CN102508436A - 机械手摩擦力动力学精确分析与控制应用方法 - Google Patents

Abstract

一种机械手摩擦力动力学精确分析和控制应用方法，其步骤为：(1)建立机械手的动力学方程；(2)建立摩擦力处的约束方程；(3)利用Udwadia-Kalaba方程建立该机械手约束系统的整体动力学解析方程，得到理想约束力；(4)分解理想约束力，计算得到约束处的正压力和切向力的解析形式；(5)推导获得经典摩擦力和扩展摩擦力等模型的解析形式表达式。本发明是一种能对机械手的摩擦力进行实时计算，对其动力学响应进行精确分析，并得到解析形式的摩擦力表达形式，解决了以往机械系统中摩擦力只能用于用数值形式表达或正压力假定为恒定值的问题，可以方便运用于含有摩擦力的机械手控制器设计。

Description

机械手摩擦力动力学精确分析与控制应用方法

技术领域

本发明主要涉及到机械手摩擦力的控制领域，特指一种机械手摩擦力动力学精确分析与控制方法，特别是针对含复杂约束机械手系统的摩擦力动力学精确分析，包括获得机械手的经典摩擦力(库仑摩擦、静摩擦)和扩展摩擦力(Dahl摩擦力、LuGre摩擦力)的解析形式。

背景技术

摩擦力是两个表面接触的物体相互运动时互相施加的一种物理力。它在机械系统当中广泛存在，如轴承，传动系统，液动和气动缸，阀门，制动和车轮等等。关于摩擦的研究在日益受到重视，特别是在控制工程领域，如机械手系统，驱动系统，高精度伺服系统，机器人的设计等。然而，摩擦力由于其高度的非线性，可能导致稳态误差，极限环和较差的控制性能。因此，对机械系统中摩擦力进行精确分析，获得解析形式摩擦力，对消除机械系统中由摩擦力导致的控制误差就显得格外重要。

摩擦力可以是随接触中的正压力，表面材料性质，物体间的位置和相对速度，湿度和润滑条件等变化的函数。常见的摩擦现象有：静摩擦，库仑摩擦，粘滞摩擦，Stribeck效应，不对称性和位置相关等等。由于摩擦力在物理接触条件下可能包含上述提到的一些或者所有现象，因此在分析摩擦力时还应考虑其参数随时间的变化。

传统的摩擦力模型包含库仑摩擦，干摩擦，粘性摩擦或是这些摩擦的组合，不能描述其它的摩擦特征像Stribeck效应，不对称性和位置相关的其它摩擦特征。为了建立一种用于控制工程，精确和有效表达机械系统摩擦力的模型，许多研究者展开了改进既有分析摩擦模型的研究，并在一定条件下的控制工程中进行了大量尝试。1968年由Dahl提出的Dahl模型用于带摩擦的控制系统仿真，将普通库仑摩擦一般化，没有考虑Stribeck效应和静摩擦。1995年Bliman和Sorine用他们的一阶和二阶模型得到库仑摩擦和干摩擦的模型强调速度独立性。1995年，Canudas de Wit等给出了包含库仑摩擦，静摩擦，粘性摩擦和Stribeck效应的LuGre模型。1998年，Olsson给出了关于其它摩擦模型的一般形式，并在它们的应用在1997年后得到了发展。此后，在2000年Swevers等人给出的LuGre模型的改进形式Leuven模型，并且在2002年Lampaert等人的研究提供了Leuven模型的改进形式，通过用更有效的Maxwell滑移模型替代之前的执行滞后的堆叠机制。在Lampaert于2004年和Fassios于2005年发表的论文中对这种模型进行了应用。2004年，Ferretti等发展了单状态和多状态积分摩擦模型通过对Dahl模型的积分求解。2005年，一种连续微分摩擦力模型由Makkar等人提出，他们强调获得了一系列不用包含不连续或分段连续函数摩擦力重要方面。2010年，Bittencourt等人研究了扩展摩擦模型来获得载荷和温度对机器人铰链摩擦的影响。摩擦力的模型研究工作仍在继续，并取得了可喜的成果。

现有的摩擦力在进行动力学分析时都是基于一个假设，即产生在接触面间的正压力是恒定的。在实际机械手的运动过程中，由于其本身状态的变化，且受到约束条件，外界环境变化的影响，正压力随时间会强烈变化。因此，传统的摩擦力分析手段已不适于分析复杂的机械手动力学工作过程，迫切需要一种解析形式的摩擦力表达方法，对其运动过程进行精确分析，并利于实现其过程的实时控制。

发明内容

本发明要解决的技术问题就在于：针对现有技术存在的技术问题，本发明提供一种能对机械手的摩擦力进行实时计算、对其动力学响应进行精确分析、并得到解析形式的摩擦力表达形式的机械手摩擦力动力学精确分析与控制方法，进而用以解决以往机械系统中摩擦力只能用于用数值形式表达或正压力假定为恒定值的问题，可以方便运用于含不可忽略摩擦力的机械手控制器设计的方法。

为解决上述技术问题，本发明提出的解决方案为：

一种机械手摩擦力动力学精确分析和控制方法，其步骤如下：

(1)、建立机械手的动力学方程，其形式为

$M\stackrel{\·\·}{q}=Q$

其中，M为机械手的质量矩阵，q为系统广义坐标，为系统广义速度，

为系统广义加速度，Q为机械手所受的外力；

(2)、建立摩擦力处的约束方程：建立机械手轨迹或运动副间的m个约束方程，假设其中包含h个完整约束和m-h个非完整约束；

对其完整约束可以描述如下：

其中，

为第i个完整约束方程的表达式。

对其余的m-h个非完整约束，可以描述为：

其中，为第i个非完整约束方程的表达式；

对完整约束求二阶导，对非完整约束求一阶导可以得到如下对广义坐标两阶导统一形式的约束方程：

$A(q,t)\stackrel{\·\·}{q}=b(\stackrel{\·}{q},q,t)$

其中，A(q，t)＝[A_li(q，t)]_m×n为约束方程矩阵，

为其他非二阶导项的组合；

(3)、利用Udwadia-Kalaba方程建立该机械手约束系统的整体动力学解析方程，得到理想约束力：利用Udwadia-Kalaba方程推导出机械手约束力的两个组成部分，分别是理想约束的约束力和非理想约束的约束力，机械手整体坐标系下的动力学方程为如下形式：

$M\stackrel{\·\·}{q}=Q+Q_i^c+Q_{\mathrm{ni}}^c=Q+M^{\frac{1}{2}}{B}^{+}(b-{\mathrm{AM}}^{-1}Q)+M^{\frac{1}{2}}(I-B^{+}B)M^{-\frac{1}{2}}C$

