CN102221373B - 基于自由节点递推b样条的传感器非线性补偿方法 - Google Patents

Abstract

基于自由节点递推B样条的传感器非线性补偿方法，属于传感器技术领域。它解决了现有传感器采用的基于逆模型的非线性补偿方法计算量大的问题。实验获取所述传感器的输入输出样本数据，利用输入输出样本数据产生自由节点；以样本数据的输出变量作为逆模型结构的输入变量，以样本数据的输入变量作为逆模型结构的输出变量，根据自由节点，建立B样条函数描述的逆模型结构；根据自由节点，从样本数据中选择训练样本；根据训练样本和递推最小二乘方法计算以B样条函数描述的逆模型结构的控制系数，获得完整的传感器B样条逆模型；用完整的传感器B样条逆模型处理所述传感器的输出变量，实现传感器的非线性补偿。本发明适用于传感器的非线性补偿。

Description

基于自由节点递推B样条的传感器非线性补偿方法

技术领域

本发明涉及一种基于自由节点递推B样条的传感器非线性补偿方法，属于传感器技术领域。

背景技术

非线性补偿技术是传感器不可缺少的一部分，常用的传感器信号补偿算法有查表法、遗传算法、支持向量机及神经网络法等。其中查表法是最简单也是最传统的一种方法，其精度完全依赖于表中数据的间隔，对存储空间的要求较高。其它几种方法均是基于逆模型的非线性补偿方法，这几种方法虽然能够达到较高的建模精度，然而，它们对建模复杂性问题考虑不足，计算模型参数需要花费较多的系统资源；同时，这些方法并未考虑对大批量传感器的标定优化问题。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有传感器采用的基于逆模型的非线性补偿方法计算量大的问题，提供一种基于自由节点递推B样条的传感器非线性补偿方法。

本发明包括以下步骤：

步骤一：实验获取所述传感器的输入输出样本数据，利用输入输出样本数据产生自由节点；

步骤二：以样本数据的输出变量作为逆模型结构的输入变量，以样本数据的输入变量作为逆模型结构的输出变量，根据自由节点，建立B样条函数描述的逆模型结构；

步骤三：根据自由节点，从样本数据中选择训练样本；

步骤四：根据训练样本和递推最小二乘方法计算以B样条函数描述的逆模型结构的控制系数，获得完整的传感器B样条逆模型；

步骤五：用完整的传感器B样条逆模型处理所述传感器的输出变量，实现传感器的非线性补偿。

本发明的优点是：本发明方法具有精度高、计算量小、适合在微处理器上应用，且能够大大降低大批量传感器标定工作量的优势，具有很高的应用价值。

本发明在保证精度的同时，建模所需的计算量较现有其他方法的计算量小，且计算过程为迭代过程，适合在微处理器上应用。采用了B样条函数作为描述模型的工具，能够很好的避免过拟合和欠拟合现象的发生。采用了自由节点以提高补偿的精度，且利用自由节点选择训练样本，可以降低大批量传感器补偿所需的工作量。

本发明方法利用B样条函数构建传感器的逆模型，来实现非线性补偿；它利用输入输出样本数据来产生自由节点，有效地提高了B样条函数的精度；利用自由节点及训练样本选择策略，能够降低大批量传感器标定所需的工作量。

