所受到的地震动水压力，并施加到桥墩结构上。地震动水压力施加程序如图2所示。

完成上述考虑水-墩耦合效应的深水桥墩动力方程的深水桥墩地震动水压力施加方法，具体包括如下阶段：

1)进行初始设置，所述的初始设置包括：

(1)在有限元软件中建立桥墩分析模型，同时可以建立包括材料非线性、土-结构相互作用等因素的精细化模型；

(2)设置荷载计算结果输出项，使桥墩结构分析中能够实时输出桥墩结构不同节点处的加速度响应。

(3)对桥墩模型施加重力荷载，进行重力分析。

2)计算动力水附加质量矩阵，所述的动力水附加质量矩阵包括有：

(1)根据桥墩的截面尺寸和水深，计算桥墩刚体地震动水附加质量矩阵[M⁽¹⁾]，[M⁽¹⁾]为对角阵，所述的对角元素为：

${m_i}^{\left(1\right)}=-2\mathrm{\πR\ρ}{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_i}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\sin \left({{\mathrm{\λ}}_m}^{\′}h\right)\stackrel{\‾}{K}1\left({\mathrm{\β}}_{m}R\right)f_m\left(z\right)\mathrm{dz}---\left(4\right)$

式中，R为桥墩半径；ρ为桥墩密度；h为水深；

K₁(β_mr)为修正的第二类一阶Bessel函数；

(2)计算桥墩弹性地震动水附加质量矩阵[M⁽²⁾]，[M⁽²⁾]中各元素为：

${m_{\mathrm{ij}}}^{\left(2\right)}=-2\mathrm{\πR\ρ}\underset{{\mathrm{\Γ}}_i}{\∫}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\cos \left({{\mathrm{\λ}}_m}^{\′}{z}_j\right)L_j\stackrel{\‾}{K}1\left({\mathrm{\β}}_{m}R\right)f_m\left(z\right){\mathrm{\β}}_m\mathrm{dz}---\left(5\right)$

式中，z_i为第i节点z轴坐标值，如图1所示；

为各节点弹性振动加速度；L_i为第i单元长度。

3)设置地震荷载的初始条件；

所述的地震荷载的初始条件是，设地震荷载总时间为T，荷载步数为n，每个荷载步的时间间隔为Δt，即T＝n×Δt，令地震分析开始时的地震动水压力为零。

4)进行荷载步作用下的地震响应分析，所述的进行荷载步作用下的地震响应分析包括如下步骤：

(1)对桥墩模型施加地震荷载，通过有限元软件得到地震作用时第一个荷载步下的桥墩结构动力响应，其中包括桥墩的加速度；

(2)沿着桥墩高度，提取桥墩结构水下部分不同节点处对应的加速度，如图1所示，设桥墩水下共计K个单元，第i节点处对应的加速度

其中i由1到K；同时，提取桥墩墩底加速

(3)利用提取的桥墩墩底加速度

通过下式计算得到桥墩第i号节点对应单元受到的刚体动水压力；

$P_i^{\left(1\right)}=-{m_i}^{\left(1\right)}{\stackrel{\·\·}{x}}_g---\left(6\right)$

其中，按阶段2给出的公式(4)： ${m_i}^{\left(1\right)}=-2\mathrm{\πR\ρ}{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_i}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\sin \left({{\mathrm{\λ}}_m}^{\′}h\right)\stackrel{\‾}{K}1\left({\mathrm{\β}}_{m}R\right)f_m\left(z\right)\mathrm{dz}$ 计算得到；

(4)利用提取的桥墩结构第i号节点处对应的加速度

通过式下式计算得到桥墩i号节点对应单元受到的弹性动水压力：

$P_i^{\left(2\right)}=-\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{m_{\mathrm{ij}}}^{\left(2\right)}\{{\stackrel{\·\·}{x}}_j-{\stackrel{\·\·}{x}}_i\}---\left(7\right)$

其中，按阶段2给出的公式(5)： ${m_{\mathrm{ij}}}^{\left(2\right)}=-2\mathrm{\πR\ρ}\underset{{\mathrm{\Γ}}_i}{\∫}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\cos \left({{\mathrm{\λ}}_m}^{\′}{z}_j\right)L_j\stackrel{\‾}{K}1\left({\mathrm{\β}}_{m}R\right)f_m\left(z\right){\mathrm{\β}}_m\mathrm{dz}$ 计算得到，

和

分别为节点i和节点j处的相对运动加速度；

(5)由步骤3和步骤4的公式计算得到桥墩结构第i号节点所对应单元受到的总动水压力：

$P_i=P_i^{\left(1\right)}+P_i^{\left(2\right)}---\left(8\right)$

其中，i由1到K；

(6)将步骤5得到的公式施加到第i号节点对应单元上；

(7)返回步骤1至6，进行第二个荷载步作用下的地震响应分析，如此循环，直至分析到最后一个荷载步，完成地震响应分析。

下面结合试验及实例说明本发明深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法的正确性、优越性和应用

(1)本发明方法的试验验证(验证正确性)

