CN103323879A - 一种新的优化系数的混合域叠前深度偏移方法 - Google Patents

Abstract

为克服有限差分法偏移中存在着频散问题及频率波数域偏移中存在着难适应横向速度变化的问题，本发明提出了优化系数的混合域叠前深度偏移方法。该方法通过对频散方程的单平方根算子展开的有理式进行有理切比雪夫逼近求取优化系数，降低了优化系数的偏移算子与频散方程单平方根算子的误差，从而提高了在陡倾构造及强横向速度变化地区偏移成像的精度。在对二维盐丘模型进行偏移成像，证明优化系数的混合域叠前深度偏移在陡倾角构造及横向速度变化剧烈的地区比常规的傅里叶有限差分法(FFD)具有更好的成像效果。

Description

一种新的优化系数的混合域叠前深度偏移方法

技术领域

本发明涉及地震资料处理领域，特别是涉及混合域叠前深度偏移。

背景技术

在复杂构造及强横向速度变化的地区采用常规的偏移处理手段不能得到地下构造的精确成像。为解决其成像精度问题，在处理中采用了叠前深度偏移。叠前深度偏移是复杂构造区及强横向速度变化介质精确成像最有效的方法。

深度偏移技术始于70年代，80年代在理论和方法上有了较大的发展，90年代被广泛应用。叠前深度偏移中最核心的是波场外推算子的计算，目前常用计算波场外推算子的方法有：基于射线理论的Kirchhoff积分法、相移法、频率—空间域有限差分法(FD)、分步Fourier法(SSF)、Fourier有限差分法(FFD)及广义屏法(GSP)。

当前存在的偏移算法中，存在着以下问题：①成像角度的限制；②适用速度空间变化的能力；③频散特性；④计算效率。Kirchhoff积分法虽无界面倾角的限制、计算效率高，但存在着对复杂构造成像精度不高，不能适应强横向的速度变化及对假频的敏感性；相移法虽无倾角限制、无频散，但存在着不能适应横向速度变化；频率—空间域有限差分法(FD)虽能适应强横向的速度变化，但存在着频散及倾角限制的问题；分步Fourier法(SSF)、Fourier有限差分法(FFD)及广义屏法(GSP)是在混合域中进行偏移，即交替在频率—空间域和频率—波数域中进行波场外推来实现成像，使其具有有限差分法(FD)适应强横向速度变化的优点，又具有频率波数域计算效率高，无频散、稳定性好等优点。

本发明通过有理切比雪夫优化逼近的算法，对混合域偏移算子的渐进式的系数进行优化，使其更好的逼近频散方程的单平方根算子，提高复杂构造区及强横向速度变化介质的成像精度。

发明内容

为更有效地克服频率—空间域有限差分叠前深度偏移中存在着频散及倾角限制的问题，频率—波数域相移法存在着不能适应强横向速度变化的问题，本发明目的是通过对频散方程单平方根算子的渐进逼近式进行系数优化，采用优化系数的混合域叠前深度偏移算子，从而提高对陡倾角及强横向速度变化的处理能力。

本发明的目的是提出一种新的优化系数的混合域叠前深度偏移方法，该方法能提高强横向速度变化介质的描述精度。该方法步骤如下：

首先，将二维波动方程进行傅里叶变换到频率—空间域，则上行波单程波方程为：

$\frac{\∂u(x,t;\mathrm{\ω})}{\∂z}=i\sqrt{\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{v^2}+\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}u(x,z;\mathrm{\ω})=\mathrm{iAu}(x,z;\mathrm{\ω})---\left(1\right)$

(1)式中：u(x,z;ω)为频率—空间域的波场；ω为角频率(Hz)；k_x为x方向的波数(/m)；v(x,z)为介质速度(m/s)；z为深度方向(m)；i为虚数，

A为单平方根算子。

设参考速度为v₀(z)，当用参考速度代替介质速度v(x,z)时，造成频散方程的单平方根算子A的误差为：

$E=\sqrt{\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{v^2(x,z)}+\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}-\sqrt{\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{v_0^2\left(z\right)}+\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}---\left(2\right)$