附图说明

图1为本发明方法的流程图；

图2为本发明方法中基于逆模型的传感器非线性补偿原理图；

图3为实施方式六中对S型热电偶温度传感器进行非线性补偿所用到的样本数据和训练样本曲线图；

图4为实施方式六中对S型热电偶温度传感器进行非线性补偿后的绝对误差图；

图5为实施方式七中对负温度系数的热敏电阻器进行非线性补偿所用到的样本数据和训练样本曲线图；

图6为实施方式七中对负温度系数的热敏电阻器进行非线性补偿后的绝对误差图。

具体实施方式

具体实施方式一：下面结合图1和图2说明本实施方式，本实施方式包括以下步骤：

步骤一：实验获取所述传感器的输入输出样本数据，利用输入输出样本数据产生自由节点；

步骤二：以样本数据的输出变量作为逆模型结构的输入变量，以样本数据的输入变量作为逆模型结构的输出变量，根据自由节点，建立B样条函数描述的逆模型结构；

步骤三：根据自由节点，从样本数据中选择训练样本；

步骤四：根据训练样本和递推最小二乘方法计算以B样条函数描述的逆模型结构的控制系数，获得完整的传感器B样条逆模型；

步骤五：用完整的传感器B样条逆模型处理所述传感器的输出变量，实现传感器的非线性补偿。

本发明方法通过建立传感器的逆模型来达到非线性补偿的目的，其原理如图2所示，在微处理器中存储传感器的逆模型，用于处理传感器的输出电信号，逆模型的输出为被测变量的估计值。在对传感器进行非线性补偿之前，需要先获得传感器的输入输出样本数据；获得输入输出样本数据之后，以输入输出样本数据的输出数据作为逆模型的输入，输入数据作为一个逆模型的输出，产生自由节点。这里，逆模型以B样条函数的形式存在。然后，利用自由节点建立逆模型。接着，再利用自由节点和相应的选择策略从样本数据中选择训练样本。最后，利用递推最小二乘方法计算逆模型的控制系数，建立逆模型以补偿传感器的非线性度。整个流程如图1所示。其中训练样本的选取方法，即为传感器的标定策略优化方法。

本发明利用B样条函数描述传感器传递函数的逆模型，模型结构简单、参数少、节省存储空间；自由节点的选取能有效地提高逆模型的精度，从而提高非线性补偿的效果；递推最小二乘以迭代方式计算B样条函数控制系数，计算量小、易于在微处理器上实现；在大批量传感器标定过程中，从样本数据中合理选取训练样本数据，从而在保证精度的前提下，降低逆模型建立所需的数据量和实验工作量，实现标定过程的优化。

具体实施方式二：本实施方式为对实施方式一的进一步说明，在本实施方式中利用输入输出样本数据产生自由节点的方法为：

步骤一一：节点向量t的表达式为：

初始节点向量为t⁰：

$t^0=(t_{-k+1}^0,...,t_{-1}^0,a=t_0^0,t_1^0=b,t_2^0,...,t_{N+k}^0);$

其中i为节点向量的编号，k为B样条函数的阶数；节点向量为t的维数为N+2k；

步骤一二：根据当前的节点向量t定义当前的B样条曲线

首次循环时，t＝t⁰；

式中Y_n，t为当前B样条曲线的输出，P_n，t为当前B样条曲线的节点向量t所确定的基函数，

为当前B样条曲线的控制系数；

步骤一三：计算当前B样条曲线的输出Y_n，t与样本数据输入变量

之间的误差R_t，R_t＝|U_n-Y_n，t|，

并寻找最大误差

及其对应的样本点

式中

为选定的样本点的输入变量，

为选定的样本点的输出变量，j₀为该选定的样本点在样本数据中的编号；

步骤一四：当最大误差

大于误差容限δ，即

则执行步骤一五，否则执行步骤一八；

步骤一五：在当前的节点向量t中寻找

和

使得步骤一三中的样本点

满足

为步骤一三所选出的样本点的输入变量

在当前节点向量t中所处的区间；

步骤一六：计算当前B样条曲线在区间

的三阶差商，将区间

进行等分，最大三阶差商

所在的位置作为新的B样条曲线的自由节点t_new；式中Δ⁽³⁾为三阶差商计算符；

步骤一七：将新的自由节点t_new加入到节点向量t中，返回步骤一二；

步骤一八：检查节点向量t中的所有自由节点是否满足在两个相邻的自由节点之间至少有一个样本点存在，若是，保留所述两个相邻的自由节点，若否，删除所述两个相邻自由节点中的任意一个；

上述公式中设定步骤一中所述的输入输出样本数据为

其中y_j为样本数据的输入变量，x_j为样本数据的输出变量，x_j的取值范围为[a，b]，a为样本数据的输出下限，b为样本数据的输出上限，j为样本数据的编号，n为样本数据的总数量。其它与实施方式一相同。

