CN102322862A - 一种编队飞行卫星绝对和相对轨道确定方法 - Google Patents

Abstract

一种编队飞行卫星绝对和相对轨道确定方法，针对星间存在相对距离测量设备的编队飞行任务，通过对星间距离的相对测量值进行解算，获得编队双星的绝对轨道根数和相对轨道根数。由于解算过程仅需要相对距离的测量值，且无需第三方测量信号源，因此星间距离的接收方无需地面测控站以及GPS等辅助设备支持，即可单独确定此类编队飞行任务的绝对和相对轨道根数。

Description

一种编队飞行卫星绝对和相对轨道确定方法

技术领域

本发明涉及一种编队飞行卫星的轨道确定方法。

背景技术

编队飞行是未来小卫星领域的重要发展方向，多颗卫星以一定的组织形式完成公里至百公里级的集群飞行，彼此之间通过信息交换来共同实现对地观测以及目标定位等任务。

为了构成稳定有效的测量基线，各组成卫星需要基于相对状态来完成相对状态的控制，而相对状态的解算精度将是决定编队飞行任务成败的重要因素。

现有编队飞行卫星的绝对轨道确定，往往需要借助地面测站以及以GPS和GLONASS为代表的全球导航卫星系统等第三方信号源实现，而相对轨道或相对位置确定，大多采用测距或测角雷达直接获取相对状态或采用GPS(或GLONASS)进行差分解算。上述研究方法对测量设备要求较高：或者需要借助第三方测量设备，或者要求相对测量设备提供测距和测角等功能；而对于仅依靠相对距离测量进行相对以及绝对轨道解算，尚无相关研究。

发明内容

本发明的技术解决问题是：克服现有技术的不足，提供了一种基于星间距离且不引入第三方测量信息的编队飞行卫星相对和绝对轨道确定方法。

本发明的技术解决方案是：一种编队飞行卫星绝对和相对轨道确定方法，步骤如下：

(1)获取待解算的两颗卫星在初始时刻t₀的瞬时轨道根数估计值，记为σ_a0和σ_b0，a和b分别代表两颗卫星；

(2)根据初始时刻的瞬时轨道根数估计值σ_a0和σ_b0，分别计算两颗卫星在指定时刻t_i的瞬时轨道根数，记为σ_ai和σ_bi，i＝1，2，3，...，n；

(3)根据两颗卫星在指定时刻t_i的瞬时轨道根数σ_ai和σ_bi，分别计算惯性坐标系下两颗卫星的绝对位置的笛卡儿坐标分量[x_ai y_ai z_ai]^T和[x_bi y_bi z_bi]^T；

(4)根据两颗卫星在惯性坐标系下绝对位置的笛卡儿坐标分量，得到在各指定时刻两颗卫星的星间距离计算值，以及该星间距离计算值与测量真值的偏差δL_i；

(5)计算卫星a在初始时刻t₀的瞬时轨道根数对星间距离计算值的状态转移矩阵；

(6)计算卫星b在初始时刻t₀的瞬时轨道根数对星间距离计算值的状态转移矩阵；

(7)根据星间相对距离的计算值与测量真值的偏差δL_i，利用步骤(5)和步骤(6)得到的两个状态转移矩阵计算卫星a和卫星b在初始时刻t₀瞬时轨道根数估计值的修正量δσ_a0和δσ_b0：

(8)将σ_a0-δσ_a0和σ_b0-δσ_b0分别作为卫星a和卫星b在初始时刻t₀瞬时轨道根数的新的估计值，重复步骤(1)～(7)的计算过程进行迭代，直至两颗卫星的半长轴修正量δa_a0和δa_b0满足定位精度要求；

(9)利用满足定位精度要求的卫星a和卫星b在初始时刻t₀瞬时轨道根数的迭代结果σ_a0和σ_b0，按照第(2)步的计算方法得到两颗卫星在任意时刻的瞬时轨道根数σ_a和σ_b，从而得到相对瞬时轨道根数Δσ＝σ_b-σ_a。

本发明与现有技术相比的优点在于：本发明方法针对星间存在相对距离测量设备的编队飞行任务，通过对星间距离的相对测量值进行解算，可以获得编队双星的绝对和相对轨道根数。由于解算过程仅需要相对距离的测量，且无需第三方测量信号源，因此星间距离的接收方无需地面测控站以及GPS等辅助设备支持，即可以单独确定此类编队飞行任务的绝对和相对轨道根数。方法简便、易于实现。

附图说明

图1为本发明方法的流程框图；

图2为本发明实施例的星间距离真值变化图。

具体实施方式

如图1所示，为本发明方法的流程框图，主要步骤如下：

(1)输入待解算的两颗卫星(卫星a和卫星b)在初始时刻(t＝t₀)的瞬时轨道根数的估计值，记为σ_a0和σ_b0。本发明方法中涉及到的轨道根数，均采用适用于近圆轨道的无奇点轨道根数，即半长轴a、偏心率矢量e_x和e_y、倾角i、升交点赤经Ω、平纬度幅角λ；

(2)根据初始时刻的瞬时轨道根数估计值σ_a0和σ_b0，分别计算指定时刻t_i的瞬时轨道根数，记为σ_ai和σ_bi，i＝1，2，3，...，n；计算时根据考虑J₂、J₃、J₄和J₅等非球型引力项的摄动微分方程进行数值求解：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{\·}{a}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}\\ \stackrel{\·}{i}\\ {\stackrel{\·}{e}}_x\\ {\stackrel{\·}{e}}_y\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \sqrt{\frac{\mathrm{\μ}}{a^3}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}\frac{{2a}^2}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}(e_x\sin u-e_y\cos u)& \frac{{2a}^2}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}(1+e_x\cos u+e_y\sin u)& 0\\ 0& 0& \frac{r\sin u}{\sqrt{\mathrm{\μp}}\sin i}\\ 0& 0& \frac{r\cos u}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}\\ \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\sin u& \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[(1+\frac{r}{p})\cos u+\frac{e_{x}r}{p}]& \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_{y}r}{p}\frac{\sin u}{\tan i}\\ -\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\cos u& \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[(1+\frac{r}{p})\sin u+\frac{e_{y}r}{p}]& -\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_{x}r}{p}\frac{\sin u}{\tan i}\\ \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[-\frac{1}{2}(e_x\cos u+e_y\sin u)-\frac{2r}{p}\sqrt{1-e_x^2-e_y^2}]& \frac{1}{2}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}(e_x\sin u-e_y\cos u)& -\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{r}{p}\frac{\sin u}{\tan i}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{f}_r\\ f_u\\ f_h\end{array}\right)$