将(2)式变换到频率—波数域：

$E=\frac{\mathrm{\ω}}{v(x,z)}\sqrt{1-\frac{v^2(x,z)}{{\mathrm{\ω}}^2}\·k_x^2}-\frac{\mathrm{\ω}}{v_0\left(z\right)}\sqrt{1-\frac{v_0^2\left(z\right)}{{\mathrm{\ω}}^2}\·k_x^2}---\left(3\right)$

假设

则(1)式中的根号可化为(3)式的形式：

$f\left(x\right)=\sqrt{1-x}---\left(4\right)$

取：

$f\left(x\right)=\sqrt{1-x}=1-\frac{\mathrm{ax}}{1-\mathrm{bx}}---\left(5\right)$

(5)式中：a,b为逼近式的待求系数。

其次，利用有理切比雪夫逼近的方法逼近f(x)，使其有理逼近式与频散方程单平方根算子的渐进逼近式的逼近程度最高，求取有理逼近式的各项系数；对f(x)进行有理切比雪夫逼近，先把f(x)展开成切比雪夫多项式，再对其进行padé有理逼近。将f(x)展开成切比雪夫多项式：

$f\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_k{T}_k\left(x\right)---\left(6\right)$

(6)式中：N为展开式的阶数；C_k为切比雪夫系数；T_k(x)为切比雪夫多项式，C_k，T_k(x)具有以下的关系式：

$\left\{\begin{array}{c}{T}_0\left(x\right)=1,T_1\left(x\right)=x\\ T_{n+1}\left(x\right)=2x\·T_n\left(x\right)-T_{n-1}\left(x\right)\end{array}\right.(n=\mathrm{1,2,3}\·\·\·,N)---\left(7\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{C}_j=\frac{2}{N}\underset{k=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}f\left(x_k\right)T_j\left(x_k\right)\\ T_j=\cos \left(\frac{j(2k-1)}{2N}\mathrm{\π}\right)\end{array}\right.(j=\mathrm{1,2,3}\·\·\·,N-1)---\left(8\right)$

(7)、(8)式中：x_k为切比雪夫节点， $x_k=\cos \left(\mathrm{\π}\frac{2k-1}{2N}\right)(k=\mathrm{1,2,3},\·\·\·,N).$

假设用(9)式的N次有理函数P(x)，逼近函数f(x)。

$P\left(x\right)=\frac{\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{p}_k{T}_k\left(x\right)}{\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{q}_k{T}_k\left(x\right)}---\left(9\right)$

(9)式中：N=n+n且q₀=1。

f(x)和P(x)具有式(10)的关系式：

$f\left(x\right)-P\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{C}_k{T}_k\left(x\right)-\frac{\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{p}_k{T}_k\left(x\right)}{\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{q}_k{T}_k\left(x\right)}---\left(10\right)$

当(10)式为零时，具有式(11)、(12)、(13)的关系式：

$\frac{1}{2}\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{q}_k(C_{j+k}+C_{|j-k|})=0(j=n+1,\·\·\·\·\·\·.,n+n)---\left(11\right)$

$p_0=\frac{1}{2}\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{q}_k{C}_k---\left(12\right)$

$p_j=\frac{1}{2}\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{q}_k(C_{j+k}+C_{|j-k|})(j=1,\·\·\·\·\·\·.,n)---\left(13\right)$

最后，求出(5)式的优化系数，则频率—空间域的优化系数的频散方程单平方根算子为：

$A=\sqrt{\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{v_0^2\left(z\right)}+\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}+(\frac{\mathrm{\ω}}{v(x,z)}-\frac{\mathrm{\ω}}{v_0\left(z\right)})+\frac{a\frac{v(x,z)-v_0\left(z\right)}{\mathrm{\ω}}\·\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}{1+b\frac{v^2(x,z)+v_0^2\left(z\right)}{{\mathrm{\ω}}^2}\·\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}=A_1+A_2+A_3---\left(14\right)$