本实施方式中节点向量为t由内节点和外节点两部分组成，其中外节点均匀分布，内节点则通过自由节点方法产生。

本实施方式的步骤一四中，当最大误差

小于误差容限δ时，则完成自由节点的选择。

具体实施方式三：本实施方式为对实施方式二的进一步说明，步骤二中根据自由节点，建立B样条函数描述的逆模型结构的方法为：

根据步骤一中产生的自由节点建立B样条基函数

根据B样条基函数获得B样条函数描述的逆模型结构为：

$y_j=\underset{i=-k+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i{B}_{i,t}^k\left(x_j\right)+e_j=\underset{i=-k+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i{p}_{j,i}+e_j,$ j＝1，2，...，n，

其中以样本数据的输入变量y_j做为逆模型结构的输出变量，以样本数据的输出变量x_j做为逆模型结构的输入变量，{c_i}为N+k维向量，且N+k＜n；e_j为拟合残差，均值为0，方差为

p_j，i为B样条基函数

的简写。其它与实施方式二相同。

本实施方式中B样条函数的阶数，可以选为4。

具体实施方式四：本实施方式为对实施方式三的进一步说明，所述步骤三中根据自由节点，从样本数据中选择训练样本的方法为：

选择在自由节点向量t中的每两个相邻的内节点之间最接近中点的样本数据均作为训练样本，然后计算相邻训练样本之间的距离，若相邻训练样本之间的距离之比大于预设定的容限q，则在距离大的两个训练样本之间增加一个新的训练样本。其它与实施方式三相同。

在距离大的两个训练样本之间增加新的训练样本，可以有效地避免训练样本之间的距离变化过大。

本实施方式可以有效的防止选取的训练样本点在建模时产生过拟合和欠拟合。

在选择了训练样本之后，即可实现对大批量传感器的标定策略优化。这里，假设大批量同批次的传感器，尽管其每个个体的输入输出特性有所区别，但是其大体结构基本相同。显然，这个假设是合理的。在这个假设的基础上，在大批量传感器的标定过程中，首先选取某一个传感器，进行大量实验，获得较大数量的样本数据。然后，利用所提出的自由节点选取方法和训练样本选取方法，从中选出最能表达该传感器特性的训练样本点。最后，对于其余的传感器，只需在所选出的训练样本点处进行实验，获得训练样本数据即可建立逆模型，实现非线性补偿。这样，就不必对所有传感器都进行大量实验，同时又能有效的保证非线性补偿的精度，大大降低了大批量传感器标定所需的工作量。

具体实施方式五：本实施方式为对实施方式三的进一步说明，所述步骤四中根据训练样本和递推最小二乘方法计算以B样条函数描述的逆模型结构的控制系数的方法为：

首先将以B样条函数描述的逆模型结构

转换为矩阵形式：

Y_n＝P_nC+E_n，

其中Y_n＝[y₁，y₂，...，y_n]^T，C＝[c_-k+1，c_-k+2，...，c_N]^T，

E_n＝[e₁，e₂，...，e_n]^T， $P_n=\left[\begin{array}{cccc}{p}_{1,-k+1}& p_{1,-k+2}& \·\·\·& p_{1,N}\\ p_{2,-k+1}& p_{2,-k+2}& \·\·\·& p_{2,N}\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ p_{n,-k+1}& p_{n,-k+2}& \·\·\·& p_{n,N}\end{array}\right],$

假设

为递推过程中，第m次递推对C的估计结果(m＝0，1，...，n)，则由普通的最小二乘方法可得

成立，进而得到：

${\hat{C}}_{m+1}={\left[P_{m+1}^T{P}_{m+1}\right]}^{-1}{P}_{m+1}^T{Y}_{m+1},$

$\left[P_{m+1}^T{P}_{m+1}\right][{\hat{C}}_m+({\hat{C}}_{m+1}-{\hat{C}}_m)]=P_{m+1}^T{Y}_{m+1},$