其中，μ为引力系数(＝3.986005×10¹⁴m³/s²)，其中u为纬度幅角，p和r为分别为半通径和地心距，即

u＝λ+2e_xsinλ-2e_ycosλ

$p=a(1-e_x^2-e_y^2)$

$r=\frac{a(1-e_x^2-e_y^2)}{1+e_x\cos \mathrm{\λ}+e_y\sin \mathrm{\λ}}$

摄动加速度在径向、切向和法向的分量为

f_r＝Δg_r

f_u＝Δg_mcosζ+Δg_psinζ

f_h＝Δg_msinζ-Δg_pcosζ

其中，ζ可由球面三角学得到，即

sinφ＝sinλsin i

cosζ＝ctanλtanφ

其中，φ为地心纬度，ctan为余切函数。

摄动加速度在的分量为在径向、子午向和纬线向分量为

$\mathrm{\Δ}{g}_r=\frac{\∂\mathrm{\ΔU}}{\∂r}$

$\mathrm{\Δ}{g}_m=\frac{1}{r}\frac{\∂\mathrm{\ΔU}}{\∂\mathrm{\φ}}$

$\mathrm{\Δ}{g}_p=\frac{1}{r\cos \mathrm{\φ}}\frac{\∂\mathrm{\ΔU}}{\∂\mathrm{\λ}}$

前5阶带形谐函数在径向、子午向和纬线向分量为：

$\frac{\∂\mathrm{\ΔU}}{\∂r}=\frac{\mathrm{\μ}}{r^2}[\frac{3}{2}{J}_2{\left(\frac{R_E}{r}\right)}^2(3{\sin }^2\mathrm{\φ}-1)$

$+2J_3{\left(\frac{R_E}{r}\right)}^3(5{\sin }^3\mathrm{\φ}-3\sin \mathrm{\φ})$

$+\frac{5}{2}{J}_4{\left(\frac{R_E}{r}\right)}^4(35{\sin }^4\mathrm{\φ}-30{\sin }^2\mathrm{\φ}+3)$

$+3J_5{\left(\frac{R_E}{r}\right)}^5(63{\sin }^5\mathrm{\φ}-70{\sin }^3\mathrm{\φ}+15\sin \mathrm{\φ})]$

$\frac{\∂\mathrm{\ΔU}}{\∂r}=-\frac{\mathrm{\μ}}{r}\cos \mathrm{\φ}[\frac{1}{2}{J}_2{\left(\frac{R_E}{r}\right)}^2\left(6\sin \mathrm{\φ}\right)$

$+\frac{1}{2}{J}_3{\left(\frac{R_E}{r}\right)}^3(15{\sin }^2\mathrm{\φ}-3)$

$+\frac{1}{8}{J}_4{\left(\frac{R_E}{r}\right)}^4(140{\sin }^3\mathrm{\φ}-60\sin \mathrm{\φ})$

$+\frac{1}{8}{J}_5{\left(\frac{R_E}{r}\right)}^5(325{\sin }^4\mathrm{\φ}-210{\sin }^2\mathrm{\φ}+15)\left]\right]$

$\frac{\∂\mathrm{\ΔU}}{\∂\mathrm{\λ}}=0$

其中J₂、J₃、J₄、J₅带形谐系数，Re为地球赤道半径。

(3)根据上步计算得到的指定时刻t_i的瞬时轨道根数σ_ai和σ_bi，分别计算惯性坐标系下卫星a和卫星b的绝对位置的笛卡儿坐标分量[x_ai y_ai z_ai]^T和[x_bi y_bi z_bi]^T，计算方法如下：

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos u& \sin u& 0\\ -\sin u& \cos u& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos i& \sin i\\ 0& -\sin i& \cos i\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Ω}& \sin \mathrm{\Ω}& 0\\ -\sin \mathrm{\Ω}& \cos \mathrm{\Ω}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}r\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

其中，惯性坐标系的坐标原点在地心，x轴由地心指向平春分点，z轴由地心指向平赤道法线方向，y轴由右手坐标法则确定。

(4)根据卫星a和卫星b在惯性坐标系下的位置坐标分量，得到在各指定时刻的星间距离计算值 $L_i=\sqrt{{(x_{\mathrm{bi}}-x_{\mathrm{ai}})}^2+{(y_{\mathrm{bi}}-y_{\mathrm{ai}})}^2+{(z_{\mathrm{bi}}-z_{\mathrm{ai}})}^2};$ 该计算值与测量真值

的偏差记为

(5)计算卫星a在初始时刻t₀瞬时轨道根数对星间距离计算值的状态转移矩阵

由于星间距离L_i是x_ai、y_ai、z_ai的函数，而x_ai、y_ai、z_ai分别是t_i时刻瞬时轨道根数σ_ai的函数，σ_ai是t₀时刻瞬时轨道根数σ_a0函数，则根据上述复合函数传递规律，可得

$\frac{\∂L_i}{\∂{\mathrm{\σ}}_{a0}}=\frac{\∂L_i}{\∂x_{\mathrm{ai}}}\frac{\∂x_{\mathrm{ai}}}{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ai}}}\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ai}}}{\∂{\mathrm{\σ}}_{a0}}+\frac{\∂L_i}{\∂y_{\mathrm{ai}}}\frac{\∂y_{\mathrm{ai}}}{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ai}}}\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ai}}}{\∂{\mathrm{\σ}}_{a0}}+\frac{\∂L_i}{\∂z_{\mathrm{ai}}}\frac{\∂z_{\mathrm{ai}}}{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ai}}}\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ai}}}{\∂{\mathrm{\σ}}_{a0}}$