为验证本发明深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法的正确性，开展振动台模型试验，利用本发明的方法对试验模型进行分析，并与试验结果进行对比。

图3给出了天津波0.2g加速度幅值作用下利用本发明方法考虑地震动水压力作用计算得到的桥墩动力响应和试验结果的对比。

通过图3可以看出，天津波加速度幅值0.2g作用时，利用本发明所建立的水-桥墩动力相互作用分析方法考虑地震动水压力作用时计算得到的桥墩动力响应和试验结果较为一致，从而说明本发明建立的水-桥墩动力相互作用分析方法的正确性。

(2)本发明方法与数值方法对比(验证正确性和优越性)

为进一步验证本发明所建立的方法的正确性，同时说明本发明方法相对数值方法的优越性，分别利用本发明方法和数值方法对深水桥墩进行对比分析。桥墩分析模型截面为4m×5m矩形截面，墩高为30m；采用混凝土材料，弹性模量为3.1×10¹⁰Pa，泊松比为0.2，密度为2550kg/m³；水深取15m。采用附加质量考虑桥梁上部结构对桥墩墩顶的约束作用，墩顶集中质量取一跨梁桥面系的质量为4.0×10⁵kg。数值方法中水体密度为1000kg/m³。地震沿桥墩长边方向作用，迎水面宽度为4m。其中，数值方法采用ADINA软件的流固耦合功能进行分析。

图4所示为有水情况下利用数值方法和本发明方法计算得到的桥墩墩顶相对位移时程曲线。

从图4中可以看出，本发明的方法和数值方法计算得到的桥墩墩顶相对位移时程较为一致，如El-Centro波作用下，数值方法计算得到的桥墩墩顶相对位移为30.9mm，而本发明方法计算得到的桥墩墩顶相对位移为30mm，说明本发明的深水桥墩地震响应评估方法的正确性。

通过分析可知，数值方法计算由于需要同时建立水体和桥墩有限元模型，相对数值方法而言，本发明方法分析所需时间短、计算效率高。

(3)本发明方法应用实例(本发明应用-考虑材料非线性)

深水桥墩分析模型为空心圆截面，外半径为2.5m，内半径为2m，墩高为40m；混凝土采用损伤塑性本构模型，弹性模量为3.25×10¹⁰Pa，密度为2350kg/m³，受拉极限应力为2.39MPa，受压极限应力为26.8MPa；水深分别取0、10、20、30m。采用附加质量考虑桥梁上部结构对桥墩墩顶的约束作用，墩顶集中质量取一跨梁桥面系的质量为6.0×10⁵kg；采用El-Centro波，加速度幅值均调整为0.2g。

图5给出了无水和水深30m时El-Centro波作用下桥墩墩顶相对位移和墩底应力的时程曲线对比。

从图5可以看出，El-Centro波作用下地震动水压力作用增大了桥墩地震响应，深水桥墩地震响应分析应考虑地震动水压力作用。所以，利用本发明建立的评估方法可以对深水桥墩进行地震响应分析，同时能够考虑材料非线性的影响。

Claims (6)

1.一种深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法，其特征在于，包括如下考虑水-墩耦合效应的深水桥墩动力方程：

$M{\stackrel{\·\·}{u}}_s\left(t\right)+C{\stackrel{\·}{u}}_s\left(t\right)+K{u}_s\left(t\right)=-M{\stackrel{\·\·}{u}}_g\left(t\right)-[M^{\left(1\right)}{\stackrel{\·\·}{u}}_g\left(t\right)+M^{\left(2\right)}{\stackrel{\·\·}{u}}_s\left(t\right)]=-M{\stackrel{\·\·}{u}}_g\left(t\right)+P$

P＝-[M⁽¹⁾ü_g(t)+M⁽²⁾ü_s(t)]

式中，M、K和C分别为结构的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵；ü_g(t)为地震动加速度时程；u_s(t)为桥墩的相对运动位移时程，为桥墩的相对运动速度时程，ü_s(t)为桥墩的相对运动加速度时程；[M⁽¹⁾]和[M⁽²⁾]分别为各水下的刚体附加质量矩阵和弹性附加质量矩阵；P是桥墩受到的地震动水压力荷载。

2.根据权利要求1所述的深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法，其特征在于，完成所述的考虑水-墩耦合效应的深水桥墩动力方程，包括如下阶段：