其中

为理想约束产生的理想约束力，

为非理想约束产生的非理想约束力，

B⁺为B的广义逆。上述动力学方程等式右的三个组成部分分别表示为：

第一部分Q是表示作用在机械手上的外力的总和；

第二部分

是由所有理想约束产生的理想约束力，这一部分的约束力在虚位移下所作的虚功为0。

第三部分中的

是由非理想约束产生的非理想约束力，这一部分的约束力在虚位移下所做的虚功不为零；

(4)、分解理想约束力，计算得到正压力和切向力。分析可知空间机械手的约束平面其端点的约束力可以分解为如下两个组成部分：

$Q(\stackrel{\·}{q},q,t)=Q_p(\stackrel{\·}{q},q,t)+Q_t(\stackrel{\·}{q},q,t)$

其中， $Q_p(\stackrel{\·}{q},q,t)=A^{+}(q,t)A(q,t)Q(\stackrel{\·}{q},q,t)$ 为正压力， $Q_t(\stackrel{\·}{q},q,t)=(1-A^{+}(q,t)A(q,t))Q(\stackrel{\·}{q},q,t)$ 为切向力；

以下将推导得到笛卡尔坐标下正压力和切向力解析形式的表达式；

定义机械手系统端部向量在笛卡尔坐标系下可以表示为p(t)，

p(t)＝[x(t)y(t)z(t)]^T

假设机械手的端部的向量可以用以下运动方程来表达：

x＝f_x(q，t)

y＝f_y(q，t)

z＝f_z(q，t)

则其与广义坐标之间的雅可比矩阵可以表示为：

$J(q\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\∂f}_x(q,t)}{\∂q_1}& \frac{\∂f_x(q,t)}{\∂q_2}& \·\·\·& \frac{\∂f_x(q,t)}{\∂q_n}\\ \frac{\∂f_y(q,t)}{\∂q_1}& \frac{{\∂f}_y(q,t)}{\∂q_2}& \·\·\·& \frac{{\∂f}_y(q,t)}{\∂q_n}\\ \frac{\∂f_z(q,t)}{\∂q_1}& \frac{\∂f_z(q,t)}{\∂q_2}& ...& \frac{\∂f_z(q,t)}{\∂q_n}\end{array}\right]$

定义Q_∈为广义坐标系下的广义力，F_∈为相应的笛卡尔坐标系下的三向力，运用上述雅可比矩阵，可以得到如下关系式：

$\stackrel{\·}{p}\left(t\right)=J(q\left(t\right),t)\stackrel{\·}{q}\left(t\right)$

Q_∈(t)＝J^T(q(t)，t)F_∈(t)

F_∈(t)＝(J(q(t)，t)J^T(q(t)，t))^-1J(q(t)，t)Q_∈(t)

则机械手系统在笛卡尔坐标系下正压力和切向力解析形式的表达式为：

$F_n\left(t\right)=(J(q\left(t\right),t)J^T{(q\left(t\right),t)}^{-1}J(q\left(t\right),t)Q_{\mathrm{id}}^c(\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)$

$=(J(q\left(t\right),t)J^T{(q\left(t\right),t)}^{-1}J(q\left(t\right),t)\×M^{-\frac{1}{2}}(q\left(t\right),t)B^{+}(q\left(t\right),t)\left(b\left((\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)\right)\right)$

$-A(q\left(t\right),t)M^{-1}(q\left(t\right),t)Q(\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)$

$F_t\left(t\right)=(J(q\left(t\right),t)J^T{(q\left(t\right),t)}^{-1}J(q\left(t\right),t)Q_t^c(\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)$

$=(J(q\left(t\right),t)J^T{(q\left(t\right),t)}^{-1}J(q\left(t\right),t)\×(I-A_M^{+}(q\left(t\right),t)A(q\left(t\right),t))Q(\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)$

其中，为B(q，t)的广义逆，A(q(t)，t)为约束方程矩阵，A⁺(q，t)为A(q，t)的广义逆，

为A的广义逆的M逆，其关系可以表达为

(5)、获得经典摩擦力和扩展摩擦力的解析形式：推导经典摩擦力模型(如，库仑摩擦力模型、静摩擦力模型等)和扩展摩擦力模型(如，Dahl摩擦力模型、LuGre摩擦力模型等)的解析形式表达式。

在下面的描述中，||·||均表示取向量的模。

作为本发明的进一步细化描述：

所述步骤(5)中，如经典摩擦力模型采用库仑摩擦力模型，库仑摩擦力的解析形式表达式为：

$F_c=-\mathrm{\μ}\left|\right|F_n\left(t\right)\left|\right|\hat{p}\left(t\right),\hat{p}\≠0$

其中，F_c为机械手所受的库仑摩擦力，μ为摩擦系数，||F_n(t)||为正压力的大小，

表示摩擦力的方向，其表达式为：

$\hat{p}\left(t\right)=\frac{\stackrel{\·}{p}\left(t\right)}{\left|\right|\stackrel{\·}{p}\left(t\right)\left|\right|}\stackrel{\·}{p}\≠0$

转化为笛卡尔坐标系下的方向表达式为：

$\hat{p}\left(t\right)=\frac{J(q\left(t\right),t)\stackrel{\·}{q}\left(t\right)}{\left|\right|J(q\left(t\right),t)\stackrel{\·}{q}\left(t\right)\left|\right|}\stackrel{\·}{q}\≠0$

于是得到解析形式的机械库仑摩擦力广义坐标表达式为：

$Q_c(\stackrel{\·}{q},q,t)=-\mathrm{\μ}{J}^T(q,t)\left|\right|F_n\left(t\right)\left|\right|\frac{J(q,t)\stackrel{\·}{q}}{\left|\right|J(q,t)\stackrel{\·}{q}\left|\right|},\stackrel{\·}{q}\≠0$

所述步骤(5)中，经典摩擦力模型采用静摩擦力模型，静摩擦力的解析形式表达式为：由于最大可能的静摩擦力大小直接与正压力的成比例关系并且方向与外力切线方向相反(平行于接触面)；而任何小于最大可能静摩擦力的切向力都会受到一个反向作用且大小相等的静摩擦的作用。因此，最大可能摩擦力大小可以表述为：

||F_m(t)||＝μ_s||F_n(t)||

其中，||F_n(t)||为正压力的大小，μ_s是静摩擦力系数，F_m和F_n都是随时间变化的函数。可以得到解析形式的摩擦力如下：

$F_s\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}-F_t\left(t\right),& \stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|\≤\left|\right|F_s\left|\right|\\ -{\mathrm{\μ}}_s\left|\right|F_n\left(t\right)\left|\right|\hat{f}\left(t\right),& \stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|>\left|\right|F_s\left|\right|\end{array}\right.$

其中，

为静摩擦力的方向表达式。

因此，解析形式的静摩擦力表达式为：

$Q_s\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}-Q_t\left(t\right),& \stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|\≤\left|\right|F_s\left|\right|\\ -{\mathrm{\μ}}_s{J}^T(q,t)\left|\right|F_n\left(t\right)\left|\right|\hat{f}\left(t\right),& \stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|>\left|\right|F_s\left|\right|\end{array}\right.$