$[P_m^T{P}_m+M_{m+1}^T{M}_{m+1}][{\hat{C}}_m+({\hat{C}}_{m+1}-{\hat{C}}_m)]={[P}_m^T{Y}_m+M_{m+1}^T{y}_{m+1}],$

其中，M_m+1＝[p_m+1，-k+1p_m+1，-k+2…p_m+1，N]，则 $P_{m+1}=\left[\begin{array}{c}{P}_m\\ M_{m+1}\end{array}\right],$

$P_{m+1}^T{P}_{m+1}=P_m^T{P}_m+M_{m+1}^T{M}_{m+1},$ $P_{m+1}^T{Y}_{m+1}=P_m^T{Y}_m+M_{m+1}^T{y}_{m+1},$

根据

得到：

${\hat{C}}_{m+1}={\hat{C}}_m+{[P_m^T{P}_m+M_{m+1}^T{M}_{m+1}]}^{-1}[P_m^T{P}_m{\hat{C}}_m+M_{m+1}^T{y}_{m+1}]$

${-[P_m^T{P}_m+M_{m+1}^T{M}_{m+1}]}^{-1}[P_m^T{P}_m+M_{m+1}^T{M}_{m+1}]{\hat{C}}_m,$

${=\hat{C}}_m+{[P_m^T{P}_m+M_{m+1}^T{M}_{m+1}]}^{-1}{M}_{m+1}^T(y_{m+1}-M_{m+1}{\hat{C}}_m)$

假设

则：

$Q_{m+1}={\left[P_{m+1}^T{P}_{m+1}\right]}^{-1}={[P_m^T{P}_m+M_{m+1}^T{M}_{m+1}]}^{-1}$

${=[Q_m^{-1}+M_{m+1}^T{M}_{m+1}]}^{-1},$

$=Q_m-Q_m{M}_{m+1}^T{(1+M_{m+1}{Q}_m{M}_{m+1}^T)}^{-1}{M}_{m+1}{Q}_m$

从而，获得递推求解公式为：

${\hat{C}}_{m+1}={\hat{C}}_m+Q_{m+1}{M}_{m+1}^T(y_{m+1}-M_{m+1}{\hat{C}}_m),$

递推求解的初始值一般选为

和Q₀＝a×I_N+k，其中a为常数，式中I_N+k为单位阵。其它与实施方式四相同。

本实施中对矩阵形式的B样条函数描述的逆模型结构Y_n＝P_nC+E_n，采用递推最小二乘方法进行计算，它消除了矩阵求逆运算，简化了求解过程，适合于微处理器的应用。

本实施方式中利用

的值递推得到

的值的过程为递推形式，但其式中仍存在矩阵求逆运算，为消除该逆运算，因此假设然后在推导的过程中运用了矩阵求逆定理，在此过程中，为一实数，因而矩阵求逆运算已被成功避免。

在现有方法中对Y_n＝P_nC+E_n进行运算，为求得控制系数向量C，一般采用的方法为普通最小二乘方法，求出使得J＝[Y_n-P_nC]^T[Y_n-P_nC]的最小的控制系数向量C，即求解方程

其结果为：

其中，

为控制系数向量C的估计值。

这种非递推形式的求解方法，存在矩阵求逆运算，较为复杂，不适合在微处理器上应用。

获得了以B样条函数描述的逆模型结构的控制系数C，即建立了完整的传感器B样条逆模型。

具体实施方式六：下面结合图3和图4说明本实施方式，本实施方式为对实施方式五的进一步说明，所述传感器为S型热电偶温度传感器，y_j为S型热电偶温度传感器周围的温度，x_j为S型热电偶温度传感器的电动势。其它与实施方式五相同。

本实施方式中，对S型热电偶温度传感器进行非线性补偿的实验数据取自该传感器的分度表。S型热电偶温度传感器的输入和输出分别为温度和电动势(electromotive force，EMF)，温度的取值范围是0到1400℃，以10℃等间隔选取，其冷端温度为0℃。

为更好地说明本发明方法的补偿效果，定义S型热电偶温度传感器非线性度的计算公式。若该传感器的输入输出样本数据为则y表示温度，x表示电动势，则补偿前和补偿后的非线性度分别由l_IN和l_OUT表示：