其中，相对距离对各坐标分量的偏导数如下：

$\frac{\∂L_i}{\∂x_{\mathrm{ai}}}=\frac{x_{\mathrm{ai}}-x_{\mathrm{bi}}}{L_i}$

$\frac{\∂L_i}{\∂y_{\mathrm{ai}}}=\frac{y_{\mathrm{ai}}-y_{\mathrm{bi}}}{L_i}$

$\frac{\∂L_i}{\∂z_{\mathrm{ai}}}=\frac{z_{\mathrm{ai}}-z_{\mathrm{bi}}}{L_i}$

卫星在惯性坐标系下的位置坐标分量(x_ai、y_ai、z_ai)、指定时刻的瞬时轨道根数σ_ai均可视为初始时刻瞬时轨道根数σ_a0关于时间的函数。初始时刻瞬时轨道根数的微小改变量引起星间距离的变化量可由

得到。因此，通过设置合适的σ_a0改正量，可将L_i改正-δL_i，即达到期望值

坐标分量对各轨道根数的偏导数采用下面的方法求取：

a.坐标分量对a的偏导数

$\frac{\∂}{\∂a}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos u& \sin u& 0\\ -\sin u& \cos u& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos i& \sin i\\ 0& -\sin i& \cos i\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Ω}& \sin \mathrm{\Ω}& 0\\ -\sin \mathrm{\Ω}& \cos \mathrm{\Ω}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{1-e_x^2-e_y^2}{1+e_x\cos u+e_y\sin u}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

b.坐标分量对e_x的偏导数

$\frac{\∂}{\∂e_x}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-2\sin u\sin \mathrm{\λ}& 2\cos u\sin \mathrm{\λ}& 0\\ -2\cos u\sin \mathrm{\λ}& -2\sin u\sin \mathrm{\λ}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos i& \sin i\\ 0& -\sin i& \cos i\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Ω}& \sin \mathrm{\Ω}& 0\\ -\sin \mathrm{\Ω}& \cos \mathrm{\Ω}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}r\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$+\left(\begin{array}{ccc}\cos u& \sin u& 0\\ -\sin u& \cos u& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos i& \sin i\\ 0& -\sin i& \cos i\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Ω}& \sin \mathrm{\Ω}& 0\\ -\sin \mathrm{\Ω}& \cos \mathrm{\Ω}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{-2a{e}_x-r(\cos u-2e_x\sin u\sin \mathrm{\λ}+2e_y\cos u\sin \mathrm{\λ})}{1+e_x\cos u+e_y\sin u}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

c.坐标分量对e_y的偏导数

$\frac{\∂}{\∂e_y}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2\sin u\cos \mathrm{\λ}& -2\cos u\cos \mathrm{\λ}& 0\\ 2\cos u\cos \mathrm{\λ}& 2\sin u\cos \mathrm{\λ}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos i& \sin i\\ 0& -\sin i& \cos i\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Ω}& \sin \mathrm{\Ω}& 0\\ -\sin \mathrm{\Ω}& \cos \mathrm{\Ω}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}r\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$+\left(\begin{array}{ccc}\cos u& \sin u& 0\\ -\sin u& \cos u& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos i& \sin i\\ 0& -\sin i& \cos i\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Ω}& \sin \mathrm{\Ω}& 0\\ -\sin \mathrm{\Ω}& \cos \mathrm{\Ω}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{-2a{e}_y-r(\sin u-2e_y\cos u\cos \mathrm{\λ}+2e_x\sin u\cos \mathrm{\λ})}{1+e_x\cos u+e_y\sin u}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

d.坐标分量对i的偏导数

$\frac{\∂}{\∂i}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos u& \sin u& 0\\ -\sin u& \cos u& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -\sin i& \cos i\\ 0& -\cos i& -\sin i\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Ω}& \sin \mathrm{\Ω}& 0\\ -\sin \mathrm{\Ω}& \cos \mathrm{\Ω}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}r\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

e.坐标分量对Ω的偏导数

$\frac{\∂}{\∂\mathrm{\Ω}}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos u& \sin u& 0\\ -\sin u& \cos u& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos i& \sin i\\ 0& -\sin i& \cos i\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-\sin \mathrm{\Ω}& \cos \mathrm{\Ω}& 0\\ -\cos \mathrm{\Ω}& -\sin \mathrm{\Ω}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}r\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

f.坐标分量对λ的偏导数

$\frac{\∂}{\∂\mathrm{\λ}}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=(1+2e_x\cos \mathrm{\λ}+2e_y\sin \mathrm{\λ})\left(\begin{array}{ccc}-\sin u& \cos u& 0\\ -\cos u& -\sin u& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos i& \sin i\\ 0& -\sin i& \cos i\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Ω}& \sin \mathrm{\Ω}& 0\\ -\sin \mathrm{\Ω}& \cos \mathrm{\Ω}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}r\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$+\left(\begin{array}{ccc}\cos u& \sin u& 0\\ -\sin u& \cos u& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos i& \sin i\\ 0& -\sin i& \cos i\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\Ω}& \sin \mathrm{\Ω}& 0\\ -\sin \mathrm{\Ω}& \cos \mathrm{\Ω}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{-r(1+2e_x\cos \mathrm{\λ}+2e_y\sin \mathrm{\λ})(e_y\cos u-e_x\sin u)}{1+e_x\cos u+e_y\sin u}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

将瞬时轨道根数σ_ai＝[a_i，e_xi，e_yi，i_i，Ω_i，λ_i]^T对初始轨道根数σ_a0＝[a₀，e_x0，e_y0，i₀，Ω₀，λ₀]^T的偏导数