通过合并，得到机械手所受的静摩擦力可以表示为如下解析形式：

$Q_f=\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{\μ}{J}^T\left|\right|F_n\left|\right|\hat{p},\stackrel{\·}{q}\≠0\\ -Q_t,\stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|\≤\left|\right|F_s\left|\right|\\ -{\mathrm{\μ}}_s{J}^T\left|\right|F_n\left|\right|\hat{f},\stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|>\left|\right|F_s\left|\right|\end{array}\right.$

所述步骤(5)中，扩展摩擦力模型可以采用Dahl摩擦力模型或LuGre摩擦力模型等。机械手在实际工作过程中所受的摩擦力是多样的，由于库仑摩擦和静摩擦两者并不连续，不能概括动态特性的摩擦现象，如粘性摩擦，Stribeck效应，非对称性，位置相关性等等。Dahl摩擦力模型和LuGre摩擦力模型可以描述这些现象。但是这些扩展摩擦力模型都基于一个假设，即库仑摩擦力大小||F_c||和最大可能静摩擦力大小||F_m||已知。以往这些力的计算都是基于正压力不变的假设进行的。如扩展摩擦力模型采用Dahl摩擦力模型或LuGre摩擦力模型，则：

Dahl摩擦力的解析表达式为：

$\frac{{\mathrm{dF}}_{\mathrm{fk}}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\σ}{(1-\frac{F_{\mathrm{fk}}}{{\left\{\mathrm{\μ}\right|\left|{\left({\mathrm{JJ}}^T\right)}^{-1}{\mathrm{JM}}^{\frac{1}{2}}{B}^{+}(b-{\mathrm{AM}}^{-1}Q)\right|\left|\right\}}_k})}^{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{k},k=x,y,z$

其中，F_fk为Dahl摩擦力，σ为刚性系数，α是用来确定应力应变曲线形状的系数。

为库仑摩擦力的大小，这样即得到Dahl摩擦力的大小。

LuGre摩擦力的解析表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\mathrm{\ω}}_k}{\mathrm{dt}}=\stackrel{\·}{k}-{\mathrm{\σ}}_0\frac{\left|\right|\stackrel{\·}{k}\left|\right|}{g_k}{\mathrm{\ω}}_k,\\ g_k={\left\{\mathrm{\μ}\right|\left|F_N\right|\left|\right\}}_k+{\left\{({\mathrm{\μ}}_s-\mathrm{\μ})\right|\left|F_N\right|\left|\right\}}_k{e}^{-{(\stackrel{\·}{k}/v_{\mathrm{sk}})}^2}\\ F_{\mathrm{fk}}={\mathrm{\σ}}_0{\mathrm{\ω}}_k+{\mathrm{\σ}}_0\frac{{\mathrm{d\ω}}_k}{\mathrm{dt}}+f_k,k=x,y,z\end{array}\right.$

其中，

v_sk为Stribeck速度，σ₀为刚性系数，σ₁为阻尼系数，可以选择为f为viscous摩擦力取值为f＝σ₂v，||F_N||为库仑摩擦力的大小。

与现有技术相比，本发明的优点在于：

(1)摩擦力计算精确。利用本方法可获得机械手摩擦力的解析形式，可以得到机械手系统动力学分析的精确解。因此，令摩擦力的计算具有很高的精度。

(2)接触面正压力可变。机械系统接触面正压力一般为变值，本发明中的摩擦力解析形式可以不管机械手工作时接触面间的正压力是否恒定，均可进行计算，并且可用于存在不可积分摩擦力的机械手系统的系统设计中。

(3)易于控制器设计。由于可获得机械手中正压力变化时摩擦力的解析表达式，非常适合用于机械手系统的控制器设计。

(4)适用于扩展摩擦力模型。本方法不仅适用于经典的摩擦力模型，而且可以用于扩展摩擦力模型，能够很好的表达机械系统中正压力为变值时的摩擦力现象。

附图说明

图1是机械手空间约束及受力分解示意图；

图2是具体实例中二自由度平面机械手结构示意图；

图3是机械手端部接触面正压力变化图；

图4是机械手端部沿X向运动的示意图；

图5是机械手端部沿X向摩擦力大小的示意图；

图6是机械手端部沿Y向运动的示意图；

图7是机械手端部沿Y向摩擦力大小的示意图。

具体实施方式

以下将结合说明书附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。

本发明的一种机械手摩擦力动力学精确分析和控制方法，其步骤如下：

(1)、建立机械手的动力学方程，其形式为

$M\stackrel{\·\·}{q}=Q$

其中，M为机械手的质量矩阵，q为系统广义坐标，

为系统广义速度，

为系统广义加速度，Q为机械手所受的外力；

(2)、建立摩擦力处的约束方程：建立机械手轨迹或运动副间的m个约束方程，假设其中包含h个完整约束和m-h个非完整约束；

对其完整约束可以描述如下：

其中，

为第i个完整约束方程的表达式。

对其余的m-h个非完整约束，可以描述为：

其中，

为第i个非完整约束方程的表达式；

对完整约束求二阶导，对非完整约束求一阶导可以得到如下对广义坐标两阶导统一形式的约束方程：

$A(q,t)\stackrel{\·\·}{q}=b(\stackrel{\·}{q},q,t)$

其中，A(q，t)＝[A_li(q，t)]_m×n为约束方程矩阵，

为其他非二阶导项的组合；

(3)、利用Udwadia-Kalaba方程建立该机械手约束系统的整体动力学解析方程，得到理想约束力：利用Udwadia-Kalaba方程推导出机械手约束力的两个组成部分，分别是理想约束的约束力和非理想约束的约束力，机械手整体坐标系下的动力学方程为如下形式：

$M\stackrel{\·\·}{q}=Q+Q_i^c+Q_{\mathrm{ni}}^c=Q+M^{\frac{1}{2}}{B}^{+}(b-{\mathrm{AM}}^{-1}Q)+M^{\frac{1}{2}}(I-B^{+}B)M^{-\frac{1}{2}}C$

其中

为理想约束产生的理想约束力，

为非理想约束产生的非理想约束力，

B⁺为B的广义逆。上述动力学方程等式右的三个组成部分分别表示为：

第一部分Q是表示作用在机械手上的外力的总和；

第二部分

是由所有理想约束产生的理想约束力，这一部分的约束力在虚位移下所作的虚功为0；

第三部分中的

是由非理想约束产生的非理想约束力，这一部分的约束力在虚位移下所做的虚功不为零。

(4)、分解理想约束力，计算得到正压力和切向力。分析可知空间机械手的约束平面其端点的约束力可以分解为如下两个组成部分：

$Q(\stackrel{\·}{q},q,t)=Q_p(\stackrel{\·}{q},q,t)+Q_t(\stackrel{\·}{q},q,t)$

其中， $Q_p(\stackrel{\·}{q},q,t)=A^{+}(q,t)A(q,t)Q(\stackrel{\·}{q},q,t)$ 为正压力， $Q_t(\stackrel{\·}{q},q,t)=(1-A^{+}(q,t)A(q,t))Q(\stackrel{\·}{q},q,t)$ 为切向力；