$l_{\mathrm{IN}}=\frac{{\left|\mathrm{\Δ}\right|}_{\max ,\mathrm{IN}}}{y_{\max }-y_{\min }}\×100\%,$

$l_{\mathrm{OUT}}=\frac{{\left|\mathrm{\Δ}\right|}_{\max ,\mathrm{OUT}}}{y_{\max }-y_{\min }}\×100\%,$

其中，|Δ|_max，IN＝max|x′-y|，

x_min，x_max，y_min，y_max分别为样本数据输入输出的最小值和最大值，为补偿后对被测量y的估计。

图3中样训练本点共141个，该S型热电偶温度传感器在补偿之前的非线性度为6.34％。具体的非线性补偿步骤如下：

1.利用141个样本数据，产生B样条自由节点。

2.有了自由节点，就可以产生B样条函数，从而建立B样条函数描述的逆模型结构。这里，B样条函数描述的逆模型结构的控制系数尚未确定。

3.利用自由节点，产生训练样本，共35个，如图3所示。

4.利用训练样本数据和递推最小二乘方法计算B样条模型的控制系数，从而建立完整的B样条模型。

获得了完整的B样条逆模型，就可以利用该模型实现对S型热电偶温度传感器的非线性补偿。在本实施方式中，最终的补偿结果为温度测量的最大绝对误差，为0.21℃，补偿后的非线性度为0.01％。图4为补偿后的绝对误差分布图。

在大批量传感器非线性补偿中，由于同一批次的传感器其输入输出特性基本相同，因而，这些传感器可利用相同的B样条逆模型结构进行非线性补偿。从上述步骤中可看出，141个样本数据只仅用于产生B样条的自由节点。因此，仅需要对其中某一传感器采集141个样本数据，确定逆模型结构。而对于其他传感器，则仅需要采集35个训练样本数据用于计算逆模型控制系数即可。这样，在大批量补偿传感器的情况下，可大大降低工作量。

具体实施方式七：下面结合图5和图6说明本实施方式，本实施方式为对实施方式五的进一步说明，所述传感器为负温度系数的热敏电阻器，y_j为负温度系数的热敏电阻器周围的温度，x_j为负温度系数的热敏电阻器的电阻值。其它与实施方式五相同。

实施方式六中中，S型热电偶温度传感器的非线性度并不大，无法完全说明本发明方法的有效性。在本实施方式中，将对一种非线性度较高的传感器，即负温度系数的热敏电阻器进行非线性补偿。该热敏电阻器的电阻值与温度成反比，且满足以下关系式：

$R_T=R_{T_0}\exp \left[B(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0})\right],$

其中，R_T为该电阻器在温度T时的电阻值，B为材料常数，本实验中为4055，

(50KΩ)为电阻器在温度T₀(298K)时的电阻值。这里，温度以开尔文(K)为单位。

由于该电阻器的量程较实施方式六中的S型热电偶温度传感器小，因而训练样本数据仅在233K到333K之间以等间隔1K选取。输入输出样本数据点共101个，从中选取的训练样本点20个，补偿前热敏电阻器的非线性度为57.04％，如图5所示。具体的实施步骤与实施方式六相同，最终的补偿结果为温度测量的最大绝对误差，为0.35K，而补偿后的非线性度为0.35％。图6为补偿后的绝对误差分布图。

Claims (6)

1.一种基于自由节点递推B样条的传感器非线性补偿方法，其特征在于：它包括以下步骤：

步骤一：实验获取所述传感器的输入输出样本数据，利用输入输出样本数据产生自由节点；

步骤二：以样本数据的输出变量作为逆模型结构的输入变量，以样本数据的输入变量作为逆模型结构的输出变量，根据自由节点，建立B样条函数描述的逆模型结构；

步骤三：根据自由节点，从样本数据中选择训练样本；

步骤四：根据训练样本和递推最小二乘方法计算以B样条函数描述的逆模型结构的控制系数，获得完整的传感器B样条逆模型；

步骤五：用完整的传感器B样条逆模型处理所述传感器的输出变量，实现传感器的非线性补偿；

利用输入输出样本数据产生自由节点的方法为：

步骤一一：节点向量t的表达式为：

$t={\left\{t_i\right\}}_{i=-k+1}^{N+k}=t_{-k+1}<...t_{-1}<t_0=a<...<t_{N+1}=b<t_{N+2},...<t_{N+k},$ 初始节点向量为t⁰：

