CN102323613B - 一种基于有理切比雪夫逼近优化系数有限差分偏移方法 - Google Patents

Abstract

当前复杂构造油气藏的勘探程度不断提高，而有限差分叠前深度偏移由于成像精度高，成为复杂构造区成像最有效的手段，但该方法存在陡倾角成像问题。为了解决该问题，本发明提出了用有理切比雪夫逼近求取有限差分频散方程的优化系数，从而改进有限差分叠前深度偏移方法，实现陡倾构造及横向速度变化剧烈地区的成像。

Description

一种基于有理切比雪夫逼近优化系数有限差分偏移方法

技术领域

本发明涉及地震资料处理领域，特别是涉及有限差分法叠前深度偏移。

背景技术

随着油气勘探的进一步深入，其勘探的重点转向复杂构造或速度剧烈变化的地区，使得常规的偏移处理得不到精确的地下构造成像。叠前深度偏移能适应构造复杂或速度剧烈变化的地区的精确成像，是复杂构造地区精确成像有效方法。

深度偏移技术始于70年代，80年代在理论和方法上有了较大的发展，90年代被广泛应用。目前叠前深度偏移主要是基于kirchhoff积分法和波动方程法。由于kirchhoff积分法是对方程做高频近似，故存在着精度及假频问题，而波动方程叠前深度偏移没有对方程做高频近似且具有保幅性，因而更适合复杂构造的波场成像。当前常用的波动方程叠前深度偏移有频率—波数域相移法、频率—空间域有限差分法、双域分步Fourier法、傅里叶有限差分法及广义屏法。相移法虽然具有计算效率高，但不适用横向速度剧烈变化的介质；分步Fourier虽计算效率最高但对其复杂构造成像精度最低；傅里叶有限差分虽复杂构造成像精度高，但其计算效率最低；广义屏法虽对横向速度剧烈变化介质具有很好的成像效果，但需降低延拓步长来保证算法的稳定性，从而增加了计算量。

本发明提出的频率—空间域优化系数有限差分叠前深度偏移采用单程声波方程，对其频散方程进行有理切比雪夫逼近，优化其系数，提高偏移的倾角，使得适合在高陡构造地区的成像，同时该方法采用有限差分原理，使得对任意变化的横向速度具有很强的适应性，在差分过程中采用隐式的差分格式，该格式无稳定性条件，故对任意频率成分及延拓步长都不受限制。因此波动方程有限差分法对复杂构造及横向速度变化剧烈的地区具有很好的成像效果。

发明内容

为更有效地克服频率—空间域有限差分叠前深度偏移中存在的上述缺陷，本发明目的是通过对频散方程进行系数优化，从而提高对陡倾角的处理能力。

本发明的目的是提供一种在不提高方程阶次的情况下，提高近似方程对对精确方程的逼近程度，用较低阶的方程达到高阶方程的偏移成像效果，从而提高计算效率。该方法步骤如下：

首先，利用最佳一致逼近的方法去逼近精确下行波的频散关系式：

$\frac{v{k}_z}{\mathrm{\ω}}=-\sqrt{1-\frac{v^2{k}_x^2}{{\mathrm{\ω}}^2}}---\left(1\right)$

(1)式中：ω为角频率(Hz)；k_z为z方向的波数；k_x为x方向的波数；v为介质速度(m/s)。

假设

则(1)式中的根号可化为(2)式的形式：

$f\left(x\right)=-\sqrt{1-x^2}---\left(2\right)$

取：

$P\left(x\right)=-\frac{a_0+a_1{x}^2}{b_0+b_1{x}^2}---\left(3\right)$

(3)式为有理逼近式，之所以取成P(x)的形式，是为了使逼近方程的阶数不至于过高，同时使得逼近方程具有经典的45°的形式。

其次，利用有理切比雪夫逼近的方法逼近P(x)，使有理逼近式与精确的下行波的频散关系式的逼近程度最高，求取有理逼近式的各项系数；对f(x)进行有理切比雪夫逼近求解有理式逼近式P(x)时，先把f(x)展开成切比雪夫多项式，再对其进行padé有理逼近。将f(x)展开成切比雪夫多项式：