以下将推导得到笛卡尔坐标下正压力和切向力解析形式的表达式；

定义机械手系统端部向量在笛卡尔坐标系下可以表示为p(t)，

p(t)＝[x(t) y(t) z(t)]^T

假设机械手的端部的向量可以用以下运动方程来表达：

x＝f_x(q，t)

y＝f_y(q，t)

z＝f_z(q，t)

则其与广义坐标之间的雅可比矩阵可以表示为：

$J(q\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\∂f}_x(q,t)}{\∂q_1}& \frac{\∂f_x(q,t)}{\∂q_2}& \·\·\·& \frac{\∂f_x(q,t)}{\∂q_n}\\ \frac{\∂f_y(q,t)}{\∂q_1}& \frac{{\∂f}_y(q,t)}{\∂q_2}& \·\·\·& \frac{{\∂f}_y(q,t)}{\∂q_n}\\ \frac{\∂f_z(q,t)}{\∂q_1}& \frac{\∂f_z(q,t)}{\∂q_2}& ...& \frac{\∂f_z(q,t)}{\∂q_n}\end{array}\right]$

定义Q_∈为广义坐标系下的广义力，F_∈为相应的笛卡尔坐标系下的三向力，运用上述雅可比矩阵，可以得到如下关系式：

$\stackrel{\·}{p}\left(t\right)=J(q\left(t\right),t)\stackrel{\·}{q}\left(t\right)$

Q_∈(t)＝J^T(q(t)，t)F_∈(t)

F_∈(t)＝(J(q(t)，t)J^T(q(t)t))^-1J(q(t)，t)Q_∈(t)

则机械手系统在笛卡尔坐标系下正压力和切向力解析形式的表达式为：

$F_n\left(t\right)=(J(q\left(t\right),t)J^T{(q\left(t\right),t)}^{-1}J(q\left(t\right),t)Q_{\mathrm{id}}^c(\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)$

$=(J(q\left(t\right),t)J^T{(q\left(t\right),t)}^{-1}J(q\left(t\right),t)\×M^{-\frac{1}{2}}(q\left(t\right),t)B^{+}(q\left(t\right),t)\left(b\left((\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)\right)\right)$

$-A(q\left(t\right),t)M^{-1}(q\left(t\right),t)Q(\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)$

$F_t\left(t\right)=(J(q\left(t\right),t)J^T{(q\left(t\right),t)}^{-1}J(q\left(t\right),t)Q_t^c(\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)$

$=(J(q\left(t\right),t)J^T{(q\left(t\right),t)}^{-1}J(q\left(t\right),t)\×(I-A_M^{+}(q\left(t\right),t)A(q\left(t\right),t))Q(\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)$

其中，

为B(q，t)的广义逆，A(q(t)，t)为约束方程矩阵，A⁺(q，t)为A(q，t)的广义逆，

为A的广义逆的M逆，其关系可以表达为

(5)、获得经典摩擦力和扩展摩擦力的解析形式：推导经典摩擦力模型(如，库仑摩擦力模型、静摩擦力模型等)和扩展摩擦力模型(如，Dahl摩擦力模型、LuGre摩擦力模型等)的解析形式表达式。

在下面的描述中，||·||均表示取向量的模。

作为本发明的进一步细化描述：

所述步骤(5)中，如经典摩擦力模型采用库仑摩擦力模型，库仑摩擦力的解析形式表达式为：

$F_c=-\mathrm{\μ}\left|\right|F_n\left(t\right)\left|\right|\hat{p}\left(t\right),\hat{p}\≠0$

其中，F_c为机械手所受的库仑摩擦力，μ为摩擦系数，||F_n(t)||为正压力的大小，

表示摩擦力的方向，其表达式为：

$\hat{p}\left(t\right)=\frac{\stackrel{\·}{p}\left(t\right)}{\left|\right|\stackrel{\·}{p}\left(t\right)\left|\right|}\stackrel{\·}{p}\≠0$

转化为笛卡尔坐标系下的方向表达式为：

$\hat{p}\left(t\right)=\frac{J(q\left(t\right),t)\stackrel{\·}{q}\left(t\right)}{\left|\right|J(q\left(t\right),t)\stackrel{\·}{q}\left(t\right)\left|\right|}\stackrel{\·}{q}\≠0$

于是得到解析形式的机械库仑摩擦力广义坐标表达式为：

$Q_c(\stackrel{\·}{q},q,t)=-\mathrm{\μ}{J}^T(q,t)\left|\right|F_n\left(t\right)\left|\right|\frac{J(q,t)\stackrel{\·}{q}}{\left|\right|J(q,t)\stackrel{\·}{q}\left|\right|},\stackrel{\·}{q}\≠0$

所述步骤(5)中，如经典摩擦力模型采用静摩擦力模型，静摩擦力的解析形式表达式为：

由于最大可能的静摩擦力大小直接与正压力的成比例关系并且方向与外力切线方向相反(平行于接触面)；而任何小于最大可能静摩擦力的切向力都会受到一个反向作用且大小相等的静摩擦的作用。因此，最大可能摩擦力大小可以表述为：

||F_m(t)||＝μ_s||F_n(t)||

其中，||F_n(t)||为正压力的大小，μ_s是静摩擦力系数，F_m和F_n都是随时间变化的函数。可以得到解析形式的摩擦力如下：

$F_s\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}-F_t\left(t\right),& \stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|\≤\left|\right|F_s\left|\right|\\ -{\mathrm{\μ}}_s\left|\right|F_n\left(t\right)\left|\right|\hat{f}\left(t\right),& \stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|>\left|\right|F_s\left|\right|\end{array}\right.$

其中，

为静摩擦力的方向表达式。

因此，解析形式的静摩擦力表达式为：

$Q_s\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}-Q_t\left(t\right),& \stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|\≤\left|\right|F_s\left|\right|\\ -{\mathrm{\μ}}_s{J}^T(q,t)\left|\right|F_n\left(t\right)\left|\right|\hat{f}\left(t\right),& \stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|>\left|\right|F_s\left|\right|\end{array}\right.$

合并上述动摩擦力和静摩擦力公式，得到机械手所受的静摩擦力可以表示为如下解析形式：

$Q_f=\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{\μ}{J}^T\left|\right|F_n\left|\right|\hat{p},\stackrel{\·}{q}\≠0\\ -Q_t,\stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|\≤\left|\right|F_s\left|\right|\\ -{\mathrm{\μ}}_s{J}^T\left|\right|F_n\left|\right|\hat{f},\stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|>\left|\right|F_s\left|\right|\end{array}\right.$