$t^0=(t_{-k+1}^0,...,t_{-1}^0,a=t_0^0,t_1^0=b,t_2^0,...,t_{N+k}^0);$

其中i为节点向量的编号，k为B样条函数的阶数；节点向量为t的维数为N+2k；

步骤一二：根据当前的节点向量t定义当前的B样条曲线

首次循环时，t＝t₀；

式中Y_n，t为当前B样条曲线的输出，P_n，t为当前B样条曲线的节点向量t所确定的基函数，为当前B样条曲线的控制系数；

步骤一三：计算当前B样条曲线的输出Y_n，t与样本数据输入变量

之间的误差R_t，R_t＝|U_n-Y_n，t|，

并寻找最大误差

及其对应的样本点(y_j0，x_j0)，式中y_j0为选定的样本点的输入变量，

为选定的样本点的输出变量，j₀为该选定的样本点在样本数据中的编号；

步骤一四：当最大误差

大于误差容限δ，即

则执行步骤一五，否则执行步骤一八；

步骤一五：在当前的节点向量t中寻找

和

使得步骤一三中的样本点

满足

为步骤一三所选出的样本点的输入变量

在当前节点向量t中所处的区间；

步骤一六：计算当前B样条曲线在区间

的三阶差商，将区间

进行等分，最大三阶差商

所在的位置作为新的B样条曲线的自由节点t_new；

式中Δ(3)为三阶差商计算符；

步骤一七：将新的自由节点t_new加入到节点向量t中，返回步骤一二；

步骤一八：检查节点向量t中的所有自由节点是否满足在两个相邻的自由节点之间至少有一个样本点存在，若是，保留所述两个相邻的自由节点，若否，删除所述两个相邻自由节点中的任意一个；

上述公式中设定步骤一中所述的输入输出样本数据为

其中yj为样本数据的输入变量，x_j为样本数据的输出变量，x_j的取值范围为[a，b]，a为样本数据的输出下限，b为样本数据的输出上限，j为样本数据的编号，n为样本数据的总数量。

2.根据权利要求1所述的基于自由节点递推B样条的传感器非线性补偿方法，其特征在于：步骤二中根据自由节点，建立B样条函数描述的逆模型结构的方法为：

根据步骤一中产生的自由节点建立B样条基函数

根据B样条基函数

获得B样条函数描述的逆模型结构为：

$y_i=\underset{i=-k+1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i{B}_{i,t}^k\left(x_j\right)+e_j=\underset{i=-k+1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i{p}_{j,i}+e_j,$ j＝1，2，...，n，

其中以样本数据的输入变量y_j做为逆模型结构的输出变量，以样本数据的输出变量x_j做为逆模型结构的输入变量，{c_i}为N+k维向量，且N+k＜n；e_j为拟合残差，均值为0，方差为

p_j，i为B样条基函数

的简写。

3.根据权利要求2所述的基于自由节点递推B样条的传感器非线性补偿方法，其特征在于：所述步骤三中根据自由节点，从样本数据中选择训练样本的方法为：

选择在自由节点向量t中的每两个相邻的内节点之间最接近中点的样本数据均作为训练样本，然后计算相邻训练样本之间的距离，若相邻训练样本之间的距离之比大于预设定的容限q，则在距离大的两个训练样本之间增加一个新的训练样本。

4.根据权利要求3所述的基于自由节点递推B样条的传感器非线性补偿方法，其特征在于：所述步骤四中根据训练样本和递推最小二乘方法计算以B样条函数描述的逆模型结构的控制系数的方法为：