1)进行初始设置；

2)计算动力水附加质量矩阵；

3)设置地震荷载的初始条件；

4)进行荷载步作用下的地震响应分析。

3.根据权利要求2所述的深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法，其特征在于，阶段1所述的初始设置包括：

(1)在有限元软件中建立桥墩分析模型，同时建立包括材料非线性、土-结构相互作用因素的精细化模型；

(2)设置荷载计算结果输出项，使桥墩结构分析中能够实时输出桥墩结构不同节点处的加速度响应。

(3)对桥墩模型施加重力荷载，进行重力分析。

4.根据权利要求2所述的深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法，其特征在于，阶段2所述的动力水附加质量矩阵包括有：

(1)根据桥墩的截面尺寸和水深，计算桥墩刚体地震动水附加质量矩阵[M⁽¹⁾]，[M⁽¹⁾]为对角阵，所述的对角元素为：

${m_i}^{\left(1\right)}=-2\mathrm{\πR\ρ}{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_i}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\sin \left({{\mathrm{\λ}}_m}^{\′}h\right)\stackrel{\‾}{K}1\left({\mathrm{\β}}_{m}R\right)f_m\left(z\right)\mathrm{dz}$

式中，R为桥墩半径；ρ为桥墩密度；h为水深；

K₁(β_mr)为修正的第二类一阶Bessel函数；

(2)计算桥墩弹性地震动水附加质量矩阵[M⁽²⁾]，[M⁽²⁾]中各元素为：

${m_{\mathrm{ij}}}^{\left(2\right)}=-2\mathrm{\πR\ρ}\underset{{\mathrm{\Γ}}_i}{\∫}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\cos \left({{\mathrm{\λ}}_m}^{\′}{z}_j\right)L_j\stackrel{\‾}{K}1\left({\mathrm{\β}}_{m}R\right)f_m\left(z\right){\mathrm{\β}}_m\mathrm{dz}$

式中，z_i为第i节点z轴坐标值，如图1所示；

为各节点弹性振动加速度；L_i为第i单元长度。

5.根据权利要求2所述的深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法，其特征在于，阶段3所述的地震荷载的初始条件是，设地震荷载总时间为T，荷载步数为n，每个荷载步的时间间隔为Δt，即T＝n×Δt，令地震分析开始时的地震动水压力为零。

6.根据权利要求2所述的深水桥墩考虑水-墩耦合效应的地震响应评估方法，其特征在于，阶段4所述的进行荷载步作用下的地震响应分析包括如下步骤：

(1)对桥墩模型施加地震荷载，通过有限元软件得到地震作用时第一个荷载步下的桥墩结构动力响应，其中包括桥墩的加速度；

(2)沿着桥墩高度，提取桥墩结构水下部分不同节点处对应的加速度，设桥墩水下共计K个单元，第i节点处对应的加速度其中i由1到K；同时，提取桥墩墩底加速

(3)利用提取的桥墩墩底加速度

通过下式计算得到桥墩第i号节点对应单元受到的刚体动水压力；

$P_i^{\left(1\right)}={-{m_i}^{\left(1\right)}\stackrel{\·\·}{x}}_g$

其中，

按阶段2给出的公式： ${m_i}^{\left(1\right)}=-2\mathrm{\πR\ρ}{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_i}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\sin \left({{\mathrm{\λ}}_m}^{\′}h\right)\stackrel{\‾}{K}1\left({\mathrm{\β}}_{m}R\right)f_m\left(z\right)\mathrm{dz}$ 计算得到；

(4)利用提取的桥墩结构第i号节点处对应的加速度通过式下式计算得到桥墩i号节点对应单元受到的弹性动水压力：

$P_i^{\left(2\right)}=-\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{m_{\mathrm{ij}}}^{\left(2\right)}\{{\stackrel{\·\·}{x}}_j-{\stackrel{\·\·}{x}}_i\}$

其中，

按阶段2给出的公式： ${m_{\mathrm{ij}}}^{\left(2\right)}=-2\mathrm{\πR\ρ}\underset{{\mathrm{\Γ}}_i}{\∫}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\cos \left({{\mathrm{\λ}}_m}^{\′}{z}_j\right)L_j\stackrel{\‾}{K}1\left({\mathrm{\β}}_{m}R\right)f_m\left(z\right){\mathrm{\β}}_m\mathrm{dz}$ 计算得到，

和

分别为节点i和节点j处的相对运动加速度；

(5)由步骤3和步骤4的公式计算得到桥墩结构第i号节点所对应单元受到的总动水压力：

$P_i=P_i^{\left(1\right)}+P_i^{\left(2\right)}$

其中，i由1到K；

(6)将步骤5得到的公式施加到第i号节点对应单元上；

(7)返回步骤1至6，进行第二个荷载步作用下的地震响应分析，如此循环，直至分析到最后一个荷载步，完成地震响应分析。

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