CN102411673A - 一种计算声振系统中高频动力学响应的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种计算声振系统中高频动力学响应的方法，首先将被研究的声振系统划分为N个子系统，其次确定模态能量分析方法和统计能量分析方法适用的分析频率范围，当分析频率处于中频范围内，采用模态能量分析方法计算被研究的声振系统中频动力学响应，模态能量分析方法首先确定所有子系统中频范围内具有的共振模态数目和共振频率值，其次建立N个子系统的共振模态之间的功率流平衡关系，最后由功率流平衡关系求解所有子系统各模态的模态能量，分别对每个子系统在分析频带内的模态的模态能量求和，得到各个子系统在分析频带内的能量响应；当分析频率处于高频范围内，采用统计能量分析方法计算被研究的声振系统高频动力学响应。

Description

一种计算声振系统中高频动力学响应的方法

技术领域

本发明涉及声振系统动力学响应分析领域，具体为一种计算声振系统中高频动力学响应的方法。

背景技术

结构动力学响应分析的方法主要可以归纳为两类：解析方法和数值方法。解析方法主要是将被研究结构简化为弹性梁、平板、圆柱壳或者锥壳结构，采用积分变换或模态分析方法，建立流固耦合方程，进而求解得到结构的模态辐射声功率。尽管解析方法在分析的过程中提供了清晰的物理概念，但它往往不适合解决工程实际问题。因为随着分析频率的提高或者是被研究结构的复杂化，建模和求解的难度都将大幅度增加，最终计算结果的准确度也必然降低。

数值方法主要包括有限元方法(FEM)、边界元方法(BEM)和统计能量分析(SEA)方法。在实际工程中，通常采用有限元理论计算结构的振动响应，边界元理论计算由于结构振动所辐射的声场水平。但是，随着计算频率的提高，划分的结构单元数目急剧增加，计算量也随之迅速增大，限于硬件条件，FEM、BEM方法一般适用于低频率范围。SEA方法是一种适用于较宽频率范围的随机振动与噪声分析方法，它从统计的观点分析被研究对象，以能量作为独立的动力学变量，使用功率流平衡方程研究各个子系统之间的能量传递关系。SEA方法的优点是：分析频率越高，分析结果的精度越高；便于工程人员使用；求解速度快；对硬件条件要求低。所以SEA方法往往适用于高频范围。

目前，工程运用领域日益迫切地需求可适用于低、中、高全频域的数值分析方法。在这一需求的牵引下，大致形成了三个方向的研究思路：一是将有限元、边界元理论向高频发展，例如能量有限元法；二是将SEA方法向中低频发展，例如Hopkins提出了低模态密度、低模态重叠因子条件下的统计能量分析基本参数，高宝华、张建等分析得到了耦合板的低频耦合损耗因子；三是发展适用于全频域的混合方法，如FEM-SIF混合方法、EOA-SFEM方法等。但是，无论从哪个发展方向出发得到的全频域分析方法，都存在求解复杂，不能快速地应用于实际工程中的问题。

发明内容

要解决的技术问题

为解决现有技术的问题，本发明提出一种计算声振系统中高频动力学响应的方法，既适合于结构模态稀少的中频域，也适用于结构模态密集的高频域，并且可以较快速地进行大型复杂声振耦合系统动力学响应计算。

技术方案

本发明的技术方案为：

所述一种计算声振系统中高频动力学响应的方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：将被研究的声振系统划分为N个子系统，使每个子系统具有相同的动力学特性，其中动力学特性包括阻尼、模态能量和耦合损耗因子；

步骤2：确定模态能量分析方法和统计能量分析方法适用的分析频率范围：

步骤2.1：确定每个子系统的第一阶共振频率：f_1，i，i＝1，…，N，其中i表示第i个子系统；模态能量分析方法适用的分析频率范围下限f_min ^MEA为f_min ^MEA＝max(f_1，i)；

步骤2.2：由模态重迭因子公式M_e，i＝n_i(f)fη_i，计算第i个子系统的模态重迭因子M_e，i＝1时的最小分析频率f_i，i＝1，…，N，其中n_i(f)表示第i个子系统的结构模态密度，η_i表示第i个子系统的结构内损耗因子；模态能量分析方法适用的分析频率范围上限f_max ^MEA为f_max ^MEA＝max(f_i)，统计能量分析方法适用的分析频率范围下限f_min ^SEA为f_min ^SEA＝f_max ^MEA；