首先将以B样条函数描述的逆模型结构

转换为矩阵形式：

Y_n＝P_nC+E_n，

其中Y_n＝[y₁，y₂，...，y_n]^T，C＝[c_-k+1，c_-k+2，...，c_N]^T，

E_n＝[e₁，e₂，...，e_n]^T， $P_n=\left[\begin{array}{cccc}{p}_{1,-k+1}& p_{1,-k+2}& ...& p_{1<,N}\\ p_2,-k+1& p_{2,-k+2}& ...& p_2,N\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ p_{n,-k+1}& p_{n,-k+2}& ...& p_{n,N}\end{array}\right],$

假设为递推过程中，第m次递推对C的估计结果(m＝0，1，...，n)，则由普通的最小二乘方法可得

成立，进而得到：

${\hat{C}}_{m+1}={\left[P_{m+1}^T{P}_{m+1}\right]}^{-1}{P}_{m+1}^T{Y}_{m+1},$

$\left[P_{m+1}^T{P}_{m+1}\right][{\hat{C}}_m+({\hat{C}}_{m+1}-{\hat{C}}_m)]=P_{m+1}^T{Y}_{m+1},$

$[P_n^T{P}_m+M_{m+1}^T{M}_{m+1}][{\hat{C}}_m+({\hat{C}}_{m+1}-{\hat{C}}_m)]=[P_m^T{Y}_m+M_{m+1}^T{y}_{m+1}],$

其中，M_m+1＝[p_m+1，-k+1 p_m+1，-k+2…p_m+1，N]，则 $P_{m+1}=\left[\begin{array}{c}{P}_m\\ M_{m+1}\end{array}\right],$

$P_{m+1}^T{P}_{m+1}=P_m^T{P}_m+M_{m+1}^T{M}_{m+1},P_{m+1}^T{Y}_{m+1}=P_m^T{Y}_m+M_{m+1}^T{y}_{m+1},$

根据 $Y_m=P_m{\hat{C}}_m,$ 得到：

${\hat{C}}_{m+1}={\hat{C}}_m+{[P_m^T{P}_m+M_{m+1}^T{M}_{m+1}]}^{-1}[P_m^T{P}_m{\hat{C}}_m+M_{m+1}^T{y}_{m+1}]$

${-[P_m^T{P}_m+M_{m+1}^T{M}_{m+1}]}^{-1}[P_m^T{P}_m+M_{m+1}^T{M}_{m+1}]{\hat{C}}_m,$

$={\hat{C}}_m+{[P_m^T{P}_m+M_{m+1}^T{M}_{m+1}]}^{-1}{M}_{m+1}^T(y_{m+1}-M_{m+1}{\hat{C}}_m)$

假设 $Q_m={\left[P_m^T{P}_m\right]}^{-1},$ 则：

$Q_{m+1}={\left[P_{m+1}^T{P}_{m+1}\right]}^{-1}={[P_m^T{P}_m+M_{m+1}^T{M}_{m+1}]}^{-1}$

$={[Q_m^{-1}+M_{m+1}^T{M}_{m+1}]}^{-1}$

$=Q_m-Q_m{M}_{m+1}^T{(1+M_{m+1}{Q}_m{M}_{m+1}^T)}^{-1}{M}_{m+1}{Q}_m$

从而，获得递推求解公式为：

${\hat{C}}_{m+1}={\hat{C}}_m+Q_{m+1}{M}_{m+1}^T(y_{m+1}-M_{m+1}{\hat{C}}_m),$

递推求解的初始值一般选为

和Q₀＝a×I_N+k，其中a为常数，式中I_N+k为单位阵。

5.根据权利要求4所述的基于自由节点递推B样条的传感器非线性补偿方法，其特征在于：所述传感器为S型热电偶温度传感器，y_j为S型热电偶温度传感器周围的温度，x_j为S型热电偶温度传感器的电动势。

6.根据权利要求4所述的基于自由节点递推B样条的传感器非线性补偿方法，其特征在于：所述传感器为负温度系数的热敏电阻器，y_j为负温度系数的热敏电阻器周围的温度，x_j为负温度系数的热敏电阻器的电阻值。

Images