写成矩阵形式为：

$X(t,{\mathrm{\σ}}_0)=\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_i}{\∂{\mathrm{\σ}}_0}=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{\∂a_i}{\∂a_0}& \frac{\∂a_i}{\∂e_{x0}}& \frac{\∂a_i}{\∂e_{y0}}& \frac{\∂a_i}{\∂i_0}& \frac{\∂a_i}{\∂{\mathrm{\Ω}}_0}& \frac{\∂a_i}{\∂{\mathrm{\λ}}_0}\\ \frac{\∂e_{\mathrm{xi}}}{\∂a_0}& \frac{\∂e_{\mathrm{xi}}}{\∂e_{x0}}& \frac{\∂e_{\mathrm{xi}}}{\∂e_{y0}}& \frac{\∂e_{\mathrm{xi}}}{\∂i_0}& \frac{\∂e_{\mathrm{xi}}}{\∂{\mathrm{\Ω}}_0}& \frac{\∂e_{\mathrm{xi}}}{\∂{\mathrm{\λ}}_0}\\ \frac{\∂e_{\mathrm{yi}}}{\∂a_0}& \frac{\∂e_{\mathrm{yi}}}{\∂e_{x0}}& \frac{\∂e_{\mathrm{yi}}}{\∂e_{y0}}& \frac{\∂e_{\mathrm{yi}}}{\∂i_0}& \frac{\∂e_{\mathrm{yi}}}{\∂{\mathrm{\Ω}}_0}& \frac{\∂e_{\mathrm{yi}}}{\∂{\mathrm{\λ}}_0}\\ \frac{\∂i_i}{\∂a_0}& \frac{\∂i_i}{\∂e_{x0}}& \frac{\∂i_i}{\∂e_{y0}}& \frac{\∂i_i}{\∂i_0}& \frac{\∂i_i}{\∂{\mathrm{\Ω}}_0}& \frac{\∂i_i}{\∂{\mathrm{\λ}}_0}\\ \frac{\∂{\mathrm{\Ω}}_i}{\∂a_0}& \frac{\∂{\mathrm{\Ω}}_i}{\∂e_{x0}}& \frac{\∂{\mathrm{\Ω}}_i}{\∂e_{y0}}& \frac{\∂{\mathrm{\Ω}}_i}{\∂i_0}& \frac{\∂{\mathrm{\Ω}}_i}{\∂{\mathrm{\Ω}}_0}& \frac{\∂{\mathrm{\Ω}}_i}{\∂{\mathrm{\λ}}_0}\\ \frac{\∂{\mathrm{\λ}}_i}{\∂a_0}& \frac{\∂{\mathrm{\λ}}_i}{\∂e_{x0}}& \frac{\∂{\mathrm{\λ}}_i}{\∂e_{y0}}& \frac{\∂{\mathrm{\λ}}_i}{\∂i_0}& \frac{\∂{\mathrm{\λ}}_i}{\∂{\mathrm{\Ω}}_0}& \frac{\∂{\mathrm{\λ}}_i}{\∂{\mathrm{\λ}}_0}\end{array}\right]$

X(t，σ₀)采用数值算法求解矩阵微分方程，即

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}(t,{\mathrm{\σ}}_0)=F(t,{\mathrm{\σ}}_0)X(t,{\mathrm{\σ}}_0)\\ X(t_0,{\mathrm{\σ}}_0)=I_{6\×6}\end{array}\right.$

其中F(t，σ₀)的表达式为

$F(t,{\mathrm{\σ}}_0)=\left(\begin{array}{cccccc}\frac{\∂}{\∂a}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\·}{a}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}\\ \stackrel{\·}{i}\\ {\stackrel{\·}{e}}_x\\ {\stackrel{\·}{e}}_y\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}\end{array}\right)& \frac{\∂}{\∂e_x}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\·}{a}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}\\ \stackrel{\·}{i}\\ {\stackrel{\·}{e}}_x\\ {\stackrel{\·}{e}}_y\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}\end{array}\right)& \frac{\∂}{\∂e_y}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\·}{a}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}\\ \stackrel{\·}{i}\\ {\stackrel{\·}{e}}_x\\ {\stackrel{\·}{e}}_y\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}\end{array}\right)& \frac{\∂}{\∂i}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\·}{a}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}\\ \stackrel{\·}{i}\\ {\stackrel{\·}{e}}_x\\ {\stackrel{\·}{e}}_y\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}\end{array}\right)& \frac{\∂}{\∂\mathrm{\Ω}}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\·}{a}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}\\ \stackrel{\·}{i}\\ {\stackrel{\·}{e}}_x\\ {\stackrel{\·}{e}}_y\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}\end{array}\right)& \frac{\∂}{\∂\mathrm{\λ}}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\·}{a}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}\\ \stackrel{\·}{i}\\ {\stackrel{\·}{e}}_x\\ {\stackrel{\·}{e}}_y\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}\end{array}\right)\end{array}\right)$

其中I_6×6为6维单位方阵。

a.瞬时轨道根数对a的偏导数

$\frac{\∂}{\∂a}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\·}{a}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}\\ \stackrel{\·}{i}\\ {\stackrel{\·}{e}}_x\\ {\stackrel{\·}{e}}_y\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ -\frac{3}{2}\sqrt{\frac{\mathrm{\μ}}{a^5}}\end{array}\right)$

$+\left(\begin{array}{ccc}\frac{3a}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}(e_x\sin u-e_y\cos u)& \frac{3a}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}(1+e_x\cos u+e_y\sin u)& 0\\ 0& 0& \frac{r\sin u}{2a\sqrt{\mathrm{\μp}}\sin i}\\ 0& 0& \frac{r\cos u}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}\\ \frac{1}{2a}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\sin u& \frac{1}{2a}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[(1+\frac{r}{p})\cos u+\frac{e_{x}r}{p}]& \frac{1}{2a}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_{y}r}{p}\frac{\sin u}{\tan i}\\ -\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\cos u& \frac{1}{2a}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[(1+\frac{r}{p})\sin u+\frac{e_{y}r}{p}]& -\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_{x}r}{p}\frac{\sin u}{\tan i}\\ \frac{1}{2a}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[-\frac{1}{2}(e_x\cos u+e_y\sin u)-\frac{2r}{p}\sqrt{1-e_x^2-e_y^2}]& \frac{1}{4a}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}(e_x\sin u-e_y\cos u)& -\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{r}{p}\frac{\sin u}{\tan i}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{f}_r\\ f_u\\ f_h\end{array}\right)$