(14)式中：A₁表示频率—波数域相移法的波场延拓算子；A₂表示频率—空间域的时移校正算子；A₃表示频率—空间域扰动波场的差分算子。

则上行波的外推过程可表示为：

$u(x,z+\mathrm{\Δz};\mathrm{\ω})=u(x,z;\mathrm{\ω})e^{\mathrm{jA\Δz}}=u(x,z;\mathrm{\ω})e^{{\mathrm{iA}}_1\mathrm{\Δz}}{e}^{i{A}_2\mathrm{\Δz}}{e}^{{\mathrm{iA}}_3\mathrm{\Δz}}---\left(15\right)$

按照(15)式进行波场延拓成像。

本发明的有益效果在于，通过有理切比雪夫逼近下行波的频散方程的单平方根算子渐进逼近式，求解其优化系数的混合域叠前深度偏移算子，使其具有频率—空间域的适应强横向速度变化，同时又有频率—波数域的无频散、稳定性好的优点。采用优化系数的混合域偏移算子可使其与频散方程的单平方根算子的精确值的相对误差更小，因此采用优化系数的混合域叠前深度偏移方法其地震成像效果要优于常规混合域叠前深度偏移方法。

附图说明

图1是优化系数的频散方程的单平方根算子、连分式展开的频散方程的单平方根算子与频散方程的单平方根算子精确值的相对误差曲线图；该图的横坐标为地震波传播的角度（θ），纵坐标为相对误差值Er(θ)；从图中可看出本发明提出的优化系数的混合域叠前深度偏移算子比连分式展开的混合域叠前深度偏移算子的相对误差更小，更好的逼近单平方根的精确值；

图2是二维盐丘模型速度场；该图的横坐标为地震道数，纵坐标为模型的深度；二维盐丘模型构造复杂、横向速度变化剧烈，尤其是中间高速部分的盐丘，往往是成像的难点。该模型的速度场参数为：横向采样点为256，纵向采样点为256，横向采样间隔为15m，纵向采样间隔为5m；

图3是二维盐丘模型连分式展开的混合域叠前深度偏移剖面；该图的横坐标为地震道数，纵坐标为剖面的深度；从图中可看出模型的基本构造形态；

图4是二维盐丘模型优化系数的混合域叠前深度偏移剖面；该图的横坐标为地震道数，纵坐标为剖面的深度；从图中可以看出其构造形态更清晰，断层面更整齐，特别是图中黑色方框所示的构造特征比图3更明显

具体实施方式

下面根据附图对本发明的技术方案的主要实现原理、具体实施方式等进行详细描述。

假设频散方程单平方根算子的最佳逼近式为：

$f\left(x\right)=\sqrt{1-x}=1-\frac{\mathrm{ax}}{1-\mathrm{bx}}---\left(16\right)$

(16)式中：

a,b为待求的系数。

对(16)式进行有理切比雪夫逼近，可得到优化系数的频散方程单平方根算子的渐进逼近式：

$f\left(x\right)=1-\frac{0.4557x}{1-0.3996x}---\left(17\right)$

则优化系数的频散方程单平方根算子的渐进逼近式与频散方程单平方根算子精确值的相对误差为：

$E_r\left(\mathrm{\θ}\right)=\frac{1-\frac{0.4557{\sin }^2\mathrm{\θ}}{1-0.3996{\sin }^2\mathrm{\θ}}-\cos \mathrm{\θ}}{\cos \mathrm{\θ}}---\left(18\right)$

(18)式中： $\sin \left(\mathrm{\θ}\right)=\frac{v}{\mathrm{\ω}}{k}_x,$ $\cos \left(\mathrm{\θ}\right)=\frac{v}{\mathrm{\ω}}{k}_z$ （θ为波传播的角度）。

则频率—空间域的优化系数的频散方程单平方根算子为：

$A=\sqrt{\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{v_0^2\left(z\right)}+\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}+(\frac{\mathrm{\ω}}{v(x,z)}-\frac{\mathrm{\ω}}{v_0\left(z\right)})+\frac{0.4557\frac{v(x,z)-v_0\left(z\right)}{\mathrm{\ω}}\·\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}{1+0.3996\frac{v^2(x,z)+v_0^2\left(z\right)}{{\mathrm{\ω}}^2}\·\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}=A_1+A_2+A_3---\left(19\right)$