步骤3：当分析频率f处于f_min ^MEA～f_max ^MEA范围内，采用模态能量分析方法计算被研究的声振系统中频动力学响应，所述模态能量分析方法为：

步骤3.1：确定第i个子系统在min(f_1，i)～f_max ^MEA范围内具有的共振模态数目T_i和共振频率值f_j，i，其中i＝1，…，N，j＝1，…，T_i；

步骤3.2：建立N个子系统的共振模态之间的功率流平衡关系：

$\left[\begin{array}{ccccccc}{-\mathrm{\β}}_{1,m}^{\mathrm{1,1}}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,m}^{1,T_m}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,N}^{\mathrm{1,1}}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,N}^{1,T_N}\\ {-\mathrm{\β}}_{1,m}^{T_1,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,m}^{T_1,T_m}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,N}^{T_1,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,N}^{T_1,T_N}\\ {-\mathrm{\β}}_{2.m}^{1,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,m}^{1,T_m}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,N}^{\mathrm{1,1}}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,N}^{1,T_N}\\ {-\mathrm{\β}}_{2,m}^{T_2,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,m}^{T_2,T_m}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,N}^{T_2,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,N}^{T_2,T_N}\\ 0& \·\·\·& 0& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{m,N}^{1,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{m,N}^{1,T_N}\\ \·\·\·& 0& {\mathrm{\Δ}}_m^{T_m}+\underset{i=1,i\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{T_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{m,i}^{1,j}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{m,N}^{T_m,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{m,N}^{T_m,T_N}\\ \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{N,m}^{1,T_m}& \·\·\·& {\mathrm{\Δ}}_N^1+\underset{i=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{T_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{N,i}^{1,j}& 0& \·\·\·& 0\\ \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{N,m}^{T_N,T_m}& \·\·\·& 0& \·\·\·& 0& {\mathrm{\Δ}}_N^{T_N}+\underset{i=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{T_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{N,i}^{T_{N,j}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_1^1\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_1^{T_1}\\ e_2^1\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_2^{T_2}\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_m^1\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_m^{T_m}\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_N^1\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_N^{T_N}\end{array}\right]$

其中每个子系统自身共振模态之间的模态耦合损耗因子为0；

为第i个子系统第j阶模态的模态能量，

为外界激励输入第i个子系统第j阶模态的功率，

为第i个子系统第j阶模态的模态质量，

为外界激励输入第i个子系统第j阶模态上的功率谱密度；

为第i个子系统第j阶模态的模态阻尼系数，

为第i个子系统第j阶模态的模态阻尼；

为第i个子系统第j阶模态与第ii个子系统第jj阶模态间的模态耦合损耗因子，

${\mathrm{\β}}_{i,\mathrm{ii}}^{j,\mathrm{jj}}=\frac{{\mathrm{\γ}}_{i,\mathrm{ii}}^{j,\mathrm{jj}}[{\mathrm{\Δ}}_i^j{\left({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}\right)}^2+{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}{\left({\mathrm{\ω}}_i^j\right)}^2]}{{[{\left({\mathrm{\ω}}_i^j\right)}^2-{\left({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}\right)}^2]}^2+({\mathrm{\Δ}}_i^j+{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}})[{\mathrm{\Δ}}_i^j{\left({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}\right)}^2+{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}{\left({\mathrm{\ω}}_i^j\right)}^2]},$

为第i个子系统第j阶模态的模态频率，

为第ii个子系统第jj阶模态的模态频率，

为第ii个子系统第jj阶模态的模态阻尼系数，当第i个子系统与第ii个子系统之间为线连接时，系数

为

${\mathrm{\γ}}_{i,\mathrm{ii}}^{j,\mathrm{jj}}=\frac{1}{\sqrt{{\left({\mathrm{\ω}}_i^j\right)}^2{m}_i^j{m}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}}}{\∫}_{L_{\mathrm{coupling}}}{W}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}{\mathrm{\σ}}_i^j{n}_i^j\mathrm{dL},$

为第ii个子系统第jj阶模态的模态质量，为第ii个子系统第jj阶模态的模态位移形函数，

为第i个子系统第j阶模态的模态应力形函数，

表示外法线向量，L_coupling表示对在耦合线上的模态信息进行求和；当第i个子系统与第ii个子系统之间为面连接时，系数

为

${\mathrm{\γ}}_{i,\mathrm{ii}}^{j,\mathrm{jj}}=\frac{1}{\sqrt{{\left({\mathrm{\ω}}_i^j\right)}^2{m}_i^j{m}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}}}{\∫}_{S_{\mathrm{coupling}}}{W}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}{\mathrm{\σ}}_i^j{n}_i^j\mathrm{dS}$