所述步骤(5)中，扩展摩擦力模型可以采用Dahl摩擦力模型或LuGre摩擦力模型等。机械手在实际工作过程中所受的摩擦力是多样的，由于库仑摩擦和静摩擦两者并不连续，不能概括动态特性的摩擦现象，如粘性摩擦，Stribeck效应，非对称性，位置相关性等等。Dahl摩擦力模型和LuGre摩擦力模型可以描述这些现象。但是这些扩展摩擦力模型都基于一个假设，即库仑摩擦力大小||F_c||和最大可能静摩擦力大小||F_m||已知。以往这些力的计算都是基于正压力不变的假设进行的。如扩展摩擦力模型可以采用Dahl摩擦力模型或LuGre摩擦力模型，则：

Dahl摩擦力的解析表达式为：

$\frac{{\mathrm{dF}}_{\mathrm{fk}}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\σ}{(1-\frac{F_{\mathrm{fk}}}{{\left\{\mathrm{\μ}\right|\left|{\left({\mathrm{JJ}}^T\right)}^{-1}{\mathrm{JM}}^{\frac{1}{2}}{B}^{+}(b-{\mathrm{AM}}^{-1}Q)\right|\left|\right\}}_k})}^{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{k},k=x,y,z$

其中，F_fk为Dahl摩擦力，σ为刚性系数，α是用来确定应力应变曲线形状的系数。

为库仑摩擦力的大小，这样即得到Dahl摩擦力的大小。

LuGre摩擦力的解析表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\mathrm{\ω}}_k}{\mathrm{dt}}=\stackrel{\·}{k}-{\mathrm{\σ}}_0\frac{\left|\right|\stackrel{\·}{k}\left|\right|}{g_k}{\mathrm{\ω}}_k,\\ g_k={\left\{\mathrm{\μ}\right|\left|F_N\right|\left|\right\}}_k+{\left\{({\mathrm{\μ}}_s-\mathrm{\μ})\right|\left|F_N\right|\left|\right\}}_k{e}^{{-(k/v_{\mathrm{sk}})}^2}\\ F_{\mathrm{fk}}={\mathrm{\σ}}_0{\mathrm{\ω}}_k+{\mathrm{\σ}}_0\frac{{\mathrm{d\ω}}_k}{\mathrm{dt}}+f_k,k=x,y,z\end{array}\right.$

其中，v_sk为Stribeck速度，σ₀为刚性系数，σ₁为阻尼系数，可以选择为

f为viscous摩擦力取值为f＝σ₂v，||F_N||为库仑摩擦力的大小。

本实施例中，以平面二连杆机械手系统为具体应用实例对本发明进行详细的说明，参见图1和图2，其具体流程为：

1、建立机械手的动力学方程。这里取θ₁，θ₂作为机械手系统的广义坐标系，如图2所示。机械手的控制器输入力矩为[τ₁ τ₂]，运用拉格朗日方程，建立机械手系统的动力学方程如下：

${\mathrm{\τ}}_1=m_2{l}_2^2({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2)+m_2{l}_1{l}_2\cos {\mathrm{\θ}}_2({2\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2)+(m_1+m_2)l_1^2{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1-m_2{l}_1{l}_2{\sin \mathrm{\θ}}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2^2-2m_2{l}_1{l}_2{\sin \mathrm{\θ}}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2$

$+m_2{l}_{2}g\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)+(m_1+m_2)l_{1}g\cos {\mathrm{\θ}}_1$

${\mathrm{\τ}}_2=m_2{l}_1{l}_2\cos {\mathrm{\θ}}_2{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+m_2{l}_1{l}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1^2+m_2{l}_{2}g\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_1)+m_2{l}_2^2({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2)$

其中，m₁，m₂分别为机械手系统的第一、第二根机械臂的质量，l₁，l₂分别为机械手系统的第一、第二根机械臂的长度，g为重力加速度。

整理动力学方程，得到机械手的动力学方程为如下形式：

$M(q,t)\stackrel{\·\·}{q}=Q(\stackrel{\·}{q},q,t)$

$q=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_1\\ {\mathrm{\θ}}_1\end{array}\right],$ $M=\left[\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{12}& m_{22}\end{array}\right],$ $Q=\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\end{array}\right],$

其中，

$m_{11}=m_2{l}_2^2+2m_2{l}_1{l}_2\cos {\mathrm{\θ}}_2+(m_1+m_2)l_1^2$

$m_{12}=m_2{l}_2^2+m_2{l}_1{l}_2\cos {\mathrm{\θ}}_2$

$m_{22}=m_2{l}_2^2$

$h_1={\mathrm{\τ}}_1+m_2{l}_1{l}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1)-m_2{l}_{2}g\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_1)-(m_1+m_2)l_{1}g\cos {\mathrm{\θ}}_1$

$h_2={\mathrm{\τ}}_2-m_2{l}_1{l}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1^2-m_2{l}_{2}g\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_1)$

2、施加约束，建立约束方程。假设机械手的末端的约束在如下抛物线的轨迹上，其轨迹方程为：

y＝βx²+γ

其中β，γ分别为抛物线的系数。机械手运动时的坐标应满足如下关系：

x＝l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂)

y＝l₁sinθ₁+l₂sin(θ₁+θ₂)

在广义坐标系下，其约束方程为：

l₁sinθ₁+l₂sin(θ₁+θ₂)-β(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))²-γ＝0

对上述约束方程取二阶导，可以得到如下形式的约束方程：

$A(q,t)\stackrel{\·\·}{q}=b(\stackrel{\·}{q},q,t),$

其中，

A＝2β(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))(l₂sin(θ₁+θ₂)+l₁sinθ₁)+l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂)，

   2β(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))l₂sin(θ₁+θ₂)+l₂cos(θ₁+θ₂)]，

$b=l_1\sin {\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+l_2\sin ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2){({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2)}^2-2\mathrm{\β}{(l_1\sin {\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+l_2\sin ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2))}^2$

$-2\mathrm{\β}(l_1\cos {\mathrm{\θ}}_1+l_2\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2))(l_1\cos {\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1^2+l_2\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2){({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2)}^2).$

结合附图描叙工作原理及过程，即前面作静态描叙，后面动态说明。非线性系统受非线性约束是目前其他任何摩擦力表述形式所不能够做到的。本算例选取该受非线性约束的非线性系统能够很好的展现本发明的优越性。

3、计算获得约束力。利用Udwadia-Kalaba方程推导出约束力的理想约束力和非理想约束力两个组成部分；

$M\stackrel{\·\·}{q}=Q+Q_i^c+Q_{\mathrm{ni}}^c=Q+M^{\frac{1}{2}}{B}^{+}(b-{\mathrm{AM}}^{-1}Q)+M^{\frac{1}{2}}(I-B^{+}B)M^{-\frac{1}{2}}C$