$-\frac{4}{a}\left(\begin{array}{ccc}\frac{{2a}^2}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}(e_x\sin u-e_y\cos u)& \frac{{2a}^2}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}(1+e_x\cos u+e_y\sin u)& 0\\ 0& 0& \frac{r\sin u}{\sqrt{\mathrm{\μp}}\sin i}\\ 0& 0& \frac{r\cos u}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}\\ \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\sin u& \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[(1+\frac{r}{p})\cos u+\frac{e_{x}r}{p}]& \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_{y}r}{p}\frac{\sin u}{\tan i}\\ -\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\cos u& \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[(1+\frac{r}{p})\sin u+\frac{e_{y}r}{p}]& -\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_{x}r}{p}\frac{\sin u}{\tan i}\\ \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[-\frac{1}{2}(e_x\cos u+e_y\sin u)-\frac{2r}{p}\sqrt{1-e_x^2-e_y^2}]& \frac{1}{2}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}(e_x\sin u-e_y\cos u)& -\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{r}{p}\frac{\sin u}{\tan i}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{f}_r\\ f_u\\ f_h\end{array}\right)$

b.瞬时轨道根数对e_x的偏导数

$\frac{\∂}{\∂e_x}\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{a}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}\\ \stackrel{\·}{i}\\ {\stackrel{\·}{e}}_x\\ {\stackrel{\·}{e}}_y\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{P}_{11}& P_{12}& 0\\ 0& 0& P_{23}\\ 0& 0& P_{33}\\ P_{41}& P_{42}& P_{43}\\ P_{51}& P_{52}& P_{53}\\ P_{61}& P_{62}& P_{63}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_r\\ f_u\\ f_h\end{array}\right]+\mathrm{\Φ}\left(\begin{array}{c}\frac{3J_2{\mathrm{Re}}^2\mathrm{\μ}}{{2r}^4}[6{\sin }^{2}i\sin 2u\sin \mathrm{\λ}+(4\frac{P_2}{P_3}+\frac{8e_x}{1-e_x^2-e_y^2})(3{\sin }^{2}i{\sin }^{2}u-1)]\\ -\frac{3J_2{\mathrm{Re}}^2\mathrm{\μ}}{{2r}^4}[4{\sin }^{2}i\cos 2u\sin \mathrm{\λ}+(4\frac{P_2}{P_3}+\frac{8e_x}{1-e_x^2-e_y^2}){\sin }^{2}i\sin 2u]\\ -\frac{3J_2{\mathrm{Re}}^2\mathrm{\μ}}{{2r}^4}[2\sin 2i\cos u\sin \mathrm{\λ}+(4\frac{P_2}{P_3}+\frac{8e_x}{1-e_x^2-e_y^2})\sin 2i\sin u]\end{array}\right)$

其中

P₁＝sin u+2e_xcos u sinλ+2e_ysin u sinλ

P₂＝cos u-2e_xsin u sinλ+2e_ycos u sinλ

P₃＝1+e_xcos u+e_ysin u

$P_{11}=\frac{{2a}^2}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}[P_1+\frac{e_x(e_x\sin u-e_y\cos u)}{1-e_x^2-e_y^2}]$

$P_{41}=2\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\cos u\sin \mathrm{\λ}-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_x}{1-e_x^2-e_y^2}\sin u$

$P_{51}=2\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\sin u\sin \mathrm{\λ}+\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_x}{1-e_x^2-e_y^2}\cos u$

$P_{61}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[-\frac{1}{2}{P}_2-\frac{{2e}_x{P}_3+2(1-e_x^2-e_y^2)P_2}{\sqrt{1-e_x^2-e_y^2}{P}_3^2}]-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_x}{1-e_x^2-e_y^2}[-\frac{1}{2}(e_x\cos u+e_y\sin u)-\frac{2r}{p}\sqrt{1-e_x^2-e_y^2}]$

$P_{12}=\frac{{2a}^2}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}[P_2+\frac{e_x{P}_3}{1-e_x^2-e_y^2}]$

$P_{42}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[-2\sin u\sin \mathrm{\λ}+\frac{(1-2\sin u\sin \mathrm{\λ})P_3-(\cos u+e_x)P_2}{{P_3}^2}]-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_x}{1-e_x^2-e_y^2}[(1+\frac{r}{p})\cos u+\frac{e_{x}r}{p}]$

$P_{52}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[2\cos u\sin \mathrm{\λ}+\frac{2\cos u\sin \mathrm{\λ}{P}_3-(\sin u+e_y)P_2}{{P_3}^2}]-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_x}{1-e_x^2-e_y^2}[(1+\frac{r}{p})\sin u+\frac{e_{y}r}{p}]$

$P_{62}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[P_1-\frac{e_x(e_x\sin u-e_y\cos u)}{1-e_x^2-e_y^2}]$

$P_{23}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{1}{\sin i}\frac{2\cos u\sin \mathrm{\λ}{P}_3-\sin u{P}_2}{{P_3}^2}-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{1}{\sin i}\frac{e_x}{1-e_x^2-e_y^2}\frac{\sin u}{P_3}$

$P_{33}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{-2\sin u\sin \mathrm{\λ}{P}_3-\cos u{P}_2}{{P_3}^2}-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_x}{1-e_x^2-e_y^2}\frac{\cos u}{P_3}$

$P_{43}=e_y[\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{1}{\tan i}\frac{2\cos u\sin \mathrm{\λ}{P}_3-\sin u{P}_2}{{P_3}^2}-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{1}{\tan i}\frac{e_x}{1-e_x^2-e_y^2}\frac{\sin u}{P_3}]$

$P_{53}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{1}{\tan i}\frac{(\sin u+2e_x\cos u\sin \mathrm{\λ})P_3-e_x\sin u{P}_2}{{P_3}^2}+\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{1}{\tan i}\frac{e_x}{1-e_x^2-e_y^2}\frac{e_x\sin u}{P_3}$

$P_{63}=-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{1}{\tan i}\frac{2\cos u\sin \mathrm{\λ}{P}_3-\sin u{P}_2}{{P_3}^2}+\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{1}{\tan i}\frac{e_x}{1-e_x^2-e_y^2}\frac{\sin u}{P_3}$