S_coupling表示对在耦合面上的模态信息进行求和；

步骤3.3：由N个子系统的共振模态之间的功率流平衡关系，计算出第i个子系统第j阶模态的模态能量

i＝1，…，N，j＝1，…，T_i；分别对每个子系统在分析频带内的模态的模态能量求和，得到各个子系统在分析频带内的能量响应；

步骤4：当分析频率f处于大于f_min ^SEA的频率范围内时，采用统计能量分析方法计算被研究的声振系统高频动力学响应，得到各个子系统在分析频带内的时空平均能量响应。

有益效果

(1)本发明中的模态能量分析方法(MEA)具有与统计能量分析方法相同形式的功率流平衡方程组，求解简便，利于工程运用；

(2)模态能量分析方法没有激励源统计要求和模态能量均分假设要求，比经典统计能量分析方法的适用范围更宽；

(3)模态能量分析方法较有限元、边界元方法简便，运算速度快。具体快多少，需要视实际模型而定。对于大型复杂的声振系统，本发明快速、简便的优势更明显。对于实施例中的隔声罩结构，利用有限元、边界元理论进行分析，分析模型共划分为6334个单元，即共有6334个动力学方程。然而，利用模态能量分析方法仅需提取结构和声场的517阶模态，即式(2)维数为517；利用统计能量分析方法只需将隔声罩划分为7个子系统，即式(8)维数为7。最终，对于实施例中隔声罩结构，本发明求解速度比有限元、边界元快将近20倍(本发明求解不到1min，而有限元、边界元求解需要将近20mins)。

附图说明

图1：本发明的方法流程图；

图2：隔声罩透射损失的定义；

图3：隔声罩的结构示意图；

图4：隔声罩壁板与内部声空间的模态重迭因子；

图5：隔声罩壁板与内部声空间的结构阻尼；

图6：隔声罩中频透射损失计算值；

图7：隔声罩高频透射损失计算值；

图8：实施例中利用本发明方法计算的隔声罩透射损失及实验测试值。

其中：1、声源；2、隔声罩；3、外声空间。

具体实施方式

下面结合具体实施例描述本发明。

实施例：

隔声罩结构是一种广泛应用于工程中，用于控制噪声传播，以提供安静的工作环境或居住环境的声振耦合系统。对隔声罩的隔声性能进行动力学响应分析具有重要的工程应用价值及意义。本实施例就是利用本发明提出的方法计算隔声罩在中高频域的隔声性能，其中隔声性能用透射损失来表示NR＝L_w1-L_w2，L_w1为隔声罩内部声空间所具有的声功率，L_w2为隔声罩向外声空间所辐射的声功率。

参照附图3，本实施例中的隔声罩为长方体，大小为0.868m×1.15m×1m，壁板厚度均为2.5mm，材料为铝。内部和外部声空间的介质均为空气。

步骤1：将隔声罩分为N＝7个子系统，包括6个壁板结构子系统和1个内部声空间子系统，6个壁板结构子系统分为上、下、前、后、左、右壁板结构子系统。如此划分的原则是根据被研究的声振系统中各连接结构的自然几何边界条件、动力学边界条件和材料介质属性，将不连续的结构和/或具有不同材料属性的结构作为不同的子系统，使得每个子系统具有相同的动力学特性，包括相同的阻尼、相同的模态能量和相同的耦合损耗因子。

步骤2：确定模态能量分析方法和统计能量分析方法适用的分析频率范围：

步骤2.1：采用有限元软件，计算分析得到上、下、前、后、左、右壁板结构子系统和内部声空间子系统的第一阶共振频率分别为12.6Hz、12.6Hz、10.7Hz、10.7Hz、14.1Hz、14.1Hz、150Hz；得到模态能量分析方法适用的分析频率范围下限为所有子系统的第一阶共振频率的最大值150Hz；

步骤2.2：由模态重迭因子公式M_e，i＝n_i(f)fη_i，其中f为分析频率，n_i(f)表示第i个子系统的结构模态密度，η_i表示第i个子系统的结构内损耗因子，绘制出所有子系统的模态重迭因子随分析频率的变化曲线，如图4所示，在图4中能够得到每个子系统当模态重迭因子等于1时的最小分析频率，取所有最小分析频率中的最大值作为模态能量分析方法适用的分析频率范围上限，也是统计能量分析方法适用的分析频率范围下限，从图4中得到本实施例中所有最小分析频率中的最大值为690Hz；