总的约束力由上述等式后两部分组成：

第一部分中的

是由所有理想约束产生的约束力，这一部分的约束力在虚位移下所作的虚功为0。

第二部分中的

是由非理想约束产生的约束力。

4、获得正压力和切向力。推导得到笛卡尔坐标下正压力和切向力解析形式的表达式；

定义向量p(t)，

p(t)＝[x(t) y(t) z(t)]^T

假设有如下运动关系：

x＝f_x(q，t)

y＝f_y(q，t)

z＝y_z(q，t)

雅可比矩阵可以描述为：

$J(q\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\∂f}_x(q,t)}{\∂q_1}& \frac{\∂f_x(q,t)}{\∂q_2}& \·\·\·& \frac{\∂f_x(q,t)}{\∂q_n}\\ \frac{\∂f_y(q,t)}{\∂q_1}& \frac{{\∂f}_y(q,t)}{\∂q_2}& \·\·\·& \frac{{\∂f}_y(q,t)}{\∂q_n}\\ \frac{\∂f_z(q,t)}{\∂q_1}& \frac{\∂f_z(q,t)}{\∂q_2}& ...& \frac{\∂f_z(q,t)}{\∂q_n}\end{array}\right]$

定义Q_∈为广义力，F_∈为相应的笛卡尔坐标下的力，运用上述雅可比矩阵，可以得到如下关系式：

$\stackrel{\·}{p}\left(t\right)=J(q\left(t\right),t)\stackrel{\·}{q}\left(t\right)$

Q_∈(t)＝J^T(q(t)，t)F_∈(t)

F_∈(t)＝(J(q(t)，t)J^T(q(t)，t))^-1J(q(t)，t)Q_∈(t)

笛卡尔坐标正压力和切向力解析形式的表达式：

$F_n\left(t\right)=(J(q\left(t\right),t)J^T{(q\left(t\right),t)}^{-1}J(q\left(t\right),t)Q_{\mathrm{id}}^c(\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)$

$=(J(q\left(t\right),t)J^T{(q\left(t\right),t)}^{-1}J(q\left(t\right),t)\×M^{-\frac{1}{2}}(q\left(t\right),t)B^{+}(q\left(t\right),t)\left(b\left((\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)\right)\right)$

$-A(q\left(t\right),t)M^{-1}(q\left(t\right),t)Q(\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)$

$F_t\left(t\right)=(J(q\left(t\right),t)J^T{(q\left(t\right),t)}^{-1}J(q\left(t\right),t)Q_t^c(\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)$

$=(J(q\left(t\right),t)J^T{(q\left(t\right),t)}^{-1}J(q\left(t\right),t)\×(I-A_M^{+}(q\left(t\right),t)A(q\left(t\right),t))Q(\stackrel{\·}{q}\left(t\right),q\left(t\right),t)$

5、获得摩擦力。这里假设摩擦力为库仑摩擦力，一般库仑摩擦力广义坐标表达式为：

$Q_c(\stackrel{\·}{q},q,t)=-\mathrm{\μ}{J}^T(q,t)\left|\right|F_n\left(t\right)\left|\right|\frac{J(q,t)\stackrel{\·}{q}}{\left|\right|J(q,t)\stackrel{\·}{q}\left|\right|},\stackrel{\·}{q}\≠0$

针对该具体机械系统，展开上述摩擦力解析形式，库伦摩擦力的解析表达为

$Q_f=\left[\right[-\mathrm{\μ}{({(j_1(n_1{b}_1+n_2{b}_2)+j_2(n_2{b}_1+n_3{b}_2))}^2{(b-b_3)}^2+{(j_3(n_1{b}_1+n_2{b}_2)+j_4(n_2{b}_1+n_3{b}_2))}^2{(b-b_3)}^2)}^{\frac{1}{2}}$

${(((-l_1\sin {\mathrm{\θ}}_1-l_2\sin ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)){\stackrel{\·}{q}}_1+\left({-l}_2\sin ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)\right){\stackrel{\·}{q}}_2)}^2+((l_1\cos {\mathrm{\θ}}_1+l_2\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)){\stackrel{\·}{q}}_1+(l_2\cos ({\mathrm{\θ}}_1$

$+{\mathrm{\θ}}_2)){{\stackrel{\·}{q_2})}^2)}^{-\frac{1}{2}}((-l_1{\sin \mathrm{\θ}}_1-l_2\sin ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2))((-l_1\sin {\mathrm{\θ}}_1-l_2\sin ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)){\stackrel{\·}{q}}_1+(-l_2\sin ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)){\stackrel{\·}{q}}_2)$

$+(l_1\cos {\mathrm{\θ}}_1+l_2\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2))((l_1\cos {\mathrm{\θ}}_1+l_2\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)){\stackrel{\·}{q}}_1+\left(l_2\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)\right){\stackrel{\·}{q}}_2)\left)\right];$

$[-\mathrm{\μ}{({(j_1(n_1{b}_1+n_2{b}_2)+j_2(n_2{b}_1+n_3{b}_2))}^2{(b-b_3)}^2+{(j_3(n_1{b}_1+n_2{b}_2)+j_4(n_2{b}_1+n_3{b}_2))}^2{(b-b_3)}^2)}^{\frac{1}{2}}$

${(((-l_1\sin {\mathrm{\θ}}_1-l_2\sin ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+\left({-l}_2\sin ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2)}^2+((l_1\cos {\mathrm{\θ}}_1+l_2\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+(l_2\cos ({\mathrm{\θ}}_1$

$+{\mathrm{\θ}}_2)){{{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2)}^2)}^{-\frac{1}{2}}((-l_2\sin ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2))((-l_1\sin {\mathrm{\θ}}_1-l_2\sin ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+j_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2)+\left(l_2\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)\right)((l_1\cos {\mathrm{\θ}}_1$

$-l_2\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+\left(l_2\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2\left)\right)\left]\right],$