$\mathrm{\Φ}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{{2a}^2}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}(e_x\sin u-e_y\cos u)& \frac{{2a}^2}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}(1+e_x\cos u+e_y\sin u)& 0\\ 0& 0& \frac{r\sin u}{\sqrt{\mathrm{\μp}}\sin i}\\ 0& 0& \frac{r\cos u}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}\\ \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\sin u& \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[(1+\frac{r}{p})\cos u+\frac{e_{x}r}{p}]& \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_{y}r}{p}\frac{\sin u}{\tan i}\\ -\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\cos u& \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[(1+\frac{r}{p})\sin u+\frac{e_{y}r}{p}]& -\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_{x}r}{p}\frac{\sin u}{\tan i}\\ \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[-\frac{1}{2}(e_x\cos u+e_y\sin u)-\frac{2r}{p}\sqrt{1-e_x^2-e_y^2}]& \frac{1}{2}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}(e_x\sin u-e_y\cos u)& -\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{r}{p}\frac{\sin u}{\tan i}\end{array}\right)$

c.瞬时轨道根数对e_y的偏导数

$\frac{\∂}{\∂e_y}\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{a}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}\\ \stackrel{\·}{i}\\ {\stackrel{\·}{e}}_x\\ {\stackrel{\·}{e}}_y\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{Q}_{11}& Q_{12}& 0\\ 0& 0& Q_{23}\\ 0& 0& Q_{33}\\ Q_{41}& Q_{42}& Q_{43}\\ Q_{51}& Q_{52}& Q_{53}\\ Q_{61}& Q_{62}& Q_{63}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_r\\ f_u\\ f_h\end{array}\right]+\mathrm{\Φ}\left(\begin{array}{c}\frac{3J_2{\mathrm{Re}}^2\mathrm{\μ}}{{2r}^4}[-6{\sin }^{2}i\sin 2u\cos \mathrm{\λ}+(4\frac{Q_2}{P_3}+\frac{8e_y}{1-e_x^2-e_y^2})(3{\sin }^{2}i{\sin }^{2}u-1)]\\ -\frac{3J_2{\mathrm{Re}}^2\mathrm{\μ}}{{2r}^4}[-4{\sin }^{2}i\cos 2u\cos \mathrm{\λ}+(4\frac{Q_2}{P_3}+\frac{8e_y}{1-e_x^2-e_y^2}){\sin }^{2}i\sin 2u]\\ -\frac{3J_2{\mathrm{Re}}^2\mathrm{\μ}}{{2r}^4}[2\sin 2i\cos u\cos \mathrm{\λ}+(4\frac{Q_2}{P_3}+\frac{8e_y}{1-e_x^2-e_y^2})\sin 2i\sin u]\end{array}\right)$

Q₁＝-cos u-2e_xcos u cosλ-2e_ysin u cosλ

Q₂＝sin u+2e_xsin u cosλ-2e_y cos u cosλ

P₃＝1+e_xcos u+e_ysin u

$Q_{11}=\frac{{2a}^2}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}[Q_1+\frac{e_y(e_x\sin u-e_y\cos u)}{1-e_x^2-e_y^2}]$

$Q_{41}=-2\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\cos u\cos \mathrm{\λ}-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_y}{1-e_x^2-e_y^2}\sin u$

$Q_{51}=-2\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\sin u\cos \mathrm{\λ}+\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_y}{1-e_x^2-e_y^2}\cos u$

$Q_{61}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[-\frac{1}{2}{Q}_2-\frac{2e_y{P}_3+2(1-e_x^2-e_y^2)Q_2}{\sqrt{1-e_x^2-e_y^2}{P_3}^2}]-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_y}{1-e_x^2-e_y^2}[-\frac{1}{2}(e_x\cos u+e_y\sin u)-\frac{2r}{p}\sqrt{1-e_x^2-e_y^2}]$

$Q_{12}=\frac{{2a}^2}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}[Q_2+\frac{e_y{P}_3}{1-e_x^2-e_y^2}]$

$Q_{42}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[2\sin u\cos \mathrm{\λ}+\frac{2\sin u\cos \mathrm{\λ}{P}_3-(\cos u+e_x)Q_2}{{P_3}^2}]-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_y}{1-e_x^2-e_y^2}[(1+\frac{r}{p})\cos u+\frac{e_{x}r}{p}]$

$Q_{52}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[-2\cos u\cos \mathrm{\λ}+\frac{(1-2\cos u\cos \mathrm{\λ})P_3-(\sin u+e_y)Q_2}{{P_3}^2}]-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_y}{1-e_x^2-e_y^2}[(1+\frac{r}{p})\sin u+\frac{e_{y}r}{p}]$

$Q_{62}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}[Q_1-\frac{e_y(e_x\sin u-e_y\cos u)}{1-e_x^2-e_y^2}]$

$Q_{23}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{1}{\sin i}\frac{-2\cos u\cos \mathrm{\λ}{P}_3-\sin u{Q}_2}{{P_3}^2}-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{1}{\sin i}\frac{e_y}{1-e_x^2-e_y^2}\frac{\sin u}{P_3}$

$Q_{33}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{2\sin u\cos \mathrm{\λ}{P}_3-\cos u{Q}_2}{{P_3}^2}-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_y}{1-e_x^2-e_y^2}\frac{\cos u}{P_3}$

$Q_{43}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{1}{\tan i}[\frac{(\sin u-2e_y\cos u\cos \mathrm{\λ})P_3-e_y\sin u{Q}_2}{{P_3}^2}-\frac{e_y}{1-e_x^2-e_y^2}\frac{e_y\sin u}{P_3}]$

$Q_{53}=e_x\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{1}{\tan i}[\frac{-2\cos u\cos \mathrm{\λ}{P}_3-\sin u{Q}_2}{{P_3}^2}+\frac{e_y}{1-e_x^2-e_y^2}\frac{\sin u}{P_3}]$