步骤3：确定的适用模态能量分析方法计算隔声罩动力学响应的中频范围为150Hz～690Hz，在这个中频范围内，1/3Oct中心频率有160Hz、200Hz、250Hz、320Hz、400Hz、500Hz、630Hz；采用模态能量分析方法对隔声罩中频响应进行分析计算：

步骤3.1：采用有限元软件，计算得到在10.7Hz～690Hz的频率范围内，内部声场共有57阶共振模态，上、下壁板各有75阶共振模态，左、右壁板各有87阶共振模态，前、后壁板各有68阶共振模态，以及各个子系统各个共振模态的共振频率值。

步骤3.2：建立7个子系统的共振模态之间的功率流平衡关系：

$\left[\begin{array}{ccccccc}{-\mathrm{\β}}_{1,m}^{\mathrm{1,1}}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,m}^{1,T_m}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,N}^{\mathrm{1,1}}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,N}^{1,T_N}\\ {-\mathrm{\β}}_{1,m}^{T_1,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,m}^{T_1,T_m}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,N}^{T_1,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,N}^{T_1,T_N}\\ {-\mathrm{\β}}_{2.m}^{1,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,m}^{1,T_m}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,N}^{\mathrm{1,1}}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,N}^{1,T_N}\\ {-\mathrm{\β}}_{2,m}^{T_2,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,m}^{T_2,T_m}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,N}^{T_2,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,N}^{T_2,T_N}\\ 0& \·\·\·& 0& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{m,N}^{1,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{m,N}^{1,T_N}\\ \·\·\·& 0& {\mathrm{\Δ}}_m^{T_m}+\underset{i=1,i\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{T_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{m,i}^{1,j}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{m,N}^{T_m,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{m,N}^{T_m,T_N}\\ \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{N,m}^{1,T_m}& \·\·\·& {\mathrm{\Δ}}_N^1+\underset{i=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{T_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{N,i}^{1,j}& 0& \·\·\·& 0\\ \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{N,m}^{T_N,T_m}& \·\·\·& 0& \·\·\·& 0& {\mathrm{\Δ}}_N^{T_N}+\underset{i=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{T_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{N,i}^{T_{N,j}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_1^1\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_1^{T_1}\\ e_2^1\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_2^{T_2}\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_m^1\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_m^{T_m}\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_N^1\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_N^{T_N}\end{array}\right]$

根据步骤3.1得到的各个子系统的共振模态数目，可以确定上述功率流平衡关系中的系数矩阵维数为517×517。

其中每个子系统自身共振模态之间的模态耦合损耗因子为0；

为第i个子系统第j阶模态的模态能量；为外界激励输入第i个子系统第j阶模态的功率，

为第i个子系统第j阶模态的模态质量，

为外界激励输入第i个子系统第j阶模态上的功率谱密度，未直接受外界激励的子系统的模态输入功率为0；

为第i个子系统第j阶模态的模态阻尼系数，

为第i个子系统第j阶模态的模态阻尼，附图5为通过实验测试得到的壁板结构(以上壁板为例)和内部声空间的模态阻尼，认为各模态阻尼贡献量相当，均等于结构阻尼，则根据 ${\mathrm{\β}}_{i,\mathrm{ii}}^{j,\mathrm{jj}}=\frac{{\mathrm{\γ}}_{i,\mathrm{ii}}^{j,\mathrm{jj}}[{\mathrm{\Δ}}_i^j{\left({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}\right)}^2+{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}{\left({\mathrm{\ω}}_i^j\right)}^2]}{{[{\left({\mathrm{\ω}}_i^j\right)}^2-{\left({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}\right)}^2]}^2+({\mathrm{\Δ}}_i^j+{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}})[{\mathrm{\Δ}}_i^j{\left({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}\right)}^2+{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}{\left({\mathrm{\ω}}_i^j\right)}^2]},$ 计算得到各壁板之间的模态耦合损耗因子和壁板与内部声空间之间的模态耦合损耗因子，其中