其中，

j₁＝(((l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))²+(l₂cos(θ₁+θ₂))²)(-l₁simθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))-((-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))+(-l₂sm(θ₁+θ₂))(l₂cos(θ₁+θ₂)))(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂)))((-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))²(l₂cos(θ₁+θ₂))²+(-l₂sin(θ₁+θ₂))²(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))²-2(-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))(-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₂cos(θ₁+θ₂)))^-1，

j2＝(((l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))²+(l₂cos(θ₁+θ₂))²)(-l₂sin(θ₁+θ₂))-((-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₁cosθ₁+l₂ccs(θ₁+θ₂))+(-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₂cos(θ₁+θ₂)))(l₂cos(θ₁+θ₂)))((-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))²(l₂cos(θ₁+θ₂))²+(-l₂sin(θ₁+θ₂))²(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))²-2(-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))(-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₂cos(θ₁+θ₂)))^-1，

j₃＝(((-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))²+(-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))²)(l₁cosθ₁-l₂cos(θ₁+θ₂))-((-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))+(-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₂cos(θ₁+θ₂)))(-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂)))((-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))²(l₂cos(θ₁+θ₂))²+(-l₂sin(θ₁+θ₂))²(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))²-2(-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))(-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₂cos(θ₁+θ₂)))^-1，

j₄＝(((-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))²+(-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))²)(l₂cos(θ₁+θ₂))-((-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))+(-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₂cos(θ₁+θ₂)))(-l₂sin(θ₁+θ₂)))((-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))²(l₂cos(θ₁+θ₂))²+(-l₂sin(θ₁+θ₂))²(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))²-2(-l₁sinθ₁-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₁cosθ₁+l₂cos(θ₁+θ₂))(-l₂sin(θ₁+θ₂))(l₂cos(θ₁+θ₂)))^-1，

$n_1=\frac{1}{4}{(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+4m_{12}^2)}^{-\frac{1}{2}}(2m_{22}$

${+2m_{11}-2{(m_{22}^2-{2m}_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+{4m}_{12}^2)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}{(m_{22}-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+{4m}_{12}^2)}^{\frac{1}{2}}+m_{11}({2m}_{22}$

${+2m_{11}+2{(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+4m_{12}^2)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}-m_{11}({2m}_{22}+{2m}_{11}-2(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2$

${{+4m_{12}^2)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}-m_{22}{({2m}_{22}+2m_{11}+2{(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+4m_{12}^2)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}+m_{22}({2m}_{11}+$

${2m}_{11}-2{{(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+{4m}_{12}^2)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}+{(m_{22}^2-{2m}_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+4m_{12}^2)}^{\frac{1}{2}}({2m}_{22}+2m_{11}$

$+2{(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+4m_{12}^2)}^{\frac{1}{2}}),$

$n_2=\frac{1}{2}{(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+4m_{12}^2)}^{-\frac{1}{2}}{m}_{12}(-(2$

$m_{22}+2m_{11}+2{(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+m_{12}^2)}^{\frac{1}{2}})+({2m}_{22}+2m_{11}-2(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2$

$+{{\mathrm{tm}}_{12}^2)}^{\frac{1}{2}})),$

$n_3=\frac{1}{4}{(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+{4m}_{12}^2)}^{-\frac{1}{2}}(2m_{22}$

$+{2m}_{11}-2{{(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+{4m}_{12}^2)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}+{(m_{22}-{2m}_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+4m_{12}^2)}^{\frac{1}{2}}+m_{22}({2m}_{22}$

${+2m}_{11}+2{{(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+4m_{12}^2)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}-m_{22}({2m}_{22}+{2m}_{11}-2(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2$

${{+4m_{12}^2)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}-m_{11}{({2m}_{22}+2m_{11}+2{(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+4m_{12}^2)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}+m_{11}({2m}_{22}+$

${2m}_{11}-2{{(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+{4m}_{12}^2)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}+{(m_{22}^2-{2m}_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+4m_{12}^2)}^{\frac{1}{2}}({2m}_{22}+2m_{11}$

$+2{(m_{22}^2-2m_{22}{m}_{11}+m_{11}^2+4m_{12}^2)}^{\frac{1}{2}}),$

$b_1=(a_1{n}_3-a_2{n}_2){(n_1{n}_3-n_2^2)}^{-1}{((a_1{n}_3-a_2{n}_2){(n_1{n}_3-n_2^2)}^{-2}+(a_2{n}_1-a_1{n}_2){(n_1{n}_3-n_2^2)}^{-2})}^{-1},$

$b_2=(a_2{n}_1-a_1{n}_2){(n_1{n}_3-n_2^2)}^{-1}{((a_1{n}_3-a_2{n}_2){(n_1{n}_3-n_2^2)}^{-2}+(a_2{n}_1-a_1{n}_2){(n_1{n}_3-n_2^2)}^{-2})}^{-1},$

$b_3={({-m}_{12}^2+m_{22}{m}_{11})}^{-1}(h_1{a}_1{m}_{22}-h_1{a}_2{m}_{12}-h_2{a}_1{m}_{12}+h_2{a}_2{m}_{11}),$

利用所求的摩擦力解析形式，对系统进行数值仿真，具体参数选取如下：

机械手的质量参数：m₁＝1，m₂＝1，

机械手的几何参数：l₁＝1，l₂＝2，

重力加速度：g＝9.8

摩擦系数：μ＝0.1

选取抛物线约束方程：y＝1/4x²(即β＝1/4，γ＝0)

控制器力矩输入：τ₁＝5sint，τ₂＝2

在此驱动力矩的作用下，机械手系统杆2末端将在抛物线约束的轨迹内作往复运动，并且正压力随时间变化而改变。以往尚无任何摩擦力表述形式能够处理以上非线性机械系统中摩擦力接触面正压力为变值的情况。

用本发明的方法建立机械手解析形式的摩擦力形式，进行动力学分析，就可以得到该过程中正压力随时间的变化而变化如图3所示，得到x向的运动位移和摩擦力如图4和图5所示，得到y方向的运动位移和摩擦力如图6和图7所示，进而克服了以往不能建立机械手随正压力变化的解析形式摩擦力的缺点。

以上仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应视为本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种机械手摩擦力动力学精确分析和控制应用方法，其特征在于，步骤如下：

(1)、建立机械手的动力学方程，其形式为

$M\stackrel{\·\·}{q}=Q$

其中，M为机械手的质量矩阵，q为系统广义坐标，

为系统广义速度，

为系统广义加速度，Q为机械手所受的外力；

(2)、建立摩擦力处的约束方程：建立机械手轨迹或运动副间的m个约束方程，假设其中包含h个完整约束和m-h个非完整约束，则h个完整约束描述如下：

其中，

为第i个完整约束方程的表达式；

对其余的m-h个非完整约束，可以描述为：

其中，

为第i个非完整约束方程的表达式；

对完整约束求二阶导，对非完整约束求一阶导可以得到如下对广义坐标两阶导统一形式的约束方程：

$A(q,t)\stackrel{\·\·}{q}=b(\stackrel{\·}{q},q,t)$

其中，A(q，t)＝[A_li(q，t)]_m×n为约束方程矩阵，为其他非二阶导项的组合；

(3)、利用Udwadia-Kalaba方程建立该机械手约束系统的整体动力学解析方程，得到理想约束力：利用Udwadia-Kalaba方程推导出机械手约束力的两个组成部分，分别是理想约束的约束力和非理想约束的约束力，机械手整体坐标系下的动力学方程为如下形式：