$Q_{63}=-\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{1}{\tan i}\frac{-2\cos u\cos \mathrm{\λ}{P}_3-\sin u{Q}_2}{{P_3}^2}+\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{1}{\tan i}\frac{e_y}{1-e_x^2-e_y^2}\frac{\sin u}{P_3}$

d.瞬时轨道根数对i的偏导数

$\frac{\∂}{\∂i}\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{a}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}\\ \stackrel{\·}{i}\\ {\stackrel{\·}{e}}_x\\ {\stackrel{\·}{e}}_y\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{r\sin u\cos i}{\sqrt{\mathrm{\μp}}{\sin }^{2}i}\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_{y}r\sin u}{{\sin }^{2}i}\\ 0& 0& \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_{x}r\sin u}{{\sin }^{2}i}\\ 0& 0& \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{r\sin u}{p{\sin }^{2}i}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_r\\ f_u\\ f_h\end{array}\right]+\mathrm{\Φ}\left(\begin{array}{c}\frac{9J_2{\mathrm{Re}}^2\mathrm{\μ}}{{2r}^4}\sin 2i{\sin }^{2}u\\ -\frac{3J_2{\mathrm{Re}}^2\mathrm{\μ}}{{2r}^4}\sin 2i\sin 2u\\ -\frac{6J_2{\mathrm{Re}}^2\mathrm{\μ}}{{2r}^4}\cos 2i\sin u\end{array}\right)$

e.瞬时轨道根数对Ω的偏导数

$\frac{\∂}{\∂\mathrm{\Ω}}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\·}{a}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}\\ \stackrel{\·}{i}\\ {\stackrel{\·}{e}}_x\\ {\stackrel{\·}{e}}_y\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

f.瞬时轨道根数对λ的偏导数

$\frac{\∂}{\∂\mathrm{\λ}}\left(\begin{array}{c}\stackrel{\·}{a}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}\\ \stackrel{\·}{i}\\ {\stackrel{\·}{e}}_x\\ {\stackrel{\·}{e}}_y\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}\end{array}\right)=(1+2e_x\cos \mathrm{\λ}+2e_y\sin \mathrm{\λ})\left[\begin{array}{ccc}{R}_{11}& R_{12}& 0\\ 0& 0& \frac{r(\cos u+e_x)}{\sqrt{\mathrm{\μp}}\sin i(1+e_x\cos u+e_y\sin u)}\\ 0& 0& -\frac{r(\cos u+e_y)}{\sqrt{\mathrm{\μp}}(1+e_x\cos u+e_y\sin u)}\\ \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\cos u& R_{42}& \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_{y}r(\cos u+e_x)}{p\tan i(1+e_x\cos u+e_y\sin u)}\\ \sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\sin u& R_{52}& -\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{e_{x}r(\cos u+e_x)}{p\tan i(1+e_x\cos u+e_y\sin u)}\\ R_{61}& R_{62}& -\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}\frac{r(\cos u+e_x)}{p\tan i(1+e_x\cos u+e_y\sin u)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_r\\ f_u\\ f_h\end{array}\right]$

$+(1+{2e}_x\cos \mathrm{\λ}+{2e}_y\sin \mathrm{\λ})\mathrm{\Φ}\left(\begin{array}{c}\frac{3J_2{\mathrm{Re}}^2\mathrm{\μ}}{{2r}^4}[4\frac{-e_x\sin u+e_y\cos u}{1+e_x\cos u+e_y\sin u}(3{\sin }^{2}i{\sin }^{2}u-1)+3\sin 2u{\sin }^{2}i]\\ -\frac{3J_2{\mathrm{Re}}^2\mathrm{\μ}}{{2r}^4}[4\frac{-e_x\sin u+e_y\cos u}{1+e_x\cos u+e_y\sin u}{\sin }^{2}i\sin 2u+2\cos 2u{\sin }^{2}i]\\ -\frac{3J_2{\mathrm{Re}}^2\mathrm{\μ}}{{2r}^4}[4\frac{-e_x\sin u+e_y\cos u}{1+e_x\cos u+e_y\sin u}\sin 2i\sin u+\cos u\sin 2i]\end{array}\right)$

$R_{11}=\frac{{2a}^2}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}(e_x\cos u+e_y\sin u)$

$R_{61}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}(-e_x\sin u+e_y\cos u)[-\frac{1}{2}+\frac{2r}{p}\frac{\sqrt{1-e_x^2-e_y^2}}{1+e_x\cos u+e_y\sin u}]$

$R_{12}=\frac{{2a}^2}{\sqrt{\mathrm{\μp}}}({-e}_x\sin u+e_y\cos u)$

$R_{42}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}(\frac{-\sin u-e_y-e_x^2\sin u+e_x{e}_y\cos u}{{(1+e_x\cos u+e_y\sin u)}^2}-\sin u)$

$R_{52}=\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}(\frac{\cos u+e_x+e_y^2\cos u-e_x{e}_y\sin u}{{(1+e_x\cos u+e_y\sin u)}^2}+\cos u)$

$R_{62}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{p}{\mathrm{\μ}}}(e_x\cos u+e_y\sin u)$

(6)同理，计算卫星b在初始时刻t₀瞬时轨道根数对星间距离计算值的状态转移矩阵：

$\frac{\∂L_i}{\∂{\mathrm{\σ}}_{b0}}=\frac{\∂L_i}{\∂x_{\mathrm{bi}}}\frac{\∂x_{\mathrm{bi}}}{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{bi}}}\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{bi}}}{\∂{\mathrm{\σ}}_{b0}}+\frac{\∂L_i}{\∂y_{\mathrm{bi}}}\frac{\∂y_{\mathrm{bi}}}{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{bi}}}\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{bi}}}{\∂{\mathrm{\σ}}_{b0}}+\frac{\∂L_i}{\∂z_{\mathrm{bi}}}\frac{\∂z_{\mathrm{bi}}}{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{bi}}}\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{bi}}}{\∂{\mathrm{\σ}}_{b0}}$