则优化系数的混合域叠前深度偏移的下行波的外推过程可表示为：

$u(x,z+\mathrm{\Δz};\mathrm{\ω})=u(x,z;\mathrm{\ω})e^{i\sqrt{\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{v_0^2\left(z\right)}+\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}\mathrm{\Δz}}{e}^{i(\frac{\mathrm{\ω}}{v(x,z)}-\frac{\mathrm{\ω}}{v_0\left(z\right)})\mathrm{\Δz}}{e}^{i\frac{0.4557\frac{v(x,z)-v_0\left(z\right)}{\mathrm{\ω}}\·\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}{1+0.3996\frac{v^2(x,z)+v_0^2\left(z\right)}{{\mathrm{\ω}}^2}\·\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}\mathrm{\Δz}}---\left(20\right)$

波场从深度Z到z+△z的下延拓可通过三步来完成，第一步是在频率—波数域中计算相移算子A₁，余下两步是分别在频率空间域中用有限差分法计算偏移算子A₂,A₃。

为了检验偏移成像效果，采用优化系数的混合域叠前深度偏移算子对二维盐丘模型进行叠前深度偏移成像。该模型的速度场参数为横向采样点为256，纵向采样点为256，横向采样间隔为15m，纵向采样间隔为5m。图2为二维盐丘模型的速度模型。对比图3、图4，本发明提出的优化系数的混合域叠前深度偏移取得很好的成像结果。图4成像效果相对于图3有了明显的改善，图4的盐丘构造形态更清晰，构造边界更明显，特别是盐丘高陡部位的波场更清晰，构造形态更明显，绕射波更收敛，如图中黑色方框所示。从整体上看，本发明提出的优化系数的混合域叠前深度偏移对强横向速度变化的介质具有更高的描述精度。

Claims (2)

1.一种新的优化系数的混合域叠前深度偏移方法，其特征是：该方法包括：

步骤1将二维声波方程变换到频率—空间域，并用波场的背景速度v₀(z)代替介质的实际速度v(x,z)造成的频散方程的单平方根的误差，如式(1)所示：

$E=\sqrt{\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{{v_0}^2\left(z\right)}+\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}+\sqrt{\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{v^2(x,z)}+\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}-\sqrt{\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{{v_0}^2\left(z\right)}+\frac{{\∂}^2}{{\∂x}^2}}---\left(1\right)$

式(1)中：x,z为方向坐标；v₀(z)为波场的背景速度；v(x,z)是波场的实际速度；

步骤2用有理切比雪夫逼近频散方程的单平方根算子，求出其渐进展开式的系数，如式(2)所示：

$f\left(x\right)=1-\frac{0.4557x}{1-0.3996x}---\left(2\right)$

式(2)中：f(x)为精确频散方程单平方根算子的逼近式，ω为角频率(Hz)，k_x为x方向的波数（m-1），v为速度(m/s)；

步骤3求解出混合域的单程波延拓方程，读入二维盐丘模型数据，对数据进行傅里叶变换；

步骤4对频率范围内的每一个波场，采用有理切比雪夫逼近优化系数的混合域偏移算子对震源波场向下延拓；

步骤5延拓过程中下一个深度的波场为上一个深度波场延拓后的结果，对延拓后的结果进行叠加成像，输出成像结果。

2.根据权利要求1所述的一种新的优化系数的混合域叠前深度偏移方法方法，其特征是：

利用有理切比雪夫逼近的方法优化混合域频散方程单平方根算子渐进逼近式的系数；在优化系数的过程中，对单程波的频散方程的单平方根算子进行切比雪夫逼近，同时对逼近式进行有理式展开，使得两者的相减的差最小，从而求出频散方程单平方根算子逼近展开式的系数，提高地震成像的精度。

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