$M\stackrel{\·\·}{q}=Q+Q_i^c+Q_{\mathrm{ni}}^c=Q+M^{\frac{1}{2}}{B}^{+}(b-{\mathrm{AM}}^{-1}Q)+M^{\frac{1}{2}}(I-B^{+}B)M^{-\frac{1}{2}}C$

其中，

为理想约束产生的理想约束力，

为非理想约束产生的非理想约束力，

B⁺为B的广义逆；Q是表示作用在机械手上的外力的总和。

是由所有理想约束产生的理想约束力，这一部分的约束力在虚位移下所作的虚功为0；

是由非理想约束产生的非理想约束力，这部分力在虚位移下所做的虚功不为零；

(4)、分解理想约束力，得到正压力和切向力：分析可知空间机械手的约束平面其端点的约束力可以分解为如下两个组成部分：

$Q(\stackrel{\·}{q},q,t)=Q_p(\stackrel{\·}{q},q,t)+Q_t(\stackrel{\·}{q},q,t)$

其中， $Q_p(\stackrel{\·}{q},q,t)=A^{+}(q,t)A(q,t)Q(\stackrel{\·}{q},q,t)$ 为正压力， $Q_t(\stackrel{\·}{q},q,t)=(1-A^{+}(q,t)A(q,t))Q(\stackrel{\·}{q},q,t)$ 为切向力；

(5)、推导经典摩擦力和扩展摩擦力模型的解析形式：根据上述所得正压力方程，推导经典摩擦力模型和扩展摩擦力模型的解析形式表达式。

2.根据权利要求1所述的机械手摩擦力动力学精确分析和控制应用方法，其特征在于，所述步骤(5)中，经典摩擦力模型采用库仑摩擦力模型，库仑摩擦力的解析形式表达式为：

$F_c=-\mathrm{\μ}\left|\right|F_n\left(t\right)\left|\right|\hat{p}\left(t\right),\hat{p}\≠0$

其中，F_c为机械手所受的库仑摩擦力，μ为摩擦系数，||F_n(t)||为正压力的大小，

表示摩擦力的方向，其表达式为：

$\hat{p}\left(t\right)=\frac{\stackrel{\·}{p}\left(t\right)}{\left|\right|\stackrel{\·}{p}\left(t\right)\left|\right|}\stackrel{\·}{p}\≠0$

转化为笛卡尔坐标系下的方向表达式为：

$\hat{p}\left(t\right)=\frac{J(q\left(t\right),t)\stackrel{\·}{q}\left(t\right)}{\left|\right|J(q\left(t\right),t)\stackrel{\·}{q}\left(t\right)\left|\right|}\stackrel{\·}{q}\≠0$

于是得到解析形式的机械库仑摩擦力广义坐标表达式为：

$Q_c(\stackrel{\·}{q},q,t)=-\mathrm{\μ}{J}^T(q,t)\left|\right|F_n\left(t\right)\left|\right|\frac{J(q,t)\stackrel{\·}{q}}{\left|\right|J(q,t)\stackrel{\·}{q}\left|\right|},\stackrel{\·}{q}\≠0.$

3.根据权利要求2所述的机械手摩擦力动力学精确分析和控制应用方法，其特征在于，所述步骤(5)中，经典摩擦力模型采用静摩擦力模型，静摩擦力的解析形式表达式为：

|F_m(t)||＝μ_s||F_n(t)||

其中，||F_n(t)||为正压力的大小，μ_s是静摩擦力系数，F_m和F_n部是随时间变化的函数，得到解析形式的摩擦力如下：

$F_s\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}-F_t\left(t\right),& \stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|\≤\left|\right|F_s\left|\right|\\ -{\mathrm{\μ}}_s\left|\right|F_n\left(t\right)\left|\right|\hat{f}\left(t\right),& \stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|>\left|\right|F_s\left|\right|\end{array}\right.$

其中，

为静摩擦力的方向表达式，因此，解析形式的静摩擦力表达式为：

$Q_s\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}-Q_t\left(t\right),& \stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|\≤\left|\right|F_s\left|\right|\\ -{\mathrm{\μ}}_s{J}^T(q,t)\left|\right|F_n\left(t\right)\left|\right|\hat{f}\left(t\right),& \stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|>\left|\right|F_s\left|\right|\end{array}\right.$

通过合并，得到机械手所受的静摩擦力可以表示为如下解析形式：

$Q_f=\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{\μ}{J}^T\left|\right|F_n\left|\right|\hat{p},\stackrel{\·}{q}\≠0\\ -Q_t,\stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|\≤\left|\right|F_s\left|\right|\\ -{\mathrm{\μ}}_s{J}^T\left|\right|F_n\left|\right|\hat{f},\stackrel{\·}{q}=0\mathrm{and}\left|\right|F_t\left|\right|>\left|\right|F_s\left|\right|\end{array}\right..$

4.根据权利要求1所述的机械手摩擦力动力学精确分析和控制应用方法，其特征在于，所述步骤(5)中，扩展摩擦力模型采用Dahl摩擦力模型或LuGre摩擦力模型，则

Dahl摩擦力的解析表达式为：

$\frac{{\mathrm{dF}}_{\mathrm{fk}}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\σ}{(1-\frac{F_{\mathrm{fk}}}{{\left\{\mathrm{\μ}\right|\left|{\left({\mathrm{JJ}}^T\right)}^{-1}{\mathrm{JM}}^{\frac{1}{2}}{B}^{+}(b-{\mathrm{AM}}^{-1}Q)\right|\left|\right\}}_k})}^{\mathrm{\α}}\stackrel{\·}{k},k=x,y,z$

其中，F_fk为Dahl摩擦力，σ为刚性系数，α是用来确定应力应变曲线形状的系数；为库仑摩擦力的大小，这样即得到Dahl摩擦力的大小；

LuGre摩擦力的解析表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\mathrm{\ω}}_k}{\mathrm{dt}}=\stackrel{\·}{k}-{\mathrm{\σ}}_0\frac{\left|\right|\stackrel{\·}{k}\left|\right|}{g_k}{\mathrm{\ω}}_k,\\ g_k={\left\{\mathrm{\μ}\right|\left|F_N\right|\left|\right\}}_k+{\left\{({\mathrm{\μ}}_s-\mathrm{\μ})\right|\left|F_N\right|\left|\right\}}_k{e}^{-{(\stackrel{\·}{k}/v_{\mathrm{sk}})}^2}\\ F_{\mathrm{fk}}={\mathrm{\σ}}_0{\mathrm{\ω}}_k+{\mathrm{\σ}}_0\frac{{\mathrm{d\ω}}_k}{\mathrm{dt}}+f_k,k=x,y,z\end{array}\right.$

其中，

v_sk为Stribeck速度，σ₀为刚性系数，σ₁为阻尼系数，f为viscous摩擦力，取值为f＝σ₂v，||F_N||为库仑摩擦力的大小。

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