其中，相对距离对各坐标分量的偏导数如下：

$\frac{\∂L_i}{\∂x_{\mathrm{bi}}}=\frac{x_{\mathrm{bi}}-x_{\mathrm{ai}}}{L_i}$

$\frac{\∂L_i}{\∂y_{\mathrm{bi}}}=\frac{y_{\mathrm{bi}}-y_{\mathrm{ai}}}{L_i}$

$\frac{\∂L_i}{\∂z_{\mathrm{bi}}}=\frac{z_{\mathrm{bi}}-z_{\mathrm{ai}}}{L_i}$

坐标分量对轨道根数的偏导数以及瞬时轨道根数对初始轨道根数的偏导数的计算方法与上一步中针对卫星a的计算方法相同。

(7)根据星间相对距离的计算值与测量真值的偏差δL_i，计算卫星a和卫星b在初始时刻t₀的瞬时轨道根数估值的修正量：

将初始时刻瞬时轨道根数的微小改变量Δσ_a0将引起星间距离改变量以矩阵形式表示为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{L}_0\\ \mathrm{\Δ}{L}_1\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\Δ}{L}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂L_0}{\∂{\mathrm{\σ}}_{a0}}& \frac{\∂L_0}{\∂{\mathrm{\σ}}_{b0}}\\ \frac{\∂L_1}{\∂{\mathrm{\σ}}_{a0}}& \frac{\∂L_1}{\∂{\mathrm{\σ}}_{b0}}\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ \frac{\∂L_n}{\∂{\mathrm{\σ}}_{a0}}& \frac{\∂L_n}{\∂{\mathrm{\σ}}_{b0}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ\σ}}_{a0}\\ {\mathrm{\Δ\σ}}_{b0}\end{array}\right]$

将(n+1)×12维矩阵M记为

$M=\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂L_0}{\∂{\mathrm{\σ}}_{a0}}& \frac{\∂L_0}{\∂{\mathrm{\σ}}_{b0}}\\ \frac{\∂L_1}{\∂{\mathrm{\σ}}_{a0}}& \frac{\∂L_1}{\∂{\mathrm{\σ}}_{b0}}\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ \frac{\∂L_n}{\∂{\mathrm{\σ}}_{a0}}& \frac{\∂L_n}{\∂{\mathrm{\σ}}_{b0}}\end{array}\right]$

将星间距离改正为真值，即改正量为ΔL_i＝-δL_i；则初始时刻瞬时轨道根数的微小改变量Δσ_a0根据

$-\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{L}_0\\ \mathrm{\δ}{L}_1\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\δ}{L}_n\end{array}\right]=M\·\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ\σ}}_{a0}\\ {\mathrm{\Δ\σ}}_{b0}\end{array}\right]$

进行求解，得到

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ\σ}}_{a0}\\ {\mathrm{\Δ\σ}}_{b0}\end{array}\right]=-{\left(M^{T}M\right)}^{-1}{M}^T\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{L}_0\\ \mathrm{\δ}{L}_1\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\δ}{L}_n\end{array}\right]\·$

(8)将σ_a0+Δσ_a0和σ_b0+Δσ_b0作为卫星a和卫星b在初始时刻t₀瞬时轨道根数估计值，重复上述步骤(1)～(7)的计算过程进行迭代，直至半长轴修正量δa_a0和δa_b0小于定位精度，如0.1m；

(9)根据卫星a和卫星b在初始时刻t₀瞬时轨道根数的迭代结果σ_a0和σ_b0，按照第(2)步的计算方法可以得到任意时刻的瞬时轨道根数σ_a和σ_b，以及相对瞬时轨道根数Δσ＝σ_b-σ_a。

实施例

本实施例所选取卫星a和卫星b在初始时刻的瞬时轨道根数的真值为：

星间距离的真值如图2所示。本实施例的解算输入为以32s为采样间隔，均值为0且方差为3m的星间伪距。

应用本发明方法对4个轨道周期内的星间伪距进行解算，卫星a和卫星b在初始时刻的瞬时轨道根数的估值如下：

经过10次迭代运算，得到解算值如下：

绝对轨道根数解算结果比较如下：

相对轨道根数解算结果比较如下：

项目	真值	解算结果	偏差
				半长轴(m)	19.5	19.4	0.1
倾角(°)	-0.001	-0.001	1×10-4
				偏心率矢量ex	0.731×10-4	0.744×10-4	1×10-6
偏心率矢量ey	0.6404×10-4	0.6902×10-4	5×10-6
				升交点赤经(°)	0.895	0.895	1×10-4
平纬度幅角(°)	-0.895	-0.895	1×10-4

本发明说明书中未作详细描述的内容属本领域技术人员的公知技术。

Claims (1)

1.一种编队飞行卫星绝对和相对轨道确定方法，其特征在于步骤如下：

(1)获取待解算的两颗卫星在初始时刻t₀的瞬时轨道根数估计值，记为σ_a0和σ_b0，a和b分别代表两颗卫星；

(2)根据初始时刻的瞬时轨道根数估计值σ_a0和σ_b0，分别计算两颗卫星在指定时刻t_i的瞬时轨道根数，记为σ_ai和σ_bi，i＝1，2，3，...，n；

(3)根据两颗卫星在指定时刻t_i的瞬时轨道根数σ_ai和σ_bi，分别计算惯性坐标系下两颗卫星的绝对位置的笛卡儿坐标分量[x_ai y_ai z_ai]^T和[x_bi y_bi z_bi]^T；

(4)根据两颗卫星在惯性坐标系下绝对位置的笛卡儿坐标分量，得到在各指定时刻两颗卫星的星间距离计算值，以及该星间距离计算值与测量真值的偏差δL_i；

(5)计算卫星a在初始时刻t₀的瞬时轨道根数对星间距离计算值的状态转移矩阵；

(6)计算卫星b在初始时刻t₀的瞬时轨道根数对星间距离计算值的状态转移矩阵；

(7)根据星间相对距离的计算值与测量真值的偏差δL_i，利用步骤(5)和步骤(6)得到的两个状态转移矩阵计算卫星a和卫星b在初始时刻t₀瞬时轨道根数估计值的修正量δσ_a0和δσ_b0：

(8)将σ_a0-δσ_a0和σ_b0-δσ_b0分别作为卫星a和卫星b在初始时刻t₀瞬时轨道根数的新的估计值，重复步骤(1)～(7)的计算过程进行迭代，直至两颗卫星的半长轴修正量δa_a0和δa_b0满足定位精度要求；

(9)利用满足定位精度要求的卫星a和卫星b在初始时刻t₀瞬时轨道根数的迭代结果σ_a0和σ_b0，按照第(2)步的计算方法得到两颗卫星在任意时刻的瞬时轨道根数σ_a和σ_b，从而得到相对瞬时轨道根数Δσ＝σ_b-σ_a。

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