为第i个子系统第j阶模态与第ii个子系统第jj阶模态间的模态耦合损耗因子，

为第i个子系统第j阶模态的模态频率，

为第ii个子系统第jj阶模态的模态频率，

为第ii个子系统第jj阶模态的模态阻尼系数，当第i个子系统与第ii个子系统之间为线连接时，系数

为 ${\mathrm{\γ}}_{i,\mathrm{ii}}^{j,\mathrm{jj}}=\frac{1}{\sqrt{{\left({\mathrm{\ω}}_i^j\right)}^2{m}_i^j{m}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}}}{\∫}_{L_{\mathrm{coupling}}}{W}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}{\mathrm{\σ}}_i^j{n}_i^j\mathrm{dL},$

为第ii个子系统第jj阶模态的模态质量，

为第ii个子系统第jj阶模态的模态位移形函数，

为第i个子系统第j阶模态的模态应力形函数，

表示外法线向量，L_coupling表示对在耦合线上的模态信息进行求和；当第i个子系统与第ii个子系统之间为面连接时，系数

为

S_coupling表示对在耦合面上的模态信息进行求和。

步骤3.3：由7个子系统的共振模态之间的功率流平衡关系，计算出所有子系统所有模态的模态能量

由前述中频范围内1/3Oct中心频率，对每个子系统在分析频带内的模态的模态能量求和，最终计算得到隔声罩中频透射损失如附图6所示。

步骤4：确定的适用统计能量分析方法计算隔声罩动力学响应的高频范围为大于690Hz的频率，在本实施例中采用的最高分析频率为6.3kHz，在690Hz～6.3kHz内的1/3Oct中心频率有800Hz、1kHz、1.25kHz、1.6kHz、2kHz、2.5kHz、3.2kHz、4kHz、5kHz。采用统计能量分析方法对隔声罩高频响应进行分析计算：

步骤4.1：建立所有7个子系统之间的功率流平衡关系：

其中ω＝2πf为高频范围内各分析频带的中心角频率，η_i，j表示第i个子系统与第j个子系统之间的耦合损耗因子，Q_i表示外界激励输入到第i个子系统的功率，E_i代表第i个子系统的时空平均能量响应。

步骤4.2：通过计算步骤4.1中的功率流平衡关系得到所有子系统在分析频带内的时空平均能量响应，最终得到隔声罩高频透射损失如图7所示。

将步骤3和步骤4得到中频和高频分析结果综合，如图8所示，从图8的结果中可以看出：在中高频域，本发明实施例结果与实验测试结果吻合较好；中频最大误差在10dB；随着频率的逐渐提高，误差逐渐减小；在400Hz及以上频率范围，理论预估效果好，误差很小。

Claims (1)

1.一种计算声振系统中高频动力学响应的方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：将被研究的声振系统划分为N个子系统，使每个子系统具有相同的动力学特性，其中动力学特性包括阻尼、模态能量和耦合损耗因子；

步骤2：确定模态能量分析方法和统计能量分析方法适用的分析频率范围：

步骤2.1：确定每个子系统的第一阶共振频率：f_1，i，i＝1，…，N，其中i表示第i个子系统；模态能量分析方法适用的分析频率范围下限f_min ^MEA为f_min ^MEA＝max(f_1，i)；

步骤2.2：由模态重迭因子公式M_e，i＝n_i(f)fη_i，计算第i个子系统的模态重迭因子M_e，i＝1时的最小分析频率f_i，i＝1，…，N，其中n_i(f)表示第i个子系统的结构模态密度，η_i表示第i个子系统的结构内损耗因子；模态能量分析方法适用的分析频率范围上限f_max ^MEA为f_max ^MEA＝max(f_i)，统计能量分析方法适用的分析频率范围下限f_min ^SEA为f_min ^SEA＝f_max ^MEA；

步骤3：当分析频率f处于f_min ^MEA～f_max ^MEA范围内，采用模态能量分析方法计算被研究的声振系统中频动力学响应，所述模态能量分析方法为：

步骤3.1：确定第i个子系统在min(f_1，i)～f_max ^MEA范围内具有的共振模态数目T_i和共振频率值f_j，i，其中i＝1，…，N，j＝1，…，T_i；