$f\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_k{T}_k\left(x\right)---\left(4\right)$

(4)式中：N为展开式的阶数；C_k为切比雪夫系数；T_k(x)为切比雪夫多项式，C_k，T_k(x)具有以下的关系式：

$\begin{array}{c}{C}_j=\frac{2}{N}\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}f\left(x_k\right)T_j\left(x_k\right)\\ T_j=\cos \left(\frac{j(2k-1)}{2N}\mathrm{\π}\right)\end{array}\left\{\begin{array}{c}\\ (j=\mathrm{1,2},......,N-1)\\ \end{array}\right.---\left(6\right)$

(5)、(6)式中：x_k为切比雪夫节点，

(k=1，1，2……，N)。

假设用(7)式的N次有理函数P(x)，逼近函数f(x)。

$P\left(x\right)=\frac{\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{p}_k{T}_k\left(x\right)}{\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{q}_k{T}_k\left(x\right)}---\left(7\right)$

(7)式中：N=n+n且q₀=1。

f(x)和P(x)具有式(8)的关系式：

$f\left(x\right)-P\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{C}_k{T}_k\left(x\right)-\frac{\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{p}_k{T}_k\left(x\right)}{\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{q}_k{T}_k\left(x\right)}---\left(8\right)$

当(8)式为零时，具有式(9)、(10)、(11)的关系式：

$\frac{1}{2}\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{q}_k(C_{j+k}+C_{|j-k|})=0$ (j=n+1，……·，n+n)(9)

$p_0=\frac{1}{2}\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{q}_k{C}_k---\left(10\right)$

$p_j=\frac{1}{2}\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{q}_k(C_{j+k}+C_{|j-k|})$ (j=1，……·，n)(11)

最后，求出用有理切比雪夫逼近15°、45°有限差分方程的优化系数。

本发明的有益效果在于，通过有理切比雪夫逼近下行波的频散方程，优化有限差分方程系数，是其具有低阶方程可达到高阶方程的偏移效果的特点，提高了偏移倾角及计算效率，且适应剧烈的横向速度变化。因此优化系数的有限差分方程在频率—空间域的成像效果要优于常规的频率—空间域有限差分叠前深度偏移方法。

附图说明

图1是连分式展开的15°方程频散关系、有理切比雪夫逼近优化系数15°方程频散关系与精确频散的相对误差曲线图；该图的横坐标为地震波传播的角度（θ），纵坐标为相对误差值Er(θ)；从图中可看出连分式展开的15°方程在小角度时其逼近精度较高，但随着角度的增大，其逼近效果远差于有理切比雪夫逼近优化系数的15°方程，同时连分式展开15°方程总体逼近精确频散的效果要差于有理切比雪夫逼近优化系数的15°方程。

图2是连分式展开的45°方程近似频散与精确频散的相对误差曲线图；该图的横坐标为地震波传播的角度（θ），纵坐标为相对误差值Er(θ)；从图中可以看出连分式展开的45°方程虽在小角度时其逼近精度较高，但随着角度的增大，其逼近效果越来越差，有理切比雪夫逼近优化系数的45°方程在小角度逼近不是很理想，但是在大角度其逼近精度很高，同时有理切比雪夫逼近优化系数的45°方程总体逼近效果要优于连分式展开的45°方程。

图3是Marmousi模型速度场；该图的横坐标为模型水平方向的距离，纵坐标为模型的深度；Marmousi模型具有复杂的地质特征，构造复杂及横向速度变化剧烈等特点，尤其是上部的陡倾断层和下部的横向高速的侵入体，该模型的速度场参数为横向采样点737，纵向采样点为750，横向采样间隔为12.5m，纵向采样间隔为4m，最大深度为3000m；

图4是常规频率—空间域有限差分叠前深度偏移剖面；该图的横坐标为剖面水平方向的距离，纵坐标为剖面的深度；从图中可看出模型的基本构造形态；

图5是采用有理切比雪夫逼近优化算子有限差分叠前深度偏移剖面；该图的横坐标为剖面水平方向的距离，纵坐标为剖面的深度；从图中可以看出其构造形态更清晰，断层面更整齐，特别是图中黑色方框所示的构造特征比图4更明显