步骤3.2：建立N个子系统的共振模态之间的功率流平衡关系：

$\left[\begin{array}{ccccccc}{-\mathrm{\β}}_{1,m}^{\mathrm{1,1}}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,m}^{1,T_m}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,N}^{\mathrm{1,1}}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,N}^{1,T_N}\\ {-\mathrm{\β}}_{1,m}^{T_1,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,m}^{T_1,T_m}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,N}^{T_1,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{1,N}^{T_1,T_N}\\ {-\mathrm{\β}}_{2.m}^{1,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,m}^{1,T_m}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,N}^{\mathrm{1,1}}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,N}^{1,T_N}\\ {-\mathrm{\β}}_{2,m}^{T_2,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,m}^{T_2,T_m}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,N}^{T_2,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{2,N}^{T_2,T_N}\\ 0& \·\·\·& 0& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{m,N}^{1,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{m,N}^{1,T_N}\\ \·\·\·& 0& {\mathrm{\Δ}}_m^{T_m}+\underset{i=1,i\≠m}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{T_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{m,i}^{1,j}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{m,N}^{T_m,1}& \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{m,N}^{T_m,T_N}\\ \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{N,m}^{1,T_m}& \·\·\·& {\mathrm{\Δ}}_N^1+\underset{i=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{T_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{N,i}^{1,j}& 0& \·\·\·& 0\\ \·\·\·& {-\mathrm{\β}}_{N,m}^{T_N,T_m}& \·\·\·& 0& \·\·\·& 0& {\mathrm{\Δ}}_N^{T_N}+\underset{i=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{T_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{N,i}^{T_{N,j}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_1^1\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_1^{T_1}\\ e_2^1\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_2^{T_2}\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_m^1\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_m^{T_m}\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_N^1\\ \·\\ \·\\ \·\\ e_N^{T_N}\end{array}\right]$

其中每个子系统自身共振模态之间的模态耦合损耗因子为0；

为第i个子系统第j阶模态的模态能量，

为外界激励输入第i个子系统第j阶模态的功率，

为第i个子系统第j阶模态的模态质量，

为外界激励输入第i个子系统第j阶模态上的功率谱密度；

为第i个子系统第j阶模态的模态阻尼系数，

为第i个子系统第j阶模态的模态阻尼；

为第i个子系统第j阶模态与第ii个子系统第jj阶模态间的模态耦合损耗因子，

${\mathrm{\β}}_{i,\mathrm{ii}}^{j,\mathrm{jj}}=\frac{{\mathrm{\γ}}_{i,\mathrm{ii}}^{j,\mathrm{jj}}[{\mathrm{\Δ}}_i^j{\left({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}\right)}^2+{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}{\left({\mathrm{\ω}}_i^j\right)}^2]}{{[{\left({\mathrm{\ω}}_i^j\right)}^2-{\left({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}\right)}^2]}^2+({\mathrm{\Δ}}_i^j+{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}})[{\mathrm{\Δ}}_i^j{\left({\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}\right)}^2+{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}{\left({\mathrm{\ω}}_i^j\right)}^2]},$

为第i个子系统第j阶模态的模态频率，

为第ii个子系统第jj阶模态的模态频率，

为第ii个子系统第jj阶模态的模态阻尼系数，当第i个子系统与第ii个子系统之间为线连接时，系数

为

${\mathrm{\γ}}_{i,\mathrm{ii}}^{j,\mathrm{jj}}=\frac{1}{\sqrt{{\left({\mathrm{\ω}}_i^j\right)}^2{m}_i^j{m}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}}}{\∫}_{L_{\mathrm{coupling}}}{W}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}{\mathrm{\σ}}_i^j{n}_i^j\mathrm{dL},$

为第ii个子系统第jj阶模态的模态质量，

为第ii个子系统第jj阶模态的模态位移形函数，

为第i个子系统第j阶模态的模态应力形函数，

表示外法线向量，L_coupling表示对在耦合线上的模态信息进行求和；当第i个子系统与第ii个子系统之间为面连接时，系数

为

${\mathrm{\γ}}_{i,\mathrm{ii}}^{j,\mathrm{jj}}=\frac{1}{\sqrt{{\left({\mathrm{\ω}}_i^j\right)}^2{m}_i^j{m}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}}}{\∫}_{S_{\mathrm{coupling}}}{W}_{\mathrm{ii}}^{\mathrm{jj}}{\mathrm{\σ}}_i^j{n}_i^j\mathrm{dS}$

S_coupling表示对在耦合面上的模态信息进行求和；

步骤3.3：由N个子系统的共振模态之间的功率流平衡关系，计算出第i个子系统第j阶模态的模态能量

i＝1，…，N，j＝1，…，T_i；分别对每个子系统在分析频带内的模态的模态能量求和，得到各个子系统在分析频带内的能量响应；

步骤4：当分析频率f处于大于f_min ^SEA的频率范围内时，采用统计能量分析方法计算被研究的声振系统高频动力学响应，得到各个子系统在分析频带内的时空平均能量响应。

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