具体实施方式

下面根据附图对本发明的技术方案的主要实现原理、具体实施方式等进行详细描述。

（1）优化系数的15°方程：

假设优化系数的15°方程为：

P(x)=a+bx²(12)

(12)式的

对(12)式进行有理切比雪夫逼近，可得到优化系数的15°方程：

$P\left(x\right)=1-\frac{2}{3}{x}^2---\left(13\right)$

则优化系数的15°方程频散关系与精确的频散关系的相对误差为：

$E_r\left(\mathrm{\θ}\right)=\frac{1-\frac{2}{3}{\sin }^2\left(\mathrm{\θ}\right)-\cos \left(\mathrm{\θ}\right)}{\cos \left(\mathrm{\θ}\right)}---\left(14\right)$

(14)式：

（θ为波传播的角度）。

（2）优化系数的45°方程：

假设优化系数的45°方程为：

$P\left(x\right)=\frac{a_0+a_1{x}^2}{b_0+b_1{x}^2}---\left(15\right)$

(15)式中的 $x=\frac{v}{\mathrm{\ω}}{k}_x.$

对(15)式进行有理切比雪夫逼近，可得到优化系数的45°方程：

$P\left(x\right)=\frac{0.7080-0.6127x^2}{1-0.3996x^2}---\left(16\right)$

则优化系数的45°方程频散关系与精确的频散关系的相对误差为：

$E_r\left(\mathrm{\θ}\right)=\frac{\frac{0.7080-0.6127{\sin }^2\left(\mathrm{\θ}\right)}{1-0.3996{\sin }^2\left(\mathrm{\θ}\right)}-\cos \left(\mathrm{\θ}\right)}{\cos \left(\mathrm{\θ}\right)}---\left(17\right)$

(17)式中：

（θ为波传播的角度）。

为了检验偏移成像效果，采用有理切比雪夫逼近优化系数的45°方程有限差分算子对Marmousi模型进行叠前深度偏移成像。该模型的速度场参数为横向采样点737，纵向采样点为750，横向采样间隔为12.5m，纵向采样间隔为4m，最大深度为3000m。图3为Marmousi模型的速度模型。对比图4、图5，采用本发明中的有理切比雪夫逼近优化系数的频率—空间域有限差分算子进行叠前深度偏移比常规的有限差分叠前深度偏移具有更好的成像效果，构造形态更清晰，断层面更整齐，特别是图中黑色方框所示的构造特征更清晰。

Claims (2)

1.一种基于有理切比雪夫逼近优化系数有限差分偏移方法，该方法包括： 

步骤1对下行波的精确方程进行最佳一致逼近，利用有理切比雪夫逼近的方法求取逼近有理式的系数： 

式中，

ω为角频率(Hz)，k_x为x方向的波数（m^-1），v为介质速度(m/s)，a₀,a₁,b₀,b₁为逼近式的系数； 

步骤2求出用有理切比雪夫逼近15⁰、45⁰有限差分方程的优化系数，如式(2)、式(3)所示： 

式(2)、式(3)中：P(x)为精确下行波频散关系式的逼近式，式(2)为有理切比雪夫逼近优化系数的15⁰有限差分方程，式(3)为有理切比雪夫逼近优化系数的45⁰有限差分方程； 

步骤3读入Mariousi模型数据，对数据进行傅里叶分析； 

步骤4对频率范围内的每一个波场，采用有理切比雪夫逼近优化系数的15⁰、45⁰有限差分算子对震源波场向下延拓； 

步骤5延拓过程中下一个深度的波场为上一个深度波场延拓后的结果，对延拓后的结果进行叠加成像，输出成像结果。 

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于： 

利用有理切比雪夫逼近的方法优化有限差分的系数；在优化系数的过程中，对下行波的频散方程进行切比雪夫逼近，同时对逼近式进行有理式展开，使得两者的相减的差最小，从而求出各个优化系数；在此过程中，即有多项式的展开，又有有理式的展开。 

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